FYZIKÁLNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ KVALIFIKOVANÝM ODHADEM

Transkript

1 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY FYZIKÁLNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ KVALIFIKOVANÝM ODHADEM METODICKÝ MATERIÁL PRO UČITELE FYZIKY K PRÁCI SE ŽÁKY ZÁKLADNÍCH A STŘEDNÍCH ŠKOL, TALENTOVANÝMI PRO FYZIKU Zpracoval prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., Univerzita Hradec Králové HRADEC KRÁLOVÉ 2009

2 FYZIKÁLNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ KVALIFIKOVANÝM ODHADEM METODICKÝ MATERIÁL PRO UČITELE FYZIKY K PRÁCI SE ŽÁKY ZÁKLADNÍCH A STŘEDNÍCH ŠKOL, TALENTOVANÝMI PRO FYZIKU Zpracoval prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., Univerzita Hradec Králové Fyzika nepatří v posledních letech mezi oblíbené školní vyučovací předměty. Jak je všeobecně známo, žáci se obávají nejen obtížných částí z výuky, ale především řešení složitějších fyzikálních problémů. Na druhé straně je třeba si uvědomit, že výsledky a aplikace fyzikálního poznání jsou v současnosti rozšířeny nejen po celém světě, ale ve všech oblastech lidské činnosti. Opravdu není dneska možné najít zaměstnání, profesi nebo činnost, kde by se fyzika, ať ve své přirozené podstatě nebo v různých způsobech použití, neobjevila. Na druhé straně vědí zkušení učitelé fyziky, že umět fyziku neznamená naučit se fyzikální poučky a vzorce nazpaměť, ale že je třeba ukázat při řešení konkrétních a reálných problémů, jak toto fyzikální poznání řešitel dovede použít. Proto je prověrka znalosti fyzikálních poznatků prováděna ve velké většině případů pomoci řešení fyzikálních úloh. Školní učební úloha je reálný problém, který je upraven do jednoduché podoby tak, aby mohl sloužit v některé části vyučování fyziky. Jde tedy vždycky o určité zjednodušení reálné situace, nebo jak často říkáme o řešení problému v modelové situaci. K tomu, aby řešitel přijal určitý problém za svůj, tedy aby ho řešení problému lákalo, musí se dostat do tzv. problémové situace. Podle psychologů se to může stát tak, že předložené problémy lákají řešitele svou novostí (řešitel se s danou situací ještě nesetkal a proto by chtěl problém vyřešit), nebo svou obtížností (řešitel chce zkusit své vědomosti a dovednosti, zda stačí na vyřešení problému), popř. v procesu řešení se dostává do uzlových bodů řešení, v nichž je třeba, aby se správně rozhodl a postupoval tak ke správnému výsledku svého snažení. Tak je před něho předložen problém jako neodbytná úloha, jejíž řešení nemůže přesunout na jinou osobu, ale musí mobilizovat své myšlení, přičemž je 1

3 nucen použít určitou strategii, kterou si v procesu řešení modifikuje, a to podle zaměření či obtížnosti zadaného problému. Velmi důležité je to zejména pro žáky, kteří jsou obdařeni jistou dávkou tvořivosti v daném oboru, nebo alespoň projevují zvýšený zájem takové úlohy řešit. Strategii řešení náročnějších problémů je možno stručně formulovat: 1. Formulace problému řešitel se musí orientovat v textovém či jiném zadání úlohy, umět zařadit problém do kontextu svého dřívějšího poznání a uvědomit si, co se vlastně při řešení problému po něm bude vyžadovat. 2. Analýza podmínek řešitel si musí uvědomit, jaké podmínky byly vysloveny před řešením v textu úlohy, co je mu o dané problematice známo a co musí ještě zjistit, aby jeho řešení bylo úspěšné. S tím je spojena nejen analýza textu úlohy, ale musí analyzovat i své předchozí poznání (vědomosti a dovednosti) a zjistit, zda budou postačující k tomu, že úlohu dovede zdárně k výsledku. 3. Výsledkem analýzy podmínek je potom formulace hypotézy o řešení. Tu je třeba nejprve teoreticky zdůvodnit na základě existujícího předchozího poznání nebo je nutno získat další poznatky ve prospěch platnosti této hypotézy nebo i proti ní. Někdy se stává, že pro řešení budeme formulovat několik hypotéz. 4. Po teoretickém zdůvodnění vybere řešitel jednu z hypotéz, většinou tu, která se mu zdá nejvíce věrohodná, a procesem řešení se musí přesvědčit o tom, že tato hypotéza je oprávněná. Tím vznikne jedno z platných řešení nebo se ukáže, že jsme udělali chybu v teoretickém zdůvodňování, popř. že naše hypotéza pro dané podmínky není použitelná. Poté je třeba ověřit, zda těchto správných hypotéz nebude více a přesvědčit se o platnosti každé z nich. 5. Na závěr je nutno formulovat výsledek procesu řešení zopakovat podmínky zadané v textu úlohy (popř. v jinak formulovaném zadání problému), uvést navrhované hypotézy a teoreticky je zdůvodnit, poté ověřit platnost těchto hypotéz a provést celkovou diskusi řešitelnosti zadaného problému. Tento postup se používá (vědomě či nevědomě) jako strategie u každé obtížnější fyzikální úlohy. Nejmarkantnější je to při řešení úloh v různých kategoriích Fyzikální olympiády. Zadavatelé úloh pro tuto fyzikální soutěž se snaží, aby nejen předkládali soutěžícím zajímavé a obtížné úlohy, ale současně je vedli ke správnému postupu při řešení Fyzikální olympiáda totiž je nejenom soutěž v řešení, ale také systém práce se žáky, talentovanými pro fyziku. 2

