CHEMICKÉ INŽENÝRSTVÍ I

Transkript

1 CHEMICKÉ INŽENÝRSTVÍ I 4. ROZŠÍŘENÉ VYDÁNÍ doc. Ing. Petr Kočí, Ph.D., a kolektiv PRAHA 2019

2 vydavatelstvi.vscht.cz ISBN

3 Obsah 1 Úvod Chemické inženýrství a chemická technologie Systémy Procesy Veličiny a vztahy používané v chemickém inženýrství Fyzikální veličiny Rovnice a vztahy Metody chemického inženýrství Postup řešení úloh chemického inženýrství Bezrozměrná kritéria podobnosti Základy bilancování Bilance za konečné bilanční období Bilance za diferenciální bilanční období Vztahy pro materiálové bilance Vyjadřování složení směsí Přepočty složení směsí Doporučený postup při materiálové bilanci Materiálové bilance bez chemické reakce Materiálové bilance s chemickou reakcí Úlohy Základy hydromechanických procesů Hydrostatika Proudění tekutin Bezrozměrná kritéria podobnosti Proudění kapaliny horizontální trubkou kruhového průřezu Proudění potrubím s nekruhovým průřezem Proudění v porézních materiálech Úlohy Doprava kapalin Charakteristika čerpadel a potrubí Sací a výtlačná výška Úlohy

4 4 OBSAH 5 Filtrace Filtrační přepážky a některé typy filtrů Filtrační přepážky Některé typy vsádkových a kontinuálních filtrů Bilance hmotnosti a objemu při filtraci Kinetika koláčové filtrace Filtrace při konstantní rychlosti Filtrace při konstantním filtračním rozdílu tlaků Filtrační konstanty Promývání filtračního koláče Filtrační cyklus Úlohy Míchání Modelování míchacích zařízení Úlohy Bilance entalpie První věta termodynamická bilance uzavřeného systému Obecná bilance entalpie v otevřeném systému Konečné bilanční období Diferenciální bilanční období Výpočet entalpie Měrná a molární entalpie Volba referenčního stavu Závislost entalpie čisté látky na teplotě Změna entalpie čisté látky se změnou skupenství Změna entalpie čisté látky se změnou teploty i skupenství Změny entalpie při chemické reakci Entalpie směsi Výsledné tvary entalpické bilance Entalpická bilance bez reakce Entalpická bilance s reakcí Úlohy Základy sdílení tepla Vedení tepla Fourierova rovnice Vedení tepla rovinnou stěnou Vedení tepla složenou rovinnou stěnou Vedení tepla válcovou stěnou Vedení tepla složenou válcovou stěnou Přestup tepla Newtonův ochlazovací zákon Fourierova-Kirchhoffova rovnice Přestup tepla při nuceném proudění Přestup tepla při přirozeném proudění Přestup tepla při současném přirozeném a nuceném proudění Přestup tepla při varu a kondenzaci Obecný postup výpočtu hodnoty součinitele přestupu tepla

5 OBSAH Složené sdílení tepla prostup tepla Prostup tepla rovinnou stěnou Prostup tepla válcovou stěnou Úlohy Výměníky tepla Příklady konstrukce výměníků tepla Entalpická bilance výměníku tepla Bilance diferenciálního úseku protiproudého výměníku tepla Úlohy Odparky Odpařovací zařízení Výpočet jednočlenné odparky Úlohy Úvod do sdílení hmoty Mezifázová rovnováha Typy výměníků hmoty Stupňový kontakt fází Spojitý kontakt fází Vztahy pro popis výměníků hmoty Extrakce Zařízení pro extrakci Extrakce s nemísitelnými rozpouštědly Jednostupňová extrakce Opakovaná extrakce Protiproudá extrakce Extrakce s omezeně mísitelnými rozpouštědly Jednostupňová extrakce Opakovaná extrakce Protiproudá stupňová extrakce Tabulky extrakčních rovnováh Úlohy Sušení Vlastnosti vlhkého vzduchu Vlastnosti sušeného materiálu Kinetika konvekčního sušení Vsádková (periodická) konvekční sušárna Kontinuální konvekční sušárna Druhy sušáren Úlohy Destilace a rektifikace Rovnováha kapalina-pára Mžiková destilace Kontinuální rektifikace v patrové koloně Kontinuální rektifikace v plněné koloně

6 6 OBSAH 14.5 Vsádková destilace Vsádková destilace s rektifikací Úlohy Chemické reaktory Chemická reakční kinetika pro jednu nevratnou reakci Charakterizace průběhu reakce Reakční entalpie Reakční kinetika a rovnováha pro soustavy reakcí Průtočný ideálně míchaný reaktor Kaskáda průtočných ideálně míchaných reaktorů Vsádkový ideálně míchaný reaktor Trubkový reaktor s pístovým tokem Heterogenně katalytické reaktory Úlohy Seznam symbolů 315 Literatura 321

7 Kapitola 1 Úvod Lenka Schreiberová, Milan Jahoda, Dalimil Šnita, Igor Schreiber 1.1 Chemické inženýrství a chemická technologie Chemické inženýrství navazuje na některé základní předměty předměty, zejména na matematiku, fyziku, chemii a fyzikální chemii. Chemické inženýrství souvisí s dalšími obory, zejména s chemickou technologií, chemickým strojírenstvím, procesním a systémovým inženýrstvím a ekonomikou. Zjednodušeně řečeno, chemická technologie se zabývá tím, co je na daném nebo navrhovaném chemickém výrobním procesu zvláštní, co jej odlišuje od jiných procesů a zdali je výrobní postup vůbec uskutečnitelný. Chemické inženýrství se zaměřuje na to, co je v mnoha různých výrobních procesech společné, obecné. Chemické inženýrství pak může předávat chemickým technologům obecně utříděné poznatky, dá se říci ve formě určité stavebnice jednotlivých dílčích procesů a zařízení. Díly této stavebnice nazýváme jednotkovými operacemi. Problémy s výrobou chemických zařízení, jejich chemickou, mechanickou a tepelnou odolností, výběrem vhodných materiálů apod. řeší chemické strojírenství. Problémy složitých struktur, jejich návaznosti, ustáleného i dynamického chování, metod jejich popisu, analýzy, řízení aj. řeší procesní a systémové inženýrství. Ve všech fázích výzkumu, vývoje, realizace, provozu, optimalizace a řízení chemických výrobních procesů je nutno zvažovat ekonomické aspekty. Náplní práce chemického inženýra je najít technicky, ekonomicky a ekologicky schůdné řešení technologického problému při plném využití poznatků základních věd. Při tom se obvykle vybírá ze souboru možných technických řešení ekonomicky optimální varianta, která vyhovuje legislativním požadavkům na ochranu životního prostředí. 1.2 Systémy V mnoha oborech se setkáváme se slovem systém. Přestože je tento pojem používán někdy až příliš často, je základem formulace praktických problémů na obecné úrovni. Jsme obklopeni různými objekty. Tyto objekty mohou být určeny prostorovým vymezením od jiných objektů, které se mohou měnit v čase, jinými slovy, věci mohou měnit tvar, velikost a polohu. Objekty však mají také charakteristiky nezávisející na tvaru a velikosti. Mohou se lišit svou vnitřní podstatou, kterou označujeme jako látku, která má určité fyzikální vlastnosti. Látky jsou obvykle směsi skládající se ze složek. Ovšem i objekty, které mají stejnou velikost a tvar a jsou vytvořeny ze stejných látek, se od sebe mohou dále lišit svým stavem, například teplotou. Věci tedy charakterizujeme tvarem, velikostí, polohou, vlastnostmi a stavem a kvantitativně je popisujeme pomocí fyzikálních veličin. 7

8 8 KAPITOLA 1. ÚVOD Systém je libovolný objekt, část objektu, či soustava objektů, vybraný pro studium tak, že jej vymezíme vzhledem k okolí souvislou hranicí. Tyto hranice mohou být pevné, pohyblivé, skutečné či myšlené. Za systém se může považovat relativně jednoduchý objekt, jako např. plyn o konstantním tlaku uzavřený v nádobě o konstantním objemu vyměňující nebo nevyměňující teplo s okolím. Často je však systém složitý objekt, který má vnitřní strukturu a obsahuje dílčí navzájem svázané objekty nazývané podsystémy. Jejich uspořádání může být typu vedle sebe nebo hierarchické (tj. zahrnující různé stupně podrobnosti). Systémy mikroskopické a makroskopické Poněkud zjednodušeně můžeme prohlásit, že mikroskopické systémy jsou popsány na úrovni atomů a molekul. Makroskopické systémy jsou popsány na úrovni běžné technické praxe. Obecněji formulujeme termíny mikroskopický a makroskopický současně jako protiklad. Mikroskopický systém popisujeme pomocí prostorových a časových měřítek o mnoho řádů menších, než jsou měřítka pro systémy makroskopické. Makroskopický popis používá veličin, které jsou vhodným prostorovým a časovým průměrem veličin používaných v mikroměřítku. Tento postup je základem statistické fyziky a termodynamiky. Systémy ustálené a neustálené V ustáleném (stacionárním, statickém) systému se stav v libovolném místě nemění v čase. V neustáleném(nestacionárním, dynamickém, evolučním) systému se stav alespoň v nějakém místě mění v čase. Systémy homogenní a heterogenní V homogenním (stejnorodém, jednofázovém) systému se makroskopické vlastnosti mohou měnit v prostoru pouze plynule (spojitě). V heterogenním (různorodém, nehomogenním, vícefázovém) systému se makroskopické vlastnosti mohou měnit v prostoru také skokem (nespojitě). Různorodý systém může být složen ze stejnorodých podsystémů, které označujeme jako fáze. Nespojitá změna vlastností nastává právě na rozhraních mezi fázemi. Běžným příkladem uplatňujícím se při jednotkových operacích je systém kapalina-pára (destilace), kapalina-kapalina (extrakce), pevná fáze-tekutina (katalytické reaktory), atd. Systémy otevřené a uzavřené Otevřený systém může vyměňovat hmotu přes hranici s okolím (a ovšem zároveň i energii, která je touto hmotou nesena). Uzavřený systém nemůže vyměňovat hmotu přes hranici s okolím, ale umožňuje přenos energie bez přenosu hmoty, zejména formou práce anebo tepla. Izolovaný systém nevyměňuje s okolím ani hmotu, ani energii. Systém adiabatický nedovoluje přenos tepla přes hranici s okolím. 1.3 Procesy Z počátku byl v chemické technologii každý dílčí pochod vykládán odděleně od ostatních, a procesy (děje) probíhající v jednotlivých zařízeních technologické linky byly tříděny z hlediska jednotkových operací, při kterých se uplatňují: mechanické procesy, např. mletí a drcení;

9 1.3. PROCESY 9 hydromechanické procesy, založené na sdílení hybnosti, které zahrnují např. proudění (kapitola 3) a dopravu tekutin (kapitola 4), filtraci (kapitola 5), míchání (kapitola 6), usazování a fluidaci; tepelné procesy, založené na sdílení tepla (kapitola 8), k nimž patří např. tepelné výměníky (kapitola 9) a odparky (kapitola 10); difuzní separační procesy, založené na sdílení hmoty (kapitola 11), jako jsou např. extrakce (kapitola 12), absorpce, sušení (kapitola 13), destilace a rektifikace (kapitola 14), a membránové procesy; procesy chemické, které probíhají v chemických reaktorech (kapitola 15) a někdy i při absorpci, rektifikaci aj.; procesy biochemické a biologické, probíhající v bioreaktorech. S postupujícím prohlubováním znalostí o podstatě procesů se dařilo nacházet společné rysy a roztřídit procesy do skupin s obdobnými vlastnostmi. V chemickém inženýrství budeme rozlišovat následující základní procesy: Procesy přenosové (transportní, výměnné): přenos (sdílení) hybnosti - základ teorie proudění tekutin, hydrodynamiky; přenos (sdílení) energie - základ popisu tepelných procesů a výměny tepla; přenos (sdílení) hmoty - základ popisu difuzních separačních procesů. Procesy transformační (přeměnové): chemické reakce - základ popisu chemických reaktorů; změny skupenství (fáze) - základ popisu výměny tepla při kondenzaci a varu, základ popisu výměny hmoty a tepla při destilaci, rektifikaci, sušení aj. Jiné dělení procesů je založeno na jejich průběhu v čase: procesy vsádkové(diskontinuální) probíhají v uzavřeném systému, kde vsádka je podrobena určitému procesu po omezenou dobu, např. vsádkový reaktor, procesy kombinované (polovsádkové) probíhají v systému, který je uzavřený pro část hmoty a otevřený pro jinou část hmoty, např. sušení vsádky kontaktem s proudícím plynem, procesy průtočné (kontinuální) probíhají v otevřeném systému, nap5. rektifikace. Kvůli plynulosti výroby se v praxi dává přednost kontinuálním (průtočným) procesům, nebo se vsádkový či polovsádkový proces provádí opakovaně, takový proces označujeme jako periodický.

