Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
|
|
|
- Milena Němečková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012
2 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) představme si, že jsme provedli n měření hodnot nějakých dvou veličin. Mezi těmito veličinami může být určitý funkční vztah my jej neznáme, ale můžeme se pokusit neznámou funkci nějakým způsobem aproximovat (přibližně vyjádřit). Pro účely aproximace spojitých funkcí jsou vhodnou (a současně nejjednodušší) volbou funkce polynomické.
3 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) představme si, že jsme provedli n měření hodnot nějakých dvou veličin. Mezi těmito veličinami může být určitý funkční vztah my jej neznáme, ale můžeme se pokusit neznámou funkci nějakým způsobem aproximovat (přibližně vyjádřit). Pro účely aproximace spojitých funkcí jsou vhodnou (a současně nejjednodušší) volbou funkce polynomické.
4 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) představme si, že jsme provedli n měření hodnot nějakých dvou veličin. Mezi těmito veličinami může být určitý funkční vztah my jej neznáme, ale můžeme se pokusit neznámou funkci nějakým způsobem aproximovat (přibližně vyjádřit). Pro účely aproximace spojitých funkcí jsou vhodnou (a současně nejjednodušší) volbou funkce polynomické.
5 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) představme si, že jsme provedli n měření hodnot nějakých dvou veličin. Mezi těmito veličinami může být určitý funkční vztah my jej neznáme, ale můžeme se pokusit neznámou funkci nějakým způsobem aproximovat (přibližně vyjádřit). Pro účely aproximace spojitých funkcí jsou vhodnou (a současně nejjednodušší) volbou funkce polynomické.
6 Weierstrassova věta o aproximaci funkce polynomem Věta (Weierstrass): Předpokládejme, že f je definovaná a spojitá na intervalu a, b. Potom pro libovolné ɛ > 0 existuje takový polynom P (x), že f(x) P (x) < ɛ pro všechna x a, b. Věta nám říká, že pro libovolnou spojitou funkci můžeme nalézt polynom, který ji v daném intervalu aproximuje s libovolnou předem danou přesností. Problémem ale zůstává, jak takový polynom nalézt. Taylorovy polynomy nejsou pro tento účel vhodné aproximují funkci pouze v blízkém okolí nějakého pevně zvoleného bodu, dále od tohoto bodu mohou být hodnoty funkce a polynomu dosti rozdílné.
7 Weierstrassova věta o aproximaci funkce polynomem Věta (Weierstrass): Předpokládejme, že f je definovaná a spojitá na intervalu a, b. Potom pro libovolné ɛ > 0 existuje takový polynom P (x), že f(x) P (x) < ɛ pro všechna x a, b. Věta nám říká, že pro libovolnou spojitou funkci můžeme nalézt polynom, který ji v daném intervalu aproximuje s libovolnou předem danou přesností. Problémem ale zůstává, jak takový polynom nalézt. Taylorovy polynomy nejsou pro tento účel vhodné aproximují funkci pouze v blízkém okolí nějakého pevně zvoleného bodu, dále od tohoto bodu mohou být hodnoty funkce a polynomu dosti rozdílné.
8 Weierstrassova věta o aproximaci funkce polynomem Věta (Weierstrass): Předpokládejme, že f je definovaná a spojitá na intervalu a, b. Potom pro libovolné ɛ > 0 existuje takový polynom P (x), že f(x) P (x) < ɛ pro všechna x a, b. Věta nám říká, že pro libovolnou spojitou funkci můžeme nalézt polynom, který ji v daném intervalu aproximuje s libovolnou předem danou přesností. Problémem ale zůstává, jak takový polynom nalézt. Taylorovy polynomy nejsou pro tento účel vhodné aproximují funkci pouze v blízkém okolí nějakého pevně zvoleného bodu, dále od tohoto bodu mohou být hodnoty funkce a polynomu dosti rozdílné.
9 Weierstrassova věta o aproximaci funkce polynomem Věta (Weierstrass): Předpokládejme, že f je definovaná a spojitá na intervalu a, b. Potom pro libovolné ɛ > 0 existuje takový polynom P (x), že f(x) P (x) < ɛ pro všechna x a, b. Věta nám říká, že pro libovolnou spojitou funkci můžeme nalézt polynom, který ji v daném intervalu aproximuje s libovolnou předem danou přesností. Problémem ale zůstává, jak takový polynom nalézt. Taylorovy polynomy nejsou pro tento účel vhodné aproximují funkci pouze v blízkém okolí nějakého pevně zvoleného bodu, dále od tohoto bodu mohou být hodnoty funkce a polynomu dosti rozdílné.