4 Pro žáky talentované je možno (nebo snad i nutno) uvedené schéma strategie řešení obtížnějších fyzikálních úloh poněkud modifikovat. Vezměme to hned z počátku: Při formulaci daného problému k řešení se snažíme jádro problému co nejvíce obalit zajímavým materiálem, aby se na první pohled nedalo zjistit, jaké vzorce a jaké fyzikální poznatky bude nutno pro řešení použít. Také text bývá někdy neúplný, aby řešitel byl nucen si řadu věcí sám domýšlet, aby musel řadu informací dohledávat, používat vhodné obrázky nejen jako ilustraci pro základní představu, ale také se pokusil nalézt prvotní představu o možném řešení. Tím vzniká jakási děravá informace, o jejíž postupné doplňování se musí řešitel snažit. V rámci analýzy podmínek opět není vhodné, aby všechny informace byly v textu explicitně uvedeny. Daleko účinnější jsou náznaky, které vedou řešitele k promyšlení situace a k samostatnému rozhodování, zda udané informace jsou postačující pro smysluplné řešení, nebo zda bude nutno vytvářet postupné modely řešené situace, a s tím spojená více či méně přesná a reálná řešení. Tomu pak odpovídají i zvolené hypotézy, jejich zdůvodňování a ověřování. Nejdůležitějším na procesu řešení fyzikálních úloh je závěrečný protokol o řešení obsahující: výchozí text, zdůraznění podstatných podmínek, využití užitých fyzikálních poznatků a s nimi spojených dovedností, samozřejmě i možnost využití matematických metod řešení, popř. nacházení metod jiných, jež odpovídají stavu matematického poznání řešitele. Matematické dovednosti řešitele mohou být značným omezením při řešení fyzikálních problémů tak se i velmi jednoduchá úloha, jako je průhyb drátu, na němž je zavěšena lampa na ulici, může stát úlohou neřešitelnou. Jindy je zase řešení skryto v dosti složité diferenciální rovnici, jejíž řešení je nedostupné řešiteli ze základní nebo střední školy. Podle toho musíme zvolit jednodušší modelovou situaci, jež nepopisuje dostatečně přesně podmínky a jevy a k níž vytvořené řešení nedává dostatečně přesný výsledek. Velmi nadějné jsou úlohy, které dokážeme vyřešit kvalifikovaným odhadem. V takových úlohách je podtržena fyzikální stránka, řešitel si může volit nebo si musí vyhledat potřebné údaje k vytvoření odpovědného modelu situace, s nímž potom dospívá k výsledku. Takové úlohy se vyskytují ve školském prostředí velmi zřídka, jsou však potřebné při práci s talenty. 3

5 Úkolem naší statě je uvést několik desítek fyzikálních situací, které nám dávají možnost formulace fyzikálních úloh, jež budeme řešit kvalifikovaným odhadem. Mohli bychom provést určité třídění těchto úloh podle obsahu nebo podle použitých metod řešení. Tím bychom však mnohdy naznačili i cestu, jak takové úlohy řešit. Proto jsme zvolili cestu náhodného rovnání takových úloh. Texty úloh jsou zpravidla velmi stručné, ve většině případů jsou v nich přesně formulovány úkoly nebo otázky, jež je potřebné řešit nebo zodpovědět. Současně však mají tyto úlohy společný rys v tom, že soustavy podmínek pro řešení těchto úloh nejsou úplné, takže bez dodatečných informací není možno problémy řešit. Učitelé, pro něž byl tento materiál vytvořen, by pravděpodobně uvítali i podrobné řešení zadaných problémů. Zdá se nám však, že daleko účinnější pro vlastní tvořivý přístup učitele (=zadavatele problému žákovi) bude, když uvedeme víceméně podrobný návod k řešení. Američtí psychologové, kteří se zabývali problematikou psychologie produktivního myšlení (např. Duncker, Wertheimer aj.) dospěli na základě mnohaletých pedagogických experimentů k tomu, že daleko účinnější než sdělení správného postupu a výsledku řešení, je naznačit cestu, po které by se řešitel měl ubírat, aby ke správnému řešení dospěl sám. Proto jsme se rozhodli, že v této stati uvedeme jen návody k řešení. Zdá se nám, že v jednoduchých případech, jež souvisejí s řešením těchto úloh, by měl zadavatel být schopen dospět samostatnou cestou (třeba i na základě použití návodu) ke správnému výsledku. Jsme toho názoru, že kdo pracuje s talentovaným žákem, by měl být schopen samostatně řešit úlohy, které takovému žákovi k řešení dává sám. Z tohoto důvodu jsou uvedené texty úloh zadávány běžným písmem, ale doplňující informace a návody k řešení jsou připisovány kurzívou. Obsahově vytváří soubor zadaných úloh volnou strukturu, která může být postupně doplňována. Část fyziky, které se daná úloha týká, je vyjádřena zkratkou hned za číslem úlohy: M mechanika, T termika, K kmity, vlnění, E elektřina a magnetismus, O optika, J jaderná fyzika, atomistika, A astronomie a astrofyzika, X úlohy komplexního charakteru. 4

6 1M. Jak těžký je vzduch ve třídě? 2M. Jak se mění tlak vzduchu s výškou? V hustých vrstvách atmosféry klesá tlak v závislosti na nadmořské výšce tak, že každých m klesne na polovinu předcházející hodnoty. Odhadněte, jaká bude hodnota tlaku vzduchu ve výšce, kde létají mezikontinetální letadla, jaká je hodnota tlaku na střeše světa, tlak na Sněžce. K řešení si načrtněte příslušný graf. Odhadněte, zda unese patnáctiletý žák vzduch, který se nachází v učebně rozměrů 7,2 m x 6,0 m x 2,8 m. Náznak řešení: Tíhu vzduchu vyřešíme jako G = m g, hmotnost m = ρ V, objem vzduchu V = a.b.h, hustota vzduchu je asi 1,2 kg/m 3. Náznak řešení: Nejprve načrtneme graf závislosti tlaku p(h). Mezikontinentální letadla např. Boeing létají ve výšce 11 km, kde je tlak asi ¼ tlaku u hladiny moře. Případné porušení celistvosti letadla vede ke značné dekompresi a k tomu, že cestující i posádka by zahynuli. Střecha světa Mt. Everest má výšku 8848 m, takže tam je atmosférický tlak asi 1/3 tlaku u hladiny moře; nedostatek kyslíku by vedl k velkému přetížení lidského organismu; proto se při výstupu používají kyslíkové bomby. Tlak na Sněžce je jen nepatrně nižší než u hladiny moře. 3M. Jak by musela být vysoká přehradní hráz? Odhadněte, jak vysoká by musela být přehradní hráz na horním Labi, aby elektrárna tam postavená při průtoku 10 m 3 /s byla schopna nahradit tepelnou elektrárnu v Opatovicích? Náznak řešení: Podle internetových zdrojů má 5

7 Opatovická tepelná elektrárna instalovaný výkon asi 350 MW. Kdyby na horním Labi měla přehrada výšku hráze 100 m, pak při průtoku 10 m 3 /s a g = 10 m/s 2 by elektrárna měla výkon asi 10 MW (při 100 % účinnosti). Odtud je odhadovaná výška hráze 3500 m. Naše republika nemá dostatek vodních zdrojů pro stavbu velkých hydroelektráren. 4T. Jaká je denní či roční spotřeba uhlí v tepelné elektrárně? Odhadněte denní (roční) spotřebu málokvalitního hnědého uhlí, kterého se využívá v Opatovické elektrárně při výrobě páry. Náznak řešení: Málo-kvalitní hnědé uhlí má výhřevnost 12 MJ/kg. Tepelné elektrárny mají koeficient využití asi 60% (tj. z celkové doby možné činnosti, což je za rok 8766 hodin, je zpravidla elektrárna v činnosti jen 5260 h), účinnost tepelných elektráren je asi 36% = 0,36. Instalovaný výkon tepelné elektrárny Opatovice je 350 MW, denní práce MWh, roční práce MWh. Teplo vzniklé spálením m kg hnědého uhlí Q = m. 12 MJ/kg. 0,36, odtud nám vychází pro hmotnost uhlí denně t, tj. 175 vagónů čili tři vlaky, t či vagónů ročně. 5M. Kde se nachází polárník? Polárníci vyšli ze základního tábora na běžkách a vydali se přesně 10 km na jih, poté 10 km na východ a nakonec 10 km na sever. Pak se zastavili a přemýšleli, jak daleko jim zbývá urazit zpět do tábora. Odhadněte, kolik museli ještě urazit, aby se vrátili zpět. Návod k řešení: Odhadneme nejprve, kde se polárník nachází: zřejmě bude asi nedaleko severního pólu. Nejprve vyjde směrem poledníku k jihu, potom se dá po rovnoběžce k východu do vzdálenosti 10 km a nakonec postupuje směrem k severnímu pólu po poledníku po trase 10 6

8 km. Nakreslíme-li si pohled z místa nad severním pólem, budou vidět rovnoběžky jako soustředné kružnice. K cíli mají polárníci méně než 10 km, neboť poloměr severnější rovnoběžky je menší než té jižnější, po níž se vydali k východu. V krajním případě mohli vyrazit přímo ze severního pólu a vrátili se zpět již v okamžiku, kdy se zastavili a přemýšleli. Odhadněte sami, jak to bude pro případ polárníků v blízkosti jižního zeměpisného pólu. 6M. Kam se dostanou polárníci? Polárníci vyrazili ze základního tábora a drží směr přesně na východ. Podruhé vyrazili přesně na sever. Potřetí se polárníci vydali přesně na severovýchod. Odhadněte, kam polárníci dorazí, půjdou-li vyznačeným směrem dostatečně dlouho. Návod k řešení: K řešení problému doporučujeme nakreslit si mapku, na níž jakoby z bodu na zemské ose vyznačíme krajinu do vzdálenosti např. 50 km od severního pólu. V mapce vyznačíme rovnoběžky a poledníky (není nutno tyto útvary číselně označovat, určují nám vyznačený směr). Půjdou-li polárníci směrem východním, nejsou ve své cestě omezováni. Půjdou-li směrem severním, potom mohou dorazit na severní zeměpisný pól, ale pak by se museli vydat směrem jižním. Nejobtížnější bude odhad, jak to bude vypadat, půjdou-li směrem severovýchodním, tj. pod úhlem 45 jak k rovnoběžce, tak k poledníku. To si vyznačte v mapce a ta vás povede ke správnému výsledku. 7M. Malá vodní elektrárna Přehradní hráz labské vodní elektrárny Les Království (Tešnovská přehrada) má výšku asi 40 m a průměrný objemový tok vody je 8,0 m 3 /s. Odhadněte, jaký by měl být průměrný zisk této elektrárny, vyjádřený výkonem? Ve skutečnosti je však výkon elektrárny 2,12 MW. Kolik rozsvítí žárovek výkonu 100 W? Kolik šedesátek nebo čtyřicítek? Kolik vody protéká každou sekundu turbínami? 7

9 Náznak řešení: Text uvádí několik úloh, spojených stejným tématem malé vodní elektrárny. Odhadovaný výkon stanovíme na základě změny potenciální energie a činí 3,2 MW. Jde o stovkových, šedesátkových a čtyřicítkových žárovek. Kdyby účinnost elektrárny byla stoprocentní, potom by objemový tok vody byl 5,5 m 3 /s. 8T. Střední Chvaletická tepelná elektrárna Chvaletická elektrárna má instalovaný výkon 800 MW a teplo získává na základě spalování hnědého uhlí, dováženého ze severních Čech. Když uvážíte stejné podmínky jako v úloze 4T, odhadněte denní spotřebu uhlí ve Chvaleticích. Zde se však uhlí dováží po vodním roku Labe, a to v nákladních lodích, jejichž délka je 70 m, šířka 8 m a změna ponoru vlivem nákladu je 1,8 m. Kolik uhlí se vejde do tohoto remorkéru? Odhadněte, jaké problémy mohou nastat v zimě nebo v létě? Náznak řešení: Použijeme stejného principu řešení, jen výkon elektrárny je vyšší, denní spotřeba je t, tj. muselo by přijet 400 vagónů denně. Náklad lodě stanovíme ze změny objemu ponořené části lodě, V = ,2 m 3 = m 3. To nás vede k výsledku, že loď byla naložena nákladem t. Zde je nutno podotknout, že úvaha je vskutku jen teoretická. Uvažovaná hloubka ponoru vyžaduje dostatečně hlubokou jízdní dráhu v řečišti řeky Labe, což však během celého roku není reálné. Proto jednak v zimě, kdy je nižší stav vody v Labi, ale také v létě je nutno zajišťovat uhlí železniční cestou. 9T. Jaderná elektrárna nepotřebuje uhlí Jaderná elektrárna Temelín má instalovaný výkon 2000 MW; do turbin proudí pára získaná na úkor jaderné energetiky. Odhadněte, kolik paliva = hnědého uhlí o výhřevnosti 12 MJ/kg při účinnosti tepelných elektráren 36% se ušetří denně (ročně) tím, že jaderná 8

10 elektrárna bude nepřetržitě v činnosti (ve skutečnosti je součinitel využití jaderných elektráren 0,90). Náznak řešení: Na jedné straně se lidé jaderné energetiky obávají, neboť lidstvo má několik neblahých zkušeností (elektrárna v Černobylu aj.), na druhé straně tyto elektrárny mnohem méně zatěžují životní prostředí. Podle našich již dosti rutinních výpočtů stanovíme, že elektrárna denně ušetří t uhlí, což představuje vagónů s uhlím, ročně je to pak 14,5 miliónu tun uhlí. Tím se také podstatně zmenší zamoření ovzduší oxidem uhličitým a dalšími zplodinami. 10E. Fotovoltaické elektrárny Často se hovoří o tom, že by bylo dobré stavět elektrárny, které nemají špatný vliv na životní prostředí. Takovou by mohla být fotovoltaická elektrárna, která využívá fotoelektrických jevů, např. vnitřního fotoefektu v hradlovém fotočlánku. Jestliže dopadá v místech, kterými se pohybuje planeta Země, sluneční záření o výkonu 1370 W/m 2, část se odrazí od naší atmosféry, část se dostane až na povrch Země. Buďme optimisti a doufejme, že se na povrch Země dostane záření představující výkonem asi 7,5 % hodnoty výkonu záření dopadajícího. Odhadněte, jak velká by musela být plocha článků, aby nahradily Opatovickou elektrárnu? Náznak řešení: Za fotovoltaické zařízení budeme považovat tzv. sluneční články, které na úkor dopadajícího záření produkují elektrické napětí. Malá Opatovická tepelná elektrárna má instalovaný výkon 350 MW, z textu vyplývá, že výkon záření zachyceného na povrchu Země bude představovat 0, W/m 2, tj. asi 100 W/m 2. Abychom dosáhli výkonu tepelné elektrárny, musíme zvolit plochu pokrytou fotočlánky o obsahu 3,5 km 2, nebo-li 2 km. 1,75 km, tedy v podstatě celé území dnešní elektrárny, včetně kaliště a dalších ploch, by zaujala tato fotovoltaická zařízení. Zatím zde neuvažujeme ekonomickou stránku projektu; dosavadní články jsou stále ještě poměrně drahé a ekonomicky se vyplatí až po několika letech. 9

11 11M. Velká vodní díla ve světě Velké vodní dílo Tři soutěsky v Čínské lidové republice má instalovány turbíny hydroelektrárny o celkovém výkonu MW, jež produkují celkem 80,8 TWh elektřiny ročně. Odhadněte, kolik hodin ročně (denně) mohou turbíny pracovat, aby dosáhly tohoto výkonu. Výsledek porovnejte s údaji z České republiky, které najdete na internetu (např. hydroelektrárny vltavské kaskády Lipno, Orlik, ). Náznak řešení: Vodní dílo Tři soutěsky je světově jedinečné dílo nejenom svým výkonem, svou velikostí, ale také důsledky, které způsobily přesuny několika miliónů lidí z této oblasti. Elektrárna pokud jede na plný výkon, pracuje celkem h ročně, což je asi 12 h denně. Každé takové zařízení bezpodmínečně vyžaduje údržbu, která se pravděpodobně provádí po jednotlivých částech. Bylo by zajímavé srovnat, kolik uhlí se ušetří ročně oproti soustavě tepelných elektráren stejného výkonu vychází asi t denně, tedy ročně 67 miliónů tun hnědého uhlí. 12M. Velké vodní dílo Jižní Ameriky Obdobné údaje nacházíme na Internetu o dalším, značně velkém vodním díle Itaipu. Na této přehradě na pomezí Brazílie na řece Paraná byla vybudována přehradní hráz, která má výšku 196 m. V hydroelektrárně je instalováno 20 turbogenerátorů, každý má 700 MW, tedy celkem MW, roční výroba 94,7 TWh. Odhadněte, kolik hodin ročně (denně) mohou turbíny vodní elektrárny Itaipu pracovat. Náznak řešení: Výpočty provedeme stejným způsobem, jen hodnoty nám vyjdou poněkud jiné doba činnosti turbosoustrojí činí h za rok, tj. 18,5 h denně. Denní spotřeba hnědého uhlí v tepelných elektrárnách, jež by dosahovaly téhož výkonu, by byla t. 10