10 10 KAPITOLA 1. ÚVOD 1.4 Veličiny a vztahy používané v chemickém inženýrství Fyzikální veličiny Z fyziky je známo, že jednotka je určitá (definovaná) velikost fyzikální veličiny, s jejíž pomocí měříme libovolnou jinou velikost veličiny stejného druhu. Velikost fyzikální veličiny je dána číslem, tj. hodnotou a tomu odpovídající jednotkou. Změní-li se jednotka, změní se i hodnota. Uvážíme-li vyjádření dané veličiny pomocí dvou odlišných jednotek, veličina = (hodnota) 1 (jednotka) 1 = (hodnota) 2 (jednotka) 2, (1.1) pak pro přepočet na novou hodnotu platí (hodnota) 2 = (hodnota) 1 (jednotka) 1 (jednotka) 2. (1.2) U nás je doporučena mezinárodní měrová soustava SI. Obsahuje sedm základních rozměrů: délku L, hmotnost M, čas T, elektrický proud I, teplotní rozdíl Θ, svítivost J a látkové množství N. Jim odpovídají základní jednotky délky metr m, hmotnosti kilogram kg, času sekunda s, elektrického proudu ampér A, teplotního rozdílu kelvin K, svítivosti candela cd a látkového množství mol mol. Elektrickým proudem a svítivostí se zde nebudeme zabývat. Mnoho veličin je úzce spojeno s hmotou. Každý kousek hmoty s sebou nese řadu veličin, například: hmotnost m, hybnost mv, moment hybnosti, energii E, elektrický náboj Q a objem V. Objem je poněkud obtížná veličina, protože má dva různé významy, geometrický objem jako matematická abstrakce (např. objem koule V = (4/3)πr 3 ), fyzikální objem jako vlastnost hmoty V = m/ρ. Momentem hybnosti a elektrickým nábojem se v těchto skriptech nebudeme zabývat. Uvedené veličiny jsou extenzivní vzhledem k hmotě (objemu). Takové extenzivní veličiny závisí na množství hmoty. To znamená, že hodnota extenzivní veličiny popisující systém, který se skládá ze dvou nebo více dílů hmoty, je součtem hodnot veličiny, které popisují každý díl zvlášt. V chemii se zabýváme směsmi, které jsou složeny ze složek. V průběhu chemických procesů (reakcí) některé složky zanikají za současného vzniku jiných složek. Směsi jsou charakterizovány zejména těmito extenzivními veličinami: objem směsi V, objem složky V i, hmotnost směsi m, hmotnost složek m i, látkové množství směsi n, látkové množství složek n i, Termodynamika (fyzikální chemie) zavádí další extenzivní veličiny, např.: vnitřní energie U, entalpie H, entropie S.

11 1.4. VELIČINY A VZTAHY POUŽÍVANÉ V CHEMICKÉM INŽENÝRSTVÍ 11 V rámci těchto skript se budeme zabývat pouze entalpií. Jiný typ veličin, tzv. intenzivní veličiny na množství hmoty nezávisí. Pomocí objemu, hmotnosti a látkového množství můžeme odvodit tři typy intenzivních veličin. Zde uvedeme některé z těchto veličin důležitých pro chemické inženýrství. Měrné veličiny vyjadřují množství veličiny vztažené na jednotku hmotnosti: Měrná hmotnost i-té složky m i,měr (hmotnostní zlomek i-té složky w i ) je hmotnost i-té složky m i na jednotku hmotnosti směsi m: m i,měr = m i m = w i. (1.3) Měrné látkové množství i-té složky m i,měr (molalita i-té složky ) je látkové množství i-té složky n i na jednotku hmotnosti směsi m: n i,měr = n i m. (1.4) Měrná energie e měr je energie E na jednotku hmotnosti m: e měr = E m. (1.5) Měrná entalpie h měr je entalpie H na jednotku hmotnosti m: h měr = H m. (1.6) Molární veličiny vyjadřují množství veličiny vztažené na jednotku látkového množství: Molární látkové množství i-té složky n i,mol (molární zlomek i-té složky x i ) je látkové množství i-té složky n i na jednotku látkového množství směsi n: n i,mol = n i n = x i. (1.7) Molární energie e mol je energie E na jednotku látkového množství n: e mol = E n. (1.8) Molární entalpie h mol je entalpie H na jednotku látkového množství n: h mol = H n. (1.9) Specifické veličiny (hustoty veličin) vyjadřují množství veličiny vztažené na jednotku objemu hmoty: Specifická hmotnost m spec či hustota ρ je hmotnost m na jednotku objemu V: m spec = m V = ρ. (1.10) Specifická hmotnost i-té složky m i,spec = ρ i (hmotnostní koncentrace i-té složky či parciální hustota) je hmotnost i-té složky m i na jednotku objemu směsi V: m i,spec = m i V = ρ i. (1.11)

12 12 KAPITOLA 1. ÚVOD Specifické látkové množství směsi n spec (molární koncentrace směsi, molární hustota c) je látkové množství směsi n na jednotku objemu směsi V: n spec = n V = c. (1.12) Specifické látkové množství i-té složky n i,spec (molární koncentrace i-té složky c i, molarita) je látkové množství i-té složky n i na jednotku objemu směsi V: n i,spec = n i V = c i. (1.13) Specifický objem i-té složky V i,spec (objemový zlomek i-té složky ϕ i ) je objem i-té složky n i na jednotku objemu směsi V: V i,spec = V i V = ϕ i (1.14) Mimořádně významnými intenzivními veličinami jsou teplota a tlak. Teplota má různé definice, např. termodynamickou definici formulovanou pomocí účinnosti vratných procesů přeměňujících teplo v práci, intuitivní fyzikální definici představující teplotu jako míru kinetické energie neuspořádaného pohybu molekul či technickou definici, která bere teplotu jako údaj teploměru. V rámci těchto skript nebudeme mezi těmito definicemi rozlišovat, nebot ve většině praktických aplikací splývají. Tlak má rovněž různé definice, mechanickou síla na jednotku plochy, termodynamickou výslednice sdílení hybnosti (silového působení) při nahodilém mikroskopickém pohybu molekul ve směru kolmém na jednotku libovolně orientované plochy. Rovněž tlak zde budeme interpretovat jako údaj dostatečně přesného tlakoměru Rovnice a vztahy Stavové rovnice V rámci tohoto kurzu budeme uvažovat pouze dva druhy stavových rovnic, které určují vztah mezi objemem, tlakem a teplotou v stejnorodých homogenních systémech, případně mezi měrným (molárním) objemem nebo hustotou a teplotou a tlakem v obecných systémech. Stavovou rovnici ideálního plynu: pv = nrt, p = crt, ρ = pm RT. (1.15) a stavovou rovnici nestlačitelné látky (vhodnou pro většinu kapalin a pevných látek), jejíž objem (hustota) nezávisí na tlaku. Hustota je pak funkcí teploty a složení: Bilance ρ = ρ(t,složení) (1.16) Bilancevyjadřujepoznání,žejestliže někdeněco přibude,tak jetoproto,že setotam odněkud přemístilo nebo to tam vzniklo, viz kapitolu 2. Bilanční rovnice mají tvar: vstup+zdroj = výstup+akumulace. (1.17) Bilancovat lze pouze extenzivní veličiny, především hmotnost, energii a hybnost.

13 1.4. VELIČINY A VZTAHY POUŽÍVANÉ V CHEMICKÉM INŽENÝRSTVÍ 13 Rovnováha Rovnováha je ustálený stav izolovaného systému. V rovnováze je rychlost všech makroskopických procesů nulová. V chemické rovnováze je zjevná rychlost chemických reakcí nulová. To znamená, že reakce probíhá zleva doprava stejnou rychlostí, jako zprava doleva. Při fázové rovnováze je zjevná rychlost přeměny jedné fáze v druhou či přenosu složek mezi fázemi nulová. Například v případě rovnováhy kapalina pára to znamená, že pára kondenzuje na kapalinu stejnou rychlostí, jakou se kapalina vypařuje na páru. Při fázové rovnováze nedochází ani k výměně hmoty, ani k výměně energie mezi fázemi. Fázová rovnováha je důležitá pro popis řady chemicko-inženýrských procesů. Rovnováha kapalina kapalina je základem popisu extrakce, viz kapitolu 12. Rovnováha kapalina pára je základem popisu destilace a rektifikace, viz kapitolu 14. Rovnováha kapalina plyn je základem popisu sušení, viz kapitola 13, a absorpce. V tepelné rovnováze má systém všude stejnou teplotu. V případě heterogenních systémů mají také všechny fáze stejnou teplotu. V tepelné rovnováze je tok tepla vedením nulový. Sdílení tepla (kapitola 8) a výměníky tepla (kapitola 9) jsou založeny na odchylkách od tepelné rovnováhy. V rovnováze sil je výslednice sil nulová. Celý systém je v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. V hydrodynamice to znamená, že rychlost proudění tekutiny je v každém místě stejná a nedochází k mikroskopickému přenosu hybnosti vnitřnímu tření. V koncentrační rovnováze má homogenní systém (jedna fáze) všude stejné složení. V případě heterogenních systémů však mohou mít různé fáze různá složení jde o fázovou rovnováhu směsí. Sdílení hmoty (kapitola 11) a výměníky hmoty (kapitoly 12 14) jsou založeny na odchylkách od koncentrační rovnováhy. Inženýrský zápis fázové rovnováhy směsí je např: y i = ψ i x i, (1.18) kde x i je molární zlomek i-té složky v jedné (těžší) fázi, y i je molární zlomek i-té složky v druhé (lehčí) fázi a ψ i je rovnovážný koeficient i-té složky, který obecně závisí na teplotě, tlaku a složení. Molekulární přenos veličin Přenosu veličiny na mikroskopické úrovní říkáme kondukce či konduktivní transport. Hybnou (hnací) silou těchto procesů je odchylka (vzdálenost) od rovnováhy. Pokud je stav systému dostatečně blízko rovnováhy, rychlost procesů je přímo úměrná této odchylce. Jedná se o tzv. lineární transportní jevy. Molekulární sdílení (kondukci) hybnosti nazýváme vnitřní tření. Molekulární sdílení (kondukci) energie nazýváme vedení tepla. Molekulární sdílení (kondukci) hmotnosti nebo látkového množství nazýváme difúze. Mezi těmito třemi procesy existuje analogie, a proto jsou níže uvedené vztahy formálně stejné. Vnitřní tření v tekutinách V rovnováze sil je všude stejná rychlost v. Odchylku od rovnováhy, tedy hybnou sílu přenosu hybnosti vedením, charakterizuje prostorová derivace rychlosti: hybná síla vnitřního tření = gradient rychlosti = dv dx. (1.19)

14 14 KAPITOLA 1. ÚVOD Hybnost je přenášena z místa s vyšší rychlostí do místa s nižší rychlostí. Koeficientem úměrnosti mezi hybnou silou a intenzitou toku hybnosti kondukcí (napětím) τ je látková vlastnost dynamická viskozita η. Výsledný vztah je Newtonův zákon pro viskozitu: τ = η dv dx. (1.20) Viskozita závisí zejména na teplotě a složení. U kapalin viskozita s teplotou klesá, u plynů roste. Vedení tepla V tepelné rovnováze je všude stejná teplota. Odchylku od rovnováhy, tedy hybnou sílu přenosu tepla vedením, charakterizuje prostorová derivace teploty: hybná síla vedení tepla = gradient teploty = dt dx. (1.21) Teplo je přenášeno z místa s vyšší teplotou do místa s nižší teplotou. Koeficientem úměrnosti mezi hybnou silou a intenzitou toku tepla vedením q je látková vlastnost tepelná vodivost λ. Výsledkem těchto úvah je Fourierův zákon vedení tepla: q = λ dt dx. (1.22) Tepelná vodivost závisí zejména na teplotě a složení. Pro kapaliny tepelná vodivost s teplotou může klesat i růst (podle druhu látky), pro plyny roste. Difúze V koncentrační rovnováze je všude stejná koncentrace c. Odchylku od rovnováhy, tedy hybnou sílu přenosu hmoty difúzí, charakterizuje prostorová derivace koncentrace: hybná síla difuze = gradient koncentrace = dc dx. (1.23) Hmota je přenášena z místa s vyšší koncentrací do místa s nižší koncentrací. Koeficientem úměrnosti mezi hybnou silou a intenzitou toku hmoty složky A difúzí J A je látková vlastnost difúzní koeficient (difuzivita) D A. Toto lze formálně zapsat jako Fickův zákon difúze: J A = D A dc A dx. (1.24) Difuzivita závisí zejména na teplotě a složení směsi. Difuzivita s teplotou roste jak v kapalinách, tak v plynech. Přenos veličin prouděním Při proudění se přemíst uje hmota. Přemíst uje-li se hmota, nutně se zároveň přemíst ují extenzivní veličiny s hmotou spojené. Přemíst ování hmoty charakterizujeme hmotnostním tokem ṁ, molárním tokem ṅ a objemovým tokem V. Hmotnostní tok ṁ je hmotnost m, která za jednotku času projde předem definovanou plochou A: ṁ = m τ = Vρ = hmotnostní tok. (1.25)

15 1.5. METODY CHEMICKÉHO INŽENÝRSTVÍ 15 Intenzita hmotnostního toku Φ je hmotnost m, která za jednotku času projde jednotkou plochy. Je to rychlost pohybu (proudění) hmoty v násobená specifickou hmotností ρ (hustotou): Φ = ṁ A = Vρ hmotnostní tok = = intenzita hmotnostního toku. (1.26) A plocha Molární tok ṅ je látkového množství hmoty, které za jednotku času projde předem definovanou plochou A: ṅ = n t = Vc = molární tok. (1.27) Intenzita molárního toku J je látkové množství n, které za jednotku času projde jednotkou plochy. Je to rychlost pohybu (proudění) hmoty násobená specifickým látkovým množstvím c (celkovou molární koncentrací): J = ṅ A = Vc molární tok = = intenzita molárního toku. (1.28) A plocha Objemový tok V je velikost objemu hmoty V, který za jednotku času projde předem definovanou plochou A: V = V t = objemový tok. (1.29) Intenzita objemového toku J V je definována jako objem hmoty V, který za jednotku času projde jednotkou plochy. Je to vlastně rychlost pohybu (proudění) hmoty: J V = V objemový tok = v = = intenzita objemového toku = rychlost. (1.30) A plocha 1.5 Metody chemického inženýrství Postup řešení úloh chemického inženýrství Postup chemického inženýra při řešení daného problému vychází ze tří základních bodů: 1) vytvoření fyzikálního modelu, tj. představy o tom, jak je systém strukturován na podsystémy, které procesy budou v jednotlivých částech probíhat, a tedy jaké jednotkové operace bude třeba použít. Při tom je nutné zahrnout řadu zjednodušujících předpokladů, aby další postup byl schůdný a jeho složitost přiměřená požadavkům zadání, 2) vytvoření matematického modelu jako kvantitativního způsobu formulace fyzikálních představ, 3) řešení tohoto modelu, které podle složitosti může být ruční, či mnohem častěji pomocí počítačové techniky a vhodného programového vybavení. Při tomto postupu používáme fyzikální veličiny a rovnice, teorii kontinua, bilanční rovnice, rovnovážné vztahy a rychlostní (transportní a kinetické) vztahy. Formulace modelu se často opírá o použití bezrozměrných kritérií podobnosti a kriteriálních rovnic. Zde uvedeme pouze hlavní rysy chemicko-inženýrského přístupu.

