Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
|
|
- Milena Pavlíková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS
2 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence. Stejnoměrná konvergence. 3 Mocninná a Taylorova řada. Mocninná řada. Poloměr konvergence. Taylorova řada. 4 Literatura
3 Součet nekonečné řady. Nekonečnou posloupnost {a n} reálných ( případně komplexních) čísel zapsanou ve tvaru součtu nazýváme číselnou řadou. Definice. Součet prvních n členů řady, tj. součet s n = a n n a i, nazýváme n-tým částečným součtem dané řady. Je-li limita lim s n = s konečná, nazýváme číslo s součtem řady, píšeme s = a říkáme, že tato řada konverguje. Je-li lim s n nevlastní nebo tato limita neexistuje, součet řady nedefinujeme a říkáme, že řada diverguje. Příklad: Řada n se nazývá řada harmonická. Ukážeme, že tato řada je divergentní. i= i= a i
4 Součet nekonečné řady. Zřejmě s 2 n = ( ) + ( ) + ( ) ( 2 n n ) n. n 2, nebot každý výraz v závorce je větší než 2. Odtud a harmonická řada tedy diverguje. Příklad: Uvažujme řadu Zřejmě lim s 2 n lim n 2 = +, ( ) i = i=0 n s n = ( ) i = i=0 { 0 pro n sudé, pro n liché. Tedy lim s n neexistuje a tato řada diverguje.
5 Součet nekonečné řady. Věta. Je-li řada i= Důkaz: Necht řada s = lim s n. Odtud a i konvergentní, pak lim i a i = 0. i= a i konverguje a s = lim s n. Pak ale též lim an = lim (sn s n ) = lim s n lim s n = s s = 0. Věta říká, že podmínka lim a n = 0 je nutnou podmínkou pro konvergenci řady a n. Větu nelze obrátit, tj. ze vztahu lim a n = 0 neplyne, že řada a n konverguje, jak ukazuje příklad harmonické řady ale řada diverguje., kde lim = 0, n n
6 Součet nekonečné řady. Velmi důležitou řadou je tzv. geometrická řada. Je to každá řada tvaru a + aq + aq 2 + = aq i, kde a, q R, a 0. i=0 Číslo q nazýváme kvocientem geometrické řady. Věta 2. Geometrická řada aq i je konvergentní právě tehdy, když q <. i=0 V tomto případě pro její součet platí vztah aq i = a q. i=0 Důkaz: Podle vzorce pro rozdíl n-tých mocnin dostáváme q n = ( q)( + q + q q n ) s n = a + aq + + aq n = a qn q. Je-li q <, je lim q n = 0 a dostáváme lim sn = lim a qn q = a q.
7 Součet nekonečné řady. Naopak je-li q, pak lim i aq i není rovna nule a tedy podle věty je daná řada divergentní. Definice 2. řada a i. i= Říkáme, že řada a i konverguje absolutně, jestliže konverguje i= Věta 3. Jestliže řada a i konverguje absolutně, pak tato řada konverguje. i= Jinak řečeno: konverguje-li řada a i, konverguje i řada a i. Tvrzení věty 3 nelze obrátit. Později ukážeme, že řada i= i= ( ) n n konverguje, ale jak víme, řada ( )n diverguje. Řada ( ) n je tedy příkladem n n konvergentní řady, která není absolutně konvergentní. Určit součet konvergentní řady je obvykle značně obtížná úloha, kterou umíme řešit pro geometrickou řadu a dále v některých jednoduchých případech. Jednodušší úlohou může být úloha zjistit, zda je daná řada konvergentní (aniž bychom určovali její součet). K tomu slouží tzv. kritéria konvergence. Těchto kritérií je celá řada, některá z nich si nyní ukážeme.
8 Kritéria konvergence Věta 4 (Srovnávací kritérium). Necht pro každé n, příp. n n 0, platí 0 a n b n. Potom platí: (i) konverguje-li řada nebo totéž ve negované formě b n, konverguje i řada a n, (ii) diverguje-li řada a n, diverguje i řada b n. Důkaz: Označme s n = (a + a a n) a S n = (b + b b n). zřejmě s n S n a obě posloupnosti {s n} i {S n} jsou neklesající. Je-li tedy lim Sn konečná, je nutně konečná i lim sn a tím je tvrzení dokázáno. Ve větě 4 je možno platnost předpokladu 0 a n b n požadovat pro všechna n n 0, kde n 0 je nějaký pevný index. Konvergence nebo divergence řady totiž nezáleží na hodnotách konečného počtu sčítanců.
9 Kritéria konvergence Příklad: Uvažujme řadu. Protože 0 pro n a řada n.2 n n.2 n 2 n 2 n je konvergentní (je to geometrická řada s kvocientem q = /2), je podle věty 4 konvergentní i řada Příklad: Řada divergentní. n=2 n.2 n. je divergentní, protože pro n 2 a řada je ln n ln n n n n=2 Věta 5 (Podílové kritérium). Uvažujme řadu a n, a n 0. Je-li lim a n+ <, pak řada a n 2 Je-li lim a n+ >, pak řada a n a n konverguje absolutně. a n diverguje. Větu nebudeme dokazovat. Poznamenejme jen, že důkaz první části spočívá na porovnání dané řady s jistou geometrickou řadou. Pro druhou část lze ukázat, že řada nesplňuje nutnou podmínku pro konvergenci danou větou.
10 Kritéria konvergence Je-li lim a n+ =, a n podílové kritérium o konvergenci řady nerozhodne. Existují řady konvergentní (např. ) i řady divergentní (např. harmonická řada), pro které platí, že n 2 limita podílu je ). Věta 6 (Odmocninové kritérium). Uvažujme řadu a n, a necht existuje (konečná i nekonečná) limita lim n a n = L. Potom platí: je-li L <, řada a n je absolutně konvergentní, 2 je-li L >, řada a n je divergentní. Důkaz: Je-li L <, zvolme ε > 0 tak, aby platilo L + ε <. Potom existuje n 0 N takové, že pro n N, n n 0 je n a n < L + ε <, odkud a n < (L + ε) n. Řada (L + ε) n je konvergentní geometrická řada.
11 Kritéria konvergence Podle srovnávacího kritéria (Věta 4) řada a n konverguje. Je-li L >, potom existuje n 0 N takové, že pro n N, n n 0 je n a n. Platí tedy a n pro n n 0, není tedy splněna nutná podmínka konvergence (Věta ). Řada a n diverguje. Odmocninové kritérium selže v případě, že lim n a n neexistuje nebo je rovna jedné. Příklad: Vyšetřeme konvergenci řady (ln n). n Použijeme odmocninové kritérium: Řada tedy konverguje. n lim n=2 (ln n) n = lim ln n = 0 <.
12 Kritéria konvergence Zatím se uvedená kritéria týkala absolutní konvergence. Uved me nyní jedno kritérium pro neabsolutní konvergenci, Leibnitzovo kritérium. Týká se tzv. alternujících řad, tj. řad, jejichž členy pravidelně mění znaménko. Věta 7 (Leibnitzovo kritérium). Necht pro posloupnost {a n} platí: a n a n+ 0 pro každé n, a současně Potom řada ( ) n a n konverguje. lim a n = 0. Příklad: Řada ( ) (n+) splňuje podmínky věty 7 (posloupnost { } je n n klesající a lim = 0 ) a tedy konverguje. (Později ukážeme, že její součet je n ln 2.) Jak již bylo řečeno, tato řada nekonverguje absolutně, srovnej s harmonickou řadou.
13 Kritéria konvergence Věta 8 (Integrální kritérium). Necht funkce f (x) definovaná pro x je nerostoucí spojitá funkce splňující podmínku f (x) 0 pro x. Pak f (x) dx konverguje právě tehdy, když konverguje řada f (n). Příklad: Řada konverguje, protože integrál n 2 x 2 dx = [ ] = lim ( x x x ) ( ) = konverguje. Příklad: Pomocí integrálního kritéria můžeme také dokázat divergenci harmonické řady. Protože integrál n diverguje, diverguje i řada x dx = [ln x] n. = lim x ln x =
14 Bodová konvergence. Definice 3. Necht n N a f n je reálné funkce jedné reálné proměnné definované na intervalu I. Potom řadu f n(x) nazýváme funkční řadou v I. Říkáme, že řada f n(x) konverguje bodově v množině D I, jestliže pro každou hodnotu x D konverguje řada f n(x). Množinu D nazýváme oborem konvergence řady. Označíme-li s m(x) = řady a platí-li lim sm(x) = s(x), pro x D, potom píšeme m m f n(x) částečný součet f n(x) = s(x), pro x D. Důležitou otázkou týkající se řad funkcí je to, zda se vlastnosti jednotlivých členů řady (spojitost, existence derivace, apod.) přenáší také na součet řady. Bodová konvergence nám k tomu nestačí, musíme proto zavést silnější typ konvergence.
15 Stejnoměrná konvergence. Definice 4. Říkáme, že řada f n(x) konverguje stejnoměrně k součtu s(x) na intervalu I, jestliže posloupnost {s m(x)} jejich částečných součtů konverguje stejnoměrně k funkci s(x) na I (píšeme s m s), tj. ε > 0 n 0 N takové, že x I a n N, n n 0 platí s m(x) s(x) < ε. Je třeba si uvědomit, že slabší vlastnost bodové konvergence znamená x I ε > 0 n 0 N takové, že a n N, n n 0 platí s m(x) s(x) < ε. Věta 9 (Weierstrassovo kriterium). Necht a n 0 a a n konverguje. Necht pro všechna x I a všechna n N platí f n(x) a n. Potom řada f n(x) konverguje stejnoměrně na I. Příklad: Rozhodněme, kde řada konverguje stejnoměrně cos nx n 4.
16 Stejnoměrná konvergence. Použijeme Weierstrassovo kritérium cos nx n 4 n 4 pro x R. Řada konverguje, tedy daná řada konverguje stejnoměrně v R. n4 Věta 0. Necht řada funkcí f n(x) konverguje stejnoměrně na I a má na I součet s(x). Jsou-li všechny funkce f n(x) na I spojité, pak je na I spojitá také funkce s(x). Věta. Necht řada funkcí f n(x) konverguje stejnoměrně na I = [a, b] a má na I součet s(x). Jsou-li všechny funkce f n(x) na I integrovatelné, pak je na I integrovatelná také funkce s(x) a plati b b ( b ) b s(x) dx = f n(x) dx, tj. f n(x) dx = f n(x) dx. a a a a
17 Stejnoměrná konvergence. Příklad: Vypočtěte Řada 2 0 ( ) n x n dx. n x n konverguje stejnoměrně na [0, ] (podle Weierstrassova 2 kritéria). Platí proto ( ) 2 n x n dx = 0 ( 2 ) n x n dx = Věta 2. Necht řada funkcí 0 [ x n ] 2 0 = f n(x) konverguje na otevřeném intervalu I = (a, b) a má na I součet s(x). Necht řada funkcí f n(x) konverguje 2 n =. stejnoměrně na I. Mají-li všechny funkce f n(x) na otevřeném intervalu I derivaci pro všechna n N, potom má také funkce s(x) derivaci na I a plati ( s (x) dx = f n(x) dx, tj. f n(x)) = f n(x).
18 Mocninná řada. Poloměr konvergence. Definice 5. Řadu tvaru a n(x x 0 ) n, kde x 0, a 0, a,... jsou reálná čísla, x je proměnná, nazýváme mocninnou řadou. Čísla a 0, a,... nazýváme koeficienty a číslo x 0 střed mocninné řady. Pro zvolenou hodnotu proměnné x je mocninná řada číselnou řadou. Součet mocninné řady představuje jistou funkci, definovanou právě pro ty hodnoty proměnné x, pro které odpovídající číselná řada konverguje. Příklad: Mocninná řada x n (se středem x 0 = 0) je geometrickou řadou s kvocientem x, a tedy konverguje právě pro x (, ). Podle věty 2 pro její součet platí x n = pro x (, ). x
19 Mocninná řada. Poloměr konvergence. Věta 3. Necht a n(x x 0 ) n je mocninná řada. Pak existuje číslo R 0, + (tj. R 0, + ) nebo R = + ), takové, že: Je-li R = 0, pak daná mocninná řada konverguje pouze pro x = x 0 a pro ostatní x x 0 diverguje. 2 Je-li R (0, + ), pak daná mocninná řada konverguje absolutně pro každé x (x 0 R, x 0 + R) a diverguje pro každé x (, x 0 R) (x 0 + R, + ). 3 Je-li R = +, pak daná mocninná řada konverguje absolutně pro každé x R. Číslo R nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady. Poloměr konvergence mocninné řady a n(x x 0 ) n je možno určit pomocí podílového kritéria. Označme R = lim an a n+.
20 Mocninná řada. Poloměr konvergence. Ukážeme, že R je poloměr konvergence dané mocninné řady. Platí lim a n+(x x 0 ) n+ a n(x x 0 ) n = lim a n+(x x 0 ) = x x 0 lim a n+. Odtud okamžitě plyne, že pro x x 0 < R mocninná řada konverguje absolutně a naopak pro x x 0 > R diverguje. Tedy R je poloměrem konvergence dané mocninné řady. V případě 2. věty 3, tj. v případě R (0, + ), nelze říci obecně nic o konvergenci mocninné řady pro x = x 0 R a x = x 0 + R. Existují příklady, kdy mocninná řada konverguje jak pro x = x 0 R tak pro x = x 0 + R, příklady kdy konverguje pouze pro jednu z těchto hodnot, i příklady, kdy pro obě z těchto hodnot diverguje. Příklad: Určete, pro které hodnoty proměnné x konverguje řada Protože lim x n+ n+ x n n a n = lim x n n + = x, je podle podílového kritéria daná řada absolutně konvergentní pro x (, ) a divergentní pro x (, ) (, + ). Poloměr konvergence dané mocninné řady je tedy roven. a n x n n.
21 Mocninná řada. Poloměr konvergence. Pro x = je daná řada harmonickou řadou, a tedy řadou divergentní, pro x = je daná řada řadou ( ) n, u které jsme již určili, že konverguje. n n
22 Taylorova řada. Definice 6. Necht funkce f má v bodě x 0 derivace všech řádů. Taylorovou řadou funkce f se středem v x 0 rozumíme řadu f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Příklad: Odvod te Taylorovu řadu funkce f (x) = e x se středem v bodě x 0 = 0 a určete, pro která x tato řada konverguje. Pro f (x) = e x je f (n) (x) = e x, a tedy f (n) (x 0 ) =. Taylorova řada je tedy řada x n n!. Vyšetřeme konvergenci této řady podílovým kritériem: x n+ lim = lim x n + = 0 pro každé x R. Řada (n+)! x n n! x n n! tedy konverguje pro každé x R. Součet Taylorovy řady, pokud existuje, budeme značit symbolem T (x).
23 Taylorova řada. Protože Taylorův polynom T n(x) n-tého stupně funkce f v bodě x 0 je právě n-tým částečným součtem Taylorovy řady této funkce, je podle definice T (x) = lim T n(x). V dalším se budeme zabývat otázkou, kdy f (x) = T (x). Z Taylorova vzorce f (x) = T n(x) + R n(x) dostaneme limitním přechodem pro n f (x) = lim T n(x) + lim R n(x) = T (x) + lim R n(x). Z této rovnosti plyne, že f (x) = T (x) právě pro ta x, pro která je Rn(x) = 0. lim Tím jsme dokázali následující větu: Věta 4. Pro součet T (x) Taylorovy řady funkce f se středem v x 0 platí T (x) = f (x) právě tehdy, když lim R n(x) = 0. Je důležité poznamenat, že existují funkce, které mají v bodě x 0 všechny derivace, a tedy mají Taylorovu řadu, jejíž součet se dané funkci v okolí x 0 nerovná.
24 Taylorova řada. Pro tyto funkce zřejmě lim R n(x) 0. Příkladem takové funkce je funkce { f (x) = e x 2 pro x 0 0 pro x = 0. Lze ukázat, že T (x) = 0 pro všechna x R. Ilustrujme si použití věty 4. Příklad: Ukážeme, že e x = x n n! Z předchozího příkladu víme, že řada pro každé x R. x n n! je Taylorovou řadou funkce e x se středem v x 0 = 0 a že tato řada konverguje pro každé x R. Pro pevně zvolené x R platí prodle věty o zbytku v Taylorově formuli. Zřejmě R n(x) = e c (n + )! x n+, kde c leží mezi x a x 0. R n(x) = e c (n + )! x n+ e x x n+ (n + )!.
25 Taylorova řada. x Ukážeme-li, že lim n+ = 0, pak nutně i lim (n+)! řadou konvergentní, a tedy podle věty je lim x n n! = lim Rn(x) = 0. Ale řada x n+ (n + )! = 0. Na závěr tohoto odstavce uved me Taylorovy řady některých funkcí, spolu s intervaly, kde se těmto funkcím rovnají: e x x n = n!, x R sin x = cos x = ln(x + ) = arctg x = ( ) n x 2n+ (2n + )!, x R ( ) n x 2n (2n)!, x R ( ) (n+) x n, x (, n ( ) n x 2n+, x, 2n + x n n! je
26
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceNekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePřednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné
Více1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3
VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceSpojitost a limita funkce
Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
Vícef konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Více(verze 12. května 2015)
Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13
Příklad 1 Určete poloměr a obor bodové konvergence mocninných řad: a) 1 8 b) +1 c) 3 d) +2+1 e)! f)! 3 g) +2 +3 h) 2 2 1 =8, = 7,9 =1, = 1,1 =3, = 3,3 =1, = 2,0 =+, =,+ =0, =3 =1, = 3,1 = 1 2, = 1 2,1
VíceMATEMATIKA B 2. Integrální počet 1
metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceFunkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
VíceČíselné posloupnosti
Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceKonvergence kuncova/
Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu
VícePoužití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital
V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VíceKapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.
Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
VícePoužití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.
V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva
VíceMA2, M2. Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady. c 2009, analyza.kma.zcu.cz
1 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady 2 Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
Více+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ
VíceReálné posloupnosti 1. Reálné posloupnosti
Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Více30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
VíceMATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceJednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceKapitola 1. Funkční posloupnosti a řady
1 2 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii
Více