12 13M. Taková velká řeka Řeka Amazonka drží několik světových priorit. V dolní části toku dosahuje řeka hloubky více než 50 m a průtoku m 3 /s. Odhadněte, jak vysoké by muselo být převýšení hladiny, aby se při účinnosti 60% získal výkon vodní elektrárny stejný, jako má vodní elektrárna Itaipu, tedy MW? Náznak řešení: V ideálním případě, který však není reálný, by se využil výkon celého toku řeky. Odhadem vychází výška přehradní hráze o vyšší než 10 m. 14M. Odhadněte hmotnost zemské atmosféry Na základě vhodných údajů se pokuste alespoň dvojím způsobem odhadnout hmotnost zemské atmosféry. Výsledky porovnejte. Náznak řešení: Odhadneme nejprve hmotnost zemské atmosféry tímto způsobem: Kdosi tvrdil, že kdybychom stlačili zemskou atmosféru do vrstvy kolem povrchu Země na hodnotu normálního tlaku, dostali bychom tloušťku vrstvy menší než 10 km. Objem atmosférického vzduchu získáme pomocí obsahu povrchu Země, km 2, celkový objem atmosféry je menší než hodnota 5, km 3, tedy 5, m 3 ; při známé hustotě je hledaná hmotnost atmosféry o něco menší než kg. Druhý způsob vychází ze známé hodnoty atmosférického tlaku m = p.s/g = Pa km 2 /9,8 m.s -2 ; tento výpočet vede k poněkud nižší hodnotě 5, kg. 15T. Kolik tepla musí přijmout zemská atmosféra? Odhadněte, kolik tepla by bylo zapotřebí k ohřátí atmosférického vzduchu naší Země o 1 C? Měrná tepelná kapacita pro vzduch je 1000 J/(kg.K). 11

13 Náznak řešení: V úloze 14M jsme odhadli hmotnost zemské atmosféry, přijmeme hodnotu 5, kg. Pro zvýšení teploty vzduchu o 1 C je potřebné teplo Q = m c Δt = 5, J. Toto teplo lze získat jednak z vnějších zdrojů (postupné pohlcování slunečního záření), jednak ze zdrojů vnitřních vlastní teplo zemského tělesa nebo výsledek produkce tepla lidmi. 16M. Kdyby se zemská gravitace zvětšila Odhadněte, jak by musel vypadat člověk, kdyby se tíhové zrychlení na Zemi zvětšilo na dvojnásobek? Náznak řešení: Vycházejme z toho, že by se zdvojnásobila tíha člověka a také vertikální zatížení kostí. Příčné rozměry člověka by se musely plošně zvětšit dvakrát, tedy lineárně by se zvětšily odmocninou ze dvou, tj. asi 1,4 krát. Odborníci vypočítali, že člověk má průměrně 300 vlasů na každý centimetr čtverečný. Vlasy pokrývají asi 40% povrchu hlavy, hlavu pro zjednodušení modelujeme tvarem koule o poloměru r, přičemž víme, že daná osoba nosí čepici s obvodem 56 cm. Odhadněte, kolik vlasů má na hlavě průměrně vlasatý člověk? 17M. Kolik máme vlasů na hlavě? Náznak řešení: Nejprve doplníme náš model hlavy z údaje o čepici vypočteme průměr hlavy, 18 cm, odtud poloměr hlavy zvolíme 8 cm. Celý povrch hlavy bude 1020 cm 2, z čehož je 400 cm 2. Uvedený běžný člověk má na hlavě asi vlasů. Jestliže nám denně vypadnou 2-3 vlasy, neberme to jako tragédii. 12

14 18M. Tolik krystalků? 19M. Driblování až do knihy rekordů Aby se mladý basketbalista dostal do Guinessovy knihy rekordů, rozhodl se po dobu 24 h driblovat. Dribling je odrážení míče z výšky 60 cm směrem k podlaze tělocvičny a stoupání směrem vzhůru k ruce sportovce. Odhadněte, kolikrát se musí při tomto driblování míč odrazit od podlahy? Krystalový cukr tvoří krystalky sacharózy rozměrů 2 mm x 2 mm x 2 mm. Hustota cukru je 1130 kg/m 3. Odhadněte, kolik takových krystalku může být v jedné tuně krystalového cukru? Náznak řešení: Ze známé hustoty cukru lze odhadnout objem 1 tuny krystalo-vého cukru (bez mezer), tj. 885 litrů, jeden krystalek má objem 8 mm 3, což představuje litru, takže v 1 tuně krystalového cukru je asi krystalků. V jednom kg cukru je to právě tisícina, takže si to můžete ověřit. Náznak řešení: Odhadneme nejprve, jak dlouho trvá, než míč dopadne z výšky 60 cm na podlahu, tj. 0,35 s, a to rychlostí dopadu asi 3,4 m/s. Po stejnou dobu bude stoupat do téže výšky; bohužel basketbalový míč není dokonale pružný, a tak mu musíme udělit určitou počáteční rychlost. Přesto vezmeme dobu 0,7 s jako časový interval mezi dvěma po sobě následujícími setkáními ruky s míčem. Během 24 h = s takových setkání proběhne minimálně , spíše tedy o něco víc, tedy

