Bakalářská matematika I
|
|
- Vendula Kašparová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I
2 Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A, B množina všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a A, b B; označuje se A B. Tj. je A B = {(a, b) : a A b B}.
3 Některé užitečné pojmy Zobrazení Definice 1.2 F je zobrazení množiny A do množiny B, zkráceně F : A B, jestliže F A B a platí a A! b B : (a, b) F. Definice 1.3 Nechť F : A B a (a, b) F. Množina A se nazývá definiční obor zobrazení F. Prvek a se nazývá vzor prvku b při zobrazení F. Prvek b se nazývá obraz prvku a při zobrazení F a označuje se F(a).
4 Některé užitečné pojmy Závislá a nezávislá proměnná Poznámka 1.1 Pro vztah (a, b) F se používají také zápisy a F b, F(a) = b vyjadřující výstižně závislost prvku b na prvku a. Vzhledem k tomu, že prvek a se může měnit v rámci množiny A a v závislosti na něm se mění prvek b v rámci množiny B, používá se pro symboly a resp. b označení nezávislá resp. závislá proměnná.
5 Některé užitečné pojmy Operace Definice 1.4 Operace nad množinami A, B je zobrazení s definičním oborem A B. Poznámka 1.2 Budeme-li pracovat s operací : A B C, budeme obraz (a, b) označovat a b. Příklady Sčítání reálných čísel + : R R R. Dělení reálných čísel / : R R \ {0} R.
6 Funkce Definice funkce Definice 1.5 Funkce je zobrazení jakékoliv množiny do číselné množiny. Definice 1.6 Nechť f : A B je funkce. Říkáme, že f je reálná funkce, jestliže B R. f je funkce jedné reálné proměnné, jestliže A R. f je funkce dvou reálných proměnných, jestliže A R R. f je reálná funkce jedné reálné proměnné, jestliže A R, B R. f je reálná funkce dvou reálných proměnných, jestliže A R R, B R. Úmluva Dále budeme výraz funkce používat pro reálné funkce jedné reálné proměnné, tj. pro zobrazení jedné podmnožiny R do jiné podmnožiny R.
7 Funkce Definiční obor a obor hodnot funkce Definice 1.7 Definiční obor funkce f je množina D f = {x R :!y R, f (x) = y}; prvek této množiny se nazývá argument funkce f. Obor hodnot funkce f je množina H f = {y R : x D f, f (x) = y}; prvek této množiny se nazývá funkční hodnota funkce f. Úmluva Vztah M D f budeme také vyjadřovat větou f je definovaná na M. Rovnost f (x 0 ) = y 0 budeme také vyjadřovat větou y 0 je funkční hodnotou funkce f v bodě x 0.
8 Funkce Zadání funkce podrobnosti Poznámka 1.3 Funkci budeme nejčastěji zadávat prostřednictvím tzv. explicitního předpisu, který stanoví obecný tvar proměnné y (= f (x) ) v závislosti na proměnné x. Např. f (x) = x 2. K explicitnímu předpisu budeme někdy připojovat zamýšlený rozsah proměnné x. Např. f (x) = x 2, x 1, 2.
9 Funkce Graf funkce Definice 1.8 Graf funkce f je množina všech bodů v rovině o (kartďż zských) souřadnicích x, f (x), kde x D f, tj. množina {[x, f (x)] E 2 : x D f }. Příklad: Jde o graf funkce? Ano. Ne.
