Matematika III. 29. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Transkript

1 Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 29. října 2018

2 Statistika

3 Statistika Statistika je jako bikini. Co odhaluje, je zajímavé, co skrývá, je podstatné. Aaron Levenstein

4 Statistika Statistika je jako bikini. Co odhaluje, je zajímavé, co skrývá, je podstatné. Aaron Levenstein Jsou tři stupně lži: Obyčejná lež, ďábelská lež a statistika. Benjaminu Disraeli

5 Co je statistika?

6 Co je statistika? Google Přibližný počet výsledků: (čeština),

7 Co je statistika? Google Přibližný počet výsledků: (čeština), Přibližný počet výsledků: (angličtina).

8 Co je statistika? Google Přibližný počet výsledků: (čeština), Přibližný počet výsledků: (angličtina). Uspořádaný datový soubor (statistika přístupů na web. stránky, statistika střel na branku, statistika nehodovosti, ekonomické statistiky,... )

9 Co je statistika? Google Přibližný počet výsledků: (čeština), Přibližný počet výsledků: (angličtina). Uspořádaný datový soubor (statistika přístupů na web. stránky, statistika střel na branku, statistika nehodovosti, ekonomické statistiky,... ) Teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat (matematická statistika vs. aplikovaná statistika)

10 Co je statistika? Google Přibližný počet výsledků: (čeština), Přibližný počet výsledků: (angličtina). Uspořádaný datový soubor (statistika přístupů na web. stránky, statistika střel na branku, statistika nehodovosti, ekonomické statistiky,... ) Teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat (matematická statistika vs. aplikovaná statistika) Číselný údaj syntetizující vlastnosti datových souborů (četnost, průměr, rozptyl,... )

11 Zdroje statistických dat

12 Zdroje statistických dat Statistické hodnoty pro ČR Český statistický úřad (

13 Zdroje statistických dat Statistické hodnoty pro ČR Český statistický úřad ( Statistické hodnoty pro EU Evropský statistický úřad EUROSTAT ( statistická data z Eurostatu přeložená do češtiny na stránkách ČSÚ

14 Zdroje statistických dat Statistické hodnoty pro ČR Český statistický úřad ( Statistické hodnoty pro EU Evropský statistický úřad EUROSTAT ( statistická data z Eurostatu přeložená do češtiny na stránkách ČSÚ Další zdroje Ústav zdravotnických informací a statistiky ČR ( podniky, ankety, atd. Gapminder ( projekt, v němž jsou prezentována a vizualizována data o vývoji lidské populace Worldometers Světová statistika v reálném čase model vývoje lidstva podniky, ankety, apod.

15 Statistika Nejčastější aplikace počtu pravděpodobnosti směřují do oblasti statistiky.

16 Statistika Nejčastější aplikace počtu pravděpodobnosti směřují do oblasti statistiky. Části statistiky: Matematická statistika,

17 Statistika Nejčastější aplikace počtu pravděpodobnosti směřují do oblasti statistiky. Části statistiky: Matematická statistika, Ekonomická statistika,

18 Statistika Nejčastější aplikace počtu pravděpodobnosti směřují do oblasti statistiky. Části statistiky: Matematická statistika, Ekonomická statistika, Biostatistika,

19 Statistika Nejčastější aplikace počtu pravděpodobnosti směřují do oblasti statistiky. Části statistiky: Matematická statistika, Ekonomická statistika, Biostatistika, Chemická statistika,

20 Statistika Nejčastější aplikace počtu pravděpodobnosti směřují do oblasti statistiky. Části statistiky: Matematická statistika, Ekonomická statistika, Biostatistika, Chemická statistika, Zdravotnická statistika,

21 Statistika Nejčastější aplikace počtu pravděpodobnosti směřují do oblasti statistiky. Části statistiky: Matematická statistika, Ekonomická statistika, Biostatistika, Chemická statistika, Zdravotnická statistika,...

22 Co vypovídá statistitka o jednotlivci?

23 Co vypovídá statistitka o jednotlivci? Kristýna Leichtová

24 Co vypovídá statistitka o jednotlivci? Kristýna Leichtová běžec

25 Co vypovídá statistitka o jednotlivci? Kristýna Leichtová běžec baletka

26 Co vypovídá statistitka o jednotlivci? Kristýna Leichtová běžec baletka tanečnice

27 Co vypovídá statistitka o jednotlivci? Kristýna Leichtová běžec baletka tanečnice???

28 Co vypovídá statistitka o jednotlivci? Kristýna Leichtová běžec baletka tanečnice??? občan ČR

29 Co vypovídá statistitka o jednotlivci? Kristýna Leichtová běžec baletka tanečnice??? občan ČR Statistika nezkoumá jednotlivce jako individualitu, ale jako anonymního nositele některého znaku (činnosti, vlastnosti).

30 Co vypovídá statistitka o jednotlivci? Kristýna Leichtová běžec baletka tanečnice??? občan ČR Statistika nezkoumá jednotlivce jako individualitu, ale jako anonymního nositele některého znaku (činnosti, vlastnosti). Statistika je nauka o hromadných jevech.

31 Jak provést statistické šetření?

32 Jak provést statistické šetření? úplné šetření

33 Jak provést statistické šetření? úplné šetření populace = základní soubor

34 Jak provést statistické šetření? úplné šetření výběrové šetření populace = základní soubor

35 Jak provést statistické šetření? úplné šetření výběrové šetření populace = základní soubor výběr

36 Základní pojmy

37 Základní pojmy Základní soubor - množina všech prvků s konkrétními sledovanými vlastnostmi, které jsou podrobeny zkoumání. Může být konečná i nekonečná.

38 Základní pojmy Základní soubor - množina všech prvků s konkrétními sledovanými vlastnostmi, které jsou podrobeny zkoumání. Může být konečná i nekonečná. Příklad: Při volbách do parlamentu jsou to všechny osoby s volebním právem v dané zemi, počet obyvatel ČR ke dni..., výrobky vyrobené v závodě Z v době od... do....

39 Základní pojmy Základní soubor - množina všech prvků s konkrétními sledovanými vlastnostmi, které jsou podrobeny zkoumání. Může být konečná i nekonečná. Příklad: Při volbách do parlamentu jsou to všechny osoby s volebním právem v dané zemi, počet obyvatel ČR ke dni..., výrobky vyrobené v závodě Z v době od... do.... Výběrový soubor - konečná podmnožina základního souboru.

40 Základní pojmy Základní soubor - množina všech prvků s konkrétními sledovanými vlastnostmi, které jsou podrobeny zkoumání. Může být konečná i nekonečná. Příklad: Při volbách do parlamentu jsou to všechny osoby s volebním právem v dané zemi, počet obyvatel ČR ke dni..., výrobky vyrobené v závodě Z v době od... do.... Výběrový soubor - konečná podmnožina základního souboru. Statistická jednotka - prvek základního (výběrového) souboru.

41 Základní pojmy Základní soubor - množina všech prvků s konkrétními sledovanými vlastnostmi, které jsou podrobeny zkoumání. Může být konečná i nekonečná. Příklad: Při volbách do parlamentu jsou to všechny osoby s volebním právem v dané zemi, počet obyvatel ČR ke dni..., výrobky vyrobené v závodě Z v době od... do.... Výběrový soubor - konečná podmnožina základního souboru. Statistická jednotka - prvek základního (výběrového) souboru. Rozsah souboru - (značí se N) počet prvků základního (resp. výběrového) souboru.

