Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.

Transkript

1 Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/

2 Základní pojmy teorie grafů Grafem rozumíme útvary, které lze v rovině znázornit pomocí bodů (uzly) a jejich spojnic (hrany). Definice: V dalším textu definované pojmy jsou tučným písmem. Graf G = (U, H) definujeme jako množinu uzlů U = {u 1, u 2,..., u n} a množinu hran U = {h ij}, i, j {1, 2,..., n}. Nechť G = (U, H) je graf. Nechť u i U a h ij H. Pak říkáme, že uzel u i inciduje s hranou h ij, nebo že hrana h ij inciduje s uzlem u i. Píšeme u i h ij. Neorientovaný graf je graf, jehož všechny hrany jsou neorientované. Neorientovaná hrana h ij H je hrana, které není přiřazen směr; pohyb je možný od uzlu u i k uzlu u j stejně jako opačný. Orientovaný graf je graf, jehož všechny hrany jsou orientované. Orientovaná hrana h ij H je hrana, které je přiřazen směr; pohyb je možný pouze od uzlu u i (počáteční uzel hrany) k uzlu u j (koncový uzel hrany).

3 Základní pojmy teorie grafů Nechť G = (U, H) je graf; Nechť u 0, u 1, u 2,..., u k U a h ij H. Existuje-li taková posloupnost uzlů a hran u 0, h 01, u 1, h 12, u 2,..., u k 1, h k +,k, u k, říkáme, že mezi uzly u 0 a u k existuje sled. Číslo k je délka sledu (= počet hran ve sledu. Nechť G = (U, H) je graf. Sled C, ve kterém se každý uzel (s vyjímkou prvního a posledního uzlu) vyskytuje nejvýše jednou, nazýváme cestou. Graf G = (U, H) je souvislý mezi každými dvěma uzly grafu G existuje aspoň jedna cesta. Jinak je nesouvislý a skládá se z tzv. komponentů. Cyklus je cesta, která začíná a končí v témže uzlu. Acyklický graf neobsahuje žádný cyklus. Ohodnocený graf každé hraně je přiřazena nějaká hodnota.

4 Základní pojmy teorie grafů Strom je neorientovaný, souvislý a acyklický graf. Podgraf grafu G = (U, H) je graf G = (U, H ) je graf, pro který platí U U, H H. Faktor grafu G = (U, H) je graf G = (U, H ) je graf, pro který platí U = U, H H. Síť je graf splňující vlastnosti: je souvislý, je orientovaný, je nezáporně ohodnocený, má dva speciální uzly: vstupní uzel sítě z něj hrany pouze vystupují, výstupní uzel sítě do něj hrany pouze vstupují.

5 Metoda CPM Critical Path Method = Metoda kritické cesty. Jedná se o časovou analýzu provádění projektů. Projektem rozumíme souhrn určitých činností. Tyto činnosti na sebe mohou, ale také nemusí navazovat. Modelem celého projektu je síť. Obrazem jednotlivých činností jsou hrany grafu. Ohodnocení hran představuje dobu trvání příslušné činnosti. Cílem časové analýzy je odhalení časových rezerv při provádění jednotlivých činností a tím optimalizace (=minimalizace) doby realizace celého projektu. Činnosti, u kterých neexistuje žádná časová rezerva, se nazývají kritické činnosti. Přísluší kritickým hranám. Kritické hrany v síti určují kritickou cestu mezi vstupním a výstupním uzlem sítě (kritická cesta nemusí být jediná). Délka kritické cesty udává nejkratší možnou dobu provedení celého projektu.

6 Označení v metodě CPM y ij doba trvání činnosti určené hranou h ij, ti 0 nejdříve možný začátek činností vycházejících z uzlu u i, ti 0 + y ij nejdříve možné ukončení činnosti určené hranou h ij, tj 1 nejpozději přípustné ukončení činností, které končí v uzlu u j, tj 1 y ij nejpozději přípustný začátek činnosti určené hranou h ij, T délka kritické cesty, tj. nejkratší možná doba trvání projektu, T pl CR ij plánovaná doba trvání projektu, celková časová rezerva činnosti určené hranou h ij, Obrázek: Hrana h ij s údaji používanými v metodě CPM

7 Metoda CPM postup I. fáze: vstup výstup (určují se hodnoty t 0 i, i = 1, 2,..., n) 1 t 0 1 = 0, 2 tj 0 = max(ti 0 + y ij, i 3 T = t 0 n. II. fáze: výstup vstup (určují se hodnoty t 1 j, j = 1, 2,..., n) 1 t 1 n = T, 2 t 1 j = min j (t 1 j y ij, 3 t 1 1 = 0. CR ij = t 1 j t 0 i y ij. Kritické hrany jsou ty, pro něž je CR ij = 0. Kritické hrany tvoří kritickou cestu.

8 Metoda CPM postup Poznámka: Jak bude vidět i z následujícího příkladu, běžně budeme graf zadávat ve formě tabulky o třech řádcích, kde každý sloupec představuje hranu h ij s ohodnocením y ij. U každé takové hrany budeme mít údaje i, j, y ij. Budeme postupovat tak, že nejprve graf vytvoříme a potom v grafu metodou CPM provedeme časovou analýzu. Jiná možnost je, metodu CPM provést přímo v tabulce pro tyto účely je vhodnější uspořádání hran do řádků tabulky kterou rozšíříme o dalších pět sloupců t 0 i, t 0 i + y ij, t 1 j, t 1 j y ij, CR ij, a veškeré výpočty provádíme v této tabulce. Zcela potom odpadá potřeba kreslit graf.

9 Metoda CPM příklad Př. 1: Metodou CPM proveďte časovou analýzu projektu, jež je dán sítí, viz tabulka. V tabulce i značí počáteční uzel, j koncový uzel orientované hrany h ij. Její ohodnocení je y ij. i j y ij Tabulka: Zadání grafu tabulkou, Př.1. Řešení: Nejprve vytvoříme samotný síťový graf, resp. graf a ověříme, že se skutečně jedná o síť. Při samotném provádění metody CPM se řídíme popsaným postupem. Konečná podoba grafu pak vypadá následovně.

10 Metoda CPM příklad Obrázek: Metoda CPM, Př.1.

11 Metoda CPM příklad Z grafu pak lze vyčíst, že nejkratší možná doba realizace projektu je T = 30 časových jednotek (č.j.). Vyznačeny jsou všechny hrany s nulovou časovou rezervou, tj. hrany, kde (CR ij)=0. Vidíme, že tyto hrany (=kritické hrany) tvoří cestu (=kritickou cestu) mezi vstupním uzlem a výstupmním uzlem sítě. Kritické hrany: h 13, h 34, h 45, h 56, h 67. Kritická cesta: Jak bylo již zmíněno, algoritmus CPM lze provádět jak v samotném grafu, viz obrázek, tak i formou výpočtů v tabulce:

12 Metoda CPM příklad i j y ij ti 0 ti 0 + y ij tj 1 tj 1 y ij CR ij Tabulka: Metoda CPM provedená v tabulce, Př.1.

13