10 Lagrangeovy polynomy Představme si pro začátek, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f ve dvou bodech x 0 a x 1, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0 a f(x 1 ) = y 1.
11 Lagrangeovy polynomy Představme si pro začátek, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f ve dvou bodech x 0 a x 1, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0 a f(x 1 ) = y 1. Naším úkolem je nalézt polynom P prvního stupně, který má v bodech x 0 a x 1 stejné hodnoty jako neznámá funkce, tj. P (x 0 ) = y 0 a P (x 1 ) = y 1.
12 Lagrangeovy polynomy Představme si pro začátek, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f ve dvou bodech x 0 a x 1, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0 a f(x 1 ) = y 1. Naším úkolem je nalézt polynom P prvního stupně, který má v bodech x 0 a x 1 stejné hodnoty jako neznámá funkce, tj. P (x 0 ) = y 0 a P (x 1 ) = y 1. Budeme postupovat tak, že nejprve definujeme funkce L 0 (x) = x x 1 x 0 x 1, L 1 (x) = x x 0 x 1 x 0.
13 Lagrangeovy polynomy Představme si pro začátek, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f ve dvou bodech x 0 a x 1, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0 a f(x 1 ) = y 1. Naším úkolem je nalézt polynom P prvního stupně, který má v bodech x 0 a x 1 stejné hodnoty jako neznámá funkce, tj. P (x 0 ) = y 0 a P (x 1 ) = y 1. Budeme postupovat tak, že nejprve definujeme funkce L 0 (x) = x x 1 x 0 x 1, L 1 (x) = x x 0 x 1 x 0. Všimněte se, že L 0 (x 0 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 1 (x 0 ) = 0, L 1 (x 1 ) = 1.
14 Lagrangeovy polynomy Všimněte se, že L 0 (x 0 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 1 (x 0 ) = 0, L 1 (x 1 ) = 1. Nyní definujeme polynom P (x) = L 0 (x)f(x 0 ) + L 1 (x)f(x 1 ).
15 Lagrangeovy polynomy Všimněte se, že L 0 (x 0 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 1 (x 0 ) = 0, L 1 (x 1 ) = 1. Nyní definujeme polynom P (x) = L 0 (x)f(x 0 ) + L 1 (x)f(x 1 ). Všimněte se, že P (x 0 ) = 1 f(x 0 ) + 0 f(x 1 ) = f(x 0 ) = y 0, a P (x 1 ) = 0 f(x 0 ) + 1 f(x 1 ) = f(x 1 ) = y 1.
16 Lagrangeovy polynomy příklad
17 Lagrangeovy polynomy příklad Příklad: Známe hodnoty neznámé spojité funkce f(2) = 3 a f(6) = 5.
18 Lagrangeovy polynomy příklad Příklad: Známe hodnoty neznámé spojité funkce f(2) = 3 a f(6) = 5. Máme tedy x 0 = 2, y 0 = f(x 0 ) = 3 a x 1 = 6, y 1 = f(x 1 ) = 5. Interpolační polynom má tvar P (x) = L 0 (x)f(x 0 ) + L 1 (x)f(x 1 ) = x x 1 x 0 x 1 f(x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 f(x 1 ) = = x x = 1 2 x + 2.
19 Lagrangeovy polynomy Nyní zobecníme předchozí postup. Představme si, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f v n + 1 bodech x 0, x 1,..., x n, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0, f(x 1 ) = y 1,..., f(x n ) = y n.
20 Lagrangeovy polynomy Nyní zobecníme předchozí postup. Představme si, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f v n + 1 bodech x 0, x 1,..., x n, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0, f(x 1 ) = y 1,..., f(x n ) = y n. Naším úkolem je nalézt polynom P nejvýše n-tého stupně, který má v bodech x 0, x 1,..., x n stejné hodnoty jako neznámá funkce, tj. P (x 0 ) = y 0, P (x 1 ) = y 1,..., P (x n ) = y n.