15 20M. Nebezpečná povodí řek Povodí řeky Dešťová má rozlohu 2000 km 2. Jednoho dne při prudkém přívalovém dešti napršelo na každý čtverečný metr 200 litrů, přičemž 60 % vody se vsáklo a 40 % vody odteklo potůčky, potoky a přítoky do řeky Dešťová. Odhadněte, jak vysoká by byla vrstva vody po tomto dešti na vybetonovaném parkovišti? Určete, kolik vody tehdy v celém povodí napršelo? Kolik vody muselo odtéci? Odhadněte, o kolik zvýšil přívalový déšť průtok řekou po dobu 24 hodin, než se hladina zase urovnala? Náznak řešení: Když napadne na každý čtverečný metr 200 litrů, potom hovoříme o srážkách 200 mm = 20 cm. To je na parkovišti docela dost vody, pokud neodtéká. V celém povodí potom napadlo ,2 m 3 vody, neboli 400 miliónů litrů vody. Z toho část vody se vsákla a 160 miliónů litrů vody postupně odtékalo po dobu 24 h. Průtok se zvýšil průměrně o 1,85 m 3 /s. 21M. Spotřeba benzinu Automobil má při jízdě po dálnici při stálé rychlosti 120 km/h spotřebu 8 litrů na trase 100 km. Jak daleko dojede na 1 litr benzinu? Jednou řidič načerpal málo benzinu a jeho vůz se zastavil na krajnici (blik-blik). Řidiči zbývá dojet ještě 500 m k benzinové stanici. Kolik benzinu by nejméně potřeboval? Jaká je minutová a sekundová spotřeba benzinu při jízdě? Náznak řešení: Při spotřebě 1 litru benzinu dojede 12,5 km, při jízdě spotřebuje na ujetí 1 km 0,08 litru benzinu, na ujetí 500 m tedy 40 ccm. Trasu 100 km uvedenou rychlostí ujede za 50 min, minutová spotřeba je tedy 0,16 litru a sekundová 0,0026 litru, tj 2,6 ccm (starší označení 1 ccm = 1 kubický centimetr). 14

16 15 22M. Cyril jezdí na kole Cyril jezdí na kole za kamarádkou. Zpravidla udržuje stálou rychlost 12 m/s. Jednou však začal experimentovat nejprve jel první polovinu doby stálou rychlostí 9 m/s a druhou polovinu doby to doháněl rychlostí 15 m/s. Podruhé jel první polovinu dráhy stálou rychlostí 9 m/s a druhou polovinu dráhy doháněl rychlostí 15 m/s. Odhadněte, zda dojel ve všech třech případech ke kamarádce za stejnou dobu. Svůj odhad zdůvodněte příslušným výpočtem a načrtněte graf dráhy jako funkce času. Náznak řešení: Zvolíme si trasu např. 30 km. Když Cyril pojede stálou rychlostí 12 m/s, urazí tuto vzdálenost za s. Když pojede první polovinu doby nižší rychlostí a druhou polovinu vyšší rychlostí, pak je to stejné, jakoby jel po celou dobu střední rychlostí 12 m/s, doba dojezdu bude stejná. Pojede-li Cyril prvních 15 km menší rychlostí, urazí polovinu trasy za 1667 s, druhou polovinu této trasy za s, celkem pojede 2667 s, dojede tedy později. 23M. Automobil na dálnici Automobil se pohybuje po dálnici stálou rychlostí 126 km/h (podruhé 90 km/h) a při jízdě překonává odporové síly. Odhadněte, jak velké jsou tyto odporové síly a jak se změna rychlosti projevuje na výkonu motoru automobilu i na spotřebě benzínu při jízdě po dálnici D11 z Hradce Králové na okraj Prahy. Náznak řešení: K řešení úlohy potřebujeme doplňující údaje. Protože není přesně určeno, o jaký automobil se jedná, odhadneme některé parametry. Hmotnost naloženého osobního automobilu zvolíme 1200 kg, součinitel valivého odporu pryžové pneumatiky po asfaltové silnici ξ = 1,6 mm, průměr kola auta zvolíme asi 60 cm; odtud síla valivého odporu F = ξ m g /r = 64 N. Dále při jízdě na auto

17 působí odpor vzduchu. Odporovou sílu stanovíme F = k v 2, kde k = ½ C S ρ, po dosazení k = ½ 0,35.2,4.1,25 (SI) = 0,525(SI). Při rychlosti 1236 km/h = 35 m/s pak vychází odporová síla 643 N, celková síla, kterou musí motor automobilu překonávat je potom 710 N, pro rychlost 90 km/h = 25 m/s je odporová síla rovna 328 N, celková síla 394 N. Výkon automobilu při vyšší rychlosti stanovíme P = F v = 25 kw, při nižší rychlosti asi 10 kw. Spotřeba benzinu se udává pro trasu 100 km, což je přibližně vzdálenost ujeté dráhy po dálnici mezi oběma místy. Výhřevnost benzínu je asi 42 MJ/kg = 32 MJ/litr, takže dostáváme pro pohyb automobilu o účinnosti motoru 22% s vyšší rychlostí spotřebu 10 litrů na 100 km trasy, pro pohyb nižší rychlostí 5,6 litru na 100 km ujeté trasy. 24M. Cyklista jede po vodorovné silnici Po přímé vodorovné silnici jede cyklista stálou rychlostí 12 km/h. Odhadněte, jaký mechanický výkon spojený s činností jeho nohou musí odvádět jeho tělo. Náznak řešení: Při jízdě musí cyklista překonávat odporovou sílu, která vzniká při jeho pohybu ve vzduchu, F = k v 2, kde k = ½ C S ρ, po dosazení odhadnutých hodnot k = ½ 0,9.0,8.1,25 (SI) = 0,45 (SI), odporová síla F = 65 N, výkon 777 W. 25M. Seskok padákem Instruktor o hmotnosti 90 kg seskakuje padákem z nepříliš velké výšky, kde hustotu vzduchu můžeme považovat 16

18 za konstantní o hodnotě 1,2 kg/ m 3. Podruhé se provádí tzv. tandemový seskok, kdy k instruktoru přistoupí dívka o hmotnosti 90 kg. Odhadněte, zda a jak se změní mezní rychlost pádu v obou případech, tj. rychlost rovnoměrného pohybu poté, co se vyrovná silové působení. Náznak řešení: Tíhová síla 900 N, popř N směřuje dolů, odporová síla směřuje vzhůru, F = k v 2, kde k = ½ C S ρ, po dosazení k = 24 (SI). Odtud vychází pro rychlost 6,1 m/s, v druhém případě 7,9 m/s (musíme asi zvolit větší padák). 26M. Nehýříme zbytečně? Podle dopravních předpisů musí každé vozidlo mít při jízdě rozsvíceny dva přední reflektory a zadní koncová světla, zpravidla s celkovým výkonem 130 W, a to nejen za snížené viditelnosti, ale i za plného slunečního světla, aby byla zajištěna dobrá viditelnost vozidla. Odhadněte, o kolik se zvýší spotřeba služebního automobilu, které jezdí 250 dní v roce průměrně po dobu čtyř hodin za přijatelného světla. Náznak řešení: Celkový příkon světel je 130 W, denní elektrická práce 520 Wh, za rok je to elektrická práce 130 kwh = 468 MJ. Uvážíme-li výhřevnost benzínu 32 MJ/litr a účinnost motoru vozidla 22%, představuje toto svícení za denního světla celkem 66,5 litru spotřeby benzínu oproti jízdě navíc. 27M. Hustota kostkového cukru Odhadněte hustotu kostkového cukru, máte-li k dispozici pouze délkové měřítko. Náznak řešení: Vezměte krabici s kostkovým cukrem, jejíž hmotnost znáte. Zbývá jen určit rozměry krabice. Proč výsledek není přesný? Pak změřte rozměry sloupečků z kostek cukru. 17

19 28M. Papír na kopírování nebo do tiskárny Odhadněte tloušťku jednoho listu papíru, který používáte do počítačové tiskárny nebo ke kopírování (A4, 80 g). Odhadněte jeho hustotu. Máte k dispozici délkové měřítko. Náznak řešení: Nejprve zjistěte, co znamená A4 80 g. Určete tlouťku jednoho balíku (jedné krabice) papíru a zjistěte tloušťku listu. Potom odhadněte hustotu tohoto papíru. 29M. Jak daleko je vidět V australském Melbourne bylo postaveno tzv. ruské kolo o výšce 120 m. Odhadněte, do jaké vzdálenosti je vidět z kabinky, která je v nejvyšším bodě své dráhy. Trvá-li jedno otočení kola právě 30 min, jakou rychlostí se kabinky pohybují? Náznak řešení: Nejprve stanovíme vzdálenost na povrchu Země (na moři), z níž je vidět vršek kola, předpokládáme kulový tvar Země o poloměru 6371 km. Druhou úlohu řešíme ze vztahu v = 2 π r /t. 30M. Jak daleko je vidět? V Dubaji byla otevřena věž o výšce 830 m, v níž jsou umístěny obchody, byty i kanceláře. Odhadněte, jak daleko bude od věže místo, z něhož bude věž ještě viditelná. Výsledek svých úvah zkontrolujte na Náznak řešení: Úlohu řešíme obdobně jako úlohu předcházející, pomocí vztahu d = (2.h.R), kde dosadíme R = 6370 km, výška h = 0,830 km, vychází vzdálenost d = 103 km. Skutečná vzdálenost bude asi o něco menší. 18

20 Zdroje informací: Volf, I.: Přípravy na výuku matematicko-fyzikálního semináře na PSJG 2009/10. Soukromý materiál. Hradec Králové, Volf, I.: Pracovní listy k výuce fyziky v 1. ročníku gymnázia. Hradec Králové, MAFY 2007/8. Rukopis Wikipedia, free encyclopedia: anglická verse 19