Analytické myšlení TSP MU výroková logika II.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Analytické myšlení TSP MU výroková logika II."

Transkript

1 Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol, obce a ekologických sdružení. Reg. číslo CZ.1.07/1.1.00/

2 Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část druhá V předchozí část materiálu o výrokové logice jsme se naučili stanovit pravdivostní hodnotu daného složeného výroku v závislosti na pravdivosti elementárních výroků, z nichž je sestaven, resp. zkonstruovat tabulku pravdivostních hodnot (která systematicky ukazuje, jaké jsou pravdivostní hodnoty daného složeného výroku ve všech různých situacích daných různými kombinacemi pravdivostních hodnot zmíněných elementárních výroků). Zavedli jsme pojem ekvivalence dvou výroků a naučili jsme se zjišťovat, zda dané dva výroky jsou či nejsou ekvivalentní. Ukázali jsme si též několik pravidel, která nám umožňují zkonstruovat k danému složenému výroku, který obsahuje implikaci či disjunkci jako hlavní spojku, výrok ekvivalentní, aniž by bylo nutné připravovat tabulky pravdivostních hodnot. V této části si definujeme, co znamená, že daný (složený) výrok je negací jiného a dále zavedeme pojem vyplývání ve výrokové logice. Naučíme se, jak zjistit, zda daný výrok vyplývá z dané množiny jiných složených výroků a také se naučíme, jak postupovat v úlohách tohoto typu co možná nejjednodušeji. Negování složeného výroku V TSP MU se stále v analytickém myšlení setkáváme s úlohami typu: Který z uvedených výroků je negací (popřením) výroku daného? V této kapitole si ukážeme dva způsoby, jak se dají úlohy tohoto typu řešit. Pojem negace výroku Definice: Výroky α a β jsou vzájemnými negacemi, případně že výrok α je negací výroku β, právě když se na každém řádku tabulky pravdivostních hodnot jejich pravdivostní hodnoty liší. Komentář: zhruba řečeno, ekvivalence dvou výroků znamená, že mají stejné pravdivostní hodnoty, negace znamená, že mají (ve všech řádcích) pravdivostní hodnoty opačné. Definice nám poskytuje i první návod, jak zjistit, zda daný výrok je negací jiného výroku. Cvičení Určete (na základě tabulek pravdivostních hodnot), které z následujících výroků jsou vzájemnými negacemi? a) Jestliže přijde Adam, pak Blanka nepřijde. b) Adam přijde a Blanka také přijde. c) Jestliže Adam nepřijde, pak přijde Blanka. d) Přijde Adam nebo přijde Blanka e) Adam ani Blanka nepřijdou. (= Adam nepřijde a Blanka nepřijde.) Řešení Písmenem A označíme výrok Přijede Adam., písmenem B výrok Přijede Blanka. Výroky a) až e) pak mají podobu: a) A B b) A B

