Zobecněné metody návrhu kmitočtových filtrů

Transkript

1 008/ Zobecněné metody návrhu kmitočtových filtrů Jaroslav oton, amil Vrba VUT v Brně, FET Ústav telekomunikací, Purkyňova 8, Brno V článku jsou popsány zobecněné postupy návrhu kmitočtových filtrů. Diskutována je metoda autonomních obvodů vycházející z úplné admitanční sítě, způsob rozšiřování autonomních obvodů, použití syntetických prvků s imitancemi vyšších řádů a využití teorie M-C grafů signálových toků k syntéze. Jsou uvedeny základní teoretické poznatky, které pak byly využity k návrhu filtrů s proudovými, napěťovými konvejory, a proudovými aktivními prvky CMI, MCMI, PCA.. Úvod mitočtové filtry lze v současné době realizovat mnoha způsoby. Obecně je možné rozlišit pasivní a aktivní obvodové struktury. Pasivní RC či RLC struktury se vyznačují svojí jednoduchostí a možností realizovat kmitočtové filtry s mezním kmitočtem až stovky MHz. Snahou je však takové filtry nahradit odpovídajícími ekvivalenty s aktivními prvky (ARC filtry) z důvodu snazší nastavitelnosti či přeladitelnosti jeho parametrů, i přes nutnost napájení aktivních prvků. Použití ARC filtrů je limitováno mezním kmitočtem v oblasti desítek MHz. Pokrok v oblasti mikroelektroniky však umožňuje realizaci nových aktivních prvků, které lze použít pro návrh filtrů pracujících ve vyšších kmitočtech oblastech až kolem 00 MHz. Mezi nejrozšířenější aktivní prvky v současné době bezesporu patří operační zesilovače (OZ) a proto většina publikací [] [4] uvádí známé struktury realizující kmitočtové filtry pracujících v napěťovém módu s jedním či více operačními zesilovači. V napěťovém módu však není možné se stále snižujícím napájecím napětím, užívaným v technologiích s vysokou hustotou integrace, dosáhnout dostatečné hodnoty odstupu signálu od šumu. Je tedy vhodné, aby navrhované zapojení pracovalo ve smíšeném či proudovém módu, jak již bylo zmíněno v úvodu. Zapojení s OZ uvedená v [] [4] je možné použít jako předlohu a pomocí přidružené transformace [5] pak navrhnout obvod pracující v proudovém módu. Tento způsob řešení je velmi rychlý, avšak ve většině případů se původní aktivní prvek nemění a nedochází tak k předpokládanému zlepšení vlastností obvodu v kmitočtové oblasti, neboť má-li nově navržené zapojení tyto vlastnosti vykazovat, je nezbytné změnit i aktivní prvek. Operační zesilovač lze považovat za zdroj napětí řízený napětím se zesílením A. Na základě přidružené transformace lze tento aktivní prvek nahradit zdrojem proudu řízený proudem se zesílením B, přičemž musí platit A = B. Jsou-li uvažovány proudové a napěťové konvejory či proudové aktivní prvky CMI (Current Mirror and Inverter) resp. MCMI (Multioutput CMI), je pak nutné omezit se pouze na takové výchozí struktury, kde OZ je v zapojení invertujícího či neinvertujícího zesilovače s jednotkovým přenosem, eventuálně s přenosem až 00, bude-li uvažován prvek PCA (Programmable Current Amplifier). Toto omezení je velmi výrazné a metodu přidružené transformace tedy v tomto případě není možné efektivně použít při návrhu nových kmitočtových filtrů pracujících v proudovém módu. Přestože se lze v současné době setkat s množstvím literatury zabývající se využitím moderních aktivních prvků pro návrh bloků realizujících lineární operace, autoři se při jejich popisu omezují pouze na konečné řešení a vlastní způsob návrhu tak není znám a většinou jde o intuitivní návrh nového obvodu [6]-[9]. Pro konečného uživatele pak tyto výsledky nemusí být motivující, neboť v případě nevyhovujícího zapojení neexistuje možnost návrhu vlastního funkčního bloku. V literatuře je však možné najít řešení, která vychází z obecného obvodu. Pro zvolenou vstupní a výstupní bránu lze definovat obecnou přenosovou funkci a dle vhodné volby charakteru jednotlivých admitancí realizovat daný typ kmitočtového filtru [0], []. Další metoda návrhu kmitočtových filtrů s moderními aktivními prvky je založena na realizaci syntetických prvků s imitacemi vyšších řádů. Ty jsou pak vhodně zapojeny nejčastěji do konfigurace kmitočtově závislého děliče napětí či proudu []. Syntetické prvky jsou realizovány transformačními dvojbrany, které zvyšují řád imitační funkce jednobranu připojeného k výstupu. Jednoduchým kaskádním řazením transformačních dvojbranů tak lze realizovat syntetický prvek požadovaného řádu. 6-

