U1, U2 vnější napětí dvojbranu I1, I2 vnější proudy dvojbranu

Transkript

1 DVOJBRANY Definice a rozdělení dvojbranů Dvojbran libovolný obvod, který je s jinými částmi obvodu spojen dvěma páry svorek (vstupní a výstupní svorky). K analýze chování obvodu postačí popsat daný dvojbran pouze vztahy mezi napětími a proudy na vstupních a výstupních svorkách, tj. mezi vnějšími veličinami. Nezajímají nás napětí a proudy ve větvích uvnitř dvojbranu. Vnitřní struktura dvojbranu může být libovolně složitá. U, vnější napětí dvojbranu I, vnější proudy dvojbranu Budeme vyšetřovat chování dvojbranu v harmonickém ustáleném stavu, použijeme SKM, tzn., že budeme pracovat s fázory napětí a proudů. Při návrhu přenosové cesty od zdroje ke spotřebiči pro přenos energie nebo signálu pracujeme s těmito typickými dvojbrany: vedení (dvouvodičové nebo koaxiální kabel) modelované T článkem nebo Π článkem ideální transformátor dělič napětí derivační, integrační členy elektrické filtry zesilovače a útlumové články apod. Rozdělení dvojbranů a) podle fyzikální struktury lineární (obsahují pouze lineární prvky), nelineární (obsahují i nelineární prvky: diody, transistory, operační zesilovače) aktivní ( se zdroji), pasivní (pouze R,L,C) aktivní dále dělíme na: autonomní x neautonomní autonomní (obsahují pouze nezávislé zdroje napětí a proudu) neautonomní (s řízenými zdroji tranzistory, op. zesil.) neautonomní nemůže trvale dodávat činný výkon autonomní s nezávislými zdroji může trvale dodávat činný výkon b) podle topologické struktury články : T, Π, Γ(levý, pravý), X, přemostěný T článek atd. T-článek Π-článek Γ-článek

2 Dále rozlišujeme dvojbrany podélně a příčně symetrické podélně symetrický příčně symetrický Nesymetrické např. Γ článek Rovnice neautonomního dvojbranu autonomní dvojbran převedeme na neautonomní, jestliže zdroje připojíme k vnějším svorkám rovnice dvojbranu vyjadřují vztahy mezi vstupními a výstupními veličinami Dosud jsme pracovali s dvojpóly, vztahy mezi fázorem napětí a proudu bylo možno vyjádřit dvěma rovnicemi s komplexními parametry Z, Y (komplexní impedance a admitance) U Z I I Y U Dvojbran: je definován 2 vstupními a 2 výstupními veličinami, existuje celkem 6 možností pro vyjádření vztahů mezi nimi. Každé přiřazení lze vyjádřit pomocí charakteristických matic dvojbranu, jsou to čtvercové matice řádu (2, 2) Např.: U, U 2 f (I, I 2 ) U, I f ( U 2, I 2 ) CHARAKTERISTICKÉ MATICE DVOJBRANU. impedanční matice dvojbranu Z {z ij } vyjadřuje napětí pomocí proudů U, U 2 f (I, I 2 ) U z z2 I U z 2 2 z 22 I 2 2. admitanční matice dvojbranu z Z z 2 z2 z 22 y Y y 2 y2 y 22 Y {y ij } vyjadřuje proudy pomocí napětí I, I 2 f ( U, U 2 ) I y I y 2 2 y 2 U y 22 U 2 Impedanční a admitanční matice nazýváme IMITANČNÍ MATICE Y Z -

