MATEMATIKA A Metodický list č. 1

Transkript

1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí s vektory, vektorovými prostory, vlastnostmi vektorových prostorů. Dále se naučí základním operacím s maticemi. Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. vektorový prostor 2. matice, základní operace s maticemi 1. dílčí téma: vektorový prostor K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte str ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 1) a spočítejte příklady na těchto stranách. [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: vektor, aritmetický vektor, vektorový prostor, aritmetický vektorový prostor, skupina vektorů, lineární kombinace skupiny vektorů, lineárně závislá skupina vektorů, lineárně nezávislá skupina vektorů, lineární obal skupiny vektorů, báze vektorového prostoru, dimenze vektorového prostoru. 1. Charakterizovat pojmy: vektor, vektorový prostor, lineární kombinace skupiny vektorů, báze vektorového prostoru. 2. Rozlišit lineárně závislou a lineárně nezávislou skupinu vektorů. 3. Napsat dvě různé báze libovolného aritmetického vektorového prostoru. 4. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I 125, 126, 132, dílčí téma: matice, základní operace s maticemi Ke druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany 60-64, ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I a spočítejte příslušná cvičení. [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude

2 Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: matice, hodnost matice, ekvivalentní matice, transponovaná matice, inverzní matice 1. Nalézt transponovanou a inverzní matice, sčítat matice, násobit matice reálný číslem, násobit matice navzájem. 2. Upravit matici na horní lichoběžníkovou matici pomocí ekvivalentních úprav. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I , , 289.

3 Metodický list č. 2 Název tématického celku: Lineární algebra II Základním cílem tohoto tematického celku řešit soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody i pomocí determinantů (Cramerovo pravidlo). Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 3. soustavy lineárních rovnic 4. determinanty, Cramerovo pravidlo 1. dílčí téma: soustavy lineárních rovnic K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte str ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 1) a spočítejte příklady na těchto stranách. [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude Stěžejní je naučit se spolehlivě používat Gaussovu metodu pro řešení soustav lineárních rovnic. 1. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I , , dílčí téma: determinanty, Cramerovo pravidlo Ke druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I a spočítejte příslušná cvičení [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku pojmu determinant. Uvědomte si, že determinant matice je podle náhledu 1. číslo, 2. schéma. Prostudujte si Cramerovo pravidlo, uvědomte rozsah jeho použitelnosti. 1. Spočítat jakýkoliv determinant matice až do řádu Rozhodnout o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a případně soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla vyřešit.

4

5 Metodický list č. 3 Název tématického celku: Vlastní čísla, vlastní vektory, posloupnosti V tomto tematickém celku se studenti seznámí s vlastními čísly a vlastními vektory čtvercové matice. Dále se posluchači seznámí s pojmy číselná posloupnost a její limita a naučí se limity posloupností počítat. Tematický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 5. číselná posloupnost a její limita dílčí téma: Číselná posloupnost a její limita K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte str ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a spočítejte příklady na těchto stranách společně s příklady ze cvičení 1 na straně 224. [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: rozšířená číselná osa R, supremum, infimum, limita posloupnosti, Bolzano-Cauchyovo kritérium. 1. Uspokojivě vysvětlit tyto pojmy: horní a dolní závora množiny, maximum a minimum množiny, posloupnost, rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotónní posloupnost, okolí bodu, konvergentní posloupnost, vybraná posloupnost, limita posloupnosti 2. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I 603, 604, 605, 608, 609, 611, 620, 626, 627, 630 vzájemné odlišnosti a identifikovat jejich příčiny (zdroje)

6 Metodický list č. 4 Název tématického celku: Elementární funkce Základním cílem tohoto tematického celku je seznámit studenty s pojmem funkce. Posluchači poznají elementární funkce a jejich vlastnosti. K tomuto tématickému celku si pečlivě prostudujte strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I a spočítejte cvičení 1 až 6 na straně 239 [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: reálná funkce jedné reálné proměnné, graf funkce, funkce sudá, lichá, periodická, součet rozdíl, součin a podíl funkcí, složená funkce funkce: konstantní, lineární, mocninná, goniometrické, exponenciální, logaritmická elementární funkce, polynomická a racionální funkce, cyklometrické funkce 1. Popsat vlastnosti funkce z grafu 2. Nakreslit grafy elementárních funkcí a popsat jejich vlastnosti