3 c) A B d) A B e) A B Nyní vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot těchto (složených) výroků (rozepište si případně podrobněji, jak jsme získali hodnoty ve sloupečcích příslušejících těmto složeným výrokům): A B a) A B b) A B c) A B d) A B e) A B I II III IV Okamžitě vidíme, že výroky a) a b) jsou vzájemnými negacemi (čili že výrok a) je negací výroku b) a zároveň samozřejmě jaké výrok b) je negací výroku a)), dále vidíme, že negací výroku c) je výrok e), stejně tak, jako v případě výroku d), který má negaci také e) totéž z druhé strany : negací výroku e) je výrok c) či výrok d). Je tedy zřejmé, že k danému výroku nemusí být negace určená jednoznačně. To však neznamená, že by byla libovolná pouze to znamená, že všechny negace daného výroku jsou navzájem ekvivalentní (promyslete si to!). Máme-li v testu úlohu typu Který z následujících výroků je ekvivalentní výroku X a možnosti a) až e), lze postupovat tak, že: 1. Určíme jednotlivé elementární výroky, které se vyskytují ve výroku v zadání a v nabídnutých možnostech. 2. Vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot pro výrok ze zadání a výroky v nabídnutých možnostech. 3. Nalezneme ten výrok, který má přesně opačný sloupec v tabulce pravdivostních hodnot než výroku v zadání. Pravidla pro vytváření negací některých typických složených výroků Podobně jako v případě určování, který výrok je ekvivalentní výroku danému, není zapotřebí ve všech případech vytvářet tabulky pravdivostních hodnot, což může být někdy náročné na čas, ale lze použít několika pravidel pro negování složených výroků. Podíváme se nyní na jednotlivé logické spojky a ukážeme si, jak lze vytvořit negaci bez pomoci tabulky pravdivostních hodnot. Je dobré si uvědomit, co vlastně děláme, pokud vytváříme negaci výroku danému: hledáme takový výrok, který platí právě v těch (všech) situacích, kdy neplatí výrok daný a naopak. Negování výroku ve tvaru konjunkce Znegovat konjunkci znamená znegovat oba její členy a spojit je pomocí spojky disjunkce. Symbolicky: negací výroku A B je výrok A B. Je to přirozené, neboť tvrdím-li výrok v podobě konjunkce, říkám, že platí obě dvě jeho

4 části. Pokud bych chtěl toto tvrzení popřít, musel bych říci, že aspoň jeden z výroků A, B neplatí, tj. negace A nebo negace B platí. Čili platí disjunkce A B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo, že umí anglicky a umí německy, tak při lži ho přistihneme ve třech případech: v případě, že dotyčný neumí anglicky, ale umí německy, dále v případě, že umí anglicky, ale neumí německy, a do třetice v případě, že neumí ani jeden z těchto jazyků. Jinými slovy, aspoň jeden (možná oba jsme v nevylučovacím případě), z výroků umí anglicky, umí německy neplatí. Platí tedy aspoň jeden z výroků neumí anglicky, neumí německy, což je právě inkriminovaná disjunkce: neumí anglicky nebo neumí německy. Poznámka: pokud bychom měli znegovat podle tohoto pravidla výrok např. A B, pak výsledkem by byl výrok A B. Nicméně víme, že dvojitá negace čehokoliv je totéž, jako výrok samotný, a proto bychom spíše psali A B. (Kdybychom chtěli být extrakorektní, doplnili bychom, že výroky A B a A B jsou ekvivalentní). Podobným způsobem budeme postupovat v případě dalších spojek. Negování výroku ve tvaru disjunkce Znegovat disjunkci znamená znegovat oba její členy a spojit je pomocí spojky konjunkce. Symbolicky: negací výroku A B je výrok A B. Opět je to přirozené, neboť tvrdím-li výrok v podobě disjunkce, říkám, že platí aspoň jedna z jeho částí. Pokud bych chtěl toto tvrzení popřít, musel bych říci, že oba dva z výroků A, B neplatí, čili platí současně negace výroků A, B. Čili platí konjunkce A B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo, že umí anglicky nebo umí německy, tak při lži ho přistihneme pouze v případě, že by neuměl ani jeden z těchto jazyků, tj. neuměl anglicky a zároveň neuměl německy. Negování výroku ve tvaru implikace Znegovat implikaci znamená první člen nechat v původní podobě, druhý člen znegovat a spojit je oba spojkou konjunkce. Symbolicky: negací výroku A B je výrok A B. Zde možná není na první pohled úplně jasně vidět, proč tomu tak je, ale pokusíme se to osvětlit: implikace jestliže A, pak B říká, co se má stát, pokud je výrok/podmínka A splněn(a) má nastat B. Chceme-li toto tvrzení popřít, musíme zachytit situaci, kdy výrok A je splněn, ale výrok B nikoliv. To je ovšem přesně situace, kdy platí konjunkce výroku A a negace výroku B. Konkrétní ukázka: tvrdí-li někdo: Jestliže umím česky, pak umím také slovensky. a my bychom ho chtěl usvědčit ze lži, museli bychom tvrdit, že dotyčný (sice) umí česky, ale slovensky neumí. Negování výroku ve tvaru ekvivalence Znegovat ekvivalenci znamená jeden ze členů ekvivalence znegovat a zbytek nechat. Symbolicky: negací výroku A B je výrok A B či výrok A B (ověřte v tabulce, že jsou ekvivalentní). Vzhledem k tomu, že úlohy na určování negací výroků ve tvaru ekvivalence se v TSP MU prakticky nevyskytují, nebudeme jim věnovat takovou pozornost pravidlo pro negování ekvivalence jsme uvedli spíše pro úplnost.

