Predikátová logika [Predicate logic]
|
|
- Renata Moravcová
- před 1 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Predikátová logika [Predicate logic] Přesněji predikátová logika prvého řádu. Formalizuje výroky o vlastnostech předmětů (entit) a vztazích mezi předměty, které patří do dané předmětné oblasti univerza. Příklad: Následovník každého lichého přirozeného čísla je sudé číslo. Číslo 7 je liché. Číslo 8 je sudé. Predikátové logiky vyšších řádů formalizují vztahy mezi vlastnostmi a vztahy, vztahy mezi vztahy vlastnostmi vztahů a vlastností. Výrokovou logiku lze považovat za predikátovou logiku nultého řádu. Formalizuje pouze výroky o entitách. S výrokovou logikou vědecké disciplíny nevystačí. S predikátovou logikou prvého řádu se zpravidla vystačí v matematice i informatice. Logické symboly: Jazyk predikátové logiky obsahuje tuto abecedu: 1. Konečnou nebo nekonečnou spočetnou množinu proměnných (značíme x, y, z, u, v, x 1, x 2,... ). 2. Logické spojky,,,, ( ). 3. Univerzální kvantifikátor (čti pro všechna ). 4. Existenční kvantifikátor (čti existuje). Speciální symboly: 1. Neprázdnou množinu predikátových symbolů P. Různé arity. Vyjadřují vlastnosti a vztahy. 2. Množinu funkčních symbolů F. - Různé arity. Konečnou nebo spočetnou. 3. Množinu konstantních symbolů K. Konečnou nebo spočetnou. Ty lze považovat za funkce arity 0 (nemají žádné proměnné a tedy mají vždy stejnou hodnotu). Značíme a, b, c, a 1, a 2,.... Pomocné symboly: závorky (, ), čárku,. Poznámka: Univerzální kvantifikátor lze chápat jako zobecnění konjunkce, Existenční kvantifikátor jako zobecnění disjunkce, na množiny, které mohou být i nekonečné. 1
2 Gramatika predikátové logiky udává jak vytvářet formule Term (rekurzivní definice) 1. Každý symbol proměnné je term. 2. Každá konstanta je term. 3. Jsou-li t 1,, t m termy a f je funkční symbol arity m, potom je i f(t 1,, t m ) term. 4. Nic jiného než to, co vznikne aplikací pravidel 1., 2. a 3. již term není. Atomická formule Je predikátový symbol aplikovaný na m termů, kde m je arita predikátového symbolu. p(t 1,, t m ). Formule (rekurzivní definice) 1. Každá atomická formule je formule. 2. Jsou-li ϕ a ψ formule, pak také ( ϕ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) jsou formule. 3. Je-li ϕ formule a x proměnné, potom i ( x ϕ) a ( x ϕ) jsou formule. 4. Nic jiného než to, co vznikne aplikací pravidel 1., 2. a 3. již formule není. Závorky lze vynechat, pokud jsou zbytečné vzhledem k obvyklým preferenčním pravidlům pro logické spojky. Vnější závorky se též vynechávají. Výskyt proměnné x ve formuli A je vázaný, jestliže je součástí nějaké podformule x B(x) nebo x B(x) formule A. Proměnná x je vázaná ve formuli A, má-li v A vázaný výskyt. Výskyt proměnné x ve formuli A, který není vázaný, nazýváme volný. Proměnná x je volná ve formuli A, má-li v A volný výskyt. Formule, v níž každá proměnná má buď všechny výskyty volné nebo všechny výskyty vázané, se nazývá formulí s čistými proměnnými. Formule se nazývá uzavřenou, neobsahuje-li žádnou volnou proměnnou. Formule, která obsahuje aspoň jednu volnou proměnnou se nazývá otevřenou. Uzavřená formule se nazývá větou [sentence]. 2
3 Příklady zápisu výroků v predikátové logice: Univerzum je množina všech lidí. Nikdo, kdo není zapracován (P), nepracuje samostatně (S). x ( P(x) S(x)). Ne každý talentovaný (T) spisovatel (Sp) je slavný člověk (Sl). x ((T(x) Sp(x)) Sl(x)). Někdo je spokojen (Sn) a někdo není spokojen. x Sn(x) x Sn(x). Někteří chytří lidé (Ch) jsou líní (L). x (Ch(x) L(x)). Interpretace Pro to, abychom rozhodli zda je daná formule pravdivá či ne (má hodnotu TRUE či FALSE), je třeba mít vymezeno univerzum a vědět co znamenají všechny v ní užité predikáty, funkční symboly a konstanty. Takovému přiřazení říkáme interpretace. Formálně je interpretace dvojice (U, I), kde U je neprázdná množina zvaná univerzum, I je zobrazení které: Každé konstantě