STUDIJNÍ TEXT. Základy fyziky. Fakulta strojní. Eva Janurová

Transkript

1 STUDIJNÍ TEXT Základy fyziky Fakulta strojní Eva Janurová VŠB TU Ostrava, Katedra fyziky, 6

2 OBSAH ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 4 FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY 4 ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN 6 KINEMATIKA 8 DĚLENÍ POHYBŮ 8 SLOŽENÉ POHYBY 3 POHYB PO KRUŽNICI 7 3 DYNAMIKA 3 3 NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY A DRUHY SIL 3 3 DRUHY SIL 5 33 IMPULS SÍLY, HYBNOST 33 4 PRÁCE, VÝKON, ENERGIE 35 4 MECHANICKÁ PRÁCE 35 4 VÝKON MECHANICKÁ ENERGIE 36 5 DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 39 5 TRANSLAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA 39 5 ROTAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA TĚŽIŠTĚ, HMOTNÝ STŘED 4 54 MOMENT SETRVAČNOSTI 4 55 MOMENT SÍLY MOMENT HYBNOSTI POHYBOVÁ ROVNICE ROTAČNÍHO POHYBU PRÁCE, VÝKON, KINETICKÁ ENERGIE PŘI ROTAČNÍM POHYBU 46 6 HYDROSTATIKA 49 6 POVRCH KAPALINY 49 6 PASCALŮV ZÁKON 5 63 HYDROSTATICKÝ TLAK 5 64 ARCHIMÉDŮV ZÁKON 53 7 HYDRODYNAMIKA 54 7 OBJEMOVÝ TOK, HMOTNOSTNÍ TOK 54 7 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU BERNOULLIHO ROVNICE 55 8 TEPELNÉ VLASTNOSTI LÁTEK 56 8 TEPLO, TEPLOTA 56 8 FÁZOVÉ PŘEMĚNY TEPLOTNÍ ROZTAŽNOST LÁTEK TEPELNÁ VODIVOST KALORIMETRICKÁ ROVNICE 6 86 IDEÁLNÍ PLYN A ZMĚNY JEHO STAVU 6 87 PRVNÍ HLAVNÍ VĚTA TERMODYNAMIKY (I termodynamický zákon) 63 9 ELEKTROSTATICKÉ POLE 64 9 ELEKTRICKÝ NÁBOJ 64 9 COULOMBŮV ZÁKON INTENZITA ELEKTROSTATICKÉHO POLE POTENCIÁL ELEKTROSTATICKÉHO POLE NÁBOJ V HOMOGENNÍM ELEKTROSTATICKÉM POLI 67

3 96 KAPACITA VODIČE, KONDENZÁTORY 68 STACIONÁRNÍ ELEKTRICKÉ POLE 7 VZNIK ELEKTRICKÉHO PROUDU VE VODIČI 7 ODPOR VODIČE 7 3 OHMŮV ZÁKON 73 KMITAVÝ POHYB NETLUMENÝ 74 MECHANICKÉ VLNĚNÍ 8 3

4 ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY Při pozorování a popisu libovolného objektu víme, že zaujímá určitý prostor, pohybuje se, mění se jeho vlastnosti, působí na jiná tělesa apod Fyzikální vlastnosti těles, stavy i jejich změny, které je možné změřit, charakterizujeme fyzikálními veličinami SOUSTAVY FYZIKÁLNÍCH VELIČIN A JEDNOTEK Každá fyzikální veličina souvisí s mnoha jinými fyzikálními veličinami a jejich změnami Proto už od počátku 9 století vznikaly soustavy veličin a jednotek Při tvorbě těchto soustav se na začátku volí určitý počet veličin za základní a k nim se stanoví základní jednotky V České republice se podle zákona č 35/6 Sb smějí používat pouze zákonné měřicí jednotky, které vycházejí z Mezinárodní soustavy jednotek označované SI (zkratka francouzského názvu Système International d`unités) MEZINÁRODNÍ SOUSTAVA JEDNOTEK Mezinárodní soustavu jednotek (SI) tvoří: a) Sedm základních jednotek, které odpovídají sedmi základním veličinám Základní veličina Značka veličiny Základní jednotka Značka jednotky délka l metr m hmotnost m kilogram kg čas t sekunda s elektrický proud I ampér A termodynamická teplota T kelvin K látkové množství n mol mol svítivost I kandela cd Každá základní jednotka má svou definici, uvedenou v české státní normě ČSN 3 b) Dvě doplňkové jednotky Doplňková veličina Značka veličiny Doplňková jednotka Značkajednotky rovinný úhel α, β, γ, radián rad prostorový úhel,, Ω, steradián sr 4

5 c) Odvozené jednotky SI, které jsou určeny pro měření všech ostatních fyzikálních veličin (odvozených veličin) Odvozené jednotky jsou odvozovány pomocí definičních vztahů ze základních nebo již dříve odvozených jednotek Vychází se při tom z definičních vztahů m odpovídajících veličin Například hustota ρ je určena vztahem: ρ V kg Jednotka hustoty: ρ 3 m Některé jednotky mají vlastní názvy a značky, zpravidla podle jmen vynikajících fyziků, např newton N, ampér A, volt V aj Pro počítání se zápornými exponenty platí (podobně jako u exponentů kladných), že při násobení mocnin se exponenty sčítají a při dělení mocnin se exponenty odčítají, např d) Násobky a díly jednotek SI, jejichž názvy se tvoří pomocí normalizovaných předpon z názvů základních jednotek Výjimkou je pouze při tvorba násobků a dílů jednotky hmotnosti V tabulce jsou uvedeny nejužívanější předpony spolu s mocninami deseti, pomocí nichž se násobky nebo díly vyjadřují Předpona Značka Násobek Mocnina deseti tera- T giga- G 9 mega- M 6 kilo- k 3 mili- m, -3 mikro- μ, -6 nano- n, -9 piko- p, - V některých případech se používají i další předpony, např centi (značka c): cm = - m Abychom nemuseli odvozené jednotky zapisovat pomocí zlomkové čáry, píšeme záporné exponenty u značek jednotek, např kg m 3 kg m 3, m s m s, N kg N kg Mezi některé měřicí jednotky patří mimo jednotek SI i tzv vedlejší jednotky (např ºC, min apod) Některé z těchto značek jsou často odvozovány od počátečních anglických, řeckých nebo latinských termínů pro odpovídající veličiny a jednotky Např délka l (z angl lenght = délka), objem V (z angl volume = objem) Slovo metr je odvozeno z řeckého metron = měřidlo, měřítko, míra Slovo sekunda pochází z latinského secundus = druhý; Secundus minuta hora = druhá zmenšená hodina, tj druhé zmenšení hodiny Prvním zmenšením bylo pouhé minuta hora Doslovným českým překladem sekundy je vteřina od staročeského vterý = druhý (viz úterý tj druhý den v týdnu) 5