5 Cvičení Pomocí výše zmíněných pravidel pro negování znegujte následující výroky (bez použití tabulky pravdivostních hodnot): a) Jestliže mrzne, pak je kluzko. b) Jestliže je teplo, jdeme se koupat nebo jdeme na zmrzlinu. c) Koupil košťátko, ale nekoupil lopatku. d) Objednáme si myčku nebo si pořídíme služebnou. e) Jestliže nemám svetr, pak mám rolák. f) Není chytrý nebo není bohatý. Řešení a) výrok má podobu implikace, první člen (mrzne) tedy necháme a druhou člen (je kluzko) znegujeme a obě tyto části spojíme pomocí konjunkce dostáváme tak jako výsledek výrok: Mrzne, a není kluzko. (což je totéž, co Mrzne, ale není kluzko.) b) výrok má podobu implikace, jejíž druhý člen je ovšem opět složený výrok (který má podobu disjunkce). Budeme postupovat analogicky: první člen (je teplo) necháme a druhý člen (jdeme se koupat nebo jdeme na zmrzlinu) znegujeme musíme tedy znegovat disjunkci, která se neguje tak, že obě části znegujeme a spojíme je konjunkcí. Výsledek má tedy tvar: Je teplo, a nejdeme se koupat a nejdeme na zmrzlinu. c) výrok má podobu konjunkce (spojka ale zde funguje jako spojka a), obě dvě části tedy znegujeme a dáme mezi ně disjunkci. Výsledek je: Nekoupil košťátko nebo koupil lopatku. d) výrok má podobu disjunkce, tedy podle pravidel obě části znegujeme a spojíme konjunkcí: výsledek je tedy: Neobjednáme si myčku a nepořídíme si služebnou. e) výrok má podobu implikace, proto při negování první člen necháme a druhý znegujeme a oba spojíme konjunkcí. Výsledek je: Nemám svetr a nemám rolák. f) výrok má podobu disjunkce, proto při negování znegujeme oba členy a spojíme je konjunkcí. Výsledek je: Je chytrý a je bohatý. Shrnutí kapitoly o negování složeného výroku Úlohy na negování složeného výroku patří k úlohám, které se v TSP MU vyskytují relativně často. K jejich řešení máme nyní k dispozici dvě metody. První, tabulkovou, která vždy vede k cíli, někdy však může být poněkud zdlouhavá. Druhý způsob se opírá o sadu pravidel, jak znegovat výroky mající konkrétní tvar. Tento způsob je rychlejší uchazeč, který má tuto látku procvičenou, vyřeší takového úlohy v řádu několika málo desítek sekund. Pozn. Může se stát, že po aplikaci našich pravidel pro negování získáme výrok, který mezi nabídnutými možnostmi není. To znamená, že mezi nabídnutými možnostmi musíme hledat takový výrok, který je námi vytvořené negaci ekvivalentní (což opět můžeme dělat pomocí tabulky nebo pravidel). Tato situace však není v testech příliš obvyklá, je však dobré si ji promyslet. Který z následujících výroků je negací (popřením) výroku daného a) Neprší a nevysvitlo sluníčko b) Prší a nevysvitlo sluníčko. Neprší a vysvitlo sluníčko.