2 008/ Při této metodě však může nastat problém obtížné realizovatelnosti, je-li syntetický prvek popsán složitými mnohočleny [3]. Při návrhu aktivních kmitočtových filtrů vyšších řádů lze využít také pasivního RC či RLC prototypu. Vlastní realizace je založena na přímé náhradě induktorů odpovídající ekvivalentem. Takto navržené filtry vykazují prakticky nejnižší citlivosti přenosové funkce na tolerance parametrů součástek. Obtížná je však nastavitelnost jeho parametrů, protože změny hodnot jednotlivých prvků jsou navzájem vázány a ovlivňují celou přenosovou charakteristiku []. Dále je pak možné použít Brutonovu transformaci [4], která vychází z úvahy, že přenos obvodu jako bezrozměrná funkce je určen poměrem impedancí, a proto se při násobení všech impedancí obvodu stejným koeficientem přenos nemění []. Jako další způsob návrhu nových kmitočtových filtrů lze uvést metodu grafů signálových toků [5], přestože častěji je využívána pro analýzu již existujících zapojení [6], [7]. Grafická reprezentace obvodu však představuje snadný nástroj k modifikaci stávajících zapojení, ale i k návrhu nových funkčních struktur. V článku bude pozornosti věnována autonomním obvodům, syntetickým prvkům a teorii grafů signálových toků.. onvejory a proudové aktivní prvky Při návrhu nových obvodů je vhodné pracovat se zobecněnými aktivními prvky, pomocí nichž lze úplně definovat skupinu jejich možných typů, které je možné použít pro danou obvodovou strukturu. Proto byl na našem pracovišti zaveden zobecněný proudový konvejor GCC uvedený na obr. a [8], který je popsán obecnými přenosovými koeficienty proudu a napětí. Tuto myšlenku lze dále aplikovat i na další uvažované aktivní prvky a definovat zobecněný napěťový konvejor GVC (obr. b) a zobecněný prvek GCMI (obr. c), resp. GMCMI je-li uvažováno více proudových výstupů [9]. a) b) c) Obr. Schématická značka aktivního prvku a) GCC, b) GVC, c) GCMI Matematický popis prvků GCC, GVC a GCMI lze definovat obecnými hybridními maticemi u 0 a 0 i i 0 a 0 u u i = iy b 0 0 u, Y uy = b 0 0 i, Y i = n 0 0 u. (a,b,c) i Z c 0 0 uz u Z c 0 0 iz i 3 n 0 0 u3 Pro obecné přenosové koeficienty platí: a { ; }, b { ;0; }, c { ; }, n { ; }, a n { ; }. ombinací hodnot těchto koeficientů lze přesně definovat typ daného aktivního prvku. Z prvku CMI pak vychází programovatelný proudový zesilovač PCA, který byl nově definován na pracovišti ÚTO FET, VUT v Brně. Proudové zesílení tohoto aktivního prvku bude možné elektronicky měnit v hodnotách,, 5, 0, 0, 50, a Metody návrhu kmitočtových filtrů 3. Návrh pomocí úplné admitanční sítě Pro návrh nových obvodových struktur lze s výhodou použít teorii autonomních obvodů, která byla popsána již v [0]. Zde je autonomní obvod prezentován jako struktura pasivních a aktivních prků, která není buzena zdrojem signálu ani není snímána napěťová, či proudová odezva. Známa je pouze charakteristická rovnice, což je determinant admitanční matice analyzované soustavy. Z tvaru 6-

3 008/ charakteristické rovnice je pak možné usuzovat, jaký řád filtru bude použitím daného autonomního obvodu možné realizovat. Otázkou však zůstává, jak nalézt vhodnou strukturu autonomního obvodu. Je možné využít zkušeností návrháře, kde se však téměř vždy jedná o intuitivní postup. Přístup lze ovšem zobecnit a použít úplnou admitanční síť připojenou ke zvolenému počtu zobecněných aktivních prvků. Takto je možné nalézt všechna variantní řešení autonomních obvodů. Nevýhodou však je, že pro velké množství aktivních prvků je tato metoda značně časové náročná a je někdy lépe použít např. metodu rozšiřování autonomních obvodů, která také bude dále uvedena, a která je vhodná pro návrh kmitočtových filtrů vyšších řádů, či filtrů, kde některý z jeho parametrů je možné nezávisle měnit na ostatních. Využití metody úplné admitanční sítě tedy dále zobecňuje metodu autonomních obvodů, kdy prvním krokem je sestavení úplné admitanční sítě se zvoleným počtem aktivních prvků. Z ní je následně postupným zjednodušováním získána skupina autonomním obvodů se zvoleným počtem pasivních prvků. Výhodné struktury jsou pak ty, které obsahují maximální množství uzemněných pasivních prvků z důvodu snazší realizovatelnosti. Další analýza nalezených obecných struktur pak ukazuje na jejich možné využití při realizaci multifunkčních či univerzálních kmitočtových filtrů. Použití úplné admitanční sítě představuje systematický způsob syntézy nových zapojení kmitočtových filtrů, kdy pro zvolený počet aktivních prvků a požadovaný počet pasivních prvků je možné nalézt všechna variantní řešení. Na základě tolerančních a citlivostních analýz je následně z množiny zapojení vybráno takové, které plně vyhovuje požadavkům návrháře. Úplná admitanční síť musí obecně obsahovat n(m + ) uzlů, kde n je počet aktivním prvků a m je počet bran aktivního prvku. Na obr. a je uvedena obecná admitanční síť, které je možné připojit jeden tříbranový aktivní prvek. Zapojení aktivního prvku daného typu do této sítě způsobí její částečnou redukci o admitance, které jsou nadbytečné. Příklad připojení takové sítě k tříbranovémů prvku GVC je uveden na obr. b. Výstupní brána Z napěťového konvejoru představuje ideálně tvrdý zdroj napětí a impedance Y 3 připojená do tohoto uzlu představuje další zátěž obvodu. a) b) Obr. a) Úplná admitanční síť se čtyřmi uzly, b) způsob připojení k GVC Zapojením jednoho aktivního prvku k úplné admitanční síti na obr. b umožňuje navrhnout kmitočtové filtry druhého řádu. Ve většině případů však výsledná struktura realizuje pouze jedinou užitečnou přenosovou funkci. Snahou návrhářů integrovaných systémů ovšem je, aby filtr zařazený do knihovny funkčních bloků byl multifunkční či univerzální (tzn. aby realizoval kmitočtové filtry typu horní, dolní, pásmová propust, pásmová zádrž i fázovací článek) a umožňoval práci v napěťovém, proudovém či smíšeném módu. Toho je možné docílit využitím dvou aktivních prvků ve struktuře obvodu. Na obr. 3 jsou již uvedeny úplné admitanční sítě se dvěma zobecněnými proudovými (GCC), napěťovými (GVC) konvejory a proudovými prvky GCMI. Úplnou admitanční síť se zvoleným počtem a typem aktivního prvku lze dle požadavků na výslednou strukturu použít pro návrh autonomních obvodů. Požadavky se zde rozumí počet pasivních prvků (uzemněných či neuzemněných). Aby výsledné zapojení vykazovalo minimální citlivosti na změnu parametrů pasivních a aktivních prvků, je výhodné využívat struktury s minimálním počtem 6-3