6 ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN Fyzikální veličiny dělíme podle jejich typu na: a) Skaláry (skalární fyzikální veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikostí (číselnou hodnotou) a jednotkou, ve které se daná veličina měří (hmotnost m, čas t, práce W, výkon P, energie E, moment setrvačnosti J, atd) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počítání s reálnými čísly Př Na misce vah leží závaží o hmotnosti m = 5 kg Přidáme závaží o hmotnosti m = kg Váha ukáže celkovou hmotnost závaží m = m + m = 5 kg + kg = 7 kg Podobně bychom postupovali, kdyby byla závaží odebírána V tomto případě bychom hmotnosti závaží odečítali b) Vektory (vektorové fyzikální veličiny) jsou určeny velikostí a směrem (posunutí s, rychlost v, zrychlení a, síla F, hybnost p, atd) V psaném textu nebo v grafickém vyjádření mohou být vektory značeny také tučným písmem Považujeme je za orientované úsečky Výhodou je, že s nimi můžeme pracovat jako se stranami trojúhelníka a používat přitom vztahy známé z goniometrie POZNÁMKA: a) Pythagorova věta c = a + b b) Kosinova věta (používáme pro trojúhelníky určené podle vět sss, sus) c = a + b - a b cosγ c) Sinova věta (používáme pro trojúhelníky určené podle vět usu, Ssu) a b c sinα sinβ sinγ d) Goniometricé funkce použité na pravoúhlý trojúhelník sinα protilehlá přepona a c cos α přilehlá přepona b c tg α protilehlá přilehlá a b přilehlá cot g α protilehlá b a 6

7 Př Řeka teče rychlostí v = 4 ms - Kolmo k protějšímu břehu odrazil člun rychlostí v = 3 ms - a) Určete výslednou rychlost člunu Řešení: Výsledný pohyb bude složený z obou pohybů a člun se bude pohybovat šikmo po proudu řeky Výslednou rychlost v získáme tak, že útvar doplníme na rovnoběžník Výsledná rychlost v pak bude tvořit úhlopříčku, která bude zároveň přeponou v pravoúhlém trojúhelníku Vektory v a v vektorově složíme v v v Velikost výsledné rychlosti určíme pomocí Pythagorovy věty : v v v 3 v 4 5 5ms b) Určete odklon člunu od původního směru Řešení: v tgα v 4 α = 53º 3 Výsledná rychlost je 5 ms -, odklon od původního směru je 53º 7

8 KINEMATIKA Slovo kinematika pochází z řeckého kineo, což znamená pohyb Kinematika studuje a popisuje pohyb těles bez ohledu na jeho příčinu, tj na působící sílu POZNÁMKA: Často bývá v textu pojem tělesa nahrazen termínem hmotný bod Hmotný bod je objekt, jehož rozměry a tvar můžeme při řešení určitého problému zanedbat a úlohu si tak zjednodušit Nahrazujeme jím těleso, jehož rozměry jsou zanedbatelné vzhledem k uvažovaným vzdálenostem pohybu Základními veličinami, které používáme k popisu pohybu, jsou : polohový vektor r, rychlost v, zrychlení a DĚLENÍ POHYBŮ Pohyby dělíme podle: a) Trajektorie (křivky, po které se těleso pohybuje) ) přímočaré trajektorií pohybu je přímka, vektor rychlosti v má stále stejný směr ) křivočaré trajektorií pohybu je křivka, vektor rychlosti v mění svůj směr V každém okamžiku je tečnou k trajektorii Typickými křivočarými pohyby jsou pohyb po kružnici, vrh vodorovný, vrh šikmý b) Rychlosti Vektor je směrový vektor, je orientovaný ve směru pohybu Je vždy rovnoběžný s vektorem rychlosti Vektor n je normálový vektor, je vždy kolmý ke směru pohybu Je kolmý k vektoru rychlosti - ) rovnoměrný a ms ) rovnoměrně proměnný (zrychlený, zpomalený) a konst 3) nerovnoměrně proměnný (zrychlený, zpomalený) a konst 8

9 RYCHLOST Při pohybu tělesa dochází ke změně jeho polohy Jestliže zakreslíme pohyb tělesa do souřadného systému, pak jeho polohu určuje v každém okamžiku polohový vektor r Během pohybu opisuje koncový bod polohového vektoru trajektorii (křivku) Těleso urazí za určitý časový interval vektoru r r r t dráhu s Dojde přitom ke změně polohového Při svém pohybu má těleso rychlost, která je charakterizována změnou polohového vektoru, ke které dojde během časového intervalu v r změna polohového vektoru t časový interval Jednotkou rychlosti je ms - POZNÁMKA: Pro určení okamžité rychlosti, kterou má těleso v daném časovém okamžiku, používáme infinitezimální počet (spojený se jménem matematika Leibnitze derivace, integrál) Jestliže chceme určit průměrnou rychlost, pak s celková dráha v, p t celkový čas ZRYCHLENÍ Jestliže se během pohybu mění vektor rychlosti, pak to znamená, že se těleso pohybuje se zrychlením a Zrychlení je změna vektoru rychlosti, ke které dojde během časového intervalu a v t změna rychlosti časový interval 9

10 Jednotkou zrychlení je ms - ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Při tomto pohybu se těleso pohybuje konstantní rychlostí Za stejné časové intervaly urazí těleso stejnou dráhu Protože se rychlost nemění, je zrychlení pohybu nulové Potom v = konst, Grafickým znázorněním závislosti rychlosti na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou Dráha roste přímo úměrně v závislosti na čase Pro dráhu rovnoměrného pohybu platí vztah s vt, kde s je počáteční dráha s Grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je přímka různoběžná s časovou osou ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Těleso se pohybuje s konstantním zrychlením Za stejné časové intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu, Za stejné časové intervaly vzroste rychlost o stejnou hodnotu, Potom a = konst, Grafickým znázorněním závislosti zrychlení na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou

11 Rychlost roste přímo úměrně v závislosti na čase Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí vztah v at v, kde v je počáteční rychlost Grafickým znázorněním je přímka různoběžná s časovou osou Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu roste kvadraticky v závislosti na čase Platí vztah s at v t s, kde s je počáteční dráha Proto grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je parabola ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Zrychlení tohoto pohybu je orientováno proti směru vektoru rychlosti Vzhledem k tomu, že používáme nevektorové vyjádření, zapíšeme do rovnice pro rychlost a dráhu zrychlení se záporným znaménkem Platí vztahy v at v, s at vt VOLNÝ PÁD

12 Volný pád je zvláštním případem rovnoměrně zrychleného pohybu Všechna tělesa volně puštěná se v tíhovém poli Země pohybují se stejným zrychlením Toto zrychlení nazýváme tíhové zrychlení, značíme je g Hodnota tíhového zrychlení v naší zeměpisné šířce je g = 9,8 ms - Je-li počáteční rychlost volného pádu v = ms - a počáteční dráha s = m, pak v gt, s gt Na uvedeném obrázku vidíme, jak se rychlost padajících objektů zvětšuje v závislosti na čase Grafickým znázorněním této závislosti je přímka různoběžná s časovou osou Grafickým znázorněním závislosti dráhy na čase je, stejně jako u obecného rovnoměrně zrychleného pohybu, parabola NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Vzhledem k tomu, že se tělesa mohou obecně pohybovat libovolným způsobem, zavádíme ještě další typ pohybu nerovnoměrně zrychlený Zrychlení u tohoto pohybu není konstantní a konst V tomto případě nelze vyjádřit příslušné veličiny pomocí jednoduchých vzorců Výpočty kinematických veličin (dráhy, rychlosti a zrychlení) řešíme pomocí derivování a integrování SLOŽENÉ POHYBY Zákon o nezávislosti pohybů Koná-li hmotný bod současně dva nebo více pohybů, je jeho výsledná poloha taková, jako kdyby konal tyto pohyby po sobě, a to v libovolném pořadí Vrhy jsou složené pohyby Těleso je vrženo v určitém směru počáteční rychlostí v Vlivem tíhového pole Země se těleso v každém okamžiku zároveň pohybuje volným pádem ve směru svislém

