Modelování rekonexe magnetického pole pomocí metody konečných prvků

Transkript

1 Modelování rekonexe magnetického pole pomocí metody konečných prvků J. Skála, Univerzita J.E. Purkyn, Ústí nad Labem a Astronomický ústav AV ƒr, Ond ejov, M. Bárta, Max Planck Institute for Solar System Research, Katlenburg-Lindau a Astronomický ústav AV ƒr, Ond ejov, M. Varady, Univerzita J.E. Purkyn, Ústí nad Labem a Astronomický ústav AV ƒr, Ond ejov, Abstrakt Magnetická rekonexe ve slune ních erupcích zahrnuje ohromný rozsah vzájemn propojených ²kál od globálních rozm r erupce aº po ²kály, kde na úrovni kinetických d j probíhá vlastní disipace magnetické energie a urychlování ástic. Jednu z hlavních nezodpov zených otázek tohoto procesu tudíº p edstavuje fyzikální mechanismus p enosu volné magnetické energie od velkých m ítek, na nichº je energie akumulována, k disipativním ²kálám. V p ísp vku se zabýváme studiem tohoto problému za pomoci pokro ilých technik v numerickém modelování. Nejprve prezentujeme výsledky zaloºené na tradi n j²í metod kone ných diferencí Finite Dierence Method FDM) s pouºitím techniky adaptivního zjem ování výpo etní m íºe Adaptive Mesh Renement AMR). P estoºe nám tento p ístup poskytl vhled do mechanismu energetické kaskády v rekonexi, detailní analýza ukázala i n která slabá místa, kterými zmín ná metoda trpí. Jako mnohem p irozen j²í p ístup k multi²kálovému procesu magnetické rekonexe se proto jeví numerické modelování metodou kone ných prvk Finite Element Method FEM). V p ísp vku p iná²íme srovnání obou p ístup a první výsledky modelování magnetické rekonexe ve slune ní erupci získané s pomocí FEM. 1. ÚVOD Rekonexe magnetického pole je v sou asné dob povaºována za hlavní mechanismus uvoln ní energie ve slune ních erupcích. Nicmén mnoho otázek spojených s tímto procesem z stává otev ených. Nejmarkantn j²ím problémem je obrovský rozdíl mezi charakteristickými rozm ry struktur, na nichº je volná magnetická energie akumulována a ²kálami, kde podle teorie dochází k její skute né disipaci skrze neideální kinetické procesy. Zatímco typické m ítko struktur jejichº pozorování v erupci jsou interpretována jako projev proudové vrstvy je 1000 km, typická ²í ka disipativní proudové vrstvy udávaná teorií je pro parametry koronálního plazmatu pouze 10 m. Krom toho, tradi ní pojetí rekonexe s jedinou disipativní oblastí selhává v konfrontaci se zna nými toky urychlených elektron odvozených pom rn spolehliv z pozorování v tvrdém rentgenovském zá ení je totiº prakticky nemoºné urychlit poºadované mnoºství elektron v tomto pom rn velmi malém prostoru. Motivováni snahou po p eklenutí zmín ného propastného rozsahu ²kál Shibata a Tanuma 2001) navrhli schematický koncept fraktální p esn ji e eno kaskádní) rekonexe. Jejich schema p edpokládá tvorbu celé kaskády magnetických ostrov tzv. plasmoid ) mechanismem známým jako tearing instability na plném rozsahu ²kál od typických rozm r globální proudové vrstvy aº po disipativní ²kálu. Hlavní my²lenku jejich koncepce zachycuje obr. 1. V tomto p ísp vku si klademe za cíl ov it a dále rozvinout my²lenku kaskádní rekonexe pomocí numerického modelu popisujícího proces rekonexe v erupci soustavou MHD rovnic. Vzhledem k tomu, ºe se z principu jedná o dynamický systém pokrývající ²iroký rozsah ²kál, standardní metody e²ení parciálních diferenciálních rovnic zaloºené na superjemné jednoduché strukturované síti jsou z d vodu obrovského mnoºství sí ových bod pot ebných k 84