7 Metodický list č. 5 Název tématického celku: Spojitost a limita funkcí Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlit a seznámit posluchače s pojmy spojitost a limita funkce. Posluchači se naučí počítat limity funkcí. K tomuto tématickému celku si pečlivě prostudujte strany 242 a 243, 249, , 260 a 265 ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vypočítejte příklady ze cvičení 1 3 na stranách a příklady ze cvičení 3 na straně 266. [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: spojitost funkce v bodě c, limita funkce 1. Vypracovat příklady 653, 654, 656, 665, 675, 676, 684 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I, které se týkají sestrojování grafů funkcí 2. Vypracovat příklady 724, 725, 733, 759, 768, 769, 782, 789 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I, v nichž si procvičíte výpočet limit funkcí vzájemné odlišnosti a identifikovat jejich příčiny (zdroje)

8 Metodický list č. 6 Název tématického celku: Diferenciální počet funkcí I Základním cílem tohoto tematického celku je seznámit se s matematickou operací derivace a jejími základními vlastnostmi, naučit se počítat derivace elementárních funkcí, seznámit se se základními větami diferenciálního počtu (L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta). Tematický celek rozdělíme do následujících témat: 6. derivace funkce 7. užití derivace funkce: L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta 1. dílčí téma: Derivace funkce K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte str ze skripta Budinský, B., Charvát, J: Matematika I (část 2) a spočítejte příklady 1, 3 a 4 na straně 285. [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: derivace funkce, derivace součtu, součinu, rozdílu a podílu funkcí, derivace složené funkce, funkce diferencovatelná na intervalu, nevlastní derivace, derivace n-tého řádu, diferenciál. 1. Uspokojivě vysvětlit tyto pojmy: tečna grafu funkce v bodě C, funkce diferencovatelná na intervalu, jednostranná nevlastní derivace, derivace parametricky zadané funkce 2. Definovat pojmy: derivace funkce f v bodě c, derivace funkce f (x), derivace funkce zleva (zprava) v bodě c 3. Formulovat a objasnit věty: O spojitosti funkce v bodě c v důsledku existence derivace funkce f v bodě c O derivaci součtu, součinu, rozdílu a podílu funkcí a o derivaci reálného násobku funkce O derivaci složené funkce O ekvivalenci rovnosti jednostranných derivací a derivace funkce 1. Znát derivace elementárních funkcí s příslušnými obory existence (viz tabulku na straně 274 ve skriptech Budinský, B., Charvát, J: Matematika I) 2. Spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I

9 801, 802, 809, 810, 814, 816, 818, 819, 846, 849, 860, 863, 864, 872, 876, 915, dílčí téma: užití derivace funkce: L Hospitalovo pravidlo, Taylorova věta Ke druhému dílčímu tématu je potřeba prostudovat článek 5G od věty 5.45 po příklad 5.50 (strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I) a strany a spočítat příklady a) až f) ze cvičení 1 na straně 295 a příklady ze cvičení 2 4 na straně 301. [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude 1. Vypracovat příklady , 942, 949, 957, 959, 964, 966, 969 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I. 2. Přesně vysvětlit tyto pojmy: Taylorův vzorec, zbytek v Taylorově vzorci po n-tém členu, Maclaurinův vzorec 3. Vypracovat příklady 970, 971, 984, 985 ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I

10 Metodický list č. 7, 8 Název tématického celku: Diferenciální počet funkcí II Cílem tohoto tematického celku je seznámit posluchače s dalšími možnostmi použití diferenciálního počtu při vyšetřování vlastností a průběhů funkcí. Porozumíte pojmům monotonie funkce, lokální extrémy, inflexní body a konvexnost (konkávnost) funkce, asymptoty grafu funkce Pečlivě si prostudujte strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vypracujte cvičení 1 na straně 316 a následující. [Alternativní literatura : Budinský, P., Havlíček, I., Matematika, str , skriptum bude Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku těchto pojmů: funkce rostoucí resp. klesající v bodě, ostré lokální minimum (maximum), funkce ryze konvexní resp. konkávní na množině M nebo v bodě c, inflexní bod funkce, asymptota grafu funkce. 1. Vysvětlit tyto pojmy: interval ryzí monotonie, lokální extrém, interval ryzí konvexnosti resp. konkávnosti, bod inflexe, šikmá asymptota 2. Formulovat a objasnit věty: O souvislosti nulové první derivace funkce a lokálního extrému funkce O souvislosti druhé derivace funkce a intervalech konvexnosti resp. konkávnosti O souvislosti druhé derivace funkce a existenci bodů inflexe 1. Vypracovat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I 988, 990, 994, 996, 998, 999, 1004, 1010, 1013, 1015, 1022, 1025, 1031, 1034, 1040, 1043, 1045, 1054, 1056

11 Metodický list č. 9 Název tématického celku: Funkce více proměnných V tomto tématickém celku si posluchači rozšíří své znalosti a dovednosti k tématům spojitost, limita a derivace funkce o reálné funkce více proměnných. Tématický celek rozdělíme do následujících témat: 8. funkce dvou proměnných, spojitost a limita, 9. parciální derivace a totální diferenciál, 1. dílčí téma: funkce dvou proměnných, spojitost a limita K nastudování potřebné látky použijte skripta Budinský, B., Chatvát, J.: Matematika II. Přečtěte si článek 8G na stranách 26 30, strany a strany a vyřešte následující příklady z těchto skript: 30/1, 3, 4, 6, 24/1, 2, 41/1, 42/2. Po prostudování uvedeného textu byste měli: umět definovat pojmy reálná funkce f n proměnných, graf funkce f n proměnných, vrstevnice funkce f o kótě c, zúžení funkce f, rozšíření funkce f, na příkladě objasnit pojem složená funkce, vyslovit Heineho definici spojitosti funkce f n proměnných, vyslovit větu o spojitosti složené funkce v bodě c, definovat pojmy spojitá funkce, funkce spojitá na množině M, vyslovit definici limity funkce f n proměnných v bodě c, umět formulovat věty o limitě funkce f n proměnných, umět užívat principy výpočtu limit užité v odstavci 8.95, spočítat ze sbírky Charvát a kol.: Příklady k matematice II následující příklady: 33 35, 37 42, 55, dílčí téma: parciální derivace a totální diferenciál Druhý dílčí celek je vyložen na stranách (článek 9B), (článek 9D) a skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika II. Početní postupy v něm naznačené procvičte při výpočtu příkladů z následujících cvičení: 50/1 3, 56/1 6, 64/1 3, 67/1, 68/2 5, 71/1 4. definovat a objasnit pojem parciální derivace,

12 umět počítat parciální derivace a to i vyšších řádů, znát větu o rovnosti smíšených parciálních derivací, umět definovat a objasnit pojmy funkce diferencovatelná v bodě c, diferenciál funkce v bodě c, formulovat větu o spojitosti funkce v důsledku její diferencovatelnosti v bodě c a existence parciálních derivací a diferenciálu v tomto bodě, definovat a objasnit pojem diferenciál funkce, umět popsat některá užití diferenciálu, např. při výpočtu přibližné hodnoty čísla, stanovení tečné roviny k ploše v bodě, umět stanovit parciální derivace složených funkcí, spočítat následující příklady ze sbírky Charvát a kol.: Příklady k matematice II: 81, 83 98, 99/a c, , 111, 116, , 127, 134, 145,

13 Metodický list č. 10 Název tématického celku: Implicitní funkce V tomto tématickém celku si posluchači rozšíří své znalosti o funkce definované implicitně. Teorii k tomuto tématu lze najít na stranách ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika II, příklady naleznete ve cvičení 1 ze strany 88. Vysvětlit tyto pojmy: implicitní rovnice množiny M, lokální extrém funkce definované implicitně. Formulovat a objasnit větu: o o funkci(jedné proměnné) definované implicitně, Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice II: , 216, 217, 219, 220 a 221. Náplní zbytku této řízené konzultace bude opakování a procvičování látky z celého semestru. Způsob zakončení: Zápočet Na konci semestru je student povinen získat zápočet. Podmínky pro jeho získání jsou: 1) minimálně 50% docházka 2) napsání zápočtové písemné práce