13 VRH SVISLÝ VZHŮRU Při vrhu svislém vzhůru skládáme dva pohyby: rovnoměrný přímočarý vzhůru pro dráhu s a pro rychlost v platí vztahy s vt v = v = konst POZNÁMKA: Kdyby neexistovalo tíhové pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme), pak by se těleso pohybovalo konstantní rychlostí v stále vzhůru Jenže tíhové pole Země existuje a těleso zároveň padá dolů rovnoměrně zrychlený (volný pád) dolů pro dráhu s a pro rychlost v platí vztahy s g t v g t Protože dráha jako posunutí a rychlost jsou vektorové veličiny, můžeme je vektorově skládat s s s v v v Protože příslušné vektory drah a rychlostí jsou opačně orientované, budeme je odečítat Výsledkem je okamžitá hodnota dráhy, kterou chápeme jako okamžitou výšku tělesa nad povrchem Země a jeho okamžitou rychlost platí vztahy s v t g t, v v g t Rychlost se během pohybu mění Postupně klesá, až v maximální výšce je rovna nule Poté těleso padá volným pádem a rychlost opět roste Doba výstupu Dobu výstupu t v určíme z podmínky pro rychlost V době, kdy těleso dosáhne maximální - výšky je jeho rychlost nulová, v ms Pak v g t Odtud platí v v t v g Stejnou dobu, po kterou těleso stoupá, zároveň i klesá Pak doba letu t L je dvakrát větší než doba výstupu t v a tedy v tl tv g 3

14 Maximální výška Těleso vystoupí do maximální výšky za dobu výstupu pro výšku dostaneme v v v v smax v tv g tv v g g g g g Po úpravě je maximální výška v smax g t Po dosazení do okamžité hodnoty v VRH VODOROVNÝ Je složen ze dvou pohybů: rovnoměrný přímočarý ve směru osy x Těleso je při vodorovném vrhu v určité výšce y vrženo počáteční rychlostí v ve vodorovném směru Kdyby neexistovalo tíhové pole Země, pak by se těleso pohybovalo rovnoměrným pohybem ve směru osy x Pro dráhu a rychlost platí: v t v v konst x x rovnoměrně zrychlený (volný pád) ve směru osy y Vzhledem k existenci tíhového pole, je těleso v každém okamžiku nuceno se pohybovat volným pádem Pro dráhu a rychlost ve směru svislém platí: y g t v y g t Rychlost ve směru osy y lineárně roste v závislosti na čase Tíhové zrychlení g a počáteční rychlost v jsou konstanty 4

15 Rychlosti ve směru os x a y jsou vektorovými veličinami Jestliže je složíme, dostaneme celkovou rychlost v v x v y Vzhledem k tomu, že tyto rychlosti jsou na sebe kolmé, pak okamžitou celkovou rychlost vypočteme pomocí Pythagorovy věty y v v x v VRH ŠIKMÝ Tento vrh je složen ze dvou pohybů Těleso je v tomto případě vrženo vzhledem k vodorovné rovině pod úhlem rychlostí v Při řešení rozložíme počáteční rychlost v jako vektor do dvou navzájem kolmých směrů Složky rychlosti pak budou vyjádřeny takto: vx v cos α v v sin α y Jestliže nebudeme uvažovat odpor vzduchu, pak bude rychlost ve směru osy x konstantní v v v cos α x x Rychlost ve směru osy y bude ovlivňovaná silovým působením Země a zapíšeme ji takto v y v sin g t y-ová složka rychlosti se bude zmenšovat V maximální výšce bude nulová, pak opět poroste na maximální hodnotu 5

16 Celková rychlost v bude určena vektorovým součtem v v x vy Její velikost určíme pomocí Pythagorovy věty y v v x v x-ová a y-ová souřadnice jsou dány vztahy x v t cos α, y v t sin α g t Při zadaných hodnotách úhlu vrhu a počáteční rychlosti vrhu snadno určíme souřadnice tělesa v libovolném časovém okamžiku Určení vybraných parametrů při šikmém vrhu s počáteční výškou h = Doba výstupu Těleso stoupá do maximální výšky Rychlost ve směru osy y postupně klesá, v maximální výšce je v y Pak určíme dobu výstupu t v ze vztahu v sin α g t v Doba výstupu je v sin α tv g Doba letu t t L v Maximální výška Maximální výšky y max dosáhne těleso za dobu výstupu t v Určíme ji ze vztahu pro hodnotu y-ové souřadnice dosazením doby výstupu za čas t 6

17 y max v sin α v sin α v tv sin α g tv v sin α g g g v sin α Po úpravě dostaneme ymax g Maximální dolet Do maximální vzdálenosti x max dopadne těleso za dobu letu t L Určíme ji ze vztahu pro hodnotu x-ové souřadnice dosazením doby letu za čas t v sin α xmax v tl cos α v cos α g Po úpravě dostaneme v sin α cos α xmax g Jestliže použijeme goniometrický vzorec pro sinus dvojnásobného argumentu, pak maximální dolet vyjádříme ve tvaru v sin α xmax g Za nulovou můžeme považovat počáteční výšku např při kopu do míče V praxi je zpravidla počáteční výška šikmého vrhu různá od nuly To se týká trajektorie tělesa při většině hodů a vrhů, ale také trajektorie těžiště lidského těla při některých odrazech, např při skoku dalekém 3 POHYB PO KRUŽNICI Nejčastěji studovaným křivočarým pohybem je pohyb po kružnici Trajektorií pohybu je kružnice Jestliže se těleso pohybuje z bodu A, pak se po určité době dostane zpět do původního postavení 7

18 Jedná se o pohyb periodický Doba, za kterou se těleso dostane zpět do původní polohy, se nazývá perioda T Jednotkou periody je sekundat s Mimo periodu zavádíme veličinu, která se nazývá frekvence f - Frekvence představuje počet oběhů za sekundu Jednotkou frekvence f s Často se používá jednotka s názvem hertz (Hz)V základních jednotkách je Hz = s - Mezi periodou a frekvencí platí vztah f T Obvodové veličiny Obvodovými veličinami jsou: dráha s vzdálenost, kterou těleso urazí po obvodu kružnice, obvodová rychlost v, dostředivé zrychlení a d, (můžeme též nazvat normálové zrychlení a n ) tečné zrychlení a t, (můžeme též nazvat tangenciální zrychlení a t ) celkové zrychlení a, (můžeme též nazvat absolutní zrychlení a ) Jestliže se těleso bude pohybovat po kružnici, pak vektor rychlosti bude v každém bodě pohybu tečnou k trajektorii a bude kolmý na průvodič Průvodič představuje spojnic tělesa se středem kružnice (v tomto případě je velikost průvodiče rovna poloměru kružnice r) Vektor rychlosti mění svůj směr Změna směru rychlosti je způsobena dostředivým (normálovým) zrychlením a n Vektor dostředivého zrychlení je vždy kolmý k vektoru rychlosti v Platí: v r a n - Jednotkou normálového zrychlení je ms a n 8

19 Normálové (dostředivé) zrychlení směřuje vždy do středu křivosti rovnoměrný pohyb po kružnici: rychlost je konstantní, mění se jen její směr Platí vztahy pro rovnoměrný pohyb v konst, s vt s, v a d r a t ms, protože je rychlost konstantní, je i dostředivé zrychlení konstantní - rovnoměrně zrychlený po kružnici: rychlost není konstantní, mění velikost i směr, platí vztahy pro rovnoměrně zrychlený pohyb, v at t v,, v a n, normálové (dostředivé) zrychlení se mění Mění směr vektoru rychlosti r v a t, tangenciální (tečné) zrychlení je konstantní Mění velikost vektoru t rychlosti s at t v t s Tečné (tangenciální) zrychlení t a pohyb urychluje nebo zpomaluje Tečné zrychlení má směr tečny ke kružnici U zrychleného pohybu má stejný směr jako vektor rychlosti v, u zpomaleného pohybu má opačný směr vzhledem k vektoru rychlosti v 9