42 Základní pojmy Základní soubor - množina všech prvků s konkrétními sledovanými vlastnostmi, které jsou podrobeny zkoumání. Může být konečná i nekonečná. Příklad: Při volbách do parlamentu jsou to všechny osoby s volebním právem v dané zemi, počet obyvatel ČR ke dni..., výrobky vyrobené v závodě Z v době od... do.... Výběrový soubor - konečná podmnožina základního souboru. Statistická jednotka - prvek základního (výběrového) souboru. Rozsah souboru - (značí se N) počet prvků základního (resp. výběrového) souboru. Statistický znak - je vyjádřením určité vlastnosti statistických jednotek (prvků množin) sledovaného statistického souboru, kterou jsme schopni číselně nebo slovně popsat.

43 Další pojmy

44 Další pojmy variační obor - jestliže x m = min(x i ) a x M = max(x i ), pak interval x m, x M nazýváme variační obor. i i

45 Další pojmy variační obor - jestliže x m = min(x i ) a x M = max(x i ), pak interval x m, x M nazýváme variační obor. variační rozpětí - je hodnota R = x M x m. i i

46 Další pojmy variační obor - jestliže x m = min(x i ) a x M = max(x i ), pak interval x m, x M nazýváme variační obor. variační rozpětí - je hodnota R = x M x m. i absolutní četnost hodnoty x i - Jestliže se hodnota x i vyskytne v souboru f i -krát, potom f i je absolutní četnost hodnoty x i. i

47 Další pojmy variační obor - jestliže x m = min(x i ) a x M = max(x i ), pak interval x m, x M nazýváme variační obor. variační rozpětí - je hodnota R = x M x m. i absolutní četnost hodnoty x i - Jestliže se hodnota x i vyskytne v souboru f i -krát, potom f i je absolutní četnost hodnoty x i. relativní četnost hodnoty x i - je hodnota ϕ i = f i N. i

48 Další pojmy variační obor - jestliže x m = min(x i ) a x M = max(x i ), pak interval x m, x M nazýváme variační obor. variační rozpětí - je hodnota R = x M x m. i absolutní četnost hodnoty x i - Jestliže se hodnota x i vyskytne v souboru f i -krát, potom f i je absolutní četnost hodnoty x i. relativní četnost hodnoty x i - je hodnota ϕ i = f i N. kumulativní četnost do x i - je hodnota F i = i i f k. k=1

49 Další pojmy variační obor - jestliže x m = min(x i ) a x M = max(x i ), pak interval x m, x M nazýváme variační obor. variační rozpětí - je hodnota R = x M x m. i absolutní četnost hodnoty x i - Jestliže se hodnota x i vyskytne v souboru f i -krát, potom f i je absolutní četnost hodnoty x i. relativní četnost hodnoty x i - je hodnota ϕ i = f i N. kumulativní četnost do x i - je hodnota F i = i i f k. k=1 relativní kumulativní četnost do x i - je hodnota φ i = F i N.

50 Podle použitých metod práce dělíme matematickou statistiku na:

51 Podle použitých metod práce dělíme matematickou statistiku na: popisnou statistiku (deskriptivní) - zabývá se efektivním získáváním ukazatelů, které poskytují obraz zkoumaného jevu, definuje výběrové charakteristiky výběrového souboru:

52 Podle použitých metod práce dělíme matematickou statistiku na: popisnou statistiku (deskriptivní) - zabývá se efektivním získáváním ukazatelů, které poskytují obraz zkoumaného jevu, definuje výběrové charakteristiky výběrového souboru: 1 charakteristiky polohy (úrovně),

53 Podle použitých metod práce dělíme matematickou statistiku na: popisnou statistiku (deskriptivní) - zabývá se efektivním získáváním ukazatelů, které poskytují obraz zkoumaného jevu, definuje výběrové charakteristiky výběrového souboru: 1 charakteristiky polohy (úrovně), 2 charakteristiky variability.

54 Podle použitých metod práce dělíme matematickou statistiku na: popisnou statistiku (deskriptivní) - zabývá se efektivním získáváním ukazatelů, které poskytují obraz zkoumaného jevu, definuje výběrové charakteristiky výběrového souboru: 1 charakteristiky polohy (úrovně), 2 charakteristiky variability. statistickou indukci - řeší problémy zobecňování výsledků získaných popisem statistického souboru.

55 Charakteristiky polohy

56 Charakteristiky polohy Empirická střední hodnota

57 Charakteristiky polohy Empirická střední hodnota Aritmetický průměr,

58 Charakteristiky polohy Empirická střední hodnota Aritmetický průměr, Harmonický průměr,

59 Charakteristiky polohy Empirická střední hodnota Aritmetický průměr, Harmonický průměr, Geometrický průměr,

60 Charakteristiky polohy Empirická střední hodnota Aritmetický průměr, Harmonický průměr, Geometrický průměr, Kvadratický průměr....

61 Charakteristiky polohy Empirická střední hodnota Aritmetický průměr, Harmonický průměr, Geometrický průměr, Kvadratický průměr.... Poznámka: Střední hodnoty mimo aritmetický průměr jsou používány jako popisné statistické charakteristiky souboru v mnohem menší míře a pouze ve speciálních situacích.

62 Aritmetický průměr

63 Aritmetický průměr x = x 1 + x x n n

64 Aritmetický průměr x = x 1 + x x n n Dále platí n (x i x) = 0. i=1

65 Aritmetický průměr Dále platí x = x 1 + x x n n n (x i x) = 0. i=1 Pro libovolné a x platí n (x i x) 2 < i=1 n (x i a) 2. i=1

66 Aritmetický průměr Dále platí x = x 1 + x x n n n (x i x) = 0. i=1 Pro libovolné a x platí n (x i x) 2 < i=1 n (x i a) 2. Příklad: Vypočtěte průměrnou rychlost v automobilu na celé své dráze, jestliže první hodinu jel rychlostí a = 80km/h a druhou hodinu jel rychlostí b = 120km/h. i=1

67 Aritmetický průměr Dále platí x = x 1 + x x n n n (x i x) = 0. i=1 Pro libovolné a x platí n (x i x) 2 < i=1 n (x i a) 2. Příklad: Vypočtěte průměrnou rychlost v automobilu na celé své dráze, jestliže první hodinu jel rychlostí a = 80km/h a druhou hodinu jel rychlostí b = 120km/h. Řešení: Průměrná rychlost se počítá jako podíl celkově ujeté dráhy a celé doby jízdy. V našem případě to je v = a + b 2 = i= km/h = 100km/h. 2

68 Ošidnost aritmetického průměru

69 Ošidnost aritmetického průměru V malé vesnici někde v Americe žije 6 lidí, jejichž roční plat je uveden níže. $ $ $ $ $ $ Určete průměrný plat obyvatel této vesnice.

70 Ošidnost aritmetického průměru V malé vesnici někde v Americe žije 6 lidí, jejichž roční plat je uveden níže. $ $ $ $ $ $ Určete průměrný plat obyvatel této vesnice. [$31 833]

71 Ošidnost aritmetického průměru V malé vesnici někde v Americe žije 6 lidí, jejichž roční plat je uveden níže. $ $ $ $ $ $ Určete průměrný plat obyvatel této vesnice. [$31 833] Do vesnice se přistěhoval Bill Gates, jehož roční příjem je $ $ $ $ $ $ $ $ Určete průměrný plat obyvatel této vesnice.

