20ZEKT: přednáška č. 3

Transkript

1 0ZEKT: přednáška č. 3 Stacionární ustálený stav Sériové a paralelní řazení odporů Metoda postupného zjednodušování Dělič napětí Dělič proudu Metoda superpozice Transfigurace trojúhelník/hvězda Metoda uzlových napětí Výpočetní příklady

2 Stacionární ustálený stav (S.U.S.) Stacionární ustálený stav Aktivní obvodové prvky (zdroje) mají konstantní průběh napětí/proudu v čase Konstantní napětí značíme U, konstantní proud značíme I Chování základních pasivních dvojpólů při S.U.S ezistor Platí Ohmův zákon U=.I (pro ideální odpor platí vždy) Induktor (cívka) L Platí u(t)=l.di(t)/dt=l.di/dt=0 - chová se jako zkrat (U=0, I=konst) Kapacitor (kondenzátor) C Platí i(t)=c.du(t)/dt=c.du/dt=0 - chová se jako rozpojený obvod (I=0, U=konst)

3 L C

4 Analýza obvodů ve S.U.S. Vše vychází z Ohmova zákona =U/I Metoda postupného zjednodušování (sériové a paralelní řazení odporů) Dělič napětí Dělič proudu Metoda superpozice Theveninův teorém Transfigurace trojúhelník/hvězda

5 Sériové a paralelní řazení prvků Sériové řazení (za sebou, sériově, v sérii) Def.: prvky jsou v sérii, teče-li jimi stejný proud a celkové napětí na nich je součtem dílčích napětí tj. I = I a U =U=U +U Topologicky: prvky jsou v sérii, jsou-li bezprostředně za sebou a do uzlu mezi prvky neústí žádná další větev (kromě větví odpovídajících sériovým prvkům) Paralelní řazení (vedle sebe, paralelně) Def.: prvky jsou zapojeny paralelně, je-li na nich stejné napětí a jejich celkový proud je součtem dílčích proudů tj. U = U a I =I=I +I Topologicky: prvky jsou paralelně, jsou-li začátky a konce obou prvků vodivě spojeny

6 Dělič napětí Dělič napětí je část obvodu, kterou tvoří sériově řazené rezistory a je vztah pro výpočet dílčího napětí z celkového napětí I =I U =U=U +U => Výsledné vztahy:.. i i u u u u u u u u u

7 Dělič proudu Dělič proudu je část obvodu, kterou tvoří paralelně řazené rezistory a je vztah pro výpočet dílčího proudu z celkového proudu U =U I =I=I +I => Výsledné vztahy: ) (... u u u u u u i i i i i i i i i

8 Sériové a paralelní řazení odporů Sériové řazení rezistorů Paralelní řazení rezistorů.

9 Metoda postupného zjednodušování Použitelnost Pro výpočet dílčích napětí/proudů v nejjednodušších obvodech (maximálně zdroj, jednodušší konfigurace odporů) Postup Pohledem na obvod zjistíme které odpory jsou v sérii a které paralelně (pozor, může se stát, že nic nebude ani v sérii ani palalelně - pak je třeba počítat jinou metodou) Postupné zjednodušování obvodu: Postupně nahradíme sériové odpory náhradním odporem = + a odpory paralelně odporem =(. )/( + ), tak postupně vznikají čím dál jednodušší meziobvody, až nakonec vznikne obvod s jediným zdrojem a rezistorem Zpětné dopočítávání chybějících hodnot: Pokud chceme určit nějaké dílčí napětí/proud, vracíme se zpět přes jednotlivé meziobvody až do původního (výchozího, složitého) obvodu a ve všech meziobvodech pomocí Ohmova zákona dopočítáme chybějící hodnoty (proud nebo napětí)

10 Metoda superpozice Použitelnost Pro výpočet dílčích napětí/proudů v obvodech s více zdroji Princip je použitelný v obvodech s libovolným napájením (nejen v obvodech ve S.U.S.), ovšem pouze v lineárních obvodech (všechny obvodové prvky musí být lineární). Postup Úlohu výpočtu určitého napětí u? nebo proudu i? rozdělíme na tolik dílčích úloh, kolik je v obvodu zdrojů (nechť je jich n ) Každá dílčí (k-tá) úloha potom bude obvod s jediným zdrojem, přičemž všechny ostatní zdroje vyřadíme Vyřazení zdroje napětí - nahradíme jej zkratem (U=0) Vyřazení zdroje proudu - nahradíme jej rozpojením příslušné větve (I=0) Pro každou dílčí (k-tou) úlohu spočítáme příspěvek dílčího napětí u?k nebo proudu i?k (metodou postupného zjednodušování, pomocí děličů, nebo i jinak) Napětí u? nebo proud i? původní úlohy získáme jako součet dílčích n n příspěvků (součet výsledků dílčích úloh) u u i i?? k? k k? k

11 Transfigurace hvězda trojúhelník trojúhelník hvězda Použitelnost Jako dílčí krok pro výpočet napětí/proudů v určitých typech obvodů Princip Z pohledu zbytku obvodu lze nahradit část obvodu (hvězdu resp. trojúhelník) jinou částí obvodu (trojúhelníkem resp. hvězdou)

12 Poznámka Svorka (uzel) 0 v nově tvořené hvězdě je fiktivní (v původním obvodu neexistuje) Odvození v SW Mathematica

13 Transfigurace hvězda trojúhelník ( /) Poznámka V původním obvodu existující svorka (uzel) 0 v nově tvořeném obvodu s trojúhelníkem není Odvození v SW Mathematica

14 Metoda uzlových napětí Obecná metoda pro analýzu (lineárních) obvodů. Lze použít i pro složité obvody, pouze je vyšší počet rovnic. Vychází z. Kirchhoffova zákona součet proudů tekoucích z jednoho uzlu musí být roven nule. Řešený příklad: Určete proudy a napětí na všech prvcích obvodu Zadáno: I = 0. A, I = 0. A, = 0 Ω, = 40 Ω, 3 = 60 Ω, 4 = 70 Ω, 5 = 0 Ω.

15 Metoda uzlových napětí - postup. Označení uzlů jeden z uzlů označíme jako referenční, tam budeme předpokládat nulové napětí. ostatní uzly označíme libovolně jako neznámá uzlová napětí. pozor: uzel může být i bez větvení viz uzel U D Řešený příklad: označení uzlů

16 Metoda uzlových napětí - postup. Sestavení rovnic: pro všechny uzly kromě referenčního sestavíme (obvodové) rovnice podle. Kirchhoffova zákona, přičemž za proudy dosazujeme pomocí (uzlových) napětí, které se vyskytují v daných uzlech. Přitom ještě dbáme na směr proudů/napětí. Řešený příklad:

17 Metoda uzlových napětí - postup 3. Řešení rovnic: vyřešíme soustavu obvodových rovnic - získáme neznámé - uzlová napětí. Řešený příklad: 4. Dopočtení požadovaných veličin: všechna napětí a proudy v obvodu lze potom určit pomocí vypočtených uzlových napětí Řešený příklad: Pozor na směr napětí, rozdíl píšeme tak, aby výsledek byl kladný. Tím je dán směr napětí - od vyššího napětí k nižšímu.

18 Zdroje napětí u metody uzl. napětí Metoda uzlových napětí Obvodové rovnice mají jednotky proudu - Ampéry Není problém zahrnout do rovnic zdroje proudu Jakým způsobem uvažovat zdroj napětí? Využijeme toho, že zdroj napětí udržuje na svých svorkách napětí. eferenční uzel volíme u zdroje napětí na jeho nižším napětí. Napětí uzlu na druhé straně zdroje napětí je dáno hodnotou napětí zdroje. Je-li napětí známé, je třeba snížit počet rovnic - nepsat pro uzel odpovídající zdroji napětí rovnici, pouze uvažovat příslušné uzlové napětí v ostatních rovnicích.

