Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4"

Karel Bílek
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2 : (x 4 + y 4 ) 3/2 x 4 y 4. P íslu²ná Lebesgueova míra je generována vytvo ující funkcí φ(τ) = τ 3 v obou dimenzích. ➋ (8 bod ) Rozhodn te, zda pro funkci f (x, y) = x 3 +8y 3 x 2 +2y 2... (x, y) ;... (x, y) = ; existuje totální diferenciál v bod (, ). Detailn od vodn te! ➌ (9 bod ) Nech je implicitní funkce u(x, y) zadána generující rovnicí H(x, y, u) =. Nech (x, y, u ) je generujícím bodem, který není kritický. Nech dále (x, y ) je stacionárním bodem funkce u(x, y). Stanovte vztah mezi Hessovou maticí H (x,y,u ) funkce H(x, y, u) a Hessovou maticí U (x,y ) funkce u(x, y). Získaný vztah p eformulujte do vlastní (elegantn formulované) v ty. ➍ (12 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce g(x, y, z) = 4 + y(xz) 2 na mnoºin M = (x, y, z) E 3 : x, y, z > 16(x 4 + z 4 ) + y 2 = 48. ➎ (1 bod ) fyzikální úloha Hustota ϱ(x, y, z) t lesa tvaru poloelipsoidu x 2 + y 2 + z2 1; z c 2 je p ímo úm rná kvadrátu vzdálenosti od roviny z =. Vypo ítejte z tovou sou adnici t ºi²t tohoto t lesa.

2 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 2 z p edm tu 1MAB4 31/5/216, 9: 11: ➊ (9 bod ) Vypo t te integrál B ( b2 z; acy; b 2 x) dµ c (x, y, z), kde B je kvazipoledník B = (x, y, z) E 3 : x 2 b 2 + z2 = 1 bx = ay x, y >. c2 ➋ (8 bod ) Nech je dána funkce f ( x) : E r R a bod a, ve kterém je znám gradient. Jakým sm rem mí í tento gradient? Co o funkci f ( x) tento sm r vypovídá? Hodnota jakého úhlu je zakódována v hodnot grad f ( a)? A jaký (zde nezmín ný) p edpoklad o funkci f ( x) je t eba ve va²ich úvahách poºadovat? V²echna va²e tvrzení podpo te pomocnými výpo ty, aby bylo z ejmé, na jakých poznatcích va²e úvahy zakládáte! ➌ (13 bod ) Nalezn te vlastní ísla Hessovy matice (vy íslené v bod a = (x, y ) = ( 3, )) implicitn zadané funkce z(x, y), která je generována rovnicí z 3 + 3z 2 + 2z(x + y + 3) 2 + 4y 2 + 4(x + 3) 2 =. Jaký záv r o bodu a lze ze získaného výsledku ud lat? ➍ (8 bod ) Na soustav H = ;, ; ;,, ;, ;,,,,, je zadána míra F(X) tak, ºe F(, ) = 9, F( ) = 4, F(X) není na H úplná. Nech D je minimální okruh generovaný soustavou H a m(x) je roz²í ení míry F(X) z H na D. Jakou míru má prezident v D? Které mnoºiny leºí v D, ale neleºí v H? Jakou mají míru? Na záv r vypo ítejte vnit ní a vn j²í míru mnoºiny, odvozenou od míry m(x) : D R. Jaké vlastnosti má soustava H? Vyberte ty nejzajímav j²í. ➎ (12 bod ) fyzikální úloha Uvaºujeme t leso konstantní hustoty ϱ tvaru elipsoidu (x, y, z) E 3 : x 2 + y 2 + z2 E = R2 c2 Vypo ítejte hmotnost t lesa a poté jeho moment setrva nosti vzhledem k rotaci kolem osy z. Výsledek upravte do tvaru nevyuºívajícího hodnotu hustoty, tj. do tvaru, kde vystupují pouze parametry c, R a hmotnost elipsoidu. Nápov da: moment setrva nosti t lesa se vypo ítá podle vzorce J = υ 2 (x, y, z) dm(x, y, z) υ 2 (x, y, z) ϱ(x, y, z) d(x, y, z), kde υ(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, z) od osy rotace a ϱ(x, y, z) je hustota..