72 Ošidnost aritmetického průměru V malé vesnici někde v Americe žije 6 lidí, jejichž roční plat je uveden níže. $ $ $ $ $ $ Určete průměrný plat obyvatel této vesnice. [$31 833] Do vesnice se přistěhoval Bill Gates, jehož roční příjem je $ $ $ $ $ $ $ $ Určete průměrný plat obyvatel této vesnice. [$ ]

73 Harmonický průměr

74 Harmonický průměr - Lze použít pouze pro hodnoty x i různé od nuly. x H = n x1 1 + x xn 1

75 Harmonický průměr - Lze použít pouze pro hodnoty x i různé od nuly. x H = n x1 1 + x xn 1 Příklad: Určete průměrnou rychlost automobilu, které jede z místa A do místa B stálou rychlostí a = 80km/h a zpět z místa B do místa A stálou rychlostí b = 120km/h.

76 Harmonický průměr - Lze použít pouze pro hodnoty x i různé od nuly. x H = n x1 1 + x xn 1 Příklad: Určete průměrnou rychlost automobilu, které jede z místa A do místa B stálou rychlostí a = 80km/h a zpět z místa B do místa A stálou rychlostí b = 120km/h. Řešení: Je-li s vzdálenost mezi místy A, B, dále t 1 doba jízdy z A do B a t 2 doba jízdy z B do A, je průměrná rychlost rovna v = 2s t 1 + t 2 = 2s s a + s b = 2 1 a + 1 b = km/h = 96km/h.

77 Geometrický průměr

78 Geometrický průměr - Používá se zejména k charakterizování průměrného tempa růstu.

79 Geometrický průměr - Používá se zejména k charakterizování průměrného tempa růstu. x G = n x 1 x 2... x n

80 Geometrický průměr - Používá se zejména k charakterizování průměrného tempa růstu. x G = n x 1 x 2... x n Příklad: Obdélník má rozměry a = 2cm, b = 8cm. Jaké rozměry má čtverec stejného obsahu jako obdélník?

81 Geometrický průměr - Používá se zejména k charakterizování průměrného tempa růstu. x G = n x 1 x 2... x n Příklad: Obdélník má rozměry a = 2cm, b = 8cm. Jaké rozměry má čtverec stejného obsahu jako obdélník? Řešení: Je-li p strana čtverce, platí p 2 = a b, p = a b = 2 8cm = 4cm.

82 Kvadratický průměr

83 Kvadratický průměr x K = x x x 2 n n

84 Kvadratický průměr x K = x x x 2 n n Příklad: Určete délku p strany dvou průměrných čtverců, které zaberou stejnou plochu jako čtverce o délkách stran a = 10cm a b = 70cm.

85 Kvadratický průměr x K = x x x 2 n n Příklad: Určete délku p strany dvou průměrných čtverců, které zaberou stejnou plochu jako čtverce o délkách stran a = 10cm a b = 70cm. Řešení: Má platit 2p 2 = a 2 + b 2, a p = 2 + b 2 10 =

86 Vzájemný vztah mezi průměry

87 Vzájemný vztah mezi průměry Poznámka: Kromě výše uváděných průměrů existuje ještě celá řada dalších průměrů, např. Kubický průměr, Harmonicko-kvadratický průměr, atd.

88 Vzájemný vztah mezi průměry Poznámka: Kromě výše uváděných průměrů existuje ještě celá řada dalších průměrů, např. Kubický průměr, Harmonicko-kvadratický průměr, atd. Všechny výše uvedené průměry se dají zapsat pomoci jediné formule x = k x k 1 + x k x k n n

89 Vzájemný vztah mezi průměry Poznámka: Kromě výše uváděných průměrů existuje ještě celá řada dalších průměrů, např. Kubický průměr, Harmonicko-kvadratický průměr, atd. Všechny výše uvedené průměry se dají zapsat pomoci jediné formule x = k x k 1 + x k x k n n Pro k = 2... Harmonicko-kvadratický průměr,

90 Vzájemný vztah mezi průměry Poznámka: Kromě výše uváděných průměrů existuje ještě celá řada dalších průměrů, např. Kubický průměr, Harmonicko-kvadratický průměr, atd. Všechny výše uvedené průměry se dají zapsat pomoci jediné formule Pro x = k x k 1 + x k x k n n k = 2... Harmonicko-kvadratický průměr, k = 1... Harmonický průměr,

91 Vzájemný vztah mezi průměry Poznámka: Kromě výše uváděných průměrů existuje ještě celá řada dalších průměrů, např. Kubický průměr, Harmonicko-kvadratický průměr, atd. Všechny výše uvedené průměry se dají zapsat pomoci jediné formule Pro x = k x k 1 + x k x k n n k = 2... Harmonicko-kvadratický průměr, k = 1... Harmonický průměr, k 0... Geometrický průměr,

92 Vzájemný vztah mezi průměry Poznámka: Kromě výše uváděných průměrů existuje ještě celá řada dalších průměrů, např. Kubický průměr, Harmonicko-kvadratický průměr, atd. Všechny výše uvedené průměry se dají zapsat pomoci jediné formule Pro x = k x k 1 + x k x k n n k = 2... Harmonicko-kvadratický průměr, k = 1... Harmonický průměr, k 0... Geometrický průměr, k = 1... Aritmetický průměr,

93 Vzájemný vztah mezi průměry Poznámka: Kromě výše uváděných průměrů existuje ještě celá řada dalších průměrů, např. Kubický průměr, Harmonicko-kvadratický průměr, atd. Všechny výše uvedené průměry se dají zapsat pomoci jediné formule Pro x = k x k 1 + x k x k n n k = 2... Harmonicko-kvadratický průměr, k = 1... Harmonický průměr, k 0... Geometrický průměr, k = 1... Aritmetický průměr, k = 2... Kvadratický průměr,

94 Vzájemný vztah mezi průměry Poznámka: Kromě výše uváděných průměrů existuje ještě celá řada dalších průměrů, např. Kubický průměr, Harmonicko-kvadratický průměr, atd. Všechny výše uvedené průměry se dají zapsat pomoci jediné formule Pro x = k x k 1 + x k x k n n k = 2... Harmonicko-kvadratický průměr, k = 1... Harmonický průměr, k 0... Geometrický průměr, k = 1... Aritmetický průměr, k = 2... Kvadratický průměr, k = 3... Kubický průměr.

95 Vzájemný vztah mezi průměry x H x G x x K

96 Vzájemný vztah mezi průměry x H x G x x K Rovnost je splněna když jsou všechny prvky x i shodné.

97 Charakteristiky polohy Modus statistického souboru Mo(x) - je ta hodnota argumentu X, která má největší absolutní četnost.

98 Charakteristiky polohy Modus statistického souboru Mo(x) - je ta hodnota argumentu X, která má největší absolutní četnost. Medián statistického souboru Me(x) - je ta hodnota argumentu X, která rozděluje soubor uspořádaný na dvě části o stejném počtu prvků. Má-li soubor sudý počet prvků, považuje se za medián průměrná hodnota prostředních dvou.

99 Charakteristiky polohy Modus statistického souboru Mo(x) - je ta hodnota argumentu X, která má největší absolutní četnost. Medián statistického souboru Me(x) - je ta hodnota argumentu X, která rozděluje soubor uspořádaný na dvě části o stejném počtu prvků. Má-li soubor sudý počet prvků, považuje se za medián průměrná hodnota prostředních dvou. Empirický p-kvantil - je taková hodnota x p, pro kterou platí, že 100p procent prvků souboru je nanejvýš rovných x p.

100 Charakteristiky variability

101 Charakteristiky variability Empirický rozptyl (empirická disperze) s 2 x = 1 N 1 f i (x i x) 2 i

102 Charakteristiky variability Empirický rozptyl (empirická disperze) s 2 x = 1 N 1 f i (x i x) 2 Empirická směrodatná (standardní) odchylka - měří rozptýlenost kolem průměru, je vždy 0 s x = sx 2 i

103 Charakteristiky variability Empirický rozptyl (empirická disperze) s 2 x = 1 N 1 f i (x i x) 2 Empirická směrodatná (standardní) odchylka - měří rozptýlenost kolem průměru, je vždy 0 s x = sx 2 Průměrná odchylka d = 1 N 1 i f i x i x i

104 Charakteristiky variability Empirický rozptyl (empirická disperze) s 2 x = 1 N 1 f i (x i x) 2 Empirická směrodatná (standardní) odchylka - měří rozptýlenost kolem průměru, je vždy 0 s x = sx 2 Průměrná odchylka d = 1 N 1 i f i x i x i Variační koeficient - často se udává v procentech. Používáme, jestliže chceme posoudit relativní velikost rozptýlenosti dat vzhledem k průměru. v = s x x

105 Základní zpracování dat

106 Základní zpracování dat Statistické třídění - základem je uspořádání hodnot jednoho statistického znaku.

107 Základní zpracování dat Statistické třídění - základem je uspořádání hodnot jednoho statistického znaku. Z tohoto pohledu rozeznáváme: řada neuspořádaná (původní naměřená řada),

108 Základní zpracování dat Statistické třídění - základem je uspořádání hodnot jednoho statistického znaku. Z tohoto pohledu rozeznáváme: řada neuspořádaná (původní naměřená řada), řada uspořádaná (variační) podle velikosti,

109 Základní zpracování dat Statistické třídění - základem je uspořádání hodnot jednoho statistického znaku. Z tohoto pohledu rozeznáváme: řada neuspořádaná (původní naměřená řada), řada uspořádaná (variační) podle velikosti, řada tříděná

110 Základní zpracování dat Statistické třídění - základem je uspořádání hodnot jednoho statistického znaku. Z tohoto pohledu rozeznáváme: řada neuspořádaná (původní naměřená řada), řada uspořádaná (variační) podle velikosti, řada tříděná prosté třídění,

111 Základní zpracování dat Statistické třídění - základem je uspořádání hodnot jednoho statistického znaku. Z tohoto pohledu rozeznáváme: řada neuspořádaná (původní naměřená řada), řada uspořádaná (variační) podle velikosti, řada tříděná prosté třídění, intervalové třídění,

112 Základní zpracování dat Statistické třídění - základem je uspořádání hodnot jednoho statistického znaku. Z tohoto pohledu rozeznáváme: řada neuspořádaná (původní naměřená řada), řada uspořádaná (variační) podle velikosti, řada tříděná prosté třídění, intervalové třídění, Výsledkem všech druhů třídění je řada rozdělení četností v tabulkové nebo grafické podobě (sloupcové a výsečové grafy, polygony rozdělení četností, histogramy).

113 Třídění dat

114 Třídění dat Obsahuje-li statistický soubor malý počet různých hodnot argumentu X = prosté třídění

115 Třídění dat Obsahuje-li statistický soubor malý počet různých hodnot argumentu X = prosté třídění Příklad: Počet kotlů na tuhá paliva v domácnosti. Známkování studentů.

116 Třídění dat Obsahuje-li statistický soubor malý počet různých hodnot argumentu X = prosté třídění Příklad: Počet kotlů na tuhá paliva v domácnosti. Známkování studentů. Obsahuje-li statistický soubor velký počet různých hodnot argumentu X, sdružujeme hodnoty argumentu do intervalů zvaných třídy = intervalové třídění

117 Třídění dat Obsahuje-li statistický soubor malý počet různých hodnot argumentu X = prosté třídění Příklad: Počet kotlů na tuhá paliva v domácnosti. Známkování studentů. Obsahuje-li statistický soubor velký počet různých hodnot argumentu X, sdružujeme hodnoty argumentu do intervalů zvaných třídy = intervalové třídění Příklad: Koncentrace Pb v ovzduší na určitém místě (soubor má např. 104 hodnot ze 104 měření).

118 Tabulka četností

119 Tabulka četností Konstrukce tabulky četností:

120 Tabulka četností Konstrukce tabulky četností: 1 Zjistíme v jakém rozmezí se hodnoty proměnné pohybují, tedy nejmenší (minimum) a nejvyšší (maximum) hodnotu.

121 Tabulka četností Konstrukce tabulky četností: 1 Zjistíme v jakém rozmezí se hodnoty proměnné pohybují, tedy nejmenší (minimum) a nejvyšší (maximum) hodnotu. 2 Rozhodneme, zda provedeme prosté nebo intervalové třídění.

122 Tabulka četností Konstrukce tabulky četností: 1 Zjistíme v jakém rozmezí se hodnoty proměnné pohybují, tedy nejmenší (minimum) a nejvyšší (maximum) hodnotu. 2 Rozhodneme, zda provedeme prosté nebo intervalové třídění. 3 Rozhodneme, kolik bude mít tabulka řádků.

123 Tabulka četností Konstrukce tabulky četností: 1 Zjistíme v jakém rozmezí se hodnoty proměnné pohybují, tedy nejmenší (minimum) a nejvyšší (maximum) hodnotu. 2 Rozhodneme, zda provedeme prosté nebo intervalové třídění. 3 Rozhodneme, kolik bude mít tabulka řádků. 4 Rozhodneme jaké bude rozpětí jednotlivých tříd.

124 Tabulka četností Konstrukce tabulky četností: 1 Zjistíme v jakém rozmezí se hodnoty proměnné pohybují, tedy nejmenší (minimum) a nejvyšší (maximum) hodnotu. 2 Rozhodneme, zda provedeme prosté nebo intervalové třídění. 3 Rozhodneme, kolik bude mít tabulka řádků. 4 Rozhodneme jaké bude rozpětí jednotlivých tříd. 5 Počítáme kolik pozorování patří do každé třídy.

125 Tabulka četností Konstrukce tabulky četností: 1 Zjistíme v jakém rozmezí se hodnoty proměnné pohybují, tedy nejmenší (minimum) a nejvyšší (maximum) hodnotu. 2 Rozhodneme, zda provedeme prosté nebo intervalové třídění. 3 Rozhodneme, kolik bude mít tabulka řádků. 4 Rozhodneme jaké bude rozpětí jednotlivých tříd. 5 Počítáme kolik pozorování patří do každé třídy.

126 Intervalové třídění Volba vhodného počtu tříd (řádků) v tabulce četností:

127 Intervalové třídění Volba vhodného počtu tříd (řádků) v tabulce četností: Sturgesovo pravidlo počet intervalů 1 + 3, 3 log 10 (N)

128 Intervalové třídění Volba vhodného počtu tříd (řádků) v tabulce četností: Sturgesovo pravidlo počet intervalů 1 + 3, 3 log 10 (N) Jednoduché (odmocninové) pravidlo

129 Intervalové třídění Volba vhodného počtu tříd (řádků) v tabulce četností: Sturgesovo pravidlo počet intervalů 1 + 3, 3 log 10 (N) Jednoduché (odmocninové) pravidlo počet intervalů N

130 Intervalové třídění Volba vhodného počtu tříd (řádků) v tabulce četností: Sturgesovo pravidlo počet intervalů 1 + 3, 3 log 10 (N) Jednoduché (odmocninové) pravidlo počet intervalů N subjektivně

131 Intervalové třídění Volba vhodného počtu tříd (řádků) v tabulce četností: Sturgesovo pravidlo počet intervalů 1 + 3, 3 log 10 (N) Jednoduché (odmocninové) pravidlo počet intervalů N subjektivně - Třídy musí zahrnovat všechny hodnoty a nejčastěji se volí stejně široké.