16 16 KAPITOLA 1. ÚVOD Pro kvantitativní popis velikosti, tvaru, polohy, vlastností a stavu systémů se používají fyzikální veličiny, které mají dvě části, hodnotu a jednotku. Veličiny mohou být bud extenzivní nebo intenzivní. První typ veličiny je úměrný velikosti (rozsahu) systému, druhý na velikosti nezávisí. Příkladem extenzivních veličin jsou hmotnost, látkové množství, plocha, objem, energie, hybnost. Příkladem intenzivních veličin je teplota, tlak, hustota, rychlost, různá vyjádření složení směsi. Mnoho typů intenzivních veličin lze odvodit z extenzivních veličin tak, že je vztáhneme na vhodně vybranou srovnávací extenzivní veličinu, viz kap Běžné systémy v chemickém inženýrství jsou ve své podstatě makroskopické a při jejich popisu se vychází z teorie kontinua, tj. z představy, že matematický popis pomocí diferenciálního (infinitezimálního) počtu lze použít, i když dobře víme, že hmota se v mikroměřítku skládá z molekul a jiných diskrétních částic. Základním předpokladem však je, že minimální velikost podsystému, kterou můžeme uvažovat při spojitém popisu, je o mnoho řádů větší než velikost částic hmoty a zároveň o mnoho řádů menší než charakteristická velikost celého systému. Takový minimální podsystém se nazývá částice kontinua. Dva typy fyzikálních modelů se vyskytují napříč celým chemickým inženýrstvím. Ideální mísič je systém, v němž v jakémkoli daném čase jsou intenzivní veličiny popisující systém stejné v libovolném místě. Ideální promíchávání v průtočném systému je také možné charakterizovat pomocí teorie kontinua: různé částice kontinua mají různé doby prodlení v systému a distribuce dob prodlení je exponenciální. Toto je mezní případ, kterému se mohou v praxi blížit dobře promíchávané systémy (nádoby s míchadly, např. míchané reaktory a extraktory). Opačným mezním modelem je systém s pístovým tokem, ve kterém všechny částice kontinua mají stejnou dobu prodlení. V praxi se tomuto meznímu případu může blížit turbulentní tok tekutiny trubkou nebo jiným zařízením, které má tvar dostatečně dlouhého válce (trubkové reaktory, separační kolony). Reálný systém je možné popsat bud pomocí kaskády ideálních mísičů anebo tokem s podélným promícháváním. Mezi rovnicemi, které se používají v chemickém inženýrství mají základní postavení bilanční rovnice, které vycházejí ze zákona zachování základních extenzivních veličin, jako jsou hmota, energiea hybnost. Hmotnostní bilance směsi a jednotlivých složek v celém systému či podsystémech poskytují vztahy mezi hmotnostmi a složením v různých částech systému, energetická bilance slouží k určení spotřeby energie nebo rozložení teploty v systému, bilance hybnosti vede k popisu proudění tekutin a slouží k určení rozložení tlaku a rychlosti v systému. Rovnovážné vztahy popisují vlastnosti systému, který je v termodynamické rovnováze. To se týká přísně vzato pouze izolovaných systémů v ustáleném stavu. V praxi je však často možné předpokládat přibližné ustavení rovnováhy i v systémech, které vyměňují hmotu či energii s okolím, což platí tehdy, když charakteristický čas přechodu do rovnováhy je kratší než charakteristický čas řídícího (tj. nejpomalejšího) děje v systému, např. charakteristický čas setrvání hmoty v systému. Toho lze využít zejména v souvislosti s difuzními separačními procesy ve stupních, kde lze mnohdy předpokládat přibližné ustavení fázové rovnováhy. Někdy lze předpokládat i ustavení chemické rovnováhy v reaktorech. Rychlostní vztahy popisují rychlost transportních procesů (sdílení hybnosti, energie či hmoty) nebo rychlost chemických procesů a jsou důležité tehdy, když v systému nenastávají podmínky blízké termodynamické rovnováze. Rychlost těchto procesů je mírou vzdálenosti systému od termodynamické rovnováhy, a pokud v systému není dostatečný čas na ustavení rovnováhy, je nutné uplatnit rychlostní vztahy. Týká se to zejména výměny tepla, výměny hmoty při separaci v zařízeních, která nemají stupně a průtočných chemických reaktorů. Další vztahy se někdy označují jako dodatečné rovnice, a patří sem různé fyzikální rovnice, např. stavová rovnice, rovnice pro vyjádření síly působící v gravitačním či jiném poli a dále různé definiční vztahy.

17 1.5. METODY CHEMICKÉHO INŽENÝRSTVÍ Bezrozměrná kritéria podobnosti Některé chemicko-inženýrské problémy jsou velmi složité a současné lidské poznání není dostatečné pro jejich úplný fyzikálně-matematický popis, nebo je řešení úplného fyzikálněmatematického popisu neúnosně výpočetně náročné. V těchto případech se často používá popis empirický. Pro využití a vhodné uspořádání empirických poznatků byly vytvořeny různé teorie, zejména rozměrová analýza a teorie podobnosti. Tyto teorie zde nejsou diskutovány, avšak je důležité seznámit se s jejich hlavními závěry. Základní myšlenkou je, že pokud jsou různé systémy navzájem podobné, stačí popsat jeden z nich, a k popisu ostatních stačí použít jednoduchých přepočtů na základě vhodných definic. Jak určit, zdali jsou systémy podobné? K tomu používáme bezrozměrná kritéria podobnosti. Rozlišujeme geometrickou a fyzikální podobnost. Pokud srovnávané systémy mají jeden geometrický rozměr a tvar, pak bez ohledu na velikost jsou si geometricky podobné, např. všechny koule. Pokud systémy mají stejný tvar, ale dva geometrické rozměry (např. válce), jsou si podobné, když poměr těchto rozměrů, tzv. geometrický simplex (geometrické kritérium podobnosti), je stejný. U systémů se třemi rozměry požadujeme shodnost dvou simplexů, atd. Např. při popisu proudění vnitřkem kruhové trubky potřebujeme tři rozměry: vnitřní průměr d, délku trubky L a tzv. absolutní drsnost ε, která charakterizuje průměrnou hloubku nerovností na vnitřních stěnách trubky. K popisu potřebujeme dva simplexy: poměr průměru a délky d/l a tzv. relativní drsnost ε R = ε A /d. Fyzikální podobnost se opírá o bezrozměrnou kombinaci veličin, které charakterizují také fyzikální a dynamické vlastnosti srovnávaných systémů, např. součin vhodně definované, tzv. charakteristické rychlosti a velikosti podělený charakteristickou kinematickou viskozitou vl/ν. Taková kombinace se nazývá bezrozměrné kritérium podobnosti 1 (komplex), v uvedeném příkladě jde o Reynoldsovo kritérium Re = vl/ν. Systémy jsou podobné, pokud jsou jejich geometrická i fyzikální kritéria podobnosti stejná. Experimentální poznatky získané na nějakém systému lze bez potíží aplikovat na jiný systém pouze v případě, kdy jsou systémy navzájem podobné, s opatrností pak na systém, pro který se kritéria podobnosti liší málo. V kapitolách o hydrodynamických procesech se blíže seznámíme s již zmíněným Reynoldsovým kritériem (Re), relativní drsností a poměrem mezi délkou a průměrem, a dále se součinitelem odporu, součinitelem tření a příkonovým kritériem (Po). V kapitolách o sdílení tepla narazíme například na kritérium Pécletovo (Pe), Prandtlovo (Pr), Grashofovo (Gr) a Nusseltovo (Nu). V popisu sdílení hmoty se pak často používají kritéria jako difúzní Pécletovo (Pe D ), Schmidtovo (Sc) a Sherwoodovo (Sh). V chemickém inženýrství se používá běžně ještě asi deset dalších bezrozměrných kritérií. Pomocí teorie podobnosti a rozměrové analýzy lze určit, která kritéria podobnosti je třeba použít, a jakým způsobem uspořádat poznatky získané experimenty nebo řešením matematických modelů. Znalosti o složitých systémech pak zjednodušeně vyjadřujeme pomocí kriteriálních rovnic, ve kterých vyjadřujeme závislost určitého bezrozměrného kritéria na jiných. Je nutno zdůraznit, že kriteriální rovnice neplatí obecně, vždy musí být doprovázeny informací, za jakých podmínek byly určeny a v jakém rozsahu hodnot bezrozměrných kritérií jsou přiměřeně přesné. 1 Bezrozměrná kritéria podobnosti zapisujeme v rovnicích stojatě, nikoli kurzívou, abychom je odlišili od běžných proměnných. Například Re tedy značí Reynoldsovo kritérium, kdežto Re představuje součin běžných proměnných R a e (odpor a měrná energie).

18 Kapitola 2 Základy bilancování Petr Kočí, Lenka Schreiberová, Milan Jahoda, Dalimil Šnita Bilance je důležité slovo v přírodních a technických disciplínách. Je to vlastně účetnictví technických a přírodních věd. Vyjadřuje naši představu o kvantitativním uspořádání věcí v prostoru a čase. V chemickém inženýrství jsou důležité především materiálové bilance, které se užívají např. pro výpočet hodnot veličin při návrhu výroby nebo veličin, které nelze měřit (např. z technologických důvodů), při kontrole výroby (ztráty či účinnost), řízení procesů (např. dávkování surovin) atd. Bilancované veličiny Bilancovat lze extenzivní veličiny, mezi které patří např. celková hmotnost m (hmotnost směsi), hmotnost složky m i, celkové látkové množství n (počet molů směsi), látkové množství složky n i, hybnost mv, energie E a entalpie H. Uved me si příklad jednoduché bilance. Smísíme-li 0,9 kg vody a 0,1 kg kuchyňské soli, získáme 0,9+0,1 = 1 kg roztoku NaCl. Jedná se o bilanci hmotnosti. Uved me příklad nesprávné, absurdní bilance. Smísíme 1 kg vody o teplotě 25 C a 1 kg vody o teplotě 50 C. Výsledná teplota je = 75 C? Teplota patří mezi intenzivní veličiny, které takto přímo bilancovat nelze. Jaká bude výsledné teplota těchto dvou kilogramů vody je otázka ne zcela jednoduchá, s přiměřenou přesností však na ni můžeme získat odpověd za použití bilance entalpie. Jiný příklad absurdní bilance. Smísíme jednu hromadu písku s druhou hromadou písku. Kolik hromad písku získáme? To, že jakékoli množství písku může být uspořádáno do jedné či více hromad je informace kvalitativní. Odpověd není jednoznačná a takové úlohy nepatří do problému bilancování. Bilancování se týká kvantity, velikosti či množství. Bilanční systém Množství bilancované veličiny bilancujeme v bilančním systému. V přírodních a technických vědách obecně definujeme bilanční systémy tak, že část světa vymezíme od zbytku světa (okolí bilančního systému) skutečným nebo myšleným rozhraním (hranicí bilančního systému). V chemickém inženýrství je bilančním systémem část prostoru, ve kterém se odehrává sledovaný proces, např. jedno zařízení (reaktor, sušárna, filtr, odparka apod.), soustava zařízení (výrobní linka, více vzájemně propojených zařízení), část zařízení nebo pomyslný diferenciální objem uvnitř zařízení. Hranice systému mohou být reálné (např. stěny zařízení), nebo pomyslné. Na obr. 2.1 jsou pomyslné hranice vyznačeny přerušovanými čárami. Dále jsou hranice systému bud nepohyb- 18

19 19 a) b) c) Obr. 2.1: Příklady bilančních systémů. a) Soustava zařízení, otevřený systém, pomyslná hranice vymezuje dva aparáty. b) Pomyslná hranice určuje diferenciální objem. c) Reálná hranice systému shodná se stěnou aparátu livé (např. stěny zařízení), nebo pohyblivé (např. povrch tekoucí kapky). Otevřený systém vyměňuje hmotu nebo energii s okolím, hranice systému jsou propustné. Bilancované veličiny vstupují do systému vstupními proudy a ze systému do okolí odcházejí proudy výstupními. Pokud systém nevyměňuje hmotu s okolím, jedná se o systém uzavřený. V případě, že systém s okolím nevyměňuje hmotu ani energii, jedná se o systém izolovaný. Hranice systému volíme podle účelu výpočtu. Strukturu systému pro bilancování vyjadřujeme pomocí blokového(proudového, bilančního) schématu. Blokové schéma vystihuje strukturu systému a uzly představují jednotlivá zařízení nebo skupiny zařízení. Uzly jsou propojeny proudy. Prostřednictvím proudů popisujeme všechny nezanedbatelné interakce uzlu s okolím a/nebo jinými uzly. Příkladem proudu může být např. trubka, kterou se dopravují bilancované látky (abstraktněji, bilancované extenzivní veličiny) z jednoho uzlu do uzlu jiného. Proud se graficky většinou zobrazuje jako rovná nebo lomená čára spojující uzly označená šipkou směřující do uzlu, do kterého vstupuje. Zde budeme předpokládat, že vlastnosti proudu se nemění podél jeho délky, tedy co vstupuje na začátku proudu, to okamžitě vystupuje na konci proudu. Ukázky nejčastěji užívaných uzlů jsou na obr. 2.2 a jejich základní uspořádání jsou uvedena na obr Procesní uzel Směšovač Prostý dělič Obr. 2.2: Příklady bilančních uzlů. Procesní uzel: minimálně jeden vstupní a jeden výstupní proud, např. zásobník, trubkový reaktor, absorbér, extraktor, kontinuální sušárna. Směšovač: alespoň dva vstupní a jeden výstupní proud. Prostý dělič: jeden vstupní a alespoň dva výstupní proudy(neprobíhá žádný proces, všechny výstupní proudy mají stejné vlastnosti, např. složení nebo teplotu) Při bilančních výpočtech budeme užívat dva typy proudů: reálné a fiktivní. Reálnými proudy jednotlivé materiály skutečně vstupují nebo vystupují dovnitř nebo ven ze studovaného systému. Fiktivní proudy nepředstavují skutečné vstupy či výstupy, představují pouze náhradní popis změn odehrávajících se uvnitř systému. Materiály v jednotlivých proudech mohou být tvořeny více složkami pak nás zajímá složení směsi, tedy obsah jednotlivých složek v proudu. V chemických reakcích některé složky zanikají a některé vznikají. Tento děj můžeme popsat bud jako zdroj složky uvnitř systému (vznik = kladný zdroj, zánik = záporný zdroj),

