Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská
|
|
- Marian Malý
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS
2 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic
3 Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace rovnovážných stavů nelineárních soustav Linearizace nelineární soustavy Stabilita rovnovážných stavů 2 Věta Grobmanova Hartmanova 3 Uzavřené trajektorie
4 Úvod Fázové portréty lineárních soustav v rovině jsou globální fázové portréty - systém trajektorií pokrývá celou rovinu. U nelineárních soustav obvykle vyšetřujeme lokální fázové portréty v okolí rovnovážných stavů a ty pak skládáme, abychom získali výsledný globální fázový portrét. Poznámka Následující náčrty fázových portrétů jsou převzaty ze skript A. Klíč, M. Kubíček: Matematika III - Diferenciální rovnice, VŠCHT Praha, 1992, ISBN X.
5 Klasifikace rovnovážných stavů nelineárních soustav Klasifikace rovnovážných stavů nelineárních soustav Mějme nelineární soustavu ẋ = v 1 (x, y) ẏ = v 2 (x, y). Necht S 0 = (x 0, y 0 ) je izolovaný rovnovážný stav této soustavy, t.j. platí v 1 (x 0, y 0 ) = v 2 (x 0, y 0 ) = 0, a existuje okolí r.s. S 0 takové, že v něm neleží žádný další r.s. Taylorův rozvoj v 1, v 2 v bodě (x 0, y 0 ), (x, y) O(x 0, y 0 ), v 1 (x, y) = v 1 (x 0, y 0 ) } {{ } + v 1(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + v 1(x 0, y 0 ) (y y 0 ) + R 1 (x, y) x y = 0 v 2 (x, y) = v 2 (x 0, y 0 ) } {{ } + v 2(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + v 2(x 0, y 0 ) (y y 0 ) + R 2 (x, y) x y = 0
6 Klasifikace rovnovážných stavů nelineárních soustav Označme a 11 = v 1(x 0, y 0 ) x a 21 = v 2(x 0, y 0 ) x a 12 = v 1(x 0, y 0 ) y a 22 = v 2(x 0, y 0 ) y Dostaneme Jacobiho matici J v bodě S 0, S 0 = (x 0, y 0 ): ( ) v 1 (x 0, y 0 ) a11 a J(S 0 ) = 12 = x a 21 a 22 v 2 (x 0, y 0 ) x v 1 (x 0, y 0 ) y v 2 (x 0, y 0 ) y Zaved me transformaci souřadnic z 1 := x x 0, z 2 := y y 0. Pak r.s. S 0 = (x 0, y 0 ) přejde v r.s. (z 1, z 2 ) = (0, 0). Dostaneme soustavu ż 1 = a 11 z 1 + a 12 z 2 + R 1 (z 1, z 2 ) ż 2 = a 21 z 1 + a 22 z 2 + R 2 (z 1, z 2 ).
7 Linearizace nelineární soustavy Linearizace nelineární soustavy Je-li okolí bodu S 0 dostatečně malé, budou čísla z 1 = x x 0, z 2 = y y 0 a zbytky R 1 (z 1, z 2 ), R 2 (z 1, z 2 ) velmi malá, t.j. R 1 = O(x x } {{ } 0 )2, R 2 = O(y y 0 } {{ } )2. z 1 z 2 Zanedbáním zbytků dostaneme soustavu lineárních diferenciálních rovnic: ż 1 = a 11 z 1 + a 12 z 2 = ż = J(S ż 2 = a 21 z 1 + a 22 z 0 ) z 2 } {{ } linearizace nelineární soustavy v okolí r.s. S 0 = (x 0, y 0 ) ż = J(S 0 ) z... rovnice ve variacích soustavy ẋ = v 1 (x, y), ẏ = v 2 (x, y), J(S 0 )... matice linearizace. Fázové portréty soustav lineárních diferenciálních rovnic už umíme, jen je ted provádíme jen v malém okolí rovnovážného stavu.
8 Linearizace nelineární soustavy Příklad 1 rovnic Načrtněte fázový portrét soustavy nelineárních diferenciálních ẋ = ln(y 2 x) ẏ = x y 1. Řešení Nejprve určíme rovnovážné stavy: ln(y 2 x) = 0 x y 1 = 0 = y 2 x = 1 y + x = 1 = soustava má dva rovnovážné stavy S 1 = (0, 1), S 2 = (3, 2). 1 2y ( ) ( ) J(x, y) = y 2 x y 2 x = J(S 1 ) =, J(S ) = Charakteristická rovnice a vlastní čísla J(S 1 ): λ 2 + 2λ + 3 = 0 = λ 1,2 = 1 ± i 2 = S 1 je stabilní ohnisko. Obdobně, charakteristická rovnice a vlastní čísla J(S 2 ): λ 2 + 2λ 3 = 0 = λ 1 = 1, λ 2 = 3 = S 2 je sedlo (nestabilní).
9 Linearizace nelineární soustavy ( 2 1 ) a Poznámka Vlastnímu číslu λ 1 = 1 odpovídá vlastní vektor h 1 = ( ) 2 vlastnímu číslu λ 2 = 3 odpovídá vlastní vektor h 2 =. Vektory h 1 1 a h 2 určují směry, ve kterých z S 2 (pro λ > 0) vycházejí separatrix sedla, resp. (pro λ < 0) vcházejí separatrix do S 2.
10 Linearizace nelineární soustavy Věta Necht S 0 = (x 0, y 0 ) je rovnovážný stav nelineární soustavy ẋ = v 1 (x, y), ẏ = v 2 (x, y). (1) Necht J(S 0 ) je příslušná matice linearizace a necht obě vlastní čísla matice J mají nenulové reálné části. Pak je fázový portrét nelineární soustavy (1) v jistém okolí rovnovážného stavu S 0 kvalitativně stejný jako fázový portrét soustavy ż = J(S 0 )z v okolí počátku. (2)
11 Linearizace nelineární soustavy Definice Necht S 0 = (x 0, y 0 ) je izolovaný rovnovážný stav soustavy (1), J(S 0 ) příslušná matice linearizace s vlastními čísly λ 1, λ 2, která neleží na imaginární ose. Pak 1) Je-li λ 1 λ 2 > 0, λ 1, λ 2 R, nazýváme rovnovážný stav S 0 uzlem. 2) Je-li λ 1 λ 2 < 0, λ 1, λ 2 R, nazýváme rovnovážný stav S 0 sedlem. 3) Je-li λ 1,2 = a ± ib, a b 0 nazýváme rovnovážný stav S 0 ohniskem. Tedy kromě případu, kdy λ 1, λ 2 leží na imaginární ose, můžeme klasifikaci fázových portrétů nelineárních soustav v okolí rovnovážného stavu převést na klasifikaci fázových portrétů linearizace těchto soustav v okolí počátku.
12 Stabilita rovnovážných stavů Stabilita rovnovážných stavů Věta Necht S 0 je rovnovážný stav soustavy (1). Necht J(S 0 ) je příslušná matice linearizace. Mají-li obě vlastní čísla matice J(S 0 ) záporné reálné části, je S 0 asymptoticky ljapunovsky stabilním rovnovážným stavem. Existuje-li vlastní číslo matice J(S 0 ) s kladnou reálnou částí, je rovnovážný stav S 0 ljapunovsky nestabilní. Vrat me se k Příkladu 1. S 1 = (0, 1), J(S 1 ) má vl. č. 1 ± i 2 = S 1 je ljapunovsky stabiní S 2 = (3, 2), J(S 2 ) má vl. č. λ 1 = 1, λ 2 = 3 S 2 je ljapunovsky nestabiní.
13 Stabilita rovnovážných stavů Definice Rovnovážný stav soustavy ẋ(t) = v(x(t)) je ljapunovsky stabilní O ε(x 0 ) O δ (x 0 ) takové, že x O δ (x 0 ) je ϕ x(t) O ε(ϕ x0 (t)) t 0. Rovnovážný stav soustavy ẋ(t) = v(x(t)) je asymptoticky ljapunovsky stabilní je ljapunovsky stabilní a lim t ρ(ϕ x0 (t) ϕ x(t)) = 0 x O δ (x 0 )
14 Stabilita rovnovážných stavů Homeomorfismus Uvažujme nyní dvě soustavy ẋ = v(x), x M 1 R 2, ϕ(t, x) fázový tok na M 1, (3) ẋ = u(x), x M 2 R 2, ψ(t, x) fázový tok této soustavy na M 2. (4) Definice Říkáme, že fázové portréty soustav (3) a (4) jsou topologicky ekvivalentní, jestliže existuje homeomorfismus h : M 1 M 2, který zobrazuje trajektorie první soustavy na trajektorie druhé soustavy při zachování orientace, t.j. platí h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)). Poznámka h : M 1 M 2 je homeomorfismus h je prosté, h a h 1 jsou spojitá.
15 Stabilita rovnovážných stavů Poznámka Necht soustavy (3) a (4) jsou topologicky ekvivalentní prostřednictvím homeomorfismu h. Pak (i) h zobrazuje stabilní (nestabilní) r.s. soustavy (3) na stabilní (nestabilní) r.s. soustavy (4), (ii) h zobrazuje uzavřené trajektorie na uzavřené o stejné periodě, (iii) h zobrazuje ω limitní množiny trajektorií soustavy (3) na ω limitní množiny trajektorií soustavy (4), (iv) h zobrazuje homokliniky (heteroknliniky) soustavy (3) na homokliniky (heterokliniky) soustavy (4). Definice Necht trajektorie γ x odpovídá řešení ϕ x(t) soustavy ẋ = v(x(t)). Existuje-li posloupnost {t i } i=1, lim t i = taková, že existuje i lim ϕx(t i) = z R n, nazýváme bod z ω limitním bodem trajektorie γ x. i Množina všech ω limitních bodů = ω limitní množina trajektorie γ x. Značíme ω(γ x) nebo jen ω(x).
16 Stabilita rovnovážných stavů Je-li x 1 rovnovážný stav soustavy ẋ = v(x(t)), γ a trajektorie řešení ϕ a(t), pro které platí (i) (ii) lim t ϕ a(t) = x 1 lim t ϕ a(t) = τ 1 Říkáme, že trajektorie γ a vchází do r.s. x 1 ve směru vektoru τ 1. Podobně, platí-li pro r.s. x 2 (i) (ii) lim t ϕ b(t) = x 2 lim t ϕ b(t) = τ 2 Říkáme, že trajektorie γ b příslušná řešení ϕ b (t) vychází z r.s. x 2 ve směru vektoru τ 2. Poznámka Platí-li jen první vztah a lim t ϕ a(t) neexistuje, říkáme, že trajektorie končí v bodě x 1 (trajektorie vchází do r.s. spirálovitě). Obdobně neexistuje-li lim t ϕ b(t), trajektorie začíná v r.s. x 2.
17 Stabilita rovnovážných stavů Poznámka h : M 1 M 2 homeomorphismus (prosté, spojité zobrazení, h 1 také spojité) Topologická ekvivalence = vztah mezi fázovými toky soustav: h(ϕ(t, x) ) = ψ(t, h(x)) } {{ } } {{ } M 1 M 2 Topologická ekvivalence h nerozliší uzel a ohnisko (např. dikritický uzel lze zobrazit homeomorfně na fázový portrét stabilního ohniska). Aby bylo možno rozlišit uzel a ohnisko, musí být h difeomorfismus, t.j. h musí být prosté, spojité a parciální derivace h i h 1 musí být také spojité.
18 Stabilita rovnovážných stavů Diferencovatelně ekvivalentní soustavy Mějme opět dvě soustavy ẋ = v(x), x M 1 R 2, (5) ẋ = u(x), x M 2 R 2, (6) kde M 1, M 2 jsou oblasti v R 2, h : M 1 M 2 homeomorfismus, který zobrazuje trajektorie první soustavy na trajektorie druhé soustavy při zachování orientace, t.j. fázové portréty soustav jsou topologicky ekvivalentní h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)) } {{ }. přepíšeme ve tvaru ψ t (h(x)) = h(ϕ t (x)), kde h je difeomorfismus, h(x) = h(x 1, x 2 ) = (h 1 (x 1, x 2 ), h 2 (x 1, x 2 )) a h 1 (x) h 1 (x) h (x) = x 1 x 2 h 2 (x) h 2 (x) = h(x) x x 1 x 2 je derivace difeomorfismu h (Jacobiova matice zobrazení h).
19 Stabilita rovnovážných stavů Definice Říkáme, že fázové portréty soustav (5) a (6) jsou diferencovatelně ekvivalentní, jestliže existuje difeomorfismus h : M 1 M 2, který zobrazuje trajektorie první soustavy na trajektorie druhé soustavy při zachování orientace, t.j. platí ψ t (h(x)) = h(ϕ t (x)). Poznámka ẋ = v(x), x M 1 R 2, x r.s. této soustavy, y = h(x )... r.s. soustavy ẋ = u(x), x M 2 R 2. Necht J(x )... matice linearizace 1. soustavy v r.s. x J(y )... matice linearizace 2. soustavy v r.s. y = h(x ) Pak J(y ) = h (x ) J(x ) (h (x )) 1 = Matice linearizace v rovnovážných stavech obou soustav, které si odpovídají při difeomorfismu h, jsou podobné. Mají tedy stejná vlastní čísla. Závěr Diferencovatelná ekvivalence rozliší uzel a ohnisko.
20 Věta Grobmanova Hartmanova Věta (Grobmanova Hartmanova) Necht soustava ẋ = v(x), x R n, má izolovaný r.s. x takový, že příslušná matice linearizace J(x ) má všechna vlastní čísla s nenulovými reálnými částmi. Pak existuje O(x ) takové, že na O(x ) je fázový portrét soustavy ẋ = v(x) topologicky ekvivalentní s fázovým portrétem lineární soustavy ẋ = J(x ) x, t.j. fázové toky soustav ẋ = v(x) (nelineární) a ẋ = J(x ) x (lineární) jsou topologicky ekvivalentní prostřednictvím vhodného homeomorfismu. Poznámka Připomeňme, že topologická ekvivalence nerozliší fázový portrét uzlu a ohniska. Pro n = 2 (rovinné soustavy) lze ukázat, že má-li matice linearizace J(x ) vlastní čísla λ 1,2 = a ± ib, a b 0, pak trajektorie mají v okolí x tvar spirál, které končí v r.s. x (je-li x stabilní), je-li x nestabilní, trajektorie mají tvar spirál, které se odvíjejí od x.
21 Uzavřené trajektorie Věta (Bendixonovo kritérium) v rovině, Mějme soustavu diferenciálních rovnic ẋ = v(x), x = (x 1, x 2 ) R 2, i.e., ẋ 1 = v 1 (x 1, x 2 ) ẋ 2 = v 2 (x 1, x 2 ). Jestliže div v(x) = v 1(x) x 1 + v 2(x) x 2 0 na nějaké jednoduše souvislé oblasti D R 2, pak soustava ẋ = v(x) nemá v oblasti D žádnou uzavřenou trajektorii γ D.
22 Příklad Soustava diferenciálních rovnic v rovině: x = y + x(1 x 2 y 2 ), y = x + y(1 x 2 y 2 ), i.e., v 1 (x, y) = y + x(1 x 2 y 2 ), v 2 (x, y) = x + y(1 x 2 y 2 ). v 1 x = 1 3x 2 y 2, v 2 y = 1 x 2 3y 2. divv(x) = 2(1 2(x 2 + y 2 )) = 0 x 2 + y 2 = 1 2. divv(x) > 0 x 2 + y 2 < 1 2 = uvnitř kružnice nemůže podle Bendixonova kritéria ležet žádná celá uzavřená trajektorie. Poznámka Vnějšek kružnice není jednoduše souvislá oblast a větu nelze použít. Nevím nic o existenci uzavřené trajektorie vně kruhu.
y n+1 = g(x n, y n ),
Diskrétní dynamické systémy 1. Úvod V následujícím textu budeme studovat chování systému diferenčních rovnic ve tvaru x n+1 = f(x n, y n ), y n+1 = g(x n, y n ), kde f a g jsou dané funkce. Tyto rovnice
Více3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat?
3..4 Trojúhelní Předpolady: 303 Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelní. o to je, víme. Ja ho definovat? Př. : Definuj trojúhelní jao průni polorovin. Trojúhelní je průni polorovin, a.
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VícePříklad 1.3: Mocnina matice
Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
Více6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
Více(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3)
Učební tet k přednášce UFY1 Předpokládejme šíření rovinné harmonické vln v kladném směru os z. = i + j kde i, j jsou jednotkové vektor ve směru os respektive a cos ( ) ω ϕ t kz = + () = cos( ωt kz+ ϕ )
Více( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty
Fyzikální praktikum IV. Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty - verze Úloha č. 9 Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty 1) Pomůky: Kundtova trubie, mikrofon se sondou, milivoltmetr, měřítko,
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceMetoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka
Metoda konečných prvků 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný
VíceFakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ mechanismy. Přednáška 8
Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ mechanismy Přednáška 8 Převody s korigovanými ozubenými koly Obsah Převody s korigovanými ozubenými koly Výroba ozubení odvalováním
VíceTEORIE MÍRY. A to jsme se docela snažili. Nešlo to jinak.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
Víceřádově různě rostoucí rostou řádově stejně rychle dvě funkce faktor izomorfismus neorientovaných grafů souvislý graf souvislost komponenta
1) Uveďte alespoň dvě řádově různě rostoucí funkce f(n) takové, že n 2 = O(f(n)) a f(n) = O(n 3 ). 2) Platí-li f(n)=o(g 1 (n)) a f(n)=o(g 2 (n)), znamená to, že g 1 (n) a g 2 (n) rostou řádově stejně rychle
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
Více(1) (3) Dále platí [1]:
Pracovní úkol 1. Z přiložených ů vyberte dva, použijte je jako lupy a změřte jejich zvětšení a zorná pole přímou metodou. 2. Změřte zvětšení a zorná pole mikroskopu pro všechny možné kombinace ů a ů. Naměřené
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová. Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová Tematická oblast Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování Ročník 2. Datum
Více7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy
Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná
Více1. Člun o hmotnosti m = 50 kg startuje kolmo ke břehu a pohybuje se dále v tomto směru konstantní rychlostí v 0 = 2 m.s -1 vůči vodě. Současně je unášen podél břehu proudem vody, který na něj působí silou
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
VíceCyklické redundantní součty a generátory
Cyklické redundantní součty a generátory pseudonáhodných čísel Rostislav Horčík: Y01DMA 20. dubna 2010: CRC a pseudonáhodná čísla 1/17 Definice Řekneme, že polynomy a(x), b(x) jsou kongruentní modulo m(x),
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se
VíceAntény. Zpracoval: Ing. Jiří. Sehnal. 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén
ANTÉNY Sehnal Zpracoval: Ing. Jiří Antény 1.Napájecí vedení 2.Charakteristické vlastnosti antén a základní druhy antén Pod pojmem anténa rozumíme obecně prvek, který zprostředkuje přechod elektromagnetické
VíceTEORETICKÝ VÝKRES LODNÍHO TĚLESA
TEORETICKÝ VÝKRES LODNÍHO TĚLESA BOKORYS (neboli NÁRYS) je jeden ze základních pohledů, ze kterého poznáváme tvar kýlu, zádě, zakřivení paluby, atd. Zobrazuje v osové rovině obrys plavidla. Uvnitř obrysu
VíceExponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
VíceGeometrická optika 1
Geometrická optika 1 Popis pomocí světelných paprsků těmi se šíří energie a informace, zanedbává vlnové vlastnosti světla světelný paprsek = přímka, podél níž se šíří světlo, jeho energie index lomu (základní
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceRegresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce
VíceVečerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede
Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace
VíceŘešené příklady z OPTIKY II
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Řešené příklady z OPTIKY II V následujícím článku uvádíme několik vybraných příkladů z tématu Optika i s uvedením
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
VícePrůniky rotačních ploch
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Průniky rotačních ploch Vypracoval: Vojtěch Trnka Třída: 8. M Školní rok: 2012/2013 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
VíceMetodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární
VíceKótování na strojnických výkresech 1.část
Kótování na strojnických výkresech 1.část Pro čtení výkresů, tj. určení rozměrů nebo polohy předmětu, jsou rozhodující kóty. Z tohoto důvodu je kótování jedna z nejzodpovědnějších prací na technických
Více6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi
6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky od Ing. Magdaleny Čepičkové
VíceGEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny
GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická
Více4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů
4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici
Více7.8 Kosmická loď o délce 100 m letí kolem Země a jeví se pozorovateli na Zemi zkrácena na 50 m. Jak velkou rychlostí loď letí?
7. Speciální teorie relativity 7.1 Kosmonaut v kosmické lodi, přibližující se stálou rychlostí 0,5c k Zemi, vyšle směrem k Zemi světelný signál. Jak velká je rychlost signálu a) vzhledem k Zemi, b) vzhledem
VíceStrojní součásti, konstrukční prvky a spoje
Strojní součásti, konstrukční prvky a spoje Šroubové spoje Šrouby jsou nejčastěji používané strojní součástí a neexistuje snad stroj, kde by se nevyskytovaly. Mimo šroubů jsou u některých šroubových spojů
VíceAutodesk Inventor 8 vysunutí
Nyní je náčrt posazen rohem do počátku souřadného systému. Autodesk Inventor 8 vysunutí Následující text popisuje vznik 3D modelu pomocí příkazu Vysunout. Vyjdeme z náčrtu na obrázku 1. Obrázek 1: Náčrt
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. VZPĚR VZPĚR
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 8. ZÁŘÍ 2013 Název zpracovaného celku: VZPĚR VZPĚR U všech předcházejících druhů namáhání byla funkce součásti ohroţena překročením
VíceGeodézie. přednáška 3. Nepřímé měření délek. Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.
Geodézie přednáška 3 Nepřímé měření délek Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Nepřímé měření délek při nepřímém měření délek se neměří přímo žádaná
VíceZměny délky s teplotou
Termika Teplota t Dokážeme vnímat horko a zimu. Veličinu, kterou zavádíme pro popis, nazýváme teplota teplotu (horko-chlad) však nerozlišíme zcela přesně (líh, mentol, chilli, kapalný dusík) měříme empiricky
VíceDefinice tolerování. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka
Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Téma: geometrické tolerance 1) Definice geometrických tolerancí 2) Všeobecné geometrické tolerance 3) Základny geometrických tolerancí 4) Druhy geometrických
VíceDefinice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.
Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v
VíceVyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
Vícepracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméno TUREČEK Daniel Datum měření 3..6 Stud. rok 6/7 Ročník. Datum odevzdání 3..7 Stud. skupina 3 Lab.
VíceAnalýza oběžného kola
Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...
VíceNe tak letmý úvod k maticím První pracovní verze
Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Tento text na příkladech ukazuje vlastnosti základních algebraických struktur grup, okruhů, polí, vektorových prostorů a algeber. Zvláštní důraz je kladen
VíceMECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE
MECHANICKÁ RÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE Konání práce je podmíněno silovým působením a pohybem Na čem závisí velikost vykonané práce Snadno určíme práci pro případ F s ráci nekonáme, pokud se těleso nepřemísťuje
VíceGrafický manuál jednotného vizuálního stylu
Grafický manuál jednotného vizuálního stylu Logo dvouřádková varianta Základním prvkem jednotného vizuálního stylu je logo společnosti. Logo je snadno zapamatovatelné a i bez slovního označení dostatečně
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)
VíceHlavní body. Úvod do nauky o kmitech Harmonické kmity
Harmonické kmiy Úvod do nauky o kmiech Harmonické kmiy Hlavní body Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosi výchylky, rychlosi, zrychlení, Poenciální, kineická a celková energie Princip superpozice
VíceTVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI. Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót
TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót KÓTOVÁNÍ Kótování jednoznačné určení rozměrů a umístění všech tvarových podrobností
Vícena tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:
Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace
VíceDiamantová suma - řešení příkladů 1.kola
Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl
VíceAplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 03 VYSUNUTÍ TAŽENÍM A SPOJENÍM PROFILŮ.]
Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 03 VYSUNUTÍ TAŽENÍM A SPOJENÍM PROFILŮ.] 1 CÍL KAPITOLY Cílem této kapitoly je naučit uživatele efektivně navrhovat objekty v režimu
VícePOČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD
Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD Mathcad návody do cvičení Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D. Ostrava 2011 Tyto studijní
VíceAritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
VíceMechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině):
Mechanismy Mechanismus klikový, čtyřkloubový, kulisový, západkový a vačkový jsou nejčastějšími mechanismy ve strojích (kromě převodů). Mechanismy obsahují členy (kliky, ojnice, těhlice, křižáky a další).
VíceSpoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny
cvičení Dřevěné konstrukce Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny Úvodní poznámky Styčníkové desky s prolisovanými trny se používají pro spojování dřevěných prvků stejné tloušťky v jedné rovině,
VíceShodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou
Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz; zapisujeme Z: X X. Zobrazení v rovině je shodné
VíceMezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů.
Mezní kalibry Mezními kalibry zjistíme, zda je rozměr součástky v povolených mezích, tj. v toleranci. Mají dobrou a zmetkovou stranu. Zmetková strana je označená červenou barvou. Délka zmetkové části je
VíceMatematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY
Matematika 3 RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Vstupní test 8 I NUMERICKÉ METODY 10 2 Chyby při numerických výpočtech 10 2.1 Zdroje a typy chyb...............................
VíceStátní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
VíceFYZIKA 2. ROČNÍK. Elektrický proud v kovech a polovodičích. Elektronová vodivost kovů. Ohmův zákon pro část elektrického obvodu
FYZK. OČNÍK a polovodičích - v krystalové mřížce kovů - valenční elektrony - jsou společné všem atomům kovu a mohou se v něm volně pohybovat volné elektrony Elektronová vodivost kovů Teorie elektronové
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
VíceMECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
Modularizace a modernizace studijního programu počáteční přípravy učitele fyziky Studijní modul MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ Oldřich Lepil Olomouc 01 Zpracováno v rámci řešení projektu Evropského sociálního
VíceŽáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce
Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,
VíceČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
VíceKapitola 8 Kůň našíř. Článek 30 Popis sestavy na koni našíř. Článek 31 Informace o provedení sestavy
Kapitola 8 Kůň našíř Výška: 105 cm od horní plochy žíněnky Článek 30 Popis sestavy na koni našíř Současná sestava na koni našíř je charakteristická různými typy kol v provedení s roznožením a snožmo, prováděných
VíceKód uchazeče ID:... Varianta: 15
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 15 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 15 % lednové mzdy. Následně
VíceMěření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky
Měření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=14 Po několika neúspěšných pokusech se zkumavkou, na jejíž dno jsme umístili do vaty nejprve kovovou kuličku a
VíceOsvětlovací modely v počítačové grafice
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz
VíceCVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE
CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Z injekční stříkačky je skrze jehlu vytlačovaná voda. Průměr stříkačky je D, průměr jehly d. Určete výtokovou rychlost,
Vícea) Jaká je hodnota polytropického exponentu? ( 1,5257 )
Ponorka se potopí do 50 m. Na dně ponorky je výstupní tunel o průměru 70 cm a délce, m. Tunel je napojen na uzavřenou komoru o objemu 4 m. Po otevření vnějšího poklopu vnikne z části voda tunelem do komory.
VíceMECHANIKA HORNIN A ZEMIN
MECHANIKA HORNIN A ZEMIN podklady k přednáškám doc. Ing. Kořínek Robert, CSc. Místnost: C 314 Telefon: 597 321 942 E-mail: robert.korinek@vsb.cz Internetové stránky: fast10.vsb.cz/korinek Mechanické vlastnosti
Více5.2.1 Matematika povinný předmět
5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
Vícey = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich
Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma
Více3.cvičení. k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR. 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ),
3.cvičení 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ), k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR Bodem A rovnoběžku: Ještě jednu kolmici. Tři úhly, které je možno rozdělit
Více(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.
. Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce
Více( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
VíceLaserové skenování principy
fialar@kma.zcu.cz Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011 Co je a co umí laserové skenování? Laserové skenovací systémy umožňují bezkontaktní určování prostorových souřadnic, 3D modelování vizualizaci složitých
VíceSeznámení s možnostmi Autodesk Inventoru 2012
Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory
Vícedoc. Ing. Martin Hynek, PhD. a kolektiv verze - 1.0 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Katedra konstruování strojů Fakulta strojní K2 E doc. Ing. Martin Hynek, PhD. a kolektiv verze - 1.0 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky LISOVACÍ
VíceREGULACE EL. POHONŮ Stabilita a tlumení. Obr. 1. Schéma uzavřené regulační smyčky. Obr. 2. Ukazatele kvality regulace
EP-egulace EP EGULACE EL. POHONŮ Stabilita a tlumení Obr.. Schéma uzavřené regulační myčky Obr.. Ukazatele kvality regulace V regulačních pohonech pouzujeme kvalitu regulace nejčatěji dle přechodové charakteritiky,
VíceReference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému
Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)
VíceStatistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických
VíceDatabázové a informační systémy
Databázové a informační systémy 1. Teorie normálních forem Pojem normálních forem se používá ve spojitosti s dobře navrženými tabulkami. Správně vytvořené tabulky splňují 4 základní normální formy, které
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl
VíceStanovení optimálních teplot výpalu vápenců z různých lokalit a jejich souvislostí s fyzikálními vlastnostmi vápenců
Stanovení optimálních teplot výpalu vápenců z různých lokalit a jejich souvislostí s fyzikálními vlastnostmi vápenců Ing. Radovan Nečas, Ing. Dana Kubátová, Ph.D., Ing. Jiří Junek, Ing. Vladimír Těhník
VíceKomutace a) komutace diod b) komutace tyristor Druhy polovodi ových m Usm ova dav
V- Usměrňovače 1/1 Komutace - je děj, při němž polovodičová součástka (dioda, tyristor) přechází z propustného do závěrného stavu a dochází k tzv. zotavení závěrných vlastností součástky, a) komutace diod
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
Více