Mechanická práce, výkon a energie pro učební obory

Transkript

1 Variace 1 Mechanická práce, výkon a energie pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na

2 1. Mechanická práce Síla koná práci, působí-li na pohybující se těleso ve směru dráhy. Platí vzorec W = F. s Pozn.: Působí-li síla proti směru dráhy, říkáme, že těleso práci spotřebovává. Př.: Zvedneme-li těleso do určité výše, síla naší ruky působí ve směru dráhy, proto práci vykonala. Těleso, které jsme ale zvedli, práci spotřebovalo. Jednotky práce: 1 joule [J] = [kg.m 2.s -2 ] 1 joule je práce, kterou vykoná síla, působí-li silou 1 N po dráze 1 m ve směru dráhy Příklad 1: Jakou práci (v MJ) vykoná síla 25 kn, když na těleso působí po dráze 2 km? F = 25 kn = N s = 2 km = m W =? [J] W = F. s W = W = J = 50 MJ Síla vykoná práci 50 MJ. Příklad 2: Jakou práci vykonáte, když zvednete konev o hmotnosti 1 kg s 10 l vody do výšky 40 cm? Hustota vody je kg/m 3 a hodnota tíhového zrychlení je 9,81 m.s -2. m 1 = 1 kg V 1 = 10 l = 10 dm 3 = 0,010 m 3 s = 40 cm = 0,4 m = 1000 kg.m -3 g = 9,81 m.s -2 W =? [J] W = F.s W = (F 1 +F 2 ).s W = (m 1 +.V 1 ).g.s W = ( ,010).9,81.0,4 2

3 W = 43,2 J (přibližně) Zvednutím konve s vodou vykonáme práci asi 43,2 J. 2. Mechanická práce - procvičovací příklady Po stoupající silnici dlouhé 0,5 km má automobil o hmotnosti kg překonat převýšení 10 m. Jakou práci v (kj) vykoná? Tření zanedbejte. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 150 kj Do jaké výšky zvednete břemeno o hmotnosti 1,8 kg, vykonáte-li práci 16,2 J? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 0,9 m Určete délku (v cm) svislé dráhy, po které musíte zvednout závaží silou 5 N rovnoměrným pohybem, abyste vykonali práci 1 J. OK 20 cm 4. Jak velkou práci (v kj) vykoná jeřáb, který zvedne rovnoměrným pohybem betonový panel o objemu 2 m 3 po svislé dráze 10 m, je-li hustota betonu kg/m 3? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 500 kj 5. Traktor táhne vlečku o hmotnosti kg po cestě 100 m dlouhé. Cesta stoupá na úseku 100 m o 6 m. Jakou práci (v kj) na uvedené dráze traktor vykoná? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 270 kj 6. Závodník na Tour de France ujel trať dlouhou 210 km. Jak velkou práci vykonal (v MJ), jestliže start i cíl mají stejnou nadmořskou výšku? Závodník i s kolem má hmotnost 80 kg a na tření a překonávání odporu vzduchu se spotřebuje síla rovnající se 5 % gravitační síly působící na závodníka s kolem. OK 8,4 MJ Do jaké výšky byl zvednut pytel brambor o hmotnosti 50 kg z povrchu Země rovnoměrným pohybem, jestliže přitom byla vykonána práce J? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 4,5 m Jak velkou silou (v kn) zvedal jeřáb těleso po svislé dráze 14 m rovnoměrným pohybem, jestliže vykonal práci 21 kj? OK 1,5 kn 9. Člověk o hmotnosti 60 kg vynese do třetího poschodí těleso o hmotnosti 20 kg. Výška jednoho poschodí je 4 m. Určete, jak velkou práci (v kj) přitom vykoná. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 9,6 kj Těleso o hmotnosti 2 kg zvednuté do výše 3 m nad zemí volně padá. Určete, kdo koná práci a jako výsledek napište její velikost. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 60 J 11. Vědro s maltou zvedneme pomocí pevné kladky ve svislém směru rovnoměrným pohybem po dráze 8,0 m. Jak velkou práci vykonáme, je-li hmotnost vědra s maltou 10 kg? Třecí síly zanedbáváme. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 800 J Délka sáňkařské dráhy je 60 m, výška 8 m. Jak velkou práci (v kj) vykoná chlapec, který táhne do kopce sáňky o hmotnosti 15 kg? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 1,2 kj