20 20 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ Dopředný obtok Recykl (zpětný obtok) Souproud Protiproud Křížový tok Obr. 2.3: Příklady uspořádání bilančních uzlů nebo jej nahradit pomocí reakčních fiktivních proudů, kdy zánik reaktantů nahrazujeme výstupním fiktivním proudem, zatímco vznik produktů nahrazujeme vstupním fiktivním proudem. Fiktivními proudy může vstupovat/vystupovat hmotnost či látkové množství složek, ale také např. entalpie (viz kapitola 7). Fiktivními proudy lze také popsat rozdíl mezi počátečním a koncovým množstvím bilancované veličiny uvnitř systému, pak hovoříme o akumulačních fiktivních proudech. Z pohledu bilance můžeme počáteční množství veličiny uvnitř zařízení nahradit fiktivním vstupujícím proudem a konečné množství veličiny uvnitř zařízení pak fiktivním vystupujícím proudem. Obr.2.4: Příklad bilančního schématu s více uzly a fiktivními proudy. Uzly: I mísič, II reaktor, III separátor, IV dělič, V zásobník. Proudy: 1 surovina, 2 vstup reakční směsi do reaktoru, 3 výstup reakční směsi z reaktoru, 4 výstup ze separátoru obohacený o produkty, 5 výstup ze zásobníku, 6 výstup ze separátoru ochuzený o produkty, 7 odpad, 8 vratný proud (recykl), 9 fiktivní proud reaktantů, 10 fiktivní proud produktů, 11 fiktivní proud představující konečné množství v zásobníku, 12 fiktivní proud představující počáteční množství v zásobníku Příklad složitějšího bilančního schématu je uveden na obrázku 2.4. Uzly značíme římskými číslicemi, proudy arabskými číslicemi. Pro odlišení od reálných proudů se reakční fiktivní proudy označují dvojitým přeškrtnutím a akumulační fiktivní proudy se obvykle zakreslují jako přeškrtnuté jednou čarou 1. V kapitole 7 (Bilance entalpie) se navíc setkáme ještě 1 U reakčních fiktivních proudů se dvojité přeškrtnutí dodržuje důsledně. Naproti tomu u akumulačních fiktivních proudů se v praxi u některých schémat můžeme setkat s tím, že se jednoduché přeškrtnutí vynechává, nebot toto označení nemá vliv na řešení ani výsledek úlohy.

21 2.1. BILANCE ZA KONEČNÉ BILANČNÍ OBDOBÍ 21 s nehmotnými tepelnými proudy, které se zakreslují přerušovanou čarou. V průmyslové praxi mohou bilanční úlohy pro celý provoz zahrnovat stovky proudů, uzlů a složek. Takové úlohy se řeší pomocí vhodných programů na počítačích. Bilanční období Bilancujeme za definované bilanční období vymezené dvěma časovými údaji, které určují začátek bilančního období (počáteční čas) a konec bilančního období (koncový čas). Může se jednat o přesně stanovený časový interval, např. rok, měsíc, hodina, minuta, či sekunda. Takové období nazýváme konečným bilančním obdobím. Druhým důležitým typem bilančního období je diferenciální, tj. velmi krátké (nekonečně malé) období dτ následující za definovaným časem τ. Všechny členy bilanční rovnice jsou pak velmi malé. Vydělíme-li však všechny tyto členy touto malou délkou bilančního období, získáme členy vztažené na jednotku času, lokalizované v čase. Vstupní a výstupní veličiny v takovém případě označujeme tečkou nad písmenem a hovoříme o toku dané veličiny, například ṅ (tok látkového množství, jednotka mol s 1 ) a ṁ (hmotnostní tok, jednotka kg s 1 ). V některých případech není konkrétní podoba bilančního období definovaná. Pokud bilanční rovnice neobsahují členy závisející na čase, platí obecně a pak stačí vyřešit problém pro jakékoliv zvolené bilanční období. 2.1 Bilance za konečné bilanční období Základní bilanční rovnici pro obecnou bilancovanou veličinu B (v případě materiálových bilancí se obvykle jedná bud o látkové množsví n, nebo hmotnost m) zapíšeme ve tvaru: počáteční množství + součet vstupů + součet zdrojů = konečné množství + součet výstupů B poč + nebo v jednodušší formě: vstupy j B j + zdroje j B j = B kon + výstupy j B j vstup + zdroj = výstup + akumulace vstupy j B j + zdroje j B j = výstupy j B j + (B kon B poč ) Počáteční množství je množství bilancované veličiny, které se nachází v bilančním systému v okamžiku začátku bilančního období. Konečné množství je množství bilancované veličiny, které se nachází v bilančním systému v okamžiku konce bilančního období. Akumulace je množství bilancované veličiny, které přibude uvnitř systému v průběhu bilančního období. Typickým příkladem je plnění zásobníku, který byl na počátku bilance poloprázdný a na konci plný. Akumulaci vyjádříme tak, že od množství bilancované veličiny uvnitř bilančního systému v okamžiku konce bilančního období odečteme množství v okamžiku začátku bilančního období: akumulace = konečné množství počáteční množství = B kon B poč

22 22 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ Jiné slovo pro akumulaci je např. přírůstek. Akumulace může mít kladnou, nulovou nebo zápornou hodnotu. Pokud množství bilancované veličiny uvnitř systému ubývá, je akumulace záporná (například při vyprazdňování zásobníku). Absolutní hodnotu záporné akumulace můžeme nazvat úbytkem. V případě, že se stav systému nemění v čase, říkáme, že systém je v ustáleném (stacionárním) stavu a akumulace je nulová. Vstup je množství bilancované veličiny, které se v průběhu bilančního období přemístí z okolí bilančního systému přes hranice dovnitř bilančního systému. V bilančních rovnicích představuje vstup často souhrnnou veličinu, která je tvořena součtem dílčích vstupů. Výstup je množství bilancované veličiny, které se během bilančního období přemístí z bilančního systému přes hranice do okolí bilančního systému. V bilančních rovnicích představuje výstup často souhrnnou veličinu, která je tvořena součtem dílčích výstupů. Někdy nejsou ve formálním zápisu bilancí výstupy uvedeny zvlášt, ale bývají zahrnuty mezi vstupy se záporným znaménkem. Zdroj je množství bilancované veličiny, které v bilančním systému během bilančního období vznikne(kladný zdroj) nebo zanikne(záporný zdroj), např. hmotnost nějaké sloučeniny může vznikat chemickými reakcemi za současného zániku jiné či jiných sloučenin. V bilančních rovnicích představuje zdroj často souhrnnou veličinu, která je tvořena součtem dílčích zdrojů. 2.2 Bilance za diferenciální bilanční období V praxi se často setkáváme s případy, kdy se stav bilancované veličiny uvnitř bilancovaného systému mění v průběhu času. Proces je neustálený a musíme bilancovat za diferenciální(velmi krátké, infinitezimální) bilanční období dτ. Podobně, pokud se stav bilancované veličiny mění uvnitř aparatury v závislosti na místě, musíme pro bilancování volit systémy o diferenciální velikosti, viz obr. 2.1b. Při bilancích za diferenciální bilanční období vydělíme všechny členy základní bilanční rovnice velmi krátkou délkou bilančního období dτ. Získáme bilanci vztaženou na jednotku času: vstup za jednotku času + zdroj za jednotku času = výstup za jednotku času + akumulace za jednotku času Rozsah procesu, který probíhá po nějakou dobu dτ, můžeme kvantitativně charakterizovat pomocí změny množství bilancované veličiny db, která je tímto procesem způsobena. Rychlost procesu je pak definována jako rozsah procesu za jednotku času. Rychlost akumulace je akumulace za jednotku času. Vstup, výstup a zdroj můžeme také vyjádřit za jednotku času jako rychlost vstupu (přítok veličiny), rychlost výstupu (odtok veličiny) a rychlost zdroje. Bilanční rovnici pro diferenciální bilanční období dτ pak můžeme vyjádřit ve tvaru: přítok + rychlost zdroje = odtok + rychlost akumulace vstupy j Ḃ j + zdroje j Ḃ j = výstupy j Ḃ j + db dτ Pokud se stav bilancovaného systému nemění v čase, tj. systém je v ustáleném stavu, pak je rychlost akumulace nulová ( db dτ = 0), čímž se bilanční rovnice zjednoduší z diferenciální na algebraickou.

23 2.3. VZTAHY PRO MATERIÁLOVÉ BILANCE Vztahy pro materiálové bilance V materiálových bilancích bilancujeme bud hmotnost m (popřípadě hmotnostní tok ṁ) při hmotnostní bilanci, nebo látkové množství n (popřípadě látkový molární tok ṅ) při látkové bilanci. Stejně bychom postupovali při objemových bilancích, které jsou však méně časté z důvodu možných objemových změn, které mohou nastat případnou změnou teploty, tlaku a směšováním nebo oddělováním složek. Složky jsou látky, které bilancujeme, např. voda, vzduch, kyslík, popel, OH, tj. sloučeniny, směsi sloučenin, prvky, ionty. Volba složek v bilančním systému je velmi důležitá. Rozhoduje účelnost z hlediska bilančních výpočtů. Někdy je užitečné redukovat počet složek tak, že zanedbáme látky přítomné v nepatrných množstvích. Příkladem může být suchý vzduch. Vzduch může být samostatnou složkou, která do systému vstupuje a následně ze systému vystupuje, aniž by se změnilo jeho chemické složení, např. u konvekčního sušení. Vzduch se však může dělit na složky, nejčastěji na kyslík a dusík, jejichž obsah je ve vzduchu největší. Při zanedbání ostatních plynů pak předpokládáme, že vzduch tvoří objemově i molárně 79 % dusíku a 21 % kyslíku (odpovídající hmotnostní složení je 76,7 % dusíku a 23,3 % kyslíku). Rozdělení vzduchu na složky kyslík a dusík děláme např. při spalování, kdy do systému přichází vzduch, ale dochází k reakci mezi vzdušným kyslíkem a složkou, kterou spalujeme, např. uhlíkem. Redukci počtu složek nelze dělat v případech, kdy jsou tyto složky (látky) důležité i v malých množstvích, např. chemické katalyzátory a inhibitory, katalytické či obecné jedy, látky velmi drahé či nebezpečné, látky, které se mohou nějakým procesem koncentrovat a hromadit Vyjadřování složení směsí Každý proud v bilančním systému obsahuje jednu nebo více složek, které tvoří směs. Pro účely bilancování je důležité vyjádření složení směsí. Jedním z obvyklých způsobů je použití hmotnostních zlomků a hmotnostních procent: w i = m NS i m, m = m i, i=1 N S w i = 1, (2.1) i=1 kde w i je hmotnostní zlomek i-té složky, m i je hmotnost i-té složky, m je hmotnost směsi a N S je počet složek. Řekneme-li, že směs obsahuje např. 55 % (hm.) nějaké složky, znamená to, že hmotnostní zlomek této složky je roven 0,55. Mezinárodní označení pro hmotnostní procenta je %(wt.). Ve speciálních případech je užitečné pracovat s relativními hmotnostními zlomky. W i = m i m iref, (2.2) kde W i je relativní hmotnostní zlomek i-té složky vzhledem k referenční složce i ref, m i je hmotnost i-té složky a m iref je hmotnost referenční složky i ref. Jako referenční složku obvykle volíme inert, tedy tu část směsi, jejíž množství se při průchodu zařízením nemění. Dalším z obvyklých způsobů je použití molárních zlomků a molárních procent: x i = n NS i n, n = n i, i=1 N S x i = 1, (2.3) i=1 kde x i je molární zlomek i-té složky, n i je látkové množství i-té složky, n je látkové množství směsi a N S je počet složek. Řekneme-li, že směs obsahuje např. 55 % (mol.) nějaké složky,

24 24 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ znamená to, že molární zlomek této složky je roven 0,55. Podobně jako u hmotnostních zlomků je ve speciálních případech užitečné pracovat s relativními molárními zlomky: X i = n i n iref, (2.4) kde X i je relativní molární zlomek i-té složky vzhledem k referenční složce i ref, n i je látkové množství i-té složky a n iref je látkové množství referenční složky i ref. Dalším z obvyklých způsobů je použití hmotnostních koncentrací, které jsou někdy nazývány parciálními hustotami: ρ i = m i V, N S ρ i = m V = ρ, (2.5) i=1 kde ρ i je hmotnostní koncentrace (parciální hustota) i-té složky, V je objem směsi, m i je hmotnost i-té složky, m je hmotnost směsi, ρ je hmotnostní koncentrace (hustota) směsi, a N S je počet složek. Dalším z obvyklých způsobů je použití molárních koncentrací, které jsou někdy nazývány molaritami: c i = n NS i V, c i = n V = c, (2.6) i=1 kde c i je molární koncentrace i-té složky V je objem směsi, n i je látkové množství i-té složky n je látkové množství směsi c je celková molární koncentrace směsi a N S je počet složek. V případě, že v systému jsou zachovávany objemy složek, je často užitečné použití objemových zlomků a objemových procent: ϕ i = V NS i V, V = V i, i=1 N S ϕ i = 1, (2.7) i=1 kde ϕ i je objemový zlomek i-té složky, V i je objem i-té složky, V je objem směsi a N S je počet složek. Řekneme-li, že směs obsahuje např. 55 % (obj.) nějaké složky, znamená to, že objemový zlomek této složky je roven 0,55. Mezinárodní označení pro objemová procenta je % (vol.). V případě ideální směsi ideálních plynů platí, že objemové a molární zlomky jsou totožné (x i = ϕ i ) Přepočty složení směsí U směsi, která obsahuje N S složek, provádíme přepočet molárních zlomků na hmotnostní zlomky podle rovnice: w i = x im i M, M = N S x i M i (součet přes všechny složky) (2.8) i =1 ZdeM i jemolárníhmotnosti-tésložky,m jestřednímolárníhmotnostcelésměsi,x i jemolární zlomek i-té složky a w i je hmotnostní zlomek i-té složky. Přepočet obráceným směrem, tedy z hmotnostních zlomků na molární provádíme podle rovnice: x i = w / NS i M, M = 1 M i w i M i i =1 (součet přes všechny složky) (2.9)