2 Obr. 1. Představa kaskády v trhání proudové vrstvy v rekonexi ve sluneční erupci podle Shibaty a Tanumy, 2001 vpravo) a její zasazení do rámcového schematu navrženého Karlickým 2004) pro vysvětlení vícero simultánně pozorovaných radiových vzplanutí typu DPS vlevo). simulaci i malých ²kál technicky nepouºitelné. Tento problém se pokou²íme obejít pouºitím dvou p ístup : zavedením adaptivního zjem ování výpo etní sít do metody kone ných diferencí AMR FDM), a nov ji alternativn téº metodou kone ných prvk FEM) umoº ující p irozenou adaptaci velikosti výpo etních element charakteristickým rozm r m struktur, které pokrývají. 2. MODEL Velko²kálovou L 10 m pro typické parametry v erupci) dynamiku magnetizovaného koronálního plazmatu je moºné popsat soustavou MHD rovnic pro stla itelnou resistivní tekutinu Priest, 1982): u + u) = 0 + u )u = p + j B + g 1) B = u B) ηj) U + S = u g. Pro ú ely simulací je vhodné soustavu rovnic 1) p evést do tzv. konzervativního tvaru, kdy stav systému je dán vektorem základních stavových veli in Ψ =, u, B, U), kde, u, B, U jsou po ad hustota, makroskopická rychlost, magnetická indukce a celková energie. Jednotlivé MHD rovnice pak nabývají tvaru zákon zachování hmoty, hybnosti, magnetického toku a energie. Tok energie S, proudová hustota j a celková energie U jsou dány pomocnými vztahy B = µ 0 j U = p γ u2 + B2 ) S = U + p + B2 u B) u B + η j B 2µ 0 µ 0 µ 0 2µ 0 2) Mikroskopické kinetické) efekty vstupují do velko²kálové dynamiky p es transportní koecient zobecn né rezistivity η. Protoºe v rámci MHD modelu není moºné popsat vlivy kinetických efekt, je zobecn ná rezistivita modelována vztahem { 0 : ud u cr ηr, t) = C u Dr,t) u cr ) u 0 : u D > u cr 3) Vztah 3) vyjad uje obecn uznávaný fakt, ºe pokud relativní rychlost elektron v i iont m u D r, t) = jr, t) en e 4) p edstavující elektrický proud p esáhne danou kritickou rychlost u cr, je r znými kinetickými nestabilitami nap. Bunemanova nestabilita) generováno uktuující elektrické pole, jeº na proud-nesoucí elektrony p sobí podobn jako sráºky s ionty mechanismus je znám jako anomální rezistivita. Soustavu MHD rovnic 1) nelze krom vybraných speciálních p ípad e²it analyticky a je proto nutné se uchýlit k metodám numerické integrace. K problému numerického e²ení soustav parciálních diferenciálních rovnic existují v zásad dva p ístupy metoda kone ných diferencí FDM) a metoda kone ných prvk FEM). 3. METODA KONEƒNÝCH DIFERENCÍ Metoda kone ných diferencí je zaloºena na pravoúhlé diskretizaci e²ené oblasti. To znamená, ºe kontinuální stavové veli iny popisující MHD systém jsou reprezentovány svými vzorky na uzlech kartézské diskretiza ní sít. Prostorové parciální derivace v diferenciálních rovnicích se pak nahradí diferencemi s kone nou velikostí diferencí x. Rovn º as je diskretizován stav systému je denován pouze v nespojitých asových krocích a pro asovou derivaci se se pouºije nahrazení 1 t Existuje mnoho zp sob jak tuto diskretizaci provést konkrétní p edpisy jsou známy jako r zná numerická schémata. V na²í MHD simulaci zaloºené na FDM pouºíváme explicitní diskretiza ní schéma 85