4 Jak velkou práci (v kj) vykonal dělník, když vytáhl těleso kladkostrojem do výšky 10 m silou 1,8 kn? OK 18 kj 14. Těleso bylo zvednuto jeřábem svisle vzhůru po dráze 12 m rovnoměrným pohybem. Tahová síla přitom vykonala práci 20 kj. Jaká je hmotnost zvednutého tělesa? Třecí sílu zanedbáváme. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 167 kg 15. Práce, kterou konáme při chůzi po vodorovné rovině, spočívá v tom, že při každém kroku se tělo zvedne asi o 3 cm. Jak velkou práci (v kj) vykoná žák, když ujde 5 km? Hmotnost žáka je 45 kg, hmotnost aktovky je 3 kg, délka kroku je 0,5 m. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 144 kj Jak velkou práci (v MJ) vykoná elektrická lokomotiva, která táhne vlak stálou silou 110 kn po vodorovné dráze 10 km? OK MJ 17. Při posouvání vlaků byl jeden vagón uveden nárazem do pohybu po přímých vodorovných kolejích. Na úseku dráhy 200 m se pohyboval rovnoměrně. Určete, jak velká práce se konala při pohybu vagónu na tomto úseku. OK 0 J 18. Na tabulce jeřábu jsou tyto údaje: nosnost jeřábu 20 kn při výšce 20 m. Jak velkou práci (v kj) vykoná jeřáb, zvedá-li těleso o maximálním dovoleném zatížení rovnoměrným pohybem do maximální dovolené výšky? OK 400 kj Automobil ujel vzdálenost 12 km. Motor vykonal práci 4,8 MJ. Předpokládáme, že tažná síla motoru byla stále stejná. Jak byla velká? OK 400 N 20. Z černé skříňky na zdi visí dva provázky, černý a bílý. Vždycky, když černý stáhnete o 1 cm, vytáhnete bílý o 2 cm. Jak velkou silou musíte tahat za černý provázek, když na bílém provázku visí břemeno o tíze 2 N? OK 4 N 21. Výtah, jehož kabina má hmotnost 100 kg, vyvezl 100 cihel do výšky 8 m rovnoměrným pohybem. Hmotnost jedné cihly je 5,0 kg. Jakou práci (v kj) vykonal motor výtahu? Třecí síly zanedbáváme. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 48 kj Mechanický výkon Výkon definujeme jako velikost práce vykonané za časovou jednotku. Výkon je tedy číselně roven velikosti práce vykonané za časovou jednotku. Jednotky výkonu: 1 watt [W] [W] = [J.s -1 ] Výkon má hodnotu jednoho wattu, jestliže je vykonána práce o velikosti 1 joule za dobu jedné sekundy. Pozn.: Dříve se používala jednotka 1 kůň. Velikostí tato jednotka odpovídá přibližně 0,75 kw. 4

5 Pomocí vzorce pro výkon můžeme též počítat práci z výkonu. Práce je rovna součinu času a výkonu. W = P. t Jednotky práce odvozené z výkonu: 1 Ws = 1J 1Wh = J 1 kwh = 3, J Příklad 1: Jak velký je výkon jeřábu, který zvedne břemeno o hmotnosti kg za tři minuty do výše 27 m? m = 1000 kg s = 27 m t = 3 min = 180 s P =? [W] P = W/t P = F.s/t P = m. g. s/t P = ,81. 27/180 P = 1 471,5 W = 1,5 kw (přibližně) Výkon jeřábu je přibližně 1,5 kw. Příklad 2: Žák vzepřel činku o hmotnosti 30 kg do výše 1,8 m za 1,0 s. Určete jeho výkon. Pohyb činky považujte za rovnoměrný. m = 30 kg h = 1,8 m t = 1,0 s P =? [W] P = W/t P = F.h/t P = m. g. h/t P = 30. 9,81. 1,8/1 5

6 P = 530 W (přibližně) Výkon žáka byl asi 530 W. Příklad 3: Motor pracuje s výkonem 0,6 kw po dobu 4 hodin. Jak velikou mechanickou práci vykoná? P = 0,6 kw = 600 W t = 4 h = s W =? [J] P = W/t, proto W = P. t W = W = J = 8,64 MJ Motor vykoná práci 8,64 MJ. 4. Mechanický výkon - procvičovací příklady Jeřáb má zvednout během osmihodinové pracovní směny 3000 t stavebního materiálu do výšky 9 m. Jaký průměrný výkon musí mít motor? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 9,4 kw 2. Určete výkon motoru elektrického vrátku, který vytáhne náklad 150 kg rovnoměrným pohybem do výšky 20 m za 25 s. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 1,2 kw Motor mopedu má stálý výkon 1 kw po dobu jízdy 1,5 h. Jak velkou mechanickou práci motor vykoná? OK 5,4 MJ 4. Za jak dlouho vykoná stroj, který má výkon 2 kw, práci 1000 J? OK 0,5 s 5. Motor o výkonu 300 W vykonal práci J. Kolik sekund na to potřeboval? OK 40 s 6. Čerpadlo načerpá 50 m 3 vody do nádrže ve výšce 15 m za 10 minut. Určete v kilowattech průměrný výkon motoru čerpadla, nepřihlížíme-li ke ztrátám. Hustota vody je 1000 kg/m 3, hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 12,5 kw Těleso o hmotnosti 500 kg bylo zdviženo pomocí jeřábu svisle vzhůru po dráze 12 m rovnoměrným pohybem za 1 minutu. Určete průměrný výkon motoru jeřábu. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 1 kw Výtah dopraví náklad o hmotnosti 250 kg do výšky 3,0 m za 10 s rovnoměrným pohybem. Hmotnost klece výtahu je 100 kg. Jaký je průměrný výkon motoru výtahu? Třecí síly zanedbáváme. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK W 782 6

7 9. Automobil se pohybuje rychlostí 72 km/h, jeho tažná síla je N. Jaký výkon má motor automobilu? OK 24 kw 10. Koulař udělí za 1,2 s kouli pohybovou energii J. Určete průměrný výkon koulaře. OK 830 W 11. Buchar o hmotnosti 500 kg provádí 40 úderů za minutu. Jaký je průměrný výkon motoru bucharu, je-li zdvih kladiva 0,8 m? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 2,7 kw Automobil jede po rovině rovnoměrným pohybem rychlostí 72 km/h a překonává přitom tření N. Určete výkon motoru automobilu. OK 20 kw 13. Těleso o hmotnosti 50 kg se má zvednout do výše 10 m za 15 s. Jaký výkon je k tomu potřeba? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 333 W 14. Automobil jede rychlostí 54 km/h. Jeho výkon je 36 kw. Určete velikost tažné síly. OK 2,4 kn 15. Jeřáb zvedá břemeno o hmotnosti 200 kg rychlostí 1 m/s. Určete průměrný výkon jeřábu. Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 2 kw 16. Určete výkon motoru výtahu, jestliže zvedne rovnoměrným pohybem těleso o tíze N do výšky 10 m za 12 s. OK 1 kw Mechanická energie Energie tělesa je schopnost pohybujícího se tělesa konat práci. Energii máme: kinetickou (pohybovou) potenciální (polohovou) Pozn.: Příklady jiných forem uvedených energií (elastická energie = potenciální; např. pero v budíku) Pozn.: Shora uvedená definice je definicí kinetické energie. Energie tělesa je tím větší, čím větší práci je těleso schopno vykonat. Mírou velikosti energie je velikost práce. Jednotky energie jsou stejné jako jednotky práce. Energii značíme E 1. Kinetická energie E k = W = F. s = m. a. at 2 /2 = m. (a. t) 2 /2 = m. v 2 /2 v... rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu Příklad 1: Náboj o hmotnosti 20 g je vystřelen z hlavně rychlostí 600 m/s. Určete jeho kinetickou energii v okamžiku, kdy opouští hlaveň. 7

8 v = 600 m/s m = 20 g = 0,02 kg E k =? [J] E k = m. v 2 /2 E k = 0, /2 E k = J Kinetická energie náboje je J. 2. Potenciální energie Zvedáme-li těleso do výšky h, konáme práci. Zvedané těleso tuto práci spotřebovává. Tato práce je vlastně potenciální energií zvedaného tělesa. E p = m. g. h Potenciální energie se tedy rovná součinu tíhy tělesa a jeho výšky. Různé druhy potenciální energie: gravitační energie elastická energie Gravitační energie je podmíněna tíhou tělesa. Elastická energie je podmíněna pružností tělesa (vzájemným silovým působením molekul) Kinetickou a potenciální energii nazýváme souhrnně energií mechanickou. Příklad 2: V přehradě padá za sekundu 2000 m 3 vody z výšky 37 m. Určete potenciální energii tohoto množství vzhledem k hladině přehrady. V = m 3 h = 37 m = 1000 kg/m 3 E p =? [J] E p = m. g. h =. V. g. h E p = , E p = J = 726 MJ (přibližně) Potenciální energie daného množství vody je přibližně 726 MJ. Zákon zachování energie Energie nevzniká, ani nezaniká. Mění se pouze ve stejném množství jedna její forma v jinou nebo přechází z jednoho tělesa na těleso druhé. 8

9 Příkladem, kde se dá dobře vysvětlit přeměna energie, je matematické kyvadlo. Je-li kulička v krajní poloze, má největší potenciální energii a nulovou kinetickou, při průchodu rovnovážnou polohou je tomu naopak. (Zanedbáváme jakékoliv ztráty třením) Zákon zachování energie platí pro jakékoliv druhy energie; může se tedy měnit např. energie elektrická na světelnou, mechanickou, apod. Účinnost Účinností rozumíme poměr výkonu P 2 získávaného z nějakého zařízení a výkonu P 1 (příkonu) přiváděného témuž zařízení. = P 2 /P 1 Účinnost je bezrozměrná veličina, pro niž platí, že vždy je větší nebo rovna nule a menší nebo rovna jedné. Zpravidla se udává v procentech. U skutečných zařízení dochází vždy ke ztrátám, takže účinnost každého zařízení je menší než 1 (menší než 100 %). Protože výkon je určen podílem práce a času, je možno účinnost určit i změřením dodané a vykonané práce nebo energie za určitou dobu. = P 2 /P 1 = (P 2. t)/(p 1. t) = W 2 /W 1 = E 2 /E Ukázkové příklady: Příklad 3: Stříkačka vrhá za minutu 200 litrů vody do výšky 30 m. Jaký je příkon čerpadla, je-li účinnost zařízení 65%? Hustota vody je 1000 kg/m 3, hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. V = 200 l = 0,2 m 3 h = 30 m = 65 % = 0,65 = 1000 kg/m 3 t = 1 min = 60 s P 1 =? [W] = P 2 /P 1... proto P 1 = P 2 / (1) Vypočteme si nejprve P 2 : P 2 = W 2 /t = m. g. h/t =. V. g. h/t 9

10 P 2 = , /60 P 2 = 1000 W Dosadíme do (1): P 1 = 1000/0,65 P 1 = 1,54 kw (přibližně) Příkon čerpadla je asi 1,54 kw. 6. Mechanická energie - procvičovací příklady 1. Klec těžního stroje o hmotnosti 400 kg vyjíždí rovnoměrným pohybem z těžní jámy hluboké 520 m na povrch. Jak velkou polohovou (potenciální) energii vzhledem ke dnu těžní jámy získá klec? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 2,1 MJ Stroj vykoná práci 30 MJ za 1 hodinu. Jaký musí být příkon stroje v kilowattech, je-li jeho účinnost 80 %? OK 10,42 kw Jakou polohovou (potenciální) energii vzhledem ke kulatině má beranidlo o hmotnosti 500 kg ve výši 0,5 m nad zaráženou kulatinou? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 2,5 kj Jak se změní polohová (potenciální) energie kladiva o hmotnosti 45 kg, jestliže ho zvedneme do výšky 1,6 m? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK Zvýší se o 720 J Jeřáb zvedá panel o hmotnosti 100 kg do výšky 15 m rovnoměrným pohybem. Jak se změní polohová (potenciální) energie panelu? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK Zvýší se o 15 kj 6. Jak se změní polohová (potenciální) energie hodinového závaží o hmotnosti 0,5 kg, jestliže ho vytáhneme do výšky 50 cm? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK Zvýší se o 2,5 J Jak velkou polohovou (potenciální) energii má cihla o hmotnosti 5 kg ve výšce 20 m nad zemí? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 1 kj 8. Střela o hmotnosti 20 g je vystřelena kolmo vzhůru do výšky 300 m. jaká je její polohová (potenciální) energie v nejvyšším bodě dráhy vzhledem k Zemi? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 60 J 9. Jak velkou polohovou (potenciální) energii má 1 m 3 vody na Slapské přehradě vzhledem k hladině vody pod přehradou, je-li rozdíl nadmořských výšek hladiny přehradního jezera a hladiny vody pod přehradou 52 m? Hustota vody je 1000 kg/m 3, hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 520 kj Určete, jakou pohybovou energii má kladivo před tím, než dopadne na hlavičku hřebíku, působí-li po dopadu na hřebík silou 600 N a zatlačí ho do dřeva o 5 mm. OK 3 J Určete účinnost spotřebiče, když jeho výkon je 180 W a jeho příkon je 200 W. OK 90 %

11 12. Jaký příkon musí mít motor rychlovýtahu, který vynese kabinu, která má i s cestujícími hmotnost 500 kg do výšky 30 m za 10 s, je-li účinnost motoru 80%? Hodnota tíhového zrychlení je 10 m/s 2. OK 18,75 kw

12 Obsah 1. Mechanická práce 2. Mechanická práce - procvičovací příklady 3. Mechanický výkon 4. Mechanický výkon - procvičovací příklady 5. Mechanická energie 6. Mechanická energie - procvičovací příklady