Modelování rekonexe magnetického pole pomocí metody konečných prvků

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Modelování rekonexe magnetického pole pomocí metody konečných prvků"

Transkript

1 Modelování rekonexe magnetického pole pomocí metody konečných prvků J. Skála, Univerzita J.E. Purkyn, Ústí nad Labem a Astronomický ústav AV ƒr, Ond ejov, M. Bárta, Max Planck Institute for Solar System Research, Katlenburg-Lindau a Astronomický ústav AV ƒr, Ond ejov, M. Varady, Univerzita J.E. Purkyn, Ústí nad Labem a Astronomický ústav AV ƒr, Ond ejov, Abstrakt Magnetická rekonexe ve slune ních erupcích zahrnuje ohromný rozsah vzájemn propojených ²kál od globálních rozm r erupce aº po ²kály, kde na úrovni kinetických d j probíhá vlastní disipace magnetické energie a urychlování ástic. Jednu z hlavních nezodpov zených otázek tohoto procesu tudíº p edstavuje fyzikální mechanismus p enosu volné magnetické energie od velkých m ítek, na nichº je energie akumulována, k disipativním ²kálám. V p ísp vku se zabýváme studiem tohoto problému za pomoci pokro ilých technik v numerickém modelování. Nejprve prezentujeme výsledky zaloºené na tradi n j²í metod kone ných diferencí Finite Dierence Method FDM) s pouºitím techniky adaptivního zjem ování výpo etní m íºe Adaptive Mesh Renement AMR). P estoºe nám tento p ístup poskytl vhled do mechanismu energetické kaskády v rekonexi, detailní analýza ukázala i n která slabá místa, kterými zmín ná metoda trpí. Jako mnohem p irozen j²í p ístup k multi²kálovému procesu magnetické rekonexe se proto jeví numerické modelování metodou kone ných prvk Finite Element Method FEM). V p ísp vku p iná²íme srovnání obou p ístup a první výsledky modelování magnetické rekonexe ve slune ní erupci získané s pomocí FEM. 1. ÚVOD Rekonexe magnetického pole je v sou asné dob povaºována za hlavní mechanismus uvoln ní energie ve slune ních erupcích. Nicmén mnoho otázek spojených s tímto procesem z stává otev ených. Nejmarkantn j²ím problémem je obrovský rozdíl mezi charakteristickými rozm ry struktur, na nichº je volná magnetická energie akumulována a ²kálami, kde podle teorie dochází k její skute né disipaci skrze neideální kinetické procesy. Zatímco typické m ítko struktur jejichº pozorování v erupci jsou interpretována jako projev proudové vrstvy je 1000 km, typická ²í ka disipativní proudové vrstvy udávaná teorií je pro parametry koronálního plazmatu pouze 10 m. Krom toho, tradi ní pojetí rekonexe s jedinou disipativní oblastí selhává v konfrontaci se zna nými toky urychlených elektron odvozených pom rn spolehliv z pozorování v tvrdém rentgenovském zá ení je totiº prakticky nemoºné urychlit poºadované mnoºství elektron v tomto pom rn velmi malém prostoru. Motivováni snahou po p eklenutí zmín ného propastného rozsahu ²kál Shibata a Tanuma 2001) navrhli schematický koncept fraktální p esn ji e eno kaskádní) rekonexe. Jejich schema p edpokládá tvorbu celé kaskády magnetických ostrov tzv. plasmoid ) mechanismem známým jako tearing instability na plném rozsahu ²kál od typických rozm r globální proudové vrstvy aº po disipativní ²kálu. Hlavní my²lenku jejich koncepce zachycuje obr. 1. V tomto p ísp vku si klademe za cíl ov it a dále rozvinout my²lenku kaskádní rekonexe pomocí numerického modelu popisujícího proces rekonexe v erupci soustavou MHD rovnic. Vzhledem k tomu, ºe se z principu jedná o dynamický systém pokrývající ²iroký rozsah ²kál, standardní metody e²ení parciálních diferenciálních rovnic zaloºené na superjemné jednoduché strukturované síti jsou z d vodu obrovského mnoºství sí ových bod pot ebných k 84

2 Obr. 1. Představa kaskády v trhání proudové vrstvy v rekonexi ve sluneční erupci podle Shibaty a Tanumy, 2001 vpravo) a její zasazení do rámcového schematu navrženého Karlickým 2004) pro vysvětlení vícero simultánně pozorovaných radiových vzplanutí typu DPS vlevo). simulaci i malých ²kál technicky nepouºitelné. Tento problém se pokou²íme obejít pouºitím dvou p ístup : zavedením adaptivního zjem ování výpo etní sít do metody kone ných diferencí AMR FDM), a nov ji alternativn téº metodou kone ných prvk FEM) umoº ující p irozenou adaptaci velikosti výpo etních element charakteristickým rozm r m struktur, které pokrývají. 2. MODEL Velko²kálovou L 10 m pro typické parametry v erupci) dynamiku magnetizovaného koronálního plazmatu je moºné popsat soustavou MHD rovnic pro stla itelnou resistivní tekutinu Priest, 1982): u + u) = 0 + u )u = p + j B + g 1) B = u B) ηj) U + S = u g. Pro ú ely simulací je vhodné soustavu rovnic 1) p evést do tzv. konzervativního tvaru, kdy stav systému je dán vektorem základních stavových veli in Ψ =, u, B, U), kde, u, B, U jsou po ad hustota, makroskopická rychlost, magnetická indukce a celková energie. Jednotlivé MHD rovnice pak nabývají tvaru zákon zachování hmoty, hybnosti, magnetického toku a energie. Tok energie S, proudová hustota j a celková energie U jsou dány pomocnými vztahy B = µ 0 j U = p γ u2 + B2 ) S = U + p + B2 u B) u B + η j B 2µ 0 µ 0 µ 0 2µ 0 2) Mikroskopické kinetické) efekty vstupují do velko²kálové dynamiky p es transportní koecient zobecn né rezistivity η. Protoºe v rámci MHD modelu není moºné popsat vlivy kinetických efekt, je zobecn ná rezistivita modelována vztahem { 0 : ud u cr ηr, t) = C u Dr,t) u cr ) u 0 : u D > u cr 3) Vztah 3) vyjad uje obecn uznávaný fakt, ºe pokud relativní rychlost elektron v i iont m u D r, t) = jr, t) en e 4) p edstavující elektrický proud p esáhne danou kritickou rychlost u cr, je r znými kinetickými nestabilitami nap. Bunemanova nestabilita) generováno uktuující elektrické pole, jeº na proud-nesoucí elektrony p sobí podobn jako sráºky s ionty mechanismus je znám jako anomální rezistivita. Soustavu MHD rovnic 1) nelze krom vybraných speciálních p ípad e²it analyticky a je proto nutné se uchýlit k metodám numerické integrace. K problému numerického e²ení soustav parciálních diferenciálních rovnic existují v zásad dva p ístupy metoda kone ných diferencí FDM) a metoda kone ných prvk FEM). 3. METODA KONEƒNÝCH DIFERENCÍ Metoda kone ných diferencí je zaloºena na pravoúhlé diskretizaci e²ené oblasti. To znamená, ºe kontinuální stavové veli iny popisující MHD systém jsou reprezentovány svými vzorky na uzlech kartézské diskretiza ní sít. Prostorové parciální derivace v diferenciálních rovnicích se pak nahradí diferencemi s kone nou velikostí diferencí x. Rovn º as je diskretizován stav systému je denován pouze v nespojitých asových krocích a pro asovou derivaci se se pouºije nahrazení 1 t Existuje mnoho zp sob jak tuto diskretizaci provést konkrétní p edpisy jsou známy jako r zná numerická schémata. V na²í MHD simulaci zaloºené na FDM pouºíváme explicitní diskretiza ní schéma 85