20 - Jednotkou tečného zrychlení je a t ms S tečným a normálovým zrychlením pracujeme jako s vektorovými veličinami Vektorovým složením určíme celkové (absolutní, výsledné) zrychlení a a a a t n Velikost výsledného zrychlení určíme podle Pythagorovy věty t n a a a Úhlové veličiny Kromě obvodových veličin, je pohyb po kružnici často popisován pomocí veličin úhlových: úhlová dráha, úhlová rychlost, úhlové zrychlení Jejich vektory leží v ose otáčení Úhlová dráha představuje úhel, o který se těleso otočí za určitý čas při pohybu po kružnici Jednotkou úhlové dráhy je radián, píšeme rad Obvodová dráha je úměrná úhlové dráze O čím větší úhel se těleso otočí, tím větší dráhu po kružnici urazí

21 Úhlová rychlost je charakterizována změnou velikosti úhlové dráhy, která nastane během - časového intervalu Jednotkou úhlové rychlosti je rads O celý úhel se těleso otočí za dobu jedné periody T Úhlovou rychlost pak můžeme vyjádřit ve tvaru π ω π f T Čím vyšší je frekvence otáčení, tím je úhlová rychlost větší Obvodová rychlost je úměrná úhlové rychlosti Jestliže se úhlová rychlost během pohybu mění, pak se těleso pohybuje s úhlovým zrychlením Úhlové zrychlení představuje změnu velikosti úhlové rychlosti, ke které dojde během - časového intervalu Jednotkou úhlového zrychlení je rads Převodní vztahy mezi obvodovými a úhlovými veličinami s r v r a t r Úhlová dráha, úhlová rychlost a úhlové zrychlení jsou vektorové veličiny Vektory leží v ose rotace a jsou kolmé k rovině rotace Jejich směr je daný vektorovým součinem Jsou kolmé k příslušným obvodovým veličinám Platí: v x r, x r a t Poloměr r je kolmým průmětem polohového vektoru r do roviny rotace

22 Pro rovnoměrný a rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb můžeme použít známé vztahy: Rovnoměrný pohyb: s v t v s ω t Δs Δt s t s t Rovnoměrně zrychlený pohyb: s at t v t s v at t kde t s ω Δ Δt t t ω αt ω t ω t a t kde Δv Δt t s v v v t t, t Δω ω ω Δt t t a je tečné zrychlení působící změnu velikosti rychlosti Rovnoměrně zpomalený pohyb: s at t v t αt ω t v at t ω αt ω v

23 3 DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývá pouze popisem pohybu, si dynamika všímá důvodů a příčin pohybových změn působících sil 3 NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY A DRUHY SIL Příčiny pohybových změn studoval Sir Isaac Newton, který je popsal ve svém životním díle Matematické základy přírodních věd Závěry je možné shrnout do tří pohybových zákonů, které mají platnost ve všech oblastech fyziky, v mikrosvětě, v makrosvětě i v megasvětě Základní příčinou změny pohybu je působící síla F Jednotkou síly je newton F N Dosud jsme při řešení problémů neuvažovali význam hmotnosti pohybujících se těles V dynamice má naopak hmotnost nezastupitelný význam Každé těleso libovolného tvaru je charakterizováno veličinou, která se nazývá hmotnost m m kg Jednotkou hmotnosti je kilogram Ze zkušenosti víme, že čím má těleso větší hmotnost, tím je obtížnější změnit jeho pohybový stav Prázdný lehký vozík roztlačíme nebo naopak zastavíme snadno Stejný vozík, na kterém je naloženo 5 kg materiálu, uvedeme nebo zastavíme s určitými problémy Těleso má v závislosti na své hmotnosti menší, či větší, schopnost setrvávat ve svém původním stavu Říkáme, že hmotnost je mírou setrvačných vlastností tělesa Pohybový stav těles je určen kromě rychlosti i hmotností Veličina, která v sobě obě charakteristiky spojuje, se nazývá hybnost p Je definovaná vztahem - Jednotkou hybnosti je p kgms p mv 3

24 ZÁKON SETRVAČNOSTI Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není přinuceno vnějšími silami tento pohybový stav změnit V závislosti na rychlosti musí pro rovnoměrný přímočarý pohyb s konstantní rychlostí platit p mv konst Nemění se velikost ani směr rychlosti a hybnosti F N ZÁKON SÍLY Jestliže na těleso působí vnější síla, pak se jeho pohybový stav změní Těleso se pohybuje se zrychlením F ma Působením síly se změní rychlost, a tím i hybnost tělesa Změna se může projevit nejen změnou velikosti těchto veličin, ale i změnou směru příslušných veličin Trajektorie pohybu může změnit v závislosti na směru působící síly svůj tvar Platí F p mv v m ma t t t Síla ve směru rychlosti pohyb zrychlí Síla působící proti směru rychlosti pohyb zpomalí Síla působící pod určitým úhlem změní trajektorii pohybu V závislosti na velikosti síly rozlišujeme pohyb: a) F N, pak bude zrychlení - a ms pohyb je rovnoměrný - b) F konst N, pak je zrychlení a konst ms pohyb je rovnoměrně zrychlený (zpomalený) c) F konst, pak zrychlení a konst pohyb je nerovnoměrně zrychlený (zrychlený) ZÁKON AKCE A REAKCE Síly, kterými na sebe tělesa navzájem působí, jsou stejně veliké opačně orientované 4

25 Tyto síly se ve svých účincích neruší, protože každá z nich působí na jiné těleso Typickými silami akce a reakce jsou gravitační síly 3 DRUHY SIL SÍLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI Podle Newtonova zákonu síly platí F ma Aby se těleso pohybovalo se zrychlením, pak ve stejném směru musí působit příslušná síla Ve směru normálového (dostředivého) zrychlení Ve směru tangenciálního (tečného) zrychlení a působí normálová (dostředivá) síla F n n a působí tangenciální (tečná) síla t F t F n v m an m, r F t v mat m t Normálová síla působí kolmo ke směru pohybu a mění směr pohybu (mění trajektorii) Tangenciální síla působí ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje Obě síly jsou na sebe kolmé Složíme je jako vektorové veličiny F F t F n Velikost výsledné síly stanovíme výpočtem podle Pythagorovy věty Pak F t n F F SÍLA TÍHOVÁ Jednou ze sil, se kterými se setkáváme v běžném životě, je síla tíhová která působí v tíhovém poli Země na každé hmotné těleso F G nebo také G, 5