10 Základní elementární funkce Konstantní funkce f (x) = c, kde c R, D f = (, ), H f = {c}. Mocnina s celým exponentem f (x) = x k, kde k Z. f (x) = x, D f = (, ), H f = (, ) f (x) = x 2, D f = (, ), H f = 0, ) f (x) = x 3, D f = (, ), H f = (, ) f (x) = 1, x D f = (, 0) (0, ), H f = (, 0) (0, ) f (x) = 1, D x 2 f = (, 0) (0, ), H f = (0, ) f (x) = 1, D x 3 f = (, 0) (0, ), H f = (, 0) (0, ) Odmocnina s přirozeným exponentem f (x) = n x, kde n N. f (x) = x, D f = 0, ), H f = 0, ) f (x) = 3 x, D f = (, ), H f = (, )
11 Základní elementární funkce Exponenciální funkce f (x) = a x, kde a > 0, a 1. f (x) = e x, D f = (, ), H f = (0, ) Logaritmické funkce f (x) = log a x, kde a > 0, a 1. f (x) = log x, D f = (0, ), H f = (, ) (= log 10 x... dekadický logaritmus ) f (x) = ln x, D f = (0, ), H f = (, ) (= log e x... přirozený logaritmus ) Goniometrické funkce f (x) = sin x, D f = (, ), H f = 1, 1 f (x) = cos x, D f = (, ), H f = 1, 1 f (x) = tg x, D f = R \ { π + kπ : k Z}, 2 H f = (, ) f (x) = cotg x, D f = R \ {kπ : k Z}, H f = (, ) Cyklometrické funkce f (x) = arcsin x, D f = 1, 1, H f = π π 2 2 f (x) = arccos x, D f = 1, 1, H f = 0, π f (x) = arctg x, D f = (, ), H f = ( ) π π 2 2 f (x) = arccotg x, D f = (, ), H f = (0, π)
12 1. přednáška 2. přednáška Podrobnosti Základní elementární funkce Grafy základních elementárních funkcí funkci.pdf
13 Operace s funkcemi Sčítání, odčítání Definice 1.9 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g je neprázdná. Řekneme, že f, g jsou si rovny na M, zkráceně f = g na M, jestliže f (x) = g(x), x M. Součet funkcí f, g na M je funkce (f + g) : M R definovaná předpisem (f + g)(x) := f (x) + g(x), x M. Rozdíl funkcí f, g na M je funkce (f g) : M R definovaná předpisem (f g)(x) := f (x) g(x), x M.
14 Operace s funkcemi Násobení, dělení Definice 1.10 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g je neprázdná. Součin funkcí f, g na M je funkce (f g) : M R definovaná předpisem (f g)(x) := f (x) g(x), x M. Je-li g konstantní funkce o hodnotě c R, potom součin funkcí f, g se nazývá c-násobek funkce f a označuje se cf. Nechť n N. n-tá mocnina funkce f je funkce f n : D f R definovaná předpisem f n (x) := ( f (x) )n, x D f. Definice 1.11 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g \ {x D g : g(x) = 0} je neprázdná. Potom podíl funkcí f, g na M je funkce (f /g) : M R definovaná předpisem (f /g)(x) := f (x) g(x), x M.
15 Operace s funkcemi Skládání Definice 1.12 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := {x D f : f (x) D g} je nepr. Funkce (g f ) : M R definovaná předpisem (g f )(x) := g ( f (x) ), x M, se nazývá funkce složená z funkcí f, g. V této situaci se funkce g nazývá vnější funkce a funkce f se nazývá vnitřní funkce.
16 Elementární funkce Elementární funkce podrobnosti Definice 1.13 Elementární funkce jsou funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu operací sčítďż ní (+), odčítání ( ), násobení ( ), dělení (/) a skládání ( ).
17 Elementární funkce Polynomy Definice 1.14 Nechť n N {0}, a 0,... a n R, a n 0. Potom funkce f (x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x R, je polynom stupně n. Speciálně: Polynom stupně 2 je kvadratická funkce, Polynom stupně 1 je lineární funkce. Poznámka 1.4 Definiční obor libovolného polynomu je množina R. Polynom stupně 0 je konstantní funkce.
18 Elementární funkce Příklady polynomů a) f (x) = 2x 2 8 b) f (x) = 2x + 3 parabola přímka c) f (x) = x d) f (x) = 6 osa 1. a 3. kvadrátu rovnoběžka s osou x
19 Elementární funkce Přímka a graf funkce Poznámka 1.5 Přímku p, která není rovnoběžná s osou y, lze vyjádřit jako graf nějaké lineární popř. konstantní funkce. Používá se zápis p : y = ax + b popř. p : y = c Přímku p, která je rovnoběžná s osou y, nelze vyjádřit jako graf funkce. Prochází-li tato přímka na ose x bodem c, používá se zápis p : x = c.
