To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení."

Transkript

1 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To je samozřejmě základní pojem, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

2 POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Před uvedením různých konvergencí posloupností nebo řad funkcí je vhodné rozvést některé základní pojmy definované dříve. Není nutné se soustředit jen na funkce jedné proměnné a ani na reálné funkce. Ale ani není nutné probírat téma v úplně obecnosti. Zobrazení f z Euklidovského prostoru do Euklidovského prostoru dimenze m je m- tice (f 1,..., f m ) funkcí více proměnných s hodnotami v R. Protože základní vlastnosti funkce f jsou určeny vlastnostmi funkcí f i a v R m je po souřadnicích, stačí probírat případy reálných funkcí více proměnných R n R a omezit se na n 2. Nicméně, vzhledem k zjednodušení zápisu budou některé pojmy zavedeny nebo probírány obecněji. DEFINICE. Necht M je množina a pro n N je f n zobrazení M R. Posloupnost {f n } konverguje bodově na M k zobrazení f : M R, jestliže lim n f n (x) = f(x) pro každé x M, tj. ε x M k N n k ( f n (x) f(x) < ε ). Obvyklé značení je lim f n = f nebo f n f. Bodový součet řady zobrazení se může definovat jako bodová limita posloupnosti částečných součtů řady, nebo rovností ( fn ) (x) = fn (x) (ukažte, že se dostane tentýž pojem). Jak je obvyklé z teorie řad čísel, i řady funkcí nebo jejich součet se značí f n. VĚTA. Pro bodovou konvergenci na množině M platí:

3 1. lim n (f n + g n ) = lim n f n + lim n g n, má-li pravá strana smysl. 2. lim n (f n g n ) = lim n f n lim n g n, má-li pravá strana smysl. 3. lim n (f n /g n ) = lim n f n / lim n g n, má-li pravá strana smysl. DŮSLEDEK. n (af n + bg n ) = a n f n + b n g n, má-li pravá strana smysl, kde a, b jsou reálná čísla

4 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Bodová limita posloupnosti spojitých funkcí nemusí být spojitá (například x n ) a jsou i další vlastnosti, které nemá. Je proto vhodné přidat nějakou další podmínku na konvergenci, aby se vyloučily ony špatné situace. Takovou jednoduchou podmínkou je stejnoměrnost : DEFINICE. Necht M je množina a pro n N je f n zobrazení M R. Posloupnost {f n } konverguje stejnoměrně na M k zobrazení f : M R, jestliže ε k N x M n k f n (x) f(x) < ε. Obvyklé značení je f n f. DEFINICE. Řada funkcí n f n konverguje na M stejnoměrně k funkci f, jestliže posloupnost částečných součtů { n f i } konverguje na M stejnoměrně k f. i=1 POZOROVÁNÍ. 1. Konverguje-li posloupnost {f n } k f stejnoměrně na M, konverguje na M k f i bodově. 2. (Bolzanova Cauchyova podmínka) Posloupnost {f n } konverguje na M stejnoměrně k nějaké funkci právě když platí: ε k N x M m, n k f n (x) f m (x) < ε.

5 3. Řada n f n konverguje na M stejnoměrně právě když platí: ε k N x M f n (x) < ε. n=k Poslední podmínka pro stejnoměrnou konvergenci řad lze též přepsat pomocí Bolzanovy Cauchyovy podmínky: ( ) m ε k N x M m > l > k f n (x) < ε. VĚTA. n=l

6 1. Posloupnost {f n } konverguje na M stejnoměrně k funkci f právě když platí lim n sup f n (x) f(x) = 0. x M 2. Jestliže f n má na M majorantní stejnoměrně konvergentní řadu (tj., existuje stejnoměrně konvergentní řada g n na M taková, že f n (x) g n (x) pro každé n a každé x M), pak f n konverguje na M stejnoměrně. 3. Necht f n (x) c n pro každé x M a c n konverguje. Pak f n konverguje na M stejnoměrně. Poslední podmínka pro stejnoměrnou konvergenci se často nazývá Weierstrassovo kritérium. V kapitole o číselných řadách byly, kromě kritérií pro absolutní konvergenci, dvě další kritéria pro konvergenci, a to Dirichletovo a Abelovo (Leibnizovo kritérium je speciální případ Dirichletova kritéria). VĚTA. Necht {f n }, {g n } jsou dvě posloupnosti funkcí na intervalu I. Řada konverguje na I stejnoměrně, jestliže {f n } je monotónní a bud n=1 f n g n (a) f n konverguje stejnoměrně k 0, {g n } má stejně omezené částečné součty (Dirichlet) nebo (b) {f n } je omezená a řada g n konverguje stejnoměrně na I (Abel), n=1