3 Laxe-Wendroa Chung, 2002), které má v 1D geometrii tvar Ψ i = Ψ i tψ i+1 Ψ i ) + t2 Ψ i 1 Ψ i + Ψ i+1 ) 2 x 2 x 2 jehoº zobecn ní pro 2D a 3D geometrie je p ímo aré. Z principu FDM je z ejmé, ºe kartézská diskretiza- ní sí dokáºe obsáhnout pouze omezený rozsah ²kál v d sledku svého kone ného rozli²ení. Tradi ní MHD simulace proudové vrstvy viz nap. Kliem a kol., 2000; Bárta a kol., 2008a) proto zachycují pouze velkorozm rovou dynamiku studovaného systému. Chceme-li pokrýt v t²í rozsah simulovaných m ítek lze pro detailn j²í popsaní dynamiky proudové vrstvy pouºít techniku AMR. Ta v místech s velkým gradientem stavového vektoru adaptivn zmen²í diference i velikost asového kroku viz. obr. 2) a poskytne tak lokáln lep²í rozli²ení. x 1 t 1 x 2 t 2 Undefined value Obr. 2. Adaptivní sít metody konečných diferencí. Uvedeného p ístupu jsme vyuºili k vyt enému zkoumání relevance konceptu kaskádní rekonexe pro slune ní erupce: ke zodpov zení této otázky byl zkonstruován numerický kód implementující 2.5D MHD model pomocí metody FDM s pouºitím techniky AMR více detail v Bárta a kol., 2010). Výsledky modelování jsou zobrazeny na obr. 3. Simulace startuje z po áte ního stavu popsaného pom rn ²irokou Harrisovou proudovou vrstvou viz nap. Bárta a kol., 2008b). Tvorbu takovýchto proudových vrstev lze p irozen o ekávat pod vyvrºeným lamentem/cme. Obrázek ukazuje situaci v ase t = 300τ A, kde τ A je Alfén v as. V levé ásti je zobrazen globální pohled na rovinu xz kolmou na invariantní sm r). Je patrné, jak se okolo sou adnic x = 0, z = 70 a x = 0, z = 110 formují sekundární plasmoidy v trhající se proudové vrstv mezi hlavním plasmoidem a arkádou erup ních smy ek. Pravý panel zobrazuje zv t²ený pohled na oblast ve vybraném obdélníku. Mezi plasmoidem v okolí bodu x = 0, z = 70 a erup ními smy kami se pak tvo í je²t men²í plasmoidy v dále zten ené proudové vrstv. Tvorba plasmoid na men²ích prostorových ²kálách a pokra ující lamentace proudové vrstvy mezi t mito plasmoidy je zcela ve shod s p edstavou kaskádní rekonexe Shibata a Tanuma, 2001) viz obr. 1. Vedle Shibatou a Tanumou p edpokládané kaskády tearing instability ukazují na²e výsledky nov i d leºitost opa ného procesu tedy koalescence splývání) vytvo ených plasmoid. Kaºdá interakce plasmoid totiº vede k vytvo ení proudové vrstvy mezi nimi a k sekundární rekonexi v této vrstv. Lze p edpokládat, ºe tento proces pokra uje aº na úrove kinetické ²kály, kde kinetická koalescence plasmoid p edstavuje pravd podobný mechanismus disipace magnetické energie Drake a kol., 2005). Dynamická rovnováha mezi procesy trhání tearing) proudové vrstvy spojené s tvorbou plasmoid a jejich následným splýváním tak pravd podobn udrºuje mocninnou distribuci prostorových ²kál a p edstavuje hledaný proces turbulentní kaskády magnetické energie od velkých m ítek k malým. Získané výsledky ukazují, ºe metoda kone ných diferencí FDM) s pouºitím techniky zjem ování sít AMR) p edstavuje pokrok ve zkoumání multi²kálových aspekt magnetické rekonexe. Nicmén detailní analýza odhaluje i n která slabá místa této metody, která mohou mít vliv na v rohodnost výsledk. Jedná se p edev²ím o problémy spojené s vnit ní hranicí mezi sít mi s jemným a hrubým rozli²ením. Vzhledem k r zn p esným aproximacím prostorových derivací kone nými diferencemi na jedné a druhé stran této hranice m ºe docházet k mírnému poru²ení jedné z Maxwellových rovnic B = 0 na tomto rozhraní. Dále se ukazuje, ºe r zn dlouhý asový krok pro jemnou a hrubou sí vede k fale²nému odrazu p ípadn vznikajících vln na hranicích jemné a hrubé m íºe. Abychom zabránili nekontrolovatelnému r stu t chto fale²ných oscilací, je nutné do numerického schematu za adit ur itou formu zhlazování smoothing/hyperviscosity) po ítaných veli in. V²echny tyto problémy omezují pouºití zmín né metody pro dal²í úrovn zv t²ení numerického rozli²ení. Z tohoto d vodu jsme obrátili na²i pozornost sm rem k popisu pole stavových veli in soustavou kone ných prvk FEM), který umoº uje mnohem p irozen j²í realizaci multi²kálového modelování. 4. METODA KONEƒNÝCH PRVK Metoda kone ných prvk FEM) zmín nými nevýhodami FDM netrpí je totiº zaloºena na nestrukturované m íºi a proto nemá problémy na hranici jemné a hrubé oblasti sít. Základem FEM je rozd lení výpo etní oblasti do mnoha kone ných podoblastí prvk /element. Typicky pouºívanými elementy jsou trojúhelníkové ve 2D) a ty st nné ve 3D) domény. Celá výpo etní oblast nap. ve 2D simulacích je pak pokryta trojúhelníkovou nestrukturovanou sítí. Výhodou je, ºe v p ípad pot eby lze velmi jednodu²e rozd lit daný element a získat 86

4 Obr. 3. Výsledek kaskádní rekonexe získaný pomocí 2.5D AMR MHD kódu. V zúžené proudové vrstvě se tvoří další menší magnetické ostrovy plasmoidy Bárta a kol., 2010). Srovnej s představou kaskádní rekonexe na obr. 1. tak lokáln v t²í rozli²ení, p i emº kvalitativn nedochází ke zm n sít element ani po této operaci neexistuje kvalitativní hranice mezi hrubými a jemnými oblastmi. FEM byla p vodn navrºena pro numerické výpo ty nap tí a deformací ve statice nap. výpo ty nosník apod.) z ehoº plyne i její vlastní terminologie a matematický formalismus. Formáln jde o hledání e²ení úlohy typu Au = f na Ω 5) Bu = g na Γ kde Ω je e²ená oblast, Γ = Ω je hranice oblasti Ω, A je lineární parciální diferenciální operátor, B je hrani ní operátor, f je zdrojový vektor a g je hrani ní podmínka. Operátor A je obecn dán v tomto tvaru A = A 0 + A i 6) x i i e²ení úlohy 5) se na celé oblasti hledá varia ní metodou t.j. snaºíme se nalézt extrém ur itého funkcionálu spojeného se soustavou 5). P íslu²ných funkcionál, jejichº minimalizace vede k soustav 5) existuje ov²em mnoho a podle nej ast ji pouºívaných se metoda kone ných prvk rozd luje do t í hlavních skupin: Rayleighova-Ritzova metoda, Galerkinova metoda a metoda nejmen²ích tverc least-squares FEM/LSFEM). Pro e²ení soustavy rovnic MHD pouºíváme práv metodu nejmen²ích tverc z d vod její univerzality dá se pouºít na parabolické, hyperbolické, eliptické i mixované rovnice), robustnosti a p esnosti. Základní podstata LSFEM viz Jiang, 1998) je v minimalizování kvadratického residua v celé oblasti e²ení hledáme tedy minimum funkcionálu Iu) = Ω Au f) 2 dω 7) Abychom mohli numericky uchopit tento problém jsou stavové veli iny reprezentované vektorem u v kaºdém elementu aproximovány rozvojem do vhodných bázových funkcí, nej ast ji polynom nízkých ád. Problém minimalizace funkcionálu 7) se tak po n kolika matematických úpravách p evede na soustavu lineárních algebraických rovnic SU = R 8) Kde S je ídká matice tuhosti, R je vektor pravé strany v terminologii FEM zvaný vektor zatíºení) a U je diskrétní reprezentace stavového vektoru u ve form hodnot stavových veli in v uzlových bodech sít. Tuto soustavu e²íme pomocí metody vhodné pro e²ení soustav s ídkou maticí. V na²em kódu pouºíváme metodu sdruºených gradient. Výhodou FEM jsou moºnosti jiº zmín ného snadného zjem ování sít d lením element a také atraktivní moºnost zvy²ování ádu bázových funkcí k p esn j²ímu popisu e²ení v rámci jednoho elementu. Jak lze p evést soustavu MHD rovnic 1) do tvaru 5) vhodného pro pouºití FEM? Abychom mohli ur it prvky matice tuhosti a vektoru zatíºení, nejprve musíme nalézt lineární operátor odpovídající rovnicím MHD. Nejprve p evedeme rovnice 1) do semi-konzervativního tvaru Ψ 1 + Ψ 2 + F i = 0 9) kde Ψ 1 =, π 1, π 2, B 1, B 2, U, 0), π i = u i, Ψ 2 = 0, 0, 0, 0, 0, 0, J 3 ), Ψ = Ψ 1 +Ψ 2 a F i je tok ve sm ru i-té sloºky i {x, y}): F i = π 1π i π i B 1 B i δ 1i p + U m ) π 2 π i B 2 B i δ 2i p + U m ) π i B 1 π 1 B i + ηε 1ij J j π i B 2 π 2 B i π i γ + ηε 2ij J ) j + γ 1 p + U k +2ηε ijk J j B k + 2 ε ijkπ k B i π i B k )B k ε 3ik B k Komponenta proudové hustoty J 3 je zde vy len na, protoºe její rovnice neobsahuje asovou derivaci, ale po ítá se p ímo z magnetického pole. Protoºe p vodní formulace problému FEM 5) je zaloºena na e²ení stacionární asov nezávislé) a lineární úlohy, je t eba i pro ná² MHD systém provést nejprve asovou diskretizaci a linearizaci. Pro asovou diskretizaci pouºíváme známé numerické schéma Cranka-Nicholsonové viz nap. Chung, 2002), které je semi-implicitní a druhého ádu p esnosti. Linearizace je implementována pomocí iterativního hledání e²ení úplného t.j. nelineárního) 87

5 operátoru Newtonovou-Raphsonovou metodou. Linearizovaná a asov diskretizovaná soustava je pak dána v tomto tvaru 1 + t 2 A k i = Ψ 1 t 2 )) + A k i Ψ k+1 = ) F i Ak i Ψ k Zde leny s pruhem zna í starý asový krok, index k je lineariza ní iterace a A je Jakobiho matice A k i = F i Ψ k 10) V p ípad proudové hustoty je rovnice dána jednodu²²ím tvarem, protoºe neobsahuje asovou derivaci 1 + Ak i ) + A k i Ψ k+1 = Ak i Ψ k 11) Kód metody kone ných prvk je stále ve vývoji a proto jsou zde prezentovány pouze výsledky z testování této metody. Na obrázku 5 jsou zobrazeny po áte ní hustoty hybností, které spou²t jí rekonexi magnetického pole. Vtoková rychlost do difúzní oblasti je p ibliºn 10 men²í neº rychlost výtoková. Po áte ní magnetické pole a rozloºení hustoty a teploty plazmatu odpovídá Harrisov konguraci proudové vrstvy viz. obr. 6), pouºité i v p ípad simulací FDM. Obrázky 6 a 7 ukazují proudovou hustotu a silo áry magnetického pole v asech t = 0.0τ A, t = 1.2τ A, t = 1.7τ A a t = 2.2τ A. Pro prostorovou diskretizaci byla pouºita trojúhelníková sí viz. obr. 4) s aproxima ními polynomy druhého ádu t.j. 6 bod na trojúhelník). Z obrázku 7 je vid t, jak po áte ní proud ní vede ke kompresi proudové vrstvy a k zaºehnutí magnetické rekonexe jsou patrné jak nov vytvo ené magnetické silo áry tak charakteristické rekonexní výtrysky. Jiº první výsledky tak ukazují pouºitelnost LSFEM na e²ení rovnic magnetohydrodynamiky a tedy i na studium procesu kaskádní rekonexe. Od dal²ího vývoje kódu si slibujeme moºnost adaptivního zjem ování rozli²ení kombinovaným p ístupem zaloºeným jak na d lení element, tak na zvy²ování ádu bázových funkcí. Jak jiº bylo uvedeno, lze tyto vlastnosti numerického e²ení které jsou p itom klí ové pro studium multi²kálových proces do FEM kódu implementovat zcela nenásiln a p irozen. Vzhledem k výpo etní náro nosti bude dal²í rozvoj algoritmu sm ovat rovn º k zakomponování paraleliza ních technik do tohoto programu. 5. ZÁV R Rekonexe magnetického pole ve slune ní erupci je svou podstatou multi²kálový proces vyºadující Obr. 4. Diskretizace oblasti do trojúhelníkové sítě. Obr. 5. Počáteční nastavení hustoty hybnosti. V levé části je zobrazena hustota hybnosti ve směru osy x, což je vtok do difúzní oblasti. V pravé části je výtok z difúzní oblasti ve směru osy y. Obr. 6. Časový vývoj rekonexe magnetického pole. Levá část zobrazuje proudovou hustotu a magnetické pole bílé čáry zobrazují siločáry magnetického pole) na začátku simulace. Pravá část ukazuje proudovou hustotu a magnetické pole v čase t = 1.2τ A. pro své studium nasazení pokro ilých technik numerického modelování. V p ísp vku jsme se v novali srovnání dvou moºných p ístup k danému problému: pouºití adaptivního zjem ování výpo etní m íºe AMR) v metod kone ných diferencí a alternativnímu popisu MHD systému pomocí metody kone ných prvk FEM). S pouºitím 2.5D AMR MHD kódu jsme studovali koncept fraktální kaskádní) rekonexe zaloºený na p edstav kaskády tearing instability vedoucí k tvorb plasmoid separovaných stále ten ími proudovými vrstvami postupn na men²ích a men²ích ²kálách Shibata a Tanuma, 2001). Výsledky 88

6 Obr. 7. Vývoj magnetické rekonexe v časech t = 1.7τ A a t = 2.2τ A. na²eho modelování tuto p edstavu podporují. Krom toho ale nov ukazují i d leºitost faktu, ºe vzniklé plasmoidy spolu vzájemn siln interagují, coº vede k vytvá ení proudových vrstev kolmých k rovin p vodní silné proudové vrstvy a sekundárním rekonexím v t chto proudových vrstvách. Tento jev vede k dal²í fragmentaci proudové hustoty, napomáhá ke zvý²ení celkové efektivity rekonexe a potenciáln p ispívá k e²ení problému urychlování mohutných tok ástic pozorovaných v erupcích. Protoºe podrobná analýza výsledk AMR FDM ukazuje i n která omezení této metody, nap eli jsme svou pozornost ke slibnému alternativnímu popisu MHD systému pomocí metody kone ných prvk FEM). Vyvíjíme numerický kód implementující FEM model magnetohydrodynamických rovnic v jeho variant pouºívající metody nejmen²ích tverc LSFEM) a v p ísp vku jsme prezentovali jeho první výsledky. Ty nazna ují, ºe LSFEM p edstavuje pouºitelný a perspektivní p ístup k modelování multi²kálových aspekt rekonexe a p edev²ím ke studiu mechanismu turbulentní kaskády p enosu magnetické energie od velkých k malým m ítk m. K dosaºení tohoto cíle chceme pokra ovat ve vývoji FEM algoritmu tak, aby zahrnul p irozenou implementaci adaptivního lokálního zlep²ování rozli²ení. Následujícím cílem tedy je vytvo it adaptivní nestrukturovanou sí, která dokáºe mapovat i malé ²kály. LITERATURA Bárta M., Vr²nak B. a Karlický M. 2008a): Astronomy and Astrophysics, 477, Bárta M., Karlický M. a šemli ka R. 2008b): Solar Physics 253, Bárta M., Büchner J. a Karlický M. 2010): Advances in Space Research 45, Drake J.F., Shay M.A., Thongthai W. a Swisdak M. 2005): Phys. Rev. Letters 94 9), Chung T.J. 2002): Computational Fluid Dynamics, Cambridge University Press Jiang B. 1998): The Least-Squares Finite Element Method Springer-Verlag Berlin Heidelberg Karlický M. 2004): Astronomy and Astrophysics 417, 325 Kliem B., Karlický M. a A.O. Benz 2000): Astronomy and Astrophysics, 360, Priest E.R. 1982): Solar Magnetohydrodynamics, D. Reidel Publishing Company, Shibata K. a Tanuma S. 2001): Earth, Planets, and Space 53, pp Poděkování Tato práce vznikla za podpory grant : 205/08/H005, 205/06/P135, 205/07/1100 Grantové Agentury ƒeské republiky, IGA UJEP a výzkumného projektu AV0Z Astronomický ústav AV ƒr, v.v.i). Výpo ty byly provád ny na po íta ovém clusteru OCAS Ond ejov Cluster for Astrophysical Simulations; 89

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.

Více

2C06028-00-Tisk-ePROJEKTY

2C06028-00-Tisk-ePROJEKTY Stránka. 27 z 50 3.2. ASOVÝ POSTUP PRACÍ - rok 2009 3.2.0. P EHLED DÍL ÍCH CÍL PLÁNOVANÉ 2009 íslo podrobn Datum pln ní matematicky formulovat postup výpo t V001 výpo etní postup ve form matematických

Více

Integrování jako opak derivování

Integrování jako opak derivování Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.

Více

Soft Computing (SFC) 2014/2015 Demonstrace u ení sít RCE, Java aplikace

Soft Computing (SFC) 2014/2015 Demonstrace u ení sít RCE, Java aplikace Soft Computing (SFC) 2014/2015 Demonstrace u ení sít RCE, Java aplikace Franti²ek N mec (xnemec61) xnemec61@stud.t.vutbr.cz 1 Úvod Úkolem tohoto projektu bylo vytvo it aplikaci, která bude demonstrovat

Více

Osvětlovací modely v počítačové grafice

Osvětlovací modely v počítačové grafice Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz

Více

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým

Více

Obsah. Pouºité zna ení 1

Obsah. Pouºité zna ení 1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního

Více

AUTOREFERÁT. dizertační práce

AUTOREFERÁT. dizertační práce AUTOREFERÁT dizertační práce PLZEŇ, 2011 Ing. Antonín Předota Ing. Antonín Předota Modelování rázových jevů ve vinutí transformátoru obor Elektrotechnika Autoreferát dizertační práce k získání akademického

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

Nastavení vestav ného p evodníku Ethernet -> sériová linka ES01

Nastavení vestav ného p evodníku Ethernet -> sériová linka ES01 KMB systems, s. r. o. Dr. M. Horákové 559, 460 06 Liberec 7, Czech Republic tel. +420 485 130 314, fax +420 482 736 896 E-mail: kmb@kmb.cz, Web: www.kmb.cz Nastavení vestav ného p evodníku Ethernet ->

Více

4. V p íprav odvo te vzorce (14) a (17) ze zadání [1].

4. V p íprav odvo te vzorce (14) a (17) ze zadání [1]. FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM II FJFI ƒvut v Praze Úloha #4 Balmerova série Datum m ení: 28.4.2014 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 7 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace: 1 Pracovní úkoly 1.

Více

POŽADAVKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE MAGISTERSKÉ STUDIUM POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ VE VĚDĚ A TECHNICE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM I DOBÍHAJÍCÍ 5-LETÉ STUDIUM)

POŽADAVKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE MAGISTERSKÉ STUDIUM POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ VE VĚDĚ A TECHNICE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM I DOBÍHAJÍCÍ 5-LETÉ STUDIUM) POŽADAVKY KE STÁTNÍ ZÁVĚREČNÉ ZKOUŠCE MAGISTERSKÉ STUDIUM POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ VE VĚDĚ A TECHNICE (NAVAZUJÍCÍ STUDIUM I DOBÍHAJÍCÍ 5-LETÉ STUDIUM) Organizace zkoušky Zkouška je ústní a má čtyři části:

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl

Více

ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014

ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014 ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností

Více

PROUDĚNÍ V SEPARÁTORU S CYLINDRICKOU GEOMETRIÍ

PROUDĚNÍ V SEPARÁTORU S CYLINDRICKOU GEOMETRIÍ PROUDĚNÍ V SEPARÁTORU S CYLINDRICKOU GEOMETRIÍ Autoři: Ing. Zdeněk CHÁRA, CSc., Ústav pro hydrodynamiku AV ČR, v. v. i., e-mail: chara@ih.cas.cz Ing. Bohuš KYSELA, Ph.D., Ústav pro hydrodynamiku AV ČR,

Více

+ 87,61 82,60 4,69 24,69 44,69 319, ,43 53,9

+ 87,61 82,60 4,69 24,69 44,69 319, ,43 53,9 1. Vlastník vodovodu a kanalizace : Vodárenská spole nost Táborsko s.r.o. Kosova 2894, Tábor, 390 02 : 260 69 539 Statutární orgán : Jednatelé spole nosti Ing. Hana Randová, Ing. Bed ich Beneš, Ing. Ji

Více

Ergodické Markovské et zce

Ergodické Markovské et zce 1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme

Více

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část Základy sálavého vytápění (2162063) 7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část 30. 3. 2016 Ing. Jindřich Boháč Obsah přednášek ZSV 1. Obecný úvod o sdílení tepla 2. Tepelná pohoda 3. Velkoplošné

Více

Analýza oběžného kola

Analýza oběžného kola Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...

Více

1 Úvod. 2 Pom cky. 3 Postup a výsledky. 3.1 Ov ení vlastností fotoodporu

1 Úvod. 2 Pom cky. 3 Postup a výsledky. 3.1 Ov ení vlastností fotoodporu Název a íslo úlohy #9 - Detekce optického zá ení Datum m ení 25. 2. 2015 M ení provedli Tereza Schönfeldová, David Roesel Vypracoval David Roesel Datum 27. 2. 1015 Hodnocení 1 Úvod Fotodetektory jsou p

Více

Centrum digitální optiky

Centrum digitální optiky Centrum digitální optiky Pracovní balí ek. 2 - Digitální Ramanova spektroskopie a Ramanova optická aktivita Software pro synchronní ízení systém pro p esné polohování optických komponent Interní i.. RC201302

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2

Více

Kritická síla imperfektovaných systémů

Kritická síla imperfektovaných systémů Kritická síla imperfektovaných systémů Petr Frantík 1, Jiří Macur 2 Úvod V minulém století nově vzniklé obory, opírající se o studium silně nelineárních systémů, jako jsou teorie katastrof, teorie bifurkací

Více

Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru

Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru 1 Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru Induktory energii ukládají, zatímco transformátory energii p em ují. To je základní rozdíl. Magnetická jádra induktor a vysokofrekven ních transformátor

Více

KRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno

KRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno KRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno Č. j.: JMK 46925/2013 S. zn.: S - JMK 46925/2013/OD Brno dne 20.06.2013 OP ATŘENÍ OB EC NÉ P OV AH Y Krajský úřad Jihomoravského

Více

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod.................................. 2 1.2 Didaktické zásady.......................... 3 2 Pouºití výukových modul

Více

ÚČEL zmírnit rázy a otřesy karosérie od nerovnosti vozovky, zmenšit namáhání rámu (zejména krutem), udržet všechna kola ve stálém styku s vozovkou.

ÚČEL zmírnit rázy a otřesy karosérie od nerovnosti vozovky, zmenšit namáhání rámu (zejména krutem), udržet všechna kola ve stálém styku s vozovkou. 4 ODPRUŽENÍ Souhrn prvků automobilu, které vytvářejí pružné spojení mezi nápravami a nástavbou (karosérií). ÚČEL zmírnit rázy a otřesy karosérie od nerovnosti vozovky, zmenšit namáhání rámu (zejména krutem),

Více

Několik dalších pokusů s termocitlivými fóliemi

Několik dalších pokusů s termocitlivými fóliemi Několik dalších pokusů s termocitlivými fóliemi PAVEL KONEČNÝ Přírodovědecká fakulta MU, Brno Tato práce se zabývá využitím reverzních teplocitlivých fólií pro detekci změn teploty v experimentech s adiabatickou

Více

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................

Více

TESTOVÁNÍ SOFTWARU PAM STAMP MODELOVÝMI ZKOUŠKAMI

TESTOVÁNÍ SOFTWARU PAM STAMP MODELOVÝMI ZKOUŠKAMI TESTOVÁNÍ SOFTWARU PAM STAMP MODELOVÝMI ZKOUŠKAMI Petr Kábrt Jan Šanovec ČVUT FS Praha, Ústav strojírenské technologie Abstrakt Numerická simulace procesu lisování nachází stále větší uplatnění jako činný

Více

SPOJE ŠROUBOVÉ. Mezi nejdůleţitější geometrické charakteristiky závitů patří tyto veličiny:

SPOJE ŠROUBOVÉ. Mezi nejdůleţitější geometrické charakteristiky závitů patří tyto veličiny: SPOJE ŠROUBOVÉ Šroubové spoje patří mezi nejstarší a nejpoužívanější rozebíratelné spoje se silovým stykem. Všechny spojovací součástky šroubových i ostatních rozebíratelných spojů jsou normalizované.

Více

Centrum digitální optiky

Centrum digitální optiky Centrum digitální optiky Software pro ízení PMS a digitální rekonstrukci obrazu Interní i.. RC201301 Rok vydání: 2013 Interní identika ní íslo: RC201301 Autor: Mgr. Radek ƒelechovský, Ph.D. Vlastník: Univerzita

Více

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů 4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici

Více

Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III

Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III - 1 - Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III (c) Ing. Ladislav Kopecký, srpen 2015 V p edchozí ásti tohoto lánku jsme dosp li k zapojení horního spína e se dv ma transformátory, které najdete

Více

DUM 02 téma: Popisové pole na výrobním výkrese

DUM 02 téma: Popisové pole na výrobním výkrese DUM 02 téma: Popisové pole na výrobním výkrese ze sady: 03 tematický okruh sady: Kreslení výrobních výkres ze šablony: 04_Technická dokumentace Ur eno pro :1. ro ník vzd lávací obor: 26-41-M/01 Elektrotechnika

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce ƒeské Bud jovice, 2014 Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod..................................

Více

TECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD

TECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD Přednáška č. 7 V ELEKTROTECHNICE Kótování Zjednodušené kótování základních geometrických prvků Někdy stačí k zobrazení pouze jeden pohled Tenké součásti kvádr Kótování Kvádr (základna čtverec) jehlan Kvalitativní

Více

Kelvin v kapkový generátor

Kelvin v kapkový generátor Kelvin v kapkový generátor Kry²tof Kadlec 1, Luká² Kune² 2, Luká² N me ek 3 1 Gymnázium Franti²ka Palackého, Vala²ské Mezi í í, krystoof.2@seznam.cz 2 Gymnázium, Zlatá stezka 137, Prachatice, kunamars@seznam.cz

Více

Návrh realizace transformátoru Thane C. Heinse III.

Návrh realizace transformátoru Thane C. Heinse III. 1 Návrh realizace transformátoru Thane C. Heinse III. Ing. Ladislav Kopecký, ervenec 2016 Ve t etí ásti lánku se vrátíme k variant TH transformátoru s jádrem EE a provedeme návrh s konkrétním typem jádra.

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Počítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic. - metoda konečných objemů -

Počítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic. - metoda konečných objemů - Počítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic - metoda konečných objemů - Rozdělení parciálních diferenciálních rovnic 2 Obecná parciální diferenciální rovnice se dvěma nezávislými proměnnými x a y:

Více

NÁZEV ŠKOLY: Střední odborné učiliště, Domažlice, Prokopa Velikého 640. V/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

NÁZEV ŠKOLY: Střední odborné učiliště, Domažlice, Prokopa Velikého 640. V/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT NÁZEV ŠKOLY: Střední odborné učiliště, Domažlice, Prokopa Velikého 640 ŠABLONA: NÁZEV PROJEKTU: REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU: V/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Zlepšení podmínek pro vzdělávání

Více

HLAVA III PODROBNOSTI O VEDENÍ ÚST EDNÍHO SEZNAMU OCHRANY P ÍRODY

HLAVA III PODROBNOSTI O VEDENÍ ÚST EDNÍHO SEZNAMU OCHRANY P ÍRODY HLAVA III PODROBNOSTI O VEDENÍ ÚST EDNÍHO SEZNAMU OCHRANY P ÍRODY (K 42 odst. 2 zákona) 5 (1) Úst ední seznam ochrany p írody (dále jen "úst ední seznam") zahrnuje soupis, popis, geometrické a polohové

Více

STANOVISKO č. STAN/1/2006 ze dne 8. 2. 2006

STANOVISKO č. STAN/1/2006 ze dne 8. 2. 2006 STANOVISKO č. STAN/1/2006 ze dne 8. 2. 2006 Churning Churning je neetická praktika spočívající v nadměrném obchodování na účtu zákazníka obchodníka s cennými papíry. Negativní následek pro zákazníka spočívá

Více

Online komunikace a videokonference

Online komunikace a videokonference Online komunikace a videokonference Vít Rus ák PROJEKT nancovaný z Opera ního programu Vzd lávání pro konkurenceschopnost ZVY OVÁNÍ IT GRAMOTNOSTI ZAM STNANC VYBRANÝCH FAKULT MU Registra ní íslo: CZ.1.07/2.2.00/15.0224

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Pokyn D - 293. Sdělení Ministerstva financí k rozsahu dokumentace způsobu tvorby cen mezi spojenými osobami

Pokyn D - 293. Sdělení Ministerstva financí k rozsahu dokumentace způsobu tvorby cen mezi spojenými osobami PŘEVZATO Z MINISTERSTVA FINANCÍ ČESKÉ REPUBLIKY Ministerstvo financí Odbor 39 Č.j.: 39/116 682/2005-393 Referent: Mgr. Lucie Vojáčková, tel. 257 044 157 Ing. Michal Roháček, tel. 257 044 162 Pokyn D -

Více

Přezkoumání vhodnosti použití zvýšené podlahy pro aplikace datových středisek

Přezkoumání vhodnosti použití zvýšené podlahy pro aplikace datových středisek Přezkoumání vhodnosti použití zvýšené podlahy pro aplikace datových středisek White Paper #19 Revize 0 Resumé V tomto dokumentu jsou popsány okolnosti, které daly podnět k vývoji a používání zvýšených

Více

WEBMAP Mapový server PŘÍRUČKA PRO WWW UŽIVATELE. 2005-2008 Hydrosoft Veleslavín, s.r.o., U Sadu 13, Praha 6 www.hydrosoft.eu

WEBMAP Mapový server PŘÍRUČKA PRO WWW UŽIVATELE. 2005-2008 Hydrosoft Veleslavín, s.r.o., U Sadu 13, Praha 6 www.hydrosoft.eu WEBMAP Mapový server PŘÍRUČKA PRO WWW UŽIVATELE 2005-2008 Hydrosoft Veleslavín, s.r.o., U Sadu 13, Praha 6 www.hydrosoft.eu Obsah Obsah 1 1.1 3 Internetový... prohlížeč map 4 Rozložení ovládacích... prvků

Více

Závazná pravidla pro MěÚ a Bytovou komisi Rady města Pelhřimov

Závazná pravidla pro MěÚ a Bytovou komisi Rady města Pelhřimov Závazná pravidla pro MěÚ a Bytovou komisi Rady města Pelhřimov Závazná pravidla pro nájem bytů ve vlastnictví města Tato pravidla se nevztahují Čl. 1 Předmět úpravy a) na služební byty města Pelhřimova

Více

GEODÉZIE ENGINEERING s.r.o. Mezinár.výzkumné laserové centrum ELI Hrdlo ezská 21/31, 19000 Praha 9, tel: +420 284 810 346

GEODÉZIE ENGINEERING s.r.o. Mezinár.výzkumné laserové centrum ELI Hrdlo ezská 21/31, 19000 Praha 9, tel: +420 284 810 346 GEODÉZIE ENGINEERING s.r.o. Mezinár.výzkumné laserové centrum ELI Hrdlo ezská 21/31, 19000 Praha 9, tel: +420 284 810 346 Dolní B ežany email: geopraha@geopraha.cz, web: www.geopraha.cz Projekt m ení posun

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava

Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava na běžeckých lyžích Základními prvky nazýváme prvky elementární přípravy a pohybových dovedností, jejichž zvládnutí

Více

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní

Více

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí 4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle

Více

TECHNOLOGIE TVÁŘENÍ KOVŮ

TECHNOLOGIE TVÁŘENÍ KOVŮ TECHNOLOGIE TVÁŘENÍ KOVŮ Tvářením kovů rozumíme technologický (výrobní) proces, při kterém dochází k požadované změně tvaru výrobku nebo polotovaru, příp. vlastností, v důsledku působení vnějších sil.

Více

Základní praktikum laserové techniky

Základní praktikum laserové techniky Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 6: Nelineární transmise saturovatelných absorbér Datum m ení: 18.3.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh: FE Spolupracovala:

Více

Dálkové p enosy ze za ízení aktivní protikorozní ochrany Severomoravské plynárenské, a.s.

Dálkové p enosy ze za ízení aktivní protikorozní ochrany Severomoravské plynárenské, a.s. Dálkové p enosy ze za ízení aktivní protikorozní ochrany Severomoravské plynárenské, a.s. Tomáš D dina, Lubomír Herman Severomoravská plynárenská, a.s. Hlavní d vody realizace Podmínkou bezpe nosti a spolehlivosti

Více

EurotestCOMBO MI 3125, MI 3125B pi kový kompaktní multifunk ní p ístroj na provád ní revizí dle po adavk SN

EurotestCOMBO MI 3125, MI 3125B pi kový kompaktní multifunk ní p ístroj na provád ní revizí dle po adavk SN EurotestCOMBO MI 3125, MI 3125B pi kový kompaktní multifunk ní p ístroj na provád ní revizí dle po adavk SN 332000-6-61 Pou ití: ení spojitosti Zkratový proud > 200 ma. M ení probíhá s automatickým epólováním

Více

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Matematické modely a způsoby jejich řešení. Kateřina Růžičková

Matematické modely a způsoby jejich řešení. Kateřina Růžičková Matematické modely a způsoby jejich řešení Kateřina Růžičková Rovnice matematické fyziky Přednáška převzata od Doc. Rapanta Parciální diferencíální rovnice Diferencialní rovnice obsahujcí parcialní derivace

Více

FINANČNÍ MODELY. Koncepty, metody, aplikace. Zdeněk Zmeškal, Dana Dluhošová, Tomáš Tichý

FINANČNÍ MODELY. Koncepty, metody, aplikace. Zdeněk Zmeškal, Dana Dluhošová, Tomáš Tichý FINANČNÍ MODELY Koncepty, metody, aplikace Zdeněk Zmeškal, Dana Dluhošová, Tomáš Tichý Recenzenti: Jan Frait, ČNB Jaroslav Ramík, SU v Opavě Autorský kolektiv: Zdeněk Zmeškal vedoucí autorského kolektivu,

Více

IP kamerový systém Catr - uºivatelský návod k obsluze

IP kamerový systém Catr - uºivatelský návod k obsluze IP kamerový systém Catr - uºivatelský návod k obsluze Obsah P ipoj se k nám! Úvod 3 P ístup do systému 3 Po íta s Windows 3 Prvotní instalace 3 Ovládání kamerového systému na po íta i 5 šivý náhled...................................................

Více

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 - Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,

Více

Perspektivy financování vysokoškolského studia v České republice se spoluúčastí studentů Jan Lamser

Perspektivy financování vysokoškolského studia v České republice se spoluúčastí studentů Jan Lamser Perspektivy financování vysokoškolského studia v České republice se spoluúčastí studentů Jan Lamser Kulatý stůl na téma: BÍLÁ KNIHA TERCIÁRNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ OČIMA STAKEHOLDERŮ 22. září 2008 Základní východiska

Více

Metodická pomůcka pro hodnotitele

Metodická pomůcka pro hodnotitele Metodická pomůcka pro hodnotitele Hodnocení činnosti vysokých škol a jejich součástí Akreditační komisí listopad 2015 Hodnocení vysokých škol Dle článku 3 Statutu Akreditační komise provádí Akreditační

Více

KOMISE EVROPSKÝCH SPOLEČENSTVÍ

KOMISE EVROPSKÝCH SPOLEČENSTVÍ KOMISE EVROPSKÝCH SPOLEČENSTVÍ Brusel, 29. 6. 1999 COM(1999) 317 final SDĚLENÍ KOMISE RADĚ, EVROPSKÉMU PARLAMENTU, HOSPODÁŘSKÉMU A SOCIÁLNÍMU VÝBORU A VÝBORU REGIONŮ Rozvoj krátké námořní dopravy v Evropě

Více

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web: Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se

Více

Projekt je obvykle iniciován z d vodu dodržení sou asné i budoucí úrovn výroby,

Projekt je obvykle iniciován z d vodu dodržení sou asné i budoucí úrovn výroby, 164 Pr b h a a ízení investi ního procesu v eské rafinérské, a.s. a.s. Ing. Ing. Josef Josef Sváta, eská rafinérská a.s., O. Wichterleho 809, 278 52 52 Kralupy nad nad Vltavou, tel.:+420 315 718 605, e-mail:

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Digitální modely terénu.

Digitální modely terénu. Digitální modely terénu. Polyedrický model. Rastrový model. Plátový model. Plátování. Tomá² Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartograe. P írodov decká fakulta UK. Tomá²

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

Vyřizuje: Tel.: Fax: E-mail: Datum: 6.8.2012. Oznámení o návrhu stanovení místní úpravy provozu na místní komunikaci a silnici

Vyřizuje: Tel.: Fax: E-mail: Datum: 6.8.2012. Oznámení o návrhu stanovení místní úpravy provozu na místní komunikaci a silnici M Ě S T S K Ý Ú Ř A D B L A N S K O ODBOR STAVEBNÍ ÚŘAD, oddělení silničního hospodářství nám. Svobody 32/3, 678 24 Blansko Pracoviště: nám. Republiky 1316/1, 67801 Blansko Město Blansko, nám. Svobody

Více

Výroba ozubených kol. Použití ozubených kol. Převody ozubenými koly a tvary ozubených kol

Výroba ozubených kol. Použití ozubených kol. Převody ozubenými koly a tvary ozubených kol Výroba ozubených kol Použití ozubených kol Ozubenými koly se přenášejí otáčivé pohyby a kroutící momenty. Přenos je zde nucený, protože zuby a zubní mezery do sebe zabírají. Kola mohou mít vnější nebo

Více

účetních informací státu při přenosu účetního záznamu,

účetních informací státu při přenosu účetního záznamu, Strana 6230 Sbírka zákonů č. 383 / 2009 Částka 124 383 VYHLÁŠKA ze dne 27. října 2009 o účetních záznamech v technické formě vybraných účetních jednotek a jejich předávání do centrálního systému účetních

Více

Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011

Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011 Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní

Více

Věznice soběstačné město. Atelier Jana épky a Mirky T mové, VUT FA zimní semestr 2012 / 2013

Věznice soběstačné město. Atelier Jana épky a Mirky T mové, VUT FA zimní semestr 2012 / 2013 Věznice soběstačné město Atelier Jana épky a Mirky T mové, VUT FA zimní semestr 2012 / 2013 Atelier Jana épky a Mirky T mové vedoucí atelieru kontakt Ing. akad. arch. Jan épka Ing. arch. Mirka T mová Internet:

Více

M ení koncentrace radonu

M ení koncentrace radonu na pozemku, v dom bez a s izolací Jakub Klemsa David Kle ka Vojt ch Kovalík Fyzikální seminá Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská 2. kv tna 2011 Obsah 1 2 Vlastnosti radonu Radon kolem nás Radon a lov

Více

-1- N á v r h ČÁST PRVNÍ OBECNÁ USTANOVENÍ. 1 Předmět úpravy

-1- N á v r h ČÁST PRVNÍ OBECNÁ USTANOVENÍ. 1 Předmět úpravy -1- I I. N á v r h VYHLÁŠKY ze dne 2009 o účetních záznamech v technické formě vybraných účetních jednotek a jejich předávání do centrálního systému účetních informací státu a o požadavcích na technické

Více

Technická hodnota věcí a zařízení

Technická hodnota věcí a zařízení Technická hodnota věcí a zařízení Při hodnocení technického stavu je vycházeno ze zkušenosti, že nejdokonalejší a nejlepší technický stav má bezvadný, továrně nový výrobek. Výsledkem hodnocení technického

Více

Uložení potrubí. Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu. Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí

Uložení potrubí. Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu. Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí Uložení potrubí Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí Obsah: 1. Definice... 2 2. Rozměrový návrh komponent... 2 3. Podpěra nebo vedení na souosém

Více

Vektory. Vektorové veli iny

Vektory. Vektorové veli iny Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat

Více

Možnosti využití archivu historických povodní v operativní hydrologii na p íkladu povodí Otavy

Možnosti využití archivu historických povodní v operativní hydrologii na p íkladu povodí Otavy MOŽNOSTI VYUŽITÍ ARCHIVU HISTORICKÝCH POVODNÍ V OPERATIVNÍ HYDROLOGII NA P ÍKLADU POVODÍ OTAVY Možnosti využití archivu historických povodní v operativní hydrologii na p íkladu povodí Otavy TOMÁŠ VLASÁK

Více

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3

Více

NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE

NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE 1. Přehled možností programu 1.1. Hlavní okno Hlavní okno programu se skládá ze čtyř karet : Projekt, Zadání, Výsledky a Návrhový

Více

1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací.

1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací. 1 NÁPRAVA De-Dion Představuje přechod mezi tuhou nápravou a nápravou výkyvnou. Používá se (výhradně) jako náprava hnací. Skříň rozvodovky spojena s rámem zmenšení neodpružené hmoty. Přenos točivého momentu

Více

FLUENT přednášky. Metoda konečných objemů (MKO)

FLUENT přednášky. Metoda konečných objemů (MKO) FLUENT přednášky Metoda konečných objemů (MKO) Pavel Zácha zdroj: [Bakker, 2008], [Vodička, 2011], [Runchal, 2008], [Kozubková, 2008] Historie - zřejmě nestarší způsob řešení parciálních diferenciálních

Více

Počítání návštěvníků = klíč ke zvyšování zisku a snižování nákladů

Počítání návštěvníků = klíč ke zvyšování zisku a snižování nákladů Počítání návštěvníků = klíč ke zvyšování zisku a snižování nákladů 1. Úvod Podle odhadu více jak 80%-90% obchodních společností a obchodníků přichází zbytečně o tržby a vynakládá zbytečné náklady na provoz,

Více

Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.

Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz. Obsah 1 Creep 2 1.1 Úvod do problematiky............................. 2 1.2 Pevnostní charakteristiky p i creepu...................... 4 1.3 Fyzikální mechanismy creepu.......................... 5 1.4

Více

Role obálek D FFT spektra p i TSR invariantním rozpoznávání obrazu Kate ina Nováková, Jaromír Kukal VUT Praha, Fakulta jaderná a fyzikáln in en rská V CHT Praha, Ústav po íta ové a ídící techniky Abstrakt:

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA a MATE SKÁ ŠKOLA STRUP ICE, okres Chomutov

ZÁKLADNÍ ŠKOLA a MATE SKÁ ŠKOLA STRUP ICE, okres Chomutov ZÁKLADNÍ ŠKOLA a MATE SKÁ ŠKOLA STRUP ICE, okres Chomutov Autor výukového Materiálu Datum (období) vytvo ení materiálu Ro ník, pro který je materiál ur en Vzd lávací obor tématický okruh Název materiálu,

Více

Spojitý popis plazmatu, magnetohydrodynamika

Spojitý popis plazmatu, magnetohydrodynamika Spojitý popis plazmatu, magnetohydrodynamika Spojitý popis plazmatu V mnoha případech nepotřebujeme znát detailně popis plazmatu, dalším možným popisem plazmatu je tzv. spojitý (fluidní), tj. makroskopický

Více

POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD

POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD Mathcad návody do cvičení Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D. Ostrava 2011 Tyto studijní

Více

6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi

6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi 6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky od Ing. Magdaleny Čepičkové

Více

Rozdělení metod tlakového odporového svařování

Rozdělení metod tlakového odporového svařování Rozdělení metod tlakového odporového svařování Podle konstrukčního uspořádání elektrod a pracovního postupu tohoto elektromechanického procesu rozdělujeme odporové svařování na čtyři hlavní druhy: a) bodové

Více

Lineární harmonický oscilátor

Lineární harmonický oscilátor FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM I FJFI ƒvut v Praze Úloha #1 Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo Datum m ení: 25.1.213 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 5 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace:

Více