BOSS OF 105. Pohádka na spojitou noc
|
|
- Lucie Dušková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 BOSS OF Pohádka na spojitou noc 1
2 V podprostoru W 2 aritmetického vektorového prostoru W n-té dimenze (n N) nad tělesem T, jenž vznikl před k 3 lineárně nezávislými dny (k > 12!) direktním součinem jeho podprostorů W 1, W 2,..., W n dimenze n 1 (n N), konvergoval Unitární okruh bez dělitelů nuly s Algebraickou strukturou a ti nagenerovali x 1 x 2 minorů, kdy x 1 = log5 + 6cos 3 ; x 2 = log5+cos 2. Nejmladšímu říkali Hessián. 1 n 4! 2n 1 Před dny, kdy m = lim n, se v prostoru W 2 dimenze n 1 (n N) m 2n 3 nadefinovala Caleyho tabulka se zprávou: Zlá, ohyzdná a nevyhověl nosná Steinitzova věta o výměně bází čerstvě dokázaná matematickou indukcí dle k pro k + 1 (k N) se chce transformovat spolu s Lagrangeovou větou pro konečné grupy a Cauchy-Bolzannovou podmínkou konvergence posloupnosti a n z afinního prostoru A n do vektorového prostoru W 2 dimenze n 1 (n N), vykrátit všechny lineárně nezávislé vektory a ortogonální i ortonormální báze vnořit do euklidovského vektorového prostoru nulté dimenze nad tělesem R pomocí metriky. Zarmoutili se Unitární okruh bez dělitelů nuly s Algebraickou strukturou, zahořekovali, ale minoři je uklidňují: Nehořekujte, budeme se se Steinitzovou větou o výměně bází a jejími nohsledy krátit! Unitární okruh bez dělitelů nuly a Algebraická struktura vypravili všech x 1 x 2 minorů na konečnou, symetrickou a ortogonální transformaci. Minoři si vzali ireducibilní polynomy n neurčitých (n N) nad tělesem R, množiny zbytkových tříd mod n, surjektivně se zobrazili kanonickým zobrazením f E na faktorové množiny A/E a zahájili transformaci. Transformovali se, transformovali se, až se přetransformovali do faktorového okruhu R/I dle maximálního ideálu I. Indukují, dedukují kolem dokola jen prázdné množiny, všechno přetransformováno do jiné dimenze, zbývá jenom jedna permutační grupa A n. Minoři se do ní vnořili. Na podgrupě A m permutační grupy A n leží antisymetrická relace R a integruje. Buď zdráva, antisymetrická relace R, hlásí minoři. Buďte i vy zdrávi, dobří minoři! Kampak se transformujete? My se, relace R, transformujeme ke kongruenci na grupě generované normální podgrupou, do cyklické grupy konečné dimenze. Chceme se krátit se Steinitzovou větou o výměně bází a zabránit její transformaci do podprostoru W 2 aritmetického vektorového prostoru W n-té dimenze (n N) nad tělesem T, kde generujeme lineárně nezávislé vektory a ortonormální báze. Ach, to jste hodní, za správnou věc se transformujete krátit. Vždyť ta věta všechno vykrátila, zderivovala či dokázala matematickou indukcí nebo sporem. Sousední afinní podprostory A m1, A m2,..., A mk m-té dimenze afinního prostoru A n dim n, kdy m < n ; m N, n N, jako když vykrátí. V této dimenzi jsem zůstala nadefinovaná já jediná, jak se zdá, nestojím Steinitzově větě o výměně bází ani za to, aby mne vykrátila či zderivovala. Minoři se u antisymetrické relace R, která je mimochodem i reflexivní a tranzitivní, bijektivně zobrazili do druhého ortonormálního dne a pokračovali v transformaci afinním prostorem A m2 dimenze m (m N). Transformují se ke kongruenci na grupě generované normální podgrupou, do cyklické grupy konečné dimenze, jakožto součásti afinního prostoru A m6 m-té dimenze (m N) plného algebraických zbytků LN vektorů a ortogonálních bází. Minoři našli grupu generovanou jedním generátorem a vydedukovali, že v ní setrvají. Tak, minoři! povídá Hessián, přetransformovali jsme se do afinního prostoru A m6 m-té dimenze (m N) nad tělesem T a nesmíme dopustit, aby se Steinitzova věta o výměně bází a její nohsledi přetransformovali přes cyklickou grupu konečné dimenze z afinního prostoru 2