19 Metoda uzlových napětí - rozšířený postup pro obvody se zdrojem napětí. Jeden z uzlů označíme jako referenční (tam budeme předpokládat U=0 V). Pokud je v obvodu zdroj napětí, volíme referenční uzel na jeho svorce s nižším napětím.. Pro ostatní uzly (pro "nereferenční") sestavíme (obvodové) rovnice podle. Kirchhoffova zákona, přičemž za proudy dosazujeme pomocí (uzlových) napětí, které se vyskytují v daných uzlech. Přitom ještě dbáme na směr proudů/napětí. Je-li v obvodu zdroj napětí, nesestavujeme rovnici ani pro uzel odpovídající svorce zdroje napětí. 3. Vyřešíme soustavu obvodových rovnic - získáme neznámé - uzlová napětí. 4. Všechna napětí a proudy v obvodu lze potom určit pomocí vypočtených uzlových napětí Pozn.: pro více zdrojů napětí než jeden je nutné použít metodu řezů, viz literatura.

20 Řešený příklad: Určete proudy a napětí na všech prvcích obvodu Zadáno: U = 3.4 V, I = 0. A, = 0 Ω, = 40 Ω, 3 = 60 Ω, 4 = 70 Ω, 5 = 0 Ω.. Označení uzlů viz obr.. Sestavení rovnic (pouze 3 rovnice!)

21 3. Vyřešení rovnic 4. Dopočtení požadovaných veličin

22 Počet rovnic a neznámých Počet rovnic a neznámých musí být stejné číslo Metoda uzlových napětí poč c =poč u --poč Zdr.Nap poč c...počet nezávislých rovnic poč u...počet uzlů poč Zdr.Nap...počet zdrojů napětí

23 Výpočetní příklady Příklad 3_: Pro obvod ve stacionárním ustáleném stavu určete napětí a proudy na všech obvodových prvcích. Zadáno: U = 3 V, = kω, L = 5 μh, C = 570 nf

24 Příklad 3_: Pro obvod ve stacionárním ustáleném stavu určete napětí na rezistoru a napětí v uzlu A. Zadáno: U = 30 V, = Ω, = 3 Ω, 3 = 0 Ω

25 Příklad 3_3: Pro obvod ve stacionárním ustáleném stavu určete napětí a proudy na všech obvodových prvcích. Zadáno: I = 5 ma, = kω, = 3 kω

26 Příklad 3_4: Pro obvod ve stacionárním ustáleném stavu určete proud napětí na rezistoru 4. Zadáno: U = 0 V, = kω, = 3 kω, 3 = 6 kω, 4 = 4 kω, 5 = 6,4 kω, 6 = 7 kω, L = 3 μh, C = 330 pf

27 Příklad 3_5: Pro obvod ve stacionárním ustáleném stavu určete proud rezistorem a napětí na rezistoru 4. Zadáno: U = 3 V, = 4 Ω, = 6 Ω, 3 = 5,7 Ω, 4 = 7,6 Ω, L = 3 μh, C = 330 pf.

28 Příklad 3_6: Pro obvod ve stacionárním ustáleném stavu určete proud a napětí na rezistoru 3. Zadáno: U = 0 V, I = 00 ma, = 40 Ω, = 50 Ω 3 = 60 Ω, C = 6 μf.

29 Příklad 3_7: Pro obvod ve stacionárním ustáleném stavu určete proud a napětí na rezistoru 5. Zadáno: a) U = 0 V, = 400 Ω, = 400 Ω 3 = 000 Ω, 4 = 44 Ω, 5 = 00 Ω. b) U = 0 V, = 400 Ω, = 400 Ω 3 = 050 Ω, 4 = 300 Ω, 5 = 300 Ω.

30 Literatura Havlíček V., Pokorný M., Zemánek I.: Elektrické obvody, ČVUT 005