7 DŮSLEDEK. (Leibniz) Necht {f n }, {g n } je posloupnost nezáporných funkcí na intervalu I. Řada ( 1) n f n konverguje na I stejnoměrně, pokud {f n } je monotónní a f n n=1 konverguje stejnoměrně k 0 na I

8 VLASTNOSTI STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE Přestože lze následující tvrzení o i a limitách dokázat i pro funkce více proměnných, pro jednoduchost budou v této části uvažovány funkce jedné proměnné, tj. definiční obor M bude podmnožinou reálných čísel.

9 Spojitost VĚTA. Necht {f n } je posloupnost (stejnoměrně) spojitých funkcí na M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Potom je f (stejnoměrně) spojitá funkce na M. DŮSLEDEK. Necht řada f n (stejnoměrně) spojitých funkcí na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Potom je f (stejnoměrně) spojitá na M. Existuje situace, kdy lze předchozí větu obrátit. Monotónní posloupnost funkcí f n je bud nerostoucí nebo neklesající posloupnost, tj, např. v prvním případě, pro každé x z definičního oboru funkcí f n je f n (x) f n+1 (x). VĚTA. (Dini) Necht posloupnost spojitých funkcí konverguje monotónně ke spojité funkci na kompaktní množině. Pak je tato

10 Stejnoměrná a Pokud f n f a lim f n (x) = p n, nastává otázka, zda lim n p n = lim f(x), tj., zda lze x a x a přehodit lim lim f n (x) = lim lim f n (x). n x a x a n Jak ukazuje příklad f n (x) = x n na [0, 1] a a = 1, pro bodovou konvergenci tato záměna limit platit nemusí. VĚTA. Necht {f n } je posloupnost funkcí na M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Pro libovolný hromadný bod a množiny M platí existuje-li pravá strana. lim n lim f n (x) = lim lim f n (x), x a x a n

11 DŮSLEDEK. Necht řada f n spojitých funkcí na M konverguje stejnoměrně. Potom pro libovolný bod a I je lim f n(x) = lim f n (x), x a x a existuje-li jedna strana. n n 4 4 4

12 Stejnoměrná a Opět se dají najít jednoduché příklady, že nelze přehodit limitu a integraci u bodové. VĚTA. Necht {f n } je posloupnost funkcí na omezeném intervalu I v R, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f. Je-li {F n } posloupnost primitivních funkcí k f n na I, která konverguje alespoň v jednom bodě z I, pak {F n } konverguje stejnoměrně k primitivní funkci k f na I. DŮSLEDEK. Necht f n je řada funkcí na omezeném intervalu I v R, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f. Jsou-li F n primitivní funkce k f n na I takové, že řada Fn (x) konverguje alespoň v jednom bodě x z I, pak F n konverguje stejnoměrně k primitivní funkci k f na I. Předchozí větu a její důsledek lze použít pro určité y: VĚTA. Necht {f n } je posloupnost spojitých funkcí na omezeném intervalu I. 1. Jestliže {f n } konverguje na I stejnoměrně k funkci f. Pak pro libovolný interval [a, b] I platí b a f(x) dx = lim n b a f n (x) dx.

13 2. Jestliže f n konverguje na I stejnoměrně k funkci f. Pak pro libovolný interval [a, b] I platí b a f(x) dx = n b a f n (x) dx.

