Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Transkript

1 Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte ji ( lim k = 0) 2 Absolutní konvergence řady onvergence řady Formulujte a zdůvodněte tvrzení o vzájemném vztahu těchto pojmů 3 Kritéria pro konvergenci řady Formulace a jejich odvození Srovnávací, podílové, odmocninové a integrální kritérium Řešte některou z uvedených úloh: a) Je 0 < < a řada konverguje Ukažte, že řada také ( + ) konverguje b) Je a 2 k < a b 2 k <, ukažte, že také řada ( b k ) konverguje c) Je-li 0 a b k 0 pro k N a <, b k <, ukažte, že b k < a d) Je 0 < < a řada konverguje Ukažte, že řada k ak + 2 také konverguje e) Je a 2 k < a b 2 k <, ukažte, že také řada ( b k+ ) konverguje f) Je 0 < < a < Ukažte, že konverguje i řada g) Řada a 2 k je konvergentní Ukažte, že je konvergentní také řada k h) Jestliže řada konverguje, ukažte, že konverguje i řada a 2 k i) Jestliže řada konverguje, ukažte, že konverguje také řada + ( ) bk j) Jestliže řada konverguje a pokud je > 0 a b k > 0 a lim = A k (0, ), pak také řada b k konverguje

2 k) Je 0 < < a řada konverguje Ukažte, že konverguje i řada l) Řada je konvergentní Co můžete říci o řadě arctg( ) m) Řada je konvergentní Co můžete říci o řadě sin ( ) n) Řada je konvergentní Co můžete říci o řadě cos ( ) o) Řada je konvergentní Co můžete říci o řadě e a 2 k + 4 Lebnizovo kritérium pro konvergenci alternující řady a odhad zbytku Formulace a odvození tvrzení Řešte některou z uvedených úloh: Rozhodněte, zda daná řadonverguje Pokud ano, tak odhadněte chybu při aproximaci součtu částečným součtem prvních pěti členů Kolik členů musíte v částečném součtu vzít, aby byla chyba aproximace menší než 0 4 a) d) ( ) k+ k 2 + ; b) ( ) k+ lnk ; c) k 3 ( ) k+ kln(k + ) ; e) ( ) k+ k k + ; f) ( ) k+ arctgk k ; ( ) k+ k k + 3 B Funkční řady Co znamenají pojmy řadonverguje bodově v intervalu a řadonverguje stejnoměrně v intervalu Jaký je vztah obou pojmů a tvrzení zdůvodněte 2 Formulujte a odvoďte nutnou a postačující podmínku pro stejnoměrnou konvergenci funkční řady a posloupnosti ( lim k sup{ f k (x) f(x) ; x M} = 0) 3 Weierstrassovo kritérium pro stejnoměrnou konvergenci řady Formulujte a odvoďte ( f k (x), x M a < ) Řešte některou z úloh: a) Kde konverguje de stejnoměrně konverguje řada b) Řada je konvergentní Co můžete říci o konvergenci a stejnoměrné konvergenci řady x 2k sin (kx) k + exp( x), x R 2

3 c) Řada z d) Je > 0 a řada konverguje, ukažte, že řadonverguje stejnoměrně stejnoměrně konvergentní Kde? je konvergentní Ukažte, že řada z k pro sin (kπt) je 4 Vlastnosti stejnoměrně konvergentní posloupnosti či řady funkcí v R Spojitost, derivace a integrál součtu či limity 5 Pojem mocninné řady v R a C Jaký je obor konvergence, obor absolutní konvergence a stejnoměrné konvergence mocninné řady Jak je určíme Tvrzení formulujte a zdůvodněte Řešte některou z úloh: a) V posloupnosti { ; k N} je lim = 4 Jaký je obor konvergence mocninné řady b) Je 0 a řady z k, z C k + konverguje Co lze říci o konvergenci a stejnoměrné konvergenci e x k, x R a tvrzení zdůvodněte Určete a načrtněte obor konvergence mocninné řady x 2k+ k k + 2, x R; 2 (x ) 2k 2 k (k + ), x R; 3 kln(k + )(x 2) k, x R; 4 ( x + 3)k arctgk, x R; 5 k3 k+ (x 4) 2k 3 + ( ) k, x R; 6 k (x + 3)k+, x R; (z + j) k ( ) k (z + 2j) 7, z C; 8, z C; 3 k+ + 2j (z + j) 2k (z + 2 3j) k 9, z C; 0, z C; 3 + j k + j (k + ) 4 (z + j) k, z C; 2 (k!)z k, z C 6 Taylorova řada funkce Podmínka, kdy je možné vyjádřit funkci ve tvaru mocninné řady Geometrická řada, řady pro logaritmus, exponenciální funkci, gonimetrické funkce, hyperbolické funkce a binomická řada a jejich obory konvergence 7 Trigonometrická (Fourierova) řada periodické funkce Řada sudé a liché funkce Komplexní tvar řady Kriterium konvergence (vztah funkce a součtu řady) Rozvoj neperiodické funkce Stejnoměrná konvergence trigonometrické řady 3