4 008/ pasivních prvků. V případě návrhu kmitočtových filtrů druhého řádu je tedy vhodné použít právě čtyři pasivní prvky. Výhodou pak je i snadný numerických návrh. Z obecného zapojení se dvěmi zobecněnými proudovými konvejory (obr. 3a) bylo odvozeno sedm autonomních obvodů se čtyřmi uzemněnými pasivními prvky a padesát tři autonomních obvodů s pěti admitancemi, kdy byla preferována zapojení s maximálním počtem uzemněných prvků. Jedná se o struktury, jejichž použití vede k realizaci kmitočtových filtrů druhého řádu pracujících v proudovém, napěťovém a smíšeném módu. V [3] byly publikovány autonomní obvody s GCC a se čtyřmi uzemněnými pasivními prvky. a) b) Obr. 3 Úplná admitanční síť se dvěma a) GCC, b) GVC, c) GCMI c) Po nalezení skupiny autonomních obvodů z úplné admitanční sítě je další návrh kmitočtových filtrů založen na následujících krocích: - volba jednotlivých dvojpólů a součinů koeficientů zobecněného aktivního prvku pro požadovaný tvar charakteristické rovnice (pro kmitočtový filtr musí být splněna podmínka, že 6-4

5 008/ v charakteristické rovnici se vyskytují všechny mocniny Laplaceova operátoru p, tj. od p 0 až po p n, kde n je řád filtru), - uzly autonomního obvodu jsou buzeny zdroji proudu nebo budící zdroje napětí jsou vkládány do větví a odezvu proudu je sledována ve větvích, odezva napětí v uzlech. Ve vypočtené přenosové funkci (proudové, napěťové či smíšené) jsou vhodně zvoleny součiny koeficientů v čitateli přenosové funkce, - určení koeficientů zobecněného aktivního prvku pro variantní řešení splňující podmínky pro výsledný součin těchto koeficientů dle předchozích dvou bodů, - nahrazení zobecněného prvku konkrétním aktivním prvkem. Jako příklad je uveden návrh multifunkčního kmitočtového filtru vycházejícího z autonomního obvodu uvedeného na obr. 4a. Odpovídající obecná charakteristická rovnice této struktury je CE = ( ab ab ac ac )( YY 3 + YY 5 + Y3Y 5) ab ( YY + YY5 ) () ab ( Y3Y 4 + Y4Y5 ) + ac YY 5 + ca Y4Y 5 + YY4 = 0. Přestože počet členů v tomto výrazu je vysoký, vhodnou volbou součinů koeficientů a, b, a c zobecněných proudových konvejorů jej lze výrazně snížit. Bude-li platit a b =, a b =, a c = a c a =, pak () lze upravit do tvaru CE = YY + YY 5 + Y4Y 5 + Y3Y 4 + YY 4 = 0. (3) Volbou charakteru pasivních prvků Y = G, Y = G, Y 3 = G 3, Y 4 = pc, Y 5 = pc získá obecná charakteristická rovnice (3) tvar vyhovující podmínce realizovatelnosti kmitočtového filtru druhého řádu CE = p CC + pc( G + G3 ) + pcg + GG = 0, (4) kdy je dále možné využít skutečnosti, že pomocí vodivosti G 3 lze činitel jakosti Q (5) měnit nezávisle na charakteristickém kmitočtu f 0. Pro parametry ω 0 a Q platí G G ω 0 =, CC Q =. (5) C ( G + G ) + C G C C G G 3 a) b) Obr. 4 a) Autonomní obvod se dvěma GCC, b) navržený multifunkční filtr Hodnoty koeficientů proudového či napěťového přenosu aktivních prvků, které vyhovují podmínkám tvaru charakteristické rovnice (3) mohou např. být následující: a = a =, b = b =, a c = c =. Realizovatelné přenosové funkce naznačené na obr. 4b tedy jsou I_DP I_PP3 IVYST_ GG I CE, IVYST_ pcg I_PP I CE, IVYST_3 pcg 3 I_PP I CE, (6a,b,c) _ IVYST_4 pcg I CE, IVYST_ GG I_DP I CE, IVYST_ pcg I_PP4 I CE, (6d.e.f) _ kde CE je (4). I_PP5 IVYST_3 pcg 3 I CE, IVYST_4 pcg I_PP6 I CE, (6g,h) 6-5

6 008/ Pro numerický návrh jsou použity vztahy 0CC G = ω, G G kdy je nutné splnit podmínku C C QG ( C + C ) 0 3 = ω, (7a,b) QC ω0cc G <. (8) Q C + C ) ( 3. Způsob rozšiřování autonomních obvodů V případě návrhu kmitočtových filtrů vyššího řádu než druhého by bylo nutné úplnou admitanční síť doplnit o další aktivní a pasivní prvky. Hledání vhodného autonomního obvodu by se tak značně komplikovalo. Řešení může být ve využití již nalezených autonomním obvodů, které jsou rozšířeny pouze o nutný počet pasivních a aktivních prvků. Navýšení řádu kmitočtového filtru lze realizovat rozšířením výchozí struktury o další uzel nezávislého napětí. V případě proudových konvejorů to znamená, že při doplnění dalšího aktivního prvku do struktury nesmí být napěťová brána Y zapojena do uzlu, do kterého je již připojena napěťová brána Y či proudová brána některého z ostatních proudových konvejorů. Toto opatření pak značně usnadňuje návrh kmitočtových filtrů vyššího řádu. Na obr. 5a je uvedena výchozí struktura autonomního obvodu se dvěma prvky GCC, která byla uvedena v [3] a z ní rozšířené autonomní obvody, jejichž použití vede na návrh kmitočtových filtrů třetího řádu. V nově navržených autonomních obvodech je zvýrazněna původní struktura, ze které se při rozšiřování vycházelo. Obdobným postupem je možné rozšířit i další autonomní obvody. GCC GCC 3 GCC Y Y Y 5 Y 6 Y 3 Y 4 b) GCC GCC GCC GCC 3 GCC Y Y Y 3 Y 4 Y Y Y 5 Y 6 Y 3 Y 4 a) c) GCC GCC 3 GCC Y Y Y 5 Y 3 Y 6 Y 4 Obr. 5 a) Původní autonomní obvod, b) až d) rozšířené autonomní obvody Autonomní obvody na obr. 5b až 5d jsou postupně popsány svými obecnými charakteristickými rovnicemi 6-6 d)