20 Elementární funkce Příklad 1.1 Určete definiční obor funkce (f zadané explicitně) a vyjádřete jej ve tvaru sjednocení komponent. a) f (x) = x 7 + 3x 5 2x + 7 b) f (x) = x+2 x 2 +x 2 c) f (x) = x 2 + 5x x 1 d) f (x) = cos x + cotg 2x e) f (x) = log(x + 6) f) f (x) = arccos(x 2)
21 Další funkce Absolutní hodnota f (x) = x, D f = (, ), H f = 0, ). x = { x, je-li x 0, x, je-li x < 0. Signum f (x) = sgn x, D f = (, ), H f = { 1, 0, 1}. 1, je-li x > 0, sgn x = 0, je-li x = 0, 1, je-li x < 0. Celá část f (x) = [x], D f = (, ), H f = Z. podrobnosti
22 Vlastnosti funkcí Průsečíky s osami Definice 1.15 Průsečík grafu funkce f s osou x je bod [x 0, 0], kde x 0 je řešení rovnice f (x) = 0. (1) Průsečík grafu funkce f s osou y je bod [0, y 0 ], kde y 0 = f (0). Poznámky: Jestliže rovnice (1) nemá řešení, potom neexistuje průsečík s osou x. Jestliže 0 D f, potom neexistuje průsečík s osou y. Průsečík s osou y může být nejvýše jeden; průsečíků s osou x může být až nekonečně mnoho.
23 Vlastnosti funkcí Známénko funkce Definice 1.16 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je kladná na M, jestliže x M : f (x) > 0. záporná na M, jestliže x M : f (x) < 0. kladná záporná na (0, 1) kladná na (1, ).
24 Vlastnosti funkcí Ohraničenost Definice 1.17 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je ohraničená shora na M, jestliže h R, x M : f (x) h. ohraničená zdola na M, jestliže d R, x M : f (x) d. ohraničená na M, je-li na M ohraničená shora i zdola. ohraničená shora ohraničená zdola ohraničená
25 Vlastnosti funkcí Monotónnost Definice 1.18 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je rostoucí na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ). klesající na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) > f (x 2 ). neklesající na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). nerostoucí na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). konstantní na M, jestliže x 1, x 2 M : f (x 1 ) = f (x 2 ). monotónní na M, jestliže má na M některou z předchozích vlastností. ryze monotónní na M, jestliže je na M rostoucí nebo klesající. rostoucí klesající
26 Vlastnosti funkcí Extrémy funkce Definice 1.19 Nechť f je funkce a x 0 M D f. Potom řekneme, že funkce f nabývá na množině M minima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) f (x 0 ), ostrého minima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) > f (x 0 ), maxima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) f (x 0 ), ostrého maxima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) < f (x 0 ). Dodatky Nastane-li v definici 1.19 situace M = D f, hovoříme o globálním (ostrém) minimu resp. o globálním (ostrém) maximu. Nabývá-li funkce f na množině M (ostrého) lokálního minima nebo maxima v bodě x 0, řekneme, že funkce f nabývá na množině M (ostrého) lokálního extrému v bodě x 0.
27 Vlastnosti funkcí Konvexnost, konkávnost Definice 1.20 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je konvexní na M, jestliže pro všechna x, x 1, x 2 M platí x 1 < x < x 2 = f (x) < f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ). konkávní na M, jestliže pro všechna x, x 1, x 2 M platí x 1 < x < x 2 = f (x) > f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ).
28 není prostá je prostá je prostá není monotónní Vlastnosti funkcí Prostota Definice 1.21 Funkce f je prostá, jestliže x 1, x 2 D f : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Věta 1.1 Každá funkce ryze monotónní na svďż m definičním oboru je prostá. důkaz Poznámka 1.6 Opačné tvrzení neplatí: funkce prostá nemusí být (ani) monotónní na svďż m definičním oboru.
29 Vlastnosti funkcí Sudost, lichost Definice 1.22 Funkce f je sudá, jestliže x D f : x D f f ( x) = f (x). lichá, jestliže x D f : x D f f ( x) = f (x). sudá lichá
30 Vlastnosti funkcí Sudost, lichost Příklad 1.2 Určete, zda je funkce sudá nebo lichá. a) f (x) = x 3 + tg x b) f (x) = x 2 2x + 5 c) f (x) = x2 +1 x 2 1 d) f (x) = x + 3
31 Vlastnosti funkcí Periodicita Definice 1.23 Funkce f je periodická, existuje-li T > 0 takové, že x D f : x + T D f f (x + T ) = f (x). V této situaci se číslo T nazývá perioda funkce f. Existuje-li nejmenší perioda funkce f, nazývá se základní perioda funkce f. T = 2π T = 2
32 Vlastnosti funkcí Periodicita Příklad 1.3 Určete periodu funkce. a) f (x) = sin x b) f (x) = sin 2x c) f (x) = sin(2x + 1) d) f (x) = 3 sin(2x + 1)
33 Vlastnosti funkcí Invertibilita Definice 1.24 Nechť f je funkce. Potom funkce f 1 : H f R taková, že x D f, y H f : f 1 (y) = x y = f (x), se nazývá inverzní funkce k funkci f. Poznámka 1.7 Grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle osy 1. a 3. kvadrantu. Platí D f 1 = H f, H f 1 = D f.