6 c) Jestliže neprší, pak nevysvitlo sluníčko. d) Jestliže prší, pak nevysvitlo sluníčko. e) Prší nebo vysvitlo sluníčko. Pokud bychom aplikovali naše pravidla, dospěli bychom ke větě: Prší nebo nevysvitlo sluníčko. Tu v nabídnutých možnostech ovšem nemáme. Čili budeme hledat takovou možnost, která obsahuje výrok ekvivalentní tomuto našemu. Ekvivalentní výrok k disjunkci dostaneme třeba tak (viz první díl našeho textu), že první člen znegujeme a implikací připojíme druhý člen původní disjunkce (beze změn). Tím dostaneme výrok Jestliže neprší, pak nevysvitlo sluníčko., který už v nabídnutých možnostech je. Správnou odpovědí je tedy c). V rámci procvičování doporučujeme, abyste si zkusili vyřešit tuto úlohu pomocí tabulek. Vyplývání/odvozování ve výrokové logice Posledním typem úloh, jimiž se v tomto textu budeme zabývat, jsou úlohy založené na pojmu vyplývání ve výrokové logice. Naučíme se tedy řešit úlohy, jejichž otázka zpravidla zní: který z následujících výroků vyplývá (je logicky korektní jej odvodit) z výroků daných? Jako v předchozích případech si ukážeme dva postupy: pomocí tabulek pravdivostních hodnot a druhý, pomocí pravidel. Nejprve si ale pojem vyplývání definujeme: Definice: Řekneme, že výrok Z vyplývá z výroků P a Q, když platí, že výrok Z je pravdivý ve všech situacích, kdy jsou současně pravdivé výroky P a Q. Definice jinými slovy říká, že se nestane, že by v nějaké situaci byly pravdivé výroky P a Q, ale výrok Z neplatil. (Výrokům P a Q se v tomto kontextu často říká předpoklady a výroku Z závěr i my se tohoto úzu budeme držet.). Řečeno ještě jinak: kdykoliv platí předpoklady, pak platí i závěr. Na to můžeme v jistém smyslu nahlížet jako na jev, kdy platnost předpokladů již vynucuje platnost závěru. Tabulková metoda řešení úloh na vyplývání ve výrokové logice Podobně jako v předchozích typech úloh nám poskytuje definice návod, jak postupovat v úlohách tohoto typu. Postup se dá shrnout do těchto čtyř bodů: 1. Určíme elementární výroky ve výrocích v zadání (tj. předpokladech) a v nabídnutých odpovědích (tj. možných závěrech). 2. Vytvoříme tabulku pravdivostních hodnot pro předpoklady a pro možné závěry. 3. Vyškrtneme všechny řádky tabulky, kromě těch, v nichž jsou OBA předpoklady pravdivé. 4. Určíme ten výrok z možných závěrů, který má na všech nevyškrtnutých řádcích tabulky samé jedničky. Stojí za to se zamyslet, že tímto postupem opravdu odhalíme výrok, který z dané sady výroků vyplývá. V bodě 3. vyškrtáváme všechny řádky tabulky kromě těch, které mají u obou předpokladů jedničky. Je jasné, že to, co nám v tabulce zbude, tj. to, co jsme neproškrtli, jsou právě ty řádky (=situace), ve kterých jsou pravdivé naráz oba výroky P a Q. Pokud některý z možných závěrů má na těchto řádcích (pouze) jedničky, znamená to, že je pravdivý ve všech situacích, kdy jsou pravdivé výroky P a Q. A to je přesně to, o čem se hovoří v definici

