Modelování v elektrotechnice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Modelování v elektrotechnice"

Transkript

1 Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012

2

3

4 Obsah 1 Úvod do skriptovacího jazyka Matlab Prom nné a datové typy P íklady Rízení b hu programu Podmín ný p íkaz Cykly e²ení soustav rovnic Gaussova eliminace Implementace Gaussovy eliminace ve skriptovacím jazyce MATLAB Aproximace metodou nejmen²ích tverc Úloha aproximace metodou nejmen²ích tverc Interpolace funkcí Lagrangeova interpolace Numerické e²ení oby ejných diferenciálních rovnic Numerické metody e²ení oby ejných diferenciálních rovnic Jednokrokové metody Implementace jednokrokových metod

5 1 Úvod do skriptovacího jazyka Matlab Matlab je název pro interaktivní programové prost edí a zárove pro skriptovací jazyk. Práce v interaktivním prost edí je intuitivní pro kaºdého, kdo má zku²enost s libovolným vývojovým prost edím. Cílem této kapitoly je shrnout základní vlastnosti skriptovacího jazyka Matlab. 1.1 Prom nné a datové typy Matlab je jazyk se slabou typovou kontrolou. Prom nné nevyºadují deklaraci a typ prom nné je ur en p i jejím pouºití. Základním typem prom nné v Matlabu je matice. Matice m ºe mít libovolný po et rozm r, speciálními p ípady jsou skalár (matice 1 1), ádkový vektor (matice 1 n) a sloupcový vektor(matice n 1). Výchozím datovým typem prom nných je typ double P íklady P íkaz a = 10 vytvo í skalární prom nnou, a = [1, 1, 1] vytvo í ádkový vektor, a = [1; 1; 1] sloupcový vektor a = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1] vytvo í tvercovou matici 3 3. V²echny vytvo ené objekty obsahují reálná ísla typu double. V Matlabu lze p ímo pracovat s komplexními ísly. Pro ozna ení imaginární jednotky lze pouºít symbol i nebo j. Komplexní íslo lze vytvo it pomocí p íkazu 1 x = 1 + 1j. P ehled celo íselných typ je uveden v tabulce 1.1. Pouºité prom nné se ukládají. Pokud jsou prom nné dále nepot ebné lze je vymazat p íkazem clear. x = 10; clear x; 1 P i denici komplexního ísla je moºné pouºít i zápis x = 1 + j. Doporu ujeme v²ak tento zp sob zápisu nepouºívat, m ºe dojít ke kolizi s názvem prom nné. 1

6 KAPITOLA 1. ÚVOD DO SKRIPTOVACÍHO JAZYKA MATLAB Typ Rozsah Konverzní funkce 8-bitové íslo se znaménkem int8 8-bitové íslo bez znaménka uint bitové íslo se znaménkem int64 64-bitové íslo bez znaménka uint64 Tabulka 1.1: P ehled celo íselných datových typ Matlabu 1.2 Rízení b hu programu Ve skriptovacím jazyce MATLAB jsou k dispozici v²echny základní ídící struktury Podmín ný p íkaz Podobn jako ve v t²in programovacích jazyk je v Matlabu k dispozici podmín ný p íkaz if. Syntaxe p íkazu if je: if vyraz prikazy Pokud je výsledek výrazu logická jedni ka (podmínka je spln na) provedou se v²echny p íkazy aº do do symbolu. P íkaz if je moºné roz²í it o nepovinou ást else if vyraz prikazy else prikazy Pokud není spln na podmínka, vykoná se ást programu mezi else a : a = 2; if a>1 else disp('a je vetsi nez jedna'); disp('a je mensi nebo rovno jedne'); Cykly Cykly jsou ídící struktury, které umoº ují opakované vykonávání bloku p íkaz. Rozli- ²ujeme cykly s p edem daným po tem opakování (cyklus for) a cykly u kterých po et opakování p edem není znám (cyklus while). 2

7 KAPITOLA 1. ÚVOD DO SKRIPTOVACÍHO JAZYKA MATLAB Cyklus for Základní syntaxe p íkazu for je: for n = vektor prikazy P íkazy mezi klí ovými slovy for a jsou provedeny pro kaºdý prvek vektoru vektor. V kaºdé iteraci je p i azen prom nné n prvek vektoru vektor. Nap íklad: for n = 1:10 x(n) = sin(n*pi/10); >> x x = Cyklus while Na rozdíl od cyklu for, který vykoná skupinu p íkaz p edem daným po tem opakování, p íkaz while umoº uje provést skupinu p íkaz v závislosti na spln ní logické podmínky. Syntaxe p íkazu while je následující: while vyraz prikazy Kód níºe ukazuje pouºití p íkazu while. Uºivatel je poºádán o zadání libovolného (p edem neznámého po tu ísel). Zadávání ukon í uºivatel íslem 1. Poté je ze zadaných ísle vypo ítán aritmetický pr m r. Kód programu: soucet = 0; pocet = 0; cislo = 0; while ~(cislo == -1) retezec = input('zadej cislo:','s'); cislo = sscanf(retezec,'%d'); soucet = soucet + cislo; pocet = pocet + 1; prumer = soucet/pocet Výstup programu: 3

8 KAPITOLA 1. ÚVOD DO SKRIPTOVACÍHO JAZYKA MATLAB --> pokus Zadej cislo:1 Zadej cislo:2 Zadej cislo:3 Zadej cislo:4 Zadej cislo:5 Zadej cislo:-1 prumer = 2,3333 4

9 2 e²ení soustav rovnic 2.1 Gaussova eliminace Gaussova eliminace je pravd podobn nejznám j²í metodou e²ení soustav lineárních algebraických rovnic. Stru n popí²eme princip metody. P edpokládejme soustavu rovnic ve tvaru a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3... a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3... a 2n x n = b 2. =.. (2.1) a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3... a nn x n = b n Je z ejmé, ºe soustavu rovnic lze vyjád it v maticovém tvaru a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n x 1 x 2. = b 1 b 2... (2.2) a n1 a n2 a n3... a nn x 3 b 3 ƒasto budeme rovnici 2.2 zapisovat stru n ve tvaru Ax = b (2.3) Pokud aplikujeme ekvivalentní úpravy sou asn na matici A a na vektor b, víme, ºe se e²ení soustavy nezm ní. Mezi ekvivalentní úpravy pat í: vynásobení ádku matice íslem, zám na dvou ádk matice, p i tení ádku vynásobeného libovolným reálným(komplexním) íslem. Poda í-li se pomocí ekvivalentních úprav transformovat matici A na matici jednotkovou a aplikujeme-li zárove tyto úpravy na vektor b, bude po transformaci vektor b obsahovat e²ení soustavy. Gaussovu eliminaci lze rozd lit na dv ásti: dop edná redukce, zp tná substituce. 5

10 KAPITOLA 2. E ENÍ SOUSTAV ROVNIC P i dop edené redukci se snaºíme pomocí ekvivalentních úprav transformovat matici A na dolní trojúhelníkovou matici. V rámci zp tné substituce se snaºíme dolní trojúhelníkovou matici transformovat na matici jednotkovou. P íklad Vy e²me soustavu rovnic x x 2 x 3 = r 1 r 3 r 3 r 1. (2.4) Zám nou prvního a t etího sloupce získáme v prvním sloupci nuly pod hlavní diagonálou: x x 2 = 0. (2.5) x 3 2 r 3 r 3 2 r 2 Chceme-li získat nulu pod hlavní diagonálou, p i teme ke t etímu ádku druhý ádek vynásobený x x 2 = 0 r 2 r 2 + ( 1) r 3 (2.6) x 3 2 Získali jsme dolní trojúhelníkovou matici a dop edná redukce je tedy hotová. P i zp tné substituci se nejprve pokou²íme získat nuly v posledním sloupci nad hlavní diagonálou. V na²em p ípad vynásobíme poslední ádek íslem 1 a p i teme k druhému ádku x 1 x 2 x 3 = r 1 r 1 + ( 1) r 3 (2.7). a poté ode teme poslední ádek od ádku prvního x x 2 = 2. (2.8) x 3 2 Matice A byla transformována na dolní trojúhelníkovou matici a vektor b obsahuje e²ení soustavy. 2.2 Implementace Gaussovy eliminace ve skriptovacím jazyce MATLAB Je z ejmé, ºe Gaussovu eliminaci lze snadno algoritmizovat. V MATLABu lze provád t ádkové a sloupcové operace, takºe celou dop ednou substituci lze vy e²it pomocí dvouúrov ov vno ených cykl. Vn j²í cyklus prochází p es sloupce. Uvnit cyklu nejprve kontrolujeme zda diagonální prvek daného sloupce neobsahuje nulu. Pokud ano, zam níme p íslu²ný ádek s libovolným ádkem, který na odpovídající pozici nulu neobsahuje. Kód skriptu, který zam ní dva ádky v matici m ºe vypadat nap íklad takto: 6