přiřazuje prvek univerza. Každému n-árnímu funkčnímu symbolu přiřazuje funkci n proměnných na univerzu s hodnotami z univerza. Každému n-árnímu predikátu přiřazuje n-ární relaci na univerzu, tvořenou všemi n-ticemi prvků univerza, pro které je daný predikát pravdivý. Pravdivost formule predikátového počtu lze vyhodnotit pouze na základě dané interpretace a daného ohodnocení (valuace) všech volných proměnných. Přitom: Pro stanovení pravdivostních hodnot složených formulí platí stejná pravidla jako u výrokové logiky. Výrok x ϕ(x) je pravdivý právě když I(ϕ) je celé univerzum U (výrok platí pro všechny prvky univerza). Výrok x ϕ(x) je pravdivý právě když I(ϕ) je neprázdná podmnožina univerza (výrok platí aspoň pro jeden prvek univerza). Formule A je splnitelná v interpretaci I, jestliže existuje aspoň jedno ohodnocení e volných proměnných takové, že vznikne pravdivý výrok. Formule A je pravdivá v interpretaci I, jestliže pro všechna možná ohodnocení e volných proměnných vznikne pravdivý výrok. Formule A je splnitelná, jestliže existuje interpretace I, ve které je splnitelná, tj. jestliže existuje interpretace I a ohodnocení volných proměnných e takové, že vznikne pravdivý výrok. Taková dvojice (I, e) interpretace I a valuace e se nazývá model formule. Formule A je tautologií je-li pravdivá v každé interpretaci. Formule A je kontradikcí, jestliže nemá model, tedy neexistuje interpretace I, v která by formule A byla splnitelná. 3
4 Pozn.: Zjevně platí, že A je kontradikce, právě když negace A je tautologie. Model množiny formulí {A 1,, A n } je taková interpretace I v kterém jsou všechny formule splnitelné, tedy interpretace I a ohodnocení e volných v kterém jsou všechny formule volných proměnných), která splňuje všechny formule A 1,, A n pravdivé. Sémantická a logická dedukce v predikátovém počtu Oba typy dedukce se definují obdobně jako ve výrokové logice. Uzavřená formule (věta) ϕ je sémantickým důsledkem (též tautologickým důsledkem značíme ) množiny uzavřených formulí S právě tehdy, když každý model S je také modelem ϕ. To však je obtížné ověřit. Pro logickou dedukci ( ) přebereme I-pravidla a E-pravidla výrokové logiky a přidáme k nim přirozená pravidla pro kvantifikované výroky. Jde především o pravidla ϕ(t) x ϕ(x) x ϕ(x) x ϕ(x) Tabulka pravidel logické dedukce v predikátové logice: Logická spojka Pravidlo pro zavedení Pravidlo pro vyloučení {ϕ ψ, ψ} ϕ princip nepřímého důkazu ϕ ϕ T; ϕ ϕ princip vyloučení třetího a princip dvojí negace {ϕ, ψ} {ϕ ψ, ψ ϕ} ϕ ψ {ϕ, ψ} definice konjunkce ϕ {ϕ ψ, ψ ϕ} definice disjunkce definice konjunkce {ϕ ψ, ϕ α α, ψ α} α princip důkazu rozborem případů {ϕ ψ} ϕ ψ definice implikace {ϕ, ϕ ψ} ψ pravidlo modus ponens Kvalifikátor Pravidlo pro zavedení Pravidlo pro vyloučení ϕ(x) x ϕ(x) x ϕ(x) ϕ(x) ϕ(a) x ϕ(x) { x ϕ(x), ϕ(y) ψ} ψ I zde (stejně jako u výrokové logiky) platí, že postačí jediné pravidlo, modus ponens. Užívání všech pravidel je však přirozenější a vede k závěru snáze. 4
5 Pro predikátovou logiku platí rovněž věta o úplnosti. Přirozená dedukce je bezrozporná (vše co se dá logicky odvodit je i sémantickým důsledkem). Přirozená dedukce je úplná. Vše co je sémantickým důsledkem lze odvodit i logicky. Tedy S α tehdy a jen tehdy když S α. Důkaz tohoto tvrzení však není snadný. Platí následující důležitá tvrzení: Větu lze odvodit bez předpokladů, právě když je tautologií. Množina vět je bezrozporná, právě když je splnitelná (tedy má nějaký model). Množina vět je rozporná, právě když z ní vyplývá kontradikce. Mezi výrokovým a predikátovým počtem je následující podstatný rozdíl: Každý jazyk predikátové logiky má nekonečně mnoho možných interpretací (už jenom universum lze stanovit nekonečně mnoha způsoby). Tím se liší od jazyka výrokové logiky, který má vždy jen konečný počet interpretací ohodnocení TRUE FALSE výrokových proměnných (jazyk výrokové logiky pracující s n výrokovými symboly má různých 2 