26 POZNÁMKA: Vznikne vektorovým složením síly gravitační F Země, a síly odstředivé kolmá k ose rotace F F F G g od v m r F od Velikost tíhové síly závisí na zeměpisné šířce g M R Z Z m, která je orientovaná do středu Síla odstředivá souvisí s otáčením Země kolem osy a je Ve směru příslušných sil jsou orientovaná zrychlení gravitační, odstředivé, kde m je hmotnost tělesa, M je hmotnost Země, R je poloměr Z Z - Země, r je vzdálenost tělesa od osy rotace, 6,67 Nm kg je gravitační konstanta Vektorovým složením gravitačního a odstředivého zrychlení a výpočtem podle kosinové věty dostaneme zrychlení tíhové g Pak tíhová síla je F G m g Je orientovaná těsně mimo zemský střed, její směr považujeme za svislý Způsobuje volný pád těles Všechna tělesa padají k Zemi v určitém místě se stejným tíhovým zrychlením g V našich - zeměpisných šířkách je g 9,8ms Reakce podložky na působení tíhové síly je stejně veliká, ale opačně orientovaná Jedná se o síly akce a reakce Působiště reakční síly je v místě kontaktu tělesa s podložkou 6

27 SÍLY TŘECÍ Třecí síly jsou důsledkem tření, které vzniká při pohybu tělesa po povrchu jiného tělesa Třecí síla F tř nebo také T působí proti směru pohybu tělesa Podle charakteru dotyku těles a jejich relativním pohybu hovoříme o smykovém tření nebo valivém tření Příčinou smykového tření je skutečnost, že styčné plochy dvou těles nejsou nikdy dokonale hladké, jejich nerovnosti do sebe zapadají a brání vzájemnému pohybu těles Přitom se uplatňuje i silové působení částic v dotykových plochách Tyto skutečnosti jsou charakterizovány koeficientem smykového tření v pohybu f (někdy také značíme ) Velikost třecí síly závisí na koeficientu smykového tření f a na síle kolmé k podložce normálové síle N Určíme ji podle vztahu F f N tř Pokud se těleso pohybuje po vodorovné rovině, pak je touto normálovou silou tíhová síla F Síla smykového tření je určena vztahem F f F G tř G U rovin, které nejsou vodorovné (viz nakloněná rovina), musíme kolmou sílu nejdříve určit Valivé tření je vyvoláno silou, která působí proti směru pohybu při pohybu valivém Jestliže budeme uvažovat oblý předmět, např kolo o poloměru r, můžeme stanovit sílu, kterou je nutné působit, aby se kolo pohybovalo rovnoměrným pohybem 7

28 Kolo tlačí na rovinu kolmou silou N Tím působí stlačení roviny Deformovaná rovina naopak působí stejně velkou silou opačně orientovanou na kolo ve vzdálenosti ξ před osou kola Síla N a její reakce N' tvoří dvojici sil s momentem M Nξ Aby se kolo otáčelo rovnoměrným pohybem, je nutné vyvolat stejně velký otáčivý moment ve směru pohybu M F r Síla F N překonávající valivé tření je určeno vztahem F třv r Tato síla je zároveň svou velikostí rovna síle valivého tření F třv; se nazývá koeficientem ξ m valivého tření, Koeficient valivého tření je mnohem menší než součinitel smykového tření: SÍLY ODPOROVÉ Při pohybu tělesa v prostředí, např ve vzduchu nebo v kapalině (tekutině), musí těleso překonávat odpor prostředí Při relativním pohybu tělesa a tekutiny dochází k přemisťování částic prostředí, uplatňují se třecí síly Tento jev se nazývá odpor prostředí Odporová síla vzniká při vzájemném pohybu a působí proti pohybu Je úměrná velikosti rychlosti tělesa vzhledem k prostředí F odp konst Konstanta odporu prostředí se obvykle značí R Pak v F Rv odp Při větších rychlostech je odporová síla úměrná druhé mocnině rychlosti Platí vztah F CS v odp odp, kde 8

29 C je součinitel odporu prostředí (závisí na tvaru tělesa), S odp je průřez tělesa kolmý ke směru pohybu, je hustota prostředí, v je relativní rychlost SÍLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNÉ ROVINĚ Budeme-li uvažovat libovolné těleso (např lyžaře) na nakloněné rovině s úhlem náklonu, bude se pohybovat smykovým pohybem vlivem vlastní tíhové síly F, která je orientovaná G svisle dolů Tíhovou sílu jako vektor rozložíme do dvou navzájem kolmých složek Jedna složka F je orientovaná ve směru pohybu, druhá F je kolmá ke směru pohybu, tzn, že je kolmá k nakloněné rovině Jejich velikosti určíme z pravoúhlého trojúhelníku s využitím funkcí sinus a cosinus takto: F FG sin α m g sin α, F FG cos α m g cos α Složka F ovlivňuje velikost třecí síly F tř f N f F Třecí síla je orientovaná proti pohybu a je rovna výrazu F f F cos f mg cos tř G 9

30 Síly F, Ftř jsou opačně orientované, jejich výslednice je rovna jejich rozdílu F F F mgsin f mg cos tř V případě, že F > F, zůstane těleso v klidu tř Jestliže F < F, pohybuje se těleso ve směru nakloněné roviny tř Výslednou sílu lze dále upravit na tvar F mg sin f cos Pokud je hmotnost tělesa, úhel nakloněné roviny a koeficient smykového tření konstantní, pak je konstantní i výsledná síla pohyb je rovnoměrně zrychlený s at vt s v at v POZNÁMKA: Pokud platí, že F tř F, je výslednice sil nulová Těleso se pohybuje rovnoměrně přímočaře f mg cos mgsin sin α f tg α cos α Tento jev nastane tehdy, když koeficient smykového tření je roven tg SÍLY SETRVAČNÉ Platnost Newtonových zákonů je omezena na inerciální vztažné soustavy Jsou to všechny soustavy, které se pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem Neinerciální vztažné soustavy jsou všechny soustavy, které se pohybují se zrychlením V těchto soustavách Newtonovy zákony neplatí Projevují se zde setrvačné síly Setrvačné síly jsou vždy orientované proti směru zrychlení soustavy Setkáváme se s nimi v běžném životě při změně rychlosti pohybu (rozjíždění, brždění) soustav Klasickým případem je např rozjíždějící se tramvaj Zatímco tramvaj se rozjíždí (brzdí) se zrychlením a, všechny objekty v tramvaji se pohybují směrem dozadu (dopředu) vlivem působení setrvačné síly m a, kde m je hmotnost tělesa, a je zrychlení soustavy Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působení vnější síly F s 3

31 Podobný případ nastane v rozjíždějícím se nebo brzdícím výtahu Při rozjezdu nahoru působí na osazenstvo kromě tíhové síly ještě síla setrvačná Celková síla, která působí na člověka, bude rovna součtu obou sil F F G F s Při rozjíždění výtahu směrem dolů je setrvačná síla orientovaná směrem vzhůru Výsledná síla, která působí na člověka, je rovna rozdílu F F G F s Setrvačné síly se projevují rovněž v soustavách, které se pohybují křivočarým pohybem Normálové (dostředivé) zrychlení mění směr rychlosti a je orientováno do středu křivosti Setrvačná síla je v tomto případě orientovaná opačným směrem od středu na spojnici tělesa se středem Typickým případem je pohyb po kružnici Představte si tento pohyb i ve vodorovné rovině Setrvačná síla má stejnou velikost jako síla normálová (dostředivá) Nazýváme ji silou odstředivou F ma s n v m r 3

