Úlohy domácího kola kategorie C

Transkript

1 53. ročník Mateatické olypiády Úlohy doácího kola kategorie C 1. Dokažte, že pro každé přirozené číslo n, které je větší než 3 a není dělitelné třei, platí: Šachovnici n n lze rozřezat na jeden čtverec 1 1 a obdélníky 3 1. Řešení. Budee-li přeýšlet, jak navrhovat postupy řezání šachovnic velkých roz ěrů, jistě nás napadne yšlenka, že na obdélníky 3 1 lze rozřezat každý pás ša chovnice tvořený třei sousedníi řádky nebo sloupci. Takové pásy se proto vyplatí od šachovnice opakovaně odřezávat (dokud je to ožné), a tak zenšovat její rozěry o násobky tří. Proto bude pro naši úlohu o šachovnici n n výhodné rozlišit, zda dané číslo n > 3 dává při dělení třei zbytek 1, anebo zbytek 2 (zbytek 0 je zadání vyloučen). Každý z těchto případů prozkouáe odděleně. Případ n = 3k + 1. Nejprve z šachovnice (3k + 1) (3k + 1) odřežee pás prvních 3k sloupců, tedy obdélník (3k + 1) 3k, který pak rozřežee (po trojicích sloupců) na k pásů (3k+1) 3 a každý z nich konečně rozřežee na 3k+1 obdélníků 1 3. Z původní šachovnice ná pak zůstane nerozřezán poslední sloupec; protože á 3k +1 polí, snadno ho rozřežee na jeden čtverec 1 1 a k obdélníků 3 1. Na obr. 1 je znázorněno výsledné rozřezání šachovnice 7 7 (počáteční odřezání pásu 7 6 je vyznačeno šipkai, zbylý sloupec je šedý). Ze stejného obrázku nahlédnee i způsob řešení pro n = 4. Obr. 1 Případ n = 3k + 2. Kdybycho šachovnici (3k + 2) (3k + 2) důsledně ořezávali postupe z úvodu řešení, dostali bycho (po oddělení dvou pásů (3k +2) 3k a 3k 2) jako zbytek šachovnici 2 2, kterou však není ožné rozřezat požadovaný způsobe (na díly 1 1 a 3 1). To je ožné provést až s následující šachovnicí 5 5, jak vidíe na obr. 2. Zbývá popsat, jak každou větší šachovnici (3k + 2) (3k + 2) řezání zredukovat na právě posouzený čtverec 5 5. Nejprve oddělíe pás (3k +2) (3k 3) tvořený prvníi (k 1) trojicei sloupců šachovnice; ze zbylé šachovnice (3k + 2) 5 pak oddělíe pás (3k 3) 5 tvořený jejíi posledníi (k 1) trojicei řádků, z původní šachovnice pak zbude kýžený čtverec 5 5 v pravé horní rohu (šedý na obr. 3 pro šachovnici 8 8). 1