3 A m6 do afinního prostoru A m5, jakožto brány do aritmetického vektorového prostoru W 2 dimenze n 1 (n N). První noc hlídal nejstarší minor Wronskián. Přetransformoval se do kongruence na grupě generované normální podgrupou, poté do indexovaného systému množin {A i ; i I} a nakonec do invariantního podprostoru A l1 afinního prostoru A m6, kdy dim A l1 < dim A m6. Všude ticho, nikde žádná algebraická struktura či binární operace. Zobrazil se tedy na jádro homomorfismu f Ker f a rozložil se na parciální zlomky tak tvrdě, že až hlasitě integroval. Hessián zatím leží v grupě generované jedním generátorem a nemůže se rozložit na parciální zlomky. Inu vstal, vzal ireducibilní polynom n neurčitých (n N) nad tělesem R a přetransformoval se do kongruence na grupě generované normální podgrupou. Dívá se na jádru Ker f homomorfismu f se rozkládá na parciální zlomky Wronskián a integruje, až se to rozléhá v celé dimenzi. Hessián ho nesložil, stojí a hlídá uzávěrový systém afinního prostoru A m6. Pojednou se v kongruenci na grupě generované normální podgrupou nadefinovaly normální podgrupy, nagenerovala se ekvivalence E fe indukovaná kanonickým zobrazením f E z množiny A do faktorové množiny A/E a řád podgrupy vydělil řád grupy Lagrangeova věta pro konečné grupy se pokouší o transformaci do afinního prostoru A m5 dimenze m (m N). Vnořila se do cyklické grupy konečné dimenze faktorová množina A/E indukovaná ekvivalencí E se rozložila na třídy ekvivalence. Co to, že ses rozložila na třídy ekvivalence faktorová množino A/E? Či cítíš, že Hessián je tu? Ten se ještě nevyčíslil, a jestli se i vyčíslil, ke krácení nedorostl! Ze tři prvočísla a je vykrácen! Vtom se transformoval Hessián z kongruence na grupě generované normální podgrupou do cyklické grupy konečné dimenze a povídá: Nechlub se, Lagrangeovo věto pro konečné grupy. Raději pojď, změříme svoje subdeterminanty a matice endomorfismů f 1, f 2, f 3,..., f n vzhledem k bázím M 1, M 2, M 3,..., M n a kdo druhého vykrátí, ten ať se chlubí! A tak se sešli, postavili se a krátili se tak tvrdě, až se afinní prostor A m6 rozložil na podprostory A i1, A i2,..., A im dimenze l; l < m (l N, m N), a zase složil zpět. Lagrangeova věta pro konečné grupy neměla štěstí. Hessián ji vykrátil dvojkou a algebraický zbytek zderivoval. Poté se přetransformoval do grupy generované jedním generátorem a rozložil se na parciální zlomky. Ráno se do grupy generované jedním generátorem injektivně zobrazil Wronskián. Hessián se ho zeptal: Tak co, copak jsi viděl? Viděl jsem prázdnou množinu, minoři, okolo mne se ani dvouprvkový grupoid netransformoval. Druhou noc hlídal prostřední minor Jakobián. Přetransformoval se do cyklické grupy konečné dimenze, kongruence na grupě generované normální podgrupou, algebraicky uzavřeného tělesa bez vlastních ideálů i do grupy kořenů binomické rovnice. Všude ticho, nikde žádná algebraická struktura či binární operace. Vnořil se tedy pod jeden kořen reciproké rovnice a rozložil se na parciální zlomky. Hessián se ani na něj nespoléhal. Vstal, vzal ireducibilní polynom n neurčitých (n N) nad tělesem R, přetransformoval se do kongruence na grupě generované normální podgrupou a hlídal. Pojednou se v kongruenci na grupě generované normální podgrupou nadefinovalo nekonečné množství čísel > 0 a pro každé z nich se objevilo n 0 N tak, že pro každé m N, n N; m > n 0 ; n > n 0 vešla v platnost nerovnost a m a n < Cauchy-Bolzannova podmínka konvergence posloupnosti a n se pokouší o symetrickou transformaci z afinního prostoru A m6 do afinního prostoru A m5 dim m (m N). Vnořila se do cyklické grupy konečné dimenze faktorová množina A/E indukovaná ekvivalencí E se rozložila na třídy ekvivalence, kubická resolventa se úspěšně vyřešila. Co to, že ses rozložila na třídy ekvivalence faktorová množino A/E, cože ses zdárně vyřešila kubická resolvento? Či cítíte, že Hessián je tu? Ten se ještě nevyčíslil, a jestli se i vyčíslil, ke krácení nedorostl! Ze dvě prvočísla a je vykrácen! 3