21 Lagrangeovy polynomy Nyní zobecníme předchozí postup. Představme si, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f v n + 1 bodech x 0, x 1,..., x n, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0, f(x 1 ) = y 1,..., f(x n ) = y n. Naším úkolem je nalézt polynom P nejvýše n-tého stupně, který má v bodech x 0, x 1,..., x n stejné hodnoty jako neznámá funkce, tj. P (x 0 ) = y 0, P (x 1 ) = y 1,..., P (x n ) = y n. Budeme postupovat tak, že nejprve definujeme polynomy L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x x n ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) (x 0 x n ) L 1 (x) = (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x x n ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x n ) L 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x x n ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (x 2 x n )... L n (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x x n 1 ) (x n x 0 )(x n x 1 )(x n x 3 ) (x n x n 1 )
22 Lagrangeovy polynomy Všimněte se, že například L 0 (x 0 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 0 (x 2 ) = 0,..., L 0 (x n ) = 0.
23 Lagrangeovy polynomy Všimněte se, že například L 0 (x 0 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 0 (x 2 ) = 0,..., L 0 (x n ) = 0. Obecně L k (x k ) = 1 a L k (x j ) = 0 pro j k.
24 Lagrangeovy polynomy Budeme postupovat tak, že nejprve definujeme polynomy L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x x n ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) (x 0 x n ) L 1 (x) = (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x x n ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x n ) L 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x x n ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (x 2 x n )... L n (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x x n 1 ) (x n x 0 )(x n x 1 )(x n x 3 ) (x n x n 1 ) Nyní definujeme tzv. Lagrangeův interpolační polynom P n (x) = L 0 (x)f(x 0 ) + L 1 (x)f(x 1 ) + L 2 (x)f(x 2 ) + + L n (x)f(x n ).
25 Lagrangeův interpolační polynom Je-li dáno n + 1 různých čísel x 0, x 1,..., x n a neznámá funkce f, jejíž hodnoty pro x 0, x 1,..., x n jsou známy, potom polynom P n má pro x 0, x 1,..., x n tytéž hodnoty jako funkce f.
26 Lagrangeovy polynomy příklad Příklad: Použijte čísla (uzly) x 0 = 2, x 1 = 2,5 a x 2 = 4 pro nalezení Lagrangeova interpolačního polynomu druhého stupně pro funkci f(x) = 1/x.
27 Lagrangeovy polynomy příklad Příklad: Použijte čísla (uzly) x 0 = 2, x 1 = 2,5 a x 2 = 4 pro nalezení Lagrangeova interpolačního polynomu druhého stupně pro funkci f(x) = 1/x. Nejprve vyjádříme L 0 (x) = L 1 (x) = L 2 (x) = (x 2,5)(x 4) (2 2,5)(2 4) = x2 6,5x + 10 (x 2)(x 4) (2,5 2)(2,5 4) = x2 6x + 8 0, 75 (x 2)(x 2,5) (4 2)(4 2,5) = x2 4,5x + 5 3
28 Lagrangeovy polynomy příklad Protože f(x 0 ) = f(2) = 0,5, f(x 1 ) = f(2,5) = 0,4 a f(x 2 ) = f(4) = 0,25 obdržíme P 2 (x) = L 0 (x)f(x 0 ) + L 1 (x)f(x 1 ) + L 2 (x)f(x 2 ) = = 0,5(x 2 6,5x + 10) + 0,4 x2 6x + 8 0, 75 = 0,05x 2 0,425x + 1, ,25 x2 4,5x =
29 Lagrangeovy polynomy příklad Ukázka aproximace funkce f(x) = 1/x Lagrangeovým polynomem P 2 (x) = 0,05x 2 0,425x + 1,15 s uzly x 0 = 2, x 1 = 2,5 a x 2 = 4.
30 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace Mějme data v podobě n uspořádaných dvojic (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), přičemž mezi veličinami x a y je nějaký funkční vztah daný funkcí f. Paradoxní (na první pohled) je, že nejlepší aproximaci funkce f v určitém bodě nezískáme vždy použitím Lagrangeova polynomu P n (x), ale mnohdy použitím Lagrangeova polynomu nižšího stupně než n například P n 1 (x), nebo P n 2 (x), nebo i nižšího. Pro určení například Lagrangeova polynomu P n 1 (x) nám ale stačí pouze n 1 uspořádaných dvojic (tedy jednu uspořádanou dvojici nevyužijeme otázka je kterou). Podobně pro určení P n 2 (x) nám stačí pouze n 2 uspořádaných dvojic (tedy dvě uspořádané dvojici nevyužijeme otázka je které).