7 008/ CE = a b a b a b YY Y + a b a b YY Y + a b a b YY Y + a b a b Y Y Y, (9a) a b a b a b a c a c a c + = YY Y6 YY 3Y4 3 3Y4Y 5Y6 3 3YY 3Y5 YY4Y 6 0 CE = a b a b a b Y Y Y + a b a b Y Y Y + a b a b Y Y Y + a b a b Y Y Y, (9b) a b a b a b a c a c c + = Y Y5Y 6 Y3Y 4Y5 3 3YY 4Y6 3Y Y3Y 5 Y4Y5Y 6 0 CE = a b a b a b Y Y Y + a b a b Y Y Y + a b a b Y Y Y + a b a b Y Y Y. (9c) a b a b a b a c c c + = Y Y5Y 6 YY 4Y6 3 3Y3Y 4Y5 3Y Y5Y 6 Y4Y5Y 6 0 Přestože lze tyto charakteristické rovnice považovat za značně složité, vhodnou volbou přenosových koeficientů a, b, a c lze docílit značné redukce členů v rovnici. Samotný návrh je pak shodný s postupem uvedeným v kap. 3.. Využití autonomního obvodu z obr. 5c k realizaci dolní a horní propusti třetího řádu lze nalézt v []. Využitím metody rozšiřování autonomních obvodů byl navržen také multifunkční kmitočtový filtr na obr. 6 [], který opět vychází z autonomního obvodu na obr. 5a. Obr. 6 Multifunkční kmitočtový filtr pracující v proudovém módu [] Pomocí uvedeného zapojení (obr. 6) lze v proudovém módu realizovat kmitočtové filtry typu pásmová, dolní a horní propust IVYST_ pcg I_PP I CE, IVYST_ pcg I_PP I CE, IVYST_3 pcg I_PP3 I CE, (0a,b,c) I_DP IVYST_4 GG 3 I CE, IVYST_5 GG 4 I_DP I CE, IVYST_6 p CC I_HP I CE, (0d,e,f) I_DP3 IVYST_4 + IVYST_5 G ( G3 + G4 ), (0g) I CE kde CE = p C C + pcg + G ( G3 + G4) je charakteristická rovnice navrženého zapojení. Činitel jakosti Q je možné měnit nezávisle na charakteristickém kmitočtu filtru f 0. Uvedené zapojení dále řeší problém vlivu konečné hodnoty impedance vstupní brány, kdy přidáním dalších aktivních a pasivních prvků dochází k navýšení hodnoty impedance prvků připojených k vstupním branám. Takto navržené zapojení lze použít pro zpracování signálů ve vyšších kmitočtových oblastech, neboť tímto způsobem dochází k potlačení parazitních vlastností použitého proudového konvejoru. Za výhodu navrženého zapojení lze považovat také skutečnost, že všechny proudové konvejory jsou druhé generace, což zajišťuje jednoduchost mikroelektronické struktury v případě jejich pozdější realizace v integrované podobě. 3.3 Návrh kmitočtových filtrů se syntetickými prvky vyššího řádu Teorie syntetických imitančních prvků se původně věnovala hlavně návrhu klasických induktorů, které jsou na nízkých kmitočtech rozměrné a drahé. V případě návrhu kmitočtových filtrů na vyšších kmitočtech je tento problém odstraněn pouze v případě, jsou-li induktory realizovány v diskrétní podobě. Má-li být obvodová struktura provedena v integrované podobě, je realizace induktoru na chipu opět problematická a je nutno sáhnout k syntetickým prvkům. 6-7

8 008/ Při návrhu nových funkčních bloků není nutné omezovat se pouze na realizaci syntetických induktorů nebo kmitočtově závislých negativních rezistorů (FNDR) [4], ale je možné definovat syntetické prvky vyšších řádů [5], které lze dále zapojit do kmitočtově závislých děličů napětí, či proudu, a realizovat filtry požadovaného řádu. Protože syntetický prvek lze ve své konečné podobě považovat za pasivní, realizované kmitočtové filtry mohou na základě přidružené transformace [5] pracovat jak v proudovém, tak i napěťovém módu, kdy vlastní transformace se omezuje pouze na vzájemnou záměnu vstupu a výstupu navrženého zapojení. Při praktické realizaci je však nutné provést impedanční přizpůsobení, pracuje-li filtr v napěťovém módu. Syntetické prvky s imitacemi vyšších řádů jsou tvořeny sériovým nebo paralelním zapojením elementárních dvojpólů typu D a E definovaných v [4]. Podle [5] lze popsat čtyři základní soustavy syntetických elementárních dvojpólů s imitacemi vyšších řádů, tj. typ DP, EP, DS a ES (obr. 7). Ty lze dále rozdělit na plovoucí a uzemněné. Obr. 7 Syntetické dvojpóly typu a), DP, b) EP, c) DS, d) ES [5] Aby výsledné kmitočtové filtry navržené touto metodou byly stabilní, musí použitý syntetický prvek obsahovat elementární dvojpóly typu D resp. E všech řádů od nejnižších (tj. 0. či. řádu) po nejvyšší (tj. N-tého řádu). Při vlastní realizaci je nutné použít soustavu transformačních článků, kdy každý navyšuje řád imitance připojené na jeho výstupní bránu (obr. 8). Rozdíl mezi uvedenými strukturami v případě obr. 8a,b je v nutnosti použít vnější pasivní prvky, a tedy větším počtu pasivních prvků. Z Y E článek A Y E článek A Y EN článek A Y a) Z Y E článek A Y E článek A Y EN článek A Y b) Z článek B článek B článek B Y Obr. 8 Obecný pohled na realizaci syntetických prvků vyšších řádů a), b) s nutností, c) bez nutnosti použít vnější admitance Y E c) Při vlastním návrhu a způsobu realizace syntetického prvku se vychází z obecných vstupních impedancí obvodu, přičemž i zde lze pro vyhledávání vhodného transformačního článku využít obecné autonomní obvody s jedním či více aktivními prvky. Pomocí obecné struktury s transformačními články A na obr. 8a lze realizovat syntetické prvky typu DS a ES (obr. 7d,c). Struktura na obr. 8b je použitelná pro návrh imitančních prvků typu DP a EP 6-8