11 KAPITOLA 2. E ENÍ SOUSTAV ROVNIC A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] radka = A(1,:) A(1,:)=A(3,:) A(3,:) = radka Výstup tohoto skriptu bude: A = radka = A = A = > Druhou asto pouºívanou ekvivalentní operací je p i tení ádku vynásobeného konstantou, p íklad pouºití této operace ukazuje následující kód A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] A(2,:) = A(2,:)-A(2,1)*A(1,:) Výstup programu: A = A = Úsek programu, který zajistí vynulování v²ech ísel v prvním sloupci (mimo diagonálního prvku), m ºe vypadat takto n = 3 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] for i = 2:n A(i,:) = A(i,:)-A(i,1)*A(1,:)/A(1,1) Doplníme-li kód o vn j²í cyklus, který zajistí posouvání po sloupcích, máme hotový dop edný b h Gaussovy elimina ní metody 7

12 KAPITOLA 2. E ENÍ SOUSTAV ROVNIC n = 3 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0] for j = 1:2 for i = (j+1):n A(i,:) = A(i,:)-A(i,j)*A(j,:)/A(j,j) Skript pro zp tný b h Gaussovy elimina ní metody je analogický: for j = n : -1 : 1 for i = (j-1) : -1 : 1 A(i,:) = A(i,:) - A(i,j) * A(j,:) / A(j,j) 8

13 3 Aproximace metodou nejmen²ích tverc Denice 1. Základní pojmy Skalární sou in N-dimenzionálních vektor (x, y) N x i y i (3.1) i=1 Diskrétní skalární sou in funkcí f, g denovaných v bodech x 0,..., x n (f, g) n f(x i ) g(x i ) (3.2) i=1 Diskrétní norma funkce f denované v bodech x 0,..., x n indukovaná diskrétním skalárním sou inem f (f, f) (3.3) 3.1 Úloha aproximace metodou nejmen²ích tverc Jsou dány body x 0,..., x n a funkce f zadaná tabulkou hodnot v t chto bodech. Hledáme funkci ϕ M, kde M je námi zvolená t ída funkcí, která minimalizuje na této mnoºin M výraz n (f(x i ) ϕ(x i )) 2. (3.4) t=0 Pokud taková funkce f a existuje, nazýváme ji aproximací funkce f metodou nejmen²ích tverc (vzhledem k mnoºin M). Pokud mnoºina M je mnoºinou polynom nejvý²e stupn n, tato aproximace existuje vºdy. V ta 1. Nech funkce f je denovaná v bodech x 0,..., x n. Potom f a M je nejlep²í aproximace funkce f, tedy f f a < f ϕ pro v²echna ϕ M, práv kdyº platí (f f a, ϕ) = 0 ϕ M. (3.5) V ta 2. V mnoºin M existuje práv jedna aproximace f a funkce f, taková, ºe platí f f a = min f ϕ. (3.6) ϕ M 9