4 C Integrál funkce více proměnných Dvojný a trojný integrál Definice, vlastnosti a jeho fyzikální a geometrický význam Výpočet metodou postupného integrování 2 Věta o substituci Formulace a použití 3 Polární a zobecněné polární souřadnice 4 Válcové a zobecněné válcové souřadnice 5 Sférické a zobecněné sférické souřadnice 6 Nevlastní integrál Integrál neomezené funkce a integrál přes neomezenou množinu 7 Vysvětlete pojmy integrál konverguje, integrál existuje a integrál neexistuje D Křivkové integrály Napište jak jsou definovány pojmy hladký (regulární) oblouk, hladká křivka, tečný vektor, orientace oblouku a orientovaná cesta Jaké jsou jejich základní vlastnosti Je množina C = {(x, y); y = sgnx, x, } oblouk a proč Kdy je čast grafu funkce y = f(x) hladkým obloukem 2 Křivkový integrál funkce Definice, vlastnosti a výpočet Fyzikální a geometrický význam tohoto integrálu 3 Křivkový integrál vektorového pole Definice, vlastnosti a způsob výpočtu Fyzikální a geometrický význam tohoto integrálu Ukažte, že pro každou uzavřenou cestu C je (C ) gradϕ d s = 0 4 Uzavřená (Jordanova) cesta v rovině Její kladná orientace Greenova formule Podmínka pro potenciální pole v rovině, která vyplývá z Greenovy formule E Plošné integrály List hladké plochy s krajem a jeho orientace Plocha a orientovaná plocha Souhlasné orientace kraje a listu Kdy je graf funkce z = f(x, y) listem hladké plochy Jakou plochu nazýváme uzavřenou 2 Plošný integrál funkce Definice, vlastnosti a výpočet Fyzikální a geometrický význam tohoto integrálu 4

5 3 Plošný integrál vektorového pole Definice, vlastnosti a způsob výpočtu Fyzikální a geometrický význam tohoto integrálu F Vektorová analýza Diferenciální operátory skalárních a vektorových polí a jejich definice (grad, div, rot) 2 Složené diferenciální operátory a jejich vyjádření (div(grad), rot(grad), div(rot), rot(rot)) 3 Stokesova věta Význam vektoru rotace Formulace a využití pro odvození podmínky pro konzervativní vektorové pole Ukažte, že pro uzavřenou plochu S v R 3 (S) je rot F d S = 0 4 Gaussova věta, její formulace a odvození významu divergence vektorového pole a) Vypočtěte gradf a uveďte definiční obor pro f(x, y) = 0x 2 y 3x 3 y 2 + y 5, 2 f(x, y) = x 2 + y 2, 3 f(x, y) = x, 4 f(x, y) = ) ln( +xy, 2 +y 2 5 f(x, y) = x + 2y(, 6 f(x, y) = xe (x2 +y 2), 7 f(x, y, z) = arcsin z x 2 +y 2 ), 8 f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, 9 f(x, y, z) = 3x 2 4y 3 + xyz, 0 f(x, y, z) = 2x+ zy 3x+4y 5z+2 b) Vypočtěte divf a rotf pro F = ( x, ) ( y y x, 2 F = y, x + x+ y), 3 F = (zy, xz, xy), 4 F = (4ln(x y), 4ln(y z), 4ln(z x), ), 5 F = ( x, y, ) ( ) z y z x, 5 F = xy, (x 2 z 2 y ), x+2, 7 F = (x 2 yz 3, ln(yz + ), 3x 2 y + z 2 4xz), 8 F x = ( (x, y 2 +y 2 +z 2 ) (x, z 2 +y 2 +z 2 ) (x ) 2 +y 2 +z 2 ) x c) Napište, jak je definována rot F a vypočtěte ji pro vektorové pole F = f(r) r, kde r = (x, y, z), r = r a f je spojitě diferencovatelná funkce v intervalu (0, ) d) Pro vektorové pole F = f(r) r vypočtěte div F, jestliže r = (x, y, z), r = r a f je spojitě diferencovatelná funkce v intervalu (0, ) e) Napište, jak je definována rot F a vypočtěte ji pro vektorové pole F = f(r) a, kde a = (a, a 2, a 3 ), r = (x, y, z), r = r a f je spojitě diferencovatelná funkce v intervalu (0, ) f) Pro vektorové pole F = f(r) a vypočtěte div F, jestliže a = (a, a 2, a 3 ), r = (x, y, z), r = r a f je spojitě diferencovatelná funkce v intervalu (0, ) e) Je F (x, y, z) = f(r), kde r = x 2 + y 2 + z 2 Vypočtěte hodnotu div(gradf ), jestliže f je spojitě diferencovatelná reálná funkce v intervalu (0, ) 5

