Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

Transkript

1 Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:41 Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

2 Hlavní body 1 Lineární závislost a nezávislost 2 Lineární obal Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

3 Lineární kombinace V lineárním prostoru můžeme vektory mezi sebou sčítat a násobit je skaláry, tj. můžeme tvořit lineární kombinace. Definice Nechť V je LP nad T, x V a (x 1,..., x n ) je soubor vektorů z V. Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru (x 1,..., x n ), právě když existují čísla α 1,..., α n T taková, že n x = α i x i. Čísla α i, i ˆn, nazýváme koeficienty lineární kombinace. Jestliže ( i ˆn)(α i = 0), nazýváme takovou lineární kombinaci triviální. V opačném případě jde o lineární kombinace netriviální. i=1 Poznámka Výsledkem triviální lineární kombinace je vždy θ. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

4 Lineární závislost a nezávislost Definice Nechť (x 1,..., x n ) je soubor vektorů z V. Řekneme, že soubor (x 1,..., x n ) je lineárně nezávislý (LN), právě když pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je θ. V opačném případě nazýváme soubor lineárně závislý (LZ). Poznámka Výrokový zápis: (x 1,..., x n ) je LN ( α 1,..., α n T ) ( n α i x i = θ ( i ˆn)(α i = 0) i=1 ) (x 1,..., x n ) je LZ ( α 1,..., α n T )( i ˆn, α i 0) ( n α i x i = θ i=1 ) Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

5 Příklady V R 3 je soubor ((1, 2, 3), (5, 7, 8), (3, 3, 2)) LZ. V R 3 je soubor ((1, 2, 3), (4, 7, 8), (3, 4, 2)) LN. V F je soubor (f, g, h) LZ, kde f (x) = sin 2 x, g(x) = cos 2 x, h(x) = 3. V F je soubor (f, g, h) LN, kde f (x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = e x. V P je soubor (p, q, r) LZ, kde p(x) = x 2 + x + 1, q(x) = x + 2, r(x) = x 2 1. Všechny příklady si ověřte podle definice! Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

6 Procvičování pochopení definice Cvičení: 1 Lineární (ne)závislost nezávisí na pořadí vektorů v souboru. 2 Obsahuje-li soubor dva stejné vektory, potom je LZ. 3 Obsahuje-li soubor nulový vektor, potom je LZ. 4 Soubor délky 1 je LZ, právě když je tvořen nulovým vektorem. 5 Soubor délky 2 je LZ, právě když jeden vektor je násobkem druhého. 6 Přidáním vektoru do LZ souboru vznikne LZ soubor. 7 Odebráním vektoru z LN souboru vznikne LN soubor. Pokuste se jednotlivá tvrzení matematicky zformulovat a dokažte je! Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

7 Geometrická interpretace na orientovaných úsečkách Dvě orientované úsečky v R 2 (nebo R 3 ) leží v jedné přímce, právě když jsou odpovídající vektory LZ. Tři orientované úsečky v R 3 leží v jedné rovině, právě když jsou odpovídající vektory LZ. Soubor vektorů z R 2 délky 3 je LZ. Soubor vektorů z R 3 délky 4 je LZ. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

8 Lineární (ne)závislost nekonečné množiny Pojem lineární (ne)závislosti jsme zavedli pouze pro soubory konečné délky. Definici lze ovšem zobecnit na libovolné podmnožiny V. Poznámka V lineární algebře pracujeme vždy s konečnými lineárními kombinacemi. Nikde neuvidíte symbol n=1. Vůbec pojem konvergentní posloupnost nelze v obecném LP zavést. Definice Buď V LP nad T, M V. Řekneme, že množina M je lineárně závislá (LZ), právě když existují vektory x 1,..., x n M takové, že soubor (x 1,..., x n ) je LZ. V opačném případě je množina M lineárně nezávislá (LN). Poznámka Množina M je tedy LN, právě když každý (konečný) soubor vektorů z M je LN. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

9 Příklad nekonečné LN množiny Množina {x n n N 0 } P je LN. Cvičení(na přemýšlení): Ukažte, že množina {f λ λ > 0} F je LN, kde f λ (x) = e λx. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

10 Hlavní body 1 Lineární závislost a nezávislost 2 Lineární obal Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

11 Lineární obal Definice Buď (x 1,..., x n ) soubor vektorů z V. Množinu všech lineárních kombinací tohoto souboru nazveme lineárním obalem souboru (x 1,..., x n ) a značíme x 1,..., x n. Podobně jako lineární (ne)závislost můžeme i lineární obal definovat pro obecnou podmnožinu V (i nekonečnou). Definice Buď M V Množinu všech lineárních kombinací všech souborů vektorů z množiny M nazveme lineárním obalem množiny M a značíme M. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

12 Jednoduché vlastnosti obalu Cvičení: Z definice lineárního obalu ukažte: θ M. x M M = M {x}. M N M N. x, y M α T x + y M αx M. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

13 Geometrická představa lineárního obalu Lineární obal nenulového vektoru z R 2 (nebo z R 3 ) je množina všech vektorů ležících ve společné přímce. Lineární obal LN souboru dvou vektorů z R 3 je množina všech vektorů ležících ve společné rovině. Lineární obal LN souboru tří vektorů z R 3 je celé R 3. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

14 Obal obalu Lineárním obalením linerního obalu M nevznikne nic nového. Věta Buď M V, potom M = M. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

15 Lineární obal a podprostor Věta Buď M V, potom platí: 1 M V. 2 M V M = M. 3 Množina M je nejmenší podprostor V obsahující množinu M, nebo-li M = {P V M P}. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

16 Jiná charakterizace lineární závislosti Věta V lineárně závislém souboru existuje vektor, který je lineární kombinací ostatních. Buď (x 1,..., x n ) soubor vektorů z V. Potom (x 1,..., x n ) je LZ právě tehdy, když Důkaz: Tabule. ( k ˆn)( x k x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ). Důsledek Buď (x 1,..., x n ) LZ soubor vektorů z V, n 2. Potom ( k ˆn)( x 1,..., x n = x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ). Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17

17 Rozšíření lineárně nezávislé množiny Věta Pokud do LN množiny přidáme vektor mimo její lineární obal, lineární nezávislost se zachová. Buď M LN množina vektorů z V a y / M. Potom množina M {y} je LN. Důkaz: Tabule. Štampach, Klouda (KAM FIT ČVUT) BI-LIN LS 2013/ / 17