32 POZNÁMKA: Nelze ji zaměňovat se silou odstředivou, která má působiště ve středu a jež je reakční silou na sílu dostředivou Pokud navíc ještě soustava zrychluje vlivem tangenciální (tečné) síly F, pak proti této síle je t orientovaná setrvačná tečná síla Celou situaci si můžeme představit při jízdě automobilem do zatáčky Automobil je neinercální vztažnou soustavou Na cestující působí setrvačná odstředivá síla a tlačí je ven z auta Šlápneme-li navíc na plynový pedál, automobil zrychlí a projeví se působení setrvačné tečné síly Výsledná setrvačná síla je rovna jejich vektorovému součtu a její velikost určíme podle vztahu F s F s s F SÍLY PRUŽNOSTI V předchozích oddílech byly uvažovány vnější síly, které měnily pohybový stav těles Tělesa byla dokonale tuhá a neměnila účinkem vnějších sil svůj tvar Ve skutečnosti se tělesa účinkem vnějších sil zároveň deformují V tělesech naopak vznikají síly, které deformaci brání Působením vnějších tahových sil dochází ke zvětšování vzdálenosti mezi jednotlivými částicemi tělesa Proto ve vzájemném působení částic převládají přitažlivé síly, které 3

33 nazýváme silami pružnosti můžeme je zapsat ve tvaru F p Jsou úměrné prodloužení nebo naopak zkrácení tělesa a F p k y, kde k je konstanta pružnosti materiálu, y je velikost prodloužení Vzniklé síly pružnosti brání vnějšímu silovému působení a jsou orientovány zpět do původní polohy (proto znaménko minus V libovolném řezu tělesa o ploše S vzniká při deformaci při působení vnější síly F stav napjatosti, který posuzujeme pomocí veličiny napětí Platí F S Jednotkou napětí je pascal =Pa=Nm - 33 IMPULS SÍLY, HYBNOST Impuls síly představuje časový účinek síly Jestliže na těleso o hmotnosti m působí vnější síla F, pak se její účinek projeví změnou pohybového stavu tělesa, tzn změnou rychlosti Zároveň se změní i hybnost tělesa, která je určena vztahem p mv p mv, v časovém okamžiku V časovém okamžiku t má těleso hybnost t má těleso hybnost p mv v p Uvažujeme-li pohybovou rovnici F ma m, pak po úpravě na tvar t t F t m v p vyplývá, že impuls síly je roven součinu síly a časového intervalu Platí Jednotkou impulsu síly je I =Ns I F t 33

34 Zároveň platí, že impuls síly je roven změně hybnosti I p p p 34

35 4 PRÁCE, VÝKON, ENERGIE 4 MECHANICKÁ PRÁCE Mechanická práce W je dráhový účinek síly Jednotkou práce je joule W J, podle anglického fyzika J F Joulea (88-889) Práce je skalární veličina Posune-li síla těleso po určité dráze, pak tato síla vykoná práci Tato síla může být konstantní nebo proměnná, může působit ve směru posunutí nebo pod určitým úhlem (ten se rovněž může měnit) Pokud síla působí pod úhlem α, vzhledem ke směru pohybu, pak ji rozložíme do dvou navzájem kolmých složek F, F Složka F posunuje těleso a tudíž vykonává práci Její velikost určíme pomocí goniometrické funkce kosinus F F cos Složka F je orientovaná vzhůru a těleso nadlehčuje, ovlivňuje třecí sílu Její velikost určíme vztahem F F sin V případě, že je síla F konst, pak platí Podle vztahu pro skalární součin dvou vektorů W F s F s cos a říkáme, že práce je skalárním součinem síly F a posunutí s a b abcos můžeme psát W F s, 35

36 4 VÝKON Výkon je časové zhodnocení vykonané práce P W Jednotka byla nazvaná na počest anglického vynálezce parního stroje Jamese Watta (736-89) Výkon je to skalární veličina Výkon značíme P, jednotkou výkonu je watt Rozlišujeme výkon a) průměrný sledujeme celkovou práci vykonanou za celkový čas W P t b) okamžitý určíme jako práci vykonanou v daném časovém okamžiku Protože W F s, pak můžeme okamžitý výkon vyjádřit jako skalární součin síly F a rychlosti v, kterou se v daném okamžiku působiště síly pohybuje F s P F v t 43 MECHANICKÁ ENERGIE Energie je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru schopnosti tělesa konat práci Jinak řečeno energie je všechno to, z čeho je možné získat práci nebo v co se práce přemění E J Energie je skalární veličina Jednotkou energie je joule KINETICKÁ ENERGIE Kinetická energie E pohybujícího se tělesa se rovná práci, která je potřebná k jeho uvedení k z klidu do pohybového stavu s rychlostí v Pokud se těleso pohybovalo rychlostí v a pod vlivem působící síly se rychlost změnila na hodnotu v, pak je tato práce rovna právě změně kinetické energie E tělesa k 36

37 Uvažujme sílu působící ve směru pohybu, pak cos cos Vzhledem k tomu, že hmotnost m je konstantní, pak po integraci je W mv mv Ek E k E k Kinetickou energii E k tělesa o hmotnosti m, které se pohybuje rychlostí v, určíme podle vztahu E mv k Se zvětšující se rychlostí tělesa kinetická energie roste, při poklesu rychlosti kinetická energie klesá POTENCIÁLNÍ ENERGIE Potenciální energie závisí na vzájemné poloze dvou těles a na druhu síly, která jejich polohu ovlivňuje Podle toho rozeznáváme potenciální energii a) tíhovou ( F ), G b) gravitační ( F ), g c) elektrostatická ( F ), e d) pružnosti ( F ) p Jestliže zvedáme těleso o hmotnosti m z výšky h do výšky h silou o velikosti tíhové síly F m g, ale opačně orientovanou, vykonáme nad povrchem Země práci G 37

38 Protože je síla orientovaná ve směru pohybu, pak cos cos Potom platí Protože síla je konstantní, vytkneme ji před integrál a po integraci dostaneme mg s mg h h mg h mg h E E ΔE p p p W Potenciální energii tíhovou E p tělesa hmotnosti m ve výšce h nad povrchem Země vyjádříme podle vztahu E m g h p Jestliže těleso stoupá, potenciální energie tíhová roste Pokud těleso klesá, potenciální energie tíhová se zmenšuje Přírůstek kinetické energie se rovná úbytku energie potenciální E E k p E E, k p E k E p Součet kinetické energie a potenciální je konstantní E E k E p konst Tento zápis vyjadřuje zákon zachování energie Platí v neodporujícím prostředí V odporujícím prostředí se část mechanické energie přeměňuje vlivem tření v energii tepelnou 38

39 5 DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA Reálná tělesa pevného skupenství jsou uspořádané soubory částic (atomů, molekul, iontů), které jsou vázány působením vnitřních sil Vnitřní síly nemají vliv na pohybový stav tělesa Změnu pohybového stavu mohou způsobit pouze síly vnější Tyto síly však mohou navíc způsobit deformaci tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar a objem se nemění účinkem vnějších sil Zavádíme ho jako abstraktní pojem, který zjednoduší řešený problém Zavedení pojmu tuhé těleso má význam u těch problémů, kdy na řešení úlohy má vliv tvar tělesa a rozložení hmoty v tělese Tento vliv se projevuje především u rotačních pohybů 5 TRANSLAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA Při translačním pohybu se těleso posunuje po podložce přímočaře Pro všechny body tělesa v daném okamžiku platí: pohybují se stejnou rychlostí v, na všechny působí stejná síla F, během určitého časového intervalu urazí stejnou dráhu s (tvar trajektorie je stejný) 5 ROTAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA Při rotačním pohybu se těleso otáčí kolem osy, která může být umístěná libovolně (i mimo těleso) Všechny body opisují kružnice se středy v ose otáčení, jejichž roviny jsou kolmé k ose otáčení Pro jejich pohyb dále platí: pohybují se stejnou frekvencí f, pohybují se stejnou úhlovou rychlostí ω f, pohybují se různou obvodovou rychlostí v ωr f r, protože ta závisí na vzdálenosti libovolného bodu tělesa od osy otáčení, trajektorie pohybu (kružnice) bodů ležících v různé vzdálenosti od osy otáčení se liší, na body v různé vzdálenosti od osy otáčení působí jiná odstředivá síla v ω r F od m m m ω r 4 f m r r r 39