7 vyplývání. Předveďme si tento postup na konkrétním příkladě: Příklad Určete, který z následujících výroků vyplývá (je logicky korektní ho odvodit) z výroků daných: Netvoří se náledí nebo je kluzko. (předp. 1) Jestliže mrzne, pak se tvoří náledí. (předp. 2) a) Jestliže se netvoří náledí, pak není kluzko. b) Jestliže nemrzne, pak není kluzko. c) Jestliže není kluzko, pak nemrzne. d) Mrzne nebo není kluzko. e) Mrzne a je kluzko. Řešení Prohlédnutím úlohy zjistíme, že v úloze figurují tyto tři elementární výroky: Tvoří se náledí. (označme si ho N) Je kluzko. (ozn. K) Mrzne (ozn. M) Tím jsme splnili bod 1. Nyní si uděláme tabulku pravdivostních hodnot (bod 2.). Vzhledem k tomu, že máme trojici elementárních výroků, budeme potřebovat tabulku s osmi řádky (plus záhlaví). Vyplněná tabulka tedy vypadá následovně: N K M Předp. 1 Ν K Předp. 2 M N a) Ν Κ b) Μ Κ c) K M d) M Κ e) M K

8 Zdroje [1] Testy studijních předpokladů a logika. Sylvie Kouřilová, Erik Caha, Pavel Caha. Fregment, [2] PDF soubory TSP MU použité v předchozích letech. Dostupné na (verze z ) [3] Statistické údaje o TSP. Dostupné na (verze z ) Na tuto elektronickou publikaci navazují další učební materiály vystavené na webu: Kolektiv autorů, vydáno , vydavatel Gymnázium Globe, s.r.o.

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první PRACOVNÍ VERZE TEXTU, KTERÁ BUDE DÁLE UPRAVOVÁNA TEXT SLOUŽÍ PRO POTŘEBY ÚČASTNÍKŮ EMAILOVÉHO SEMINÁŘE RESENI-TSP.CZ

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 1401 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 010402 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků. Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE!

NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE! NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE! část 2. RNDr. Ilja Kraval, září 2009 http://www.objects.cz ÚVOD V předešlém článku jsme otevřeli jeden ze základních problémů, který musí analytik řešit: Jak vypadá skladba

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07

Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07 Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07 var. 07, úloha č. 51 Úloha č. 51 Víme, že polovina trasy z A do B měří na

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Příklad 1. Z uvedených možností vyberte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Koupím byt nebo nové auto.

Příklad 1. Z uvedených možností vyberte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Koupím byt nebo nové auto. Příklad 1. Z uvedených možností vyberte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Koupím byt nebo nové auto. A: Koupím-li byt, nekoupím nové auto. B: Koupím byt nebo nekoupím nové auto.

Více

Primární a sekundární výskyt označující fráze. Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5.

Primární a sekundární výskyt označující fráze. Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5. Primární a sekundární výskyt označující fráze Martina Juříková Katedra filozofie, FF UP v Olomouci Bertrand Russell, 17. - 18. 5. 2012 Russellovo rozlišení jména a popisu Označující fráze Primární a sekundární

Více

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární. Číselné soustavy V běžném životě používáme soustavu desítkovou. Desítková se nazývá proto, že má deset číslic 0 až 9 a v jednom řádu tak dokáže rozlišit deset různých stavů. Mikrokontroléry (a obecně všechny

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda.

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. m_1_vyrok_priklady 6.5.011 1/9 m_1_vyrok_priklady 6.5.011 /9 Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda)

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Metodický návod. pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům

Metodický návod. pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům Metodický návod pro tvůrce didaktických podpor k cizojazyčným odborným filmům Tento metodický návod je určen pro tvůrce didaktických podpor pro cizojazyčné odborné filmy (dále jen Tvůrce ). Didaktické

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

Microsoft Office. Word hromadná korespondence

Microsoft Office. Word hromadná korespondence Microsoft Office Word hromadná korespondence Karel Dvořák 2011 Hromadná korespondence Hromadná korespondence je způsob, jak určitý jeden dokument propojit s tabulkou obsahující více záznamů. Tímto propojením

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí

Seminář IVT. MS Excel, opakování funkcí Seminář IVT MS Excel, opakování funkcí Výuka Opakování z minulé hodiny. Založeno na výsledcích Vašich domácích úkolů, podrobné zopakování věcí, ve kterých děláte nejčastěji chyby. Nejčastější jsou následující

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2009 Tomáš Michek Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Program pro výuku a testování základů výrokové a

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

StatSoft Jaký je mezi nimi rozdíl?