9 008/ (obr. 7a,b). Uvažovaná vstupní impedance transformačního článku A složeného z nutného počtu pasivních prvků v tomto případě je Z = Y U YVY. () W Aby bylo možné tímto způsobem realizovat syntetické prvky s imitacemi vyšších řádů je nutné, jak již bylo řečeno, mezi jednotlivé transformační články zapojit externí pasivní prvky Y E (obr. 7a,b). Tento nedostatek lze odstranit cíleným návrhem transformačních článků typu B (obr. 7c). Je-li realizován syntetický dvojpól typu DP nebo EP, pro vstupní impedanci dílčího transformačního článku B musí platit YW Z =. (a) YU ( YV + YW ) Výraz pro vstupní admitanci je pak dán vztahem YUYV Y = + Y. (b) U YW Opakovanou náhradou admitance Y V transformačním článkem, jehož vstupní admitance bude dána vztahem (b) pak dochází k navyšování řádu realizovaného syntetického dvojpólu. Jsou-li navrhovány syntetické prvky typu DS a ES, pak pro vstupní impedanci resp. admitanci transformačního článku B musí platit Z Y Y Y Y, YVYW Y = Y + Y. (3a,b) U = + V W V Navýšení řádu tohoto syntetického prvku se docílí opakovanou náhradou admitance Y U transformačním článkem se vstupní admitancí dle (b). Navýšení řádu je také možné realizovat náhradou admitance Y W transformačním článkem se vstupní admitancí dle (3b). Použití transformačních článků B tedy vede na minimální počet pasivních prvků syntetického dvojpólu, což pozitivně působí na konečnou citlivost realizovaného funkčního bloku. Nevýhodu lze však spatřovat v nutnosti navrhnout dvě různé struktury pro realizaci paralelní a sériové kombinace syntetických prvků s imitacemi vyšších řádů. Na obr. 9 jsou uvedeny transformační články s univerzálním napěťovým konvejorem a transkonduktanční zesilovačem. U W Obr. 9 články s UVC a OTA pro realizaci prvku a) DP, b) ES, c) EP Vstupní admitance struktur na obr. 9a a obr. 9c jsou dány vztahy YY Y = + Y, (4) Y g m Y g m = + gm Y. (5) Vstupní impedance transformačního článku na obr. 9b je popsána vztahem Y Z = + Y g Y. (6) m 6-9

10 008/ Výrazy (4) až (6) jsou plně v souladu s požadavky dle (b) resp. (3a) na realizovatelnost syntetických prvků vyšších řádů s minimálním počtem pasivních prvků. Struktura transformačního článku na obr. 9a byla využita pro návrh přeladitelného kmitočtového filtru n-tého řádu typu dolní propust, ve kterém je použit syntetický prvek typu DP,n. (obr. 0). Obr. 0 mitočtový filtr n-tého řádu realizovaný transformačním článkem dle obr. 9a Obecný tvar přenosové funkce kmitočtového filtru je U n g G mi 0 VYST i= U n n i n n U n i p Ci + p Cl gm k + gm ig0 i= i= l= k = i i=. (7) Vlastnosti prvku UVC umožňují snímat napěťovou odezvu ve více bodech, jak je naznačeno na obr. 0. Charakteristický kmitočet tohoto filtru však nelze měnit, neboť je-li řád filtru n, je nutné současně měnit n koeficientů nekaskádní syntézy c. Počet akčních členů, tj. OTA zesilovačů, je pouze (n ). Vhodným řešením může být náhrada vodivosti G 0 strukturou na obr.. + _ + _ + _ g = g = g m0 m0 m0 Obr. Náhrada a) plovoucí vodivosti G 0 pomocí b) prvků OTA [36], c) prvku BOTA Modifikovaná struktura kmitočtového filtru pouze již 4. řádu je uvedena na obr.. Napěťový přenos je dán vztahem gm0gmgmg m3 U = 4 3 p CC C3C4 + p CC C3gm3 + p CC gmgm3 + pc gmgmgm3 + gm0gmgmg m3. (8) Hodnoty kapacitorů lze určit pomocí vztahů c4 c4 c43 c44 C =, C =, C3 =, C4 = k c c c, (9a,b,c,d) 4 k 4 k 43 k kde k = ω0 gm je konstantní, přičemž ω0 = π f0 a g m0 = g m = g m = g m3 = g m. 6-0

11 008/ _ + _ Obr. mitočtový filtr 4. řádu realizovaný syntetickým prvkem typu DP,4 Další příklady transformačních článků s proudovými konvejory jsou uvedeny v [3], s napěťovými konvejory v [6], s proudovými aktivními prvky pak v [7]. 3.4 Syntéza filtrů pomocí grafů signálových toků Grafy signálových toků se používají v mnoha různých technických oblastech. Původně byly navrženy Masonem v roce 953 pro popis a řešení lineárních obvodů. Později se objevily zobecněné Coatesovy grafy. Jejich základní popis je uveden v [3]. Grafy signálových toků tvoří základ teorie obvodů a jsou běžně používány v dalších oblastech jako automatické řízení nebo datová komunikace. Graf je soustava bodů a úseček nazývaných jako uzly a větve. aždý konec větve je připojen k uzlu. Oba konce větve mohou být připojeny ke stejnému uzlu. Graf signálových toků je diagram, který znázorňuje vzájemný vztah mezi proměnnými. Tyto proměnné jsou reprezentovány uzly grafu a větve definují jejich vzájemný vztah. Použití grafů signálových toků v teorii lineárních obvodů představuje snadný způsob výpočtu přenosových funkcí i relativně složitých obvodů. Pro syntézu a analýzu elektrických obvodů jsou v práci použity smíšené tzv. Masonovy- Coatesovy (M-C) grafy [0]. Na základě pravidla pro řešení M-C grafu je možné tuto metodu použít pro přímý návrh obvodů s požadovaným tvarem přenosové funkce. Přenosovou funkci grafu signálových toků lze vypočítat podle následujícího vztahu, známý jako Masonovo pravidlo [3] Y P i, (0) i i kde P i je přenos i-té přímé cesty ze vstupního uzlu do výstupního Y a je determinant grafu, který je dán vztahem ( k ) ( k ) ( l) ( l) ( m) ( m) = V S V + S V S V... () k l m ( k ( l ) ( k ) Zde V je součin vlastních smyček, S je přenos k-té smyčky a V je součin všech vlastních ) smyček uzlů, kterých k-tá smyčka nedotýká, S je součin přenosů dvou nedotýkajících se smyček a ( l) V je součin všech vlastních smyček uzlů, kterých se l-tá smyčka nedotýká. Pokud se smyčka nebo k- tá přímá cesta dotýká všech uzlů, pak součin V resp. k je identicky roven jedné. i je determinant části grafu, která se nedotýká i-té přímé cesty. Determinant M-C grafu definovaný () zároveň představuje levou stranu charakteristické rovnice CE, jejíž tvar do podstatné míry určuje chování analyzovaného obvodu. Je-li navrhován kmitočtový filtr n-tého řádu, pak se jmenovatel přenosové funkce (tj. CE) musí skládat z alespoň n + členů, kdy všechny z důvodu stability by měly být kladné. Je vhodné, aby počet členů byl vždy nejnižší nutný z důvodu snadného numerického návrhu pasivních prvků. Je možné nalézt základní požadavky na výsledný graf signálových toků (po zapojení aktivních prvků), které splňují předpoklady realizovatelnosti takového kmitočtového filtru 6-