n interpretací, je tedy možné, i když časově náročné, ověřit pravdivost všech interpretací ). Tautologičnost formulí predikátové logiky nelze proto sémanticky dokazovat tak, že ukážeme, že každá možná interpretace jazyka je i modelem dané formule. Tímto způsobem jsme postupovali ve výrokové logice, když jsme zjišťovali pravdivostní hodnotu formule pro každou kombinaci pravdivostních hodnot výrokových symbolů. I zde při velkém n narážel tento postup na exponenciální růst výpočetní složitosti. U predikátového počtu nelze tento způsob užít ani teoreticky, bez ohledu na rostoucí časové nároky na výpočet. Přímý logický důkaz probíhá takto: 1. Vyjdeme z množiny S daných předpokladů a prohlásíme ji za množinu dosud dokázaných formulí (tvrzení). 2. Použijeme libovolné pravidlo logické dedukce a libovolné a libovolnou formuli z množiny dosud dokázaných formulí. Důsledek bude formule, kterou k množině S přidáme. 3. Opakujeme bod 2. tak dlouho, dokud se nám nepodaří jako důsledek získat dokazovanou formuli ϕ. Problém je, jak vybírat pravidla a předpoklady z množiny již dokázaných, aby tato cesta vedla k důsledku ϕ. Takový postup je obtížné automatizovat. 5
6 Resoluční princip v predikátové logice Zaveďme některé pojmy analogické pojmům z výrokové logiky: Literál je atomická formule (n-ární predikát aplikovaný na n termů) nebo její negace. Komplementární literály je dvojice literálů z nichž každý je negací druhého. Klausule je věta (formule bez volných proměnných), taková, že obsahuje pouze univerzální kvantifikátory na začátku a následuje disjunkce konečného počtu literálů nebo jediný literál. Zavedeme následující úmluvu: U klausule budeme univerzální kvantifikátory proměnných vynechávat. Protože u disjunkce nezáleží na pořadí, budeme klausule zapisovat pouze jako množiny jejich literálů. Tedy například místo tří klauzulí P(x, y), a ( Q(a) R(a, x) S(f(a), a), a b S(a, b) Q(b) budeme psát pouze množinu tří množin literálů {P(x, y)}, { Q(a), R(a, x), S(f(a), a)}, {S(a, b), Q(b)}. Prázdná klausule neobsahuje žádné literály a je tedy kontradikcí. Obvykle se značí symbolem, někdy též F. Tato klausule není splnitelná. Její přítomnost v množině formulí znamená nesplnitelnost této množiny. Princip rezoluční metody u predikátové logiky je analogický jako u výrokové logiky. Je však komplikovanější, protože není k dispozici přímá analogie k konjunktivně disjunktivní normální formě. Postupně odvozujeme z daných klausulí resolventy tak, že vypouštíme dvojice komplementárních literálů. Původní klausule ponecháme. Postup je založen na tom, že tautologicky platí (ϕ η) (ψ η) (ϕ ψ). V případě výskytu predikátů s proměnnými, konstantami a funkčními symboly je třeba provést substituce. Ukážeme to na příkladech: Příklad 1: Resolventa klausulí C 1 = {P(x, y, z), Q(x, y)} a C 2 = { P(x, y, z), R(x)}, kde x, y, z jsou proměnné je klausule C = { Q(x, y), R(x)}. Komplementární literály P(x, y, z) a { P(x, y, z) lze vynechat. Množiny klausulí {C 1, C 2 } a {C 1, C 2, C} jsou tautologicky ekvivalentní. Mají tytéž modely. Abychom to dokázali, stačí ukázat, že pro každou interpretaci (U, I), kde C 1 a C 2 jsou pravdivé je pravdivé i C. Nechť a, b, c jsou libovolné konstanty z U. Substitujeme-li a za x, b za y a c za z (označme jako x/a, y/b, z/c) odvodíme, že { Q(a, b), R(a)} je pravdivé a tedy C je pravdivé v interpretaci (U, I). 6