132 Intervalové třídění Volba vhodného počtu tříd (řádků) v tabulce četností: Sturgesovo pravidlo počet intervalů 1 + 3, 3 log 10 (N) Jednoduché (odmocninové) pravidlo počet intervalů N subjektivně - Třídy musí zahrnovat všechny hodnoty a nejčastěji se volí stejně široké. - Krajní intervaly mohou být širší pokud zahrnují výrazně vysoké nebo nízké hodnoty.

133 Intervalové třídění Volba vhodného počtu tříd (řádků) v tabulce četností: Sturgesovo pravidlo počet intervalů 1 + 3, 3 log 10 (N) Jednoduché (odmocninové) pravidlo počet intervalů N subjektivně - Třídy musí zahrnovat všechny hodnoty a nejčastěji se volí stejně široké. - Krajní intervaly mohou být širší pokud zahrnují výrazně vysoké nebo nízké hodnoty. - Třídy se nesmějí překrývat, proto se aplikují zleva otevřené a zprava uzavřené intervaly.

134 Intervalové třídění Šířka tříd se spočítá podle vzorce h = x M x m počet tříd.

135 Intervalové třídění Šířka tříd se spočítá podle vzorce h = x M x m počet tříd. Při zpracování statistického souboru nahradíme všechny hodnoty v dané třídě jedinou hodnotou, tzv. třídním znakem, kterým je aritmetický průměr obou mezí třídy. Třídní znak zastupuje všechny hodnoty, které do této třídy patří.

136 Intervalové třídění Šířka tříd se spočítá podle vzorce h = x M x m počet tříd. Při zpracování statistického souboru nahradíme všechny hodnoty v dané třídě jedinou hodnotou, tzv. třídním znakem, kterým je aritmetický průměr obou mezí třídy. Třídní znak zastupuje všechny hodnoty, které do této třídy patří. Počet hodnot ve třídě je třídní četnost.

137 Typy statistických znaků (proměnných) Typy proměnných: Kvalitativní proměnná (kategoriální, slovní,... ) Kvantitativní proměnná (numerická, číselná,... )

138 Kvalitativní proměnná

139 Kvalitativní proměnná - nelze ji měřit, pouze ji lze zařadit do tříd.

140 Kvalitativní proměnná - nelze ji měřit, pouze ji lze zařadit do tříd. - varianty kvalitativní proměnné nazýváme kategoriemi

141 Kvalitativní proměnná - nelze ji měřit, pouze ji lze zařadit do tříd. - varianty kvalitativní proměnné nazýváme kategoriemi Dělení podle možnosti uspořádání do kategorií:

142 Kvalitativní proměnná - nelze ji měřit, pouze ji lze zařadit do tříd. - varianty kvalitativní proměnné nazýváme kategoriemi Dělení podle možnosti uspořádání do kategorií: nominální proměnná - nabývá rovnocenných variant a nelze je smysluplně porovnávat ani seřadit,

143 Kvalitativní proměnná - nelze ji měřit, pouze ji lze zařadit do tříd. - varianty kvalitativní proměnné nazýváme kategoriemi Dělení podle možnosti uspořádání do kategorií: nominální proměnná - nabývá rovnocenných variant a nelze je smysluplně porovnávat ani seřadit, Příklad: pohlaví, národnost, značka hodinek,...

144 Kvalitativní proměnná - nelze ji měřit, pouze ji lze zařadit do tříd. - varianty kvalitativní proměnné nazýváme kategoriemi Dělení podle možnosti uspořádání do kategorií: nominální proměnná - nabývá rovnocenných variant a nelze je smysluplně porovnávat ani seřadit, Příklad: pohlaví, národnost, značka hodinek,... ordinální proměnná - tvoří přechod mezi kvalitativními a kvantitativními proměnnými; jednotlivým variantám lze přiřadit pořadí a vzájemně je porovnávat nebo seřadit

145 Kvalitativní proměnná - nelze ji měřit, pouze ji lze zařadit do tříd. - varianty kvalitativní proměnné nazýváme kategoriemi Dělení podle možnosti uspořádání do kategorií: nominální proměnná - nabývá rovnocenných variant a nelze je smysluplně porovnávat ani seřadit, Příklad: pohlaví, národnost, značka hodinek,... ordinální proměnná - tvoří přechod mezi kvalitativními a kvantitativními proměnnými; jednotlivým variantám lze přiřadit pořadí a vzájemně je porovnávat nebo seřadit Příklad: známka ve škole, velikost oděvu (S, M, L),...

146 Kvalitativní proměnná

147 Kvalitativní proměnná Dělení podle počtu variant:

148 Kvalitativní proměnná Dělení podle počtu variant: alternativní proměnná - nabývá pouze dvou různých variant,

149 Kvalitativní proměnná Dělení podle počtu variant: alternativní proměnná - nabývá pouze dvou různých variant, Příklad: pohlaví, zapnuto/vypnuto, živý/mrtvý,...

150 Kvalitativní proměnná Dělení podle počtu variant: alternativní proměnná - nabývá pouze dvou různých variant, Příklad: pohlaví, zapnuto/vypnuto, živý/mrtvý,... množná proměnná - nabývá více než dvou různých variant

151 Kvalitativní proměnná Dělení podle počtu variant: alternativní proměnná - nabývá pouze dvou různých variant, Příklad: pohlaví, zapnuto/vypnuto, živý/mrtvý,... množná proměnná - nabývá více než dvou různých variant Příklad: vzdělání, jméno, barva očí,...

152 Kvantitativní proměnná

153 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné

154 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné Dělení: diskrétní proměnné - nabývají konečného nebo spočetného množství variant,

155 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné Dělení: diskrétní proměnné - nabývají konečného nebo spočetného množství variant, konečné

156 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné Dělení: diskrétní proměnné - nabývají konečného nebo spočetného množství variant, konečné Příklad: známka z matematiky,...

157 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné Dělení: diskrétní proměnné - nabývají konečného nebo spočetného množství variant, konečné Příklad: známka z matematiky,... spočetné

158 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné Dělení: diskrétní proměnné - nabývají konečného nebo spočetného množství variant, konečné Příklad: známka z matematiky,... spočetné Příklad: věk v letech, výška v centimetrech, váha v kilogramech,...

159 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné Dělení: diskrétní proměnné - nabývají konečného nebo spočetného množství variant, konečné Příklad: známka z matematiky,... spočetné Příklad: věk v letech, výška v centimetrech, váha v kilogramech,... spojité proměnné - mohou nabývat libovolných hodnot z určitého intervalu

160 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné Dělení: diskrétní proměnné - nabývají konečného nebo spočetného množství variant, konečné Příklad: známka z matematiky,... spočetné Příklad: věk v letech, výška v centimetrech, váha v kilogramech,... spojité proměnné - mohou nabývat libovolných hodnot z určitého intervalu Příklad: výška, váha, vzdálenost měst,...

161 Kvantitativní proměnná - jsou to proměnné měřitelné Dělení: diskrétní proměnné - nabývají konečného nebo spočetného množství variant, konečné Příklad: známka z matematiky,... spočetné Příklad: věk v letech, výška v centimetrech, váha v kilogramech,... spojité proměnné - mohou nabývat libovolných hodnot z určitého intervalu Příklad: výška, váha, vzdálenost měst,...

162 Nominální proměnná

163 Nominální proměnná - nabývá v rámci souboru různých, avšak rovnocenných kategorií.

164 Nominální proměnná - nabývá v rámci souboru různých, avšak rovnocenných kategorií. Charakteristiky:

165 Nominální proměnná - nabývá v rámci souboru různých, avšak rovnocenných kategorií. Charakteristiky: četnost,

166 Nominální proměnná - nabývá v rámci souboru různých, avšak rovnocenných kategorií. Charakteristiky: četnost, relativní četnost,

167 Nominální proměnná - nabývá v rámci souboru různých, avšak rovnocenných kategorií. Charakteristiky: četnost, relativní četnost, modus.

168 Grafické znázornění nominální proměnné

169 Grafické znázornění nominální proměnné Histogram (také sloupcový graf, angl. bar chart ) - je to graf, v němž na jednu osu vynášíme varianty proměnné a na druhou osu jejich četnosti.

170 Grafické znázornění nominální proměnné Histogram (také sloupcový graf, angl. bar chart ) - je to graf, v němž na jednu osu vynášíme varianty proměnné a na druhou osu jejich četnosti. Výsečový graf (také koláčový graf, angl. pie chart ) - je to graf relativních četnosti jednotlivých variant proměnné, přičemž jednotlivé relativní četnosti jsou úměrně reprezentovány plochami příslušných kruhových výsečí.

171 Ordinální proměnná

172 Ordinální proměnná Charakteristiky:

173 Ordinální proměnná Charakteristiky: četnost,

174 Ordinální proměnná Charakteristiky: četnost, relativní četnost,

175 Ordinální proměnná Charakteristiky: četnost, relativní četnost, modus,

176 Ordinální proměnná Charakteristiky: četnost, relativní četnost, modus, kumulativní četnost,

177 Ordinální proměnná Charakteristiky: četnost, relativní četnost, modus, kumulativní četnost, kumulativní relativní četnost.

178 Grafické znázornění ordinální proměnné

179 Grafické znázornění ordinální proměnné Histogram,

180 Grafické znázornění ordinální proměnné Histogram, Výsečový graf,

181 Grafické znázornění ordinální proměnné Histogram, Výsečový graf, Lorenzova křivka (polygon kumulativních četností)

182 Grafické znázornění ordinální proměnné Histogram, Výsečový graf, Lorenzova křivka (polygon kumulativních četností) - je to spojnicový graf, který získáme tak, že na vodorovnou osu vynášíme jednotlivé varianty proměnné v pořadí od nejmenší do největší a na svislou osu příslušné hodnoty kumulativních četností. Znázorněné body spojíme úsečkami, - zaznamenává uspořádání jednotlivých variant.

183 Kvalitativní proměnná

184 Kvalitativní proměnná Charakteristiky:

185 Kvalitativní proměnná Charakteristiky: Míry polohy - určují typické rozložení hodnot proměnné (jejich rozmístění na číselné ose) Míry variability - určují variabilitu (rozptyl) hodnot kolem své typické polohy.

186 Míry polohy a variability Průměr

187 Míry polohy a variability Průměr aritmetický, geometrický, harmonický, geometrický,.

188 Míry polohy a variability Průměr aritmetický, geometrický, harmonický, geometrický,. - stanovuje ze všech hodnot proměnné = nese maximum informací o výběrovém souboru,

189 Míry polohy a variability Průměr aritmetický, geometrický, harmonický, geometrický,. - stanovuje ze všech hodnot proměnné = nese maximum informací o výběrovém souboru, - je velmi citlivý na tzv. odlehlá pozorování (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních)

190 Míry polohy a variability Modus

191 Míry polohy a variability Modus diskrétní proměnná - hodnota nejčetnější varianty proměnné.

192 Míry polohy a variability Modus diskrétní proměnná - hodnota nejčetnější varianty proměnné. spojitá proměnná - hodnota, kolem které je největší koncentrace hodnot proměnné,

193 Míry polohy a variability Modus diskrétní proměnná - hodnota nejčetnější varianty proměnné. spojitá proměnná - hodnota, kolem které je největší koncentrace hodnot proměnné, - pro určení této hodnoty využijeme tzv. shorth - nejkratší interval, v němž leží alespoň 50% hodnot proměnné.

194 Míry polohy a variability Modus diskrétní proměnná - hodnota nejčetnější varianty proměnné. spojitá proměnná - hodnota, kolem které je největší koncentrace hodnot proměnné, - pro určení této hodnoty využijeme tzv. shorth - nejkratší interval, v němž leží alespoň 50% hodnot proměnné. n = 2k, k N (sudý počet hodnot) = leží v shorthu k hodnot, což je 50 % (n/2) hodnot proměnné,

195 Míry polohy a variability Modus diskrétní proměnná - hodnota nejčetnější varianty proměnné. spojitá proměnná - hodnota, kolem které je největší koncentrace hodnot proměnné, - pro určení této hodnoty využijeme tzv. shorth - nejkratší interval, v němž leží alespoň 50% hodnot proměnné. n = 2k, k N (sudý počet hodnot) = leží v shorthu k hodnot, což je 50 % (n/2) hodnot proměnné, n = 2k + 1, k N (lichý počet hodnot) = leží v shorthu k + 1 hodnot, což je o 1 více než je 50% hodnot proměnné.

196 Míry polohy a variability Modus diskrétní proměnná - hodnota nejčetnější varianty proměnné. spojitá proměnná - hodnota, kolem které je největší koncentrace hodnot proměnné, - pro určení této hodnoty využijeme tzv. shorth - nejkratší interval, v němž leží alespoň 50% hodnot proměnné. n = 2k, k N (sudý počet hodnot) = leží v shorthu k hodnot, což je 50 % (n/2) hodnot proměnné, n = 2k + 1, k N (lichý počet hodnot) = leží v shorthu k + 1 hodnot, což je o 1 více než je 50% hodnot proměnné. Modus pak definujeme jako střed shorthu.

197 Míry polohy a variability Modus diskrétní proměnná - hodnota nejčetnější varianty proměnné. spojitá proměnná - hodnota, kolem které je největší koncentrace hodnot proměnné, - pro určení této hodnoty využijeme tzv. shorth - nejkratší interval, v němž leží alespoň 50% hodnot proměnné. n = 2k, k N (sudý počet hodnot) = leží v shorthu k hodnot, což je 50 % (n/2) hodnot proměnné, n = 2k + 1, k N (lichý počet hodnot) = leží v shorthu k + 1 hodnot, což je o 1 více než je 50% hodnot proměnné. Modus pak definujeme jako střed shorthu. - je odolný vůči odlehlým pozorováním (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních)

198 Míry polohy a variability Jak postupovat při určování shortu?

199 Míry polohy a variability Jak postupovat při určování shortu? 1 Hodnoty proměnné seřadíme.

200 Míry polohy a variability Jak postupovat při určování shortu? 1 Hodnoty proměnné seřadíme. 2 Určíme délky všech n/2 (resp. n/ ) členných intervalů, ve kterých x i < x i+1 < < x i+n/2 1 (resp. x i+n/2 0.5 ) pro i = 1, 2,..., n/2 + 1 (resp. n/ ).

201 Míry polohy a variability Jak postupovat při určování shortu? 1 Hodnoty proměnné seřadíme. 2 Určíme délky všech n/2 (resp. n/ ) členných intervalů, ve kterých x i < x i+1 < < x i+n/2 1 (resp. x i+n/2 0.5 ) pro i = 1, 2,..., n/2 + 1 (resp. n/ ). 3 Nejkratší z těchto intervalů prohlásíme za shorth

202 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p

203 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné.

204 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné p% kvantil proměnné x odděluje 100p % menších hodnot od zbytku souboru, tj. od 100(1 p) % hodnot,

205 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné p% kvantil proměnné x odděluje 100p % menších hodnot od zbytku souboru, tj. od 100(1 p) % hodnot, - jsou odolné vůči odlehlým pozorováním (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních),

206 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné p% kvantil proměnné x odděluje 100p % menších hodnot od zbytku souboru, tj. od 100(1 p) % hodnot, - jsou odolné vůči odlehlým pozorováním (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních), Kvartily

207 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné p% kvantil proměnné x odděluje 100p % menších hodnot od zbytku souboru, tj. od 100(1 p) % hodnot, - jsou odolné vůči odlehlým pozorováním (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních), Kvartily Dolní kvartil x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že 25 % hodnot je menších než tento kvartil a zbytek, tj. 75 % větších (nebo rovných)),

208 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné p% kvantil proměnné x odděluje 100p % menších hodnot od zbytku souboru, tj. od 100(1 p) % hodnot, - jsou odolné vůči odlehlým pozorováním (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních), Kvartily Dolní kvartil x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že 25 % hodnot je menších než tento kvartil a zbytek, tj. 75 % větších (nebo rovných)), Medián x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že polovina 50 % hodnot je menších než medián a polovina (50 %) hodnot větších (nebo rovných)),

209 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné p% kvantil proměnné x odděluje 100p % menších hodnot od zbytku souboru, tj. od 100(1 p) % hodnot, - jsou odolné vůči odlehlým pozorováním (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních), Kvartily Dolní kvartil x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že 25 % hodnot je menších než tento kvartil a zbytek, tj. 75 % větších (nebo rovných)), Medián x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že polovina 50 % hodnot je menších než medián a polovina (50 %) hodnot větších (nebo rovných)), Horní kvartil x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že 75 % hodnot je menších než tento kvartil a zbytek, tj. 25 % větších (nebo rovných)).

210 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné p% kvantil proměnné x odděluje 100p % menších hodnot od zbytku souboru, tj. od 100(1 p) % hodnot, - jsou odolné vůči odlehlým pozorováním (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních), Kvartily Dolní kvartil x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že 25 % hodnot je menších než tento kvartil a zbytek, tj. 75 % větších (nebo rovných)), Medián x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že polovina 50 % hodnot je menších než medián a polovina (50 %) hodnot větších (nebo rovných)), Horní kvartil x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že 75 % hodnot je menších než tento kvartil a zbytek, tj. 25 % větších (nebo rovných)). Decily - x 0.1, x 0.2,..., x 0.9,

211 Míry polohy a variability Výběrové kvantily (angl. quantile, resp. percentile) - x p - charakterizují rozložení jednotlivých hodnot v rámci proměnné p% kvantil proměnné x odděluje 100p % menších hodnot od zbytku souboru, tj. od 100(1 p) % hodnot, - jsou odolné vůči odlehlým pozorováním (hodnoty, které se mimořádně liší od ostatních), Kvartily Dolní kvartil x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že 25 % hodnot je menších než tento kvartil a zbytek, tj. 75 % větších (nebo rovných)), Medián x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že polovina 50 % hodnot je menších než medián a polovina (50 %) hodnot větších (nebo rovných)), Horní kvartil x %-ní kvantil (rozděluje datový soubor tak, že 75 % hodnot je menších než tento kvartil a zbytek, tj. 25 % větších (nebo rovných)). Decily - x 0.1, x 0.2,..., x 0.9, Percentily - x 0.01, x 0.02,..., x 0.99,

212 Míry polohy a variability Jak postupovat při určování kvantilu?

213 Míry polohy a variability Jak postupovat při určování kvantilu? 1 Hodnoty proměnné seřadíme podle velikosti.

214 Míry polohy a variability Jak postupovat při určování kvantilu? 1 Hodnoty proměnné seřadíme podle velikosti. 2 Jednotlivým hodnotám proměnné přiřadíme pořadí, a to tak, že nejmenší hodnota bude mít pořadí 1 a nejvyšší hodnota pořadí n (rozsah souboru).

215 Míry polohy a variability Jak postupovat při určování kvantilu? 1 Hodnoty proměnné seřadíme podle velikosti. 2 Jednotlivým hodnotám proměnné přiřadíme pořadí, a to tak, že nejmenší hodnota bude mít pořadí 1 a nejvyšší hodnota pořadí n (rozsah souboru) p%- ní kvantil je roven hodnotě proměnné s pořadím z p, kde z p = np Není-li z p celé číslo, pak daný kvantil určíme jako průměr prvků s pořadím [z p ] a [z p + 1].

216 Empirická distribuční funkce F(x)

217 Empirická distribuční funkce F(x) Označme f (x i ) relativní četnost hodnoty x i seřazeného výběrového souboru x 1 < x 2 < < x n. Potom 0 pro x x i, F (x) = j F (x) pro x j < x x j+1, 1 j n 1, i=1 1 pro x n < x.

218 Míry polohy a variability Interkvartilové rozpětí - IQR - je mírou variability souboru a je definována jako vzdálenost mezi horním a dolním kvartilem IQR = x 0.75 x 0.25

219 Míry polohy a variability Interkvartilové rozpětí - IQR - je mírou variability souboru a je definována jako vzdálenost mezi horním a dolním kvartilem IQR = x 0.75 x 0.25 MAD (angl. median absolute deviation from the median; česky: medián absolutních odchylek od mediánu)

220 Míry polohy a variability Interkvartilové rozpětí - IQR - je mírou variability souboru a je definována jako vzdálenost mezi horním a dolním kvartilem IQR = x 0.75 x 0.25 MAD (angl. median absolute deviation from the median; česky: medián absolutních odchylek od mediánu) Jak ho určíme? 1 Výběrový soubor uspořádáme podle velikosti, 2 Určíme medián souboru, 3 Pro každou hodnotu souboru určíme absolutní hodnotu její odchylky od mediánu, 4 Absolutní odchylky od mediánu uspořádáme podle velikosti, 5 Určíme medián absolutních odchylek od mediánu, tj. MAD.

221 Míry polohy a variability Výběrový rozptyl - s 2 x - je dán podílem součtu kvadrátu odchylek jednotlivých hodnot od průměru a rozsahu souboru sníženého o jedničku. s 2 x = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1

222 Míry polohy a variability Výběrový rozptyl - s 2 x - je dán podílem součtu kvadrátu odchylek jednotlivých hodnot od průměru a rozsahu souboru sníženého o jedničku. Vlastnosti: s 2 x = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 Výběrový rozptyl konstantního souboru je roven nule,

223 Míry polohy a variability Výběrový rozptyl - s 2 x - je dán podílem součtu kvadrátu odchylek jednotlivých hodnot od průměru a rozsahu souboru sníženého o jedničku. Vlastnosti: s 2 x = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 Výběrový rozptyl konstantního souboru je roven nule, přičteme-li ke všem hodnotám proměnné libovolnou konstantu, potom se výběrový rozptyl proměnné se nezmění.

224 Míry polohy a variability Výběrový rozptyl - s 2 x - je dán podílem součtu kvadrátu odchylek jednotlivých hodnot od průměru a rozsahu souboru sníženého o jedničku. Vlastnosti: s 2 x = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 Výběrový rozptyl konstantního souboru je roven nule, přičteme-li ke všem hodnotám proměnné libovolnou konstantu, potom se výběrový rozptyl proměnné se nezmění. vynásobíme-li všechny hodnoty proměnné libovolnou konstantou (b), potom se výběrový rozptyl proměnné zvětší kvadrátem této konstanty (b 2 )

225 Míry polohy a variability Výběrová směrodatná odchylka (angl. sample standard deviation) - s - je definována jako kladná odmocnina výběrového rozptylu Nevýhoda: s x = sx 2 = 1 n (x i x) n 1 2 i=1 Stejně jako u výběrového rozptylu i výběrová směrodatná odchylka neumožňuje porovnávat variabilitu proměnných vyjádřených v různých jednotkách.

226 Míry polohy a variability Výběrová směrodatná odchylka (angl. sample standard deviation) - s - je definována jako kladná odmocnina výběrového rozptylu Nevýhoda: s x = sx 2 = 1 n (x i x) n 1 2 i=1 Stejně jako u výběrového rozptylu i výběrová směrodatná odchylka neumožňuje porovnávat variabilitu proměnných vyjádřených v různých jednotkách. Která proměnná má větší variabilitu výška nebo hmotnost dospělého člověka?

227 Míry polohy a variability Výběrová směrodatná odchylka (angl. sample standard deviation) - s - je definována jako kladná odmocnina výběrového rozptylu Nevýhoda: s x = sx 2 = 1 n (x i x) n 1 2 i=1 Stejně jako u výběrového rozptylu i výběrová směrodatná odchylka neumožňuje porovnávat variabilitu proměnných vyjádřených v různých jednotkách. Která proměnná má větší variabilitu výška nebo hmotnost dospělého člověka? = variační koeficient

228 Míry polohy a variability Variační koeficient (angl. coefficient of variation) - V x - vyjadřuje relativní míru variability proměnné x. - je bezrozměrný, udává se v procentech V x = s x x popř. V x = s x x 100[%]

229 Odlehlá pozorování (outliers) V datech se mohou objevit odlehlé, vybočující hodnoty (outliers), tj. hodnoty, které se výrazně liší od ostatních.

230 Odlehlá pozorování (outliers) V datech se mohou objevit odlehlé, vybočující hodnoty (outliers), tj. hodnoty, které se výrazně liší od ostatních. Mohou (ale nemusí!) nežádoucím způsobem ovlivňovat vypovídací hodnotu charakteristik.

231 Odlehlá pozorování (outliers) V datech se mohou objevit odlehlé, vybočující hodnoty (outliers), tj. hodnoty, které se výrazně liší od ostatních. Mohou (ale nemusí!) nežádoucím způsobem ovlivňovat vypovídací hodnotu charakteristik. Silně ovlivňují především aritmetický průměr, ukazatele variability (rozptyl, směrodatná odchylka) i ukazatele tvaru rozdělení (šikmost, špičatost).

232 Odlehlá pozorování (outliers) V datech se mohou objevit odlehlé, vybočující hodnoty (outliers), tj. hodnoty, které se výrazně liší od ostatních. Mohou (ale nemusí!) nežádoucím způsobem ovlivňovat vypovídací hodnotu charakteristik. Silně ovlivňují především aritmetický průměr, ukazatele variability (rozptyl, směrodatná odchylka) i ukazatele tvaru rozdělení (šikmost, špičatost). Naopak neovlivňují modus, medián a další kvantilové ukazatele.

233 Odlehlá pozorování (outliers) V datech se mohou objevit odlehlé, vybočující hodnoty (outliers), tj. hodnoty, které se výrazně liší od ostatních. Mohou (ale nemusí!) nežádoucím způsobem ovlivňovat vypovídací hodnotu charakteristik. Silně ovlivňují především aritmetický průměr, ukazatele variability (rozptyl, směrodatná odchylka) i ukazatele tvaru rozdělení (šikmost, špičatost). Naopak neovlivňují modus, medián a další kvantilové ukazatele. Vždy je potřeba dobře zvážit čím je odlehlé, pozorování způsobeno.

234 Odlehlá pozorování (outliers) V datech se mohou objevit odlehlé, vybočující hodnoty (outliers), tj. hodnoty, které se výrazně liší od ostatních. Mohou (ale nemusí!) nežádoucím způsobem ovlivňovat vypovídací hodnotu charakteristik. Silně ovlivňují především aritmetický průměr, ukazatele variability (rozptyl, směrodatná odchylka) i ukazatele tvaru rozdělení (šikmost, špičatost). Naopak neovlivňují modus, medián a další kvantilové ukazatele. Vždy je potřeba dobře zvážit čím je odlehlé, pozorování způsobeno. Hodnoty se mohly dostat mezi ostatní data v důsledku hrubých chyb např. při opisování dat (překlep), při měření (chyba měření v laboratoři), případně i tak, že byl do výběru zahrnut prvek, který do sledovaného základního souboru nepatří, technická závada, apod. = můžeme pozorování vyloučit.

235 Odlehlá pozorování (outliers) V datech se mohou objevit odlehlé, vybočující hodnoty (outliers), tj. hodnoty, které se výrazně liší od ostatních. Mohou (ale nemusí!) nežádoucím způsobem ovlivňovat vypovídací hodnotu charakteristik. Silně ovlivňují především aritmetický průměr, ukazatele variability (rozptyl, směrodatná odchylka) i ukazatele tvaru rozdělení (šikmost, špičatost). Naopak neovlivňují modus, medián a další kvantilové ukazatele. Vždy je potřeba dobře zvážit čím je odlehlé, pozorování způsobeno. Hodnoty se mohly dostat mezi ostatní data v důsledku hrubých chyb např. při opisování dat (překlep), při měření (chyba měření v laboratoři), případně i tak, že byl do výběru zahrnut prvek, který do sledovaného základního souboru nepatří, technická závada, apod. = můžeme pozorování vyloučit. V jiných případech bychom se vyloučením mohli připravit o cennou informaci.

236 Identifikace odlehlých pozorování 1) Metoda vnitřních hradeb Jestliže pro x i platí ((x i < x IQR) (x i > x IQR), potom x i je odlehlým pozorováním. Interkvartilové rozpětí:... IQR = x 0.75 x 0.25 Poznámka: Kromě odlehlých pozorování ještě můžeme rozlišovat tzv. extremní pozorování. K jejich identifikaci používáme vnější hradby ((x i < x IQR) (x i > x IQR).

237 Identifikace odlehlých pozorování 2) Z-souřadnice z = x i x s Je-li z > 3, potom x i je odlehlým pozorováním. z > 3 = x i x s > 3 = x i x > 3s Poznámka: Automatické metody pro identifikaci odlehlých pozorování pouze vybírají podezřelé hodnoty! Vždy je ale nutné individuální posouzení.

238 Míry polohy a variability Výběrová šikmost (angl. skewness) - a - vyjadřuje asymetrii rozložení hodnot proměnné kolem jejího průměru. n (x i x) 3 n a = (n 1)(n 2) i=1 s 3 A jak výběrovou šikmost interpretujeme? a = 0... hodnoty proměnné jsou kolem jejího průměru rozloženy symetricky, a > 0... u proměnné převažují hodnoty menší než průměr, a < 0... u proměnné převažují hodnoty větší než průměr.

239 Míry polohy a variability Souvislost mezi šikmostí a charakteristikami polohy Symetrické rozdělení: x = x 0,5. Pozitivně zešikmené rozdělení: x > x 0,5. Negativně zešikmené rozdělení: x < x 0,5.