3 3. postupná (přímá) kaskádní matice A {a ij } vyjadřuje vstupní veličiny pomocí výstupních U, I f (U 2, I 2 ) U a a2 U 2 I a 2 a 22 I 2 U kaskádní matice orientujeme proud na výstupních svorkách opačně (ve směru toku energie) 4. zpětná kaskádní matice B {b ij } (vyjadřují výstupní veličiny pomocí vstupních) U 2, I 2 f ( U, I ) U 2 b b2 U I b 2 2 b 22 I Kaskádní matice nazýváme PŘENOSOVÉ MATICE 5. sériově paralelní matice B A - H {h ij } U, I 2 f ( I, U 2 ) G {g ij } I, U 2 f ( U, I 2 ) U h h2 I I h 2 2 h 22 U 2 6. paralelně sériová matice I g U g 2 2 g2 U g 22 I 2 G H - Sériově paralelní a paralelně sériovou rčování charakteristických maticmatici nazýváme HYBRIDNÍ MATICE

4 Určování charakteristických matic Prvky charakteristických matic lze vyšetřit několika způsoby: z rovnic obvodu ze stavu naprázdno nakrátko (výpočtem nebo i měřením) ze vzájemných vztahů mezi charakteristickými maticemi z tabulek dvojbranů. Určování charakteristických matic z rovnic obvodu Postup: formulujeme rovnice dvojbranu některou ze známých metod analýzy a upravíme je do tvaru charakteristických rovnic. Prvky charakteristické matice dostaneme jejich porovnáním Stanovte impedanční matici T článku Formulujeme rovnice pro smyčky s a s2: s: s2: I ( Z Z 3 ) I 2 Z 3 U IZ 3 I 2 ( Z 2 Z 3 ) U 2 Z3 Z Z3 Z Z 2 Z 3 Z3 Pro symetrický dvojbran platí Z Z 2 z z 22 Určete admitanční matici π článku Formulujeme rovnice metodou uzlových napětí pro uzly A a B: A: B: U U U 2 0 Z U 2 U U 2 0 Z3 I Upravíme je do tvaru U 2 I U Z Z 2 I 2 U U 2 Z3 Z Z 2 Y Z 2 Y2 Z 2 Y Y2 Y2 Y2 Y3 Z 2 Z 3 Pro symetrický dvojbran platí Z Z 3 y y 22 Y Y2

5 Dvojbrany složené pouze z pasivních prvků jsou reciprocitní, mezi prvky imitančních matic pak platí následující vztahy: z2 z 2 y2 y 2 Reciprocitní dvojbrany splňují princip reciprocity, který lze formulovat následovně a) připojíme-li zdroj napětí na vstupní (resp.) výstupní svorky a určíme-li proud mezi výstupními (resp. vstupními) svorkami spojenými nakrátko, pak pro dvojbrany splňující princip reciprocity platí: pokud jsou napětí zdroje shodná u0 u02, pak se shodují i proudy i i2 b) připojíme-li zdroj proudu na vstupní (resp.) výstupní svorky a určíme-li napětí naprázdno mezi výstupními (resp. vstupními) svorkami, pak pro dvojbrany splňující princip reciprocity platí: pokud jsou proudy zdroje i i2 shodné, pak se shodují i napětí u u2 Princip reciprocity (možnost záměny vstupních a výstupních svorek) splňují všechny pasivní dvojbrany V obvodu dle obrázku byly pro zdroj U0 0 V změřeny proudy: I 7 A, 3 A. Určete celkový proud procházející odporem R, připojíme-li na výstupní svorky dodatečně zdroj U02 4 V. Hledaný proud vypočteme pomocí principu reciprocity zdroj napětí U0 0 V (resp. U02 4 V zdroj napětí je připojen ke vstupním svorkám připojen na výstup působí-li v obvodu oba zdroje, pak proud I 7 -,2 5,8 A