3 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 3 z p edm tu 1MAB4 6/6/216, 9: 11: ➊ (12 bod ) Vypo ítejte integrál A (x2 y 3 ; 2x 3 y 2 ) dµ c (x, y), kde A je k ivka z obrázku. Oblá ást k ivky je popsána rovnicí ( ) x 4 11 a 4 + y4 b 4 = y2 b 2. Zvaºte moºné postupy a volte jednodu²²í variantu výpo tu osa y osa x ➋ (11 bod ) Na mnoºin M = (x, y, z) E 3 : x, y, z > vy²et ete v²echny lokální extrémy funkce f (x, y, z) = xy 2 z 9 x 4y 2z. ➌ (11 bod ) Nech c > je pevn zvolený parametr. ransformujte Laplace v operátor z kartézských sou adnic (x, y, z) do pseudocylindrických sou adnic (ϱ, φ, h) zadaných rovnicemi Uºijte p edpo ítané výsledky vloºené do zadání. x = ϱ 2 cos(φ), y = ϱ 2 sin(φ), z = ch 2. ➍ (6 bod ) Na základ rovnosti vypo t te aplikací vhodné v ty integrál e αx cos(βx) dx = α α 2 + β 2 xe αx sin(βx) dx. V²echny p edpoklady explicitn dokaºte! ➎ (1 bod ) fyzikální úloha Uvaºujeme t leso konstantní hustoty ϱ tvaru eliptického válce V = (x, y, z) E 3 x 2 : 1 z c. b2 Vypo ítejte hmotnost t lesa a poté jeho moment setrva nosti vzhledem k rotaci kolem osy z. Výsledek upravte do tvaru nevyuºívajícího hodnotu hustoty, tj. do tvaru, kde vystupují pouze parametry a, b, c a hmotnost válce. Nápov da: moment setrva nosti t lesa se vypo ítá podle vzorce J = υ 2 (x, y, z) dm(x, y, z) υ 2 (x, y, z) ϱ(x, y, z) d(x, y, z), kde υ(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, z) od osy rotace a ϱ(x, y, z) je hustota.

4 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 4 z p edm tu 1MAB4 14/6/216, 9: 11: ➊ (9 bod ) Vy²et ete globální extrémy funkce g(x, y) = 9x + 6y na p lelipse Z = (x, y) E 2 : (x 2)2 4 + y2 9 1 y ➋ (12 bod ) ( Vypo ítejte integrál S yz, x 2, e x + y 2 z ) dµ s (x, y, z), kde S = (x, y, z) E 3 : (1 + x + 2z) 2 + y 2 + (2 + z + 3x) 2 = 1. Zvaºte moºné postupy a volte jednodu²²í variantu výpo tu. ➌ (13 bod ) Která z implicitních funkcí zadaných rovnicemi xy + y 2 + zy u yw = ; x 2 y + y 3 + zy + u yw 2 = ; x 3 y 2 (x + 2y) + u 2 z 2 w 2 = stoupá v bod a = (x, y ) = (1, 1) nejstrm ji? Uºijte nápov dy, ºe w( a) = 2. Numerické chyby v tomto p íklad se netolerují. ➍ (7 bod ) Nalezn te mnoºinu M, vzhledem k níº je funkce 12y 6 g(x, y) = spojitá v bod nespojitosti. x 1... (x, y) (1, ); 5... (x, y) = (1, ); 1 (x 1) 2 +y 4 2 ➎ (9 bod ) fyzikální úloha leso tvaru eliptického paraboloidu P = (x, y, z) E 3 : x 2 b 2 z c z c je vypln no kapalinou, jejíº hustota je p ímo úm rná vzdálenosti od roviny z =. Vypo ítejte polohu t ºi²t takového t lesa.