2 Obr. 2 Obr. 3 Dodeje, že při řešení dané úlohy jse nebrali v úvahu obarvení polí šachovnice. Barvy polí se uplatňují v jiných situacích, zejéna tehdy, když potřebujee dokázat, že rozřezání šachovnice na díly předepsaného tvaru není ožné (doplňující úlohy 4 a 5). 1. Určete rozěry šachovnic n, n > 1, které lze rozřezat na 35 dílů 3 1. [35 3, 21 5, 15 7] 2. Dokažte, že šachovnici lze rozřezat na obdélníky 5 1, ale šachovnici na obdélníky 5 1 rozřezat nelze. Zobecněte. [Zobecnění: Je-li p prvočíslo a, n čísla přirozená, pak šachovnici n lze rozřezat na obdélníky p 1, právě když p dělí aspoň jedno z čísel, n. (Uvažte, že poslední podínka znaená totéž, co p n.)] 3. Z šachovnice 7 7 jse odřízli jedno rohové pole. Lze zbylou šachovnici rozřezat na 16 obdélníků 3 1? [Ano. Rozdělte zbylou šachovnici na pásy 6 7 a 6 1.] 4. Z šachovnice 8 8 jse odřízli dvě protilehlá rohová pole. Dokažte, že zbytek šachovnice nelze rozřezat na 31 obdélníků 2 1. [Každý obdélník 2 1 obsahuje jedno černé a jedno 5. bílé pole; daný zbytek šachovnice á různé počty bílých a černých polí.] Z šachovnice 7 7 jse odřízli jedno rohové pole. Lze zbylou šachovnici rozřezat na 12 obdélníků 4 1? [Ne. Označte pole šachovnice čtyři píseny A, B, C, D v uvedené pořadí zleva doprava v každé řádku a shora dolů v každé sloupci. Po odříznutí rohového pole zůstane 11 polí A, 12 polí B, 13 polí C a 12 polí D (obr. 4), každý obdélník 4 1 však obsahuje po 1 poli každého písena.] A B C D A B C B C D A B C D C D A B C D A D A B C D A B A B C D A B C B C D A B C D C D A B C D Obr Je dán obdélník ABCD. Nechť příky p a q, které procházejí vrchole A, protínají polokružnice vně připsané straná BC a CD daného obdélníku po řadě v bodech K a L (B K C L D) a rovněž strany BC a CD po řadě v bodech P a Q tak, že trojúhelník ABP á stejný obsah jako trojúhelník KCP a zároveň trojúhelník AQD á stejný obsah jako trojúhelník CLQ. Dokažte, že body K, L, C leží na téže příce. Řešení. Trojúhelníky ABP a KCP ají podle zadání stejné obsahy; připojíe-li ke každéu z nich trojúhelník ACP (obr. 5), usoudíe, že stejné obsahy ají i trojúhel níky ABC a AKC. Protože strana AC je oběa těto trojúhelníků společná, obě k ní příslušné výšky usí být shodné. Body B a K tudíž ají stejnou vzdálenost od příky AC (a leží ve stejné polorovině touto příkou určené). To znaená, že BK AC. Podle Thaletovy věty ovše platí BK CK, takže platí rovněž AC CK. 2

3 L D Q C P K A Obr. 5 B Podobně z rovnosti obsahů trojúhelníků AQD, CLQ a kolosti příek CL a DL odvodíe, že AC CL. Dohroady to znaená, že úhel KCL je složen ze dvou pravých úhlů ACK a ACL. Body K a L tudíž leží na příce, která prochází bode C kolo k úhlopříčce AC. 1. Nechť P značí průsečík úhlopříček obecného konvexního čtyřúhelníku ABCD. Dokažte, že příky AB a CD jsou rovnoběžné, právě když trojúhelníky ADP a BCP ají stejný obsah. [Rovnost obsahů trojúhelníků ADP a BCP je ekvivalentní s rovností obsahů trojúhelníků ABC a ABD se společnou stranou AB.] 2. Sestrojte příku, která prochází vrchole A daného obdélníku ABCD, protíná stranu BC ve vnitřní bodě P a polokružnici vně připsanou straně BC v bodě K tak, že trojúhelníky ABP a KCP ají stejný obsah. [Podle první části řešení soutěžní úlohy odvoďte, že CK AC.] 3. Žák ěl vypočítat příklad X Y : Z, kde X je dvojístné číslo, Y trojístné číslo a Z trojístné číslo s číslicí 2 na ístě jednotek. Výsledke příkladu ělo být přirozené číslo. Žák však tečku přehlédl a součin X Y chápal jako pětiístné číslo. Získal tak sedkrát větší výsledek, než ěl vyjít. Jaký příklad ěl žák počítat? Řešení. Protože Y je trojístné číslo, pětiístné číslo se zápise XY je číslo 1 000X + Y. Žák tedy počítal příklad (1 000X + Y ) : Z a podle textu úlohy u v po rovnání s původní příklade vyšel sedkrát větší výsledek, tedy 1 000X + Y Z = 7 X Y Z. Odtud po násobení čísle Z dostanee rovnici 1 000X + Y = 7XY, kterou vyřešíe vzhlede k neznáé Y : Y = 1 000X 7X 1. Pro která X je poslední zloek celočíselný? Jinak vyjádřeno: kdy je číslo 1 000X děli telné čísle 7X 1? Protože čísla X a 7X 1 jsou nesoudělná (nesoudělná jsou totiž dvě po sobě jdoucí čísla 7X 1 a 7X), hledáe ta X, pro která číslo 7X 1 dělí číslo Abycho neuseli vypisovat všechny dělitele čísla 1 000, uvědoíe si, že X je 3