34 Vlastnosti funkcí Invertibilita Věta 1.2 (o existenci inverzní funkce) Nechť f je funkce. Potom f 1 existuje právě tehdy, když f je prostá. Příklad 1.4 Určete funkci inverzní k zadané funkci. a) f (x) = x + 2 b) f (x) = x 2 c) f (x) = 10 x+1
35 Rozšíření definice kartézského součinu zpět Definice 1.1 Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A, B množina všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a A, b B; označuje se A B. Tj. je A B = {(a, b) : a A b B}. Nechť n N a A 1,..., A n jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A 1,..., A n je množina všech uspořádaných n-tic (a 1,..., a n), kde a i A i pro každé i {1,..., n}; označuje se A 1 A n. Je-li A 1 = = A n = A, potom kartézský součin A 1 A n se nazývá n-tá kartézská mocnina množiny A ; označuje se A n.
36 Způsoby zadání funkce zpět Analyticky explicitně: rovností y = f (x), např. y = 2x 2 (nebo též f (x) = 2x 2 ), implicitně: rovnicí F(x, y) = 0, např. xy 2 e y = 0, parametricky: rovnicemi } x = φ(t) t D, y = ψ(t) např. } x = 1 + t y = t 2 + t t R. Grafem Tabulkou např. Odpracované roky plat v tis. Kč Slovně např. Číslo zadání studentova domácího programu je dáno zbytkem po celočíselném dělení posledního dvojčíslí jeho osobního čísla dvaceti zvětšeným o jedničku.
37 Funkce celá část, operace div, mod zpět Věta Pro každé x R existuje jediné k Z takové, že k x < k + 1. Číslo k Z odpovídající číslu x R podle přechozí věty se označuje [x]. Funkce [ ] : R Z definovaná předpisem se nazývá celá čast (reálného čísla). x [x] Operace div : R + R + Z definovaná předpisem [ x div y = se nazývá celočíselné dělení. x y ], (x, y) R + R +, Operace mod : R + R + R definovaná předpisem [ x mod y = x se nazývá zbytek po celočíselném dělení. x y ] y, (x, y) R + R +,
38 Klasifikace elementárních funkcí zpět Algebraické funkce jsou všechny elementďż rnďż funkce vytvořené výhradně z funkcí f (x) = c, f (x) = x, f (x) = n x. Polynomy jsou všechny algebraické funkce vytvořené bez použití funkce n x a operace /. Racionální jsou všechny algebraické funkce vytvořené bez použití funkce n x. Iracionální jsou všechny ostatní algebraické funkce. Transcendentnďż jsou všechny ostatní elementární funkce. Nižší, např. exponenciální, logaritmické, goniometrické, cyklometrické. Vyšší, např. e x2 dx. Příklady a) f (x) = x 7 + 3x 5 2x + 7 b) f (x) = x+2 x 2 +x 2 c) f (x) = x 2 + 5x x 1 d) f (x) = cos x + cotg 2x
39 Věta 1.1 s důkazem zpět Věta 1.1 Každá funkce ryze monotónní na svďż m definičním oboru je prostá. Důkaz (přímý): Nechť f je rostoucí. Nechť x 1, x 2 D f a x 1 x 2. Je-li x 1 < x 2, potom z definice 1.18 plyne, že f (x 1 ) < f (x 2 ). Je-li x 1 > x 2, potom z definice 1.18 plyne, že f (x 1 ) > f (x 2 ). V obou případech tedy f (x 1 ) f (x 2 ).
40 Konec (1. Funkce)
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceInovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
Vícesoubor FUNKCÍ příručka pro studenty
soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLogaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
VíceZáklady matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
VíceMatematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212
Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se
Více1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829,
1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceFunkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VícePříklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
Funkce a základní pojmy popisující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. Protože jen výjimečně budou v této části použity jiné
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
VíceMatematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
Vícefunkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i
Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceMatematika I: Listy k přednáškám
Matematika I: Listy k přednáškám Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava
VíceProseminář z matematiky pro fyziky
Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky
VíceMATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik
MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceOpakovací kurs středoškolské matematiky podzim
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceExponenciální a logaritmická funkce
Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální
VíceAplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,
VíceBakalářská matematika I
do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,
VíceFunkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceKvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Více