4 Tu se transformoval Hessián z kongruence na grupě generované normální podgrupou do cyklické grupy konečné dimenze a povídá: Počkej, Cauchy-Bolzannova podmínko konvergence posloupnosti a n, nechlub se, napřed něco dokaž, ještě se neví kdo z koho! A tak se sešli, postavili se a krátili se tak tvrdě, až se chvěla celá m-tá dimenze (m N). Cauchy-Bolzannova podmínka konvergence posloupnosti a n neměla štěstí. Hessián jí dokázal existenci limity pro n i pro n, vyšetřil její lokální a globální extrémy, vytknul trojku, pokrátil, co se dalo, a zbývající členy odečetl. Poté se přetransformoval do grupy generované jedním generátorem a rozložil se na parciální zlomky. Ráno se do grupy generované jedním generátorem surjektivně zobrazil Jakobián. Hessián se ho zeptal: Tak co, copak jsi viděl? Viděl sem nulový homomorfismus, minoři, nikde se ani jednoprvková množina izomorfně nezobrazila. Nu, když je to tak, transformujte se se mnou milí minoři, já vám ukážu i dvouprvkový grupoid i jednoprvkovou množinu, povídá Hessián. A tak se ortogonálně transformovali do podgrupy cyklické grupy konečné dimenze a Hessián jim ukázal poslední tři slova Lagrangeovy věty pro konečné grupy, která unikla důsledné parciální derivaci, a dva kvantifikátory, které zbyly z Cauchy-Bolzannovy podmínky konvergence posloupnosti a n. Minoři se zastyděli. Rozklad na parciální zlomky, povídají, nás přemohl. Třetí noc hlídal Hessián. Vnořil se spolu s ireducibilním polynomem n neurčitých (n N) nad tělesem R do kongruence na grupě generované normální podgrupou a čeká. Pojednou se v kongruenci na grupě generované normální podgrupou transponovaly všechny matice, vynulovaly všechny determinanty, danými množinami se nagenerovaly ideály a jimi indukovaná ekvivalence splnila substituční podmínku, množina {v 1, v 2, v 3,..., v k, u k+1,..., u n } se stala množinou generátorů vektorového prostoru V dimenze n (n N) Steinitzova věta o výměně bází se pokouší o symetrickou transformaci z afinního prostoru A m6 do afinního prostoru A m5 dim m (m N). Vnořila se do cyklické grupy konečné dimenze faktorová množina A/E indukovaná ekvivalencí E se rozložila na třídy ekvivalence, kubická resolventa se úspěšně vyřešila, obor integrity (Z,+, * ) se bijektivně zobrazil sám na sebe. Co to, že ses rozložila na třídy ekvivalence faktorová množino A/E, cože ses zdárně vyřešila kubická resolvento, jak to že ses bijektivně zobrazil sám na sebe obore integrity (Z,+, * )? Či cítíte, že Hessián je tu? Ten se ještě nevyčíslil, a jestli se i vyčíslil, ke krácení nedorostl! Jedno prvočíslo a je vykrácen! Tu se transformoval Hessián z kongruence na grupě generované normální podgrupou do cyklické grupy konečné dimenze a povídá: Počkej s tou chválou, aby sis neudělala spojitou ostudu! A tak se sešli, postavili se a krátili se tak tvrdě, až se celý afinní prostor A n dimenze n (n N) bijektivně zobrazil do prostoru W dimenze n (n N) a pak se zase bijektivně zobrazil zpět. Hessián si nadefinoval lemmu 1 a zpřeházel Steinitzově větě o výměně bází všechny báze. Než však stačil všechny LN vektory převést na LZ vektory, vyrušila mu Steinitzova věta o výměně bází dva subdeterminanty. Hessián zavedl substituci a za tg 2 dosadil cotg 5, načež Steinitzovu větu o výměně bází úspěšně odmocnil. Ta se však znovu umocnila, doplnila Hessiána na čtverec a pokusila se jej pomocí transformačních rovnic x = x cos y sin a y = x sin y cos přetransformovat do roviny E 2 na elipsu se středem v bodě [ 1,0] a velikostmi poloos a = 4, b = 4 3. Hessián urychleně zablokoval hlavní a vedlejší směry, ale než se nadál, byl dekadicky zlogaritmován a za pomoci Schmidtova ortogonalizačního procesu převeden na jeden asymptotický směr rovnoosé hyperboly se středem v bodě [ 2, 2] v rovině E 2. Zle by to s ním dopadlo, kdyby se rozložení minoři spojitě rostoucím hlukem nesložili. Během ln 1,013 sekund se přetransformovali do cyklické grupy konečné dimenze, 4
5 vytvořili Taylorovu řadu a začali Steinitzovu větu o výměně bází derivovat podle x. Hessián toho využil a za pomoci lemmy 2 a Schwarzovy nerovnosti se převedl na algebraickou strukturu se dvěma binárními operacemi. Steinitzova věta o výměně bází jej vykrátila pěti, y usměrnila a za x chtěla dosadit 3y log e. Nestihla to. Wronskián provedl úspěšnou transpozici a vyrušil Steinitzově větě o výměně bází čtyři báze. Než je stihla doplnit, vytknul z ní Jakobián dva symetrické polynomy m neurčitých (m N) nad tělesem C. Hessián jí následně vynuloval resultanty a báze převedl na hyperoskulační kružnici v E 2 se středem v bodě [ 1, ln5] a poloměrem 3log 5 47, načež od ní Wronskián odečetl jedničku. Následně ji všech x 1 x 2 minorů, kdy x 1 = log5 + 6cos 3 ; x2 = log5+cos 2, znegovalo kvantifikátory. Steinitzova věta o výměně bází mlela z posledního. Ještě stačila Wronskiána doplnit na matici přechodu od báze M k bázi M', ale to už se ji Hessiánovi a Jakobiánovi podařilo s použitím lemmy 3 přeformulovat na Lagrangeovu větu pro konečné grupy, načež z ní Hessián, jako v případě skutečné Lagrangeovy věty pro konečné grupy, vytknul dvojku a algebraický zbytek zderivoval. Bylo vykráceno, bylo zderivováno! A minoři se symetricky přetransformovali do vektorového prostoru W 2 dim n 1 (n N) k Unitárnímu okruhu bez dělitelů nuly a Algebraické struktuře a šťastně, spokojeně a stejnoměrně spolu konvergovali, báze generovali, s vektorovým prostorem W 1 dim n 1 (n N) korespondovali. A jestli nezdegenerovali, generují dodnes. KONEC 5
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceZáklady aritmetiky a algebry II
Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceMasarykova univerzita
Masarykova univerzita Přírodvědecká fakulta Bakalářská práce Lineární algebra, sbírka příkladů Brno 2007 Lenka Malounková Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně s použitím uvedené
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceTématické okruhy k magisterské státní závěrečné zkoušce z matematiky s didaktikou pro 2. stupeň ZŠ
Tématické okruhy k magisterské státní závěrečné zkoušce z matematiky s didaktikou pro 2. stupeň ZŠ Státní závěrečná magisterská zkouška v navazujícím magisterském studiu učitelství matematiky pro ZŠ je
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceM4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU
M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU jaro 2010 Rozsah 4/2/0. 6 kr. Ukončení: zk. 1) Obyčejné diferenciální rovnice: 1.1. Úvod základní pojmy, přímé metody řešení některých
VíceALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS)
ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS) Info ke zkoušce: zkouška Algebra 2 je typu kolokvium (= ústní zkouška), tj. u zkoušky není žádná písemka, jen ústní část. Máte
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VícePožadavky znalostí ke státní bakalářské zkoušce
Požadavky znalostí ke státní bakalářské zkoušce Matematická analýza 1. Posloupnosti reálných čísel, limity, elementární funkce. Posloupnost, limita posloupnosti, věty o limitách, vybrané posloupnosti.
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceAlgebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.
Algebra I Cvičení Podle následující sbírky probíhalo cvičení na PřF v semestru Jaro 2003. Příklady jsou rozděleny na ty, které jsme dělali na cvičení (označeno C), úlohy na kterých lze procvičovat probranou
VíceTeorie grup a její aplikace ve fyzice
Týden 1: 4.10. Obsah přednášek NTMF061 Teorie grup a její aplikace ve fyzice ZS 2017/18 definice grupy, řád grupy, příklady grup, Abelova grupa, cyklická grupa, izomorfismus mezi grupami multiplikativní
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceTeorie grup a její aplikace ve fyzice
Týden 1: 4.10. Obsah přednášek NTMF061 Teorie grup a její aplikace ve fyzice ZS 2018/19 definice grupy, řád grupy, příklady grup, Abelova grupa, cyklická grupa, izomorfismus mezi grupami multiplikativní
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceAlgebra II pro distanční studium
Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceAlgebraické struktury
Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více(1) Dokažte, že biprodukt je součin (a tím pádem i součet). Splňují-li homomorfismy. A B je izomorfismus stejně jako A B i+j
1. cvičení (1) Necht A je komutativní grupa. Dokažte, že End(A) společně s operacemi sčítání a skládání zobrazení je okruh. (2) Dokažte přímo z definice, že na každé komutativní grupě existuje právě jedna
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceZáklady aritmetiky a algebry I
Základy aritmetiky a algebry I Základní literatura k předmětu: [BeDla] Bečvář J., Dlab V.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016. Další literatura k předmětu: [Be] Bečvář J.: Lineární
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceK oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny
FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA 1 PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2016/2017 PŘÍKLADY KE KAPITOLE VI K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VícePočet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná. Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti, vybranými partiemi algebry, šifrování a kódování.
Název předmětu: Matematika pro informatiky Zkratka předmětu: MIE Počet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná Forma zkoušky: kombinovaná (písemná a ústní část) Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti,
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceWolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A
Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceGrupy Mgr. Růžena Holubová 2010
Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto
VíceVýsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1)
Výsledky úloh. Úpravy výrazů.. +, + R.., a 0, a b.., a ± b, a b a b a +.. + a +, 0, a.., a 0; ± ; n + a.. a + b 9, > 0.7., a ± b a b m n.8., m 0, n 0, m n.9. a, a > 0 m + n.0., ;0; ;;.., k.. tg, k sin.
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
Více1. Základní příklady a poznatky o monoidech a grupách
Předmět: Algebra I Semestr: Zimní 2015/2016 Přednášel: J. Žemlička Verze z: 6. ledna 2017 Díky za pomoc s řešeními příkladů: Martin Šerý, Štěpán Hojdar, Petr Houška, Péťa Pelikánová. (A určitě další, ale
VíceZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I
1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceMATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011
MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);
Více