14 KAPITOLA 3. APROXIMACE METODOU NEJMEN ÍCH ƒtverc Na základ t chto v t (zejména v ty 2), m ºeme odvodit zp sob jakým lze aproximaci f a prakticky nalézt. ekli jsme, ºe M je prostor polynom nejvý²e stupn n. Tento prostor má bázi B = {e 1, e 2,..., e n } = {1, x, x 2,..., x n }. (3.7) Na²i aproximaci f a hledáme v p irozené podob f a = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0. (3.8) Protoºe M je lineární prostor, je podmínka pro aproximaci f a (f f a, ϕ) = 0 ϕ M (3.9) z v ty 1 ekvivalentní tomu, ºe (f f a, e i ) = 0 e i B, (3.10) coº je po rozepsání výrazu pro f a ekvivalentní výrazu n c j (e j, e i ) = (f, e i ), i = 0,..., n (3.11) j=0 P edchozí rovnici je moºné zapsat maticov (e 0, e 0 )... (e n, e 0 ) (e n, e 0 )... (e n, e n ) c 0.. c n = (f, e 0 ). (f, e n ). (3.12) 10

15 KAPITOLA 3. APROXIMACE METODOU NEJMEN ÍCH ƒtverc P íklad Funkci f zadanou tabulkou proloºte polynomem prvního stupn. x f(x) e²ení Vzhledem ke zvolenému stupni aproximujícího polynomu má mnoºina M bázi B = {e 0 = 1, e 1 = x}. (3.13) P ímo z denice m ºeme psát (e 0, e 0 ) = = 3 (3.14) i=0 (f, e 0 ) = (f, e 1 ) = (e 0, e 1 ) = (e 1, e 1 ) = 2 1 x i = x 1 + x 2 + x 3 = = 6 (3.15) i=0 2 x i x i = x x x 2 3 = = 14 (3.16) i=0 2 f(x i ) 1 = f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) = = 3 (3.17) i=0 2 f(x i ) x i = f(x 1 )x 1 + f(x 2 )x 2 + f(x 3 )x 3 = = 7 (3.18) i=0 Pro koecienty c 0 a c 1 tedy dostaneme maticovou rovnici [ ] [ ] [ ] 3 6 c 0 3 = 6 14 c 1 7 (3.19) Po vy e²ení Gaussovou eliminací, vyjde c 0 = 0, c 1 = 0,5. Hledanou aproximací je tedy p ímka popsaná rovnicí f a (x) = 0,5x. (3.20) Výsledek aproximace: f(x) 2 1 f a (x) = 0,5x x 11

16 4 Interpolace funkcí Interpolace (lat. inter-polare, vylep²it vkládáním) v numerické matematice znamená nalezení p ibliºné hodnoty funkce v n jakém intervalu, je-li její hodnota známa jen v n kterých jiných bodech tohoto intervalu. Pouºívá se v p ípad, ºe hodnoty funkce v ur itých bodech intervalu jsou bu to uvedeny v tabulce, získány m ením, nebo se vyplatí známou funkci nahradit funkcí jednodu²²í. 4.1 Lagrangeova interpolace P edpokládejme, ºe funkce f(x) je dána svými hodnotami v n+1 bodech x i, i = 0,..., n (body x i nazýváme uzly interpolace). Za nejjednodu²²ím zp sob interpolace lze pova- ºovat interpolaci Lagrangeovým polynomem. P i interpolaci Lagrangeovým polynomem hledáme polynom p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 stupn n tak, aby platilo p n (x 0 ) = f(x 0 ) p n (x 1 ) = f(x 1 ). p n (x n ) = f(x n ) (4.1) Soustava rovnic (4.1) p edstavuje n+1 rovnic pro n+1 neznámých koecient polynomu p n (x). Tuto soustavu lze e²it nap íklad Gaussovou eliminací. P íklad Funkci f zadanou tabulkou proloºte Lagrangeovým polynomem druhého stupn p 2 (x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0. x f(x) e²ení Podle (4.1) sestavíme soustavu rovnic a 2 x a 1 x 0 + a 0 = f(x 0 ), a 2 x a 1 x 1 + a 0 = f(x 1 ), a 2 x a 1 x 2 + a 0 = f(x 2 ). Po dosazení íselných hodnot za x 0, x 1 a x 2 získáme soustavu rovnic ve tvaru a a a 0 = 0, a a a 0 = 2, a a a 0 = 1. 12