3 Laxe-Wendroa Chung, 2002), které má v 1D geometrii tvar Ψ i = Ψ i tψ i+1 Ψ i ) + t2 Ψ i 1 Ψ i + Ψ i+1 ) 2 x 2 x 2 jehoº zobecn ní pro 2D a 3D geometrie je p ímo aré. Z principu FDM je z ejmé, ºe kartézská diskretiza- ní sí dokáºe obsáhnout pouze omezený rozsah ²kál v d sledku svého kone ného rozli²ení. Tradi ní MHD simulace proudové vrstvy viz nap. Kliem a kol., 2000; Bárta a kol., 2008a) proto zachycují pouze velkorozm rovou dynamiku studovaného systému. Chceme-li pokrýt v t²í rozsah simulovaných m ítek lze pro detailn j²í popsaní dynamiky proudové vrstvy pouºít techniku AMR. Ta v místech s velkým gradientem stavového vektoru adaptivn zmen²í diference i velikost asového kroku viz. obr. 2) a poskytne tak lokáln lep²í rozli²ení. x 1 t 1 x 2 t 2 Undefined value Obr. 2. Adaptivní sít metody konečných diferencí. Uvedeného p ístupu jsme vyuºili k vyt enému zkoumání relevance konceptu kaskádní rekonexe pro slune ní erupce: ke zodpov zení této otázky byl zkonstruován numerický kód implementující 2.5D MHD model pomocí metody FDM s pouºitím techniky AMR více detail v Bárta a kol., 2010). Výsledky modelování jsou zobrazeny na obr. 3. Simulace startuje z po áte ního stavu popsaného pom rn ²irokou Harrisovou proudovou vrstvou viz nap. Bárta a kol., 2008b). Tvorbu takovýchto proudových vrstev lze p irozen o ekávat pod vyvrºeným lamentem/cme. Obrázek ukazuje situaci v ase t = 300τ A, kde τ A je Alfén v as. V levé ásti je zobrazen globální pohled na rovinu xz kolmou na invariantní sm r). Je patrné, jak se okolo sou adnic x = 0, z = 70 a x = 0, z = 110 formují sekundární plasmoidy v trhající se proudové vrstv mezi hlavním plasmoidem a arkádou erup ních smy ek. Pravý panel zobrazuje zv t²ený pohled na oblast ve vybraném obdélníku. Mezi plasmoidem v okolí bodu x = 0, z = 70 a erup ními smy kami se pak tvo í je²t men²í plasmoidy v dále zten ené proudové vrstv. Tvorba plasmoid na men²ích prostorových ²kálách a pokra ující lamentace proudové vrstvy mezi t mito plasmoidy je zcela ve shod s p edstavou kaskádní rekonexe Shibata a Tanuma, 2001) viz obr. 1. Vedle Shibatou a Tanumou p edpokládané kaskády tearing instability ukazují na²e výsledky nov i d leºitost opa ného procesu tedy koalescence splývání) vytvo ených plasmoid. Kaºdá interakce plasmoid totiº vede k vytvo ení proudové vrstvy mezi nimi a k sekundární rekonexi v této vrstv. Lze p edpokládat, ºe tento proces pokra uje aº na úrove kinetické ²kály, kde kinetická koalescence plasmoid p edstavuje pravd podobný mechanismus disipace magnetické energie Drake a kol., 2005). Dynamická rovnováha mezi procesy trhání tearing) proudové vrstvy spojené s tvorbou plasmoid a jejich následným splýváním tak pravd podobn udrºuje mocninnou distribuci prostorových ²kál a p edstavuje hledaný proces turbulentní kaskády magnetické energie od velkých m ítek k malým. Získané výsledky ukazují, ºe metoda kone ných diferencí FDM) s pouºitím techniky zjem ování sít AMR) p edstavuje pokrok ve zkoumání multi²kálových aspekt magnetické rekonexe. Nicmén detailní analýza odhaluje i n která slabá místa této metody, která mohou mít vliv na v rohodnost výsledk. Jedná se p edev²ím o problémy spojené s vnit ní hranicí mezi sít mi s jemným a hrubým rozli²ením. Vzhledem k r zn p esným aproximacím prostorových derivací kone nými diferencemi na jedné a druhé stran této hranice m ºe docházet k mírnému poru²ení jedné z Maxwellových rovnic B = 0 na tomto rozhraní. Dále se ukazuje, ºe r zn dlouhý asový krok pro jemnou a hrubou sí vede k fale²nému odrazu p ípadn vznikajících vln na hranicích jemné a hrubé m íºe. Abychom zabránili nekontrolovatelnému r stu t chto fale²ných oscilací, je nutné do numerického schematu za adit ur itou formu zhlazování smoothing/hyperviscosity) po ítaných veli in. V²echny tyto problémy omezují pouºití zmín né metody pro dal²í úrovn zv t²ení numerického rozli²ení. Z tohoto d vodu jsme obrátili na²i pozornost sm rem k popisu pole stavových veli in soustavou kone ných prvk FEM), který umoº uje mnohem p irozen j²í realizaci multi²kálového modelování. 4. METODA KONEƒNÝCH PRVK Metoda kone ných prvk FEM) zmín nými nevýhodami FDM netrpí je totiº zaloºena na nestrukturované m íºi a proto nemá problémy na hranici jemné a hrubé oblasti sít. Základem FEM je rozd lení výpo etní oblasti do mnoha kone ných podoblastí prvk /element. Typicky pouºívanými elementy jsou trojúhelníkové ve 2D) a ty st nné ve 3D) domény. Celá výpo etní oblast nap. ve 2D simulacích je pak pokryta trojúhelníkovou nestrukturovanou sítí. Výhodou je, ºe v p ípad pot eby lze velmi jednodu²e rozd lit daný element a získat 86

4 Obr. 3. Výsledek kaskádní rekonexe získaný pomocí 2.5D AMR MHD kódu. V zúžené proudové vrstvě se tvoří další menší magnetické ostrovy plasmoidy Bárta a kol., 2010). Srovnej s představou kaskádní rekonexe na obr. 1. tak lokáln v t²í rozli²ení, p i emº kvalitativn nedochází ke zm n sít element ani po této operaci neexistuje kvalitativní hranice mezi hrubými a jemnými oblastmi. FEM byla p vodn navrºena pro numerické výpo ty nap tí a deformací ve statice nap. výpo ty nosník apod.) z ehoº plyne i její vlastní terminologie a matematický formalismus. Formáln jde o hledání e²ení úlohy typu Au = f na Ω 5) Bu = g na Γ kde Ω je e²ená oblast, Γ = Ω je hranice oblasti Ω, A je lineární parciální diferenciální operátor, B je hrani ní operátor, f je zdrojový vektor a g je hrani ní podmínka. Operátor A je obecn dán v tomto tvaru A = A 0 + A i 6) x i i e²ení úlohy 5) se na celé oblasti hledá varia ní metodou t.j. snaºíme se nalézt extrém ur itého funkcionálu spojeného se soustavou 5). P íslu²ných funkcionál, jejichº minimalizace vede k soustav 5) existuje ov²em mnoho a podle nej ast ji pouºívaných se metoda kone ných prvk rozd luje do t í hlavních skupin: Rayleighova-Ritzova metoda, Galerkinova metoda a metoda nejmen²ích tverc least-squares FEM/LSFEM). Pro e²ení soustavy rovnic MHD pouºíváme práv metodu nejmen²ích tverc z d vod její univerzality dá se pouºít na parabolické, hyperbolické, eliptické i mixované rovnice), robustnosti a p esnosti. Základní podstata LSFEM viz Jiang, 1998) je v minimalizování kvadratického residua v celé oblasti e²ení hledáme tedy minimum funkcionálu Iu) = Ω Au f) 2 dω 7) Abychom mohli numericky uchopit tento problém jsou stavové veli iny reprezentované vektorem u v kaºdém elementu aproximovány rozvojem do vhodných bázových funkcí, nej ast ji polynom nízkých ád. Problém minimalizace funkcionálu 7) se tak po n kolika matematických úpravách p evede na soustavu lineárních algebraických rovnic SU = R 8) Kde S je ídká matice tuhosti, R je vektor pravé strany v terminologii FEM zvaný vektor zatíºení) a U je diskrétní reprezentace stavového vektoru u ve form hodnot stavových veli in v uzlových bodech sít. Tuto soustavu e²íme pomocí metody vhodné pro e²ení soustav s ídkou maticí. V na²em kódu pouºíváme metodu sdruºených gradient. Výhodou FEM jsou moºnosti jiº zmín ného snadného zjem ování sít d lením element a také atraktivní moºnost zvy²ování ádu bázových funkcí k p esn j²ímu popisu e²ení v