12 008/ s minimálním počtem pasivních prvků. Je-li tedy navrhován kmitočtový filtr druhého řádu, pak lze definovat následující podmínky, z nichž každá splňuje předpoklad realizovatelnosti daného filtru D: v grafu existuje jediná orientovaná smyčka a dva napěťové uzly, kdy k jednomu či oběma jsou připojeny dva a více pasivních prvků, D: v grafu existují dvě vzájemně se dotýkající se orientované smyčky a dva napěťové uzly, ke kterým je připojena jedna admitance. Jsou-li aktivní prvky použity pouze jako oddělovací členy dílčích pasivních RC struktur, pak se v grafu nemusí nacházet orientované smyčky a determinant je tvořen pouze součinem přenosů vlastních smyček. Tento způsob návrhu zde však nebude dále popisován, neboť představuje primitivní řešení realizace kmitočtových filtrů kaskádním řazením. V případě potřeby lze mezi podmínky správného počtu členů charakteristické rovnice dále zahrnout i podmínky na její konkrétní tvar. Tím se rozumí, zda je požadována i změna činitele jakosti Q nezávisle na charakteristickém kmitočtu f 0 nebo možnost vzájemně nezávislé změny parametru Q a f 0. Tvar charakteristické rovnice, která dovoluje měnit činitel jakosti nezávisle na charakteristickém kmitočtu je: CE = p CC + pcg3 + GG = 0, () nebo CE = p CC G3 + pcg G + GG G3 = 0. (3) V obou případech je možné činitel jakosti Q měnit hodnotou vodivosti G 3. Charakteristické rovnice respektují podmínku minimálního počtu pasivních prvků. Mají-li být parametry Q a f 0 měněny nezávisle na sobě, pak tvar charakteristické rovnice musí být CE = p CC G5 + p CG G + GG3G4 = 0. (4) Zde je parametr Q možné měnit pomocí vodivosti G. Hodnota charakteristického kmitočtu f 0 je možná současnou změnou vodivosti G a G 3, přičemž musí platit G = G 3. Bude-li dále platit G 5 = G 4, pak jejich změnou je možné řídit hodnotu činitele jakosti. Na základě této skutečnosti lze definovat další tvar charakteristické rovnice, která vyhovuje stejným požadavkům jako výraz (4) CE = p CC G4 + p CG G + GG3G4 = 0. (5) Je-li navrhován filtr s charakteristickou rovnicí dle (3) až (5), pak je nutné stanovit nové podmínky tvaru M-C grafu: D3: v grafu existují dvě vzájemně se dotýkající orientované smyčky, a tři napěťové uzly, ke kterým je připojena jedna admitance, D4: v grafu existuje jeden vysokoimpedanční uzel a tři vzájemně se dotýkající orientované smyčky, které tímto uzlem prochází. Změnu základních parametrů kmitočtového filtru lze také realizovat řiditelnými aktivními prvky. V případě proudových konvejorů jde o prvky CCCII (Current-Controlled Current Conveyor) [34] či ECCII (Electronically Tunable Current Conveyor) [35]. Dále může jít o prvek PCA (Programmable Current Amplifier), který je v současné době vyvíjen na pracovišti ÚTO FET VUT v Brně ve spolupráci s AMI Semiconductor Design Centre Brno náležícího do koncernu ON Semiconductor. O řiditelném napěťovém konvejoru se zatím neuvažuje, ovšem uvedené teoretické závěry lze později na takový prvek plně aplikovat. U aktivního prvku CCCII je řídicím proudem ovlivňován parametr R proudového konvejoru, tj. odpor vstupní proudové brány. Tvar charakteristické rovnice řiditelných filtrů s těmito aktivními prvky je tedy shodný s rov. () až (5), když G = R. V případě prvku ECCII je řízen proudový přenos c z brány na bránu Z. Obdobně se tak předpokládá i u aktivního prvku PCA, který vychází z koncepce prvku CMI. U tohoto prvku bude měněn parametr n. Pro tyto aktivní prvky lze tedy nově popsat požadovaný tvar charakteristické rovnice. Bude-li pro CE platit: CE = p CC + n p CG + GG = 0, (6) nebo CE = n p CC + p CG + ng G = 0, (7) pak změnou proudového přenosu n lze řídit činitel jakosti Q. 6-