5 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 5 z p edm tu 1MAB4 21/6/216, 9: 11: ➊ (7 bod ) Vypo ítejte obsah plochy grafu funkce f (x, y) = x 2 + y 2 leºícího mezi rovinami z = 1 a z = 4. ➋ (6 bod ) Zam te integra ní po adí v integrálu x2 4 3x g(x, y) dydx. ➌ (12 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce f (x, y, z, u) = xyz + x + y + z + u na mnoºin M = (x, y, z, u) E 4 : x, y, z, u > x 2 + y 2 + z 2 = 12 x + y + z + u = 11. ➍ (9 bod ) ransformujte parciální diferenciální rovnici 2 f x f x y + 2 f y 2 = pro neznámou funkci f (x, y) vztahy u = x + y, v = y x, je-li funkce g = g(u, v) denovaná p edpisem g = f x. Neopome te stanovit maximální mnoºinu regularity zadaného zobrazení! ➎ (7 bod ) Nech jsou funkce φ(x) = 6x 2+ x, resp. φ(y) = y2 sgn(y) vytvo ujícími funkcemi Lebesgueových m r v osách x, resp. y. Stanovte hodnotu p íslu²ného Lebesgueova integrálu (L ) x + y dµ(x, y), E kde E = 1; 2) 1; 3). Symbol reprezentuje dolní celou ást ísla. Pozn. d raz se klade (krom jiného) také na numerickou správnost! ➏ (9 bod ) fyzikální úloha Uvaºujeme t leso konstantní hustoty ϱ tvaru paraboloidu P = (x, y, z) E 3 : x 2 b 2 z c z c. Vypo ítejte hmotnost t lesa a poté jeho moment setrva nosti vzhledem k rotaci kolem osy z. Výsledek upravte do tvaru nevyuºívajícího hodnotu hustoty, tj. do tvaru, kde vystupují pouze parametry a, b, c a hmotnost t lesa. Nápov da: moment setrva nosti t lesa se vypo ítá podle vzorce J = υ 2 (x, y, z) dm(x, y, z) υ 2 (x, y, z) ϱ(x, y, z) d(x, y, z), kde υ(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, z) od osy rotace a ϱ(x, y, z) je hustota.

6 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 6 z p edm tu 1MAB4 27/6/216, 9: 11: ➊ (1 bod ) ransformujte parciální diferenciální rovnici x 2 y 2 f x 2 xy(y + x) 2 f x y + xy2 2 f y ( + (y x) 2 x f x y f ) = y pro neznámou funkci f (x, y) na diferenciální rovnici pro funkci g = g(u, v). ransformace je zadána vztahy u = xy, v = x + y a g = f xy. Neopome te stanovit maximální mnoºinu regularity zadaného zobrazení! ➋ (1 bod ) Vy²et ete lokální extrémy funkce f (x, y, z) = yz + 2x(y + z) zadané na mnoºin M = (x, y, z) E 3 : x, y, z > 4x 2 + y 2 + z 2 = 12. ➌ (8 bod ) Pro funkci u = (x, y), jeº je zadána rovnicí u 3 3xu 2 + 9yu x + 2y =, vypo t te sm rovou parciální derivaci ve sm ru s = (4, 3) v bod a = (2, 1). Nepodce te teoretické pozadí problému! ➍ (3 body) Integrál e ax sin2 (bx) x lze e²it derivací podle parametru a, pop. podle parametru b. Který z výsledk bude mít ²ir²í platnost a pro? Konkrétní tvar výsledku nehledejte! Odpov lze nalézt pouze na základ analýzy p edpoklad uºité v ty. dx ➎ (1 bod ) fyzikální úloha leso tvaru pseudoeliptického paraboloidu P = (x, y, z) E 3 : x 4 a 4 + y4 b 4 z2 z c c2 je vypln no kapalinou, jejíº hustota je p ímo úm rná vzdálenosti od roviny z =. Vypo ítejte polohu t ºi²t takového t lesa. ➏ (9 bod ) Sestavte Maclaurinovu adu funkce f (x, y) = x 4 16y 4 a ur ete její obor konvergence. Výsledek upravte do tvaru dvojné sumy s vícenásobnými faktoriály. Obor konvergence detailn na rtn te!

Podobné dokumenty

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny