Bakalářská matematika I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Bakalářská matematika I"

Transkript

1 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I

2 Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A, B množina všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a A, b B; označuje se A B. Tj. je A B = {(a, b) : a A b B}.

3 Některé užitečné pojmy Zobrazení Definice 1.2 F je zobrazení množiny A do množiny B, zkráceně F : A B, jestliže F A B a platí a A! b B : (a, b) F. Definice 1.3 Nechť F : A B a (a, b) F. Množina A se nazývá definiční obor zobrazení F. Prvek a se nazývá vzor prvku b při zobrazení F. Prvek b se nazývá obraz prvku a při zobrazení F a označuje se F(a).

4 Některé užitečné pojmy Závislá a nezávislá proměnná Poznámka 1.1 Pro vztah (a, b) F se používají také zápisy a F b, F(a) = b vyjadřující výstižně závislost prvku b na prvku a. Vzhledem k tomu, že prvek a se může měnit v rámci množiny A a v závislosti na něm se mění prvek b v rámci množiny B, používá se pro symboly a resp. b označení nezávislá resp. závislá proměnná.

5 Některé užitečné pojmy Operace Definice 1.4 Operace nad množinami A, B je zobrazení s definičním oborem A B. Poznámka 1.2 Budeme-li pracovat s operací : A B C, budeme obraz (a, b) označovat a b. Příklady Sčítání reálných čísel + : R R R. Dělení reálných čísel / : R R \ {0} R.

6 Funkce Definice funkce Definice 1.5 Funkce je zobrazení jakékoliv množiny do číselné množiny. Definice 1.6 Nechť f : A B je funkce. Říkáme, že f je reálná funkce, jestliže B R. f je funkce jedné reálné proměnné, jestliže A R. f je funkce dvou reálných proměnných, jestliže A R R. f je reálná funkce jedné reálné proměnné, jestliže A R, B R. f je reálná funkce dvou reálných proměnných, jestliže A R R, B R. Úmluva Dále budeme výraz funkce používat pro reálné funkce jedné reálné proměnné, tj. pro zobrazení jedné podmnožiny R do jiné podmnožiny R.

7 Funkce Definiční obor a obor hodnot funkce Definice 1.7 Definiční obor funkce f je množina D f = {x R :!y R, f (x) = y}; prvek této množiny se nazývá argument funkce f. Obor hodnot funkce f je množina H f = {y R : x D f, f (x) = y}; prvek této množiny se nazývá funkční hodnota funkce f. Úmluva Vztah M D f budeme také vyjadřovat větou f je definovaná na M. Rovnost f (x 0 ) = y 0 budeme také vyjadřovat větou y 0 je funkční hodnotou funkce f v bodě x 0.

8 Funkce Zadání funkce podrobnosti Poznámka 1.3 Funkci budeme nejčastěji zadávat prostřednictvím tzv. explicitního předpisu, který stanoví obecný tvar proměnné y (= f (x) ) v závislosti na proměnné x. Např. f (x) = x 2. K explicitnímu předpisu budeme někdy připojovat zamýšlený rozsah proměnné x. Např. f (x) = x 2, x 1, 2.

9 Funkce Graf funkce Definice 1.8 Graf funkce f je množina všech bodů v rovině o (kartďż zských) souřadnicích x, f (x), kde x D f, tj. množina {[x, f (x)] E 2 : x D f }. Příklad: Jde o graf funkce? Ano. Ne.

10 Základní elementární funkce Konstantní funkce f (x) = c, kde c R, D f = (, ), H f = {c}. Mocnina s celým exponentem f (x) = x k, kde k Z. f (x) = x, D f = (, ), H f = (, ) f (x) = x 2, D f = (, ), H f = 0, ) f (x) = x 3, D f = (, ), H f = (, ) f (x) = 1, x D f = (, 0) (0, ), H f = (, 0) (0, ) f (x) = 1, D x 2 f = (, 0) (0, ), H f = (0, ) f (x) = 1, D x 3 f = (, 0) (0, ), H f = (, 0) (0, ) Odmocnina s přirozeným exponentem f (x) = n x, kde n N. f (x) = x, D f = 0, ), H f = 0, ) f (x) = 3 x, D f = (, ), H f = (, )