4 dvojístné, tudíž 69 7X Rozlože proto číslo všei způsoby na součin dvou činitelů tak, aby jeden (řekněe první) z činitelů byl z intervalu 69, 692 : Z rovnic = = = = = X 1 = 500, 7X 1 = 250, 7X 1 = 200, 7X 1 = 125, 7X 1 = 100 á jedině rovnice 7X 1 = 125 celočíselné řešení X = 18, pro něž vychází Y = = 1 000X/(7X 1) = /125 = 144. Nyní určíe neznáé číslo Z. Využijee k tou podínku úlohy, že hodnota výrazu X Y : Z je přirozené číslo. Protože X = 18 a Y = 144, jedná se o číslo : Z, tedy číslo : Z. Takové číslo je celé, právě když á číslo Z rozklad na prvočinitele tvaru 2 a 3 b, kde 0 a 5 a 0 b 4. Exponenty a, b najdee z podínky, že číslo Z = 2 a 3 b je podle zadání trojístné a na ístě jednotek á číslici 2. Protože 3 4 = 81 a = 96, usí být a 1 a b 2. Všechna čísla 2 a 3 b, kde a {1, 2, 3, 4, 5} a b {2, 3, 4} teď vypíšee do tabulky: b a Z vypočtených čísel ají požadovanou vlastnost pouze čísla Z = 432 = a Z = = 162 = Odpověď : Úloha á dvě řešení. Žák ěl počítat buď příklad : 432, nebo příklad : 162. Jiné řešení. Jako v první řešení odvodíe vyjádření Y = 1 000X 7X 1, tentokrát však získaný zloek upravíe částečný vydělení čísla čísle 7. Na základě rovnosti = dostáváe Y = 1 000X 7X 1 = 143(7X 1) X 7X 1 = X 7X 1. Aby bylo Y celé, usí být poslední zloek (143 X)/(7X 1) celočíselný. Protože číslo X je dvojístné, náš zloek splňuje odhady < 143 X 7X 1 4 <

5 Levý zloek je roven 44/692, pravý je roven 133/69, takže jediná ožná celočíselná hodnota prostředního zloku je rovna 1. Musí tedy být Y = 144. Rovnice 143 X 7X 1 = 1 pak á jediné řešení X = 18. Dále už postupujee jako v první řešení. Další řešení. Dříve získanou rovnici 1 000X + Y = 7XY upravíe do součinového tvaru Y = X (7Y 1 000). Musí proto platit 7Y > 0, odkud Y > > 142, neboli Y Číslo X je dvojístné, proto z rovnosti Y = X (7Y 1 000) vychází odhad Y 10 (7Y 1 000), neboli Y < Dohroady dostáváe, že číslo Y je rovno jednou z čísel 143 nebo 144. Rovnice 143 = X ( ) á řešení X = 143, což ovše není dvojístné číslo; rovnice 144 = X ( ) á řešení X = 18. Tak jse znovu ukázali, že X = 18 a Y = 144; číslo Z určíe jako v první řešení. 1. Michal zvolil dvě dvojístná čísla. Když je napsal za sebe, dostal čtyřístné číslo, které bylo dvakrát větší než součin obou zvolených čísel. Která čísla to byla? [13 a 52. Rovnici 100X + Y = 2XY lze řešit libovolný ze tři postupů vyložených v řešení soutěžní úlohy.] 2. Najděte všechna přirozená čísla n, pro která je zloek (n )/(n ) roven celéu číslu. [n = 1 a n = 2 003k, kde k + 1 je libovolný dělitel čísla Daný zloek upravte na tvar n ( )/(n ) a pak využijte toho, že je prvočíslo.] 4. Nechť P je libovolný vnitřní bod rovnostranného trojúhelníku ABC. Uvažuje obrazy K, L a M bodu P v osových souěrnostech s osai AB, BC a CA. Určete nožinu všech bodů P takových, že trojúhelník KLM je rovnoraenný. Řešení. Označe α = BAP, 0 < α < 60 (obr. 6). Protože úhly BAP C M L P A α K Obr. 6 B 5

6 a BAK jsou souěrně sdružené podle osy AB, platí rovněž BAK = α. Protože CAP = CAB BAP = 60 α, ze souěrnosti podle osy CA plyne rovnost CAM = 60 α. Pro velikost úhlu KAM tudíž platí KAM = BAK + BAC + CAM = α (60 α) = 120. Ze souěrností podle os AB a CA rovněž plynou rovnosti AK = AP = AM. Proto je trojúhelník KAM rovnoraenný a jeho úhel při hlavní vrcholu A á velikost 120. Podobně se zdůvodní, proč i trojúhelníky LBK a M CL jsou rovnoraenné a jejich vnitřní úhly při hlavních vrcholech B a C ají velikost 120. Při posuzování podínky, že trojúhelník KLM je rovnoraenný, usíe rozlišit, které z jeho stran KL, LM, MK jsou shodné. S ohlede na syetrii rozeberee po drobně pouze případ, kdy KL = M K. Z podobných rovnoraenných trojúhelníků KAM a LBK vyplývá, že jejich základny MK a KL jsou shodné, právě když jsou shodná jejich raena AK a BK. Zapiše to poocí délek úseček: rovnost KL = MK platí, právě když platí rovnost AK = BK, neboli rovnost AP = BP. Poslední rovnost ovše nastane, právě když bod P leží na ose strany AB. Obdobně se zjistí podínky ekvivalentní rovnoste MK = LM a KL = LM. Odpověď : Trojúhelník KLM je rovnoraenný, právě když bod P leží na aspoň jedné z os stran daného rovnostranného trojúhelníku ABC. Hledaná nožina je proto sjednocení tří úseček výšek trojúhelníku ABC (bez jejich krajních bodů). 1. Nechť P je vnitřní bod konvexního úhlu BAC. Označe K a M obrazy bodu P v osových souěrnostech podle příek AB a AC. Určete ožné velikosti úhlu KAM v případech, kdy je úhel BAC a) ostrý, b) tupý. [a) KAM = 2 BAC, b) KAM = BAC.] 2. Nechť P je vnitřní bod ostroúhlého trojúhelníku ABC s daný obsahe S. Označe K, L a M obrazy bodu P v osových souěrnostech podle příek AB, BC a CA. Vypočtěte obsah šestiúhelníku AKBLCM a zjistěte, kdy je tento šestiúhelník pravidelný. [Obsah je vždy 2S, šestiúhelník je pravidelný pouze v případě, kdy je trojúhelník ABC rovnostranný a bod P je jeho těžiště.] 5. Přirozené číslo nazvee agický, právě když je lze rozložit na součet dvou trojístných čísel zapsaných stejnýi číslicei, ale v opačné pořadí. Například číslo je agické, neboť platí = ; nejenší agické číslo je 202. a) Určete počet všech agických čísel. b) Ukažte, že součet všech agických čísel je roven Řešení. Na příkladu čísla vidíe, že někdy není snadné poznat, zda dané troj- či čtyřístné číslo je agické či nikoliv. Podíváe se proto nejdříve, jak se agické číslo x vyjádří poocí číslic těch trojístných čísel abc a cba, jejichž je součte: x = abc + cba = (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 101(a + c) + 20b. Vidíe, že číslo x je určeno číslicei a, b, c tak, že závisí jen na b a na součtu a + c. Znaená to, že různé trojice číslic a, b, c ohou určovat totéž agické číslo x (neyslíe 6

7 tí pouze trojice lišící se vzájenou výěnou číslic a a c). Je-li např. a+c = 14 a b = 9, najdee tři různá vyjádření agického čísla 1 594: = = = Existují ještě jiná agická vyjádření čísla 1 594? Vše závisí na to, zda jsou rovnicí = 101s + 20b hodnoty součtu číslic s = a + c a číslice b jednoznačně určeny. Z rovnice ihned vidíe, že číslo s končí číslicí 4, takže s = 4 nebo s = 14 (jiné hodnoty součtu s = a + c nejsou číslicei a, c dosažitelné). Zatíco hodnotě s = 14 odpovídá (jak dobře víe) hodnota b = 9, pro s = 4 dostanee rovnici = b, která neá celočíselné řešení. Poučeni uvedený příklade, pokusíe se stanovit počet agických čísel jako po čet čísel tvaru x = 101s + 20b, kde číslo s (rovné součtu číslic a a c, jež jsou nenulové) probíhá nožinu {2, 3, 4,..., 18}, zatíco číslice b probíhá (nezávisle na součtu s) no žinu {0, 1, 2,..., 9}. Protože číslo s nabývá celke 17 různých hodnot a číslo b celke 10 různých hodnot, je počet všech dvojic (s, b), které ůžee do vzorce x = 101s + 20b dosadit, roven číslu = 170. Ukážee-li nyní, že po dosazení libovolných dvou různých dvojic (s 1, b 1 ) a (s 2, b 2 ) dostanee dvě různá agická čísla x 1 = 101s b 1 a x 2 = 101s b 2, bude to znaenat, že počet všech hodnot x (tedy počet všech agických čísel) je rovněž roven číslu 170. Připusťe, že pro některé dvojice (s 1, b 1 ) a (s 2, b 2 ) platí x 1 = x 2. Rovnost 101s b 1 = 101s b 2 upravíe do tvaru 101(s 1 s 2 ) = 20(b 2 b 1 ), z něhož vzhlede k nesoudělnosti čísel 20 a 101 vyplývá, že číslo b 2 b 1 je násobke čísla 101. Musí jít přito o nulový násobek, neboť b 2 b 1 9 (b 1 a b 2 jsou číslice!). Platí tedy b 2 b 1 = 0, takže rovněž s 1 s 2 = 0, což dohroady znaená, že dvojice (s 1, b 1 ) a (s 2, b 2 ) jsou stejné. Jen v toto případě je tedy rovnost x 1 = x 2 ožná. Součet všech agických čísel (tedy čísel tvaru x = 101s + 20b) určíe výhodně, když čísla nejprve uspořádáe do obdélníkového schéatu (podle stejných hodnot s do řádků a podle stejných hodnot b do sloupců) a pak čísla sečtee buď po sloupcích, nebo po řádcích. Rozhodnee se pro sčítání po sloupcích, přito budee brát v úvahu, o kolik se čísla uvažovaného sloupce liší od příslušných čísel prvního sloupce. Součet čísel v první sloupci je 101 ( ) = , 7

8 ve druhé sloupci je součet , ve třetí , atd. až v poslední (desáté) sloupci je součet čísel roven Součet všech agických čísel je tedy roven ( ) = Najděte nejenší a největší agické číslo dělitelné třinácti. [403, ] 2. Určete počet čísel, která lze rozložit na součet dvou dvojístných čísel zapsaných stejnýi číslicei, ale v opačné pořadí. [17. Jedná se o čísla 11s, kde s {2, 3, 4,..., 18}.] 3. Nechť x, y a z jsou dvojístná čísla. Napiše je za sebe a poto ještě jednou, ale v opačné pořadí. Vzniknou tak dvě šestiístná čísla (např. z čísel 25, 36 a 47 vzniknou čísla a ); dokažte, že jejich rozdíl je dělitelný čísle 101. [(10 000x y + z) (10 000z + 100y + x) = 9 999(x z) = (x z).] 6. Ze všech čtyřúhelníků, jež lze vepsat do kružnice o dané poloěru r a které ají dvě strany dané délky, určete ten, který á největší obsah. Řešení. V celé řešení budee předpokládat, že dané délky a r splňují ne rovnost < 2r, jinak žádný čtyřúhelník požadovaných vlastností neexistuje. Strany délky každého takového čtyřúhelníku jsou totiž tětivai kružnice o poloěru r a nej výše jedna z nich ůže být její průěre. Zkouané čtyřúhelníky rozdělíe do dvou skupin podle toho, zda jsou jejich strany dané délky sousední, nebo protilehlé. Libovolný čtyřúhelník z první skupiny označíe ABCD tak, aby platilo AB = = BC =. Úhlopříčka rozdělí tento tětivový čtyřúhelník na dva trojúhelníky ABC a ACD (obr. 7), přito je jasné, že první z nich, trojúhelník ABC, je poloěre r D t D k v D v D v D < v D A C B Obr. 7 opsané kružnice k a délkou dvou jeho stran určen (až na shodnost) jednoznačně, takže á pevně určený obsah. Proto bude obsah takového čtyřúhelníku ABCD axiální, právě když bude axiální obsah trojúhelníku ACD. Tento trojúhelník á určenou délku strany AC, takže jeho obsah bude axiální, právě když bude axiální jeho 8