31 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace Mějme data v podobě n uspořádaných dvojic (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), přičemž mezi veličinami x a y je nějaký funkční vztah daný funkcí f. Paradoxní (na první pohled) je, že nejlepší aproximaci funkce f v určitém bodě nezískáme vždy použitím Lagrangeova polynomu P n (x), ale mnohdy použitím Lagrangeova polynomu nižšího stupně než n například P n 1 (x), nebo P n 2 (x), nebo i nižšího. Pro určení například Lagrangeova polynomu P n 1 (x) nám ale stačí pouze n 1 uspořádaných dvojic (tedy jednu uspořádanou dvojici nevyužijeme otázka je kterou). Podobně pro určení P n 2 (x) nám stačí pouze n 2 uspořádaných dvojic (tedy dvě uspořádané dvojici nevyužijeme otázka je které).
32 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace Mějme data v podobě n uspořádaných dvojic (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), přičemž mezi veličinami x a y je nějaký funkční vztah daný funkcí f. Paradoxní (na první pohled) je, že nejlepší aproximaci funkce f v určitém bodě nezískáme vždy použitím Lagrangeova polynomu P n (x), ale mnohdy použitím Lagrangeova polynomu nižšího stupně než n například P n 1 (x), nebo P n 2 (x), nebo i nižšího. Pro určení například Lagrangeova polynomu P n 1 (x) nám ale stačí pouze n 1 uspořádaných dvojic (tedy jednu uspořádanou dvojici nevyužijeme otázka je kterou). Podobně pro určení P n 2 (x) nám stačí pouze n 2 uspořádaných dvojic (tedy dvě uspořádané dvojici nevyužijeme otázka je které).
33 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace Mějme data v podobě n uspořádaných dvojic (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), přičemž mezi veličinami x a y je nějaký funkční vztah daný funkcí f. Paradoxní (na první pohled) je, že nejlepší aproximaci funkce f v určitém bodě nezískáme vždy použitím Lagrangeova polynomu P n (x), ale mnohdy použitím Lagrangeova polynomu nižšího stupně než n například P n 1 (x), nebo P n 2 (x), nebo i nižšího. Pro určení například Lagrangeova polynomu P n 1 (x) nám ale stačí pouze n 1 uspořádaných dvojic (tedy jednu uspořádanou dvojici nevyužijeme otázka je kterou). Podobně pro určení P n 2 (x) nám stačí pouze n 2 uspořádaných dvojic (tedy dvě uspořádané dvojici nevyužijeme otázka je které).
34 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace Mějme data v podobě n uspořádaných dvojic (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), přičemž mezi veličinami x a y je nějaký funkční vztah daný funkcí f. Paradoxní (na první pohled) je, že nejlepší aproximaci funkce f v určitém bodě nezískáme vždy použitím Lagrangeova polynomu P n (x), ale mnohdy použitím Lagrangeova polynomu nižšího stupně než n například P n 1 (x), nebo P n 2 (x), nebo i nižšího. Pro určení například Lagrangeova polynomu P n 1 (x) nám ale stačí pouze n 1 uspořádaných dvojic (tedy jednu uspořádanou dvojici nevyužijeme otázka je kterou). Podobně pro určení P n 2 (x) nám stačí pouze n 2 uspořádaných dvojic (tedy dvě uspořádané dvojici nevyužijeme otázka je které).
35 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace V praxi se většinou postupuje tak, že pro daných n uspořádaných dvojic (uzlových bodů) se postupně vypočítají Lagrangeovy polynomy určené dvěma uzlovými body, dále třemi uzlovými body, atd. Pro tyto polynomy se přitom zkoumá, jak dobře aproximují hodnotu funkce f v daném bodě. S výpočtem každého Lagrangeova polynomu je ale spojeno nezanedbatelné množství práce (s rostoucím n roste kvadraticky složitost výpočtu každého jednotlivého Lagrangeova polynomu, navíc je potřeba vypočítat více polynomů. Proto bylo snahou nalézt efektivnější postup, který by nám alespoň část práce (a tím i času) ušetřil.
36 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace V praxi se většinou postupuje tak, že pro daných n uspořádaných dvojic (uzlových bodů) se postupně vypočítají Lagrangeovy polynomy určené dvěma uzlovými body, dále třemi uzlovými body, atd. Pro tyto polynomy se přitom zkoumá, jak dobře aproximují hodnotu funkce f v daném bodě. S výpočtem každého Lagrangeova polynomu je ale spojeno nezanedbatelné množství práce (s rostoucím n roste kvadraticky složitost výpočtu každého jednotlivého Lagrangeova polynomu, navíc je potřeba vypočítat více polynomů. Proto bylo snahou nalézt efektivnější postup, který by nám alespoň část práce (a tím i času) ušetřil.
37 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace V praxi se většinou postupuje tak, že pro daných n uspořádaných dvojic (uzlových bodů) se postupně vypočítají Lagrangeovy polynomy určené dvěma uzlovými body, dále třemi uzlovými body, atd. Pro tyto polynomy se přitom zkoumá, jak dobře aproximují hodnotu funkce f v daném bodě. S výpočtem každého Lagrangeova polynomu je ale spojeno nezanedbatelné množství práce (s rostoucím n roste kvadraticky složitost výpočtu každého jednotlivého Lagrangeova polynomu, navíc je potřeba vypočítat více polynomů. Proto bylo snahou nalézt efektivnější postup, který by nám alespoň část práce (a tím i času) ušetřil.
38 Praktické problémy Lagrangeovy interpolace V praxi se většinou postupuje tak, že pro daných n uspořádaných dvojic (uzlových bodů) se postupně vypočítají Lagrangeovy polynomy určené dvěma uzlovými body, dále třemi uzlovými body, atd. Pro tyto polynomy se přitom zkoumá, jak dobře aproximují hodnotu funkce f v daném bodě. S výpočtem každého Lagrangeova polynomu je ale spojeno nezanedbatelné množství práce (s rostoucím n roste kvadraticky složitost výpočtu každého jednotlivého Lagrangeova polynomu, navíc je potřeba vypočítat více polynomů. Proto bylo snahou nalézt efektivnější postup, který by nám alespoň část práce (a tím i času) ušetřil.
39 Rekurzivní výpočet Lagrangeových polynomů Představme si opět, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f v n + 1 bodech x 0, x 1,..., x n, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0, f(x 1 ) = y 1,..., f(x n ) = y n.
40 Rekurzivní výpočet Lagrangeových polynomů Představme si opět, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f v n + 1 bodech x 0, x 1,..., x n, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0, f(x 1 ) = y 1,..., f(x n ) = y n. Nechť m 1, m 2,..., m k je k různých celých čísel vybraných z posloupnosti 0, 1, 2,..., n. Lagrangeův polynom, který má v bodech x m1, x m2,..., x mk stejné hodnoty jako funkce f budeme značit P m1,m 2,...,m k (x). Při tomto značení můžeme vyjádřit:
41 Rekurzivní výpočet Lagrangeových polynomů Představme si opět, že známe hodnoty neznámé spojité funkce f v n + 1 bodech x 0, x 1,..., x n, tj. víme, že f(x 0 ) = y 0, f(x 1 ) = y 1,..., f(x n ) = y n. Nechť m 1, m 2,..., m k je k různých celých čísel vybraných z posloupnosti 0, 1, 2,..., n. Lagrangeův polynom, který má v bodech x m1, x m2,..., x mk stejné hodnoty jako funkce f budeme značit P m1,m 2,...,m k (x). Při tomto značení můžeme vyjádřit: P 0,1,...,k (x) = (x x j)p 0,1,...,j 1,j+1,...,k (x) (x x i )P 0,1,...,i 1,i+1,...,k (x) x i x j, kde x i a x j jsou libovolná dvě čísla z množiny {x 0, x 1,..., x n } (1)
42 Aitkenovo-Nevillovo schéma S pomocí vzorce (1) můžeme postupně sestavit následující schéma: x 0 x 1 Q 0,0 x 2 Q 1,0 Q 1, x n 1 Q n 1,0 Q n 1,1... Q n 1,n 1 x n Q n,0 Q n,1... Q n,n 1 Q n,n Použili jsme označení Q i,j = P i j,i j+1,i j+2,...,i 1,i.
43 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad Příklad: V tabulce jsou uvedeny hodnoty funkce f v pěti různých bodech. Aproximujte hodnotu f(1,5) pomocí Lagrangeových polynomů z Aitkenova-Nevillova schématu. x f(x) 1,0 0, ,3 0, ,6 0, ,9 0, ,2 0,
44 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad Příklad: V tabulce jsou uvedeny hodnoty funkce f v pěti různých bodech. Aproximujte hodnotu f(1,5) pomocí Lagrangeových polynomů z Aitkenova-Nevillova schématu. Řešení: Nejprve označíme x f(x) 1,0 0, ,3 0, ,6 0, ,9 0, ,2 0, x f(x) x 0 = 1,0 0, = Q 0,0 x 1 = 1,3 0, = Q 1,0 x 2 = 1,6 0, = Q 2,0 x 3 = 1,9 0, = Q 3,0 x 4 = 2,2 0, = Q 4,0
45 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x f(x) x 0 = 1,0 0, = Q 0,0 x 1 = 1,3 0, = Q 1,0 x 2 = 1,6 0, = Q 2,0 x 3 = 1,9 0, = Q 3,0 x 4 = 2,2 0, = Q 4,0
46 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x f(x) x 0 = 1,0 0, = Q 0,0 x 1 = 1,3 0, = Q 1,0 Q 1,1 = 0, x 2 = 1,6 0, = Q 2,0 x 3 = 1,9 0, = Q 3,0 x 4 = 2,2 0, = Q 4,0 Nyní pomocí vzorce (1) určíme Q 1,1 (1,5) = (1,5 x 0)Q 1,0 (1,5 x 1 )Q 0,0 x 1 x 0 = = (1,5 1,0)Q 1,0 (1,5 1,3)Q 0,0 = 1,3 1,0 0,5 0, ,2 0, = = 0, ,3
47 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad Podobně vypočteme x f(x) x 0 = 1,0 0, = Q 0,0 x 1 = 1,3 0, = Q 1,0 Q 1,1 = 0, x 2 = 1,6 0, = Q 2,0 Q 2,1 = 0, x 3 = 1,9 0, = Q 3,0 x 4 = 2,2 0, = Q 4,0 Q 2,1 (1,5) = (1,5 x 1)Q 2,0 (1,5 x 2 )Q 1,0 x 2 x 1 = = (1,5 1,3)Q 2,0 (1,5 1,6)Q 1,0 = 1,6 1,3 0,2 0, ( 0,1) 0, = = 0, , 0,3
48 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x f(x) x 0 = 1,0 0, = Q 0,0 x 1 = 1,3 0, = Q 1,0 Q 1,1 = 0, x 2 = 1,6 0, = Q 2,0 Q 2,1 = 0, x 3 = 1,9 0, = Q 3,0 Q 3,1 = 0, x 4 = 2,2 0, = Q 4,0 Q 4,1 = 0, Podobně vypočteme Q 3,1 (1,5) = 0, a Q 4,1 (1,5) = 0,
49 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x 0 = 1,0 Q 0,0 = 0, x 1 = 1,3 Q 1,0 = 0, Q 1,1 = 0, x 2 = 1,6 Q 2,0 = 0, Q 2,1 = 0, x 3 = 1,9 Q 3,0 = 0, Q 3,1 = 0, x 4 = 2,2 Q 4,0 = 0, Q 4,1 = 0,
50 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x 0 = 1,0 Q 0,0 = 0, x 1 = 1,3 Q 1,0 = 0, Q 1,1 = 0, x 2 = 1,6 Q 2,0 = 0, Q 2,1 = 0, x 3 = 1,9 Q 3,0 = 0, Q 3,1 = 0, x 4 = 2,2 Q 4,0 = 0, Q 4,1 = 0, Pokračujeme dalším sloupcem ve schématu. Opět pomocí vzorce (1) určíme: Q 2,2 (1,5) = (1,5 x 0)Q 2,1 (1,5 x 2 )Q 1,1 x 2 x 0 = = (1,5 1,0)Q 2,1 (1,5 1,6)Q 1,1 = 1,6 1,0 0,5 0, ( 0,1) 0, = = 0, , 0,6
51 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad Podobně vypočteme x 0 = 1,0 Q 0,0 = 0, x 1 = 1,3 Q 1,0 = 0, Q 1,1 = 0, x 2 = 1,6 Q 2,0 = 0, Q 2,1 = 0, x 3 = 1,9 Q 3,0 = 0, Q 3,1 = 0, x 4 = 2,2 Q 4,0 = 0, Q 4,1 = 0, Q 3,2 (1,5) = (1,5 x 1)Q 3,1 (1,5 x 3 )Q 2,1 x 3 x 1 = = (1,5 1,3)Q 3,1 (1,5 1,9)Q 2,1 = 1,9 1,3 0,2 0, ( 0,4) 0, = = 0, , 0,6
52 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x 0 = 1,0 Q 0,0 = 0, x 1 = 1,3 Q 1,0 = 0, Q 1,1 = 0, x 2 = 1,6 Q 2,0 = 0, Q 2,1 = 0, x 3 = 1,9 Q 3,0 = 0, Q 3,1 = 0, x 4 = 2,2 Q 4,0 = 0, Q 4,1 = 0, Podobně se vypočte Q 4,2 (1,5) = 0,
53 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x 0 = 1,0 0, x 1 = 1,3 0, , x 2 = 1,6 0, , Q 2,2 (1,5) = 0, x 3 = 1,9 0, , Q 3,2 (1,5) = 0, x 4 = 2,2 0, , Q 4,2 (1,5) = 0,
54 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x 0 = 1,0 0, x 1 = 1,3 0, , x 2 = 1,6 0, , Q 2,2 (1,5) = 0, x 3 = 1,9 0, , Q 3,2 (1,5) = 0, x 4 = 2,2 0, , Q 4,2 (1,5) = 0, Pokračujeme dále ve schématu: Q 3,3 (1,5) = (1,5 1,0)Q 3,2 (1,5 1,9)Q 2,2 = 1,9 1,0 0,5 0, ( 0,4) 0, = = 0, , 0,9
55 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x 0 = 1,0 0, x 1 = 1,3 0, , x 2 = 1,6 0, , Q 2,2 (1,5) = 0, x 3 = 1,9 0, , Q 3,2 (1,5) = 0, x 4 = 2,2 0, , Q 4,2 (1,5) = 0, Pokračujeme dále ve schématu: Q 3,3 (1,5) = (1,5 1,0)Q 3,2 (1,5 1,9)Q 2,2 = 1,9 1,0 0,5 0, ( 0,4) 0, = = 0, , 0,9 Q 4,3 (1,5) = (1,5 1,3)Q 4,2 (1,5 2,2)Q 3,2 = 2,2 1,3 0,2 0, ( 0,7) 0, = = 0, ,9
56 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x 0 = 1,0 0, x 1 = 1,3 0, , x 2 = 1,6 0, , , x 3 = 1,9 0, , , Q 3,3 (1,5) = 0, x 4 = 2,2 0, , , Q 4,3 (1,5) = 0,
57 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad x 0 = 1,0 0, x 1 = 1,3 0, , x 2 = 1,6 0, , , x 3 = 1,9 0, , , Q 3,3 (1,5) = 0, x 4 = 2,2 0, , , Q 4,3 (1,5) = 0, Nyní poslední sloupec (poslední hodnota) schématu: Q 4,4 (1,5) = (1,5 1,0)Q 4,3 (1,5 2,2)Q 3,3 = 2,2 1,0 0,5 0, ( 0,7) 0, = = 0, ,2
58 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad Kompletní Aitkenovo-Nevillovo schéma pro 5 uzlů: 1,0 0, ,3 0, , ,6 0, , , ,9 0, , , , ,2 0, , , , ,
59 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad Kompletní Aitkenovo-Nevillovo schéma pro 5 uzlů: 1,0 0, ,3 0, , ,6 0, , , ,9 0, , , , ,2 0, , , , , Představme si nyní, že jsme dodatečně získali další hodnotu funkce f. Nechť například f(2,5) = 0, Potom se můžeme pokusit dále zpřesnit aproximaci neznámé hodnoty f(1,5).
60 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad Kompletní Aitkenovo-Nevillovo schéma pro 5 uzlů: 1,0 0, ,3 0, , ,6 0, , , ,9 0, , , , ,2 0, , , , , Představme si nyní, že jsme dodatečně získali další hodnotu funkce f. Nechť například f(2,5) = 0, Potom se můžeme pokusit dále zpřesnit aproximaci neznámé hodnoty f(1,5). V Aitkenově-Nevillově schématu stačí pro dopočítání hodnot dalších Lagrangeových polynomů přidat další řádek: x 5 Q 5,0 Q 5,1 Q 5,2 Q 5,3 Q 5,4 Q 5,0
61 Aitkenovo-Nevillovo schéma příklad Kompletní Aitkenovo-Nevillovo schéma pro 5 uzlů: 1,0 0, ,3 0, , ,6 0, , , ,9 0, , , , ,2 0, , , , , Představme si nyní, že jsme dodatečně získali další hodnotu funkce f. Nechť například f(2,5) = 0, Potom se můžeme pokusit dále zpřesnit aproximaci neznámé hodnoty f(1,5). V Aitkenově-Nevillově schématu stačí pro dopočítání hodnot dalších Lagrangeových polynomů přidat další řádek: x 5 Q 5,0 Q 5,1 Q 5,2 Q 5,3 Q 5,4 Q 5,0 Po vyčíslení získáme tyto hodnoty: 2,5-0, , , , , ,
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
úloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
Diferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
INTERPOLAČNÍ POLYNOM. F (x)... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace Kateřina Konečná/1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení:
Newtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
INTERPOLAČNÍ POLYNOM.... hledaná funkce (polynom nebo funkce vytvořená z polynomů), pro kterou platí
8 Řešení Lagrangeovy a Hermiteovy úlohy interpolace 1 INTERPOLAČNÍ POLYNOM aproximace zadaných hodnot nebo hledané funkce f funkcí F (x) (polynomem) F musí být k f co nejblíže značení: P (n) množina všech
5. Interpolace a aproximace funkcí
5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x
Interpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
Numerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Numerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL
APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce
Cyklometrické funkce
Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),
5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
Kombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
Bézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
Čebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital
V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.
V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva
2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
3. Matice a determinanty
. Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl
Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
GEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TABELACE FUNKCE LINEÁRNÍ INTERPOLACE TABELACE FUNKCE Tabelace funkce se v minulosti často využívala z důvodu usnadnění
Funkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
Aproximace funkcí. Polynom Φ m (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m. Φ m (x) = c 0 g 0 (x) + c 1 g 1 (x) + c 2 g 2 (x) +...
Aproximace funkcí 1 Úvod Aproximace funkce - výpočet funkčních hodnot nejbližší (v nějakém smyslu) funkce v určité třídě funkcí (funkce s nějakými neznámými parametry) Příklady funkcí používaných pro aproximaci
Hledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
1 Diference a diferenční rovnice
1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou
1 Duální simplexová metoda
1 Duální simplexová metoda Autor: Markéta Popelová Datum: 8.5.2011 Předmět: Základy spojité optimalizace Zadání Mějme matici A R m n a primární úlohu lineárního programování v normálním tvaru (P) a k ní
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Aproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
Pseudospektrální metody
Pseudospektrální metody Obecně: založeny na rozvoji do bázových funkcí s globálním nosičem řešení diferenciální rovnice aproximuje sumou kde jsou např. Čebyševovy polynomy nebo trigonometrické funkce tyto
Numerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Křivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
p(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 207 Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Studijní program: Studijní obory: Varianta A Matematika MMUI Navrhněte deterministický konečný
Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi
2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí
Nelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Arnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
Aplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování
KATEDRA ANALYTICKÉ CHEMIE FAKULTY CHEMICKO TECHNOLOGICKÉ UNIVERSITA PARDUBICE - Licenční studium chemometrie LS96/1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE X. Aproximace křivek Numerické vyhlazování Praha, leden 1999 0 Úloha
Globální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
Interpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí.
NUMERICKÉ METODY. Problematika num. řešení úloh, chyby, podmíněnost, stabilita algoritmů. Aproximace funkcí. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-15, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056 -----