7 Příklad 2 (již bez podrobného zdůvodnění) Resolventa klausulí {P(x, y, z), Q(x, y)} a C 2 = { P(a, b, z), R(a)}získaná substitucí x/a, y/b je { Q(a, b), R(a)}. Nalézání komplementárních literálů v množině klauzulí lze algoritmizovat. Tento postup je užit například při ověřování, zda dané tvrzení vyplývá z daných předpokladů. Jde o ověření tautologičnosti implikace tautologicky ekvivalentní s tedy s (p 1 p 2 p n ) q, (p 1 p 2 p n ) q, p 1 p 2 p n q Takováto klausule se nazývá Hornovou klausulí. Vyhodnocovací proces (tak zvaný inferenční mechanismus) logického programovacího jazyka PROLOG spočívá v odvozování resolvent z Hornových klausulí. Ty representují fakta a pravidla z databáze. Cílem je ověřit formuli danou dotazem, případně nalézt konstanty, pro které je splněna. Chceme-li rozhodnout zda je splnitelná jakákoliv množina klausulí S, sestrojíme množinu S 1, tak, že k S přidáme resolventy prvého řádu. Dále přidáme resolventy S 1, získáme S 2 a pokračujeme dokud nenastane rovnost S n = S n+1. Dostaneme množiny R 0 (S) = S, R j+1 (S) = R(R j (S)) pro j = 1, 2,.... Platí: S = R 0 (S) R 1 (S)... R k (S).... Položme R Resoluční princip predikátové logiky říká: * ( S) = j= 1 R j (S). Množina S je splnitelná právě když R * (S) neobsahuje prázdnou klausuli. Chceme-li zjistit zda klauzule ϕ je důsledkem (logickým a tedy i sémantickým) množiny klauzulí S, vytvoříme množinu S = S { ϕ} a zjistíme, zda je splnitelná, či nikoliv. Jeli S splnitelná ϕ není důsledkem S. Je-li nesplnitelná, je ϕ důsledkem S. To je princip nepřímého důkazu v matematice. 7
8 Příklad: Splnitelnost formulí S = {{P(x, y), Q(x, y, a)}, { Q(g(v), z, z), R(v, z)}, { R(b, a), { P(x, a)}}, kde a, b jsou konstantní symboly, x, y, z jsou proměnné: Sledujte potřebné dosazování konstant za proměnné! Odvodili jsme prázdnou klausuli. Množina formulí je tedy nesplnitelná. 8
9 Existuje algoritmický postup jak libovolnou množinu formulí predikátové logiky převést na množinu klausulí. Lze to provést v těchto po sobě následujících krocích: 1. Přejmenují se proměnné tak, aby každý kvantifikátor označoval různou proměnnou. Například x P(x) x Q(x, a) změníme na x y P(x) Q(x, a). 2. Spojky, vyjádříme pouze pomocí,, užitím tautologických ekvivalencí α β α β; α β ( α β) ( α β);. 3. Zařadíme negace dovnitř až před atomické formule pomocí tautologických ekvivalencí x α x α; x α x α ; (α β) α β; (α β) α β; α α. 4. Zařadíme disjunkce co nejhlouběji užitím tautologických ekvivalencí α (β γ) (α β) (α γ); α ( x β) x (α β); α ( x β) x (α β). 5. Přemístíme univerzální kvantifikátory užitím tautologické ekvivalence ( x α) ( x β) x (α β). Pokud formule neobsahuje existenční kvantifikátory, získali jsme konjunkci klausulí, která je tautologicky ekvivalentní původní formuli. V případě existenčních kvantifikátorů provedeme tak zvanou skolemizaci (název odvozen od norského matematika Thorlafa Skolema). Nahradíme formuli x P(x) formulí P(a), kde a je konstanta. V případě, že předcházejí univerzální kvantifikátory před existenčním, závisí tato konstanta na proměnných univerzálních kvantifikátorů. V tomto případě musíme tedy užít funkční symbol příslušné arity. Tedy například x z y P(x, y, z) nahradíme x y P(x, y, c(x)) a x y z P(x, y, z) nahradíme x y P(x, y, c(x, y)). Skolemova konstanta závisí tedy na předchozích univerzálních kvantifikátorech. Je tedy funkčním symbolem arity rovné počtu předchozích univerzálních kvantifikátorů. Obecně: x 1,, x n y ϕ(y, x 1,,x n ) nahradíme formulí x 1,, x n ϕ(f(x 1,,x n ), x 1,,x n ), kde f je nový funkční symbol arity n. Je-li n = 0 užijeme konstantní symbol. Celý postup ozřejmí následující příklad: Užitím resoluční metody ověřte správnost následujícího úsudku: Každý holič na ostrově holí kohokoliv, kdo se neholí sám. Žádný holič na ostrově neholí kohokoliv, kdo se holí sám. Důsledek: Na ostrově nejsou žádní holiči. Převod do predikátové logiky: Univerzum: Všichni lidé na ostrově. B(x) unární predikát: člověk je holič. S(x, y) binární predikát osoba x holí osobu y. 9