25 2.3. VZTAHY PRO MATERIÁLOVÉ BILANCE 25 Mezi často používané přepočtové vztahy patří také m = Mn, m i = M i n i, ρ i = ρw i, c i = cx i (2.10) Zdemjehmotnostcelé směsi, njelátkové množství celésměsi, m i jehmotnosti-té složky, n i je látkové množství i-té složky, ρ i je hmotnostní koncentrace (parciální hustota) i-té složky, ρ je celková hustota směsi, c i je molární koncentrace i-té složky a c je celková molární koncentrace směsi Doporučený postup při materiálové bilanci 1. Nakreslíme bilanční schéma a označíme uzly (obvykle římskými číslicemi) a proudy (obvykle arabskými číslicemi). Uzly mohou zahrnovat více zařízení, pokud není předmětem výpočtu složení vnitřních proudů, které by se ocitly uvnitř uzlu. 2. Počáteční množství uvnitř systému nahradíme fiktivním vstupním proudem a koncové množství uvnitř systému nahradíme fiktivním výstupním proudem. 3. Probíhají-li v procesu chemické reakce, zapíšeme všechny stechiometrické rovnice včetně všech produktů. Pozor, některé produkty nemusí být v zadání explicitně uvedeny. 4. Ke každé chemické rovnici přiřadíme bud jeden rozsah reakce, nebo dvojici fiktivních reakčních proudů, které dokreslíme do schématu, jak je popsáno v kapitole 2.5. Nikdy nemícháme oba způsoby dohromady! 5. Definujeme všechny složky, které se v procesu vyskytují. Složkou může být i látka nedefinovaná přesně z chemického hlediska, např. inert, popel, nečistota apod. 6. Rozhodneme, zda budeme bilancovat hmotnost, nebo látkové množství (případně jejich toky). Volíme podle údajů dostupných v zadání a požadovaných výsledků. Pokud se v úloze vyskytují látky bez konkrétního chemického složení (například nečistoty), bilancujeme obvykle hmotnost. 7. Přepočítáme údaje ze zadání na veličiny, ve kterých budeme bilancovat. Důsledně používáme molární zlomky při bilanci látkového nožství, hmotnostní zlomky při bilanci hmotnosti. Pokud je nutné přepočítat složení směsi, použijeme vztahy (2.8) (2.9). 8. Pokud jsme se rozhodli použít pro reakce fiktivní proudy, vyčíslíme jejich složení. 9. Všechny údaje zapíšeme v přehledné formě do tabulky matice zadání. Zapisujeme i nulové veličiny. Neznámé veličiny označíme příslušnými symboly. Pokud není ve vstupních datech zadáno ani u jednoho proudu celkové množství či množství složky, zvolíme základ výpočtu, což je množství jednoho vhodně vybraného proudu. Z matice zadání musí jasně vyplývat, které hodnoty jsou zadány a které hodnoty jsou neznámé. Označíme hodnoty, které jsou předmětem výpočtu. 10. Pro zvolený bilanční systém spočítáme z matice zadání počet neznámých a zjistíme, zda máme k dispozici stejný počet použitelných rovnic. V závislosti na počtu složek N S máme pro každý uzel obvykle k dispozici N S nezávislých bilančních rovnic 2 a k tomu dodatečné vztahy. Pokud je mezi neznámými celková hmotnost či látkové množství 2 Výjimkou je například prostý dělič, který má shodné složení všech proudů, a proto u něj můžeme zapsat pouze jednu nezávislou bilanci.

26 26 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ jednoho či více proudů, využijeme obvykle 1 celkovou bilanci a (N S 1) složkových bilancí. V případě, že jsou známy hmotnosti či látková množství všech proudů, využijeme N S složkových bilancí. Dodatečnými vztahy mohou být například: součet hodnot všech molárních či hmotnostních zlomků v daném proudu se rovná 1, definice přebytku, konverze, či výtěžnosti, případně vztahy plynoucí z vlastností fiktivních proudů (hmotnosti se sobě rovnají, látková množství jsou ve stechiometrickém poměru). Pro úspěšné řešení potřebujeme tolik nezávislých rovnic, kolik je neznámých. 11. Zapíšeme soustavu všech rovnic. 12. Řešíme získaný systém algebraických rovnic. Při postupném řešení začínáme přednostně u jednodušších lineárních rovnic s menším počtem neznámých. Udržujeme přesnost číselných mezivýsledků alespoň na čtyři platné číslice 3, abychom do výpočtu nezanášeli příliš velké zaokrouhlovací chyby. 13. Na závěr formulujeme odpovědi na zadané otázky. Zkontrolujeme, zda uvádíme odpovědi v požadovaných jednotkách. Pokud není požadavek na jednotky přímo uveden, uvádíme výsledky v jednotkách odpovídajících zadání. 2.4 Materiálové bilance bez chemické reakce Ukážeme si konkrétní použití obecných principů pro hmotnostní a látkové bilance za konečné období. Předpokládáme ustálený stav (rychlost akumulace je nulová) bez chemické reakce (zdrojový člen je nulový). Pokud se liší počáteční a koncové množství uvnitř bilančního systému, nahradíme je fiktivními vstupními a výstupními akumulačními proudy. Obecná bilanční rovnice se pak zjednoduší: součet vstupů = součet výstupů U separačních procesů jako je například destilace, extrakce atp. se pro vyjádření získaného množství žádané složky i zavádí výtěžnost Θ i [Théta]. Ta je definována jako poměr mezi množstvím látky i v odseparovaném výstupním proudu P (například destilátu, extraktu atp.) a množstvím látky i v nástřiku (surovině) F: Θ i = n i,p n i,f = m i,p m i,f (2.11) Uvedeme si ted tři konkrétní řešené příklady na materiálové bilance bez chemické reakce (P2.1, P2.2 a P2.3). Příklad P2.1: Bilance destilačního zařízení Zadání: V destilační aparatuře bylo zpracováno 10 kmol nástřiku obsahujícího 55 % (mol.) hexanu a 45 % (mol.) dekanu. Do zásobníku bylo zachyceno 5 kmol destilátu obsahujícího 90 % (mol.) hexanu. Jaké je látkové množství a složení destilačního zbytku? Řešení: Nakreslíme bilanční schéma, viz obr V tomto systému je jeden uzel (destilační aparatura), tři proudy (nástřik, destilát, zbytek) a dvě složky: A hexan (C 6 H 14 ), B dekan 3 Platné číslice se počítají zleva od první nenulové číslice. Např. číslo 0,0001 má jen jednu platnou číslici, zatímco 12,34 má čtyři platné číslice a 10,00 má také čtyři platné číslice.

27 2.4. MATERIÁLOVÉ BILANCE BEZ CHEMICKÉ REAKCE 27 Obr.2.5: Bilanční schéma: 1 nástřik, 2 destilát, 3 destilační zbytek (C 10 H 22 ). S ohledem na zadané veličiny a požadovaný výsledek rozhodneme, že budeme bilancovat látkové množství. Zadané údaje zaznamenáme do přehledné tabulky, tzv. matice zadání. Matice zadání: Proudy C 6 H 14 : x A 0,55 0,90 x A3 C 10 H 22 : x B 0,45 0,10 x B3 n (kmol) 10 5 n 3 Ve sloupcích jsou údaje týkající se jednotlivých proudů, v řádcích jsou molární zlomky jednotlivých složek a v posledním řádku látkové množství celého proudu. Ujistíme se, že složení je vyjádřeno ve správných zlomcích. Pokud by bylo zadáno například látkové množství a hmotnostní zlomky, museli bychom nejprve složení přepočítat podle vztahu (2.9). Před samotným výpočtem musíme zjistit, zda je úloha řešitelná, tj. zda jsme schopni sestavit právě tolik nezávislých rovnic, kolik je neznámých. Z tabulky zjistíme počet neznámých: v našem případě máme 3 neznámé (x A3, x B3 a n 3 ). Uzlem procházejí dvě složky (N S = 2), můžeme tedy zapsat dvě nezávislé bilanční rovnice. Protože mezi neznámými je celkové látkové množství, zapíšeme celkovou bilanci a k tomu (N S 1) = 1 složkovou bilanci: celk. bilance : n 1 = n 2 +n 3 bilance sl. A : n 1 x A1 = n 2 x A2 +n 3 x A3 Bilanční rovnice pro zbývající složku B můžeme získat vzájemnou kombinací výše uvedených rovnic(konkrétně odečtením bilance složky A od celkové bilance). Pro tři neznámé potřebujeme získat ještě jednu nezávislou rovnici, jíž je v tomto případě dodatečný vztah, který vyjadřuje, že součet zlomků v proudu číslo 3 je roven jedné: suma zl. proudu 3 : x A3 +x B3 = 1 V tuto chvíli máme tři nezávislé rovnice (dvě bilanční a jeden dodatečný vztah) a úloha protři neznámé je řešitelná. Dosazením známých hodnot do rovnic získáme soustavu: celk. bilance : 10 = 5+n 3 bilance sl. A : 10 0,55 = 5 0,90+n 3 x A3 suma zl. proudu 3 : x A3 +x B3 = 1 Nyní musíme soustavu vyřešit. Z celkové bilance vyjde n 3 = 5 kmol. Tuto hodnotu dosadíme do bilance složky A a získáme x A3 = 10 0,55 5 0,90 5 = 0,20 Po dosazení do rovnice vujadřující sumu složení proudu 3 pak vyjde x B3 = 1 x A3 = 0,80 Výsledek: Látkové množství destilačního zbytku je 5 kmol, jeho složení je 20 %(mol.) hexanu a 80 % (mol.) dekanu.

28 28 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ Příklad P2.2: Bilance přípravy směsi požadovaného složení Zadání: V zásobní nádrži je 300 kg kapalné směsi obsahující hmotnostně 10 % metanolu, 10 % etanolu a zbytek je voda. Máme k dispozici směs obsahující hmotnostně 90 % metanolu a 10 % etanolu. Dále máme k dispozici směs, která obsahuje hmotnostně 8 % etanolu a 92 % vody. Pak máme k dispozici ještě čistý etanol. Jaké hmotnosti uvedených směsí a čistého etanolu musíme přidat do zásobní nádrže, abychom získali 500 kg výsledné směsi, obsahující hmotnostně 20 % metanolu a 30 % etanolu? Obr.2.6: Bilanční schéma: 1 přídavek směsi metanol + etanol, 2 přídavek směsi etanol + voda, 3 přídavek čistého etanolu, 4 počáteční směs v nádrži, 5 konečná směs v nádrži Řešení: Nakreslíme bilanční schéma se všemi vstupními a výstupními proudy, viz obr V tomto systému je jeden uzel, pět proudů a tři složky: A metanol (CH 3 OH), B etanol (C 2 H 5 OH),C voda(h 2 O).Sohledemnazadanéveličiny apožadovaný výsledekrozhodneme, že budeme bilancovat hmotnost. Zadané údaje zaznamenáme do matice zadání: Proudy CH 3 OH : w A 0, ,1 0,2 C 2 H 5 OH : w B 0,1 0,08 1 0,1 0,3 H 2 O : w C 0 0,92 0 0,8 0,5 m (kg) m 1 m 2 m Ve sloupcích jsou údaje týkající se jednotlivých proudů, v řádcích jsou hmotnostní zlomky jednotlivých složek a v posledním řádku hmotnost celého proudu. U směsí v proudech 4 a 5 jsme ze zadaných údajů rovnou dopočetli hmotnostní zlomek vody (součet zlomků všech složek v daném proudu musí být roven jedné). Ujistíme se, že složení je vyjádřeno ve správných zlomcích. Pokud by byla zadána například hmotnost a molární zlomky, museli bychom nejprve složení přepočítat podle vztahů (2.8). Z této matice zjistíme, že máme tři neznámé. Pro tři složky lze sestavit tři nezávislé bilanční rovnice (např. jednu celkovou a dvě složkové), úloha je tedy řešitelná. celk. bilance : m 1 +m 2 +m = 500 bilance sl. A : m 1 0, ,1 = 500 0,2 bilance sl. C : m 1 0+m 2 0, ,8 = 500 0,5 Bilance složky C byla zvolena proto, že složka C se vyskytuje pouze ve třech proudech, zatímco složka B ve všech. Rovnice pro složku C je tedy jednodušší. Dosazením do bilance složky A získáme m 1 = 500 0, ,1 0,9 = 77,78 kg

29 2.4. MATERIÁLOVÉ BILANCE BEZ CHEMICKÉ REAKCE 29 Dosazením do bilance složky C získáme m 2 = 500 0, ,8 0,92 = 10,87 kg Dosazením do celkové bilance získáme m 3 = ,78 10,87 = 111,35 kg Výsledek: Musíme přidat 77,78 kg směsi metanol + etanol, 10,87 kg směsi etanol + voda, k tomu 111,35 kg čistého etanolu. Příklad P2.3: Bilance krystalizátoru Zadání: Roztok o hmotnostním průtoku 1000 kg/h obsahující 10 % (hm.) uhličitanu sodného ve vodě se mísí s recyklem. Takto vzniklá směs se přivádí do nepřetržitě pracující odparky. Získává se zahuštěný roztok obsahující 30 % (hm.) uhličitanu sodného, který je v dalším zařízení, v nepřetržitě pracujícím krystalizátoru, ochlazován a rozdělován na čisté krystaly dekahydrátu uhličitanu sodného a matečný roztok obsahující 20 % (hm.) uhličitanu sodného. Matečný roztok se dělí na dvě části, jedna z nich se vrací jako recykl, druhá se odvádí mimo systém. Jak velký musí být recyklující proud, aby výtěžnost krystalizace byla 90 %? a) b) Obr. 2.7: Bilanční schéma. a) Jednotlivé uzly, představující technologické kroky procesu, včetně vnitřních proudů: I mísič, II odparka, III krystalizátor, IV dělič, 1 surovina, 2 nástřik do odparky, 3 odpařená voda, 4 zahuštěný roztok, 5 produkt, 6 matečný roztok, 7 odpad, 8 vratný proud (recykl). b) Celkový systém, vzniklý spojením uzlů I IV, a vnější proudy Řešení: Nakreslíme bilanční schéma, viz obr Vzhledem k zadaným veličinám rozhodneme,že budemebilancovat hmotnost. Uhličitan sodnýna 2 CO 3 označíme jako látku A avodu H 2 OjakolátkuB.Dekahydrátuhličitanu sodnéhona 2 CO 3 10H 2 O=A 10Bpakpovažujeme za směs složek A a B o hmotnostním složení: w A5 = M A M A +10M B = = 0,3706, w B5 = 1 0,3706 = 0,6294 Tyto hodnoty spolu se zadanými údaji uspořádáme do matice zadání: i M i (kg/kmol) A 106 B 18 Proudy Na 2 CO 3 : w A 0,1 w A2 0 0,3 0,3706 0,2 0,2 0,2 H 2 O : w B 0,9 w B2 1 0,7 0,6294 0,8 0,8 0,8 ṁ (kg h 1 ) 1000 ṁ 2 ṁ 3 ṁ 4 ṁ 5 ṁ 6 ṁ 7 ṁ 8

30 30 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ Chceme vypočítat hmotnost 8. proudu. Kdybychom zvolili jako bilanční systém uzel IV, měli bychom 3 neznámé, ale pouze jednu použitelnou rovnici celkovou bilanci hmotnosti. Uzel IV je prostý dělič všechny proudy tedy mají stejné složení a bilance složek nelze použít. Musíme zvolit takový bilanční systém, pro který budeme mít dostatečný počet rovnic a řešením získáme hmotnost proudu 6 nebo 7. Takovým bilančním systémem je celý proces, viz čárkovaná hranice na obr. 2.7 vlevo a odpovídající zjednodušené schéma na obr. 2.7 vpravo. V celkovém systému máme pouze 3 neznámé (ṁ 3, ṁ 5 a ṁ 7 ) a k řešení stačí 3 rovnice. Pro dvě složky můžeme zapsat dvě nezávislé bilance a jednu další rovnici získáme dosazením do definice výtěžnosti Θ pro uhličitan sodný, viz rovnice (2.11): celk. bilance : 1000 = ṁ 3 +ṁ bilance sl. A : ,1 = ṁ 5 0,3706+ṁ 7 0,2 výtěžnost : Θ A = ṁ5w A5 ṁ 1 w A1 Z definice výtěžnosti získáme ṁ 5 = Θ Aṁ 1 w A1 = 0, ,1 = 242,8 kg h 1 w A5 0,3706 Dosazením do bilance směsi pro celý systém získáme: ṁ 3 = ,8 50 = 707,2 kg h 1 Dosazením do bilance látky A pro celý systém získáme: ṁ 7 = ,1 242,8 0,3706 0,2 = 50 kg h 1. Ještě potřebujeme získat hmotnost 6. proudu. Tu získáme bilancí uzlu III. V tomto bilančním systému máme 2 neznámé ṁ 4 a ṁ 6, takže postačí dvě bilanční rovnice: celk. bilance : ṁ 4 = 242,8+ṁ 6 bilance sl. A : ṁ 4 0,3 = 242,8 0,3706+ṁ 6 0,2 Z celkové bilance dosadíme do bilance složky A: (242,85+ ṁ 6 ) 0,3 = 242,8 0,3706+ṁ 6 0,2 ṁ 6 = 171,45 kg h 1 Nyní již můžeme bilancovat uzel IV, nebot zůstala pouze jedna neznámá, a to ṁ 8 : 171,45 = 50+ṁ 8 ṁ 8 = 121,45 kg h 1 Výsledek: Hmotnostní průtok v recyklujícím proudu musí být 121,45 kg h 1.

31 2.5. MATERIÁLOVÉ BILANCE S CHEMICKOU REAKCÍ Materiálové bilance s chemickou reakcí U materiálových bilancí s chemickou reakcí budeme bilancovat za konečné období, u průtočných systémů předpokládáme ustálený stav(akumulace je nulová). S bilancemi za diferenciální bilanční období se seznámíme v kapitole 15 (Chemické reaktory). Zdrojový člen v bilanci vyjádříme bud pomocí rozsahu reakce, nebo fiktivních reakčních proudů (nikdy ne současně obojí). Bilanční rovnice v tomto případě nabývá podobu: součet vstupů + součet zdrojů = součet výstupů Rovnici chemické reakce si nejdříve vyjádříme v obecném tvaru, podle níž z látek A a B (reaktanty čili výchozí látky) vznikají látky C a D (produkty) aa+bb cc+dd (2.12) kde a, b, c, d jsou stechiometrické koeficienty. Stechiometrické koeficienty zapisované v chemické rovnici jsou vždy kladné, zatímco ve výpočetních vztazích jsou stechiometrické koeficienty ν i (kde i je index složky) definovány jako záporné u reaktantů a kladné u produktů. V případě obecné chemické reakce uvedené výše je tedy ν A = a, ν B = b, ν C = +c, ν D = +d. NapříkladproreakciC 3 H 8 +5O 2 3CO 2 +4H 2 Ojsoustechiometrické koeficientyν A = 1, ν B = 5, ν C = +3 a ν D = +4. Rozsah reakce ξ [xí] nese informaci o tom, kolik molů reakčních obratů proběhlo. Základní jednotkou rozsahu reakce je tedy mol. Jedním reakčním obratem rozumíme jednu přeměnu molekul reaktanrů na molekuly produktů podle stechiometrie dané reakce. V případě obecné chemické rovnice (2.12) tedy jeden reakční obrat znamená, že zreagovalo a molekul reaktantu A s b molekulami reaktantu B, přičemž vzniklo c molekul produktu C a d molekul produktu D. Pokud podělíme počet takových reakčních přeměn Avogadrovou konstantou, dostaneme odpovídající vyjádřenív molech. Jeden mol reakčních obratů tedy vyjadřuje, že zreagovalo a molů reaktantu A s b moly reaktantu B, přičemž vzniklo c molů produktu C a d molů produktu D. Za konečné bilanční období je rozsah reakce ξ definován jako ξ = n i n i0 ν i, i = A,B,C,..., (2.13) kden i0 jepočáteční (vstupní)an i konečné (výstupní)látkové množství složky i.rozdíln i n i0 je tedy látkové množství složky i, které vzniklo reakcí. Všimněme si, že rozsah reakce reprezentuje reakci jako celek a nezávisí na tom, jakou složku použijeme k jeho vyčíslení. Pro vznikající produkt je rozdíl n i n i0 (výstup vstup) kladný a po vydělení kladným stechiometrickým koeficientem ν i dostaneme kladný rozsah reakce ξ. Pro spotřebovávané reaktanty je rozdíl n i n i0 (výstup vstup) záporný a po vydělení záporným stechiometrickým koeficientem dostaneme tentýž kladný rozsah reakce ξ. Obdobně se v průtočných systémech s molárními toky ṅ i a ṅ i0 zavádí rozsah reakce vztažený na jednotku času ξ, jehož základní jednotkou je mol s 1. Rozsah reakce lze výhodně využít při bilančních výpočtech pro vyjádření zdrojového členu. Pokud vynásobíme rozsah reakce stechiometrickým koeficientem bilancované složky i, dostaneme přímo její zdroj ve formě látkového množství n i : Zdroj látkového množství složky i v reakci = ν i ξ (2.14)

32 32 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ Zdroj složky je tedy kladný pro vznikající produkty, které mají kladný stechiometrický koeficient ν i, zatímco pro spotřebovávané reaktanty se záporným stechiometrickým koeficientem ν i je zdroj záporný. Pro bilancování látkového množství je důležitá také změna celkového počtu molů. Nejprve zjistíme, k jaké změně dojde při jednom molu reakčních obratů. Tuto informaci získáme prostým sečtením stechiometrických koeficientů všech reaktantů a produktů: složky i ν i = ν A +ν B +ν C +ν D +... (2.15) Například pro výše zmíněnou reakci C 3 H O 2 3 CO H 2 O je změna celkového počtu molů vztažená na jeden mol reakčních obratů ν i = = +1. Skutečnou změnu počtu molů, kterou dosazujeme jako zdroj do celkové látkové bilance, pak získáme po vynásobení aktuálním rozsahem reakce: Celkový zdroj látkového množství v reakci = složky i ν i ξ (2.16) Praktická ukázka vyjádření zdrojových členů látkového množství je uvedena v řešeném příkladu P2.4b. Pokud provádíme bilanci hmotnostní, je třeba zdroj látkového množství složky i vynásobit její molární hmotností M i, abychom dostali odpovídající zdroj hmotnosti m i : Zdroj hmotnosti složky i v reakci = M i ν i ξ (2.17) Zde je vhodné upozornit na to, že tabelované molární hmotnosti M i se uvádějí běžně v jednotkách gmol 1. Základní jednotkou hmotnosti m je ovšem kg, základní jednotkou rozsahu reakce ξ pak mol. Pokud tedy chceme pracovat v základních jednotkách, musíme převést molární hmotnost M i na kgmol 1, tedy například M O2 = 32 gmol 1 = 0,032 kgmol 1. V praktických bilančních výpočtech se však také často u látkového množství n a rozsahu reakce ξ pracuje místo základní jednotky mol s násobnou jednotkou kmol. V tom případě používáme pro vyjádření molární hmotnosti M i jednotky kgkmol 1, ve kterých je číselné vyjádření molární hmotnosti shodné s hodnotami M i tabelovanými v jednotkách gmol 1 (například M O2 = 32 gmol 1 = 32 kgkmol 1 ). Praktická ukázka takového vyjádření zdrojových členů hmotnosti je uvedena v řešeném příkladu P2.5b. Celková hmotnost reakční směsi se chemickou reakcí nemění a platí zákon zachování hmoty: složky i M i ν i = 0 (2.18) Pro libovolný rozsah reakce je tedy zdroj v celkové hmotnostní bilanci nulový: Celkový zdroj hmotnosti v reakci = 0 (2.19) V případě většího množství probíhajících reakcí vyjádříme výše zmíněné příspěvky nejprve zvlášt pro každou reakci. V bilanci pak uplatníme součet všech takto získaných zdrojových členů. Konverze ζ i [zéta] složky i je relativní, bezrozměrná veličina používaná k charakterizaci dosaženého stupně přeměny reaktantů na produkty. Definuje se pouze pro reaktanty a obecně

33 2.5. MATERIÁLOVÉ BILANCE S CHEMICKOU REAKCÍ 33 závisí na volbě reaktantu i, proto by se měla vždy uvádět s indexem složky. Konverze je množství složky i, které skutečně zreagovalo, vydělené jejím počátečním (vstupním) množstvím: ζ i = n i0 n i n i0 = m i0 m i m i0, (2.20) kde n i0 je počáteční (vstupní) a n i konečné (výstupní) látkové množství složky i. Obdobně lze použít k výpočtu i hmotnosti. Konverze typicky nabývá hodnot v rozsahu od nuly (když nezreagovalo nic, n i = n i0 ) do jedné (když zreagovalo vše, n i = 0). Úplná konverze (ζ i = 1 = 100%) tedy znamená, že látka i zreagovala celá beze zbytku. Konverze v průtočných systémech se počítá analogicky s použitím molárních toků ṅ i a ṅ i0 nebo případně hmotnostních toků ṁ i a ṁ i0. Z definičních rovnic (2.13) a (2.20) plyne vztah mezi konverzí ζ i a rozsahem reakce ξ (s přihlédnutím k záporné hodnotě stechiometrického koeficientu ν i pro reaktanty): ζ i = ν iξ n i0 = ν im i ξ m i0 (2.21) Když v systému probíhá více reakcí, sčítají se při výpočtu konverze složky ζ i (2.21) příspěvky ν i ξ všech reakcí. Pokud není u konverze explicitně uvedeno, na kterou složku je vztažena, předpokládá se automaticky její vyjádření vzhledem ke klíčovému reaktantu. Klíčový je ten z reaktantů, který se v reakční směsi nevyskytuje v přebytku, tedy v případě nevratné reakce by byl zcela spotřebován jako první. Pokud jsou reaktanty přiváděny do reaktoru v poměru přesně odpovídajícím stechiometrii reakce, tzn. ani jeden není v přebytku, můžeme jako klíčové označit všechny reaktanty. Přebytek P i složky i se opět zavádí pouze pro reaktanty jako bezrozměrná veličina P i = n i,skut n i,teor n i,teor = m i,skut m i,teor m i,teor, (2.22) kde n i,skut a m i,skut představují skutečné vstupující látkové množství a hmotnost složky i, zatímco n i,teor a m i,teor jsou teoretické spotřeby látkového množství nebo hmotnosti složky i potřebné pro úplné zreagování klíčového reaktantu dle stechiometrie reakce. Teoreticky potřebné množství se tedy nemění v závislosti na aktuální dosažené konverzi. Platí 4 n i,teor = ν i ν klíč n klíč, m i,teor = ν im i ν klíč M klíč m klíč, (2.23) kde index klíč označuje klíčový reaktant v dané reakci. Pokud v systému probíhá více reakcí, pak celkové teoreticky potřebné množství dané složky vypočítáme jako součet dílčích teoretických spotřeb v jednotlivých reakcích. Když skutečně přiváděné množství složky i je přesněrovnostechiometrickému (n i,skut = n i,teor ), pakjepřebytek podlerovnice(2.22) nulový, jinak nabývá kladných hodnot a není shora omezen. Obdobně se počítá přebytek v průtočných systémech s použitím molárních a hmotnostních toků ṅ i a ṁ i. Jako příklad si uvedeme teoretický přebytek kyslíku při spalování. Skutečné množství představuje veškeré množství kyslíku, které vstupuje do bilančního systému všemi proudy, 4 Doslovně bychom zde měli zapisovat stechiometrické koeficienty ν i v absolutní hodnotě, tedy ν i, nebot pro reaktanty nabývají ν i záporných hodnot. Protože jsou však stechiometrické koeficienty reaktantů použity v poměru, záporná znaménka se vykrátí a poměrové vztahy platí také přímo pro ν i.

34 34 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ např. vzduchem nebo společně s jinými plyny. Teoretickou spotřebou rozumíme množství kyslíku, které je stechiometricky potřebné na úplné zreagování (spálení) veškerého paliva, což může být např. metan, směs jiných uhlovodíků či uhlík. Na vzduch můžeme pohlížet jako na směs reaktivního kyslíku s inertním dusíkem, takže přebytek vzduchu má stejnou hodnotu jako přebytek kyslíku. Pro výpočet skutečně přiváděného množství látky i ze zadané hodnoty přebytku můžeme rovnici (2.22) převést na tvar n i,skut = (P i +1)n i,teor, m i,skut = (P i +1)m i,teor. (2.24) Z této rovnice je patrné, že například přebytek P i = 1 = 100 % lze také popsat tak, že složka i je přiváděna v množství dvojnásobném oproti stechiometrickému. Nahrazení zdrojového členu bilance fiktivními reakčními proudy Při materiálových bilancích můžeme případně zdrojový člen nahradit fiktivními reakčními proudy. Při tomto způsobu pro každou chemickou reakci zapisujeme dvojici fiktivních proudů. Ve fiktivním proudu, který vystupuje z bilančního systému jsou reaktanty ve složení dle stechiometrie. Produkty z chemické reakce do bilančního systému vstupují druhým fiktivním proudem. Průběh chemické reakce si v tomto případě představujeme tak, že reaktanty ve správném stechiometrickém poměru opouštějí bilancovaný systém výstupním fiktivním proudem, za hranicemi bilančního systému dojde k reakci a produkty se pak ve stechiometrickém poměru (podle rovnice chemické reakce) vracejí zpět do bilančního systému druhým fiktivním proudem. Tím z bilance vymizí zdrojový člen, který je nahrazen fiktivními vstupy a výstupy. Z tohoto popisu je patrné, že zavedením fiktivních proudů převádíme zdrojový člen představovaný pro každou reakci jednou neznámou (rozsahem reakce ξ) na dvě neznámé v podobě množství vystupujícího fiktivního proudu reaktantů a vstupujícího fiktivního proudu produktů. Pro látková množství fiktivních reakčních proudů platí reaktanty n reaktanty = ξ ν i, (2.25) i produkty n produkty = ξ ν i, (2.26) i kde ξ je rozsah reakce definovaný v rovnici (2.13) a ν i jsou stechiometrické koeficienty složek v reakci. Obdobně lze pomocí molárních hmotností složek M i vyjádřit i hmotnost fiktivních proudů v závislosti na rozsahu reakce reaktanty m reaktanty = ξ ν i M i, (2.27) i produkty m produkty = ξ ν i M i. (2.28) i Navíc víme, že platí zákon zachování hmoty, a tedy m reaktanty = m produkty. Následně musíme přepočítat stechiometrické koeficienty reakce do podoby složení fiktivních proudů a vyjádřit poměr jejich látkového množství. Tento přepočet si ukážeme na rovnici (2.12) obecné chemické reakce aa+bb }{{} } cc+dd {{}. fiktivní výstup (f1) fiktivní vstup (f2)

35 2.5. MATERIÁLOVÉ BILANCE S CHEMICKOU REAKCÍ 35 Složení výstupního fiktivního proudu reaktantů (f1) v molárních zlomcích: x A,f1 = x B,f1 = n A n A +n B = a a+b, (2.29) n B n A +n B = b a+b. (2.30) I u fiktivních proudů ovšem platí, že suma zlomků všech složek se musí rovnat 1. Při praktických výpočtech tedy postupujeme tak, že zlomek posledního reaktantu nevyčíslujeme z rovnice (2.30), ale dopočítáme ho ze sumy zlomků. V našem případě pro dva reaktanty A a B platí x B,f1 = 1 x A,f1 (2.31) Složení vstupního fiktivního proudu produktů (f2) v molárních zlomcích: x C,f2 = x D,f2 = n C = c n C +n D c+d, (2.32) n D n C +n D = d c+d. (2.33) Při praktických výpočtech opět postupujeme tak, že zlomek posledního produktu nevyčíslujeme z rovnice (2.33), ale dopočítáme ho ze sumy zlomků. V našem případě pro dva produkty C a D platí x D,f2 = 1 x C,f2 (2.34) Dále platí dodatečný vztah pro poměr celkových látkových množství fiktivních reakčních proudů: n f1 n f2 = n A +n B n C +n D = a+b c+d (2.35) Hmotnosti fiktivních proudů se rovnají: m f1 = m f2 (2.36) Při přepočtech dbáme na to, abychom udrželi u všech číselných mezivýsledků alespoň čtyři platné číslice, a nezanášeli tak do bilance zbytečně velké zaokrouhlovací chyby, viz doporučený postup bilancování uvedený v části Pokud chceme řešit hmotnostní bilanci, musíme dále přepočítat molární zlomky složek ve fiktivních proudech na hmotnostní zlomky podle rovnic platných pro směsi (2.8), jak bude ukázáno v řešeném příkladu P2.5a. Počty proudů, neznámých, bilančních rovnic i početních úkonů jsou při zavedení fiktivních proudů o něco vyšší než u zápisu pomocí rozsahu reakce, nicméně pro někoho může být nahrazení zdrojových členů fiktivními proudy lépe zapamatovatelné. Osvojení si principů bilancování se zdrojovým členem (bez náhradních fiktivních proudů) je ovšem žádoucí vzhledem k dalším úlohám v chemickém inženýrství, jako jsou například entalpické bilance s chemickou reakcí (kapitola 7) a chemické reaktory se zahrnutím kinetiky probíhajících reakcí (kapitola 15), které bychom převáděním na fiktivní proudy řešili jen obtížně. Jak bude ukázáno v následujících řešených příkladech P2.4a/b a P2.5a/b, oba postupy bilancování vedou ke stejnému výsledku. Každý příklad si vyřešíme nejprve pomocí fiktivních reakčních proudů(p2.4a, 2.5a) a pak pro srovnání pomocí zdrojových členů s rozsahem reakce ξ (P2.4b, P2.5b).

36 36 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ Příklad P2.4a: Látková bilance chemického reaktoru fiktivní proudy Zadání: Síra se dokonale spaluje v proudu vzduchu. Jaký musí být přebytek vzduchu, aby spaliny obsahovaly molárně 12 % oxidu siřičitého? Obr. 2.8: Bilanční schéma: 1 síra, 2 vzduch, 3 plynný produkt, 4 fiktivní výstup reaktantů, 5 fiktivní vstup produktů Řešení pomocí fiktivních proudů: Nejdříve nakreslíme bilanční schéma (viz Obr. 2.8). Zapíšeme chemickou reakci S + O 2 SO 2 a vytvoříme dva fiktivní proudy. Levá strana reakce je fiktivní výstup (4. proud), pravá strana je fiktivní vstup (5. proud). Fiktivní proudy zakreslíme do bilančního schematu. Označíme všechny složky, které se v systému vyskytují: A síra, B kyslík, C oxid siřičitý, D dusík. Rozhodneme, že bilancovat budeme látkové množství, nebot složení spalin je zadáno v molárních procentech a přebytek lze vyčíslit jako poměr látkových množství (2.22). Není zadáno množství žádného proudu ani složky, musíme tedy zvolit základ výpočtu. Zvolíme, že množství proudu 1 je rovno 1 kmol. Žádaný výsledek je poměrová veličina a na absolutním množství nezávisí. Sestavíme matici zadání včetně fiktivních proudů a jejich složení. Před sestavením matice zadání musíme vyčíslit složení fiktivních proudů 4 a 5 pomocí kladných stechiometrických koeficientů a, b, c: 1 A+1 B 1 C a = 1, b = 1, c = 1 4.proud : x A4 = a a+b = 0,5, x B4 = b a+b = 0,5 5.proud : x C5 = c c = 1 Matice zadání s fiktivními proudy: Proudy S : x A ,5 0 O 2 : x B 0 0,21 x B3 0,5 0 SO 2 : x C 0 0 0, N 2 : x D 0 0,79 x D3 0 0 n (kmol) 1 n 2 n 3 n 4 n 5 Z této matice zjistíme, že máme šest neznámých: n 2, n 3, x B3, x D3, n 4 a n 5. K vyřešení dané úlohy potřebujeme šest nezávislých rovnic. Pro čtyři složky lze sestavit čtyři nezávislé bilanční rovnice (např. jednu celkovou a tři složkové). Dalším vztahem, který použijeme, je dodatečný vztah pro třetí proud, kde součet molárních zlomků všech složek je roven jedné. Ze

37 2.5. MATERIÁLOVÉ BILANCE S CHEMICKOU REAKCÍ 37 stechiometrie plyne druhý dodatečný vztah, který říká, že poměr látkového množství fiktivních proudů se rovná poměru součtu stechiometrických koeficientů n 4 = a+b. n 5 c Pro šest neznámých máme k dispozici šest nezávislých rovnic, a můžeme tedy přistoupit k řešení. Soustava rovnic k řešení: bilance celk. : 1+n 2 +n 5 = n 3 +n 4 bilance sl. A : 1 1 = 0,5 n 4 bilance sl. B : 0,21 n 2 = x B3 n 3 +0,5 n 4 bilance sl. C : 1 n 5 = 0,12 n 3 suma zl. proudu 3 : x B3 +0,12+x D3 = 1 n 4 fikt.proudy : = 2 n 5 1 Z bilance složky A získáme n 4 = 1 0,5 = 2 kmol Z druhého dodatečného vztahu zjistíme n 5 = n 4 2 = 1 kmol Z bilance složky C zjistíme n 3 = 1 1 = 8,333 kmol 0,12 Z celkové bilance zjistíme n 2 = 8, = 8,333 kmol Složení výstupního proudu nebylo v zadání požadováno, a tedy ho nemusíme vyčíslovat. Chceme vypočítat přebytek vzduchu, který je totožný s přebytkem kyslíku. Podle definice přebytku (2.22): P B = n B,skut n B,teor n B,teor Skutečné množství kyslíku vstupujícího do systému: n B,skut = x B2 n 2 = 8,333 0,21 kmol = 1,75 kmol Teoretické množství kyslíku potřebné na spálení veškeré vstupující síry, n B,teor, vyjádříme podle stechiometrie reakce (2.23). Klíčový reaktant je v tomto případě síra (A). Z chemické rovnice plyne, že na spálení a = 1 molu síry je potřeba b = 1 mol kyslíku, přičemž do systému vstupuje x A1 n 1 molů síry, takže n B,teor = b a x A1 n 1 = kmol = 1 kmol 1 P B = 1,75 1 = 0,75 = 75 % 1 Výsledek: Přebytek vzduchu je 75 %. Ukažme si ted řešení stejného příkladu s vyjádřením zdrojového členu pomocí rozsahu reakce ξ.

38 38 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ Příklad P2.4b: Látková bilance chemického reaktoru rozsah reakce Zadání: Síra se dokonale spaluje v proudu vzduchu. Jaký musí být přebytek vzduchu, aby spaliny obsahovaly molárně 12 % oxidu siřičitého? R1 Obr.2.9: Bilanční schéma: 1 síra, 2 vzduch, 3 plynný produkt, R1 probíhající reakce Řešení pomocí rozsahu reakce: Nejdříve nakreslíme bilanční schéma (viz obrázek 2.9). Zapíšeme chemickou reakci S+O 2 SO 2, přiřadíme jí označení R1 a rozsah reakce ξ 1. Označíme všechny složky, které se v systému vyskytují: A síra, B kyslík, C oxid siřičitý, D dusík. Rozhodneme, že bilancovat budeme látkové množství, nebot složení spalin je zadáno v molárních procentech a přebytek lze vyčíslit jako poměr látkových množství (2.22). Není zadáno množství žádného proudu ani složky, musíme tedy zvolit základ výpočtu. Zvolíme, že množství proudu 1 je rovno 1 kmol. Žádaný výsledek je poměrová veličina a na absolutním množství nezávisí. Sestavíme matici zadání včetně stechiometrických koeficientů ν i a rozsahu reakceξ 1. Stechiometrické koeficienty ν i mají u reaktantů záporné hodnoty, u produktů kladné hodnoty a složky, které se v reakci nevyskytují, mají stechiometrický koeficient ν i roven nule: 1 A+1 B 1 C ν A = 1, ν B = 1, ν C = +1, ν D = 0. Sumu ν i vypočítáme jako součet stechiometrických koeficientů všech složek v reakci, viz rovnice (2.15): složky i ν i = ν A +ν B +ν C = = 1 Tuto hodnotu budeme potřebovat pro vyjádření změny počtu molů v celkové látkové bilanci. Matice zadání s rozsahem reakce: Proudy R1 Reakce S : x A ν A O 2 : x B 0 0,21 x B3-1 ν B SO 2 : x C 0 0 0,12 +1 ν C N 2 : x D 0 0,79 x D3 0 ν D n (kmol) 1 n 2 n 3 ξ 1 ξ (kmol) -1 νi Z této matice zjistíme, že máme pět neznámých: n 2, n 3, x B3, x D3 a ξ 1. K vyřešení dané úlohy potřebujeme pět nezávislých rovnic. Pro čtyři složky lze sestavit čtyři nezávislé bilanční rovnice (např. jednu celkovou a tři složkové). Dalším vztahem, který použijeme, je dodatečný vztah pro třetí proud, kde součet molárních zlomků všech složek je roven jedné. Pro pět

39 2.5. MATERIÁLOVÉ BILANCE S CHEMICKOU REAKCÍ 39 neznámých máme k dispozici pět nezávislých rovnic, a můžeme tedy přistoupit k řešení. Soustava rovnic k řešení: bilance celk. : 1+n 2 νi bilance sl. A : ξ 1 = 0 bilance sl. B : 0,21 n 2 1 ξ 1 = x B3 n 3 bilance sl. C : 0+1 ξ 1 = 0,12 n 3 suma zl. proudu 3 : x B3 +0,12+x D3 = 1 Z bilance složky A získáme ξ 1 = 1 kmol Z bilance složky C zjistíme n 3 = 1 1 = 8,333 kmol 0,12 Z celkové bilance zjistíme n 2 = 8, = 8,333 kmol {}}{ 1 ξ 1 = n 3 (včetně změny celkového počtu molů reakcí) Další řešení už se nijak neliší od bilance s fiktivními proudy (viz příklad P2.4a). Složení výstupního proudu nebylo v zadání požadováno, a tedy ho nemusíme vyčíslovat. Chceme vypočítat přebytek vzduchu, který je totožný s přebytkem kyslíku. Podle definice přebytku (2.22): P B = n B,skut n B,teor n B,teor Skutečné množství kyslíku vstupujícího do systému: n B,skut = x B2 n 2 = 8,333 0,21 kmol = 1,75 kmol Teoretické množství kyslíku potřebné na spálení veškeré vstupující síry, n B,teor, vyjádříme podle stechiometrie reakce (2.23). Klíčový reaktant je v tomto případě síra (A). Z chemické rovnice plyne, že na spálení 1 molu síry je potřeba 1 mol kyslíku, přičemž do systému vstupuje x A1 n 1 molů síry, takže n B,teor = ν B x A1 n 1 = kmol = 1 kmol ν A 1 P B = 1,75 1 = 0,75 = 75 % 1 Výsledek: Přebytek vzduchu je 75 %. Při bilancování se zdrojovými členy vyjádřenými pomocí rozsahu reakce ξ jsme dosáhli stejného výsledku jako u bilance s fiktivními proudy. Z porovnání obou výše uvedených postupů (P2.4a a P2.4b) je patrné, že princip řešení je obdobný, pouze počet neznámých i rovnic byl u rozsahu reakce o jednu nižší a nebylo třeba vyčíslovat složení fiktivních proudů. Levá část matice zadání se skutečnými proudy (sloupce 1, 2 a 3) je v obou případech stejná. Liší se pouze pravá část matice, která v případě bilance se zdrojovými členy obsahuje jeden sloupec pro reakci (R1), zatímco v případě fiktivních proudů je tato reakce reprezentována dvěma proudy (sloupce 4 a 5). V následujícím příkladu P2.5 si ukážeme postup při hmotnostní bilanci s reakcí, opět nejprve pomocí fiktivních proudů(p2.5a) a pak pro srovnání se zdrojovými členy vyjádřenými pomocí rozsahu reakce ξ (P2.5b).

