FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03 Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc., Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D., Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D., Mgr. Art. Dagmar Mádrová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ..07/..00/5.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 OBSAH ROVNOMĚRNÝ, ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ A NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ ROTAČNÍ POHYB Úvod Definice Úhlová dráha, úhlová rychlost a úhlové zrychlení Vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí Vztah mezi obvodovým a úhlovým zrychlením Velikost tečného a normálového zrychlení otáčivého pohybu Klasifikace otáčivých pohybů Pohyb rovnoměrný po kružnici Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici Moment síly Moment dvou sil působících na dvě částice Dvojice sil Moment hybnosti... 9 PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM... CZ..07/..00/5.0463

3 3 ROVNOMĚRNÝ, ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ A NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ ROTAČNÍ POHYB STRUČNÝ OBSAH PŘEDNÁŠKY: Úhlová dráha, úhlová rychlost a úhlové zrychlení Vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí Vztah mezi obvodovým a úhlovým zrychlením Pohyb rovnoměrný po kružnici Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici MOTIVACE: S otáčivým pohybem částice nebo tělesa se setkáme v podstatě u každého pohybu tělesa. Výjimku tvoří pohyb částic nebo těles po přímce. S otáčivým pohybem je nutno počítat téměř ve všech technických problémech. Jde o rotaci turbíny, setrvačníků, dopravních vozidel, aj. CZ..07/..00/5.0463

4 4. ÚVOD Pro popis rovnoměrného, rovnoměrně zrychleného a nerovnoměrně zrychleného rotačního pohybu je třeba znalost základních veličin otáčivého pohybu, které jsou uvedeny v dalším textu.. DEFINICE.. Úhlová dráha, úhlová rychlost a úhlové zrychlení Při otáčivém pohybu hmotného bodu je trajektorií pohybu kružnice. Kromě kinematických veličin r, v a a při vyšetřování otáčivých pohybů pracujeme s úhlovými veličinami ϕ, ω a ε, které jsou také funkcí času. Úhlová dráha je jako vektor vyjádřená funkční závislostí: ϕ = ϕ( t ) (.8) Velikost úhlové dráhy je rovna velikosti středového úhlu ϕ příslušejícího oblouku s délky s mezi polohami bodu P 0 v čase t = 0 s a P t v následujícím čase t, kde ϕ =. R Platí ϕ 0 = ϕ. ϕ, (.9) 0 kde ϕ je jednotkový vektor kolmý na osu otáčení a je orientován na tu stranu, ze které vidíme otáčení bodu P v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček), viz obr..3. Obr..3 K definici úhlové dráhyϕ CZ..07/..00/5.0463

5 5 Úhlovou rychlost ) Obr..4 K určení vztahu mezi obvodovou (v) a úhlovou (ϕ) rychlostí ω = ω(t definujeme jako časovou změnu úhlové dráhy ϕ dϕ ω = (.30) Platí dϕ ω = ωϕ 0, kde ω = Úhlové zrychlení ε = ε (t) definujeme jako časovou změnu úhlové rychlosti ω ε = dω = d ϕ (.3) dω d ϕ Platí ε = εϕ 0, kde ε = = Úhlové zrychlení lze vyjádřit i jinak dω dϕ dω ε = = ω (.3) dϕ dϕ Jednotka úhlové dráhy [ϕ] = rad, úhlové rychlosti [ω] = rad s, úhlového zrychlení [ε] = rad s... Vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí Odvodíme vztah mezi obvodovou v a úhlovou ω rychlostí. V obr..4 jsou vyznačeny veličiny charakterizující pohyb částice v bodě P. Poloha bodu P je určena vůči počátku 0 polohovým vektorem r, který s osou rotace svírá úhel α. Z definice velikosti okamžité rychlosti (.0) a použitím vztahu ds = R dϕ plyne CZ..07/..00/5.0463