6 G Potenciál Konzervativní vektorové pole Definice pojmu a jaké má takové pole vlastnosti Podmínky pro konzervativní vektorové pole 2 Ukažte, že jsou ekvivalentní podmínky: Křivkový integrál po každé uzavřené cestě v oblasti G je roven nule Křivkový integrál po libovolné cestě v oblasti G nezávisí na tvaru cesty, ale pouze na jejím počátečním oncovém bodě 3 Ukažte, že pro vektorové pole, které potenciální v oblasti G, nezávisí křivkový integrál na tvaru cesty 4 Ukažte, že pro potenciální vektorovém poli F, které má potenciál ϕ v oblasti G je X X 0 F d s = ϕ(x) ϕ(x0 ), X, X 0 G 5 Ukažte, že pro konzervativní vektorové pole F v oblasti G je funkce ϕ, která je definována jako ϕ(x) = ϕ(x 0 ) + F d s, kde (C ) je v oblasti G libovolná cesta s počátečním bodem X oncovým bodem X 0 potenciálem tohoto vektorového pole Řešte některou z daných úloh: (C ) a) Ověřte, zda vektorové pole F je konzervativní: F = (2xyz + 3y 3 + 3, x 2 z + 9xy 2 2z 2 2, x 2 y 4zy); F = (x 2 + y, x y + 2); F = ( y2 x+ + 8xy, 2yln(x + ) + 4x2 ; F = (3x 2 y + 5, 8xy + 6x 2y 2 + 5); F = (x y, x + y); F = (2x + 3y 5, 3x 2y); F = (2xy, x 2 + z 2, 2zy); F = (xz, yz, xy + 2z) b) Jaké vektorové pole F má potenciál ϕ; ϕ(x, y) = 3x 2 y + 5y 2 2ln(x + y); ϕ(x, y) = 6x y + 3y 2 lnx 2; ϕ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z + 2xy + 2zy + 2xz 6

7 c) Ověřte, zda má vektorové pole F = ( 2xy + e 2x+3y, x + y x + y 6x 2 + 3e 2x+3y ) potenciál ϕ(x, y) = (2 x + y 2xy + 2e 2x+3y ) a v případě kladné odpovědi spočtěte integrál po úsečce s krajními body A[,] a B[0,2] d) Určete čísla a a b tak, aby bylo vektorové pole F = (bx + 3y 3, ax + 2y) potenciální e) Určete čísla a a b tak, aby bylo vektorové pole F = (bx + 3y 3, ax + 2y) potenciální f) Víte, že vektorové pole F = (4x+3y 3, 3x+2y) je potenciální Spočtěte integrál tohoto pole po křivce (C ) = {(x, y); y = sin 3 x, 0 x 5π} ( ) g) Rozhodněte zda je vektorové pole F 4x = x 2 + y 6x, 2 x 2 + y + 2 potenciální a určete jeho potenciál Postup výpočtu zdůvodněte h) Ověřte, zda ( funkce ϕ(x, y) = 2ln x 2 + ) y 3x 2 + 2y 0 je potenciálem vektorového pole F 4x = x 2 + y 6x, 2 x 2 + y + 2 a vypočtěte integrály po křivkách, které mají krajní body A[2, 3], B[3, 4] a C[2, 3], D[, 5] i) Jaké vektorové pole má potenciál ϕ(x, y) = f(r), kde r = x 2 + y 2 a f je spojitě diferencovatelná funkce v intervalu (0, ) j) Určete potenciál vektorového pole (pokud existuje): F = (3x 2 + 8xy + 6y 2 5, 4x 2 + 2xy + 2); 2 F = (x y, x 2 + y); 3 F = ( 2x x 2 +y, x 2 +y ); 4 F = (4xz + 3yz, 3xz 8yz 2, 2x 2 + 3xy 8y 2 z + 8); 5 F = (xy + 2z, 4x 2 z + 5y, 3xz + 6y); 6 F = (x y, y z, z x); 7