6 Určete kaskádní matici Γ článku s: A: A Z Z U U 2 Z 2 ( I 2 ) I [U 2 ( I 2 )] ( I 2 ) Z I Z U 2 2 ( I 2 ) Z Z I 2 Z 2 U 2 U 0 U I I 2 0 Z Z Z det A 2 2 Z Z pro kaskádní matice reciprocitních dvojbranů platí det A Obecný dvojbran má charakteristickou matici řádu (2,2) je třeba určit 4 prvky Je-li dvojbran reciprocitní (tj. složený pouze z pasivních prvků), pak vztah mezi prvky charakteristické matice lze vyjádřit pomocí rovnice postačí určit pouze 3 prvky je-li dvojbran symetrický, pak platí další rovnice vyjadřující vzájemný vztah mezi prvky charakteristické matice postačí určit pouze 2 prvky reciprocita z2 charakteristických z2 y2 y2 h2 - h2 gdvojbranů det A reciprocitních det B a symetrických 2 - g2 Vztahy mezi prvky matic symetrie z z22 y y22 a a22 b b22 det H det G Pro symetrický T článek určete hybridní matici H Dvojbran je symetrický a reciprocitní 2 prvky určíme z rovnic obvodu, další 2 z tabulky Sérioparalelní rovnice jsou ve tvaru U hi h2 U 2 I 2 h 2I h 22 U 2 Rovnice pro smyčku s: I 2 ( Z Z 2 ) I Z 2 U 2 I 2 I h 2 Z Z 2 h 22 reciprocita: h2 h 2 symetrie: Z Z 2 Z Z 2 Z Z 2 Z Z 2

7 det H h Z ( Z 2 Z 2 ) Z Z 2 h Z Z 2 2 h Z Z 2 Z Z 2 ( Z Z 2 ) 2 Z Z 2 Z ( Z 2 Z 2 ) Z Z Z Z 2 2 H Z Z 2 Z Z 2 2. Určování charakteristických matic dvojbranu z chodu naprázdno a nakrátko Tento postup je založen na myšlence, že vtahy mezi vnějšími napětími a proudy lze snadno vyšetřit (vypočítat nebo změřit) pro následující stavy dvojbranu vstup resp. výstup naprázdno (vstupní resp. výstupní svorky jsou rozpojeny) vstup resp. výstup nakrátko (vstupní resp. výstupní svorky jsou spojeny dokrátka) Matematicky tyto stavy vyjadřujeme takto: stav naprázdno podmínkou I0 stav nakrátko podmínkou U0 Dosadíme-li tuto podmínku do charakteristických rovnic dvojbranu, zůstane na pravé straně obou rovnic pouze jeden člen, z takto upravených rovnic lze přímo určit příslušné prvky charakteristických matic. Přitom často používáme následující označení: vstupní impedance (naprázdno, nakrátko) jako poměr napětí a proudu na vstupních svorkách při výstupu dvojbranu(naprázdno, nakrátko) výstupní impedance (naprázdno, nakrátko) jako poměr napětí a proudu na výstupních svorkách při vstupu dvojbranu (naprázdno, nakrátko) komplexní přenos napětí jako poměr výstupního a vstupního napětí (pro stav naprázdno) komplexní přenos proudu jako poměr výstupního a vstupního proudu (pro stav nakrátko) Naznačený postup ukážeme na vyšetření prvků impedanční a kaskádní matice, pro další dvě často používané (admitanční a serioparalelní) jsou příslušné vztahy uvedeny v tabulce. Stanovení prvků impedanční matice

8 Impedanční rovnice jsou U z I z2 I 2 U 2 z 2I z 22 I 2 a) Je-li výstup naprázdno, pak platí I 2 0 U z I U 2 z 2 I z z 2 U I I 2 0 I I 2 0 vstupní impedance naprázdno přenosová impedance naprázdno b) Je-li výstup naprázdno, pak platí I 0 U z2 I 2 U 2 z 22 I 2 z 2 z 22 U I 0 I 0 přenosová impedance nakrátko výstupní impedance naprázdno Stanovte prvky impedanční matice pro T-článek složený z odporů z 60 Ω z 2 reciprocitní z2 z 2 I z Ω I I 40 Ω I 60 Z Stanovení prvků kaskádní matice A U a U 2 a2 ( I 2 ) I a 2 U 2 a 22 ( I 2 ) U a U 2 výstup naprázdno 0 a U výstup nakrátko 0 I 2 0 přenos napětí a I 2 (zpětný) U a2 ( I 2 ) I a 2 U 2 přenosová admitance I 2 0 I a 22 ( I 2 )