rámci jednoho elementu. Jak lze p evést soustavu MHD rovnic 1) do tvaru 5) vhodného pro pouºití FEM? Abychom mohli ur it prvky matice tuhosti a vektoru zatíºení, nejprve musíme nalézt lineární operátor odpovídající rovnicím MHD. Nejprve p evedeme rovnice 1) do semi-konzervativního tvaru Ψ 1 + Ψ 2 + F i = 0 9) kde Ψ 1 =, π 1, π 2, B 1, B 2, U, 0), π i = u i, Ψ 2 = 0, 0, 0, 0, 0, 0, J 3 ), Ψ = Ψ 1 +Ψ 2 a F i je tok ve sm ru i-té sloºky i {x, y}): F i = π 1π i π i B 1 B i δ 1i p + U m ) π 2 π i B 2 B i δ 2i p + U m ) π i B 1 π 1 B i + ηε 1ij J j π i B 2 π 2 B i π i γ + ηε 2ij J ) j + γ 1 p + U k +2ηε ijk J j B k + 2 ε ijkπ k B i π i B k )B k ε 3ik B k Komponenta proudové hustoty J 3 je zde vy len na, protoºe její rovnice neobsahuje asovou derivaci, ale po ítá se p ímo z magnetického pole. Protoºe p vodní formulace problému FEM 5) je zaloºena na e²ení stacionární asov nezávislé) a lineární úlohy, je t eba i pro ná² MHD systém provést nejprve asovou diskretizaci a linearizaci. Pro asovou diskretizaci pouºíváme známé numerické schéma Cranka-Nicholsonové viz nap. Chung, 2002), které je semi-implicitní a druhého ádu p esnosti. Linearizace je implementována pomocí iterativního hledání e²ení úplného t.j. nelineárního) 87

5 operátoru Newtonovou-Raphsonovou metodou. Linearizovaná a asov diskretizovaná soustava je pak dána v tomto tvaru 1 + t 2 A k i = Ψ 1 t 2 )) + A k i Ψ k+1 = ) F i Ak i Ψ k Zde leny s pruhem zna í starý asový krok, index k je lineariza ní iterace a A je Jakobiho matice A k i = F i Ψ k 10) V p ípad proudové hustoty je rovnice dána jednodu²²ím tvarem, protoºe neobsahuje asovou derivaci 1 + Ak i ) + A k i Ψ k+1 = Ak i Ψ k 11) Kód metody kone ných prvk je stále ve vývoji a proto jsou zde prezentovány pouze výsledky z testování této metody. Na obrázku 5 jsou zobrazeny po áte ní hustoty hybností, které spou²t jí rekonexi magnetického pole. Vtoková rychlost do difúzní oblasti je p ibliºn 10 men²í neº rychlost výtoková. Po áte ní magnetické pole a rozloºení hustoty a teploty plazmatu odpovídá Harrisov konguraci proudové vrstvy viz. obr. 6), pouºité i v p ípad simulací FDM. Obrázky 6 a 7 ukazují proudovou hustotu a silo áry magnetického pole v asech t = 0.0τ A, t = 1.2τ A, t = 1.7τ A a t = 2.2τ A. Pro prostorovou diskretizaci byla pouºita trojúhelníková sí viz. obr. 4) s aproxima ními polynomy druhého ádu t.j. 6 bod na trojúhelník). Z obrázku 7 je vid t, jak po áte ní proud ní vede ke kompresi proudové vrstvy a k zaºehnutí magnetické rekonexe jsou patrné jak nov vytvo ené magnetické silo áry tak charakteristické rekonexní výtrysky. Jiº první výsledky tak ukazují pouºitelnost LSFEM na e²ení rovnic magnetohydrodynamiky a tedy i na studium procesu kaskádní rekonexe. Od dal²ího vývoje kódu si slibujeme moºnost adaptivního zjem ování rozli²ení kombinovaným p ístupem zaloºeným jak na d lení element, tak na zvy²ování ádu bázových funkcí. Jak jiº bylo uvedeno, lze tyto vlastnosti numerického e²ení které jsou p itom klí ové pro studium multi²kálových proces do FEM kódu implementovat zcela nenásiln a p irozen. Vzhledem k výpo etní náro nosti bude dal²í rozvoj algoritmu sm ovat rovn º k zakomponování paraleliza ních technik do tohoto programu. 5. ZÁV R Rekonexe magnetického pole ve slune ní erupci je svou podstatou multi²kálový proces vyºadující Obr. 4. Diskretizace oblasti do trojúhelníkové sítě. Obr. 5. Počáteční nastavení hustoty hybnosti. V levé části je zobrazena hustota hybnosti ve směru osy x, což je vtok do difúzní oblasti. V pravé části je výtok z difúzní oblasti ve směru osy y. Obr. 6. Časový vývoj rekonexe magnetického pole. Levá část zobrazuje proudovou hustotu a magnetické pole bílé čáry zobrazují siločáry magnetického pole) na začátku simulace. Pravá část ukazuje proudovou hustotu a magnetické pole v čase t = 1.2τ A. pro své studium nasazení pokro ilých technik numerického modelování. V p ísp vku jsme se v novali srovnání dvou moºných p ístup k danému problému: pouºití adaptivního zjem ování výpo etní m íºe AMR) v metod kone ných diferencí a alternativnímu popisu MHD systému pomocí metody kone ných prvk FEM). S pouºitím 2.5D AMR MHD kódu jsme studovali koncept fraktální kaskádní) rekonexe zaloºený na p edstav kaskády tearing instability vedoucí k tvorb plasmoid separovaných stále ten ími proudovými vrstvami postupn na men²ích a men²ích ²kálách Shibata a Tanuma, 2001). Výsledky 88

6 Obr. 7. Vývoj magnetické rekonexe v časech t = 1.7τ A a t = 2.2τ A. na²eho modelování tuto p edstavu podporují. Krom toho ale nov ukazují i d leºitost faktu, ºe vzniklé plasmoidy spolu vzájemn siln interagují, coº vede k vytvá ení proudových vrstev kolmých k rovin p vodní silné proudové vrstvy a sekundárním rekonexím v t chto proudových vrstvách. Tento jev vede k dal²í fragmentaci proudové hustoty, napomáhá ke zvý²ení celkové efektivity rekonexe a potenciáln p ispívá k e²ení problému urychlování mohutných tok ástic pozorovaných v erupcích. Protoºe podrobná analýza výsledk AMR FDM ukazuje i n která omezení této metody, nap eli jsme svou pozornost ke slibnému alternativnímu popisu MHD systému pomocí metody kone ných prvk FEM). Vyvíjíme numerický kód implementující FEM model magnetohydrodynamických rovnic v jeho variant pouºívající metody nejmen²ích tverc LSFEM) a v p ísp vku jsme prezentovali jeho první výsledky. Ty nazna ují, ºe LSFEM p edstavuje pouºitelný a perspektivní p ístup k modelování multi²kálových aspekt rekonexe a p edev²ím ke studiu mechanismu turbulentní kaskády p enosu magnetické energie od velkých k malým m ítk m. K dosaºení tohoto cíle chceme pokra ovat ve vývoji FEM algoritmu tak, aby zahrnul p irozenou implementaci adaptivního lokálního zlep²ování rozli²ení. Následujícím cílem tedy je vytvo it adaptivní nestrukturovanou sí, která dokáºe mapovat i malé ²kály. LITERATURA Bárta M., Vr²nak B. a Karlický M. 2008a): Astronomy and Astrophysics, 477, Bárta M., Karlický M. a šemli ka R. 2008b): Solar Physics 253, Bárta M., Büchner J. a Karlický M. 2010): Advances in Space Research 45, Drake J.F., Shay M.A., Thongthai W. a Swisdak M. 2005): Phys. Rev. Letters 94 9), Chung T.J. 2002): Computational Fluid Dynamics, Cambridge University Press Jiang B. 1998): The Least-Squares Finite Element Method Springer-Verlag Berlin Heidelberg Karlický M. 2004): Astronomy and Astrophysics 417, 325 Kliem B., Karlický M. a A.O. Benz 2000): Astronomy and Astrophysics, 360, Priest E.R. 1982): Solar Magnetohydrodynamics, D. Reidel Publishing Company, Shibata K. a Tanuma S. 2001): Earth, Planets, and Space 53, pp Poděkování Tato práce vznikla za podpory grant : 205/08/H005, 205/06/P135, 205/07/1100 Grantové Agentury ƒeské republiky, IGA UJEP a výzkumného projektu AV0Z Astronomický ústav AV ƒr, v.v.i). Výpo ty byly provád ny na po íta ovém clusteru OCAS Ond ejov Cluster for Astrophysical Simulations; 89