40 Těleso je tak napínáno odstředivými silami Při vysoké frekvenci otáčení může dojít k narušení reálného tělesa a jeho destrukci 53 TĚŽIŠTĚ, HMOTNÝ STŘED Pojmy těžiště i hmotného středu mají stejný význam Je to bod, do kterého je umístěna výslednice všech sil, které na těleso působí Pokud na objekt působí pouze tíhová síla F G, pak to je působiště tíhové síly Označení hmotný střed používáme u soustavy izolovaných bodů, které jsou v určitém vzájemném vztahu (např ionty v modelu krystalu soli NaCl) Souřadnice hmotného středu x s, y s, z s určíme pomocí vztahů y x s z s s n m x i i m x mx mnxn i, m m mn m i i m y m y mn yn i, m m mn m n n m m z i i m z mz mnzn i, m m mn m y kde m i hmotnost i-tého bodu (segmentu); x i, y i souřadnice i-tého bodu; m + m + +m n = m Při řešení souřadnic hmotného středu je vhodné umístit objekt do soustavy souřadných os tak, aby bylo jednoduché určit souřadnice jednotlivých bodů (segmentů) Označení těžiště používáme u spojitého kontinua (tělesa), které je tvořeno mnoha body V tomto případě řešíme součet pomocí integrace V praxi jsou pojmy hmotného středu a těžiště ztotožňovány 4

41 54 MOMENT SETRVAČNOSTI Moment setrvačnosti charakterizuje těleso při rotačním pohybu Závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení Značíme J, jednotkou momentu setrvačnosti je J = kgm Moment setrvačnosti je skalární veličina POZNÁMKA: Má stejný význam jako hmotnost tělesa m při posuvném pohybu Jestliže si představíme prázdný dobře namazaný vozík, pak ho roztlačíme a zastavíme snadno Kdybychom naopak měli na vozíku kg materiálu, bude obtížné uvést ho do pohybu a naopak Podobný pokus si můžeme představit při roztáčení a brzdění polystyrénového nebo železobetonového válce Tušíme, že u železobetonového válce stejných rozměrů bude změna pohybu nesnadná Budeme uvažovat těleso hmotnosti m otáčející se kolem osy, která leží ve vzdálenosti r od těžiště Jestliže nastane takový případ, že rozměry tělesa lze vzhledem ke vzdálenosti r zanedbat (hmotný bod), pak moment setrvačnosti bude J m r Ze zápisu vyplývá, že moment setrvačnosti bude tím větší, čím dále bude hmota od osy otáčení Takto můžeme řešit moment setrvačnosti Země při jejím pohybu kolem Slunce Rozměry Země vzhledem ke vzdálenosti od Slunce je možné zanedbat V případě většího počtu navzájem izolovaných bodů bude moment setrvačnosti soustavy roven součtu momentů setrvačností jednotlivých bodů 4

42 J J J J 3 J n m r m r 3 3 m r m nrn n i J i Př Určete moment setrvačnosti Sluneční soustavy Řešení: vypočtěte jejich momenty setrvačnosti a ty následně sečtěte lunce Pak Takto je možné řešit moment setrvačnosti v případě izolovaných bodů (rozměry těles jsou vzhledem ke vzdálenostem zanedbatelné) U tělesa (spojitého kontinua) s nekonečným počtem částic nahradíme prostý součet momentů setrvačností integrací U pravidelných těles je možné výpočet stanovit snadno Momenty setrvačnosti J některých T pravidelných objektů hmotnosti m vzhledem k ose procházející těžištěm jsou uvedeny v tabulkách Např: válec J mr T koule J mr T 5 obruč J mr T tyč J ml T kde r je poloměr válce, m je hmotnost válce kde r je poloměr koule, m je hmotnost koule kde r je poloměr obruče, m je hmotnost obruče kde l je délka tyče, m je hmotnost tyče 4

43 GYRAČNÍ POLOMĚR V některých případech v praxi je při výpočtech vhodné použít veličinu gyrační poloměr Gyrační poloměr je taková vzdálenost od osy otáčení, do které bychom museli umístit všechnu hmotnost m tělesa, aby se moment setrvačnosti nezměnil J m R Pak J R m STEINEROVA VĚTA Steinerova věta slouží k výpočtu momentů setrvačností těles, která se otáčejí kolem osy neprocházející těžištěm J J md T, kde J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející těžištěm, T m je hmotnost tělesa, d je vzdálenost těžiště od okamžité osy 55 MOMENT SÍLY Při otáčivém pohybu závisí otáčivý účinek síly působící na těleso na velikosti a směru síly, na vzdálenosti síly od osy otáčení (na umístění působiště síly) Všechny tyto faktory v sobě spojuje veličina moment síly M Moment síly M je mírou otáčivého účinku síly F působící na těleso otáčivé kolem pevného bodu Působiště síly je ve vzdálenosti r od osy otáčení Tuto vzdálenost nazýváme rameno síly Rameno síly je vektorová veličina r Úhel je úhel, který svírá síla s ramenem síly Působící sílu rozložíme na dvě složky o velikostech: F F cos, F F sin 43

44 Z obrázku je zřejmé, že otáčivý účinek má složka F, která je kolmá k rameni síly r Je to složka tangenciální (tečná) Je tečnou ke kružnici, po které se otáčí koncový bod polohového vektoru Vektorová přímka složky F prochází osou otáčení a na otáčení tělesa nemá vliv Je to složka normálová (kolmá) Velikost momentu síly určíme pomocí tangenciální složky pomocí vztahu Po dosazení je Jednotkou momentu síly je M = Nm M r F sin M F r POZNÁMKA: Protože r, F jsou velikosti příslušných vektorů, můžeme v souladu s pravidly vektorové algebry c ab sin c a b tento vztah zapsat jako vektorový součin vektorů r a F Pak platí M r F Výsledný vektor M je kolmý k vektoru r i k vektoru F POZNÁMKA: Při vektorovém součinu vektorů je důležité dodržovat pořadí vektorů Při jejich záměně získáme vektor opačný Kladný smysl vektoru M určíme podle pravidla pro vektorový součin: Šroubujeme-li do roviny obou vektorů r a F pravotočivý šroub tak, jak síla otáčí kolem bodu O ramenem, postupuje šroub v kladném směru vektoru momentu síly Souřadnice výsledného vektoru M určíme pomocí determinantu 44

45 Př Určete vektor momentu síly M, který je zadán jako vektorový součin M r F Polohový vektor r i j 3k, vektor síly F i 3 j k Řešení: i j k M 3 i 6k 3 j k 9i 4 j 9 i 3 4 j 6 k 3 Pak M 7i 7 j 7k Moment síly při rotačním pohybu má stejný význam jako síla při translačním pohybu Způsobuje změnu pohybového stavu tělesa M Nm těleso je v klidu nebo rovnoměrném otáčivém pohybu, M konst těleso je v rovnoměrně zrychleném (zpomaleném) otáčivém pohybu, 3 M konst těleso je v nerovnoměrně zrychleném (zpomaleném) otáčivém pohybu Předchozí zápis je shodný s II Newtonovým pohybovým zákonem síly, který popisuje pohyb translační Na těleso může současně působit více sil s otáčivým účinkem Výslednice jejich momentů je rovna vektorovému součtu jednotlivých momentů sil M n M M M 3 M n M i i 56 MOMENT HYBNOSTI Moment hybnosti b je vektorová veličina Charakterizuje pohybový stav tělesa při rotačním pohybu, podobně jako hybnost charakterizuje pohybový stav tělesa při translačním pohybu Souvisí s momentem setrvačnosti J a úhlovou rychlostí vztahem b J Jednotkou momentu hybnosti je b = kgm rads - Jestliže dojde ke změně úhlové rychlosti, změní se zároveň i moment hybnosti Vektor momentu hybnosti b je orientovaný stejným směrem jako vektor momentu síly M Podobně jako u translačního pohybu (zákon zachování hybnosti) můžeme vyslovit pro rotační pohyb zákon zachování momentu hybnosti Jestliže na těleso otáčivé kolem osy nepůsobí vnější síla (izolovaná soustava), nebo jestliže je výsledný otáčivý moment vnějších sil roven nule, je moment hybnosti co do velikosti i směru konstantní 45

46 57 POHYBOVÁ ROVNICE ROTAČNÍHO POHYBU Pohybová rovnice rotačního pohybu je analogická pohybové rovnici translačního pohybu F Δv Δ p m a m Δt Δt Pro rotační pohyb zapíšeme pohybovou rovnici ve tvaru: b M J J t t Slovně můžeme tento zápis vyjádřit takto: Jestliže na těleso s momentem setrvačnosti J působí moment síly M, pak se těleso otáčí s úhlovým zrychlením Tzn, že se změní úhlová rychlost, a tím i moment hybnosti b Př Válec o momentu setrvačnosti kgm se otáčí s frekvencí 6 Hz Určete dobu, za kterou se válec rovnoměrně zpomaleně zastaví vlivem třecího momentu síly 8 Nm Řešení: Protože se jedná o rovnoměrně zpomalený pohyb, pak je počáteční úhlová rychlost - ω π f π 6 rads Konečná úhlová rychlost je při zastavení tělesa - rads Z rovnice pro úhlovou rychlost vyjádříme zrychlení t t t Po dosazení do pohybové rovnice dostaneme M J Z této rovnice vyjádříme čas t ω ω Pak t J 3s M 8 58 PRÁCE, VÝKON, KINETICKÁ ENERGIE PŘI ROTAČNÍM POHYBU PRÁCE MOMENTU SÍLY V případě, že tangenciální složka síly F (označili jsme F ) svým působením na otáčivé těleso změní polohový vektor o hodnotu r, vykoná práci Jednotkou práce momentu síly je joule W M 46

47 VÝKON MOMENTU SÍLY Výkon při rotačním pohybu představuje stejně jako při posuvném pohybu časové zhodnocení práce W Platí P, tedy po dosazení za práci momentu síly dostáváme t M P M t Jednotkou výkonu momentu síly je watt KINETICKÁ ENERGIE ROTAČNÍHO POHYBU Těleso o momentu setrvačnosti J je uvedené do rotačního pohybu Momentem síly M se pohybuje s úhlovou rychlostí Moment síly M přitom vykoná práci W Množství vykonané práce se projeví změnou kinetické energie Souvislost mezi prací W a změnou kinetické energie vyjádřit vztahem: Ek při rotačním pohybu můžeme W E k E k E k Odvozením získáme vztah pro kinetickou energii rotačního pohybu Jednotkou je joule W J Př: Určete kinetickou energii valícího se válce o hmotnosti 4 kg a poloměru,5 m Válec se valí rychlostí ms - Řešení: Moment setrvačnosti válce vzhledem k ose procházející těžištěm je J mr 47

48 Válec v příkladu se neotáčí kolem osy v těžišti, ale kolem okamžité osy, která leží na styku válce s podložkou Moment setrvačnosti pak určíme podle Steinerovy věty Vzdálenost osy otáčení od těžiště je rovna poloměru r 3 J J md mr mr mr T Kinetickou energii určíme podle vztahu Po dosazení dostaneme E 3 k 4,5,75J 4 E k J ω m r ω m r ω m v 4 4 Srovnání vztahů popisujících translační a rotační pohyb Translační pohyb Rotační pohyb dráha s rovnoměrný pohyb: úhlová dráha s vt s rovnoměrný pohyb: t rovnoměrně zrychlený: s at v t s rovnoměrně zrychlený: t t rychlost rovnoměrný pohyb: v= konst úhlová rychlost rovnoměrný pohyb: konst rovnoměrně zrychlený: v at v rovnoměrně zrychlený: t v zrychlení a úhlové zrychlení t t hmotnost m moment setrvačnosti J síla F ma moment síly M J hybnost p mv moment hybnosti b J práce W F s práce W M kinetická energie translační E mv kinetická energie rotační Ek J k výkon W W P výkon P t t 48

49 6 HYDROSTATIKA Hydrostatika zkoumá a popisuje zákonitosti kapalin ve stavu klidu Kapalina má stálý objem, ale nemá stálý tvar Zaujímá takový tvar jako je tvar nádoby, ve které je umístěná Je velmi málo stlačitelná (ideální kapalina je nestlačitelná), dokonale pružná, nerozpínavá Velmi malé stlačitelnosti kapalin se využívá v praxi S rostoucí teplotou mění objem K popisu mechanických dějů v kapalině (hydromechanice) se užívají veličiny, které jednoznačně určují v daném místě její stav tlak p v daném místě je představován normálovou tlakovou sílou působící na jednotku F plochy umístěnou v uvažovaném místě p Jednotkou tlaku je pascal (Pa) S hustota kapaliny (měrná hmotnost) je hmotnost jednotkového objemu kapaliny m Pro homogenní kapalinu můžeme psát Jednotkou je kgm -3 V rychlost v s kapaliny v jejím daném místě je v, kde s je element dráhy a t t je doba pohybu částice po tomto elementu Jednotkou je ms - 6 POVRCH KAPALINY Hladina kapaliny zaujme vždy takovou polohu (tvar), že je kolmá k výslednici sil, které na kapalinu působí Pokud je nádoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, působí na každou molekulu pouze tíhová síla F G m g směrem svislým Kapalina má tedy vodorovný povrch Povrch kapaliny v klidu Při zrychleném pohybu nádoby působí na každou molekulu kapaliny kromě tíhové síly ještě síla setrvačná F s ma, která má opačný směr než je zrychlení a nádoby Hladina je kolmá k výslednici F Úhel odklonu hladiny od horizontály je roven úhlu, který svírá tíhová síla F s výslednicí F G 49

50 Povrch kapaliny při zrychleném pohybu Určíme ho pomocí funkce Fs ma a tan F m g g G 3 Při rotačním pohybu nádoby kolem vlastní osy působí na každou molekulu kromě v r tíhové síly ještě síla setrvačná odstředivá F od m m m r, kde v je r r rychlost otáčení, r je poloměr otáčení a je úhlová rychlost Kapalina reaguje na tento pohyb tak, že se její povrch zakřiví Povrch kapaliny v rotující nádobě Povrch kapaliny v rotující nádobě bude mít tvar paraboloidu 6 PASCALŮV ZÁKON Pascalův zákon charakterizuje vliv působení vnější síly na kapalinu Působí-li na kapalinu vnější síla, vyvolá v kapalině tlak, který je v každém bodě stejný a šíří se všech směrech rovnoměrně 5