9 a 22 I I 2 U 2 0 přenos proudu (zpětný) a2 U I 2 přenosová impedance U 2 0 Pasivní symetrický dvojbran je sestaven pouze z odporů. Z údajů ampérmetru A a voltmetrů V, V2 stanovte prvky kaskádní matice A. odpor voltmetru, výstup naprázdno U I 0,2 a 2 0, 2 a reciprocitní a a 22 det A 2 a2 4 0, a2 a2 30 0, 2 Určete prvky admitanční matice Γ článku (viz tabulka) I Z I 2 U 2 Z Z 2 y2 y 22 y I U Z y 2 U Z Z Y Z Z Z Z 2 Dvojbran je složen pouze z odporů, měřením byly zjištěny následující hodnoty: výstup naprázdno I ma, U 2 V, 0,5 V vstup naprázdno ma, U 0,5 V, V Stanovte jeho impedanční matici a určete, z jakých odporů je složen, je-li to T článek. 0 I 0 z U 2000 Ω I z2 U 500 Ω z Ω I z Ω

10 R R 3 ZT R R 2 R R3 R Ω R Ω R Ω Stanovte prvky hybridní matice T článku (hodnoty odporů jsou udány v Ω) Výstup nakrátko: U h I U h2 I 2 0 I ( ) 4Ω I U Vstup naprázdno: h22 h H U I 0 I 0 S 9I 2 9 6I 2 2 9I 2 3 reciprocitní h2 h2 Pro obvod s řízeným zdrojem napětí určete prvky kaskádní matice A. výstup naprázdno 0 30 I U s: 3I U 2 20 I 0 s2: U 2 7 I a U 30 I 30 U 2 7 I 7 a2 I U 2 7 výstup nakrátko 0 0 I 3I U s: U 3 I (proudový dělič)

11 s2: a A 7 U 3I I I a22 U I 7 I 2 I I I I 20 I 2 7

12 Ekvivalentní dvojbrany Dva dvojbrany jsou ekvivalentní, jsou-li na jejich vstupních a výstupních svorkách stejná napětí a proudy, tj, mají-li shodné charakteristické matice Postup pro určení ekvivalentního dvojbranu Pro daný dvojbran vyšetříme některou jeho charakteristickou matici. Tutéž charakteristickou matici určíme pro náhradní dvojbran. Pro ekvivalentní dvojbrany platí rovnost mezi jejich charkteristickými maticemi. Porovnáním stejnolehlých prvků obou charakteristických matic dostaneme soustavu čtyř algebraických rovnic, jejichž vyřešením nalezneme hodnoty prvků náhradního dvojbranu. Náhrada platí jen za určitých omezujících předpokladů, např. pro určitý kmitočet. Nahraďte ideální transformátor ekvivalentním T článkem rovnice transformátoru jω LI jω MI 2 U jω MI jω L 2 I 2 U 2 jω L Z jω M upravíme do tvaru impedančních rovnic jω M jω L 2 Z3 Z Z3 ZT Z 2 Z 3 Z3 porovnáním dostaneme Z 3 jω M Z jω L jω M jω ( L-M ) Z 2 jω L 2 jω M jω ( L 2 -M ) 0 j 20 j Dvojbran s impedanční maticí Z je realizován Z 30 j 20 j a) T článkem b) π článkem Určete, z jakých prvků bude sestaven a jaká podmínka musí být splněna. Z3 Z Z3 ZT Z 2 Z 3 Z3 a) j ωc Z 0 j Z 3 30 j jω L Z 3 20 j Z 2 30 j Z 3 50 j jω L 2 např.: ω000 s L 30 mh L 2 50 mh C 50 μf Prvky T-článku jsou frekvenčně závislé, ekvivalence dvojbranů bude platit pouze pro zvolenou frekvenci

13 b) Oba dvojbrany T-článek i Π jsou frekvenčně závislé, neboť obsahují reaktanční prvky L a C, ekvivalence dvojbranů bude platit pouze pro zvolenou frekvenci