19 - Polynomiální metody

Transkript

1 19 - Polynomiální metody Automatické řízení

2 Opakování - Vlastnosti polynomů Polynomy tvoří okruh, ne těleso. Obecně nelze polynomy dělit. Proto existují: dělitel, násobek, společný dělitel, největší spol. dělit. ( as (), bs ()) gs () = gcd ps (), qs (),(),(): rs vs asps () () + bsqs ()() = gs () ps () qs () asvs ()() + bsws () () = U() s =,det U() s R vs () ws () Dělení se zbytkem - Euklidovo as () = bsqs ()() + rs (),deg rs () < deg bs () Lineární rovnice asxs ()() = bs () nemívají řešení, protože výraz xs () = bs () as () nebývá polynom Diofantická rovnice (Diofantos z Alexandrie) Kde už jsme to v řízení viděli? asxs ()() + bsys () () = cs () ARI

3 Vlastnosti polynomiální rovnice Vlastnosti polynomiální rovnice při značení asxs ()() + bsys () () = cs () g= gcd( ab, ) a= ag Nutná a postačující podmínka řešitelnosti b= bg Rovnice má řešení, právě když g c (tj. právě když největší společný dělitel a a b dělí beze zbytku c) Věta: Obecné řešení Obecné řešení xs () = x () s b()() sts kde je nějaké (partikulární) rovnice má tvar ys () = y () s + asts ()() řešení a t(s) je libovolný polynomiální parametr Věta: Řešení minimálního stupně Rovnice má právě jedno řešení takové, že tj. minimálního stupně v x deg x< deg b Rovnice má právě jedno řešení takové, že tj. minimálního stupně v y deg y< deg a Obě tato řešení koincidují, když deg c< deg a+ deg b, jinak jsou různá ARI

4 Umístění pólů 1. Vybereme CL póly a sestavíme požadovaný CL char. polynom c(s) Vyřešíme rovnici as () x() s + bsys () () = c( s) 2. Vybereme vhodné řešení Případ 1: a(s), b(s) nesoudělné soustava nemá neřiditelné/nepozorovatelné módy c(s) může být libovolné (póly řiditelného a pozorovatelného systému můžeme umístit - teoreticky - libovolně) Případ 2: a(s), b(s) soudělné: gcd(a(s),b(s)) = g(s) soustava má neřiditelné nebo nepozorovatelné módy gsasxs () ()() + gsbsys () () () = gscs () () c(s) nemůže být libovolné, musí obsahovat g(s) neřiditelné/nepozorovatelné módy nemůžeme změnit (ani teoreticky) ostatní póly můžeme umístit libovolně (teoreticky) alternativně vykrátíme společný faktor a pak řešíme nesoudělný případ asxs ()() + bsys () () = cs () ARI

5 Modifikace: Integrační charakter regulátoru Řešení dává v principu všechny regulátory splňující zadání a tak z nich můžeme dále vybírat vhodný podle dalších požadavků Nemusí to ale být snadné a někdy je lepší dodatečné požadavky zahrnout do rovnice. Například můžeme regulátoru předem vnutit integrační charakter řešením upravené rovnice as () s xs () + bsys () () = cs () as () Když najdeme její řešení xs (), ys (), utvoříme regulátor takto ys () D() s = sx () s Podobně můžeme regulátoru vnutit i několikanásobný integrátor k as () s xs () + bsys () () = cs () ys () D() s = k s xs () as () ARI

6 Ryzost regulátoru Z nekonečně mnoha regulátorů obvykle chceme ten ryzí. Jak na to? Je-li přenos soustavy G(s) striktně ryzí a je-li řád soustavy deg a(s) = n tak musíme pro ryzí řešení vzít 1) stupeň pravé strany alespoň 2n-1 a 2) vybrat řešení minimálního stupně v y, tedy deg ys ( ) n 1 Tím je zaručeno, že vyjde ryzí regulátor řádu n-1 Vysvětlení: stupně jednotlivých členů rovnice jsou n n-1 n-1 2n-1 as () x() s + bsys () () = c( s) = 2n-2 deg xs ( ) = n 1 2n-2 Pokud je stupeň pravé strany menší než 2n-1, výsledný regulátor může ale nemusí být ryzí (většinou není) ARI

7 Všechny stabilizující regulátory - implicitně Terminologie: Stabilizující regulátor zajistí stabilitu uzavřené smyčky Všechny stabilizující regulátory pro danou soustavu s a(s), b(s) jsou právě všechna řešení p(s), q(s) rovnice asps () () + bsqs ()() = cs () pro všechny stabilní polynomy c(s) na pravé straně Řešitelnost = stabilizovatelnost: Soustava nesmí mít skryté módy a gcd ( ab, ) musí být stabilní (tj. případná neřiditelná/nepozorovatelná část stabilní) Ryzí regulátor Ryzí soustava, volíme deg cs ( ) 2deg as ( ) 1 a vybereme řešení minimálního stupně v q(s) ARI

8 2DOF regulátor zpracovává dva signály, vytváří jeden qs () rs () vxˆ () s us () = ys () + yr () s+ ps () ps () ps () Sledování se 2 stupni volnosti - 2DOF (bude realizován jako jeden dynamický systém) regulační odchylka tu fyzicky neexistuje, jen jako zvláštní případ Reference g zadána generátorem () x s yr = ( f() s dáno, g neurčeno, libovolné) f() s () x s Formulace úlohy chceme ut (), et () ( us (),() es stabilní) pro každou kombinaci cx, v xˆ, g x ty jsou neurčené a nevyužijí se k návrhu gx y r yr () s ys () rs () rs () regulátor ˆx 1 ps () qs () v soustava 1 f() s 1 ps () bs () 1 as () qs () u c x y ARI

9 Asymptotické sledování se 2 stupni volnosti Automatické řízení - Kybernetika a robotika generátor reference gx y r rs () v ˆx 1 f() s 1 ps () bs () 1 as () u c x y a q r a u = vxˆ c x + g x ap + bq ap + bq ap + bq f b p br 1 e= yr y = vxˆ c 1 x + g x ap + bq ap + bq ap + bq f Řešení Všechny vhodné regulátory asps () () + bsqs ()() = ms () splňují rovnice pro nějaké stabilní ms () Řešitelnost 1) gcd( ab, ) stabilní; 2) gcd( f, b) = 1 ; 3) f a. qs () f ()() sts + bsrs ()() = ms () ARI

10 Přizpůsobení soustavy modelu regulátorem chceme přenos soustavy změnit na jiný přesně zadaný unew rs () ps () soustava u bs () as () qs () ps () y unew gs () f() s model y Formulace (Exact model matching) Dána soustava, tj. as (), bs () a požadovaný přenos (model), tj. f(), s gs () Najdi regulátor, tj. ps (), qs (),() rs tak, aby se výsledný přenos rovnal požadovanému Řešení Všechny vhodné regulátory splňují asps () () + bsqs ()() = f() sbsts ()() rs () = gsts ()() kde b() s g() s = b() s g() s nesoudělné a ts () je libovolný polynomiální parametr ARI