9 výška v D z vrcholu D. Při pevné poloze trojúhelníku ABC bod D probíhá ten oblouk AC kružnice k, jenž neobsahuje bod B, takže výška v D je zřejě největší, právě když bod D je střede tohoto oblouku, leží tedy (stejně jako bod B) na ose úsečky AC. (Tvrzení zdůvodníe poocí tečny t ke kružnici k, jež prochází nalezený bode D rovnoběžně s příkou AC, obr. 7). Tak docházíe k závěru, že v první skupině á axiální obsah ten čtyřúhelník, který je deltoid (je-li r 2), respektive čtverec (je-li = r 2). Přejděe nyní ke čtyřúhelníků druhé skupiny. Libovolný z nich označe ABCD tak, aby platilo AB = CD = (obr. 8). D C o D o k k S S C A B Obr. 8 A B Obrázek ukazuje, jak k takovéu čtyřúhelníku ABCD sestrojit poocný čtyřúhel ník ABC D, který á stejný obsah jako ABCD, je vepsán do téže kružnice k a á sousední strany AB a BC dané délky. Konstrukci teď popíšee a zíněné vlast nosti čtyřúhelníku ABC D podrobně zdůvodníe. Bod C sestrojíe jako obraz bodu C v souěrnosti podle osy o úsečky BD; protože je kružnice k souěrná podle osy každé své tětivy, platí C k. Trojúhelníky BCD a DC B jsou souěrně sdružené podle osy o, takže ají stejný obsah, tudíž stejný obsah ají i čtyřúhelníky ABCD a ABC D. Ze zíněné souěrnosti rovněž plynou rovnosti CD = BC a BC = DC, takže čtyřúhelníky ABCD a ABC D se liší pouze prohození dvou sousedních stran. Tí jsou potřebné vlastnosti čtyřúhelníku ABC D zdůvodněny. Jak už víe z předcho zího odstavce, čtyřúhelník ABC D á největší ožný obsah, právě když platí rov nost C D = AD, kterou ůžee přepsat jako rovnost BC = AD. Ta nastane, právě když je čtyřúhelník ABCD rovnoběžník (neboť od počátku předpokládáe, že AB = CD ). Každý rovnoběžník vepsaný do kružnice je ale pravoúhelník (součet pro tilehlých vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je 180, takové úhly jsou ale v případě rovnoběžníku shodné, a tedy pravé). Shrňe výsledek tohoto odstavce: ve druhé skupině čtyřúhelníků á axiální obsah ten čtyřúhelník, který je obdélník (je-li r 2), respektive čtverec (je-li = r 2.) Celkový závěr: Hledané čtyřúhelníky s axiální obsahe tvoří v případě < < 2r, r 2, dvě skupiny: skupinu shodných deltoidů a skupinu shodných obdélníků; v případě = r 2 jsou všechny hledané čtyřúhelníky shodné čtverce (obr. 9). (V pří padě 2r je nožina uvažovaných čtyřúhelníků prázdná). 9

10 S S S Obr V kružnici k o poloěru 7 je dána tětiva AB délky 13. Zjistěte, jaký největší obsah ůže ít čtyřúhelník AXBY, leží-li jeho vrcholy X, Y na kružnici k. [Největší obsah 91 á deltoid, jehož úhlopříčka XY je průěre kružnice k.] 2. Do jedné kružnice jsou vepsány dva pětiúhelníky ABCDE a ABF GH, přičež platí AB = 4, BC = GH = 5, CD = BF = 6, DE = HA = 7 a EA = F G = 8. Dokažte, že oba pětiúhelníky ají stejný obsah. [Rozložte pětiúhelníky na rovnoraenné trojúhelníky poocí úseček spojujících jejich vrcholy se střede opsané kružnice.] 10