Modelování v elektrotechnice
|
|
- Pavel Bařtipán
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012
2
3
4 Obsah 1 Úvod do skriptovacího jazyka Matlab Prom nné a datové typy P íklady Rízení b hu programu Podmín ný p íkaz Cykly e²ení soustav rovnic Gaussova eliminace Implementace Gaussovy eliminace ve skriptovacím jazyce MATLAB Aproximace metodou nejmen²ích tverc Úloha aproximace metodou nejmen²ích tverc Interpolace funkcí Lagrangeova interpolace Numerické e²ení oby ejných diferenciálních rovnic Numerické metody e²ení oby ejných diferenciálních rovnic Jednokrokové metody Implementace jednokrokových metod
5 1 Úvod do skriptovacího jazyka Matlab Matlab je název pro interaktivní programové prost edí a zárove pro skriptovací jazyk. Práce v interaktivním prost edí je intuitivní pro kaºdého, kdo má zku²enost s libovolným vývojovým prost edím. Cílem této kapitoly je shrnout základní vlastnosti skriptovacího jazyka Matlab. 1.1 Prom nné a datové typy Matlab je jazyk se slabou typovou kontrolou. Prom nné nevyºadují deklaraci a typ prom nné je ur en p i jejím pouºití. Základním typem prom nné v Matlabu je matice. Matice m ºe mít libovolný po et rozm r, speciálními p ípady jsou skalár (matice 1 1), ádkový vektor (matice 1 n) a sloupcový vektor(matice n 1). Výchozím datovým typem prom nných je typ double P íklady P íkaz a = 10 vytvo í skalární prom nnou, a = [1, 1, 1] vytvo í ádkový vektor, a = [1; 1; 1] sloupcový vektor a = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1] vytvo í tvercovou matici 3 3. V²echny vytvo ené objekty obsahují reálná ísla typu double. V Matlabu lze p ímo pracovat s komplexními ísly. Pro ozna ení imaginární jednotky lze pouºít symbol i nebo j. Komplexní íslo lze vytvo it pomocí p íkazu 1 x = 1 + 1j. P ehled celo íselných typ je uveden v tabulce 1.1. Pouºité prom nné se ukládají. Pokud jsou prom nné dále nepot ebné lze je vymazat p íkazem clear. x = 10; clear x; 1 P i denici komplexního ísla je moºné pouºít i zápis x = 1 + j. Doporu ujeme v²ak tento zp sob zápisu nepouºívat, m ºe dojít ke kolizi s názvem prom nné. 1
6 KAPITOLA 1. ÚVOD DO SKRIPTOVACÍHO JAZYKA MATLAB Typ Rozsah Konverzní funkce 8-bitové íslo se znaménkem int8 8-bitové íslo bez znaménka uint bitové íslo se znaménkem int64 64-bitové íslo bez znaménka uint64 Tabulka 1.1: P ehled celo íselných datových typ Matlabu 1.2 Rízení b hu programu Ve skriptovacím jazyce MATLAB jsou k dispozici v²echny základní ídící struktury Podmín ný p íkaz Podobn jako ve v t²in programovacích jazyk je v Matlabu k dispozici podmín ný p íkaz if. Syntaxe p íkazu if je: if vyraz prikazy Pokud je výsledek výrazu logická jedni ka (podmínka je spln na) provedou se v²echny p íkazy aº do do symbolu. P íkaz if je moºné roz²í it o nepovinou ást else if vyraz prikazy else prikazy Pokud není spln na podmínka, vykoná se ást programu mezi else a : a = 2; if a>1 else disp('a je vetsi nez jedna'); disp('a je mensi nebo rovno jedne'); Cykly Cykly jsou ídící struktury, které umoº ují opakované vykonávání bloku p íkaz. Rozli- ²ujeme cykly s p edem daným po tem opakování (cyklus for) a cykly u kterých po et opakování p edem není znám (cyklus while). 2
7 KAPITOLA 1. ÚVOD DO SKRIPTOVACÍHO JAZYKA MATLAB Cyklus for Základní syntaxe p íkazu for je: for n = vektor prikazy P íkazy mezi klí ovými slovy for a jsou provedeny pro kaºdý prvek vektoru vektor. V kaºdé iteraci je p i azen prom nné n prvek vektoru vektor. Nap íklad: for n = 1:10 x(n) = sin(n*pi/10); >> x x = Cyklus while Na rozdíl od cyklu for, který vykoná skupinu p íkaz p edem daným po tem opakování, p íkaz while umoº uje provést skupinu p íkaz v závislosti na spln ní logické podmínky. Syntaxe p íkazu while je následující: while vyraz prikazy Kód níºe ukazuje pouºití p íkazu while. Uºivatel je poºádán o zadání libovolného (p edem neznámého po tu ísel). Zadávání ukon í uºivatel íslem 1. Poté je ze zadaných ísle vypo ítán aritmetický pr m r. Kód programu: soucet = 0; pocet = 0; cislo = 0; while ~(cislo == -1) retezec = input('zadej cislo:','s'); cislo = sscanf(retezec,'%d'); soucet = soucet + cislo; pocet = pocet + 1; prumer = soucet/pocet Výstup programu: 3