11 Základní elementární funkce Exponenciální funkce f (x) = a x, kde a > 0, a 1. f (x) = e x, D f = (, ), H f = (0, ) Logaritmické funkce f (x) = log a x, kde a > 0, a 1. f (x) = log x, D f = (0, ), H f = (, ) (= log 10 x... dekadický logaritmus ) f (x) = ln x, D f = (0, ), H f = (, ) (= log e x... přirozený logaritmus ) Goniometrické funkce f (x) = sin x, D f = (, ), H f = 1, 1 f (x) = cos x, D f = (, ), H f = 1, 1 f (x) = tg x, D f = R \ { π + kπ : k Z}, 2 H f = (, ) f (x) = cotg x, D f = R \ {kπ : k Z}, H f = (, ) Cyklometrické funkce f (x) = arcsin x, D f = 1, 1, H f = π π 2 2 f (x) = arccos x, D f = 1, 1, H f = 0, π f (x) = arctg x, D f = (, ), H f = ( ) π π 2 2 f (x) = arccotg x, D f = (, ), H f = (0, π)

12 1. přednáška 2. přednáška Podrobnosti Základní elementární funkce Grafy základních elementárních funkcí funkci.pdf

13 Operace s funkcemi Sčítání, odčítání Definice 1.9 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g je neprázdná. Řekneme, že f, g jsou si rovny na M, zkráceně f = g na M, jestliže f (x) = g(x), x M. Součet funkcí f, g na M je funkce (f + g) : M R definovaná předpisem (f + g)(x) := f (x) + g(x), x M. Rozdíl funkcí f, g na M je funkce (f g) : M R definovaná předpisem (f g)(x) := f (x) g(x), x M.

14 Operace s funkcemi Násobení, dělení Definice 1.10 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g je neprázdná. Součin funkcí f, g na M je funkce (f g) : M R definovaná předpisem (f g)(x) := f (x) g(x), x M. Je-li g konstantní funkce o hodnotě c R, potom součin funkcí f, g se nazývá c-násobek funkce f a označuje se cf. Nechť n N. n-tá mocnina funkce f je funkce f n : D f R definovaná předpisem f n (x) := ( f (x) )n, x D f. Definice 1.11 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g \ {x D g : g(x) = 0} je neprázdná. Potom podíl funkcí f, g na M je funkce (f /g) : M R definovaná předpisem (f /g)(x) := f (x) g(x), x M.

15 Operace s funkcemi Skládání Definice 1.12 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := {x D f : f (x) D g} je nepr. Funkce (g f ) : M R definovaná předpisem (g f )(x) := g ( f (x) ), x M, se nazývá funkce složená z funkcí f, g. V této situaci se funkce g nazývá vnější funkce a funkce f se nazývá vnitřní funkce.

16 Elementární funkce Elementární funkce podrobnosti Definice 1.13 Elementární funkce jsou funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu operací sčítďż ní (+), odčítání ( ), násobení ( ), dělení (/) a skládání ( ).

17 Elementární funkce Polynomy Definice 1.14 Nechť n N {0}, a 0,... a n R, a n 0. Potom funkce f (x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x R, je polynom stupně n. Speciálně: Polynom stupně 2 je kvadratická funkce, Polynom stupně 1 je lineární funkce. Poznámka 1.4 Definiční obor libovolného polynomu je množina R. Polynom stupně 0 je konstantní funkce.

18 Elementární funkce Příklady polynomů a) f (x) = 2x 2 8 b) f (x) = 2x + 3 parabola přímka c) f (x) = x d) f (x) = 6 osa 1. a 3. kvadrátu rovnoběžka s osou x

19 Elementární funkce Přímka a graf funkce Poznámka 1.5 Přímku p, která není rovnoběžná s osou y, lze vyjádřit jako graf nějaké lineární popř. konstantní funkce. Používá se zápis p : y = ax + b popř. p : y = c Přímku p, která je rovnoběžná s osou y, nelze vyjádřit jako graf funkce. Prochází-li tato přímka na ose x bodem c, používá se zápis p : x = c.

20 Elementární funkce Příklad 1.1 Určete definiční obor funkce (f zadané explicitně) a vyjádřete jej ve tvaru sjednocení komponent. a) f (x) = x 7 + 3x 5 2x + 7 b) f (x) = x+2 x 2 +x 2 c) f (x) = x 2 + 5x x 1 d) f (x) = cos x + cotg 2x e) f (x) = log(x + 6) f) f (x) = arccos(x 2)

21 Další funkce Absolutní hodnota f (x) = x, D f = (, ), H f = 0, ). x = { x, je-li x 0, x, je-li x < 0. Signum f (x) = sgn x, D f = (, ), H f = { 1, 0, 1}. 1, je-li x > 0, sgn x = 0, je-li x = 0, 1, je-li x < 0. Celá část f (x) = [x], D f = (, ), H f = Z. podrobnosti

22 Vlastnosti funkcí Průsečíky s osami Definice 1.15 Průsečík grafu funkce f s osou x je bod [x 0, 0], kde x 0 je řešení rovnice f (x) = 0. (1) Průsečík grafu funkce f s osou y je bod [0, y 0 ], kde y 0 = f (0). Poznámky: Jestliže rovnice (1) nemá řešení, potom neexistuje průsečík s osou x. Jestliže 0 D f, potom neexistuje průsečík s osou y. Průsečík s osou y může být nejvýše jeden; průsečíků s osou x může být až nekonečně mnoho.

23 Vlastnosti funkcí Známénko funkce Definice 1.16 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je kladná na M, jestliže x M : f (x) > 0. záporná na M, jestliže x M : f (x) < 0. kladná záporná na (0, 1) kladná na (1, ).

24 Vlastnosti funkcí Ohraničenost Definice 1.17 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je ohraničená shora na M, jestliže h R, x M : f (x) h. ohraničená zdola na M, jestliže d R, x M : f (x) d. ohraničená na M, je-li na M ohraničená shora i zdola. ohraničená shora ohraničená zdola ohraničená

25 Vlastnosti funkcí Monotónnost Definice 1.18 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je rostoucí na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ). klesající na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) > f (x 2 ). neklesající na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). nerostoucí na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). konstantní na M, jestliže x 1, x 2 M : f (x 1 ) = f (x 2 ). monotónní na M, jestliže má na M některou z předchozích vlastností. ryze monotónní na M, jestliže je na M rostoucí nebo klesající. rostoucí klesající

26 Vlastnosti funkcí Extrémy funkce Definice 1.19 Nechť f je funkce a x 0 M D f. Potom řekneme, že funkce f nabývá na množině M minima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) f (x 0 ), ostrého minima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) > f (x 0 ), maxima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) f (x 0 ), ostrého maxima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) < f (x 0 ). Dodatky Nastane-li v definici 1.19 situace M = D f, hovoříme o globálním (ostrém) minimu resp. o globálním (ostrém) maximu. Nabývá-li funkce f na množině M (ostrého) lokálního minima nebo maxima v bodě x 0, řekneme, že funkce f nabývá na množině M (ostrého) lokálního extrému v bodě x 0.

27 Vlastnosti funkcí Konvexnost, konkávnost Definice 1.20 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je konvexní na M, jestliže pro všechna x, x 1, x 2 M platí x 1 < x < x 2 = f (x) < f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ). konkávní na M, jestliže pro všechna x, x 1, x 2 M platí x 1 < x < x 2 = f (x) > f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ).

28 není prostá je prostá je prostá není monotónní Vlastnosti funkcí Prostota Definice 1.21 Funkce f je prostá, jestliže x 1, x 2 D f : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Věta 1.1 Každá funkce ryze monotónní na svďż m definičním oboru je prostá. důkaz Poznámka 1.6 Opačné tvrzení neplatí: funkce prostá nemusí být (ani) monotónní na svďż m definičním oboru.

29 Vlastnosti funkcí Sudost, lichost Definice 1.22 Funkce f je sudá, jestliže x D f : x D f f ( x) = f (x). lichá, jestliže x D f : x D f f ( x) = f (x). sudá lichá

30 Vlastnosti funkcí Sudost, lichost Příklad 1.2 Určete, zda je funkce sudá nebo lichá. a) f (x) = x 3 + tg x b) f (x) = x 2 2x + 5 c) f (x) = x2 +1 x 2 1 d) f (x) = x + 3

31 Vlastnosti funkcí Periodicita Definice 1.23 Funkce f je periodická, existuje-li T > 0 takové, že x D f : x + T D f f (x + T ) = f (x). V této situaci se číslo T nazývá perioda funkce f. Existuje-li nejmenší perioda funkce f, nazývá se základní perioda funkce f. T = 2π T = 2

32 Vlastnosti funkcí Periodicita Příklad 1.3 Určete periodu funkce. a) f (x) = sin x b) f (x) = sin 2x c) f (x) = sin(2x + 1) d) f (x) = 3 sin(2x + 1)

33 Vlastnosti funkcí Invertibilita Definice 1.24 Nechť f je funkce. Potom funkce f 1 : H f R taková, že x D f, y H f : f 1 (y) = x y = f (x), se nazývá inverzní funkce k funkci f. Poznámka 1.7 Grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle osy 1. a 3. kvadrantu. Platí D f 1 = H f, H f 1 = D f.

34 Vlastnosti funkcí Invertibilita Věta 1.2 (o existenci inverzní funkce) Nechť f je funkce. Potom f 1 existuje právě tehdy, když f je prostá. Příklad 1.4 Určete funkci inverzní k zadané funkci. a) f (x) = x + 2 b) f (x) = x 2 c) f (x) = 10 x+1

35 Rozšíření definice kartézského součinu zpět Definice 1.1 Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A, B množina všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a A, b B; označuje se A B. Tj. je A B = {(a, b) : a A b B}. Nechť n N a A 1,..., A n jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A 1,..., A n je množina všech uspořádaných n-tic (a 1,..., a n), kde a i A i pro každé i {1,..., n}; označuje se A 1 A n. Je-li A 1 = = A n = A, potom kartézský součin A 1 A n se nazývá n-tá kartézská mocnina množiny A ; označuje se A n.

36 Způsoby zadání funkce zpět Analyticky explicitně: rovností y = f (x), např. y = 2x 2 (nebo též f (x) = 2x 2 ), implicitně: rovnicí F(x, y) = 0, např. xy 2 e y = 0, parametricky: rovnicemi } x = φ(t) t D, y = ψ(t) např. } x = 1 + t y = t 2 + t t R. Grafem Tabulkou např. Odpracované roky plat v tis. Kč Slovně např. Číslo zadání studentova domácího programu je dáno zbytkem po celočíselném dělení posledního dvojčíslí jeho osobního čísla dvaceti zvětšeným o jedničku.

37 Funkce celá část, operace div, mod zpět Věta Pro každé x R existuje jediné k Z takové, že k x < k + 1. Číslo k Z odpovídající číslu x R podle přechozí věty se označuje [x]. Funkce [ ] : R Z definovaná předpisem se nazývá celá čast (reálného čísla). x [x] Operace div : R + R + Z definovaná předpisem [ x div y = se nazývá celočíselné dělení. x y ], (x, y) R + R +, Operace mod : R + R + R definovaná předpisem [ x mod y = x se nazývá zbytek po celočíselném dělení. x y ] y, (x, y) R + R +,

38 Klasifikace elementárních funkcí zpět Algebraické funkce jsou všechny elementďż rnďż funkce vytvořené výhradně z funkcí f (x) = c, f (x) = x, f (x) = n x. Polynomy jsou všechny algebraické funkce vytvořené bez použití funkce n x a operace /. Racionální jsou všechny algebraické funkce vytvořené bez použití funkce n x. Iracionální jsou všechny ostatní algebraické funkce. Transcendentnďż jsou všechny ostatní elementární funkce. Nižší, např. exponenciální, logaritmické, goniometrické, cyklometrické. Vyšší, např. e x2 dx. Příklady a) f (x) = x 7 + 3x 5 2x + 7 b) f (x) = x+2 x 2 +x 2 c) f (x) = x 2 + 5x x 1 d) f (x) = cos x + cotg 2x

39 Věta 1.1 s důkazem zpět Věta 1.1 Každá funkce ryze monotónní na svďż m definičním oboru je prostá. Důkaz (přímý): Nechť f je rostoucí. Nechť x 1, x 2 D f a x 1 x 2. Je-li x 1 < x 2, potom z definice 1.18 plyne, že f (x 1 ) < f (x 2 ). Je-li x 1 > x 2, potom z definice 1.18 plyne, že f (x 1 ) > f (x 2 ). V obou případech tedy f (x 1 ) f (x 2 ).

40 Konec (1. Funkce)

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R .4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo. Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829,

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829, 1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Funkce. Limita a spojitost

Funkce. Limita a spojitost Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/21 Matematická analýza ve Vesmíru. proměnné - p. 2/21 Definice. Funkcí (přesněji:

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování Funkce a základní pojmy popisující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. Protože jen výjimečně budou v této části použity jiné

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i

funkce konstantní (y = c); funkce mocninné (y = x r pro libovolné r R, patří sem tedy i Přednáška č. 6 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 6 29. října 2007 1 / 64 Přehled elementárních funkcí Jde o pojem spíše historický než matematický. Vymezuje se několik (základních)

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Matematika I: Listy k přednáškám

Matematika I: Listy k přednáškám Matematika I: Listy k přednáškám Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava

Více

Proseminář z matematiky pro fyziky

Proseminář z matematiky pro fyziky Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Exponenciální a logaritmická funkce

Exponenciální a logaritmická funkce Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel. Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více