17 KAPITOLA 4. INTERPOLACE FUNKCÍ V maticové podob tedy a 2 a 1 a 0 = (4.2) Po vy e²ení soustavy získáme koecienty Langrangeova polynomu a 2 = 1,5, a 1 = 6,5, a 0 = 5. Výsledek interpolace: f(x) p 2 (x) = 1,5x 2 + 6,5x x 13

18 5 Numerické e²ení oby ejných diferenciálních rovnic Denice 2. Oby ejnou diferenciální rovnicí (ODR) prvního ádu rozumíme rovnici ve tvaru F (t, x, x ) = 0, (5.1) nebo ve speciálním p ípad, pokud je rovnice roz e²ena vzhledem k x ve tvaru x = f(t, x). (5.2) 5.1 Numerické metody e²ení oby ejných diferenciálních rovnic P i numerickém e²ení oby ejné diferenciální rovnice hledáme hodnoty neznámé funkce x ve zvolených bodech n jakého intervalu a, b. Nejjednodu²²í moºností volby bod pro vy íslení neznámé funkce x je rozd lení intervalu pomocí n+1 bod na n stejných dílk o velikosti h = b a n, (5.3) kde pro body t i platí t 0 = a, t i = t i 1 + h pro 0 < i < n, x n = b (5.4) a íslo h se nazývá krok. Hodnota p esného e²ení v bod t i bude ozna ována symbolem y(t i ), hodnota p ibliºného e²ení symbolem X i Jednokrokové metody Princip jednokrokových metod e²ení ODR spo ívá v náhrad derivace pomocí diference. x (t i ) x(t i+1) x(x i ), (5.5) h neboli po úprav x(t i+1 ) X i+1 = x(t i ) + hx (t i ). (5.6) Obvykle známe p esné e²ení pouze v krajním bod zkoumaného intervalu (po áte ní podmínka x(t 0 ) = x(a)), ve v²ech ostatních bodech známe pouze vypo tená p ibliºná e²ení X i. Rovnice (5.6) pak p ejde do tvaru X i+1 = X i + hx i (5.7) 14

19 KAPITOLA 5. NUMERICKÉ E ENÍ OBYƒEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC y y(x i+1 ) Y i+1 y(x i ) h x i x i+1 x Obrázek 5.1: Princip Eulerovy metody P i náhrad derivace pomocí diference máme dv moºnosti jak vypo ítat p ibliºné e- ²ení. Nejprve p edpokládejme, ºe známe p esné e²ení X i v bod t i, potom m ºeme v tomto bod derivaci x (t i ) vyjád it vztahem x (t i ) = f(t i, x(t i )). (5.8) po dosazení do rovnice(5.7) získáme vztah pro p ibliºný výpo et e²ení v bod t i+1 (viz obrázek 5.1). X i+1 = x(t i ) + hf(t i, x(t i )). (5.9) Obvykle známe p esné e²ení pouze v krajním bod intervalu, které je dáno po áte ní podmínkou. Rovnice 5.9 dává itera ní p edpis pro výpo et e²ení, je v²ak t eba zohlednit, ºe výpo et kaºdého dal²ího bodu je zaloºen na p edchozích p ibliºných e²eních. Z tohoto faktu vyplývá relativn nízká stabilita explicitních metod, chyba aproximace se za ur itých okolností m ºe akumulovat. X i+1 = X i + hf(t i, X i ). (5.10) Metoda e²ení oby ejných diferenciálních rovnic zaloºená na p edpisu (5.10) je nazývána explicitní Eulerovou metodou. Druhý p ístup, implicitní Eulerovu metodu, k e²ení diferenciální rovnice pomocí náhrady derivace diferencí vyjad uje rovnice X i+1 = X i + hf(t i+1, X i+1 ). (5.11) Hledaná hodnota X i se vyskytuje i na pravé stran rovnice (5.11). K jejímu ur ení je t eba obecn e²it nelineární rovnici pro X i+1. P estoºe tato metoda je sloºit j²í neº explicitní Eulerova metoda, její výhody p evaºují. Za nejv t²í výhodu implicitní Eulerovy metody lze povaºovat bezpodmíne nou stabilitu Implementace jednokrokových metod Explicitní Eulerova metoda pro e²ení oby ejných diferenciálních rovnic je z hlediska implementace velice jednoduchá. P edpokládejme, ºe máme za úkol Eulerovou explicitní metodou vy e²it lineární diferenciální rovnici s konstantními koecienty ve tvaru x = f(t, x) = ax + b. (5.12) 15

20 KAPITOLA 5. NUMERICKÉ E ENÍ OBYƒEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC Dále p edpokládejme, ºe budeme e²it rovnici s po áte ní podmínkou x(t 0 ) = x 0, na intervalu t 0, t 1. Vstupem metody tedy budou koecienty a a b, které popisují diferenciální rovnici, po áte ní podmínka x 0, interval e²ení a po et bod, na které bude interval e²ení rozd len. Po dosazení za f(t i, x i ) do rovnice (5.10) získáme p edpis pro metodu ve tvaru X i+1 = X i + h(ax i + b). (5.13) Napí²eme funkci, jejíº vstupními parametry budou koecienty a, b, po áte ní podmínka x(0) = x 0, interval e²ení 0, t 1 a po et element na které bude interval rozd len n. Okomentovaný skript, který e²í Eulerovu explicitní metodu je uveden níºe. function x = euler(a, b, x0, interval_len, n) % a, b - koeficienty dif. rov % x0 - pocatecni podminka % interval_len - delka intervalu % n - pocet kroku h = interval_len / n; % vypocet kroku metody x = zeros(1, steps + 1); % priprava vektoru pro reseni % (radkovy vektor) x(1) = x0; % prvni prvek vektoru je pocatecni podminka % vlastni smycka programu for i = 1:steps x(i+1) = x(i) + h * (a * x(i) + b); Pouºití funkce Euler ukazují následující ádky kódu. t = 0:0.01:10; % priprava casove osy x = euler(-1, 1, 10, 10, 1000); % volani funkce plot(t,x); % vykresleni grafu reseni 16

Integrování jako opak derivování

Integrování jako opak derivování Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.

Více

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo

Více

e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody

e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.

Více

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být

Více

Vektory. Vektorové veli iny

Vektory. Vektorové veli iny Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat

Více

Obsah. Pouºité zna ení 1

Obsah. Pouºité zna ení 1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.

Více

5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32

5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité

Více

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R

Více

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.

Více

Ergodické Markovské et zce

Ergodické Markovské et zce 1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme

Více

Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce

Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))

Více

Rovnice a nerovnice. Posloupnosti.

Rovnice a nerovnice. Posloupnosti. .. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna

Více

Binární operace. Úvod. Pomocný text

Binární operace. Úvod. Pomocný text Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení

Více

P íklad 1 (Náhodná veli ina)

P íklad 1 (Náhodná veli ina) P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny

Více

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:

Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web: Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod

Více

C++ Akademie SH. 2. Prom nné, podmínky, cykly, funkce, rekurze, operátory. Michal Kvasni ka. 20. b ezna Za áte níci C++

C++ Akademie SH. 2. Prom nné, podmínky, cykly, funkce, rekurze, operátory. Michal Kvasni ka. 20. b ezna Za áte níci C++ C++ Akademie SH 2. Prom nné, podmínky, cykly, funkce, rekurze, operátory Za áte níci C++ 20. b ezna 2011 Obsah 1 Prom nné - primitivní typy Celá ísla ƒísla s pohyblivou desetinnou árkou, typ bool 2 Podmínka

Více

Co je to tensor... Vektorový prostor

Co je to tensor... Vektorový prostor Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni

Více

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost (8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo

Více

Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý

Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní

Více

T i hlavní v ty pravd podobnosti

T i hlavní v ty pravd podobnosti T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.

Více

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) = I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin

Více

P íklady k prvnímu testu - Scilab

P íklady k prvnímu testu - Scilab P íklady k prvnímu testu - Scilab 24. b ezna 2014 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu

Více

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4 Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P

Více

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx. VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými

Více

Matice a e²ení soustav lineárních rovnic

Matice a e²ení soustav lineárních rovnic Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála

Více

Lineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd

Lineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3

Více

Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny

Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou

Více

1 Spo jité náhodné veli iny

1 Spo jité náhodné veli iny Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

MATLB: p edná²ka 1. Prom nné, indexování a operátory. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

MATLB: p edná²ka 1. Prom nné, indexování a operátory. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií MATLB: p edná²ka 1 Prom nné, indexování a operátory Zbyn k Koldovský Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/28.0050 Modernizace

Více

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =

Více

ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014

ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014 ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu

Více

Základní praktikum laserové techniky

Základní praktikum laserové techniky Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 4: Zna kování TEA CO 2 laserem a m ení jeho charakteristik Datum m ení: 1.4.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh:

Více

Relace. Základní pojmy.

Relace. Základní pojmy. Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2

Více

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem

Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011

Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011 Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní

Více

Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah

Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus

Více

Dolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu

Dolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp

Více

Derivování sloºené funkce

Derivování sloºené funkce Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem

Více

Cvi ení 1. Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, 2018

Cvi ení 1. Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, 2018 Cvi ení 1 Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní operace Základní funkce 3 Simulink Princip práce v Simulinku Jednoduché

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

1 Spojitý model. 1.1 Princip stochastického modelu

1 Spojitý model. 1.1 Princip stochastického modelu Spojitý model Veli iny v dopravním systému jsou náhodné posloupnosti indexované diskrétním asem t. V kaºdém asovém okamºiku to jsou náhodné veli iny, po zm ení dostaneme realizace náhodné veli iny. Tyto

Více

PARADIGMATA PROGRAMOVÁNÍ 2A MAKRA I

PARADIGMATA PROGRAMOVÁNÍ 2A MAKRA I KATEDRA INFORMATIKY, P ÍRODOV DECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO, OLOMOUC PARADIGMATA PROGRAMOVÁNÍ 2A MAKRA I Slajdy vytvo ili Vilém Vychodil a Jan Kone ný (KI, UP Olomouc) PP 2A, Lekce 3 Makra I 1 / 35

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny

Více

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic 7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s

Více

Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:

Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.

Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz. Obsah 1 Viskoelasticita 2 1.1 Modely viskoelastického materiálu...................... 2 1.1.1 Maxwell v model............................ 4 1.1.2 Kelvin v model............................. 5 1.1.3 Maxwell

Více

Základní pojmy teorie mnoºin.

Základní pojmy teorie mnoºin. Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající

Více

Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, Organizace cvi ení 2 Matlab Za ínáme Základní operace Základní funkce

Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, Organizace cvi ení 2 Matlab Za ínáme Základní operace Základní funkce Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní funkce 3 Princip práce v u Jednoduché modely v u Souhrn Organizace cvi ení webová

Více

na za átku se denuje náhodná veli ina

na za átku se denuje náhodná veli ina P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím

Více

Testy pro více veli in

Testy pro více veli in Kapitola 8 Testy pro více veli in 8.1 Testy parametr s více výb ry s p edpokladem normality dat 8.1.1 Testy s dv ma výb ry. P edpoklady: Pro spojité rozd lení normalita nebo velký výb r. Pro diskrétní

Více

Záludnosti velkých dimenzí

Záludnosti velkých dimenzí Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel

Více

Post ehy a materiály k výuce celku Funkce

Post ehy a materiály k výuce celku Funkce Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis

Více

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady

Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha

Více

e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a

e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a Úloha 4.1. Na zah átí si dáme snadn j²í p íklad. Ur it zná² hru Myslím si íslo a to má vlastnost, je to velice podobné. Tedy mám binární lineární kód délky 5, který

Více

e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org

e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org Úloha 1.1. Bubla, Lib nka, Henry a Mat j hráli hru. Protoºe byli ty i, napsali si na tabuli ty i ty ky a jejich úkolem pak bylo vepsat mezi n t i znaménka

Více

Transak ní zpracování I

Transak ní zpracování I Transak ní zpracování I Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS

Více

1 P ílohy. 1.1 Dopln ní na tverec

1 P ílohy. 1.1 Dopln ní na tverec 1 P ílohy 1.1 Dopln ní na tverec Pouºívá se pro minimalizaci kvadratického výrazu nebo pro integraci v konvoluci dvou normálních rozd lení (tady má význam rozkladu normální sdruºené hp na podmín nou a