StatSoft Jaký je mezi nimi rozdíl? StatSoft Jaký je mezi nimi rozdíl? GAINS ROC X P okud se zabýváte klasifikačními úlohami, pak většinou potřebujete nějakým způsobem mezi sebou porovnat kvalitu vyprodukovaných modelů. Mezi základní pomůcky

Více

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE 1 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol FUNKCE

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Druhy poměrných čísel Aleš Drobník strana 1 5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Poměrná čísla neboli poměrní ukazatelé : Získáme srovnáním (podílem) 2 veličin stejnorodých. Srovnávaná veličina (čitatel)

Více

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo.

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace má tyto dílčí úkoly: 1) Naučit žáky číst číslice a správně vyslovovat názvy čísel. 2) Naučit žáky zapisovat čísla v

Více

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Jaromír Kuben Petra Šarmanová Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více

Odpověď na dotaz ohledně asociační třídy v modelu měření

Odpověď na dotaz ohledně asociační třídy v modelu měření Odpověď na dotaz ohledně asociační třídy v modelu měření Část 3. Tento článek navazuje na předešlé články jako jejich pokračování autor RNDr. Ilja Kraval, http://www.objects.cz srpen 2007 firma Object

Více

MS Excel Filtr automatický, rozšířený

MS Excel Filtr automatický, rozšířený MS Excel Filtr automatický, rozšířený Obsah kapitoly V této lekci se seznámíme s nástrojem, který se používá pro výběry dat z rozsáhlých tabulek s filtrem automatickým a rozšířeným. Studijní cíle Studenti

Více

2.9.3 Exponenciální závislosti

2.9.3 Exponenciální závislosti .9.3 Eponenciální závislosti Předpoklady: 9 Pedagogická poznámka: Látka připravená v této hodině zabere tak jeden a půl vyučovací hodiny. Proč probíráme tak eotickou funkci jako je eponenciální? V životě

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

NOVELA ZÁKONA O NÁJMU A PODNÁJMU NEBYTOVÝCH PROSTOR A MOŽNOST UZAVŘÍT NÁJEMNÍ SMLOUVU NA NEBYTOVÝ PROSTOR PŘED VYDÁNÍM KOLAUDAČNÍHO ROZHODNUTÍ

NOVELA ZÁKONA O NÁJMU A PODNÁJMU NEBYTOVÝCH PROSTOR A MOŽNOST UZAVŘÍT NÁJEMNÍ SMLOUVU NA NEBYTOVÝ PROSTOR PŘED VYDÁNÍM KOLAUDAČNÍHO ROZHODNUTÍ NOVELA ZÁKONA O NÁJMU A PODNÁJMU NEBYTOVÝCH PROSTOR A MOŽNOST UZAVŘÍT NÁJEMNÍ SMLOUVU NA NEBYTOVÝ PROSTOR PŘED VYDÁNÍM KOLAUDAČNÍHO ROZHODNUTÍ strana 1 z 6 Dne 19. října 2005 nabyl účinnosti zákon č. 360/2005

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 58 Binární logika

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií 5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

Soustředění. 2015 Kateřina Sodomková, katerinasodomkova.cz. všechna práva vyhrazena

Soustředění. 2015 Kateřina Sodomková, katerinasodomkova.cz. všechna práva vyhrazena Soustředění 2015 Kateřina Sodomková, katerinasodomkova.cz všechna práva vyhrazena Umění soustředit se Ano, někdy to je skutečně umění, dokázat se plně soustředit na to, co děláme. Jsou situace, kdy nám

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Matematická logika cvi ení 47

Matematická logika cvi ení 47 Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky

Více

MS Excel 2007 Kontingenční tabulky

MS Excel 2007 Kontingenční tabulky MS Excel 2007 Kontingenční tabulky Obsah kapitoly V této kapitole se seznámíme s nástrojem, který se používá k analýze dat rozsáhlých seznamů. Studijní cíle Studenti budou umět pro analýzu dat rozsáhlých

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Obsah. Marketing a marketingové řízení 3. Úvod: marketing pro každého? 1. 1. kapitola 5 Podstata marketingu 5. 2. kapitola 17 Marketingové řízení 17

Obsah. Marketing a marketingové řízení 3. Úvod: marketing pro každého? 1. 1. kapitola 5 Podstata marketingu 5. 2. kapitola 17 Marketingové řízení 17 Úvod: marketing pro každého? 1 Část I 3 Marketing a marketingové řízení 3 1. kapitola 5 Podstata marketingu 5 Definice marketingu 9 Podnikatelské koncepce a přístup k zákazníkům 12 Konkrétní příklad -

Více

FFUK Uživatelský manuál pro administraci webu Obsah

FFUK Uživatelský manuál pro administraci webu Obsah FFUK Uživatelský manuál pro administraci webu Obsah FFUK Uživatelský manuál pro administraci webu... 1 1 Úvod... 2 2 Po přihlášení... 2 3 Základní nastavení webu... 2 4 Menu... 2 5 Bloky... 5 6 Správa

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma Seznam funkcí pro kurz EXCEL I Jaroslav Nedoma 2010 Obsah ÚVOD... 3 SUMA... 4 PRŮMĚR... 6 MIN... 8 MAX... 10 POČET... 12 POČET2... 14 ZAOKROUHLIT... 16 COUNTIF... 18 SVYHLEDAT... 22 2 ÚVOD Autor zpracoval

Více

Registrace učitelů je samozřejmě bezplatná a možnosti učitelského účtu jsou popsány níže.

Registrace učitelů je samozřejmě bezplatná a možnosti učitelského účtu jsou popsány níže. Příručka pedagoga Milí pedagogové, Astronomický klub Bratislava si pro žáky a studenty připravil Astronomický korespondenční seminář, který jim umožní vyzkoušet si své znalosti v oblasti astronomie, porovnat

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy?

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Kapitola 4 Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Přestože jsme se v minulé kapitole zabývali subjekty a predikáty, existuje ještě jeden typ výrazů, který může vystupovat jako podmět oznamovací

Více

PHP a Large Objecty v PostgreSQL

PHP a Large Objecty v PostgreSQL PHP a Large Objecty v PostgreSQL Pavel Janík ml. http://www.janik.cz PHP a Large Objecty v PostgreSQL 1 Jazyk PHP je velmi mocným jazykem pro vývoj webových aplikací. Má podporu snad všech velkých i menších

Více

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY Ing. Petr VAVŘIŇÁK 2013 2.7 VOLBA VELIKOSTI MOTORU Vlastní volba elektrického motoru pro daný pohon vychází z druhu zatížení a ze způsobu řízení otáček. Potřebný výkon motoru

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ÚLOHA 1 Ladi = 100 Hz = 340 m/s Úkoly: lnovou d él é ku k periodu T frekvenci f =? vlnovou délku =?

ÚLOHA 1 Ladi = 100 Hz = 340 m/s Úkoly: lnovou d él é ku k periodu T frekvenci f =? vlnovou délku =? ÚLOHA 1 Ladička má rekvenci 100 Hz. Kmitá ve vzduchu, kde je rychlost zvuku přibližně c 340 m/s. Úkoly: a) Jak lze u zvuku charakterizovat vlnovou délku λ? b) Jak lze u zvuku charakterizovat periodu T?

Více

Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1

Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1 Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1 8. PREZENTACE DAT Jakými prostředky sdělujeme informace, údaje, účetní a statistické charakteristiky? Používáme tyto prostředky sdělování

Více