6 6 ds dϕ v = = R = Rω Z obr..4 také plyne, že R = r sin α, pak v = r ω sinα v = ω r a (.33)..3 Vztah mezi obvodovým a úhlovým zrychlením Dále odvodíme vztah mezi obvodovým a a úhlovým ε zrychlením. Z definice (.6) plyne dv d dω dr a = = ( ω r ) = r + ω = ε r + ω v (.34) Vektor ε r je vektor kolmý k r a ose rotace, v níž leží ω, tj. má stejný směr s vektorem v. Je to vektor tečného zrychlení a t. Vektor ω v je vektor kolmý na ω a v a má směr do středu křivosti. Je to vektor normálového zrychlení a n...4 Velikost tečného a normálového zrychlení otáčivého pohybu Velikosti tečného a normálového zrychlení jsou: dv d dω a t = = ( Rω ) = R = Rε (.35) v R ω a n = = = Rω R R v a n = v = vω R nebo (.36)..5 Klasifikace otáčivých pohybů Klasifikace vychází z analogie vztahů mezi veličinami φ, ω a ε u otáčivých pohybů a veličinami s, v a a u pohybů posuvných. Stejný otáčivý pohyb popsaný veličinami φ, ω a ε konají všechny body tělesa (vyjma středu otáčení) kapitola... Z definice úhlového zrychlení ε lze určit závislost ω = ω(t) dω ε =, dω = ε, dω = ε ω = ε + konst. (.4) Z definice úhlové rychlosti ω lze určit závislost ϕ = ϕ(t) dϕ ω =, dϕ = ω, dϕ = ω CZ..07/..00/5.0463

7 7 ϕ = ω + konst. (.43)..6 Pohyb rovnoměrný po kružnici Pohyb rovnoměrný po kružnici: ε = 0 Pro ϕ = 0 0 je ϕ = ωt a pro ϕ = π je ω = 0 = konst. ϕ = ω = ωt + C, kde C = ϕ0 ϕ ϕ + ωt = 0 (.44) π ω = = π f T f T = a (.45) kde T je perioda (doba, za kterou se částice otočí o plný úhel) a f je frekvence...7 Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici: ε = konst. a dosazením (.46) do vztahu (.43) ω = ε = εt + C kde C = ω0, ω ω + εt = 0 (.46) ϕ = ( ω0 + εt ) = ω0t + εt + C, kde C = ϕ0 ϕ = ϕ 0 + ω 0 t + εt (.47)..8 Moment síly Označme F výslednici vnějších sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy 0 0 (obr..33). Předpokládejme, že vektorová přímka síly F neprotíná osu otáčení a není s ní rovnoběžná, dále že leží v rovině σ kolmé k ose otáčení. CZ..07/..00/5.0463

8 8 Obr..33 K definici momentu síly Velikost momentu síly M je součin velikosti síly F a kolmé vzdálenosti bodu 0 od vektorové přímky vektoru F v rovině σ, tzv. ramene síly d M = Fd (.40) Z obr..33 je d = r sin α, pak M = rf sinα což je velikost vektorového součinu polohového vektoru r působiště síly a vektoru síly F (.4) kde M je moment síly F vzhledem k bodu 0. M = r F (.4) V souřadnicích M M M x y z = y F z F z = z F x F = x F x y y z y F x π Pro α = je sin α = a M = Fr. Směr vektoru M určuje směr vektoru úhlového zrychlení ε, jež by charakterizovalo rotační pohyb částice, vyvolaný tímto momentem. Je proto velmi důležitou veličinou při sledování a popisu rotačních pohybů...9 Moment dvou sil působících na dvě částice Výsledný moment dvou sil F a F působících na dvě částice podle obr..34 je M = M + M = r F + r a s ohledem na F = F je F CZ..07/..00/5.0463

9 9 neboť vektor ( ) M = F (.43) ( r r ) = 0, r r je rovnoběžný s vektorem F. Obr..34 K výpočtu momentu dvou sil Obr..35 K výpočtu momentu dvojice sil Obr..35 K výpočtu momentu dvojice sil..0 Dvojice sil Určíme výsledný moment dvou rovnoběžných stejně velikých sil opačně orientovaných, které působí v různých bodech tuhého tělesa (obr..35). Nazývají se dvojice sil. Z obr..35 r = r + r a podle definice momentu sil je r F + r F = r F + r + r F = r F + r F + r M d ( ) F = M d = r F M d = r F sin α = p F (.44) kde p = r sin α je rameno dvojice sil (obr..35)... Moment hybnosti Moment hybnosti b částice je definován jako vektorový součin polohového vektoru r částice a její hybnosti p (obr..36) a uvádí se někdy jako točivost. CZ..07/..00/5.0463

10 0 Jeho velikost b = r p = r m v (.45) b = r p sin α = r m v sin α (.46) Obr..36 K definici momentu hybnosti částice Jednotky: [ M ] = kg m s = N m [ b ] = kg m s CZ..07/..00/5.0463

11 Přednáškový text se vztahuje k těmto otázkám PŘEDNÁŠKOVÝ TEXT SE VZTAHUJE K TĚMTO OTÁZKÁM Veličiny otáčivého pohybu Odvození vztahu mezi obvodovou a úhlovou rychlostí Odvození vztahu mezi obvodovým a úhlovým zrychlením Klasifikace otáčivých pohybů Moment síly, dvojice sil a moment hybnosti CZ..07/..00/5.0463