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Vzorové e²ení 4. série

Vzorové e²ení 4. série Vzorové e²ení 4. série Úloha 4.1 Kouma koupil Œoumovi k Vánoc m Rubikovu kostku. Strana kostky m í 10 cm. Kdyº mu ji v²ak cht l zabalit do váno ního papíru, zjistil, ºe má k dispozici pouze tvercový papír

Více

4. V p íprav odvo te vzorce (14) a (17) ze zadání [1].

4. V p íprav odvo te vzorce (14) a (17) ze zadání [1]. FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM II FJFI ƒvut v Praze Úloha #4 Balmerova série Datum m ení: 28.4.2014 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 7 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace: 1 Pracovní úkoly 1.

Více

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky

Více

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Numerické řešení diferenciálních rovnic Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

Domácí úkol 2. Obecné pokyny. Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab.

Domácí úkol 2. Obecné pokyny. Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab. Domácí úkol 2 Obecné pokyny Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab. Návod pro výpo et v Matlabu Jestliºe X Bi(n, p), pak

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe

Více

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání

Více

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

ODR metody Runge-Kutta

ODR metody Runge-Kutta ODR metody Runge-Kutta Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Úloha s počátečními podmínkami (Cauchyova) 1 řádu Hledáme aprox řešení Y(x) soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1 řádu kde Y(x) =

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák

1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.

Více

2C06028-00-Tisk-ePROJEKTY

2C06028-00-Tisk-ePROJEKTY Stránka. 27 z 50 3.2. ASOVÝ POSTUP PRACÍ - rok 2009 3.2.0. P EHLED DÍL ÍCH CÍL PLÁNOVANÉ 2009 íslo podrobn Datum pln ní matematicky formulovat postup výpo t V001 výpo etní postup ve form matematických

Více

Cvi ení 7. Docházka a testík - 15 min. Distfun 10 min. Úloha 1

Cvi ení 7. Docházka a testík - 15 min. Distfun 10 min. Úloha 1 Cvi ení 7 Úkol: generování dat dle rozd lení, vykreslení rozd lení psti, odhad rozd lení dle dat, bodový odhad parametr, centrální limitní v ta, balí ek Distfun, normalizace Docházka a testík - 15 min.

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Specifikace systému ESHOP

Specifikace systému ESHOP Nabídka: Specifikace systému ESHOP březen 2009 Obsah 1 Strana zákazníka 1 1.1 Nabídka produkt, strom kategorií..................... 1 1.2 Objednávka a ko²ík.............................. 1 1.3 Registrace

Více

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu

Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod.................................. 2 1.2 Didaktické zásady.......................... 3 2 Pouºití výukových modul

Více

Fyzikální praktikum 3

Fyzikální praktikum 3 Ústav fyzikální elekotroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 7. Opera ní zesilova Úvod Opera ní zesilova je elektronický obvod hojn vyuºívaný tém ve v²ech

Více

Základní stavební prvky algoritmu

Základní stavební prvky algoritmu Základní stavební prvky algoritmu Podmínka. Cyklus for, while, do-while. Funkce, metody. Přetěžování. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................

Více

Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0

Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0 1 Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0 Toto je manuál k programu SlaFoR 1.0 (Slab Forces & Reinforcement), který byl vytvo en v rámci bakalá ské práce na kated e betonových a zd ných konstrukcí

Více

Uºivatelská p íru ka Octopus

Uºivatelská p íru ka Octopus Uºivatelská p íru ka Octopus Jan Bojko 11. prosince 2014 Abstrakt Uºivatelská p íru ka k aplikaci Octopus. Obsah 1 Úvod 2 2 P ihlá²ení 2 3 Naviga ní menu 2 4 Práce s tabulkou 3 5 Editace 6 5.1 Nový záznam.............................

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Unfolding - uºivatelský manuál

Unfolding - uºivatelský manuál Unfolding - uºivatelský manuál Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Katedra softwarového inºenýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky p i kated e matematiky Obsah

Více

Lineární harmonický oscilátor

Lineární harmonický oscilátor FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM I FJFI ƒvut v Praze Úloha #1 Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo Datum m ení: 25.1.213 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 5 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace:

Více