8 KAPITOLA 1. ÚVOD DO SKRIPTOVACÍHO JAZYKA MATLAB --> pokus Zadej cislo:1 Zadej cislo:2 Zadej cislo:3 Zadej cislo:4 Zadej cislo:5 Zadej cislo:-1 prumer = 2,3333 4
9 2 e²ení soustav rovnic 2.1 Gaussova eliminace Gaussova eliminace je pravd podobn nejznám j²í metodou e²ení soustav lineárních algebraických rovnic. Stru n popí²eme princip metody. P edpokládejme soustavu rovnic ve tvaru a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3... a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3... a 2n x n = b 2. =.. (2.1) a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3... a nn x n = b n Je z ejmé, ºe soustavu rovnic lze vyjád it v maticovém tvaru a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n x 1 x 2. = b 1 b 2... (2.2) a n1 a n2 a n3... a nn x 3 b 3 ƒasto budeme rovnici 2.2 zapisovat stru n ve tvaru Ax = b (2.3) Pokud aplikujeme ekvivalentní úpravy sou asn na matici A a na vektor b, víme, ºe se e²ení soustavy nezm ní. Mezi ekvivalentní úpravy pat í: vynásobení ádku matice íslem, zám na dvou ádk matice, p i tení ádku vynásobeného libovolným reálným(komplexním) íslem. Poda í-li se pomocí ekvivalentních úprav transformovat matici A na matici jednotkovou a aplikujeme-li zárove tyto úpravy na vektor b, bude po transformaci vektor b obsahovat e²ení soustavy. Gaussovu eliminaci lze rozd lit na dv ásti: dop edná redukce, zp tná substituce. 5
10 KAPITOLA 2. E ENÍ SOUSTAV ROVNIC P i dop edené redukci se snaºíme pomocí ekvivalentních úprav transformovat matici A na dolní trojúhelníkovou matici. V rámci zp tné substituce se snaºíme dolní trojúhelníkovou matici transformovat na matici jednotkovou. P íklad Vy e²me soustavu rovnic x x 2 x 3 = r 1 r 3 r 3 r 1. (2.4) Zám nou prvního a t etího sloupce získáme v prvním sloupci nuly pod hlavní diagonálou: x x 2 = 0. (2.5) x 3 2 r 3 r 3 2 r 2 Chceme-li získat nulu pod hlavní diagonálou, p i teme ke t etímu ádku druhý ádek vynásobený x x 2 = 0 r 2 r 2 + ( 1) r 3 (2.6) x 3 2 Získali jsme dolní trojúhelníkovou matici a dop edná redukce je tedy hotová. P i zp tné substituci se nejprve pokou²íme získat nuly v posledním sloupci nad hlavní diagonálou. V na²em p ípad vynásobíme poslední ádek íslem 1 a p i teme k druhému ádku x 1 x 2 x 3 = r 1 r 1 + ( 1) r 3 (2.7). a poté ode teme poslední ádek od ádku prvního x x 2 = 2. (2.8) x 3 2 Matice A byla transformována na dolní trojúhelníkovou matici a vektor b obsahuje e²ení soustavy. 2.2 Implementace Gaussovy eliminace ve skriptovacím jazyce MATLAB Je z ejmé, ºe Gaussovu eliminaci lze snadno algoritmizovat. V MATLABu lze provád t ádkové a sloupcové operace, takºe celou dop ednou substituci lze vy e²it pomocí dvouúrov ov vno ených cykl. Vn j²í cyklus prochází p es sloupce. Uvnit cyklu nejprve kontrolujeme zda diagonální prvek daného sloupce neobsahuje nulu. Pokud ano, zam níme p íslu²ný ádek s libovolným ádkem, který na odpovídající pozici nulu neobsahuje. Kód skriptu, který zam ní dva ádky v matici m ºe vypadat nap íklad takto: 6
11 KAPITOLA 2. E ENÍ SOUSTAV ROVNIC A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] radka = A(1,:) A(1,:)=A(3,:) A(3,:) = radka Výstup tohoto skriptu bude: A = radka = A = A = > Druhou asto pouºívanou ekvivalentní operací je p i tení ádku vynásobeného konstantou, p íklad pouºití této operace ukazuje následující kód A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] A(2,:) = A(2,:)-A(2,1)*A(1,:) Výstup programu: A = A = Úsek programu, který zajistí vynulování v²ech ísel v prvním sloupci (mimo diagonálního prvku), m ºe vypadat takto n = 3 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] for i = 2:n A(i,:) = A(i,:)-A(i,1)*A(1,:)/A(1,1) Doplníme-li kód o vn j²í cyklus, který zajistí posouvání po sloupcích, máme hotový dop edný b h Gaussovy elimina ní metody 7
12 KAPITOLA 2. E ENÍ SOUSTAV ROVNIC n = 3 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] for j = 1:2 for i = (j+1):n A(i,:) = A(i,:)-A(i,j)*A(j,:)/A(j,j) Skript pro zp tný b h Gaussovy elimina ní metody je analogický: for j = n : -1 : 1 for i = (j-1) : -1 : 1 A(i,:) = A(i,:) - A(i,j) * A(j,:) / A(j,j) 8
13 3 Aproximace metodou nejmen²ích tverc Denice 1. Základní pojmy Skalární sou in N-dimenzionálních vektor (x, y) N x i y i (3.1) i=1 Diskrétní skalární sou in funkcí f, g denovaných v bodech x 0,..., x n (f, g) n f(x i ) g(x i ) (3.2) i=1 Diskrétní norma funkce f denované v bodech x 0,..., x n indukovaná diskrétním skalárním sou inem f (f, f) (3.3) 3.1 Úloha aproximace metodou nejmen²ích tverc Jsou dány body x 0,..., x n a funkce f zadaná tabulkou hodnot v t chto bodech. Hledáme funkci ϕ M, kde M je námi zvolená t ída funkcí, která minimalizuje na této mnoºin M výraz n (f(x i ) ϕ(x i )) 2. (3.4) t=0 Pokud taková funkce f a existuje, nazýváme ji aproximací funkce f metodou nejmen²ích tverc (vzhledem k mnoºin M). Pokud mnoºina M je mnoºinou polynom nejvý²e stupn n, tato aproximace existuje vºdy. V ta 1. Nech funkce f je denovaná v bodech x 0,..., x n. Potom f a M je nejlep²í aproximace funkce f, tedy f f a < f ϕ pro v²echna ϕ M, práv kdyº platí (f f a, ϕ) = 0 ϕ M. (3.5) V ta 2. V mnoºin M existuje práv jedna aproximace f a funkce f, taková, ºe platí f f a = min f ϕ. (3.6) ϕ M 9
14 KAPITOLA 3. APROXIMACE METODOU NEJMEN ÍCH ƒtverc Na základ t chto v t (zejména v ty 2), m ºeme odvodit zp sob jakým lze aproximaci f a prakticky nalézt. ekli jsme, ºe M je prostor polynom nejvý²e stupn n. Tento prostor má bázi B = {e 1, e 2,..., e n } = {1, x, x 2,..., x n }. (3.7) Na²i aproximaci f a hledáme v p irozené podob f a = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0. (3.8) Protoºe M je lineární prostor, je podmínka pro aproximaci f a (f f a, ϕ) = 0 ϕ M (3.9) z v ty 1 ekvivalentní tomu, ºe (f f a, e i ) = 0 e i B, (3.10) coº je po rozepsání výrazu pro f a ekvivalentní výrazu n c j (e j, e i ) = (f, e i ), i = 0,..., n (3.11) j=0 P edchozí rovnici je moºné zapsat maticov (e 0, e 0 )... (e n, e 0 ) (e n, e 0 )... (e n, e n ) c 0.. c n = (f, e 0 ). (f, e n ). (3.12) 10
15 KAPITOLA 3. APROXIMACE METODOU NEJMEN ÍCH ƒtverc P íklad Funkci f zadanou tabulkou proloºte polynomem prvního stupn. x f(x) e²ení Vzhledem ke zvolenému stupni aproximujícího polynomu má mnoºina M bázi B = {e 0 = 1, e 1 = x}. (3.13) P ímo z denice m ºeme psát (e 0, e 0 ) = = 3 (3.14) i=0 (f, e 0 ) = (f, e 1 ) = (e 0, e 1 ) = (e 1, e 1 ) = 2 1 x i = x 1 + x 2 + x 3 = = 6 (3.15) i=0 2 x i x i = x x x 2 3 = = 14 (3.16) i=0 2 f(x i ) 1 = f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) = = 3 (3.17) i=0 2 f(x i ) x i = f(x 1 )x 1 + f(x 2 )x 2 + f(x 3 )x 3 = = 7 (3.18) i=0 Pro koecienty c 0 a c 1 tedy dostaneme maticovou rovnici [ ] [ ] [ ] 3 6 c 0 3 = 6 14 c 1 7 (3.19) Po vy e²ení Gaussovou eliminací, vyjde c 0 = 0, c 1 = 0,5. Hledanou aproximací je tedy p ímka popsaná rovnicí f a (x) = 0,5x. (3.20) Výsledek aproximace: f(x) 2 1 f a (x) = 0,5x x 11
16 4 Interpolace funkcí Interpolace (lat. inter-polare, vylep²it vkládáním) v numerické matematice znamená nalezení p ibliºné hodnoty funkce v n jakém intervalu, je-li její hodnota známa jen v n kterých jiných bodech tohoto intervalu. Pouºívá se v p ípad, ºe hodnoty funkce v ur itých bodech intervalu jsou bu to uvedeny v tabulce, získány m ením, nebo se vyplatí známou funkci nahradit funkcí jednodu²²í. 4.1 Lagrangeova interpolace P edpokládejme, ºe funkce f(x) je dána svými hodnotami v n+1 bodech x i, i = 0,..., n (body x i nazýváme uzly interpolace). Za nejjednodu²²ím zp sob interpolace lze pova- ºovat interpolaci Lagrangeovým polynomem. P i interpolaci Lagrangeovým polynomem hledáme polynom p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 stupn n tak, aby platilo p n (x 0 ) = f(x 0 ) p n (x 1 ) = f(x 1 ). p n (x n ) = f(x n ) (4.1) Soustava rovnic (4.1) p edstavuje n+1 rovnic pro n+1 neznámých koecient polynomu p n (x). Tuto soustavu lze e²it nap íklad Gaussovou eliminací. P íklad Funkci f zadanou tabulkou proloºte Lagrangeovým polynomem druhého stupn p 2 (x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0. x f(x) e²ení Podle (4.1) sestavíme soustavu rovnic a 2 x a 1 x 0 + a 0 = f(x 0 ), a 2 x a 1 x 1 + a 0 = f(x 1 ), a 2 x a 1 x 2 + a 0 = f(x 2 ). Po dosazení íselných hodnot za x 0, x 1 a x 2 získáme soustavu rovnic ve tvaru a a a 0 = 0, a a a 0 = 2, a a a 0 = 1. 12
17 KAPITOLA 4. INTERPOLACE FUNKCÍ V maticové podob tedy a 2 a 1 a 0 = (4.2) Po vy e²ení soustavy získáme koecienty Langrangeova polynomu a 2 = 1,5, a 1 = 6,5, a 0 = 5. Výsledek interpolace: f(x) p 2 (x) = 1,5x 2 + 6,5x x 13
18 5 Numerické e²ení oby ejných diferenciálních rovnic Denice 2. Oby ejnou diferenciální rovnicí (ODR) prvního ádu rozumíme rovnici ve tvaru F (t, x, x ) = 0, (5.1) nebo ve speciálním p ípad, pokud je rovnice roz e²ena vzhledem k x ve tvaru x = f(t, x). (5.2) 5.1 Numerické metody e²ení oby ejných diferenciálních rovnic P i numerickém e²ení oby ejné diferenciální rovnice hledáme hodnoty neznámé funkce x ve zvolených bodech n jakého intervalu a, b. Nejjednodu²²í moºností volby bod pro vy íslení neznámé funkce x je rozd lení intervalu pomocí n+1 bod na n stejných dílk o velikosti h = b a n, (5.3) kde pro body t i platí t 0 = a, t i = t i 1 + h pro 0 < i < n, x n = b (5.4) a íslo h se nazývá krok. Hodnota p esného e²ení v bod t i bude ozna ována symbolem y(t i ), hodnota p ibliºného e²ení symbolem X i Jednokrokové metody Princip jednokrokových metod e²ení ODR spo ívá v náhrad derivace pomocí diference. x (t i ) x(t i+1) x(x i ), (5.5) h neboli po úprav x(t i+1 ) X i+1 = x(t i ) + hx (t i ). (5.6) Obvykle známe p esné e²ení pouze v krajním bod zkoumaného intervalu (po áte ní podmínka x(t 0 ) = x(a)), ve v²ech ostatních bodech známe pouze vypo tená p ibliºná e²ení X i. Rovnice (5.6) pak p ejde do tvaru X i+1 = X i + hx i (5.7) 14
19 KAPITOLA 5. NUMERICKÉ E ENÍ OBYƒEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC y y(x i+1 ) Y i+1 y(x i ) h x i x i+1 x Obrázek 5.1: Princip Eulerovy metody P i náhrad derivace pomocí diference máme dv moºnosti jak vypo ítat p ibliºné e- ²ení. Nejprve p edpokládejme, ºe známe p esné e²ení X i v bod t i, potom m ºeme v tomto bod derivaci x (t i ) vyjád it vztahem x (t i ) = f(t i, x(t i )). (5.8) po dosazení do rovnice(5.7) získáme vztah pro p ibliºný výpo et e²ení v bod t i+1 (viz obrázek 5.1). X i+1 = x(t i ) + hf(t i, x(t i )). (5.9) Obvykle známe p esné e²ení pouze v krajním bod intervalu, které je dáno po áte ní podmínkou. Rovnice 5.9 dává itera ní p edpis pro výpo et e²ení, je v²ak t eba zohlednit, ºe výpo et kaºdého dal²ího bodu je zaloºen na p edchozích p ibliºných e²eních. Z tohoto faktu vyplývá relativn nízká stabilita explicitních metod, chyba aproximace se za ur itých okolností m ºe akumulovat. X i+1 = X i + hf(t i, X i ). (5.10) Metoda e²ení oby ejných diferenciálních rovnic zaloºená na p edpisu (5.10) je nazývána explicitní Eulerovou metodou. Druhý p ístup, implicitní Eulerovu metodu, k e²ení diferenciální rovnice pomocí náhrady derivace diferencí vyjad uje rovnice X i+1 = X i + hf(t i+1, X i+1 ). (5.11) Hledaná hodnota X i se vyskytuje i na pravé stran rovnice (5.11). K jejímu ur ení je t eba obecn e²it nelineární rovnici pro X i+1. P estoºe tato metoda je sloºit j²í neº explicitní Eulerova metoda, její výhody p evaºují. Za nejv t²í výhodu implicitní Eulerovy metody lze povaºovat bezpodmíne nou stabilitu Implementace jednokrokových metod Explicitní Eulerova metoda pro e²ení oby ejných diferenciálních rovnic je z hlediska implementace velice jednoduchá. P edpokládejme, ºe máme za úkol Eulerovou explicitní metodou vy e²it lineární diferenciální rovnici s konstantními koecienty ve tvaru x = f(t, x) = ax + b. (5.12) 15
20 KAPITOLA 5. NUMERICKÉ E ENÍ OBYƒEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC Dále p edpokládejme, ºe budeme e²it rovnici s po áte ní podmínkou x(t 0 ) = x 0, na intervalu t 0, t 1. Vstupem metody tedy budou koecienty a a b, které popisují diferenciální rovnici, po áte ní podmínka x 0, interval e²ení a po et bod, na které bude interval e²ení rozd len. Po dosazení za f(t i, x i ) do rovnice (5.10) získáme p edpis pro metodu ve tvaru X i+1 = X i + h(ax i + b). (5.13) Napí²eme funkci, jejíº vstupními parametry budou koecienty a, b, po áte ní podmínka x(0) = x 0, interval e²ení 0, t 1 a po et element na které bude interval rozd len n. Okomentovaný skript, který e²í Eulerovu explicitní metodu je uveden níºe. function x = euler(a, b, x0, interval_len, n) % a, b - koeficienty dif. rov % x0 - pocatecni podminka % interval_len - delka intervalu % n - pocet kroku h = interval_len / n; % vypocet kroku metody x = zeros(1, steps + 1); % priprava vektoru pro reseni % (radkovy vektor) x(1) = x0; % prvni prvek vektoru je pocatecni podminka % vlastni smycka programu for i = 1:steps x(i+1) = x(i) + h * (a * x(i) + b); Pouºití funkce Euler ukazují následující ádky kódu. t = 0:0.01:10; % priprava casove osy x = euler(-1, 1, 10, 10, 1000); % volani funkce plot(t,x); % vykresleni grafu reseni 16
Integrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
Vektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
Obsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
Ergodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
Rovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
Binární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
P íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
C++ Akademie SH. 2. Prom nné, podmínky, cykly, funkce, rekurze, operátory. Michal Kvasni ka. 20. b ezna Za áte níci C++
C++ Akademie SH 2. Prom nné, podmínky, cykly, funkce, rekurze, operátory Za áte níci C++ 20. b ezna 2011 Obsah 1 Prom nné - primitivní typy Celá ísla ƒísla s pohyblivou desetinnou árkou, typ bool 2 Podmínka
Co je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
T i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
P íklady k prvnímu testu - Scilab
P íklady k prvnímu testu - Scilab 24. b ezna 2014 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
Matice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
Lineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd
Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3
Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
1 Spo jité náhodné veli iny
Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X
a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
MATLB: p edná²ka 1. Prom nné, indexování a operátory. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií MATLB: p edná²ka 1 Prom nné, indexování a operátory Zbyn k Koldovský Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/28.0050 Modernizace
