Matematika I (KMI/PMATE)

Transkript

1 Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti

2 Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce (základní) elementární funkce vlastnosti funkce sudá a lichá funkce periodická funkce monotónost funkce extrémy a ohraničenost funkce prostá funkce inverzní funkce složená funkce operace s funkcemi

3 Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena výrobku (P) počet pracovníků potřebných k výměně žárovky (n)

4 Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena výrobku (P) počet pracovníků potřebných k výměně žárovky (n) Proměnná Proměnná - veličina, která může měnit svou hodnotu.

5 Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena výrobku (P) počet pracovníků potřebných k výměně žárovky (n) Proměnná Proměnná - veličina, která může měnit svou hodnotu.

6 Popisujeme vztah dvou veličin. Vyjadřujeme, jak hodnoty jedné veličiny (teploty T) závisejí na hodnotách další veličiny (času).

7 Popisujeme vztah dvou veličin. Vyjadřujeme, jak hodnoty jedné veličiny (teploty T) závisejí na hodnotách další veličiny (času).

8 Obecně, tento popis vzájemného vztahu probíhá tak, že hodnotám jedné veličiny (tzv. nezávisle proměnné) přiřazujeme hodnoty druhé veličiny (tzv. závisle proměnné).

9 Obecně, tento popis vzájemného vztahu probíhá tak, že hodnotám jedné veličiny (tzv. nezávisle proměnné) přiřazujeme hodnoty druhé veličiny (tzv. závisle proměnné).

10 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod.

11 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y

12 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3

13 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x)

14 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3

15 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3

16 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3 f (5) = = 13

17 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3 f (5) = = 13 Některé často používané funkce mají speciální označení (např. log, sin, cos, apod.)

18 Reálná funkce f jedné reálné proměnné x Zobrazení z množiny R do množiny R; pravidlo, podle kterého každému prvku z množiny D(f ) R přiřadíme právě jeden prvek z množiny H(f ) R. V matematice se funkce zpravidla označují písmeny f, g, ϕ, apod. f : x y f : x 2x + 3 y = f (x) y = 2x + 3 f (x) = 2x + 3 f (5) = = 13 Některé často používané funkce mají speciální označení (např. log, sin, cos, apod.)

19 Definiční obor funkce Množina čísel, kterou jsme v definici funkce označili D(f ), se nazývá definiční obor funkce. Symbol x, označující libovolné číslo z množiny D(f ), se nazývá nezávisle proměnná nebo argument funkce. Obor hodnot funkce Číslo y přiřazené funkcí f k číslu x nazýváme hodnotou funkce f v bodě x; píšeme y = f (x). Množinu H(f ) všech hodnot funkce nazýváme obor hodnot funkce f.

20 Definiční obor funkce Množina čísel, kterou jsme v definici funkce označili D(f ), se nazývá definiční obor funkce. Symbol x, označující libovolné číslo z množiny D(f ), se nazývá nezávisle proměnná nebo argument funkce. Obor hodnot funkce Číslo y přiřazené funkcí f k číslu x nazýváme hodnotou funkce f v bodě x; píšeme y = f (x). Množinu H(f ) všech hodnot funkce nazýváme obor hodnot funkce f.

21 Graf funkce Grafem funkce f nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích [x, f (x)], kde x je libovolné číslo z definičního oboru funkce f a f (x) je příslušná funkční hodnota.

22 K jednoznačnému určení funkce je třeba zadat: 1 definiční obor funkce, 2 funkční předpis, tj. způsob přiřazení funkčních hodnot k argumentům. Je zvykem, že není-li u funkčního předpisu zároveň uveden definiční obor funkce f, rozumí se jím množina všech čísel x, pro něž existují funkční hodnoty f (x). Funkční předpis nejčastěji mívá formu vzorce, tj. matematického zápisu, z něhož je patrné, které matematické operace je třeba provést s argumentem x, abychom dostali příslušnou funkční hodnotu. V tom případě se říká, že funkce je zadána analyticky.

23 Někdy je funkční předpis dán několika vzorci, např: 1 + x pro x (0, + ) f (x) = 0 pro x = 0 1 x pro x (, 0). V některých případech může být funkce zadána přímo výčtem funkčních hodnot pro všechny hodnoty argumentu x, např. tzv. Dirichletova funkce je definována následovně: { 1 pro x racionální, f (x) = 0 pro x iracionální. Přibližně lze funkci zadat též graficky, tj. nakreslením jejího grafu.

24 Elementární funkce Základní elementární funkce již známé ze střední školy: Konstantní funkce: y = c, c R, D(f ) = R. Lineární funkce: y = kx + q, k, q R, k 0, D(f ) = R. Mocninná funkce: y = x n, n N, D(f ) = R. n R, n 0, D(f ) = R +. Funkce sinus: y = sin x. D(f ) = R. Funkce kosinus: y = cos x. D(f ) = R. Funkce tangens: y = tg x, D(f ) = R\{ kπ Funkce kotangens: y = cotg x, D(f ) = R\{kπ Exponenciální funkce: y = a x, a > 0, D(f ) = R. Logaritmická funkce: y = log a x, a > 0, a 1, D(f ) = R +.

25 Elementární funkce Elementárními funkcemi budeme rozumět takové funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí konečným počtem aritmetických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a operací skládání funkcí. Příklady elementárních funkcí: f (x) = x 3 5x 2 + 6x 5 ( ) g(x) = ln sin x 1+x 2 Příklady neelementárních funkcí: h(x) = x 3 5x 2 + 6x 5 1 pro x > 0, sgn x = 0 pro x = 0, 1 pro x < 0.

26 Vlastnosti funkce Sudá funkce Funkce f se nazývá sudá, jestliže pro všechna x D(f ) je f ( x) = f (x). Funkce f (x) = x 2 je sudá, nebot x D(f ) f ( x) = ( x) 2 = x 2 = f (x). Příklady sudých funkcí: f (x) = x n, kde n je sudé číslo, f (x) = cos x. Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.

27 Lichá funkce Lichá funkce Funkce f se nazývá lichá, jestliže pro všechna x D(f ) je f ( x) = f (x). Funkce f (x) = x 3 je lichá, nebot x D(f ) f ( x) = ( x) 3 = x 3 = f (x). Příklady lichých funkcí: f (x) = x n, kde n je liché číslo, f (x) = sin x. Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadných os.

28 Periodická funkce Periodická funkce Funkce f se nazývá periodická, jestliže existuje takové p 0, že pro všechna x z jejího definičního oboru je f (x + p) = f (x). Číslo p nazýváme periodou funkce f, nejmenší kladnou periodu (pokud existuje) nazýváme základní periodou funkce f. Funkce f (x) = sin x je periodická, nebot jestliže zvoĺıme p rovno např. hodnotě 2π, tak: x R : f (x + 2π) = sin(x + 2π) = sin x = f (x).

29 Monotonost funkce Rostoucí funkce Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu J D(f ), jestliže pro dva libovolné body x i, x j intervalu J pro něž platí x i < x j, zároveň platí nerovnost f (x i ) < f (x j ). Funkce y = x 2 je rostoucí v intervalu (0, ), nebot v tomto intervalu pro všechna x i < x j je x 2 i < x 2 j (např. [3 < 5] [3 2 < 5 2 ]).

30 Monotonost funkce Klesající funkce Funkce f se nazývá klesající v intervalu J D(f ), jestliže pro dva libovolné body x i, x j intervalu J pro něž platí x i < x j, zároveň platí nerovnost f (x i ) > f (x j ). Funkce y = x 2 je klesající v intervalu (, 0), nebot v tomto intervalu pro všechna x i < x j platí x 2 i > x 2 j (např. [( 5) < ( 3)] [( 5) 2 > ( 3) 2 ]).

31 Vlastnosti funkce Omezená funkce Funkce f se nazývá ohraničená (omezená) v intervalu J D(f ), jestliže existuje takové číslo C, že pro všechna x J platí f (x) C. Funkce y = f (x) je omezená v zobrazeném intervalu, nebot pro všechny zobrazené funkční hodnoty je C < f (x) < C, tedy f (x) < C.

32 Vlastnosti funkce Globální minimum Globálním minimem funkce f v intervalu J D(f ) nazýváme takovou funkční hodnotu f (x n ), že pro všechna x J platí f (x) f (x n ). Funkce y = f (x) má (nabývá) v bodě x n globální minimum f (x n ), nebot pro všechna x ze zobrazeného intervalu platí f (x n ) f (x).

33 Vlastnosti funkce Globální maximum Globálním maximem funkce f v intervalu J D(f ) nazýváme takovou funkční hodnotu f (x m ), že pro všechna x J platí f (x) f (x m ). Funkce y = f (x) má (nabývá) v bodě x m globální maximum f (x m ), nebot pro všechna x ze zobrazeného intervalu platí f (x) f (x m ).

34 Vlastnosti funkce Prostá funkce Funkce f se nazývá prostá, jestliže pro každé dva různé body z definičního oboru jsou různé i jejich funkční hodnoty.

35 Vlastnosti funkce Inverzní funkce Necht funkce y = f (x) je prostá. Potom inverzní funkcí k funkci f (značíme f 1 ) rozumíme funkci, která každému y z oboru hodnot funkce f přiřazuje takové číslo f 1 (y) = x z definičního oboru funkce f, pro které platí f (x) = y. Složená funkce Mějme funkce f a g. Je-li definiční obor funkce f roven oboru hodnot funkce g (tj. D(f ) = H(g) ), pak funkci F (x) = f (g(x)) nazýváme složená funkce. Funkce g se nazývá vnitřní funkce, funkce f se nazývá vnější funkce. Necht f (x) = sin x, g(x) = x 3. Je vidět, že D(f ) = H(g) = (, ). Potom F (x) = f (g(x)) = sin x 3.

36 Operace s funkcemi Rovnost funkcí Dvě funkce jsou si rovny (f = g), jestliže mají týž definiční obor [D(f ) = D(g)] a pro všechna x z této množiny platí f (x) = g(x). Součet funkcí Součtem funkcí f, g s týmž definičním oborem nazýváme takovou funkci h (píšeme h(x) = (f + g)(x)), která přiřadí ke každému číslu x D(f ) = D(g) funkční hodnotu h(x) = f (x) + g(x). Zbývající početní operace s funkcemi Obdobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí f, g s týmž definičním oborem, přičemž podíl je definován pouze tehdy, je-li g(x) 0 pro každé x z definičního oboru.