10 Náš úsudek ve formalizovaném tvaru: x (B(x) y ( S(y, y) S(x, y)) x (B(x) y (S(y, y) S(x, y)) x B(x). Úsudek bude správný, pokud je nesplnitelná následující množina tří formulí: { x (B(x) y ( S(y, y) S(x, y)), x (B(x) y (S(y, y) S(x, y)), x B(x)}. Tyto formule je třeba transformovat na tautologicky ekvivalentní klausule. Provedeme to standardním algoritmizovatelným postupem, který byl v předchozím odstavci popsán obecně: Přejmenujeme proměnné a převedeme prvé dvě formule na klausule. Poslední klausulí je. x (B(x) y ( S(y, y) S(x, y)) x ( B(x) y ((S(y, y) S(x, y))) x y( B(x) S(y, y) S(x, y)) ; x (B(x) y (S(y, y) S(x, y)) z ( B(z) u ( S(u, u) S(z, u)) z u ( B(z) S(u, u) S(z, u)). Poslední klausule obsahuje existenční kvantifikátor Zaměníme jej za klausuli B(a), kde a je Skolemův konstantní symbol. Úsudek bude správný, pokud bude množina klausulí nesplnitelná. Užijeme resoluční strom: S = {{ B(x), S(y, y), S(x, y)}, { B(z), S(u, u), S(z, u}, (B(a)}} Náš úsudek byl tedy správný. 10
Výroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice
2.5. Rezoluční metoda v predikátové logice [101104-1520] 19 2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice Rezoluční metoda v predikátové logice je obdobná stejnojmenné metodě ve výrokové logice. Ovšem vzhledem
Predikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující
4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
Matematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
Základní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL
teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
Výroková a predikátová logika - VI
Výroková a predikátová logika - VI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VI ZS 2017/2018 1 / 24 Predikátová logika Úvod Predikátová logika Zabývá
2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.
6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených
Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
Výroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
Predikátová logika dokončení
Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen
Úvod do výrokové a predikátové logiky
Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování
Základy matematické logiky
OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............
7 Jemný úvod do Logiky
7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Normální formy. (provizorní text)
Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,
Logika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
Výroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy z teorie predikátového počtu.
1 Predikátová logika Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy z teorie predikátového počtu. Výstupy z výukové jednotky Student se seznámí se základními termíny
Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku
Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky Úsudky Úsudek je platný, jestliže nutně, za všech okolností, tj. při všech interpretacích, ve kterých
Základy logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky 22. 4. 2015 Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2015 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování,
6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,
Klasická predikátová logika
Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace
LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
Výroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model
Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření
Logika. Dana Nejedlová Katedra informatiky Ekonomická fakulta Technická univerzita v Liberci
Logika Dana Nejedlová Katedra informatiky Ekonomická fakulta Technická univerzita v Liberci 1 Úloha logiky v umělé inteligenci převést fakta na formalizované výroky, se kterými se dá automatizovaně operovat
verze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu.
1 verze 29/9/09 Toto je prozatím definitivní verze provizorního textu o logice, aritmetice a množinách. věnováno Laskavým čtenářům a čtenářkám, kteří navštěvovali tyto přednášky. poděkování Za upozornění
Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický čtverec
Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4.
Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4. 1 Matematická logika - poznámky k přednáškám Radim Bělohlávek 29. května 2003 1 Co je (matematická) logika?
Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1
Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit
Výroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Klauzulární logika. úvod. Šárka Vavrečková. 20. října Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava
Klauzulární logika úvod Šárka Vavrečková Ústav informatiky Filozoficko-Přírodovědecká fakulta Slezské univerzity, Opava 20. října 2008 Klauzulární logika Hlavní vlastnosti pracujeme s klauzulemi, které
1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:
1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto
Rezoluce v predikátové logice
Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná
Základy logiky a teorie množin
1 Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz URL (slajdy): http://pajas.matfyz.cz/vyuka 2 Proč studovat matematickou logiku a teorii množin objasnění vztahu jazyka a významu (syntaxe a sémantiky)
Rezoluce v predikátové logice
Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =
popel, glum & nepil 16/28
Lineární rezoluce další způsob zjemnění rezoluce; místo stromu směřujeme k lineární struktuře důkazu Lineární rezoluční odvození (důkaz) z Ë je posloupnost dvojic ¼ ¼ Ò Ò taková, že Ò ½ a 1. ¼ a všechna
Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová
Základy logiky a teorie množin
1 2 Proč studovat matematickou logiku a teorii množin Základy logiky a teorie množin objasnění vztahu jazyka a významu (syntaxe a sémantiky) precizace klíčových matematických pojmů: axiom, teorie, důkaz,
α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok?
Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška
Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je
Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka
Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B
Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
Výroková logika. p, q, r...
Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože
1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY
Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se
VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):
I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů): 1. Všechna prvočísla větší než 2 jsou lichá. Je-li prvočíslo větší než 2, pak je liché.
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn
Tableaux metody. Jiří Vyskočil 2011
Tableaux metody Jiří Vyskočil 2011 Tableau [tabló] metoda Tableau metoda je další oblíbená metoda užívaná pro automatické dokazování vět v predikátové logice, ale i v dalších (modálních, temporálních,
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie
postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)]
Úloha 1 U každé dvojice výroků rozhodněte, zda výrok uvedený vpravo je negací výroku vlevo. Pokud tomu tak není, zdůvodněte proč. a) p: Mám bílý svetr. q: Mám černý svetr. b) r: Bod A leží vně kruhu K.
Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
Úvod do logiky (VL): 3. Jazyk VL
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 3. Jazyk VL doc. PhDr. Jiří Raclavský, Ph.D.
Matematicko-fyzikální fakulta UK. Predikátová logika
Matematicko-fyzikální fakulta UK Predikátová logika Praha 2000 Obsah 1 Úvod 3 1.1 Jazyk logiky.............................. 4 1.2 Formální systém logiky prvního řádu................ 10 2 Výroková logika
5 Inteligentní usuzování
5 Inteligentní usuzování Jak již bylo řečeno v předcházející kapitole, způsob reprezentování znalostí a způsob jejich využívaní pro usuzování spolu úzce souvisejí. Připomeňme zde tedy ještě jednou používaná
Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,
1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni
1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
M - Výroková logika VARIACE
M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu
Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
Třída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
Rezoluce ve výrokové logice
Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),
LITERATURA. Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007
ÚVOD DO MATEMATICKÉ LOGIKY 1 LITERATURA Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007 2 Svátek J., Dostálová L.: Logika pro humanistiku. Aleš Čeněk, Dobrá Voda 2003 Bokr J.:, Svátek J.: Základy
Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)
Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr
Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta
Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence
Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1
Substituce Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 2 1 Algebra termů Předpokládáme, že je dán jazyk termů. L, definovali jsme množinu jeho Zavedeme některé užitečné
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky študenti MFF 15. augusta 2008 1 1 Základy teoretické informatiky Požadavky Logika - jazyk, formule, sémantika, tautologie
Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková
Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární
Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
Sémantika výrokové logiky
Sémantika výrokové logiky Matematická logika, LS 2012/13, přednáška 4 7 Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 4. 25. 3. 2013 Osnova 1 Pravdivostní hodnoty v klasické výrokové logice
I. Úvodní pojmy. Obsah
I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....
Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ
MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Podklady k soustředění č. 2 Reprezentace a zpracování znalostí 1. dílčí téma: Reprezentace znalostí V polovině 70. let se začal v umělé inteligenci přesouvat důraz od hledání
prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ÚVOD DO INFORMATIKY RADIM BĚLOHLÁVEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
Úvod do logiky (VL): 11. Ověřování, zda je formule tautologií metodou protipříkladu
Jiří Raclavský (214): Úvod do logiky: klasická výroková logika Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.7/2.2./28.216, OPVK) Úvod
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Úvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,
Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková