VYUŽITÍ POJISTNÉ MATEMATIKY V PRAXI S DŮRAZEM NA ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ

Transkript

1 Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Finance VYUŽITÍ POJISTNÉ MATEMATIKY V PRAXI S DŮRAZEM NA ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ Actuarial mathematics utilization in routine with focus on life insurance Diplomová práce Vedoucí diplomové práce: Mgr. Silvie Kafková Autor: Bc. Pavel MAREK Brno, 2015

2

3

4

5 Jméno a příjmení autora: Název diplomové práce: Název práce v angličtině: Katedra: Vedoucí diplomové práce: Bc. Pavel Marek Využití pojistné matematiky v praxi s důrazem na životní pojištění Actuarial mathematics utilization in routine with stress on life insurance Financí Mgr. Silvie Kafková Rok obhajoby: 2015 Anotace Předmětem práce Využití pojistné matematiky v praxi s důrazem na životní pojištění je vypracování pojistně-matematického kalkulátoru, který bude schopen počítat výši pojistného dle zadaných parametrů pro základní odvětví životního pojištění. Práce je rozdělena do čtyř základních částí, které se rozvíjejí. První část stručně představuje životní pojištění, jeho principy a význam. Druhá pasáž přispívá technickým podkladem, který je dále zužitkován v části následující, která se věnuje již hlavnímu cíli práce tvorbě kalkulátoru. V poslední části kalkulátor testuje na bázi komparace skutečnou nabídku komerčních pojišťoven. Annotation The goal of diploma thesis Actuarial mathematics utilization in routine with stress on life insurance is developing actuary-mathematical calculator able to compute insurance premiums according to entered parameters for basic fields of life insurance. The paper consists of four main parts. First present briefly life insurance, its principles and sense. Second part contributes by technical background, which is closely exploited in following calculator-making process, attempting to deliver the main goal of the thesis. The final section deals with testing the calculator on the basis of comparison to real commercial insurance companies offers. Klíčová slova Životní pojištění, kalkulátor, pojistná matematika, srovnání Keywords Life insurance, calculator, actuarial mathematics, comparison

6

7 Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Využití pojistné matematiky v praxi s důrazem na životní pojištění vypracoval samostatně pod vedením Mgr. Silvie Kafkové, a uvedl v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU. V Brně dne 15. května 2015 vlast no ruč ní podpis aut o ra

8

9 Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval paní Mgr. Silvii Kafkové za cenné připomínky a odborné rady, kterými přispěla k vypracování této diplomové práce. Dále bych rád poděkoval rodině a přátelům za podporu, speciálně pak kamarádce Ivaně. Dík patří také zaměstnancům pojišťoven, kteří mi poskytli cenné informace pro praktickou část práce.

10

11 OBSAH ÚVOD CÍL PRÁCE A METODIKA ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ ZAŘAZENÍ ŽIVOTNÍHO POJIŠTĚNÍ TYPY ŽIVOTNÍHO POJIŠTĚNÍ ZÁKLADNÍ POJMY CENA ZA POJIŠTĚNÍ ZÁKLADNÍ PRINCIPY POJIŠTĚNÍ OSOB Princip fiktivního souboru Princip ekvivalence PRÁVNÍ ÚPRAVA POJISTNĚ-TECHNICKÉ REZERVY MODELOVÁNÍ ÚMRTNOSTI DÉLKA ŽIVOTA ÚMRTNOSTNÍ TABULKY VELIČINY ÚMRTNOSTNÍCH TABULEK KOMUTAČNÍ ČÍSLA Komutační čísla pro živé Komutační čísla pro mrtvé HODNOTA POJIŠTĚNÍ KALKULACE POJISTNÉHO JEDNORÁZOVĚ PLACENÉ NETTO POJISTNÉ Pojištění pro případ dožití věku x + n Pojištění pro případ smrti - trvalé Pojištění pro případ smrti - dočasné Pojištění pro případ smrti odložené o t let trvalé Pojištění pro případ smrti odložené o t let dočasné Pojištění pro případ smrti s lineárně rostoucí částkou Smíšené pojištění na dobu n let JEDNORÁZOVĚ PLACENÉ DŮCHODOVÉ POJIŠTĚNÍ... 42

12 4.2.1 Bezprostřední doživotní důchod Bezprostřední dočasný důchod Odložený doživotní důchod Odložený dočasný důchod Doživotní předlhůtní důchod s garancí vyplácení prvních n let Doživotní předlhůtní důchod rostoucí lineárně BĚŽNĚ PLACENÉ NETTO POJISTNÉ Výpočet běžného netto pojištění placeného ročně Výpočet běžného netto pojištění placeného m-krát ročně Výpočet pojištění s pevnou dobou výplaty (pojištění à terme fixe) BRUTTO POJISTNÉ Výpočet jednorázového brutto pojistného Výpočet běžného brutto pojistného kde m = n Výpočet běžného brutto pojistného kde m < n Výpočet področně placeného brutto pojištění PŘEVOD ÚMRTNOSTNÍCH TABULEK KALKULÁTOR ŽIVOTNÍHO POJIŠTĚNÍ DOPLŇKOVÉ LISTY VÝPOČETNÍ LISTY PRAKTICKÁ ČÁST - SROVNÁNÍ NABÍDKY ŽIVOTNÍCH POJIŠŤOVEN s teoretickými výsledky POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD DOŽITÍ POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ SEZNAM TABULEK SEZNAM OBRÁZKŮ SEZNAM GRAFŮ SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK SEZNAM PŘÍLOH PŘÍLOHY... 81

13 ÚVOD Člověk ve své jednoduchosti a podřízenosti přírodě se není schopen oprostit od rizik všeho druhu, se kterými se ve svém životě potká. Některá z nich mohou rezultovat v úmrtí daného člověka, což negativně ovlivní jeho nejbližší okolí, které na něm z velké části závisí. Trhy se statky a službami naštěstí reagují na lidské potřeby a již v dávném starověku se zrodila jednoduchá myšlenka pojištění, jakožto za úplatu nabyté ochrany proti rizikům. Není možné zamezit pojistnému nebezpečí v podobě smrti, neboť metafyzické zákony člověk nevytvořil a nikdy je ani pod kontrolu dostat nemůže, co však životní pojištění nabízí je závazek jejího upisovatele vyplatit pojistné plnění v případě tragické události smrti pojištěného. Jak praví rada známé americké finančnice Suze Orman Pokud máte manželku, životního partnera nebo rodiče závislé na vašem příjmu, pak potřebujete životní pojištění. Touto diplomovou prací na téma Využití pojistné matematiky v praxi s důrazem na životní pojištění si kladu za cíl zabrousit do specifik pojistné matematiky takovým způsobem, aby byla dostatečně přiblížena každému čtenáři, který životní pojištění má sjednáno, jeho pořízení zvažuje, nebo ho má jen chuť poznávat. K dispozici nabízím také mnou vytvořený kalkulátor pojistného pro základní odvětví životního pojištění, který determinuje spravedlivou cenu, která náleží poskytovateli pojištění, pokud odhlédne od ziskového motivu. Dovolte mi však nejprve představit celkovou strukturu práce. Po okénku věnovanému cílům práce a metodice budu pokračovat obecnou charakteristikou životního pojištění. Řeč padne na jeho zařazení v základní taxonomii pojistných odvětví a bližší rozdělení na obvyklé produkty. Pro úplnost a vyhnutí se případným nejasnostem v často používané terminologii uvedu základními pojmy. Lehce nastíněna bude cena za pojištění pojistné, právní úprava životního pojištění a pojistně-technické rezervy. Jedna ze zásadních podkapitol celé práce se věnuje základním principům v pojištění osob, aneb principu fiktivního souboru a principu ekvivalence. Kapitola s číselným označením tři je již více technická. Zavádí statistickou náhodnou veličinu délky života, která úzce souvisí s úmrtnostními tabulkami, těm se budu věnovat velmi pečlivě. Zmíním jejich typy, veličiny v nich obsažené a jejich vzájemné vztahy. Závěr kapitoly bude 13

14 patřit komutačním číslům, které výrazně zjednodušují výpočty. Závěr kapitoly se zabývá aparátem výpočtu hodnoty pojištění. Čtvrtá část je čistě pojistně-matematická. Klade si za cíl položit pevný základ pro aplikaci pojistných vzorců do kalkulátoru pojistného. V dohromady čtyřech oddílech této kapitoly bude věnována pozornost výpočtu netto pojistného základních složek rizikového a důchodového pojištění. Následně budou modely ještě vylepšeny zavedením běžného a brutto pojistného. Již zmíněné úmrtnostní tabulky budou předmětem zájmu také v páté kapitole. Bude zde řešen parciální cíl práce, aneb převod genderově oddělených tabulek zveřejněných Českým statistickým úřadem na tabulky nediskriminující podle pohlaví. Nutnost tohoto opatření vzniká na základě negativní harmonizace Evropského soudního dvora skrze rozsudek ve věci C- 236/09. Šestá část se již věnuje prezentaci konstrukcí a mechaniky kalkulátoru životního pojištění, který je vytvořen v tabulkovém procesoru balíčku MS Office Excel. Je schopen počítat brutto i netto pojistné dle zvolených kritérií, a to pro šest odvětví životního pojištění. Po půltuctu, co do povahy spíše deskriptivních oddílů, přijde čas i na praktickou aplikaci. Pro imaginární zákazníky budou kalkulátorem vypočítány ceny životního pojištění na míru a následně komparovány s nabídkou vybraných komerčních pojišťoven. 14

15 1 CÍL PRÁCE A METODIKA Hlavním cílem diplomové práce je vytvoření kalkulátoru životního pojištění, který bude schopen počítat výši pojistného pro různé parametry zadané klientem. Výsledky budou komparovány se současnou nabídkou vybraných českých pojišťoven. Jakožto doplňkový parciální cíl, který podpírá cíl hlavní, bude odvození úmrtnostních tabulek společných pro muže i ženy. Ty jsou Českým statistickým úřadem zveřejňovány pouze kategorizovaně, nicméně od 21. prosince 2012 již nesmí pohlaví hrát žádnou roli při určování pojistného v životním pojištění. Jako základní metody pro realizaci práce jsem použil komparaci, která posloužila při porovnávání nabídek tuzemských pojišťoven mezi sebou a s výstupy kalkulátoru; syntézu, která se uplatňuje jako spojovací most teoretické a praktické části; analýzu, jejímž účelem bylo rozštěpit informace komplexního charakteru na elementární součásti, na jejichž základě jsem detekoval obecné zákonitosti. Nejvíce užívanou oblastí metodologie je však kvantitativní analýza, zejména pojistně-matematická kalkulace, která je okrajově prokrvována statistickými vsuvkami, a to především v části odvozování pojistně-matematických vzorců. Sekundárními metodami byla dedukce využitá k formulaci úsudku na základě premis, využitá v praktické části, a indukce, uplatněná při formulování obecných závěrů práce. Při zhotovování práce jsem čerpal zejména z dostupné literatury, internetových zdrojů kupříkladu dat Českého statistického úřadu, České národní banky či legislativy. V praktické části jsem čerpal informace především z dat českých komerčních pojišťoven získaných jejich přímým kontaktováním. Celá práce je postavena na čtyřech pilířích, kterými jsou teoretická část k životnímu pojištění, část zabývající se modelováním úmrtnosti a odvozováním pojistného pro vybrané případy životního pojištění. V třetí pasáži je navržen převod úmrtnostních tabulek nediskriminujících klienty na základě pohlaví a závěrečná praktická část zahrnuje komparaci nabídek životních pojišťoven. 15

16 2 ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ Pro lepší orientaci mi na úvod dovolte zařadit obecné životní pojištění v celém systému pojišťovnictví. 2.1 Zařazení životního pojištění Formu pojištění lze dělit dle četných hledisek, nicméně pro účely této práce berme jako výchozí klasifikaci dle přílohy 1 zákona o pojišťovnictví č. 277/2009 Sb. neboli dělení na životní a neživotní pojištění. Rozdíl mezi nimi je patrný už z jejich názvů. Neživotní pojištění je zaměřeno na pojištění majetku, odpovědnosti za škodu, úvěrů, léčebných výloh a šomážní pojištění. Životní pojištění lze dělit na pojištění: 1 pro případ smrti, pro případ dožití, pro případ dožití se stanoveného věku nebo dřívější smrti, spojených životů, s výplatou zaplaceného pojistného, svatební pojištění nebo pojištění prostředků na výživu dětí, důchodové pojištění, pojištění výše uvedeného spojeného s investičním fondem, kapitálové činnosti o umořování kapitálu založené na pojistně matematickém výpočtu, jimiž jsou proti jednorázovým nebo periodickým platbám dohodnutým předem přijaty závazky se stanovenou dobou trvání a ve stanovené výši, o správa skupinových penzijních fondů, o činnosti doprovázené pojištěním zabezpečujícím zachování kapitálu nebo platbu minimálního úroku, o pojištění týkající se délky lidského života, které je upraveno právními předpisy z oblasti sociálního pojištění, pokud zákon umožňuje jeho provádění pojišťovnou na její vlastní riziko. pojištění úrazu nebo nemoci jako doplňkové pojištění k výše uvedeným 1 Příloha A zákona č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů 16

17 Samostatné úrazové pojištění je klasifikováno jako neživotní, nicméně přesto jej v nemalé míře pojišťovny klientům prezentují jako produkt životního pojištění. V této práci však nebude úrazovému pojištění věnován prostor. Dle výroční zprávy ČAP 2 v roce 2013 byl podíl zaplaceného pojistného vůči HDP roven 4 %, z čehož neživotní pojištění tvořilo 55 %, na životní pojištění zbylo 45 %. Ve světě je přitom poměr přibližně opačný. 2.2 Typy životního pojištění Životní pojištění (též pojištění osob) má svoje specifika. Historicky má delší tradici pojištění pro případ smrti, které již odpradávna krylo rizika skonání člena rodiny, čímž vznikaly pozůstalým nezanedbatelné náklady. Ty musely reálně zabezpečit pokud možno důstojný pohřeb i se vším co k němu patří. Pokud se navíc jednalo o osobu, která rodinu materiálně živila, tak výplata pojistného plnění poskytovala rodině dočasný finanční polštář. Později vzniknuvší pojištění dožití zase funguje jako variace spoření, které může nabývat různých podob jako např. důchodové pojištění nebo pojištění stipendijní, věnové či mládeže. Pojištění lze sjednat pouze jako obnosové, což lze vyvodit z titulu zákonitostí života a smrti. Smíšené pojištění alias kombinace rizika smrti a dožití může být sjednáno samostatně, potom je nazýváno rizikovým pojištěním, nebo ve formě kapitálového či investičního životního pojištění. V životním pojištění jsou vedeny zpravidla dlouhodobější pojistné smlouvy, které jsou buď dočasné, anebo jako v případě rizika smrti i trvalé. Pojistná událost nastává, pokud pojištění zemře. U trvalých pojistných smluv je tedy jisté, že dříve či později se pojistné plnění uskuteční, neboť lidský život je prchavý a časově omezený. V případě pojištění na dožití se jako podmínka pojistného plnění určuje dožití se sjednaného věku, nicméně i pokud pojištěný v průběhu doby zemře a podmínky smlouvy to umožňují, mohou obmyšlení část zaplaceného pojistného získat zpět. Smíšené pojištění je stejně jako trvalé pojištění pro případ smrti konstruováno s jistotou 2 Výroční zpráva: In: Česká asociace pojišťoven [online] [cit ]. Dostupné z: 17

18 budoucího pojistného plnění v případě dožití se sjednaného věku jej inkasuje pojištěný, v případě smrti obmyšlení. 2.3 Základní pojmy V této podkapitole si zavedeme důležité pojmy, se kterými budeme v pozdějším textu pracovat. obmyšlený (oprávněná osoba) 3 - osoba, které v důsledku pojistné události vznikne právo na pojistné plnění obnosové pojištění - soukromé pojištění, jehož účelem je získání obnosu, tj. dohodnuté finanční částky v důsledku pojistné události ve výši, která je nezávislá na vzniku nebo rozsahu škody odkupné (odbytné, odkup) finanční částka, kterou pojistník dostane v případě rozhodnutí odstoupit od smlouvy v průběhu placení pojistného pojistitel je provozovatel pojištění (zpravidla pojišťovna) pojistná částka - nejvyšší finanční částka určená pojistnou smlouvou, jež může být vyplacena, dojde-li k pojistné události pojistná doba - doba, na kterou bylo pojištění sjednáno pojistná událost - nahodilá skutečnost blíže označená v pojistné smlouvě nebo ve zvláštním právním předpisu, na který se pojistná smlouva odvolává a se kterým je spojen vznik povinnosti pojistitele poskytnout pojistné plnění pojistné cena za poskytování pojistné ochrany pojistné nebezpečí - možná příčina vzniku pojistné události pojistné riziko míra pravděpodobnosti vzniku pojistné události vyvolané pojistným nebezpečím. Musí být: identifikovatelné, pro pojišťovnu ekonomicky přijatelné, projev rizika musí být náhodný a ztráta z realizace rizika vyčíslitelná. pojistně-technické riziko riziko pojistitele, které spočívá v potenciálním nebezpečí, že ve skutečnosti nedojde k vyrovnání mezi přijatým pojistným a vyplaceným pojistným plněním. pojistník 4 je fyzická osoba nebo právnická osoba, která s pojistitelem uzavřela pojistnou smlouvu a má povinnost platit pojistné zákona č. 89/2012 Sb., občanského zákoníku, ve znění pozdějších předpisů 4 CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika:teorie a praxe:1.vyd. Praha: Ekopress, 1999, 398 s. ISBN s

19 pojistný kmen - soubor uzavřených pojistných smluv, ve kterém se uplatňuje pravděpodobnost, neurčitost a zákon velkých čísel pojistný vztah vztah mezi pojistiteli a pojistníky na základě pojistné smlouvy pojistný zájem 5 - oprávněná potřeba ochrany před následky nahodilé skutečnosti vyvolané pojistným nebezpečím, jeho existence je nutným předpokladem k uzavření pojistné smlouvy pojištěný (pojištěnec, účastník) 6 osoba, na jejíž život, zdraví, majetek nebo odpovědnost nebo jinou hodnotu pojistného zájmu se pojištění vztahuje škodové pojištění 7 - při škodovém pojištění poskytne pojistitel pojistné plnění, které v ujednaném rozsahu vyrovnává úbytek majetku vzniklý v důsledku pojistné události 2.4 Cena za pojištění Za pojistnou ochranu je nutné platit tzv. pojistné. Může být splaceno jednorázově při sepsání pojistné smlouvy nebo průběžně, přičemž v tom případě hovoříme o běžně placeném pojistném. Existuje také možnost placení mimořádného pojistného, tedy nepravidelnou splátkou, kterou lze získat daňové výhody. V teoretické rovině lze pojistné rozlišovat dvojího druhu, a to netto pojistné a brutto pojistné. Zjednodušeně řečeno brutto pojistné (hrubé pojistné) zahrnuje oproti netto pojistnému také bezpečnostní přirážky na pokrytí počátečních, správních, inkasních a jiných nákladů. Větší pozornost bude pojistnému věnována v třetí kapitole. Již nyní si však uveďme, z jakých složek sestává celkové pojistné. CP = π + BN + Z + PnZŠ + jiné přirážky (2.4.1) CP Celkové pojistné π... Netto pojistné BN Poplatky pojišťovny na hrazení počátečních, správních, inkasních a dalších nákladů PnZŠ Příspěvek na zábranu škod Z Zisková přirážka zákona č. 89/2012 Sb., občanského zákoníku, ve znění pozdějších předpisů zákona č. 89/2012 Sb., občanského zákoníku, ve znění pozdějších předpisů zákona č. 89/2012 Sb., občanského zákoníku, ve znění pozdějších předpisů 19

20 2.5 Základní principy pojištění osob V pojištění se setkáváme s řadou principů. Těmi nejzákladnějšími jsou tradičně principy solidarity, podmíněné návratnosti a neekvivalentnosti. V pojistné matematice životního pojištění osob se vychází z dalších principů. V této části práce bude kladen důraz na princip fiktivního souboru a princip ekvivalence Princip fiktivního souboru Princip spočívá v předpokladu, že všechny osoby, které jsou ve věku x naživu uzavřou stejný typ životního pojištění. Počet těchto osob je roven ukazateli l x z použité úmrtnostní tabulky. Pojišťovna zároveň předpokládá, že všechny osoby pro každou úroveň l x se narodily 1. ledna a zemřely 31. prosince. V realitě je to samozřejmě nemožné z mnoha důvodů, mimo jiné už proto, že pojišťovny nejsou ochotny pojistit každého. Často nepojišťují děti a mladistvé stejně jako osoby nemocné či postižené. Pro ty co pojistí, používají výpočty na bázi úmrtnostních tabulek. Ty však obsahují jak osoby zdravé, tak nemocné. Stejně tak ne všechny osoby se pojišťují v České republice mělo v průběhu roku 2014 životní pojištění 39 % 8 obyvatel, přičemž se jednalo o různé druhy životního pojištění v celkem 21 pojišťovnách, které v tuzemsku tehdy nabízeli základní životní pojištění. 9 Přestože předpoklad fiktivního souboru odporuje skutečnosti, používá se a vede k výsledkům dostatečně přesným pro praktické použití Princip ekvivalence Zatímco princip neekvivalentnosti vychází z pohledu klienta, a to intuitivního předpokladu, že peníze, které klient ve výsledku od pojišťovny inkasuje za pojistná plnění, se nemusí shodovat s celkovým zaplaceným pojistným, princip ekvivalence vychází z hospodaření pojišťovny. Příjmy pojišťovny (očekávaná počáteční hodnota inkasovaného pojistného) = Výdaje pojišťovny (očekávaná diskontovaná hodnota pojistného plnění) (2.5.1) 8 Kvalita prodeje životního pojištění je nízká, provize poradců vysoké. idnes [online] [cit ]. Dostupné z: 9 Celkový přehled počtu subjektů ke dni : Pojištovny a zajištovny. Česká národní banka [online]. [cit ]. Dostupné z: 20

21 Na uvedeném vztahu jsou postaveny veškeré výpočty jak v životním, tak v neživotním pojištění. V praxi jsou však často příjmy vyšší než výdaje a tento nekalkulovaný zisk pak pojišťovny vedle odčerpání jeho části na akcionáře přerozdělují zpět klientům jako jejich podíl na zisku. 10 Kdyby se však pojišťovny zaměřovaly pouze na uvedenou rovnici, bylo by to značně velkým pojistně-technickým rizikem. Náhodný charakter finančních toků na obou stranách se potom obchází zejména tak, že se pracuje s očekávanými hodnotami aneb středními hodnotami příslušných náhodných veličin. 2.6 Právní úprava V současnosti je zásadním dokumentem pro průběh pojistného vztahu nový občanský zákoník č. 89/2012 Sb. (dále NOZ), který vstoupil v platnost 1. ledna 2014 a prakticky nahradil zákon č. 37/2004 Sb., o pojistné smlouvě. Jedná se o nejdůležitější dokument soukromého práva. Druhým zásadním dokumentem je v současné době zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, který je naopak významný z pohledu práva veřejného. Rámcově se tématu mohou dotýkat i další předpisy, např. devizové a daňové, o správním řízení či trestní právo. Nový občanský zákoník se věnuje problematice pojistné smlouvy v ustanoveních 2758 až Nově zavádí pojem pojistný zájem, který je základním předpokladem k uzavření a trvání pojistného vztahu. Pojistným zájem 11 je dle NOZ oprávněná potřeba ochrany před následky pojistné události. U životního pojištění se automaticky počítá s tím, že má pojistník pojistný zájem na vlastním životě a zdraví. Má se za to, že pojistník má pojistný zájem i na životě a zdraví jiné osoby, pokud osvědčí zájem podmíněný vztahem k této osobě, ať již vyplývá z příbuzenství nebo je podmíněn prospěchem či výhodou z pokračování jejího života 10 CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika:teorie a praxe:1.vyd. Praha: Ekopress, 1999, 398 s. ISBN s zákona č. 89/2012 Sb., občanského zákoníku, ve znění pozdějších předpisů 21

22 2.7 Pojistně-technické rezervy Kvůli existenci pojistně-technického rizika v životním i neživotním pojištění je každá pojišťovna, dokonce ze zákona, povinna vytvářet celou řadu rezerv finančních prostředků. Tyto se nazývají pojistně-technické nebo jen pojistné či technické rezervy. V České republice stanovuje tvorbu, použití i způsob umístění prostředků zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví a vyhlášky ministerstva financí (např. vyhláška č. 434/2009 Sb.). Pro oblast životního pojištění zmiňuje zákon o pojišťovnictví následující pojistné rezervy 12 : Rezerva na nezasloužené pojistné - odpovídá části předepsaného pojistného, která časově souvisí s následujícím nebo s pozdějším účetním obdobím Rezerva na pojistná plnění je určena na likvidaci pojistné události v běžném i budoucím účetním období, často je sem převáděna rezerva životních pojištění Rezerva pojistného životních pojištění 13 - je zpravidla co do objemu velikosti rezerv největší rezervou. Vypočítává se podle jednotlivých smluv životních pojištění a je určena ke krytí budoucích závazků ze životních pojištění. Při výpočtu se používá stejných statistických dat a téže technické úrokové míry, jichž bylo použito při výpočtu sazeb pojistného Rezerva na prémie a slevy - se tvoří v souladu s pojistnými smlouvami a používá se ke krytí nákladů na prémie a slevy poskytnuté v souladu s pojistnými smlouvami. Rezerva životních pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník 14 - je určena na krytí závazků pojišťovny vůči pojistníkovi u těch odvětví životních pojištění, kdy na základě pojistné smlouvy investiční riziko nese pojistník Rezerva na splnění závazků z použité technické úrokové míry a ostatních početních parametrů se tvoří tehdy, pokud by výše rezervy pojistného životních pojištění nedosahovala výše zjištěné při použití současných odhadů hodnoty technické úrokové míry a ostatních početních parametrů použitých při ohodnocení výše přijatých závazků. Rezerva pojistného neživotních pojištění zákona č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů zákona č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů zákona č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů 22

23 3 MODELOVÁNÍ ÚMRTNOSTI Matematika životního pojištění kombinuje finanční matematiku s matematickým modelováním úmrtnosti, neboť pojistná událost v rámci pojištění osob spočívá v úmrtí nebo dožití se určitého věku. 15 Úmrtnost lze charakterizovat jako množinu stavů naživu a mrtvý, přičemž lze jednoznačně rozhodnout, který z nich je aktuální. Zároveň se předpokládá nahodilost okamžiku úmrtí a nemožnost návratu k životu. Úmrtnost se modeluje zejména pravděpodobnostní statistikou. V této i následující kapitole budu uvádět či odvozovat základní pojistněmatematický aparát, který je moudré členit do vzorců, které jsou pro přehlednost číslovány. 3.1 Délka života Život lidského jedince lze chápat jako náhodnou veličiny T0, která měří v rocích dobu od jeho narození po úmrtí. Obvykle se měří celočíselně s tím, že na časové ose může nabývat i neceločíselných spojitých hodnot. Abychom byli schopni dobře uchopit a modelovat úmrtnost, je nutné získat představu o jeho pravděpodobnostním rozložení. Intuitivně bychom předpokládali, že s přibývajícím věkem se bude pravděpodobnost úmrtí zvyšovat, přičemž výjimku tvoří proces narození a rané dětství, kdy je zdraví dítěte nejkřehčí. Zaveďme si distribuční funkci náhodné veličiny T0: F0 (t) = P (T0 t) (3.1.1) Distribuční funkce F0 (t) v podstatě vyjadřuje pravděpodobnost, že osoba zemře nejpozději v časový okamžik t. Kvůli spojitosti veličiny (unikátnosti časového okamžiku) platí taktéž: F0 (t) = P (T0 < t) (3.1.2) Pokud bychom rezignovali na spojitost a t nahradili celočíselným věkem x, platila by pro Českou republiku v roce 2013 distribuční funkce F 0 (x), uvedená v příloze CIPRA, Tomáš. Pojistná matematika:teorie a praxe:1.vyd. Praha: Ekopress, 1999, 398 s. ISBN s

24 Mimo distribuční funkci délky života se zavádí také funkce přežití S0: Ta zase reprezentuje pravděpodobnost jevu, že se jedinec dožije věku t. S0 (t) = P (T0 > t) = 1 - F0 (t) (3.1.3) Uvedených funkcí se nepoužívá jen v oblasti pojišťovnictví, ale také v jiných oblastech zkoumání. Obecně se dají zařadit do analýzy přežití, kde může náhodnou veličinu představovat také např. návrat příznaků nemoci, propuknutí nemoci, rozvod či rozchod páru, recidiva vězně po propuštění, porucha přístroje, skutečnost, že klient přestal splácet úvěr atd. Pro pojištění osob je však zajímavější náhodná veličina T x představující budoucí délku života ve věku x za podmínky, že se daný jedinec dožil věku x. Z toho vyplývá, že nelze jednoznačně T x založit na vztahu T x = T 0 x. Distribuční funkci délky života ve věku x je nutné počítat s pomocí podmíněné pravděpodobnosti. F x (t) = P (T x t) = P (T0 x + t T 0 > x) = P (x < T 0 x+t) P (T 0 >x) = (F 0(x+t) F 0 (x) 1 F 0 (x) (3.1.4) Stejný postup budiž aplikován na funkci přežití: S x (t) = P (T x > t) = P (T0 > x + t T 0 > x) = = P (T 0> x+t) P (T 0 >x) = S 0(x+t) S 0 (x) (3.1.5) Uvedené funkce jsou tedy způsobilé modelovat případy, kdy se jedinec dožije věku x a poté zemře do okamžiku t (podmíněná distribuční funkce délky života) nebo se dožije okamžiku t (podmíněná funkce přežití). Často se v analýzách modelování úmrtnosti používá také tzv. riziková funkce. Ta je speciálním případem F x (t) a označuje situaci, kdy se jedinec dožije okamžiku t a hned v následujícím okamžiku zemře: P (t T h (t) = lim x t+dt T x t) dt 0 dt (3.1.6) 24

25 Jelikož, jak tomu předkládají uvedené funkce, doba trvání konkrétní studie není nekonečná, je k jejich označení přesnější používat odhady F (t)a S (t). Pro zjednodušení práce s výše popsanými funkcemi zavádí pravděpodobnostní matematika životního pojištění zjednodušující veličiny. Ty budou předmětem zkoumání v podkapitole Úmrtnostní tabulky Byť se může zdát na první pohled nešťastné nebo dokonce na hraně společenské morální snesitelnosti využívat dat tak tragického charakteru jakou jsou úmrtí lidí k ziskovému účelu, každá pojišťovna podnikající v životním pojištění potřebuje určitý datový podklad, ze kterého budou její pojistní matematici schopni co nejlépe odhadnout rizika spojená s poskytováním produktů životního pojištění a stabilizovat tím hospodaření pojišťovny a výši technických rezerv. Již Stalin říkal, že smrt jednotlivce je tragédie, smrt miliónů statistika. A právě ona statistika je pro pojišťovny zásadní. Nejdůležitějším dokumentem k této činnosti jsou úmrtnostní tabulky, které evidují život a umírání lidí dané komunity. Úmrtnostní tabulky jsou tedy demografického základu a poskytují informace o úmrtnosti uzavřené stacionární populace. Krátkodobě se předpokládá, že se složení obyvatelstva nemění jak co do počtu, tak složením (např. z důvodu migrace). Ke změnám však dochází a zjednodušeně se dá říci, že se lidé dožívají čím dál vyššího věku. Každá pojišťovna by tedy měla svoje výpočty přizpůsobovat aktuálním úmrtnostním tabulkám. Pokud by to nedělala, reálně by docházelo k umělému zdražování cen pojistného. Úmrtnostní tabulky mohou být různých typů. Nejčastěji se setkáváme s následujícími typy úmrtnostních tabulek: 16 úplné zkrácené běžné (průřezové) generační 16 CIPRA, Tomáš. Finanční a pojistné vzorce. 1.vyd. Praha: Grada, 2006, 398 s. ISBN X. s

26 Úplné úmrtnostní tabulky znázorňují pro každý rok věku osoby pravděpodobnost smrti do dalších narozenin. Zkrácené nezobrazují každý rok, ale vybrané roky věku osoby, takže fungují na principu víceletých věkových intervalů (často intervaly 0, 1-4, 5-9, 10-14, roků). Běžné úmrtnostní tabulky vycházejí z úmrtnostní zkušenosti populace během krátkého časového období (např. během jednoho roku). Generační typ zase představuje skutečný záznam průběhu života konkrétního ročníku (generace). V praxi pojišťoven samozřejmě převládá typ úplný, zejména ten, který vydává Český statistický úřad 17, neboť pojistný zájem vzniká u pojištěných napříč všemi generacemi a je záhodno, aby byly výpočty co nejpřesnější. Úmrtnost závisí na různých faktorech. Čámský (2004) 18 uvádí 5 základních: věk (opotřebovávání organismu) pohlaví (ženy se z přírodních zákonů dožívají více) povolání (jsou profese nebo odvětví, která jsou rizikovější než jiná) způsob života (spousta subkategorií s nimi spojená např. vesnice vs. město) zdravotní faktory (dědičné nemoci) Uvedené kategorie byly odjakživa v dobrých pojišťovnách zohledňovány. Na základě druhého z faktorů pohlaví byly pojišťovny zvyklé používat dvojí úmrtnostní tabulky pro muže a pro ženy. Zlom přišel z popudu Evropského Soudního dvora, který na základě tradiční liberálnosti a jednoho ze základních lidských práv rovnosti mezi lidmi, tedy i muži a ženami, dal jasně najevo, že toto právo platí i pro tvorbu cen za pojištění. K tomuto rozhodnutí dvůr dospěl na základě věci Test-Achats (C-236/09) 19, jež byla Evropskému soudnímu dvoru předložena belgickým Ústavním soudem. Pro české pojišťovny to ve výsledku znamenalo nutnost zavést 17 Úmrtnostní tabulky. Český statistický úřad [online]. [cit ]. Dostupné z: 18 ČÁMSKÝ, František. Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění. 1.vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2004, 398 s. ISBN s C-236/09 - Association Belge des Consommateurs Test-Achats: Rozsudek Soudního dvora (velkého senátu) ze dne 1. března InfoCuria: Judikatura Soudního dvora [online]. [cit ]. Dostupné z: 26

27 stejné unisexové úmrtnostní tabulky a relativní zdražení pojistného pro ženy a zlevnění pojistného pro muže. Účinek této negativní harmonizace je platný od 21. prosince Český statistický úřad (ČSÚ), jakožto hlavní zdroj úmrtnostních tabulek vydává aktuální znění zpravidla jednou ročně přibližně v polovině roku pro rok předcházející (1. července). Nejaktuálnějším zněním v době psaní této práce je verze roku ČSÚ vydává úmrtnostní tabulky pro celou ČR, regiony soudržnosti, kraje, okresy a správní obvody obcí s rozšířenou působností, a to vždy zvlášť pro muže a pro ženy. V této práci budeme pracovat s celorepublikovými úmrtnostními tabulkami pro muže i ženy dohromady, je tedy nutné tabulky pro muže a ženy převést, k čemuž se dostaneme v páté kapitole. Zdravotní faktory zase mohou vést k tomu, že pojišťovny nebudou ochotny některé osoby standardně pojistit, poněvadž jsou rizikovější, než tomu dovolují interní systémy řízení rizik. Říkáme, že pojišťovny provádějí selekci, což do jisté míry nekoresponduje s rozložením úmrtnostních tabulek, které nerozlišují mezi zdravými či nemocnými a obsahují jakýsi agregát celé populace. S trochou nadsázky lze tvrdit, že jedinci právě uzavírající pojištění na nějaký produkt životního pojištění jsou zdravější, než je průměrný stav populace. Neznamená to však, že by rizikovější klienti nebylo možné pojistit. Pojišťovny si obvykle vymiňují zdravotní prohlídku klientů specialistou, který je schopný kvalifikovaně určit reálný zdravotní stav osoby. Pokud je osoba shledána riziková, pojištěna lze být za vyšší pojistné formou lékařského underwritingu. 3.3 Veličiny úmrtnostních tabulek Úmrtnostní tabulky jsou v podstatě matice, jejichž sloupce představují pojistně-matematické veličiny a řádky jejich hodnoty pro konkrétní celočíselný věk. Pojďme si představit ty, se kterými budeme v práci nejvíce manipulovat. Věk x udává počet celých let osoby, přičemž písmenem ω se vyjadřuje nejvyšší možný věk osoby (v úmrtnostních tabulkách pro rok 2013 roven 105 letem). Věk x nahrazuje, v již zmíněné distribuční funkci modelování, úmrtnosti čas t. Na rozdíl od ní však jde o diskrétní veličinu. x ε {0,1,2,3 ω} 27

28 Pravděpodobnost úmrtí q x vyjadřuje pravděpodobnost, že právě x-letá osoba zemře před dosažením věku x + 1. q x ε {0,1,2,, ω}. Platí: ve vztahu k podmíněné distribuční funkci náhodné proměnné délky života: q x = F x (1) = P (T x 1) (3.3.1) Pravděpodobnost dožití p x vyjadřuje pravděpodobnost, že se právě x-letá osoba dožije věku x + 1. q x ε {0,1,2,, ω}. Platí: ve vztahu k podmíněné funkci přežití náhodné proměnné délky života: p x = S x (1) = P (T x > 1) ve vztahu ke q x : p x = 1 q x (3.3.2) (3.3.3) Počet dožívajících l x je hypotetický počet osob, které se dožijí věku x let z tzv. kořene (radixu) obyvatelstva l 0 při odhadnuté úmrtnosti v jednotlivých obdobích. l 0 může nabývat hodnot 0 let nebo nejnižší vstupní věk pro životní pojištění, pokud je pojistník zároveň pojištěným (zpravidla 18 let). Posloupnost l 0, l 1, l 2,, l w vyjadřuje řád vymírání populace (dekrementní řád). 28

29 Platí: l 0 > l 1 > l 2 > > l w. ve vztahu k d x : l x+1 = l x d x l x+2 = l x+1 d x+1 (3.3.4) l x+3 = l x+2 d x l ω = d ω ve vztahu k p x : l x+1 = p x l x (3.3.5) Počet zemřelých d x udává počet osob, které ve výběrovém souboru umírají ve věku x. Zpravidla d x vyjadřuje počet zemřelých za jeden rok. Platí: ve vztahu ke q x a l x : d x = q x l x = p (úmrtí ve věku x) počet žijících ve věku x (3.3.6) Ukazatel n p x udává pravděpodobnost, že osoba ve věku x se dožije dalších n let a tedy dosáhne věku x + n. Platí: ve vztahu k podmíněné distribuční funkci náhodné proměnné délky života: npx = S x (n) = P (T x > n) ve vztahu k l x : npx = l x+n = l x ve vztahu k p x : žijící ve věku x+n žijící ve věku x npx = p x p x+1 p x+2 p x+n 1 (3.3.7) (3.3.8) (3.3.9) 29

30 Ukazatel n q x udává pravděpodobnost, že se x-letá osoba nedožije dalších n let. Platí: ve vztahu k podmíněné distribuční funkci náhodné proměnné délky života: nqx = F x (n) = P (T x n) ve vztahu k p n x : nqx = 1 n p x : ve vztahu k l x : nqx = l x l x+n l x (3.3.10) (3.3.11) (3.3.12) Ukazatel q n x udává pravděpodobnost, že x-letá osoba zemře právě ve věku x + n. Platí: ve vztahu k podmíněné distribuční funkci náhodné proměnné délky života: n qx = F x (n + 1) F x (n) = P (n < T x < n + 1) ve vztahu k d x a l x : n qx = d x+n = l x+n l x+n+1 l x l x (3.3.13) (3.3.14) Ukazatel n mqx udává pravděpodobnost, že x-letá osoba dožije věku x + m, ale zemře před dosažením věku x + n + m. Platí: ve vztahu k podmíněné distribuční funkci náhodné proměnné délky života: n mqx = F x (n + m) F x (n) = P (n < T x < n + m) ve vztahu k d x a l x : n qx = d x+n = l x+n l x+n+1 l x l x (3.3.15) (3.3.16) 30

31 Střední věk života osoby e x 0 udává střední věk života x-leté osoby. Udává, kolik let života má průměrně ještě před sebou x-letá osoba. Platí: ve vztahu k podmíněné distribuční funkci náhodné proměnné délky života: e x 0 = E (T x ) ve vztahu k l x : e x 0 = l x+ l x+1 +l x l ω l x (3.3.17) (3.3.18) Ukazatel L x je průměrný počet žijících ve věku x let. Pro první hodnotu L 0 se použije speciální vzorec, beroucí v potaz zvýšenou kojeneckou úmrtnost: L 0 (l 0 + α d 0 ). Hodnota koeficientu se určuje zvlášť pro muže i ženy vždy pro konkrétní region soudružnosti. Pokud však dopočítáme α pro celkové úmrtnostní tabulky mužů a žen (2013), vychází α muži 0,827 a α ženy 0,879. Platí: ve vztahu k l x a d x : L x = 1 2 (l x + l x+1 ) = l x d x (3.3.19) Ukazatel T x udává kolik let života má celá tabulková generace v daném věku x ještě před sebou. Platí: ve vztahu k L x : T x = L x + L x+1 + L x L ω = ω x j=0 L x + j (3.3.20) ve vztahu k e x 0 : T x = e x 0 l x (3.3.21) 31

32 3.4 Komutační čísla Komutační čísla jsou pomocné hodnoty, které vznikají (finančním) diskontováním hodnot z úmrtnostních tabulek. Životní pojišťovny je používají pro často se opakující součiny a součty, a vedou je obvykle v tabelované formě pro zjednodušení a zpřehlednění pojistněmatematických výpočtů. 20 K diskontování se používá diskontní faktor v, který je determinován na základě výše technické úrokové míry (TÚM) i. Technickou úrokovou míru vyhlašuje Česká národní banka a ke dni tvorby textu činila 1,9 %. 21 (od 1. července stejného roku se technická úroková míry snižuje na 1,5 %). Technická úroková míra je roční zhodnocení pojistné rezervy, na které má klient nárok a které pojišťovny garantují svým klientům po celou dobu trvání smlouvy. Diskontní faktor se potom spočítá dle vzorce v = (3.4.1) V určitých případech se používá také pomocná proměnná d, která se získá jednoduchým dopočtem přes diskontní faktor: 1 d = 1 v dle vzorce v = (3.4.2) Používají se dvě větve komutačních čísel pro živé a pro mrtvé, přičemž rozlišujeme nultý, první a druhý stupeň Komutační čísla pro živé Nultý stupeň komutační číslo D x vyjadřuje diskontovaný počet osob dožívajících se věku x. 1 1+i. 1+i. Platí: Ve vztahu k l x : D x = l x v x (3.4.3) Pozn.: Je nutno se mít na pozoru, protože označením D x se v úmrtnostních tabulkách označuje také počet reálně žijících osob věku x. 20 CIPRA, Tomáš. Finanční a pojistné vzorce. 1.vyd. Praha: Grada, 2006, 398 s. ISBN X. s Úřední sdělení České národní banky: částka 2/2013 ze dne 21. ledna Věstník ČNB [online] [cit ]. Dostupné z: pdf 32

33 První stupeň komutační číslo N x vyjadřuje součet diskontovaného počtu žijících D x až do konce tabulky. Platí: Ve vztahu k D x : N x = D x + D x+1 + D x D ω = ω x (3.4.4) N x = D x+j j=0 Ve vztahu k l x : ω x N x = l x+j v x+j j=0 (3.4.5) Druhý stupeň komutační číslo S x vyjadřuje součet všech N x až do konce tabulky. Platí: Ve vztahu k N x : S x = N x + N x+1 + N x N ω ω x (3.4.6) S x = N x+j j=0 Ve vztahu k D x : S x = D x + 2D x+1 + 3D x (ω x + 1)D ω (3.4.7) 33

34 3.4.2 Komutační čísla pro mrtvé Nultý stupeň komutační číslo C x vyjadřuje diskontovaný počet zemřelých ve věku x. Platí: Ve vztahu k d x a D x : C x = d x v x+1 = (l x - l x+1 ) v x+1 = l x v x+1 - l x+1 v x+1 (3.4.8) = l x v x v - D x+1 = D x v - D x+1 První stupeň komutační číslo M x vyjadřuje součet diskontovaných zemřelých C x až do konce tabulky. Platí: Ve vztahu k C x : M x = C x + C x+1 + C x C ω ω x (3.4.9) M x = C x+j j=0 Druhý stupeň komutační číslo R x vyjadřuje součet všech M x až do konce tabulky. Platí: Ve vztahu k M x : R x = M x + M x+1 + M + + M ω ω x (3.4.10) R x = M x+j j=0 Ve vztahu k C x : R x = C x + 2C x+1 + 3C x (ω x + 1)C ω (3.4.11) Mimo uvedené vznikají mezi komutačními čísly další vztahy: N x = D x + N x+1 ; M x = C x + M x+1 ; S x = N x + S x+1 ; R x = M x + R x+1 ; pro x {1, 2,, ω 1} (3.4.12) 34

35 D ω = N ω = S ω ; C ω = M ω = R ω (3.4.13) n 1 D x+j = N x N x+n ; j=0 n 1 C x+j = M x M x+n j=0 (3.4.14) C x = v D x D x+1 ; M x = v N x N x+1 (3.4.15) M x = D x d D x+1 R x = N x d S x+1 } d = 1 v (3.4.16) (3.4.17) 3.5 Hodnota pojištění Pro netto pojistné lze zapsat všeobecný vzorec hodnoty pojištění, který stojí na ekvivalenci vzájemných hodnot nároků pojišťovny a pojištěného: H x (φ) = H x (η, ξ) (3.5.1) kde: H x (φ)... Hodnota nároků pojišťovny vůči pojištěnému (pojistné) H x (η, ξ) Hodnota nároků pojištěného ve věku x vůči pojišťovně (hodnota budoucích plnění) ω x 1 φ D j D x+j = 1 η x D j D x+j + 1 ξ x D j x j=0 ω x j=0 ω x j=0 C x+j (3.5.2) kde: φ j odhadovaná počáteční hodnota nároků pojišťovny η j pojistná částka při dožití se věku x+j ξ j pojistná částka při úmrtí se věku x+j přičemž: η = {η j ; j = 0,1,, ω x} ξ = {ξ j ; j = 0,1,, ω x} Uvedená rovnice se dá použít jak pro jednorázové, tak pro běžně placené netto pojištění, přičemž řecké písmeno φ bude nahrazeno symboly pro konkrétní typ pojistného (π, P). 35

36 4 KALKULACE POJISTNÉHO Pojistné (též uváděno jako pojistná sazba, brutto pojistné nebo pojistný tarif) představuje nárok pojišťovací instituce vůči pojistníkovi za službu zprostředkování pojistné ochrany, a je uváděn ve formě peněžních prostředků. Jeho rozsah je povinnou součástí pojistné smlouvy. Výši pojistného musí stanovit pojistný matematik pojišťovací společnosti na základě reálných pojistně matematických předpokladů vždy takovým způsobem, aby bylo pojistné co do objemu dostatečné a umožňovalo pojistiteli trvalou splnitelnost všech jeho závazků. Jak jsme si již uvedli, v teoretické rovině existuje rozlišení na netto a brutto pojistné. Druhým zásadním dělením může být dělení na jednorázově placené pojistné či v praxi mnohem častější průběžné běžné placení pojistného v pravidelných intervalech. V následujícím textu budou zmíněny konstrukce výpočtu jednorázově placeného netto pojistného, běžně placeného netto pojistného a brutto pojistného pro základní produkty životního pojištění osob. Jak uvádí Čámský (2004) 22 při konstrukci pojistného je možné postupovat následovně: 1. Zjistit druh životního pojištění (je nutné si ujasnit, zda se jedná o pojištění na dožití určitého počtu let, pro případ smrti, smíšené, důchodové atd.) 2. Pohlaví pojištěných v České republice již irelevantní viz kapitola Vstupní věk, v němž je smlouva sepisována 4. Způsob placení pojistného (jednorázově, běžně ročně či področně) 5. Vhodný výběr úmrtnostních tabulek 6. Úroková míra zejména pro výpočet diskontního faktoru v. 7. Pracovní postup (výběr vhodného matematického vzorce pro výpočet pojistného) 4.1 Jednorázově placené netto pojistné Netto pojistné tvoří základ pojistné sazby a používá se především modelově. Jedná se o pojistné, které by si pojišťovny účtovaly v hypotetickém případě nulových nákladů a neziskové motivace. Východiskem pro jeho stanovení je rovnice ekvivalence, kdy na levé straně vystupují 22 ČÁMSKÝ, František. Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění. 1.vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2004, 398 s. ISBN s

37 očekávané příjmy pojišťovny z pojistného a na pravé straně její očekávané závazky vzniklé z pojistných plnění. Jednorázově placené pojistné se značí symbolem π. Modelově se předpokládá hodnota pojistné částky rovna 1 Kč. Pro pojistnou částku se však uvádí často označení K či zjednodušeně PČ Pojištění pro případ dožití věku x + n Klientovi se vyplatí sjednaná pojistná částka v případě pojistné události, kterou je zde dožití se sjednané doby n. V případě smrti před x + n-tými narozeninami pojištění zaniká bez náhrady. Teoretické specifikum oproti jiným např. neživotním typům pojištění tkví v rozporu zájmů pojistníka a pojistitele pojistník (či pojištěný) se chce dožít výplaty pojistného plnění, zatímco pojistitel by si s nadsázkou měl přát jeho brzkou smrt. V praxi se však v případě předčasné smrti i z důvodu prodejnosti pojistné či jeho část vrací obmyšleným, což nastíněný konflikt eliminuje. Označení: n E x Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: η j = ξ j = 0; H x (η, ξ) = 1; j = n 0; j n 1 D D x+n + 1 ω x 0 x D x j=0 j {0,1,, ω x} j {0,1,, ω x} C x+j = D x+n = D n E x x (4.1.1) Pojištění pro případ smrti - trvalé Pojišťovně vzniká závazek pojistného plnění oprávněné osobě v případě smrti pojištěného a to v každém případě. Nárok na výplatu pojistného plnění má obmyšlený na konci toho pojistného roku, v němž pojištěná osoba ve věku x zemře. 37

38 Označení: A x Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: η j = 0 ξ j = 1 H x (η, ξ) = 1 ω x 0 D x j=0 j {0,1,, ω x} j {0,1,, ω x} ω x D x+j C D x+j = 1 (C x D x + C x C w ) x j=0 (4.1.2) = M x D x = A x Pojištění pro případ smrti - dočasné Pojištění pro případ smrti je uzavřeno na n let. Pokud se pojištěnec dožije věku x + n, pojišťovna si pojistné nechá. V opačném případě plní. Často se tento typ pojištění používá jako tzv. úvěrové pojištění 23, které obvykle uzavírá podnikatel v okamžiku, kdy mu finanční ústav poskytl časově omezený úvěr. Pokud by se pojištěný nedožil věku x + n, přebrala by pojišťovna odpovědnost za splacení jeho úvěru. Proto v určitých případech banka podmiňuje poskytnutí svého úvěru sjednáním tohoto pojištění. 1 Označení: A x:n Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: η j = 0 ξ j = 1; j = 0,1,, n 1 0; j = n, n + 1,, ω x j {0,1,, ω x} j {0,1,, ω x} 23 ČÁMSKÝ, František. Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění. 1.vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2004, 398 s. ISBN s

39 H x (η, ξ) = 1 ω x 0 D x j=n n 1 D x+j + 1 D x 1 j=0 C x+j = 1 D x (C x + C x C x+n 1 ) = M x M x+n D x 1 = A x:n (4.1.3) Pojištění pro případ smrti odložené o t let trvalé V případě tohoto pojištění se odkládá povinnost pojišťovny plnit o karenční dobu t. V případě smrti pojištěného mezi věkem x a x + t nemají obmyšlení od pojišťovny žádný nárok na pojistné plnění. Pokud se dožije věku x + t let, a zemře v jakémkoliv následujícím roce, vzniká obmyšleným na konci roku úmrtí pohledávka za pojišťovnou. Toto pojištění se vyskytuje u tzv. lidového pojištění s nižšími pojistnými částkami, kdy pojišťovna nevyžaduje vstupní zdravotní prohlídku ani zdravotní dokumentaci. Označení: t A x Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: η j = 0 j {0,1,, ω x} ξ j = H x (η, ξ) = 1; j = t, t + 1,, ω x 0; j = 0,1,, t 1 1 t 1 0 D x j=0 ω x D x+j + 1 D x 1 j=t j {0,1,, ω x} C x+j (4.1.4) = 1 (C D x+k + C x+k C ω ) = M x+k = x D t A x x Pojištění pro případ smrti odložené o t let dočasné Jedná se o zvláštní kombinace pojištění pro případ smrti dočasného a odloženého. Pojištění je odložené o karenční dobu t, a trvá n let. Obmyšlení mají právo na výplatu pojistného plnění v hypotetickém případě, kdy se pojištěný dožije věku x + t let a zemře do věku x + n + t. Pokud zemře během karenční doby, anebo po době platnosti pojistky, pojišťovna je pojistných plnění zbavena. 39

40 1 Označení: t A x:n Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: η j = 0 j {0,1,, ω x} ξ j = H x (η, ξ) = 1; j = t, t + 1,, t + n 1 0; j = 0,1,, t 1, t + n,, ω x 1 t 1 0 D x j=0 D x+j + 1 D x ω x 0 D x+j + 1 D x j=t+n j {0,1,, ω x} t+n 1 1 j=t C x+j (4.1.5) = 1 D x (C x+t + C x+t C x+t+n 1 ) = M x+t M x+t+n 1 = t A D x:n x Pojištění pro případ smrti s lineárně rostoucí částkou Jedná se o speciální pojištění, při kterém se lineárně každým rokem zvyšuje potenciální pojistné plnění, které by obmyšlení inkasovali od pojišťovny v případě smrti. Pokud tedy dojde k úmrtí v prvním roce, dostanou obmyšlení 1 pojistnou jednotku, v druhém roce 2 pojistné jednotky, v n-tém roce by obmyšlení dostali n pojistných částek. Označení: (la) x Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: 1; j = 0 2; j = 1 3; j = 2 ξ j = = (j+1) j {0,1,, ω x} n; j = n 1 η j = 0 j {0,1,, ω x} 40

41 H x (η, ξ) = 1 ω x 0 D x j=0 ω x D x+j + 1 D x (j + 1) j=k C x+j = D x [C x + 2 C x (ω x + 1) C w ] (4.1.6) = R x D x = (la) x Smíšené pojištění na dobu n let Jedná se o poměrně oblíbenou variantu pojištění, při které se sjednává pojištění na dobu n let. Po teoretické stránce (bez připuštění vrácení pojistného při předčasné smrti u pojištění pro riziko dožití) vždy hrozí stav, kdy se pojišťovna výplatě pojistného plnění vyhne. U smíšeného pojištění se to však stát nemůže, neboť jak již bylo uvedeno, neexistuje jiný stav člověka než živý nebo mrtvý, a pojištění kryje jak riziko dožití, tak riziko smrti. Pokud člověk v průběhu pojištění zemře, bude obmyšleným vyplaceno plnění za jeho smrt, nicméně pokud se dožije věku x + n inkasuje pojistné plnění za složku dožití v pojištění sám. Označení: A x:n Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: η j = ξ j = H x (η, ξ) = 1; j = n 0; j n 1; j = 0,1,, n 1 0; j = n, n + 1,, ω x 1 n 1 D x j=n n 1 D x+j + 1 D x 1 j=0 j {0,1,, ω x} j {0,1,, ω x} C x+j (4.1.7) = D x+n D x + C x + C x C x+n 1 D x = D x+n + M x M x+n D x = A x:n 41

42 Pokud by si klienti chtěli pojistit jedno z rizik smíšeného pojištění vyšší pojistnou částkou než druhé, vzorec by vypadal následovně: D x+n PČ dožití + (M x M x+n ) PČ úmrtí D x = π(a xn ) (4.1.8) 4.2 Jednorázově placené důchodové pojištění V této subkapitole bude věnován prostor komerčnímu důchodu. Jedná se o pojištění, které je vázáno na život pojištěného. V tomto se podobá pojištění na dožití, nicméně zde se povinnost pojistného plnění pojišťovnou opakuje v periodických platbách až do okamžiku smrti pojištěného. Tato pravidelná platba je ve většině případů o konstantní výši a lze ji tedy nazývat anuitou. Rozlišujeme: důchod předlhůtní (značíme ä x ) periodické platby pro pojištěného jsou uskutečňovány na počátku určitého smluveného časového okamžiku důchod polhůtní (značíme a x ) - periodické platby pro pojištěného jsou uskutečňovány na konci určitého smluveného časového okamžiku Jiné členění důchodu může být dle kritéria počátku čerpání: důchod bezprostřední první výplata důchodu nastává v prvním úrokovacím období důchod odložený první výplata důchodu nastává po uplynutí čekací doby A konečně třetí a poslední uvedené členění budiž to na základě způsobu zaniknutí důchodu: důchod dočasný výplaty budou vyváděny jen omezenou smluvně stanovenou dobu důchod doživotní výplaty budou vyváděny do konce života osoby pobírajícího důchod důchod věčný výplaty budou vyváděny bez časového omezení 42

43 Z důvodu rozsahu práce bude odvozováno jen pojistné pro předlhůtní důchody s ročním intervalem výplaty anuity Bezprostřední doživotní důchod Nejzákladnější typ důchodu je doživotní důchod bezprostřední. Poté co pojištěný zaplatí jednorázové pojistné mu je během jeho života na začátku nebo konci každého roku vyplacena 1 pojistná jednotka. Označení: ä x (pro předlhůtní důchod), a x (pro polhůtní důchod) Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: η j = 1; ξ j = 0; j {0,1,, ω x} j {0,1,, ω x} ω x ω x H x (η, ξ) = 1 1 D D x+j x D x j=0 j=0 C x+j = 1 D x (D x + D x D w ) = N x D x = ä x N x+1 D x = a x (4.2.1) (4.2.2) Bezprostřední dočasný důchod Pokud si pojistník sjednává dočasný předlhůtní důchod, bude dostávat výplaty bezprostředně po sepsání pojistné smlouvy po omezenou dobu n let. Označení: ä x:n (pro předlhůtní důchod), a x:n (pro polhůtní důchod) Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: η j = ξ j = 0; 1; j = 0,1,, n 1; 0; j = n, n + 1,, ω x; j {0,1,, ω x} j {0,1,, ω x} 43

44 H x (η, ξ) = 1 n 1 D x j=0 ω x D x+j C D x+j = x j=0 = 1 D x (D x + D x D x+n 1 ) = N x N x+n D x = ä x:n (4.2.3) N x+1 N x+n+1 D x = a x:n (4.2.4) Odložený doživotní důchod Opět se jedná o doživotní důchod vyplácený až do smrti. V tomto případě je však první výplata odložena o karenční dobu t let. Jinými slovy v případě uzavření pojistné smlouvy ve věku x let, k uskutečnění první výplaty dojde ve věku x + t let. Tenhle typ důchodu je obvyklý s odkladem k odchodu do penze jako dodatečný příjem ke starobnímu důchodu od státu. Označení: ä t x (pro předlhůtní důchod), a x (pro polhůtní důchod) Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: t η j = 1; j = t, t + 1,, ω x; 0; j = 0,1,, t 1; j {0,1,, ω x} ξ j = 0; H x (η, ξ) = 1 ω x 1 D x j=t ω x D x+j C D x+j = x j=0 j {0,1,, ω x} = 1 (D D x+t + D x+t D w ) = N x+t = t ä x D x N x+t+1 x = D t a x x (4.2.5) (4.2.6) 44

45 4.2.4 Odložený dočasný důchod Jedná se o kombinaci dočasného předlhůtního a odloženého důchodu. Osobě bude důchod vyplácený po t letech odkladu s dobou trvání n let. Označení: ä t x:n (pro předlhůtní důchod), a x:n (pro polhůtní důchod) Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: t η j = 1; j = t, t + 1,, t + n 1; 0; j = 0,1,, t 1, t + n, t + n ω x; j {0,1,, ω x} ξ j = 0; j {0,1,, ω x} t+n 1 ω x H x (η, ξ) = 1 1 D D x+j x D x j=t j=0 C x+j = 1 (D D x+t + D x+t D x+t+n 1 ) = N x+t N x+t+n = t ä x D x x:n (4.2.7) N x+t+1 N x+t+n+1 = D t a x x:n (4.2.8) Doživotní předlhůtní důchod s garancí vyplácení prvních n let x-letá osoba se pojistí tak, že na začátku každého roku, pokud je naživu, jí bude vyplacena anuita, přičemž prvních n roků bude anuita vyplacena v každém případě. Označení: ä x :n Z hlediska výpočtů garance způsobí, že nelze použít všeobecný vzorec pro výpočet netto pojistného. Vyjděme proto z rovnice ekvivalence: l x π = 1 l x + 1 l x v + 1 l x v l x v n l x+n v n l ω v ω x Po vynásobení celé rovnice členem v x a několika dalších úpravách dostáváme: 45

46 D x π = D x 1 vn 1 v + N x+n π = 1 vn 1 v + N x+n = ä x :n D x (4.2.9) Pokud je důchod odložený dochází k drobné změně přidáním diskontního faktoru umocněného na počet let odložení. π = v t 1 vn 1 v + N x+n = t ä D x x :n (4.2.10) Doživotní předlhůtní důchod rostoucí lineárně Doba vyplácení důchodu je opět závislá na délce života pojištěného, nicméně v tomhle případě se důchod lineárně zvětšuje každým rokem, částky tedy nejsou konstantní a nemohou být nazývány anuitou. Označení: (lä) x Výpočet dle všeobecného vzorce pro výpočet jednorázového pojistného: Pro posloupnosti: 1; j = 0 2; j = 1 η j = 3; j = 2 n; j = n 1 = (j+1) j {0,1,, ω x} ξ j = 0; j {0,1,, ω x} ω x ω x H x (η, ξ) = 1 (j + 1) D D x+j C x D x+j x j=0 j=k = 1 D x [D x + 2 D x (ω x + 1) D w ] + 0 = S x D x = (lä) x (4.2.10) 46

47 4.3 Běžně placené netto pojistné V praxi životních pojišťoven se jednorázové pojištění platí zřídka. Životní pojištění se sjednává obyčejně na delší dobu a jednorázové pojistné by kvůli tomu bylo pro většinu osob s pojistným zájmem těžko cenově dostupné. Proto se pojistné rozprostírá do více pravidelných (běžných) nebo nepravidelných (mimořádných) splátek. Na dalších řádcích bude pozornost věnována běžně placenému pojistnému. První splátka je obyčejně placena již při podpisu smlouvy, pojištění je poté placeno vždy předlhůtně v určitých intervalech, přičemž doba placení běžného pojistného se nemusí rovnat době pojištění. Bude zmíněn roční interval, poté obecný področní interval a třetí pasáž kapitoly bude zkoumat speciální pojištění s pevnou dobou výplaty (pojištění à terme fixe). Pro zjednodušení budeme předpokládat, že budou splátky konstantní po celou dobu splácení. Běžně placené roční i področní pojistné se počítá stejně pro klasické rizikové pojištění stejně jako pro důchodové pojištění Výpočet běžného netto pojištění placeného ročně Pro jeho výpočet je nutné si uvědomit skutečnost, že celková diskontovaná hodnota pojištění rozložená do m předlhůtních splátek P musí být ve výsledku rovna jednorázově placenému pojištění π. Platí přitom, že m n, kde n je doba trvání pojištění. Z uvedeného je zřejmé, že přijaté jednorázové pojištění od všech osob modelového souboru se musí rovnat součtu všech ročních diskontovaných pojistných přijatých od žijících osob modelového souboru. π l x = P l x + P l x+1 v + P l x+2 v P l x+m 1 v m 1 Uvedenou rovnici převedeme do roviny komutačních čísel rozšířením výrazem v x : π D x = P D x + P D x+1 + P D x P D x+m 1 π π D x = P (N x N x+m ) => P = N x N x+m D x P = π ä x:m (4.3.1) 47

48 Pokud se jedná o doživotní pojištění s možností doživotního placení lze přepsat do tvaru: P = π ä x (4.3.2) Výpočet běžného netto pojištění placeného m-krát ročně V tomto případě se uvažuje s alternativou, kdy si klient přeje platit pojistné v pravidelných stejných splátkách během vícekrát během roku (např. měsíčně). Pojistné se platí m-krát ročně, a to předlhůtně vždy na počátku každé m-tiny roku. Splátka pojistného se tentokrát značí P(m) m. Roční netto pojistné placené področně se značí P (m). Analogicky jako při určení běžného pojistného dostaneme pro doživotní placení: P (m) π x = (m) m ä x kde ä (m) x = N x m 1 D x 2m (4.3.3) (4.3.5) Pro dočasné placení trvající n let pak platí (m) P x:m π = m ä x:m (m) kde ä x:m (m) = N x N x+n m 1 D x 2m (1 D x+n ) D x (4.3.6) (4.3.7) Takto vypočítané pojistné se nazývá pravé področní pojistné. V praxi existuje i nepravé področní pojistné, které se spočítá jednodušeji z ročního pojistného vydělením počtem splátek, tj. P. Jedná se o samozřejmě nižší částku z důvodu časové hodnoty peněz, a proto si pojišťovny m přiúčtovávají přirážku (např. ve výši 2 5 % z ročního pojistného). 48

49 4.3.3 Výpočet pojištění s pevnou dobou výplaty (pojištění à terme fixe) Jedná se o speciální případ pojištění, ve kterém pojišťovna plní sjednanou částku na konci pojistné doby n bez ohledu na to, zda daná osoba žije či ne. V případě, že osoba během tohoto období nezemře, je povinna průběžně platit sjednané pojistné a na konci n-tého roku obdrží pojistné plnění. Pokud v průběhu času zemře, pojistné na sebe virtuálně vezme pojišťovna a na konci n vyplatí sjednané pojistné plnění obmyšleným. Jednorázově placené pojistné označme π x, běžné P x. Dle rovnice ekvivalence platí rovnost příjmů pojišťovny a výdajů na pojistná plnění (zde s jednotkovým pojistným). Nechť je vyvozena výše jednorázového pojistného. l x π x = 1 l x v n π x = v n V případě dožití se konce pojištění se jedná v podstatě o spoření s úrokovou sazbou rovnou technické úrokové míře, přičemž k těmto naspořeným penězům je přístup po n let zapovězen. Běžné pojištění lze odvodit jako: P x = π x ä x:n = v n D x N x N x+n (3.3.5) S nadsázkou lze tedy tvrdit, že je pro dědice výhodná brzká smrt pojištěného, byť se zjevně jedná o vítězství Pyrrhovo. 4.4 Brutto pojistné Rovnice ekvivalence je založena na rovnosti mezi příjmy a výdaji pojišťovny vůči pojištěnému. Výdaje pojišťovny by tedy postačovaly pouze na pokrytí očekávaných závazků z pojistných plnění. Pojišťovny se však v praxi setkávají s mnohými dalšími dodatečnými náklady souvisejícími s pojišťovací činností. Tyto potřeby jsou zohledněny v tzv. brutto pojistném. V průběhu dalšího textu budeme označovat: jednorázové brutto pojistné Б běžné brutto pojistné B 49

50 Na kalkulaci nákladů spojených s pojišťovací činností se užívá převážně dvou přístupů, kterými jsou anglosaský a klasický německý přístup. V České republice převládá druhý jmenovaný, zaměříme se tudíž na něj. Jeho součástí jsou čtyři kategorie nákladů α, β, γ a δ. Klasický německý přístup k nákladům Počáteční náklady α zahrnují náklady spojené se samotným uzavřením pojistné smlouvy, konkrétněji náklady s prodejem pojistného produktu, vystavení pojistné smlouvy, lékařské prohlídky klientů a zejména provize pojišťovacím zprostředkovatelům, které se určují zpravidla procentem ke sjednané pojistné částce. Určitým trendem je zvyšování provizí, a to z důvodu zvyšující se nasycenosti trhu. Náklady se udávají jako procenta z pojistné částky nebo roční výplaty důchodů. V případě běžného pojistného jsou rozpočítány na celou dobu placení. Běžné správní náklady β představují prostředky nutné ke každoročnímu udržování pojistných smluv. Zahrnujeme sem všeobecnou administrativu, provoz výpočetní techniky, korespondenci, licenční poplatky, nájem prostor či daňové výdaje. Určují se v promilích z pojistné částky nebo ročního důchodu. Náklady β dělíme na náklady β 1 a β 2. β 1 náklady jsou běžné správní náklady potřebné každoročně po celou dobu trvání pojištění. β 2 náklady jsou běžné správní náklady potřebné každoročně jen po dobu trvání pojištění. Pokud je pojistné placeno jednorázově nebo je doba placení je shodná s dobou trvání pojištění platí β = β 1. Inkasní náklady γ jsou, jak již název napovídá, náklady spojené s inkasem, a to pouze běžného pojistného. Jsou počítány jako procenta z brutto pojistného. Náklady při výplatě důchodu δ vznikají pouze u důchodového pojištění jako náklady spojené s výplatami tohoto důchodu. Počítají se nejčastěji jako procenta z ročního důchodu. Trendem nejen u δ, ale i γ nákladů je jejich postupné snižování s rozšiřováním bezhotovostního platebního styku. 50

51 Koncept výpočtu brutto pojistného je pro všechny typy životního pojištění v zásadě podobný. Při výpočtu je v první řadě nutné zohlednit způsob placení, čili zda je placeno jednorázově nebo běžně. Pokud klient pojistné platí běžným způsobem, dále se zvažuje, zda je doba odváděných plateb rovna době trvání pojištění. Na závěr bude zmíněno brutto běžné pojistné, pokud je placené področně (např. měsíčně). Je to zejména proto, že v praxi pojišťoven se takto placené pojistné preferuje. Všechny kategorie budou zmíněné pro pojištění s doživotním i dočasným trváním Výpočet jednorázového brutto pojistného Pro bezprostřední doživotní pojištění: Б = π + α β ä x (4.4.1) Pro doživotní pojištění odložené o t let: Б t = π + α β ä x (4.4.2) Pro bezprostřední dočasné pojištění trvající n let: Б = π + α β ä x:n (4.4.3) Pro dočasné pojištění trvající n let odložené o t let: t Б = π + α β t ä x:n (4.4.4) Výpočet běžného brutto pojistného kde m = n V tomto případě je doba placení pojistného rovno pojistné době. Pojištění nesmí být odložené. Pro doživotní pojištění: B = P + α ä x + β + γ B B = 1 1 γ (P + α ä x + β) (4.4.5) 51

52 Pro dočasné pojištění trvající n let: B = P + α ä x:n + β + γ B B = 1 α (P + + β) 1 γ ä x:n (4.4.6) Výpočet běžného brutto pojistného kde m < n Nyní bude pozornost upřena na situace, kdy je doba placení kratší, než je doba, na kterou je uzavřeno pojištění. Do této kategorie zařaďme také možnost odložení pojistné doby na čas t. Pro bezprostřední doživotní pojištění: m B = m P + α + β ä 1 x:m ä x ä x:m + β 2 + γ B m m B = 1 1 γ ( m P + α ä x + β ä 1 +β x:m ä 2 ) x:m (4.4.7) Pro doživotní pojištění odložené o t let: t m B = t m P + α + β ä 1 x:m t ä x ä x:m + β 2 + γ Pro bezprostřední dočasné pojištění trvající n let: m B = m P + α + β ä 1 ä x:n + β x:m ä 2 + γ x:m B m m B = 1 1 γ ( m P + α + β ä 1 ä x:n +β x:m ä 2 ) x:m B t m t m B = 1 1 γ ( t m P α + t ä x + β ä 1 +β x:m ä 2 ) x:m (4.4.8) (4.4.9) Pro dočasné pojištění trvající n let odložené o t let: t m B = t m P + α + β ä 1 x:m t äx:n + β ä 2 + γ x:m B t m t m B = 1 1 γ ( t m P + α t äx:n + β ä 1 +β x:m ä 2 ) x:m (4.4.10) 52

53 4.4.4 Výpočet področně placeného brutto pojištění Pro doživotní pojištění: B (m) = P + π + α + β ä x (1 γ) m ä x (m) (4.4.11) Pro dočasné pojištění trvající n let: B (m) = P + π + α + β ä x (m) (1 γ) m ä x:n (4.4.12) 53

54 5 PŘEVOD ÚMRTNOSTNÍCH TABULEK Při práci s naprogramovanou kalkulačkou je nutno používat úmrtnostních tabulek nediskriminujících na základě pohlaví. Poněvadž však Český statistický úřad prozatím nezveřejňuje úmrtnostní tabulky společné pro muže i pro ženy, je nutno dostupné úmrtnostní informace převést. Nabízí se otázka jakým způsobem to provést. Při pohledu na genderově odlišené tabulky, zveřejňované Českým statistickým úřadem, jsou patrny následující sloupce: věk, D x, P x, q x, l x, d x, L x, T x a e x. Jejich charakteristika již byla zmíněna dříve, doplňme však, že ukazatel D x uvádí absolutní počet zemřelých podle věku během daného období a P x uvádí absolutní počet obyvatel k daného roku. Intuitivně naprosto zásadní pro získání komutačních čísel vystupuje ukazatel q x a z něj lehce vyvoditelný ukazatel p x. Na první pohled se nabízí několik variant jak se dopracovat k převedeným komutačním číslům. Nejjednodušším řešením by bylo vytvořit z již získaných komutačních čísel aritmetické průměry pro každou úroveň věku, což je však nepřijatelné z prostého důvodu - různého rozložení mužů i žen v populaci v závislosti na stáří. Stejným neduhem by trpělo i případné zprůměrování klíčových ukazatelů q x a p x. Přesto z veřejných informací lze komutační tabulky získat, a to za použití sloupců P x, q x a p x (popřípadě jen jednoho z dvou posledně jmenovaných neboť platí, že jejich součet je roven 1). Prvním krokem je sečtení celkového počtu obyvatel (P x (muži) + P x (ženy)) při každé úrovni věku, a to od nuly až po ω. Lehce získáme relativní podíly obou pohlaví pro každé stáří. Poté nám již nic nebrání pomocí skalárních součinů poměru zastoupení pohlaví s q x a poté p x získat vytoužené agregátní ukazatele q x a p x. Za použití vypočtené pravděpodobnosti dožití odvodíme úrovně l x a to opět pro každou úroveň věku x. l 0 je stanoveno na úroveň obligátních obyvatel a pro každé další l x platí l x+1 = p x l x. Poté již přejdeme k obvyklým standardním úpravám k získání komutačních čísel. Převedené úmrtnostní tabulky jsou obsahem přílohy 1 a dohledat je lze i v programovém kalkulátoru. 54

55 6 KALKULÁTOR ŽIVOTNÍHO POJIŠTĚNÍ Výpočtový program pro kalkulaci pojistného k vybraným produktům životního a důchodového pojištění byl vytvořen v tabulkovém kalkulátoru Excel spadajícího do produktové kancelářské sady MS Office. Poněvadž obsahuje i složky programovacího jazyka Visual Basic (VBA), jakými jsou aranžování ovládacích prvků a zejména makra, je spouštěn s koncovkou.xlsm, a při jeho spuštění musí být makra aktivována. Co se týče programu samotného, jeho kostru tvoří interaktivní rozhraní s jednoduchým přepínáním mezi listy. Celkem je využito jedenáct listů, z nichž kromě domovské hlavní stránky koexistují listy výpočetní a listy doplňkové. Výpočetních listů je šest a každý z nich tvoří samostatnou kalkulačku nezávislou na ostatních a věnuje se jednomu z vybraných typů výpočtů životního pojištění. Doplňkové listy jsou čtyři a jejich úlohou je podpírat vyprojektované kalkulátory a poskytovat jim datový fond, na který se výpočty odkazují. V následujícím textu přehled listů i jejich funkce zmíníme, přičemž začneme těmi doplňkovými. 6.1 Doplňkové listy Doplňkovými listy jsou kompletní agregované úmrtnostní tabulky, původní úmrtnostní tabulky rozlišující pohlaví, list s pomocnými výpočty a pomocný list. Doplňkový list úplných úmrtnostních tabulek (záložka Detailní ÚT) je zdrojem pojistněmatematických pravděpodobností souvisejících s životem a smrtí populačního vzorku v životním pojištění. O úmrtnostních tabulkách lze říci, že se jedná o jistý typ matice, kde sloupce označují vybrané odvozené ukazatele znázorňující pojistně-matematické pravděpodobnosti souvisejících s životem a smrtí populačního vzorku v životním pojištění a řádky jejich hodnoty pro úrovně stáří. Získal jsem je matematickým převodem z úmrtnostních tabulek zveřejněných Českým statistickým úřadem (ČSÚ) pro muže a ženy zvlášť. 55

56 Sloupce jsou rozčleněny na pět částí: 1. Část související s počtem a podílem mužů a ženy v populaci 2. Pravděpodobnosti dožití a úmrtí ve věku x 3. Počet dožívajících osob a žijících osob v umělé populaci a jejich střední délka života 4. Komutační čísla 5. Intenzita a distribuční funkce úmrtnosti Pro výpočty samotné si vystačíme s částí čtvrtou zabývající se komutačními čísly. Tato část tabulky je při odkazování označena jako komutacni, což má za cíl zjednodušení a zpřehlednění již tak dost náročných výpočtů. V listu je také pro pohodlnost zaznamenán diskontní faktor vycházející z technické úrokové míry. Obrázek č. 1: Kalkulátor pojistného: list Detailní ÚT Zdroj: Vlastní zpracování Doplňkový list kategorizovaných úmrtnostních tabulek (záložka Genderově oddělené ÚT) je analogií k výše uvedeným detailním tabulkám. Jeho funkcí je podporovat pojistněmatematické výpočty při zohlednění pohlaví, které kalkulačka taktéž provádí. Jsou však brány jako doplněk a jakési srovnání jak by se situace změnila, kdyby Evropský Soudní Dvůr nevydal onen judikát, který figuruje jako nepřímo harmonizační pro členské státy pro určení pojistného, 56

57 které bylo dříve dle něj diskriminační. Sloupce jsou rozčleněny na obecné ukazatele zveřejněné ČSÚ a komutační čísla. Obrázek č. 2: Kalkulátor pojistného: list Genderově oddělené ÚT Zdroj: Vlastní zpracování Doplňkový list s mezivýpočty (záložka Pomocný na vzorečky) obsahuje veškeré pojistněmatematické výpočty, na které se odkazují hlavní kalkulátory. Je rozdělený na část netto a brutto pojistného, a to vždy ve třech sloupcích výpočty všeobecné a poté výpočty pro muže a ženy. Jednotlivé výpočty poté obsahují celou řadu početních výkonů, které jsou prokrveny obvyklými funkcemi tabulkového procesoru. Použité funkce jsou dvojího typu logického a odkazovacího. Základní logickou podmiňovací funkcí, která se hojně používá při testování hodnot a vzorců je funkce KDYŽ (v anglickém prostředí Excelu IF). Díky možnosti vnořování funkcí její užitečnost ještě roste. Pro účely testování předpokladů se zde hojně využívají ještě logické funkce A (AND) a NEBO (OR). Protože zásadním prvkem výpočtů je odkazování se do úmrtnostních tabulek, musí být součástí práce také funkce odkazovací. Kladené požadavky nejlépe splňuje funkce SVYHLEDAT (VLOOKUP). 57

58 Obrázek č. 3: Kalkulátor pojistného: list Pomocný na vzorečky Zdroj: Vlastní zpracování Poslední doplňkový list poté reprezentuje pomocné tabulky (záložka Pomocný na vzorečky). Tyto tabulky mají každá své vlastní jedinečné jméno, na které je určitými komponentami kalkulaček nutno odkazovat, nicméně samotný list nepředstavuje opěrný bod programu. 58

59 Obrázek č. 4: Kalkulátor pojistného: list Pomocný list Zdroj: Vlastní zpracování 6.2 Výpočetní listy Výpočetní listy jsou funkčním základem a těžištěm celého programu. Dohromady jich je půl tuctu a fungují nezávisle na sobě za přispění doplňkových listů. Tři z nich jsou věnovány rizikovému životnímu pojištění, stejný počet potom důchodovému pojištění. Tyto subprogramy mají podobnou funkční strukturu. Zjednodušeně se dá říct, že se jedná o formuláře navržené pro klienta, které sesbírají potřebná data, a ty na základě vnitřního algoritmu na sebe navazujících podmínek vyhodnotí a zobrazí výstup v podobě spočítaného pojistného. Množství vstupů závisí na charakteru pojištění a na způsobu placení pojistného. Pro výpočet určitých variant stačí vyplnit řádově několik vstupů, jindy je nutno zadat až dvě desítky vstupů. Vstupy jsou buď otevřené, kdy má uživatel možnost vložit jím preferovanou číselnou volbu, nebo uzavřené, kdy dostane na výběr z vektoru možností. Buňky také disponují schopností ověření přípustných dat, což znamená, že kontrolují, zda je určitá volba vůbec vhodná ke zpracování (např. zadávání záporných hodnot). Algoritmy vyhodnocování pracují opět s logickými funkcemi, a to ještě ve větší míře, neboť musí zpracovat celou řadu scénářů. Prim tedy opět hraje funkce KDYŽ. Výstupy jsou minimálně dva netto a brutto výše pojistného z unisex úmrtnostních tabulek (výjimkou budiž výpočet pojistného lineárně se zvyšujícího důchodu, ke kterému se dostaneme později) a případně také další dva výpočty zobrazující výši pojistného vyplývající z genderově odlišených úmrtnostních tabulek. V případě nedostatku zadaných dat 59

60 pro zvolenou formu pojistného hlásí kalkulátor komentář Chybí parametry. Všeobecnými informacemi, které musí být u netto pojištění vyplněny vždy, jsou datum narození, pojistná částka, způsob placení a údaj o délce pojistky. Brutto pojištění vyžaduje alespoň α a β1 náklady. Kalkulátory pracují i s področně placeným běžným pojistným, které je placeno vždy předlhůtně, nikoli však s področně vypláceným důchodem, který je vždy roční. Výpočtový list pojištění dožití (záložka Pojištění na dožití) Kalkulátor nabízí výpočet pojištění na dožití se určitého věku. Ze své podstaty je tento typ pojištění časově omezený a je tedy nutné zadat počet let trvání pojištění. Obrázek č. 5: Kalkulátor pojistného: list Pojištění na dožití Zdroj: Vlastní zpracování 60

61 Výpočtový list pojištění pro případ smrti (záložka Pojištění pro případ smrti) Tento kalkulátor se zabývá výpočtem pojistného pro riziko úmrtí, čili výší jednorázového pojistného či běžných anuitních plateb prováděných pojistníkem pro případ, že pojištěný během pojistné doby zemře. Speciálních případů je zde více, a je tedy nutné dostat do programu více vstupních informací, který je poté vhodně zpracuje. Pojištění může být doživotní i dočasné. Pokud je dočasné, je nutno vyplnit také počet let trvání. Obrázek č. 6: Kalkulátor pojistného: list Pojištění pro případ smrti Zdroj: Vlastní zpracování 61

62 Výpočtový list pojištění pro kombinaci pojištění na dožití a pro případ smrti (záložka Smíšené pojištění) Zásadním rozdílem ve funkčnosti je oproti předchozím případům zohlednění dvou pojistných částek. Jedna z nich platí pro případ smrti (tzn. částka, kterou obmyšlení obdrží v případě smrti pojištěného), druhá potom pro případ dožití (tu může dostat sám pojištěný). Pojištění je konstruováno jako dočasné. Obrázek č. 7: Kalkulátor pojistného: list Smíšené pojištění Zdroj: Vlastní zpracování 62

63 Výpočtový list k obecnému důchodovému pojištění (záložka Standardní důchod) Důchodové pojištění pracuje ze své definice odlišně od předcházejících typů životního pojištění. Nově zohledňuje také použití δ nákladů. Důchod lze zvolit předlhůtní i polhůtní. Je nutné zvolit dobu trvání a dobrovolně případný odklad. Obrázek č. 8: Kalkulátor pojistného: list Standardní důchod Zdroj: Vlastní zpracování 63

64 Výpočtový list k předlhůtnímu doživotnímu zaručenému důchodu (záložka Zaručený důchod) Pojištění je sestaveno tak, aby zpracovalo pouze doživotní předlhůtní variantu tohoto zajímavého produktu. Kromě obvyklých vstupů je nutné vnést informaci o počtu zaručených let, odklad je opět možný. Obrázek č. 9: Kalkulátor pojistného: list Zaručený důchod Zdroj: Vlastní zpracování 64

65 Výpočtový list k předlhůtnímu doživotnímu důchodu rostoucímu lineárně (záložka Lineárně rostoucí důchod) Poslední z kalkulátorů si klade za cíl určit výši pojistného pro lineárně se zvyšující pojistnou částku (v relevantním poli se vyplňuje její výše pro první výplatu důchodu). V rámci pojistněmatematických výpočtů program nabízí výstup netto pojistného. Brutto pojistné však počítáno není, a to z prostého důvodu: α, β1, β2 a δ náklady, které vstupují do jeho báze, se každým rokem mění (zvyšují se), neboť roste i pojistná částka. Finální výše brutto nákladů, a tedy i pojistného B není anuitou, nýbrž měnící se částkou. Obrázek č. 10: Kalkulátor pojistného: list Lineárně rostoucí důchod Zdroj: Vlastní zpracování 65

66 7 PRAKTICKÁ ČÁST - SROVNÁNÍ NABÍDKY ŽIVOTNÍCH POJIŠŤOVEN S TEORETICKÝMI VÝSLEDKY K poslednímu dni v měsíci dubnu roku 2015 bylo u České národní banky zaregistrováno 54 tuzemských pojišťoven či poboček zahraničních poboček. Tyto se potom dělí na životní, neživotní nebo smíšené pojišťovny, které nabízejí obě kategorie pojištění. Dle uvedeného hlediska na českém trhu operuje 6 životních, 16 smíšených a 32 neživotních pojišťoven. 24 Z hlediska aplikace vytvořeného kalkulátoru nás budou zajímat jen některé jejich produkty. Životní pojištění není v tuzemsku tolik oblíbené jako v anglosaském prostředí a jeho rozšířenost zaostává za neživotním pojištěním. Poněvadž je trh pojišťovnictví dynamickým a jeho vývoj do značné míry musí reagovat na externí změny, jeho produkty se vyvíjejí také. Jako ukázkový příklad uveďme trend bankopojištění, který vzniká vzájemnou kooperací bank a pojišťoven (často s propojenými vlastnickými strukturami). Ty potom současně nabízejí propojené produkty každá ve svých distribučních sítích. Vznikají však také pokročilé produkty, které kombinují žádané pojistně-bankovní charakteristiky a jsou nabízené jen pojišťovnami. Asi nejlepším příkladem je investiční životní pojištění (IŽP), které má až na pár výjimek ve svém produktovém portfoliu každá životní pojišťovna. Investiční životní pojištění kombinuje prvky pojistné ochrany a spoření. Dělí se na dvě části rizikovou a investiční složku. Prvně jmenovaná část je pro nás zajímavá, neboť vychází z pojistně-technických výpočtů, druhá nikoliv, jedná se o analogii k investici do fondů kolektivního investování či dokonce penzijních fondů v II. pilíři. Zde jsou prostředky zhodnocovány dle výkonnosti daných podílových fondů pod hlavičkou pojišťovny. Některé pojišťovny nabízejí pojistnou ochranu pro riziko smrti pouze skrze rizikovou složku IŽP, byť má tento produkt širokou základnu kritiků a to z velké části oprávněně, neboť na dobu pojistné ochrany fixuje peníze klientů za poměrně nízký úrok a navíc obsahuje vysoké vstupní poplatky. IŽP svou spořící složkou z velké části supluje také pojištění na dožití, které z nabídek pojišťoven prakticky vymizelo a nabízejí ho v čisté formě již jen Česká pojišťovna a Generali 24 Celkový přehled počtu subjektů ke dni : Pojištovny a zajištovny. Česká národní banka [online]. [cit ]. Dostupné z: 66

67 (která mj. vlastní Českou pojišťovnu). Dle komentáře obchodního zástupce České pojišťovny se tento produkt sjednává jen velice ojediněle. Pojišťovny jsou vesměs zajedno ohledně pojistitelnosti dle věku. Pojistník smí pojistit sebe, pokud má mezi roky a jinou osobu ve věku minimálně 6 týdnů. Často je také dán požadavek minimálního pojistného (např. Multirisk České pojišťovny 200 Kč, Flexi pojišťovny České spořitelny 300 Kč). Důchodové pojištění ve všech formách již v nabídkách tuzemských pojišťoven není. Jeho substitutem budiž doplňkové důchodové připojištění, které je však pro účely této práce nepoužitelné. V minulosti bylo důchodové pojištění nabízeno například Českou pojišťovnou pod produktovým názvem Diamant. V této praktické části se zaměříme na nabídku pojistných produktů na dožití a pro rizika smrti a rizikové složky IŽP. Přehled pojišťoven s registrací životního pojištění nabízí tabulku č. 1. Nabídka českých pojišťoven bude zkoumána skrze dva imaginární, zcela smyšlené zájemce o pojištění: 25 letého opraváře Pata a jeho kamaráda z práce Mata ve věku 50 let. Tabulka č. 1: Přehled životních pojišťoven a jejich nabídka životního pojištění Zdroj: Vlastní zpracování 67