14 Stejnoměrná a VĚTA. Necht {f n } je posloupnost spojitých funkcí na omezeném intervalu I, která konverguje alespoň v jednom bodě z I a {f n} konverguje na I stejnoměrně k funkci g. Potom {f n } konverguje na I stejnoměrně k nějaké funkci f a f = g

15 MOCNINNÉ ŘADY Speciální případ řad funkcí, tzv. mocninné řady, se probíral v kapitole o Taylorových řadách funkcí. Některé podrobnosti o mocninných řadách budou nyní uvedeny, další budou probrány v kapitolách o komplexních funkcích. Na rozdíl od probíraných Taylorových řad se obecné mocninné řady budou definovat v rovině (tj., pro komplexní čísla). DEFINICE. Mocninná řada je řada Bod z 0 se nazývá střed mocninné řady. VĚTA. Pro každou mocninnou řadu a n (z z 0 ) n, kde a n, z 0, z R 2. a n (z z 0 ) n existuje číslo ρ [0, + ] takové, že řada konverguje na množině {z; z z 0 < ρ} a diverguje na množině {z; z z 0 > ρ}. Platí ρ = (lim sup n a n ) 1.

16 Číslo ρ z předchozí věty se nazývá dané mocninné řady. Z důkazu věty vyplývá následující tvrzení: DŮSLEDEK. Je-li q (0, ρ), kde ρ je řady tato řada konverguje stejnoměrně a absolutně na množině {z; z z 0 q}. a n (z z 0 ) n, pak DŮSLEDEK. Součtem mocninné řady je funkce spojitá na množině {z; z z 0 < ρ}, kde ρ je řady. Protože konverguje stejnoměrně na uzavřených kruzích uvnitř kruhu, lze použít předchozí věty o integraci a derivaci řad. VĚTA. Necht a n (x x 0 ) n má součet f(x) na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je řady. Potom na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ) platí 1. f (x) = na n (x x 0 ) n 1 a této řady je ρ. 2. n=1 a n n+1 (x x 0) n+1 je primitivní funkce k f a této řady je ρ. Z druhého tvrzení vyplývá, že pro (a, b) (x 0 ρ, x 0 + ρ) je b a n f(x) dx = n + 1 ((b x 0) n+1 (a x 0 ) n+1 ). a

17 DŮSLEDEK. Necht funkce f je na otevřeném intervalu I součtem mocninné řady. Pak f má všech řádů na I. DŮSLEDEK. Necht funkce f je na otevřeném intervalu I součtem mocninné řady a n (x x 0 ) n. Potom a n = f (n) (x 0 ) n! jsou Taylorovy koeficienty funkce f v bodě x 0. VĚTA. (Abel) Necht a n (x x 0 ) n má součet f(x) na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je řady. Tato konverguje v bodě x 0 + ρ (nebo x 0 ρ) právě když tato konverguje na [x 0, x 0 + ρ) (resp. na (x 0 ρ, x 0 ]) stejnoměrně. To nastane právě když konverguje x 0 ) n. (Obdobně pro ρ.) a n ρ n ; tento součet se pak rovná lim x x 0 +ρ a n (x

18 z kapitoly STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE

19 POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ Zobrazení f z Euklidovského prostoru do Euklidovského prostoru dimenze m je m- tice (f 1,..., f m ) funkcí více proměnných s hodnotami v R. Protože základní vlastnosti funkce f jsou určeny vlastnostmi funkcí f i a v R m je po souřadnicích, stačí probírat případy reálných funkcí více proměnných R n R a omezit se na n 2. DEFINICE. Necht M je množina a pro n N je f n zobrazení M R. Posloupnost {f n } konverguje bodově na M k zobrazení f : M R, jestliže lim n f n (x) = f(x) pro každé x M, tj. ε x M k N n k ( f n (x) f(x) < ε ). Obvyklé značení je lim f n = f nebo f n f. Bodový součet řady zobrazení se může definovat jako bodová limita posloupnosti částečných součtů řady, nebo rovností ( fn ) (x) = fn (x) (ukažte, že se dostane tentýž pojem). Jak je obvyklé z teorie řad čísel, i řady funkcí nebo jejich součet se značí f n. Bodová limita spojitých funkcí f n (x) = x n na intervalu [0, 1] není spojitá.

