MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

Transkript

1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet reálných funkcí jedné proměnné. Tématický celek rozdělíme do následujících částí: 1. primitivní funkce a neurčitý integrál, 2. integrování rozkladem, 3. integrování metodou per partes a metodou substituční. 1. dílčí téma: Primitivní funkce a neurčitý integrál K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany , ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Dále si přečtěte odstavce 6.10 a 6.11 z článku 6C z jmenovaných skript. Po prostudování textu je třeba umět vyslovit definici primitivní funkce k funkci f, umět objasnit pojem neurčitý integrál (str. 343 způsob B), umět vyslovit všechny věty v uvedeném textu, znát nazpaměť základní neurčité integrály uvedené v odstavcích 6.10 a 6.11, 1 objasnit správnost vzorce dx = ln x. x 2. dílčí téma: Integrování rozkladem Prostudujte si odstavec 6.13 na straně 347 a odstavec 6.14 začínající na téže straně z výše uvedených skript. Po prostudování uvedených statí byste měli: umět objasnit metodu integrování rozkladem Matematika B 2 - Metodický list č. 1 1

2 Dovednosti spojené s integrací rozkladem nacvičte na příkladě 348/1 z uvedených skript. Využijte vzorce uvedené v odstavcích 6.10, 6.11 a Dále prostudujte ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I řešené příklady 216/6.4, 6.5 a spočítejte příklady 1159, 1160 z téže sbírky. 3. dílčí téma: Integrování metodou per partes a metodou substituční Teorii k tomuto tématu lze najít na stranách skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Pečlivě prostudujte řešené příklady uvedené v tomto textu. Poté spočítejte příklady 351/1, 352/2, 356/1, 2, 3a. Po prostudování uvedené literatury byste měli umět vyslovit větu 6.16 a umět objasnit její použití na příkladě, znát pravidla o substituci v neurčitém integrálu a umět objasnit jejich užití na příkladech. Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1173, , 1178, 1181, 1187, 1190, 1192, 1203, 1204, 1207, 1209, 1211, Matematika B 2 - Metodický list č. 1 2

3 metodický list č. 2 Integrální počet 2 V tomto tématickém celku si posluchači doplní další definice, věty a výpočetní metody užívané v části matematiky známé jako integrální počet reálných funkcí jedné proměnné. Tématický celek rozdělíme do následujících témat: 4. integrování racionálních funkcí, 5. integrování pomocí speciálních substitucí, 6. Riemannův integrál definice a výpočet pomocí primitivní funkce. 1. dílčí téma: Integrování racionálních funkcí K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte strany ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Dovednosti v něm objasněné procvičte při řešení příkladů 359/1, 365/1 3, 366/1 z téhož skripta. Po prostudování uvedeného textu byste měli: umět vydělit libovolné dva polynomy, umět rozložit racionální funkci na součet parciálních zlomků, integrovat parciální zlomky, spočítat příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I. 2. dílčí téma: Integrování pomocí speciálních substitucí Druhý dílčí celek je vyložen na stranách skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Početní postupy v něm naznačené procvičte při výpočtu příkladů z následujících cvičení: 368/1, 372/1, 373/2 6, 377/1, 2, 378/3. Dobře si zapamatujte situace, při kterých se uvedené typy substitucí využívají. Matematika B 2 - Metodický list č. 1 3

4 3. dílčí téma: Riemannův integrál definice a výpočet pomocí primitivní funkce Teorii k tomuto tématu lze najít na stranách ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2), příklady naleznete ve cvičení 1 ze strany 394. Dobře si zapamatujte vymezení a charakteristiku pojmů: dělení intervalu <a,b>, dolní resp. horní součet, dolní resp. horní Riemannův integrál, zjemnění dělení. Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli: Vysvětlit tyto pojmy: norma dělení, funkce riemannovsky integrovatelná na intervalu <a,b>, Riemannův integrál funkce f na <a,b>. Formulovat a objasnit věty: o o souvislosti dělení a zjemnění dělení, o nutnou a postačující podmínku pro existenci Riemannova integrálu funkce f na <a,b>, o o existenci Riemannova integrálu funkce f na <a,b> v důsledku spojitosti funkce f na <a,b> nebo její monotonie na <a,b>. Formulovat a na vámi zvoleném příkladu ukázat použití vět o o metodě per partes pro určité integrály, o o substituční metodě pro určité integrály. Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1351, 1355, 1358, 1379, 1380, 1392, 1417, 1425 a Matematika B 2 - Metodický list č. 1 4

5 metodický list č. 3 Integrální počet 3 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými aplikacemi integrálního počtu. Tématický celek rozdělíme do následujících témat: 7. numerický výpočet určitého integrálu, 8. nevlastní určitý integrál, 9. některé aplikace určitého integrálu. 1. dílčí téma: Numerický výpočet určitého integrálu K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte článek 6.P na stranách ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vypočítejte cvičení 398/1 4. Po prostudování uvedeného textu byste měli umět odpovědět na otázku: Proč se některé určité integrály počítají numerickými metodami? Znát způsob výpočtů určitých integrálů obdélníkovou, lichoběžníkovou a Simpsonovou metodou a příslušné odhody chyb. Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: dílčí téma: Nevlastní určitý integrál Druhý dílčí celek je vyložen v článku 6.Q na stranách skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Po přečtení textu spočítejte příklady 404/1, 4. Umět definovat pojmy nevlastní integrál se singulární horní mezí, nevlastní integrál se singulární dolní mezí. Umět objasnit pojmy nevlastní integrál konverguje, nevlastní integrál diverguje, nevlastní integrál vlivem funkce, nevlastní integrál vlivem meze, integrál konverguje absolutně, integrál konverguje neabsolutně. Matematika B 2 - Metodický list č. 1 5

6 Vyslovit srovnávací kritérium pro konvergenci a divergenci nevlastního integrálu. Umět objasnit vztahy konvergence nevlastního integrálu funkce f a f. Vyřešit tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1417, 1425, dílčí téma: Některé aplikace určitého integrálu Teorii k tomuto tématu lze najít v kapitole 6.III na stranách ve skriptech Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Kvůli lepšímu porozumění vyložené látky si spočítejte příklady 421/1, 422/3 7. sami umět navrhnout rovinný obrazec a spočítat jeho obsat, sami umět navrhnout rovinnou křivku a spočítat její délku, matematice I: , 1453, 1454, 1459, Matematika B 2 - Metodický list č. 1 6

7 metodický list č. 4 Číselné řady V tomto celku se posluchači seznámí s vlastnostmi číselných řad. Naučí se určovat zda konvergují či divergují, naučí se počítat součty některých s nich. Tématický celek rozdělíme do následujících částí: 10. úvodní pojmy k tématu, 11. kritéria konvergence číselných řad, 12. přerovnávání a násobení řad. 1. dílčí téma: Úvodní pojmy k tématu K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte články 7A 7C na stranách ze skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vypočítejte cvičení 428/1, 429/2. objasnit pojem číselná řada, definovat pojmy součet řady, konvergentní řada, divergentní řada, provést rozbor konvergence / divergence geometrické řady, dokázat divergenci harmonické řady, formulovat základní věty o konvergenci řad, tj. o o lim a n = 0 v důsledku konvergence a n, o o vztahu konvergence řad a zbytku řady po k-tém členu, o o součtu řad a n, b n a c-násobku řady a n, o o uzávorkování konvergentní řady, o o Bolzano-Cauchyově podmínce, spočítat tyto příklady ze skripta Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k matematice I: 1487, 1490, 1495, 1496, dílčí téma: Kritéria konvergence číselných řad Druhý dílčí celek je vyložen v článcích 7D, 7E na stranách skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Po přečtení textu spočítejte příklady 440/1 441/7 z téhož skripta. Matematika B 2 - Metodický list č. 1 7

8 vyjmenovat a formulovat kritéria konvergence pro řady s nezápornými členy, popsat metody vyšetřování konvergence řad s libovolnými členy, pomocí kritéria konvergence odhadnout zbytek po k-tém členu u konkrétní řady podle daného kritéria, matematice I: 1509, 1519, , 1529, 1531, 1534, 1537, 1542, 1545, 1551, 1572, dílčí téma: Přerovnávání a násobení řad Teorii k tomuto tématu lze najít v článku 7.F na stranách skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Po přečtení tohoto textu vyřešte cvičení 446/1, 447/2 4. definovat pojem řada vzniklá přerovnáním řady n a, vyslovit věty o absolutní a neabsolutní konvergenci řady v souvislosti s jejím přerovnáním, definovat a na příkladě demonstrovat Cauchyův součin řady, vyslovit větu o absolutní konvergenci součinu řad, matematice I: Matematika B 2 - Metodický list č. 1 8

9 metodický list č. 5 Mocninné řady V tomto celku se posluchači seznámí s vlastnostmi funkčních (speciálně mocninných) řad. Naučí se určovat zda konvergují či divergují. Budou se zabývat aproximací funkce mocninnou řadou. Tématický celek rozdělíme do následujících částí: 13. mocninné řady a jejich konvergence, 14. integrování a derivování mocninných řad, 15. rozvinutí funkce v mocninnou řadu a další operace s mocninnými řadami. 1. dílčí téma: Mocninné řady a jejich konvergence K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte článek 7.K na stranách skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2) a vyřešte cvičení 466/1a h. definovat pojmy mocninná řada se středem v bodě c, poloměr konvergence mocninné řady, objasnit pojmy interval konvergence mocninné řady, obor konvergence mocninné řady, absolutní konvergence řady, rozlišit tři základní druhy konvergence mocninných řad podle poloměru konvergence, vyslovit věty: o o souvislosti (absolutní) konvergence a poloměru konvergence, o o výpočtu poloměru konvergence, matematice I: 1627, 1630, dílčí téma: Integrování a derivování mocninných řad Druhý dílčí celek je vyložen v článku 7.L na stranách skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Kvůli hlubšímu porozumění tématu si po přečtení textu spočítejte příklady 471/1. Matematika B 2 - Metodický list č. 1 9

10 umět vyslovit větu o integrování mocninné řady člen po členu větu o derivování mocninné řady člen po členu, znát vztah mezi poloměry konvergence mocninné řady, mocninné řady vzniklé z ní integrováním a mocninné řady vzniklé z ní derivováním, získané znalosti umět demonstrovat na příkladech řešených v článku 7.L matematice I: 1652, 1653, dílčí téma: Rozvinutí funkce v mocninnou řadu a další operace s mocninnými řadami Teorii k tomuto tématu najdete v článcích 7.M a 7.N na stranách skripta Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I (část 2). Po přečtení textu vyřešte cvičení 476/1 3, 481/1. Po prostudování uvedené doporučené literatury byste měli: umět definovat pojmy Taylorova řada funkce f se středem v bodě c, Maclaurinova řada funkce f, umět objasnit pojem funkce analytický v bodě c, znát vzorce pro stanovení členů Taylorovy řady funkce, umět formulovat kritéria pro stanovení konvergence Taylorovy řady, umět nalézt Maclaurinovy řady funkcí uvedené v článku 7.M a umět řešit příklady řešené v tomto článku, znát a umět používat větu o sčítání a násobení mocninných řad, větu o dosazování mocninné řady do mocninné řady, větu o převrácené hodnotě mocninné řady a větu o dělení mocninných řad, matematice I: 1661, 1662, 1665, Matematika B 2 - Metodický list č. 1 10

11 metodický list č. 6 Řešení příkladů Umět využít nabyté vědomosti při řešení konkrétních příkladů. Příprava: Pokuste se samostatně vyřešit každý řešený příklad, který jsme počítali v rámci předchozí výuky. Pokud se Vám ho vyřešit nezdaří, přečtěte si zapsané řešení, pokuste se mu porozumět a opět se pokuste příklad samostatně vyřešit. Při opětovném neúspěchu vyhledejte pomoc v učebnici. V rámci hromadné konzultace 6. bloku budeme řešit další procvičující a navazující příklady. Způsob zakončení: Předmět je zakončení zápočtem i zkouškou. Udělení zápočtu je v kompetenci cvičícího. K jeho získání je potřeba splnit 2 pomínky: 1. Mít dostatečnou docházku na cvičení, tj. nemít více než 2 absence 2. Úspěšně napsat zápočtové písemné práce Zkouška: Aby se student mohl přihlásit na zkoušku, musí mít v Indexu zapsané zápočty za zimní i letní semestr. Termíny zkoušky budou vypsány v IS VŠFS. Zkouška se skládá z písemné a ústní části, které probíhají v jeden den následně po sobě. Matematika B 2 - Metodický list č. 1 11