13 008/ Vzájemně nezávislou změnu činitele jakosti Q a charakteristického kmitočtu f 0 umožní filtr, jehož charakteristická rovnice bude mít tvar CE = p CC + nn p CG + nn3gg = 0. (8) Činitel jakosti je možné měnit opět proudovým přenosem n. Charakteristický kmitočet lze řídit současnou změnou přenosů n a n 3, přičemž musí platit n = n 3. Vzájemně nezávislou změnu činitele jakosti Q a charakteristického kmitočtu f 0 dále umožní filtr s charakteristickou rovnicí CE = n p CC + n p CG + n3gg = 0. (9) Činitel jakosti je možné měnit proudovým přenosem n. Charakteristický kmitočet lze řídit současnou změnou přenosů n a n 3, přičemž musí platit n = n3, což však pro praktickou realizaci není příliš vhodná podmínka. Protože proudové přenosy n aktivních prvků jsou obecně bezrozměrné veličiny, lze dále definovat charakteristické rovnice kmitočtových filtrů, kde bude možné měnit charakteristický kmitočet f 0 nezávisle na činiteli jakosti: CE = p CC + n p CG + nn GG = 0, (30) a CE = n p C C + p C G + n G G =, (3) 0 přičemž musí platit n = n resp. n = n. Parametr 0 kmitočtového filtru vyjadřující přenos v pásmu propustnosti není charakteristickou rovnicí popisován a nelze jej tedy v tomto okamžiku nijak analyzovat. Je-li však žádoucí řídit i tento parametr, lze tak učinit kaskádním řazením bloku řídícím 0 a vlastního kmitočtového filtru, jak je uvedeno na obr. 3. Obr. 3 Principiální schéma řízení parametrů činitele jakosti Q, charakteristického kmitočtu f 0, přenosu v pásmu propustnosti 0 Je-li navržen multifunkční kmitočtový filtr s několika vstupy a jedním výstupem, je vhodné použít kaskádní řazení bloků dle obr. 3a. Naopak řazení funkčních bloků dle obr. 3b je vhodné v případě, kdy kmitočtový filtr má jediný vstup a několik výstupů. Stejně jako při převodu neregulární admitanční matice na regulární pomocí operací s řádky a sloupci tak i zde je nutné znát grafy neregulárních obvodových prvků. V [6] jsou uvedeny M-C grafy univerzálního proudového a napěťového konvejoru. Při návrhu metodou autonomních obvodů se ukázalo vhodné používat jejich zobecněné ekvivalenty. Proto byly definovány redukované M-C grafy zobecněného proudového (GCC) [8] a zobecněného napěťového (GVC) [9] konvejoru, které jsou na obr

14 008/ Obr. 4 Redukované M-C grafy zobecněných aktivních prvků a) GCC [8], b) GVC [9] Nejčastěji používanými typy proudových a napěťových konvejorů jsou konvejory druhé generace. V takovém případě hodnota parametru b = 0, což vede na dále zjednodušené grafy konvejorů (obr. 5). Obr. 5 Redukovaný graf a) GCC [8], b) GVC [9] druhé generace Plný a redukovaný M-C graf prvku GCMI je uveden na obr. 6. Obr. 6 a) Plný, b) redukovaný M-C graf prvku GCMI Postup návrhu M-C grafu se třemi proudovými konvejory využitím definice D je ukázán na obr. 7. Determinant grafu se v jednotlivých fázích rozšiřuje vždy o jeden člen, tj. postupně podle obr. 7a až obr. 7c = p C C, = p C C a c p C G, (3a,b) CC a3c3 CG 3 + aac cc3g G = 0 CE p p (3c) Obr. 7 Fáze návrhu M-C grafu se třemi proudovými konvejory dle D V [30] je uveden postup návrhu multifunkčního kmitočtového filtru, který vychází z M-C grafu na obr. 7c. Na obr. 8a jsou v tomto M-C grafu již vyznačeny vstupní a výstupní proudové uzly. 6-4

15 008/ I VYST_ I VYST_3 - - pc pc -c -c a 3 -c 3 a -G -c a -G -G 3 -c3 - -c I I VYST_ a) b) Obr. 8 a) M-C graf, b) obvodová realizace multifunkčního filtru pracujícího v proudovém módu Charakteristická rovnice M-C grafu na obr. 8a je dána vztahem CE = p C C a c p C G + a a c c c G G =. (33) Platí-li pro přenosové koeficienty aktivních prvků: a = a = a3 =, c = c = c3 = a c = c = c3 =, pak uvedený multifunkční kmitočtový filtr z obr. 8b pracuje jako horní, pásmová a dolní propust s přenosovými funkcemi IVYST_ p CC I_HP I CE, IVYST_ pcg I_PP I CE, (34a,b) IVYST_3 GG I_DP I CE, (34c) kde jmenovatel CE je dán vztahem (). Úhlový charakteristický kmitočet ω 0 a činitel jakosti Q jsou dány vztahy GG CG G ω 0 =, Q =. (35a,b) C C G C Další využití grafů signálových toků k syntéze a analýze kmitočtových filtrů je možné najít v [3] až [33]. 4. Závěr V článku byly popsány teoretické poznatky vybraných metod vhodných pro návrh kmitočtových filtrů. Diskutovány byly metody vycházející z popisu zobecněných autonomních obvodů, syntetických prvků a z teorie grafů signálových toků. Přestože se návrhové postupy omezily na proudové a napěťové konvejory, a proudové aktivní prvky CMI, MCMI, popř. PCA, lze uvedené postupy s výhodou použít i pro jiné aktivní prvky. Literatura [] HÁJE,., SEDLÁČE, J. mitočtové filtry (Frequency Filters), Praha, BEN, 00, ISBN [] PAARMANN, L. D. Design and Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective, Norwell, luwer Academic Publishers, 00, ISBN [3] CHEN, W.-. The Circuits and Filters Handbook, New York, CRC Press, 003,. vydání, ISBN [4] GHAUSI, M. S., LAER,. R. Modern Filter Design: Active RC and Switched Capacitor, Atlanta, Noble Publishing, 003, ISBN [5] ROBERTS, G. W., SEDRA, A. S. All Current-mode Frequency Selective Filters, Electronics Lettres, 989, Vol. 5, No., pp [6] SUN, Y., FIDLER, J.. Versatile active biquad based on second-generation current conveyors, Int. J. Electronics, 994, Vol. 76, No., pp

16 008/ [7] ARSLAN, E., METIN, B., CAIR, C., CICEOGLU, O. A novel grounded lossless inductance simulator with CCI, In Proceedings of the Int. II. Turkish Symposium on Artificial Inteligence and Neural Networks - TAINN 003. [8] SAGBAS, M., FIDANBOYLU,., BAYRAM, M. C. Triple-input Single-output Voltagemode Multifunction Filter Using Only Two Current Conveyors, Trans. Engineering, Computing and Technology, 005, Vol. 4, pp [9] MINAEI, S., SAYIN, O.., UNTMAN, H. A new CMOS electronically tunable current conveyor and its application to current-mode filters, Tran. Circuits and Systems I, Vol. 53, pp , 006. [0] HOU, C., WU, Y., LIU, S. New configuration for single-ccii first-order and biquadratic current-mode filters, Int. J. Electronics, 99, Vol. 7, No. 4, pp [] VRBA,., ČAJA, J., ZEMAN, V. New RC-Active Network Using Current Conveyors, Radioengineering, 997, Vol. 6, No., pp. 8-. [] CICEOGLU, M. O. Active simulation of grounded inductors with CCII+s and grouded passive elements, Int. J. Electronics, 998, Vol. 85, No. 4, pp [3] OTON, J. Syntetické jednobranové prvky s proudovými konvejory a jejich aplikace (Synthetic One-port Elements with Current Conveyors and Their Applications), In Proceedings of the 6th Conference of Electrotechnics and Informatics 005, Plzen, Czech Republic, 005, ISBN [4] BRUTON, L. T. Network Transfer Functions Using the Concept of Frequency-Dependent Negative Resistance, IEEE Trans. Circuit Theory, 969, pp [5] WU, J., EL-MASRY, E. Current-mode ladder filters using multiple output current conveyors, IEE Proc. Circuits Device Syst., 996, Vol. 43, No. 4, pp. 8-. [6] BIOLE, D., CAJA, J, BIOLOVA, V. Modeling of Current and Voltage Conveyors by Flow Graph Method, IASTED International Conference on Circuits, Signals and Systems, 003, ISBN [7] BIOLE, D. Grafy signálových toků pro analýzu obvodů (nejen) v proudovém módu (Flow Graphs for Analysis (not only) Current-Mode Analogue Blocks), Elektrorevue Internet Journal ( 00, No. 3. ISSN [8] ČAJA, J., VRBA,. Metodika návrhu kmitočtových filtrů s novými aktivními prvky, Výzkumná zpráva FET, VUT v Brně, Brno, 003. [9] OTON, J., VRBA,. Pure Current-Mode Frequency Filter for Signal Processing in High- Speed Data Communication. In Proceedings of the Second International Conference on Systems, ICONS 007. Sainte-Luce, Martinique, France: IEEE Computer Society, 007. s. -4. ISBN: [0] ČAJA, J., VASIL, J. Teorie lineárních obvodů, SNTL Praha, 979. [] OTON, J., VRBA,. HANÁ, P. Frequency Filter with Current Conveyors for Signal Processing of Data-Buses Working in the Current-mode, In Proceedings of the 5th International Conference on Networking ICN 006, Morne, 006, ISSN [] OTON, J.; VRBA,. New Multifunctional Frequency Filter Working in Current-mode. Mobile and Wireless Communication Networks, 007, roč. 007, č. 9, s ISSN: [3] OTON, J., VRBA.. Návrh kmitočtových filtrů pomocí autonomního obvodu s úplnou sítí admitancí (Frequency Filter Design Using Autonomous Circuits with Full-Admittance Network), Elektrorevue Internet Journal ( 005, No. 33, ISSN [4] BRUTON, L. T. RC Active Circuits Theory and Design, New Jersey, Prentice Hall 980, ISBN [5] ŠPONAR, R. Syntetické dvojpólové prvky s imitancemi vyšších řádů v kmitočtových filtrech s proudovými konvejory (High-Order Imittance Synthetic One-port Elements in Frequency Filters with Current Conveyors), Elektrorevue Internet Journal ( 004, No. 3, ISSN

17 008/ [6] OTON, J., VRBA,. Electronically Tunable Frequency Filters Based on Transformation Cells, In Proceedings of the Second International Conference on Systems, ICONS 008. Cancun, Mexico: IEEE Computer Society, 008. s ISBN: [7] OTON, J.; USHAOV, P. Theory of Synthetic Elements and Their Usage in Frequency Filter Design. International Transaction on Computer Science and Engineering, 007, Vol. 4, No., pp , ISSN: [8] OTON, J., VENCLOVÝ, M. Synthesis of Circuits with Current Conveyors Using Signal- Flow Graph Method, In Proceedings of the Research in Telecommunication Technology 007, Liptovky Jan, Slovakia, 007, ISBN [9] MINARČÍ, M. Continunous-Time Active Filter with High Input and Low Output Impedance Design Using Signal-Flow Graphs, In Proceedings of the Research in Telecommunication Technology 007, Liptovky Jan, Slovakia, 007, ISBN [30] OTON, J., VENCLOVY, M. Synthesis of Circuits with Current Conveyors Using Signal- Flow Graph Method, In Proceedings of the Research in Telecommunication Technology 007, Liptovky Jan, Slovakia, 007, ISBN [3] OTON, J., MINARČÍ, M. Využití grafů signálových toků pro analýzu obvodů s proudovými konvejory (The Usage of Signal Flow Graphs for Analysis of Circuits With Current Conveyors), Elektrorevue Internet Journal ( 006, No. 39, ISSN [3] OTON, J., MINARČÍ, M., VRBA,. Analýza obvodů s proudovými konvejory metodou grafů signálových toků (Analysis of Circuits With Current Conveyors Using Signal Flow Graph Method), In Proceedings of the Research in Telecommunication Technology 006, Nove Mesto na Morave, Czech Republic, 006, ISBN [33] OTON, J., USHAOV, P. Designing Frequency Filters Using the Signal-Flow Graph Theory. In First forum of young researches. Izhevsk: Publishing House of ISTU, 008. pp ISBN: [34] FABRE, A., SAAID, O., WIEST, F., BOUCERON, C. Current coltrolled bandpass filter based on translinear conveyors, Int. J. Electronics, 995, Vol. 3, No. 0, pp [35] ELWAN, H. O., SOLIMAN, A. M. A novel CMOS current conveyor realization with an electronically tunable current mode filter suitable for VLSI. IEEE Trans. Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, 996, Vol. 43, No. 9, pp [36] DELIYANNIS, T., SUN, Y., FIDLER, J.. Continuous-Time Active Filter Design, New York, CRC Press, 999, ISBN