19 - Polynomiální metody

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "19 - Polynomiální metody"

Dalibor Černý
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 19 - Polynomiální metody Automatické řízení

2 Opakování - Vlastnosti polynomů Polynomy netvoří těleso, ale okruh - obecně jimi nelze dělit beze zbytku! Proto existuje: dělitel, násobek, společný dělitel, největší spol. dělitel, Dělení se zbytkem - Euklidovo as () = bsqs ()() + rs (),deg rs () < deg bs () Bézoutova věta (identita) gs () = gcd ( as (), bs ()) ps (), qs (),(),(): rs vs asps () () + bsqs ()() = gs () ps () qs () takové, že det = konst. asvs ()() + bsws () () = vs () ws () as () xs ( ) = bs () Klasické lineární rovnice nemívají řešení, protože xs () = bs () as () není polynom Diofantická rovnice (Diofantos z Alexandrie) as () x() s + bsys () () = c( ARI

3 Vlastnosti polynomiální rovnice Vlastnosti polynomiální rovnice při značení g= gcd( ab, ) as () x() s + bsys () () = c( a= ag b= bg Nutná a postačující podmínka řešitelnosti Rovnice má řešení, právě když g c (tj. právě když největší společný dělitel a a b dělí beze zbytku c) Věta: Obecné řešení Obecné řešení xs () = x () s b()() sts kde je nějaké (partikulární) rovnice má tvar ys () = y () s + asts ()() řešení a t( je libovolný polynomiální parametr Věta: Řešení minimálního stupně Rovnice má právě jedno řešení takové, že deg x< deg b tj. minimálního stupně v x Rovnice má právě jedno řešení takové, že deg y< deg a tj. minimálního stupně v y Obě tato řešení koincidují, když deg c< deg a+ deg b, jinak jsou různá ARI

4 Umístění pólů 1. Vybereme CL póly, z nich sestavíme CL charakteristický polynom c( a pak vyřešíme rovnici as () x() s + bsys () () = c( q( y( 2. Vybereme vhodné řešení pro přenos regulátoru ve tvaru = p( x( Případ a(, b( nesoudělné soustava nemá neřiditelné/nepozorovatelné módy a c( může být libovolné (póly můžeme umístit - teoreticky - libovolně) Případ a(, b( soudělné, gcd(a(,b() = g( soustava má neřiditelné nebo nepozorovatelné módy gsasxs () ()() + gsbsys () () () = gscs () () c( nemůže být libovolné, musí obsahovat g( neřiditelné/nepozorovatelné módy nemůžeme změnit - ani teoreticky ostatní póly můžeme - teoreticky - umístit libovolně alternativně společný faktor vykrátíme a pak řešíme nesoudělnou verzi asxs ()() + bsys () () = cs () ARI

5 Modifikace: Integrační charakter regulátoru Řešení dává v principu všechny regulátory splňující zadání a tak z nich můžeme dále vybírat vhodný podle dalších požadavků Nemusí to ale být snadné a někdy je možné/lepší dodatečné požadavky zahrnout do rovnice. Například můžeme regulátoru předem vnutit integrační charakter řešením upravené rovnice as () s xs () + bsys () () = cs () as () Když najdeme její řešení xs (), ys (), utvoříme regulátor takto ys () D() s = sx () s Podobně můžeme regulátoru vnutit i několikanásobný integrátor k as () s xs () + bsys () () = cs () ys () D() s = k s xs () as () ARI

6 Ryzost regulátoru Z nekonečně mnoha regulátorů obvykle chceme ten ryzí. Jak na to? Je-li přenos soustavy G( striktně ryzí a je-li řád soustavy deg a( = n tak musíme pro ryzí řešení vzít 1) stupeň pravé strany alespoň 2n-1 a 2) vybrat řešení minimálního stupně v y, tedy deg ys ( ) n 1 Tím je zaručeno, že vyjde ryzí regulátor řádu n-1 Vysvětlení: stupně jednotlivých členů rovnice jsou n n-1 n-1 2n-1 as () x() s + bsys () () = c( = 2n-2 deg xs ( ) = n 1 2n-2 Pokud je stupeň pravé strany menší než 2n-1, výsledný regulátor může ale nemusí být ryzí (většinou není) ARI

7 Všechny stabilizující regulátory - implicitně Terminologie: Stabilizující regulátor zajistí stabilitu uzavřené smyčky Všechny stabilizující regulátory pro danou soustavu s a(, b( jsou právě všechna řešení p(, q( rovnice asps () () + bsqs ()() = cs () pro právě všechny stabilní polynomy c( na pravé straně Řešitelnost = stabilizovatelnost: Soustava nesmí mít skryté módy a gcd ( ab, ) musí být stabilní (tj. případná neřiditelná/nepozorovatelná část stabilní) Ryzí regulátor Ryzí soustava, volíme deg cs ( ) 2deg as ( ) 1 a vybereme řešení minimálního stupně v q( ARI

Reference g () x s yr = zadána generátorem f() s ( f() s dáno, g () x s neurčeno, libovolné) Asymptotické sledování: ut (), et () Cílem návrhu je stabilní us (),() es Přitom

8 2DOF regulátor zpracovává dva signály, vytváří jeden qs () rs () vxˆ () s us () = ys () + yr () s+ ps () ps () ps () Regulátor se 2 stupni volnosti - 2DOF (bude realizován jako jeden dynamický systém) regulační odchylka tu fyzicky neexistuje, přesto jí hodnotíme kvalitu reg. Reference g () x s yr = zadána generátorem f() s ( f() s dáno, g () x s neurčeno, libovolné) Asymptotické sledování: ut (), et () Cílem návrhu je stabilní us (),() es Přitom jsou pp. neurčené gx a nevyužijí se k návrhu 1 () Takže výsledek funguje pro všechny pp. y r ARI yr () s ys () rs () soustava reguláto r 1 ps () qs () pro každou kombinaci v ˆx f s rs () 1 ps () bs () 1 as () qs () u c, v, g x xˆ x c x y 8

+ bq ap + bq ap + bq f Řešení Všechny vhodné regulátory asps () () + bsqs ()() = ms () splňují rovnice pro nějaké

9 Asymptotické sledování - řešení Automatické řízení - Kybernetika a robotika generátor reference gx y r rs () v ˆx 1 f() s 1 ps () bs () 1 as () u c x y a q r a u = v c + g ap + bq ap + bq ap + bq f xˆ x x b p br 1 e= yr y = vxˆ c 1 x + g x ap + bq ap + bq ap + bq f Řešení Všechny vhodné regulátory asps () () + bsqs ()() = ms () splňují rovnice pro nějaké stabilní Řešitelnost ms () 1) gcd( ab, ) stabilní; 2) gcd( f, b) = 1 ; 3) f a. qs () f ()() sts + bsrs ()() = ms () ARI

10 Přizpůsobení soustavy modelu regulátorem chceme přenos soustavy změnit na jiný přesně zadaný unew rs () ps () soustava u bs () as () qs () ps () y unew gs () f() s model y Formulace (Exact model matching) Dána soustava, tj. as (), bs () a požadovaný přenos (model), tj. f(), s gs () Najdi regulátor, tj. ps (), qs (),() rs tak, aby se výsledný přenos rovnal požadovanému Řešení Všechny vhodné regulátory splňují asps () () + bsqs ()() = f() sbsts ()() rs () = gsts ()() kde b() s g() s = b() s g() s nesoudělné a ts () je libovolný polynomiální parametr ARI

Podobné dokumenty

19 - Polynomiální metody

19 - Polynomiální metody Automatické řízení 215 19-4-15 Opakování - Vlastnosti polynomů Polynomy tvoří okruh, ne těleso. Obecně nelze polynomy dělit. Proto existují: dělitel, násobek, společný dělitel,