20 Bodovým limitám spojitých funkcí se říká funkce 1. Baireovy třídy. Funkce spojité jsou formálně 0.třídy.

21 STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE DEFINICE. Necht M je množina a pro n N je f n zobrazení M R. Posloupnost {f n } konverguje stejnoměrně na M k zobrazení f : M R, jestliže Obvyklé značení je f n f. ε k N x M n k f n (x) f(x) < ε. DEFINICE. Řada funkcí n f n konverguje na M stejnoměrně k funkci f, jestliže posloupnost částečných součtů { n f i } konverguje na M stejnoměrně k f. i=1 POZOROVÁNÍ. 1. Konverguje-li posloupnost {f n } k f stejnoměrně na M, konverguje na M k f i bodově. 2. (Bolzanova Cauchyova podmínka) Posloupnost {f n } konverguje na M stejnoměrně k nějaké funkci právě když platí: ε k N x M m, n k f n (x) f m (x) < ε. 3. Řada n f n konverguje na M stejnoměrně právě když platí: ε k N x M f n (x) < ε. n=k

22 Poslední podmínka pro stejnoměrnou konvergenci řad lze též přepsat pomocí Bolzanovy Cauchyovy podmínky: ( ) m ε k N x M m > l > k f n (x) < ε. n=l VĚTA. 1. (σ n podmínka.) Označme σ n = sup f n (x) f(x). x M Posloupnost {f n } konverguje na M stejnoměrně k funkci f právě když platí lim n σ n = 0.

23 2. (Majoranta.) Jestliže f n má na M majorantní stejnoměrně konvergentní řadu (tj., existuje stejnoměrně konvergentní řada g n na M taková, že f n (x) g n (x) pro každé n a každé x M), pak f n konverguje na M stejnoměrně. 3. (Weierstrass. M-test.) Necht f n (x) c n pro každé x M a c n konverguje. Pak f n konverguje na M stejnoměrně. VĚTA. Necht {f n }, {g n } jsou dvě posloupnosti funkcí na intervalu I. Řada konverguje na I stejnoměrně, jestliže {f n } je monotónní a bud n=1 f n g n (a) f n konverguje stejnoměrně k 0, {g n } má stejně omezené částečné součty (Dirichlet) nebo (b) {f n } je omezená a řada g n konverguje stejnoměrně na I (Abel), n=1 DŮSLEDEK. (Leibniz) Necht {f n }, {g n } je posloupnost nezáporných funkcí na intervalu I. Řada ( 1) n f n konverguje na I stejnoměrně, pokud {f n } je monotónní a f n n=1 konverguje stejnoměrně k 0 na I.

24 VLASTNOSTI STEJNOMĚRNÉ KONVERGENCE

25 Spojitost VĚTA. Necht {f n } je posloupnost (stejnoměrně) spojitých funkcí na M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Potom je f (stejnoměrně) spojitá funkce na M. DŮSLEDEK. Necht řada f n (stejnoměrně) spojitých funkcí na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Potom je f (stejnoměrně) spojitá na M. Pro monotónní funkce lze větu obrátit. Monotónní posloupnost funkcí f n je bud nerostoucí nebo neklesající posloupnost, tj, např. v prvním případě, pro každé x z definičního oboru funkcí f n je f n (x) f n+1 (x). VĚTA. (Dini) Necht posloupnost spojitých funkcí konverguje monotónně ke spojité funkci na kompaktní množině. Pak je tato.

26 Stejnoměrná a Pokud f n f a lim f n (x) = p n, nastává otázka, zda lim n p n = lim f(x), tj., zda lze x a x a přehodit lim lim f n (x) = lim lim f n (x). n x a x a n Jak ukazuje příklad f n (x) = x n na [0, 1] a a = 1, pro bodovou konvergenci tato záměna limit platit nemusí. VĚTA. Necht {f n } je posloupnost funkcí na M, která na M konverguje stejnoměrně k funkci f. Pro libovolný hromadný bod a množiny M platí existuje-li pravá strana. lim n lim f n (x) = lim lim f n (x), x a x a n

27 DŮSLEDEK. Necht řada f n spojitých funkcí na M konverguje stejnoměrně. Potom pro libovolný bod a I je lim f n(x) = lim f n (x), x a x a existuje-li jedna strana. n n

28 Stejnoměrná a Opět se dají najít jednoduché příklady, že nelze přehodit limitu a integraci u bodové. Například f n (x) = (n + 1)x n na [0, 1). VĚTA. Necht {f n } je posloupnost funkcí na omezeném intervalu I v R, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f. Je-li {F n } posloupnost primitivních funkcí k f n na I, která konverguje alespoň v jednom bodě z I, pak {F n } konverguje stejnoměrně k primitivní funkci k f na I. DŮSLEDEK. Necht f n je řada funkcí na omezeném intervalu I v R, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f. Jsou-li F n primitivní funkce k f n na I takové, že řada Fn (x) konverguje alespoň v jednom bodě x z I, pak F n konverguje stejnoměrně k primitivní funkci k f na I. VĚTA. Necht {f n } je posloupnost spojitých funkcí na omezeném intervalu I. 1. Jestliže {f n } konverguje na I stejnoměrně k funkci f. Pak pro libovolný interval [a, b] I platí b a f(x) dx = lim n b a f n (x) dx. 2. Jestliže f n konverguje na I stejnoměrně k funkci f. Pak pro libovolný interval [a, b] I platí b a f(x) dx = n b a f n (x) dx.

29 Stejnoměrná a VĚTA. Necht {f n } je posloupnost spojitých funkcí na omezeném intervalu I, která konverguje alespoň v jednom bodě z I a {f n} konverguje na I stejnoměrně k funkci g. Potom {f n } konverguje na I stejnoměrně k nějaké funkci f a f = g. Příklad. Porovnejte na [0, 1] konvergenci f n (x) = x n, g n (x) = x n x n+1, h n (x) = x n x 2n. Příklad. (Trik nx.) Pro danou funkci g(x) zkoumejte chování f n (x) = g(nx). Příklad. (Trik x/n.) Pro danou funkci g(x) zkoumejte chování f n (x) = g(x/n). Příklad. (Trik x n.) Pro danou funkci g(x) zkoumejte chování f n (x) = g(x n ). Příklad. (Trik n x.) Pro danou funkci g(x) zkoumejte chování f n (x) = g( n x).

30 DEFINICE. Mocninná řada je řada MOCNINNÉ ŘADY Bod z 0 se nazývá střed mocninné řady. a n (z z 0 ) n, kde a n, z 0, z R 2. VĚTA. Pro každou mocninnou řadu a n (z z 0 ) n existuje číslo ρ [0, + ] takové, že řada konverguje na množině {z; z z 0 < ρ} a diverguje na množině {z; z z 0 > ρ}. Platí ρ = (lim sup n a n ) 1. Číslo ρ z předchozí věty se nazývá dané mocninné řady. DŮSLEDEK. Je-li q (0, ρ), kde ρ je řady tato řada konverguje stejnoměrně a absolutně na množině {z; z z 0 q}. a n (z z 0 ) n, pak

31 DŮSLEDEK. Součtem mocninné řady je funkce spojitá na množině {z; z z 0 < ρ}, kde ρ je řady. VĚTA. Necht a n (x x 0 ) n má součet f(x) na intervalu (x 0 ρ, x 0 +ρ), kde ρ je řady. Potom na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ) platí 1. f (x) = na n (x x 0 ) n 1 a této řady je ρ. 2. n=1 a n n+1 (x x 0) n+1 je primitivní funkce k f a této řady je ρ. Z druhého tvrzení vyplývá, že pro (a, b) (x 0 ρ, x 0 + ρ) je b a n f(x) dx = n + 1 ((b x 0) n+1 (a x 0 ) n+1 ). a DŮSLEDEK. Necht funkce f je na otevřeném intervalu I součtem mocninné řady. Pak f má všech řádů na I. DŮSLEDEK. Necht funkce f je na otevřeném intervalu I součtem mocninné řady a n (x x 0 ) n. Potom a n = f (n) (x 0 ) n!

32 jsou Taylorovy koeficienty funkce f v bodě x 0. VĚTA. (Abel) Necht a n (x x 0 ) n má součet f(x) na intervalu (x 0 ρ, x 0 + ρ), kde ρ je řady. Tato konverguje v bodě x 0 + ρ (nebo x 0 ρ) právě když tato konverguje na [x 0, x 0 + ρ) (resp. na (x 0 ρ, x 0 ]) stejnoměrně. To nastane právě když konverguje x 0 ) n. (Obdobně pro ρ.) a n ρ n ; tento součet se pak rovná Příklad. Pomocí mocninných řad sečtěte (tam, kde to jde) x n n. Příklad. Pomocí mocninných řad sečtěte (tam, kde to jde) (n + 1)x n. lim x x 0 +ρ a n (x Příklad. Najděte Taylorovu řadu arctg x pomocí rozvoje. Příklad. Najděte Taylorovu řadu log(x + 1) pomocí rozvoje. Pomocí Abelovy věty o limitě mocninných řad ukažte, že Taylorův rozvoj funkce log(x + 1) je platný i pro x = 1. Příklad. Sečtěte následující řadu + n=1 ( 1) n 2n + 3.

33 Řešení. Nejprve si uvědomme, že podle Dirichlet-Abelova kriteria z řada konverguje. Budeme uvažovat řadu + ( 1) n S(x) = 2n + 3 x2n+3, pro x (0, 1). Derivací této řady získáme řadu kterou již snadno sečteme. S (x) = + n=2 + n=1 n=1 Pro primitivní funkce tedy platí rovnost ( 1) n x 2n+2 = + n=2 ( 1) n (x 2 ) n, ( 1) n (x 2 ) n = 1 + x x 2 S(x) = x x3 + arctan x. Podle Abelovy věty je hledaný součet roven limitě lim x 1 S(x) = π 4 = π 4. Příklad. Spočtěte s přesností 10 3 následující 1 0 e x2 dx.

34 Řešení. Protože neznáme primitivní funkci k e x2, využijeme teorie mocninných řad. 1 0 e x2 dx = ( 1) n x 2n n! dx Protože například dostáváme výsledek ( 1) n x 2n n! + n=11 dx = (2n + 1)n! e x2 dx. = n=11 ( 1) n x 2n 10 n! dx = n = 2 10 < 10 3, ( 1) n (2n + 1)n!. ( 1) n (2n + 1)n!.

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Nevšiml jsem si. Jedinou větší výjimkou byly Taylorovy

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

MA2, M2. Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady. c 2009, analyza.kma.zcu.cz

MA2, M2. Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady. c 2009, analyza.kma.zcu.cz 1 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady 2 Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady 1 2 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.

Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí 1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI ŘADY KOMPLEXNÍH FUNKÍ V kapitole si ukážeme, že holomorfní funkce a mocninné řady skoro jedno jsou. Někomu... OBENÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.

Více

Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory

Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení.

Spojitost funkce. Spojitost je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. funkce je nejdůležitější obecná vlastnost funkcí. Umožňuje aproximace různých řešení. Je důležité vědět, kdy se malá změna nějakého měření projeví málo na konečném výsledku. Zpřesňuje-li se měření, měl

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3 VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně

Více

(verze 12. května 2015)

(verze 12. května 2015) Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Rovnice se separovanými proměnnými

Rovnice se separovanými proměnnými Rovnice se separovanými proměnnými V této kapitole se budeme zabývat následující diferenciální rovnicí: y = g(y)f(x), (1) kde f a g jsou reálné funkce reálné proměnné. Tato rovnice se nazývá rovnice se

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je

Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je 74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.

Více

Home. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec

Home. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec Kurzy celoživotního vzdělávání Fakulta dopravní ČVUT MATEMATIKA Strana 1 PRO LETECKÉ OBORY II PŘEHLED LÁTKY 1 Metrické a normované prostory 2 Posloupnosti v metrických prostorech 3 Reálné funkce více reálných

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE LUBOŠ PICK Popis předmětu Jde o první část čtyřsemestrálního základního kursu matematické analýzy.

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

Bodová a stejnoměrná konvergence

Bodová a stejnoměrná konvergence Kapitola 1 Bodová a stejnoměrná konvergence Motivační otázky: 1 + x + x 2 +... = 1 1 x. Můžeme tuto rovnici derivovat? Tj. platí 1 + 2x + 3x 2 +... = Kdy lze zaměnit limitu a derivaci? Je limita spojitých

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více