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014
ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
Základní praktikum laserové techniky
Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 4: Zna kování TEA CO 2 laserem a m ení jeho charakteristik Datum m ení: 1.4.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh:
Relace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011
Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní
Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
Dolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
Derivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
Cvi ení 1. Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, 2018
Cvi ení 1 Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní operace Základní funkce 3 Simulink Princip práce v Simulinku Jednoduché
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
1 Spojitý model. 1.1 Princip stochastického modelu
Spojitý model Veli iny v dopravním systému jsou náhodné posloupnosti indexované diskrétním asem t. V kaºdém asovém okamºiku to jsou náhodné veli iny, po zm ení dostaneme realizace náhodné veli iny. Tyto
PARADIGMATA PROGRAMOVÁNÍ 2A MAKRA I
KATEDRA INFORMATIKY, P ÍRODOV DECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO, OLOMOUC PARADIGMATA PROGRAMOVÁNÍ 2A MAKRA I Slajdy vytvo ili Vilém Vychodil a Jan Kone ný (KI, UP Olomouc) PP 2A, Lekce 3 Makra I 1 / 35
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny
7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic
7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s
Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:
Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 Viskoelasticita 2 1.1 Modely viskoelastického materiálu...................... 2 1.1.1 Maxwell v model............................ 4 1.1.2 Kelvin v model............................. 5 1.1.3 Maxwell
Základní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, Organizace cvi ení 2 Matlab Za ínáme Základní operace Základní funkce
Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní funkce 3 Princip práce v u Jednoduché modely v u Souhrn Organizace cvi ení webová
na za átku se denuje náhodná veli ina
P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím
Testy pro více veli in
Kapitola 8 Testy pro více veli in 8.1 Testy parametr s více výb ry s p edpokladem normality dat 8.1.1 Testy s dv ma výb ry. P edpoklady: Pro spojité rozd lení normalita nebo velký výb r. Pro diskrétní
Záludnosti velkých dimenzí
Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha
e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a
e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a Úloha 4.1. Na zah átí si dáme snadn j²í p íklad. Ur it zná² hru Myslím si íslo a to má vlastnost, je to velice podobné. Tedy mám binární lineární kód délky 5, který
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org Úloha 1.1. Bubla, Lib nka, Henry a Mat j hráli hru. Protoºe byli ty i, napsali si na tabuli ty i ty ky a jejich úkolem pak bylo vepsat mezi n t i znaménka
Transak ní zpracování I
Transak ní zpracování I Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS
1 P ílohy. 1.1 Dopln ní na tverec
1 P ílohy 1.1 Dopln ní na tverec Pouºívá se pro minimalizaci kvadratického výrazu nebo pro integraci v konvoluci dvou normálních rozd lení (tady má význam rozkladu normální sdruºené hp na podmín nou a
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Vzorové e²ení 4. série
Vzorové e²ení 4. série Úloha 4.1 Kouma koupil Œoumovi k Vánoc m Rubikovu kostku. Strana kostky m í 10 cm. Kdyº mu ji v²ak cht l zabalit do váno ního papíru, zjistil, ºe má k dispozici pouze tvercový papír
4. V p íprav odvo te vzorce (14) a (17) ze zadání [1].
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM II FJFI ƒvut v Praze Úloha #4 Balmerova série Datum m ení: 28.4.2014 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 7 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace: 1 Pracovní úkoly 1.
Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.
Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky
Numerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Co je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,
6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Domácí úkol 2. Obecné pokyny. Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab.
Domácí úkol 2 Obecné pokyny Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab. Návod pro výpo et v Matlabu Jestliºe X Bi(n, p), pak
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
ODR metody Runge-Kutta
ODR metody Runge-Kutta Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Úloha s počátečními podmínkami (Cauchyova) 1 řádu Hledáme aprox řešení Y(x) soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1 řádu kde Y(x) =
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
2C06028-00-Tisk-ePROJEKTY
Stránka. 27 z 50 3.2. ASOVÝ POSTUP PRACÍ - rok 2009 3.2.0. P EHLED DÍL ÍCH CÍL PLÁNOVANÉ 2009 íslo podrobn Datum pln ní matematicky formulovat postup výpo t V001 výpo etní postup ve form matematických
Cvi ení 7. Docházka a testík - 15 min. Distfun 10 min. Úloha 1
Cvi ení 7 Úkol: generování dat dle rozd lení, vykreslení rozd lení psti, odhad rozd lení dle dat, bodový odhad parametr, centrální limitní v ta, balí ek Distfun, normalizace Docházka a testík - 15 min.
3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Specifikace systému ESHOP
Nabídka: Specifikace systému ESHOP březen 2009 Obsah 1 Strana zákazníka 1 1.1 Nabídka produkt, strom kategorií..................... 1 1.2 Objednávka a ko²ík.............................. 1 1.3 Registrace
Výuka matematiky v 21. století na S technického typu
Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod.................................. 2 1.2 Didaktické zásady.......................... 3 2 Pouºití výukových modul
Fyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elekotroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 7. Opera ní zesilova Úvod Opera ní zesilova je elektronický obvod hojn vyuºívaný tém ve v²ech
Základní stavební prvky algoritmu
Základní stavební prvky algoritmu Podmínka. Cyklus for, while, do-while. Funkce, metody. Přetěžování. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009
Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................
Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0
1 Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0 Toto je manuál k programu SlaFoR 1.0 (Slab Forces & Reinforcement), který byl vytvo en v rámci bakalá ské práce na kated e betonových a zd ných konstrukcí
Uºivatelská p íru ka Octopus
Uºivatelská p íru ka Octopus Jan Bojko 11. prosince 2014 Abstrakt Uºivatelská p íru ka k aplikaci Octopus. Obsah 1 Úvod 2 2 P ihlá²ení 2 3 Naviga ní menu 2 4 Práce s tabulkou 3 5 Editace 6 5.1 Nový záznam.............................
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Unfolding - uºivatelský manuál
Unfolding - uºivatelský manuál Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Katedra softwarového inºenýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky p i kated e matematiky Obsah
Lineární harmonický oscilátor
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM I FJFI ƒvut v Praze Úloha #1 Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo Datum m ení: 25.1.213 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 5 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace: