MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

Transkript

1 Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický celek rozdělíme do následujících částí: 1. Význam první derivace pro vyšetření monotonie a lokálních extrémů funkce 2. Význam druhé derivace pro vyšetření konvexity, konkávity a inflexních bodů funkce K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte odpovídající kapitolu ze základní literatury. Po prostudování je třeba rozumět větě o významu první derivace pro průběh funkce a umět ji použít při řešení jednoduchých úloh uvedených v základní literatuře: a) vyšetřování intervalů monotonie funkce b) výpočet lokálních extrémů funkce c) výpočet globálních extrémů funkce na daném uzavřeném a omezeném intervalu Ke druhému dílčímu tématu je třeba prostudovat: a) definici pojmů konvexní a konkávní funkce, inflexe, jejich geometrickou interpretaci b) využití druhé derivace pro výpočet intervalů konvexity, konkávity a iflexních bodů c) využití druhé derivace pro postačující podmínku lokálního extrému Po prostudování uvedených pojmů byste měli umět tyto pojmy vysvětlit a na jejich základě řešit jednoduché úkoly ze základní a doporučené literatury. Doporučená literatura: Kaňka, Henzler: Matematika 2, Ekopress, Praha 2003, ISBN Matematika B 2 - Metodický list č. 1 1

2 Metodický list č. 2 Vyšetřování průběhu funkce Cíl: Tento tématický celek je shrnutím poznatků získaných v předchozím celku a hlavním cílem je řešení konkrétních úloh týkajících se průběhu funkce. Tématický celek lze rozdělit na dvě části: 1. opakování a shrnutí základních pojmů důležitých pro průběh funkce 2. vyšetření průběhu jednoduchých funkcí podle postupu uvedeného v základní literatuře a řešení konkrétních vzorových úloh. K první dílčí části je nutné zopakovat následující pojmy: a) definiční obor, sudost, lichost, periodicita, spojitost, b) limity v krajních bodech definičního oboru, c) intervaly monotonie, nutné a postačující podmínky pro lokální extrém, d) intervaly, kde je funkce konvexní a konkávní, inflexní body Ke druhému dílčímu tématu je nutné nastudovat: a) Definice a výpočet horizontálních, vertikálních i šikmých asymptot grafu funkce b) Metodický postup při sestavení tabulky hodnot důležitých pro sestrojení grafu c) Řešení konkrétních vzorových úloh na sestrojení grafu funkce na základě vypočtených údajů. Po prostudování příslušné kapitoly ze základní literatury by měl student být schopen všechny výše uvedené pojmy aktivně použít při konkrétních úlohách týkajících se vyšetřování průběhu funkcí. Matematika B 2 - Metodický list č. 1 2

3 Doporučená literatura: Kaňka, Henzler: Matematika 2, Ekopress, Praha 2003, ISBN Metodický list č.3. Název tematického celku: Cíl: Funkce více proměnných V tomto tematickém celku se studenti stručně seznámí s pojmem funkce více proměnných a speciálně s funkcemi dvou proměnných. Naučí se určovat definiční obory, počítat parciální derivace, znát grafy některých základních elementárních funkcí dvou proměnných, počítat lokální, vázané i globální extrémy těchto funkcí. Tématický celek rozdělíme do následujících částí: 1. Vzdálenost bodů v rovině a v n-rozměrném Euklidovském prostoru, pojem sférického okolí okolí bodu, množina otevřená, uzavřená, omezená 2. Pojem funkce n- proměnných, definiční obor a graf funkce, některé základní příklady grafů funkce dvou proměnných jako ploch v trojrozměrném prostoru: rovina, plocha kulová, kuželová, parabolická a hyperbolická 3. Pojem parciální derivace a diferenciálu funkce, pojem lokálního extrému, nutné a postačující podmínky lokálního extrému 4. Pojem vázaného extrému, Jacobiova metoda a metoda Lagrangeova Multiplikátoru pro řešení vázaných extrémů 5. Weierstrassova věta o nabývání globálních extrémů spojité funkce na uzavřené a omezené množině, její význam pro aplikace a užití na jednoduchých příkladech. K tomuto tematickému celku prostudujte kapitolu o funkcích více proměnných ze základní literatury, případně využijte konsultací s vyučujícím. Matematika B 2 - Metodický list č. 1 3

4 Metodický list č.4. Neurčitý integrál Tématický celek rozdělíme do tří částí: 1. Primitivní funkce a neurčitý integrál, 2. Integrační metoda per partes 3. Integrační metoda substitucí 4. Integrace racionálních funkcí 1. dílčí téma: Primitivní funkce a neurčitý integrál Po prostudování základní literatury by posluchač měl rozumět pojmu primitivní funkce, znát základní tabulku primitivních funkcí a umět ji používat v jednoduchých příkladech. 2. dílčí téma: Integrační metoda per partes Po prostudování základní literatury by posluchač měl být schopen řešit jednoduché úkoly týkající se integrační metody per partes uvedené v základní literatuře. 3. dílčí téma: Integrační metoda substitucí Po prostudování základní literatury by posluchač měl být schopen řešit jednoduché úkoly týkající se integrační metody substitucí uvedené v základní literatuře. 4.dílčí téma: Integrace racionálních funkcí Po prostudování základní literatury by student měl být schopen integrovat racionální funkce, kde v čitateli je polynom prvního stupně a ve jmenovateli je polynom nejvýše druhého stupně. Doporučená literatura: Matematika B 2 - Metodický list č. 1 4

5 Metodický list č. 5. Riemannův určitý integrál a nekonečné číselné řady Tématický celek je rozdělen do následujících částí: 1. Riemannův určitý integrál 2. Číselné řady 1. dílčí část: Riemannův určitý integrál Po prostudování základní a doporučené literatury by měl student pochopit základní myšlenky Riemannovy konstrukce určitého integrálu a jeho geometrický význam, seznámit se s výpočtem určitých integrálů pomocí Newtonovy-Leibnizovy formule, metodou per-partes a substituční metodou a s výpočtem nevlastních integrálů. Dále by měl umět aplikovat určitý integrál na jednoduché geometrické úlohy (plošný obsah, objem rotačního tělesa, délka křivky) a některé ekonomické úlohy (např. celkový příjem za dané období, známe-li výšku renty, přebytek výrobce i spotřebitele, známe-li nabídkovou a poptávkovou funkci). 2. dílčí část: Číselné řady Po prostudování příslušné kapitoly ze základní literatury ke druhé dílčí části by měl student umět aplikovat D Alembertovo, Cauchyovo a integrální kriterium konvergence na jednoduchých úlohách, měl by rozumět pojmu absolutní a relativní konvergence, měl by umět vysvětlit Leibnizovo kriterium pro alternující řady a aplikovat je na jednoduchých úlohách základní i doporučené literatury. Doporučená literatura: Matematika B 2 - Metodický list č. 1 5

6 Metodický list č. 6. Mocninné řady a Taylorova řada Tématický celek je rozdělen do následujících částí: 1. Mocninné řady 2. Taylorova řada K první i druhé části by student měl prostudovat stránky skripta Budinský, Havlíček: Matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření a stránky skripta technického zaměření a příslušné kapitoly z doporučené literatury. Po prostudování by měl student k první části umět vysvětlit pojmy: interval a obor konvergence i absolutní konvergence mocninné řady, vědět, jak se vypočte poloměr konvergence, znát další základní vlastnosti mocninných řad včetně derivování a integrování mocninných řad člen po členu. Ke druhé části by měl student umět vypočítat n-tý člen Taylorovy řady dané funkce pomocí n-té derivace, vědět, kdy Taylorova řada konverguje a má součet rovný hodnotě dané funkce. Dále by měl znát Taylorovy rozvoje některých základních elementárních funkcí jako jsou např. exponenciála, logaritmus, sinus, kosinus. Doporučená literatura: Poznámka: Pro presenční studium se program rozloží podle dílčích témat na 12 přednášek. Způsob zakončení: Na konci semestru je student povinen získat zápočet ze cvičení. Podmínky pro jeho získání jsou: 1) minimálně 80% docházka pro presenční, 50% pro kombinované studium 2) napsání zápočtové písemné práce: minimálně 3 správně vyřešené příklady z pěti zadaných. 3) Předmět je zakončen zkouškou, která se skládá s písemné a ústní části. Podmínkou připuštění ke zkoušce je získání zápočtu. Matematika B 2 - Metodický list č. 1 6

7 Matematika B 2 - Metodický list č. 1 7