40 40 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ Příklad P2.5a: Hmotnostní bilance chemického reaktoru fiktivní proudy Zadání: Oxid siřičitý je vyráběn oxidací 1000 kg pyritové rudy, obsahující 85 % (hm.) FeS 2 (zbytek je hlušina nereagující se vzduchem) v přebytku vzduchu 100 %. Konverze FeS 2 je 95 %. Vypočítejte složení výstupního plynu a strusky. Obr. 2.10: Bilanční schéma: 1 pyritová ruda, 2 vzduch, 3 pevný produkt (struska), 4 plynný produkt, 5 fiktivní výstup reaktantů, 6 fiktivní vstup produktů Řešení pomocí fiktivních proudů: Nakreslíme bilanční schéma (obr. 2.10). Zapíšeme chemickou reakci 4 FeS O 2 2 Fe 2 O SO 2 a vytvoříme dva fiktivní proudy. Levá strana reakce je fiktivní výstup (5. proud), pravá strana je fiktivní vstup (6. proud). Fiktivní proudy zakreslíme do bilančního schematu. Označíme složky: A FeS 2, B kyslík, C Fe 2 O 3, D SO 2, E dusík, F hlušina. Rozhodneme, že bilancovat budeme hmotnost, nebot zadání je hmotnostní a proud 1 obsahuje hlušinu, u níž neznáme molární hmotnost. Abychom mohli sestavit matici zadání včetně fiktivních proudů, musíme nejprve vyčíslit složení fiktivních proudů 5 a 6 ve formě hmotnostních zlomků. V prvním kroku vypočítáme pomocí kladných stechiometrických koeficientů a, b, c, d molární zlomky x i, které následně přepočítáme na hmotnostní zlomky w i podle vztahů (2.8), přičemž držíme přesnost těchto mezivýsledků na 4 platné číslice: 4 A+11 B 2 C+8 D a = 4, b = 11, c = 2, d = 8 5.proud : x A5 = = 4 15, x B5 = = w A5 = x A5 M A x A5 M A +x B5 M B = w B5 = 1 w A5 = 1 0,5769 = 0,4231 4/ / /15 32 = 0, proud : x C6 = = 2 10, x D6 = = 8 10 w C6 = x C6 M C x C6 M C +x D6 M D = w D6 = 1 w C6 = 1 0,3846 = 0,6154 0, , ,8 64 = 0,3846

41 2.5. MATERIÁLOVÉ BILANCE S CHEMICKOU REAKCÍ 41 Matice zadání s fiktivními proudy: Proudy FeS 2 : w A 0,85 0 w A3 0 0, O 2 : w B 0 0,233 0 w B4 0, Fe 2 O 3 : w C 0 0 w C ,3846 SO 2 : w D w D4 0 0,6154 N 2 : w E 0 0,767 0 w E4 0 0 hlušina : w F 0,15 0 w F M i (kg/kmol) M A 120 M B 32 M C 160 M D 64 M E 28 M F? m (kg) 1000 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 Z matice zadání zjistíme, že v systému je jedenáct neznámých: m 2, m 3, m 4, w A3, w C3, w F3, w B4, w D4, w E3, m 5 a m 6. Potřebujeme tedy sestavit 11 nezávislých rovnic. Pro 6 složek můžeme použít 6 nezávislých bilančních rovnic (1 celkovou a 5 složkových), pro 3. a 4. proud máme dva dodatečné vztahy pro součty hmotnostních zlomků, hmotnosti fiktivních proudů se sobě rovnají a dále můžeme využít dvě další rovnice plynoucí z definice konverze (2.20) pro složku A a z definice přebytku (2.22) pro složku B, jejichž hodnoty jsou zadány (ζ A = 0,95 a P B = 1,0. Tím získáme celkem jedenáct nezávislých rovnic a úloha je řešitelná. Z definice konverze (2.20) pro složku A plyne ζ A = w A5m 5 w A1 m 1 Přebytek vzduchu je totožný s přebytkem kyslíku. Z definice přebytku (2.22) pro složku B plyne P B = m B,skut m B,teor m B,teor Skutečné množství kyslíku, které vstupuje do systému: m B,skut = m 2 w B2 Teoretické množství kyslíku potřebné na spálení veškerého FeS 2 získáme ze stechiometrie reakce. Z chemické rovnice plyne, že na 4 moly FeS 2 je potřeba 11 molů kyslíku a tento stechiometrický poměr látkového množství můžeme vyjádřit jako b : a = 11 : 4. Vyjádření teoretického hmotnostního poměru kyslíku a FeS 2 pak získáme po vynásobení příslušnými molárními hmostnostmi jako (bm B ) : (am A ). Do námi bilancovaného systému přichází FeS 2 o hmotnosti w A1 m 1. Teoretická hmotnost kyslíku potřebná na spálení takového množství klíčového reaktantu FeS 2 je tedy podle (2.23) m B,teor = bm B am A w A1 m 1 Po dosazení do výše uvedené rovnice pro přebytek vzduchu získáme m 2 w B2 bm B = (P B +1) m 1w A1 am A Nyní můžeme dosadit a zapsat všech jedenáct rovnic. Soustava rovnic k řešení: bilance celk. : 1000+m 2 +m 6 = m 3 +m 4 +m 5 bilance sl. A : ,85 = m 3 w A3 +m 5 0,5769

42 42 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ bilance sl. C : bilance sl. D : bilance sl. E : bilance sl. F : m 6 0,3846 = m 3 w C3 m 6 0,6154 = m 4 w D4 m 2 0,767 = m 4 w E ,15 = m 3 w F3 suma zl. proudu 3 : w A3 +w C3 +w F3 = 1 suma zl. proudu 4 : w B4 +w D4 +w E4 = 1 fikt. proudy : m 5 = m 6 konverze : 0,95 = m 5 0, ,85 m 2 0,233 přebytek : Z rovnice pro konverzi získáme m 5 = 0,95 0, ,5769 Z rovnice pro přebytek získáme = 1399,7 kg = (1,0+1) , m 2 = (1,0+1)1000 0,85 = 5350,5 kg 0, Z dodatečného vztahu pro fiktivní proud zjistíme m 6 = 1399,7 kg Sečtením bilancí hmotnosti složek A, C a F, následným vytknutím m 3 a dosazením rovnice pro sumu složení proudu 3 získáme rovnici pro hmotnost m , ,7 0, ,15 = m ,7 0,5769 m 3 = 730,8 kg Z celkové bilance dopočítáme m 4 = ,5 730,8 = 5619,7 kg Dosazením do bilancí hmotnosti složek a ze sumy složení dopočítáme hmotnostní zlomky v proudech 3 a 4: w A3 = , ,7 0, ,8 w C3 = 1399,7 0,3846 = 0, ,8 w F3 = 1 0,0582 0,7366 = 0,2052 w E4 = 5350,5 0,767 = 0, ,7 w D4 = 1399,7 0,6154 = 0, ,7 w B4 = 1 0,7303 0,1533 = 0,1164 = 0,0582 Výsledek: Výstupní plyn obsahuje hmotnostně 15,33 % SO 2, 11,64 % O 2 a 73,03 % N 2. Struska obsahuje hmotnostně 5,82 % FeS 2, 73,66 % Fe 2 O 3 a 20,52 % hlušiny. Nyní si pro srovnání vyřešíme stejný příklad pomocí rozsahu reakce ξ.

43 2.5. MATERIÁLOVÉ BILANCE S CHEMICKOU REAKCÍ 43 Příklad P2.5b: Hmotnostní bilance chemického reaktoru rozsah reakce Zadání: Oxid siřičitý je vyráběn oxidací 1000 kg pyritové rudy, obsahující 85 % (hm.) FeS 2 (zbytek je hlušina nereagující se vzduchem) v přebytku vzduchu 100 %. Konverze FeS 2 je 95 %. Vypočítejte složení výstupního plynu a strusky. R1 Obr. 2.11: Bilanční schéma: 1 pyritová ruda, 2 vzduch, 3 pevný produkt (struska), 4 plynný produkt, R1 probíhající reakce Řešení pomocí rozsahu reakce: Nakreslíme bilanční schéma (obr. 2.11). Zapíšeme chemickou reakci 4 FeS O 2 2 Fe 2 O SO 2, přiřadíme jí označení R1 a rozsah reakce ξ 1. Označíme složky: A FeS 2, B kyslík, C Fe 2 O 3, D SO 2, E dusík, F hlušina. Rozhodneme, že bilancovat budeme hmotnost, nebot zadání je hmotnostní a proud 1 obsahuje hlušinu, u níž neznáme molární hmotnost. Sestavíme matici zadání včetně stechiometrických koeficientů ν i a rozsahu reakceξ 1. Stechiometrické koeficienty ν i mají u reaktantů záporné hodnoty, u produktů kladné hodnoty a složky, které se v reakci nevyskytují, mají stechiometrický koeficient ν i roven nule: 4 A+11 B 2 C+8 D ν A = 4, ν B = 11, ν C = +2, ν D = +8, ν E = 0, ν F = 0. Celkovou změnu hmotnosti v reakci charakterizuje suma ν i M i, která je ovšem podlezákona zachování hmoty pro všechny chemické reakce nulová (2.18). Matice zadání s rozsahem reakce: Proudy R1 Reakce FeS 2 : w A 0,85 0 w A ν A M A O 2 : w B 0 0,233 0 w B ν B M B Fe 2 O 3 : w C 0 0 w C ν C M C (kg/kmol) SO 2 : w D w D ν D M D N 2 : w E 0 0,767 0 w E4 0 ν E M E hlušina : w F 0,15 0 w F3 0 0 ν F M F m (kg) 1000 m 2 m 3 m 4 ξ 1 ξ (kmol) 0 νi M i (kg/kmol) Z matice zadání zjistíme, že v systému je deset neznámých: m 2, m 3, m 4, w A3, w C3, w F3, w B4, w D4, w E3 a ξ 1. Potřebujeme tedy sestavit 10 nezávislých rovnic. Pro 6 složek můžeme použít 6 nezávislých bilančních rovnic (1 celkovou a 5 složkových), pro 3. a 4. proud máme dva dodatečné vztahy pro součty hmotnostních zlomků a dále můžeme využít dvě další rovnice plynoucí z definice konverze (2.20) pro složku A a z definice přebytku (2.22) pro složku B, jejichž hodnoty jsou zadány (ζ A = 0,95 a P B = 1,0. Tím získáme celkem deset nezávislých rovnic a úloha je řešitelná. Konverzi složky ζ A si vyjádříme v závislosti na rozsahu reakce ξ 1 podle rovnice (2.21). Za hmotnost zreagované látky A dosadíme ν A M A ξ 1 (pro reaktant A uvažujeme zápornou

44 44 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ hodnotu stechiometrického koeficientu ν A ), za hmotnost vstupující látky A pak dosadíme w A1 m 1 : ζ A = ν AM A ξ 1 w A1 m 1 Přebytek vzduchu je totožný s přebytkem kyslíku. Z definice přebytku (2.22) pro složku B plyne P B = m B,skut m B,teor m B,teor Skutečné množství kyslíku, které vstupuje do systému: m B,skut = m 2 w B2 Teoretické množství kyslíku potřebné na spálení veškerého FeS 2 získáme ze stechiometrie reakce. Z chemické rovnice plyne, že na 4 moly FeS 2 je potřeba 11 molů kyslíku a tento stechiometrický poměr látkového množství můžeme vyjádřit jako ν B : ν A = 11 : 4. Vyjádření teoretického hmotnostního poměru kyslíku a FeS 2 pak získáme po vynásobení příslušnými molárními hmostnostmi jako (ν B M B ) : (ν A M A ). Do námi bilancovaného systému přichází FeS 2 o hmotnosti w A1 m 1. Teoretická hmotnostkyslíku potřebnánaspálení takového množství klíčového reaktantu FeS 2 je tedy podle (2.23) m B,teor = ν BM B ν A M A w A1 m 1 Po dosazení do výše uvedené rovnice pro přebytek vzduchu získáme m 2 w B2 ν B M B = (P B +1) m 1w A1 ν A M A Nyní můžeme dosadit a zapsat všech deset rovnic. Soustava rovnic k řešení: bilance celk. : 1000+m 2 + Mi ν i ξ 1 {}}{ ( 0 ) = m 3 +m 4 (reakcí se celk. hm. nemění) bilance sl. A : bilance sl. C : bilance sl. D : bilance sl. E : bilance sl. F : , ξ 1 = m 3 w A ξ 1 = m 3 w C ξ 1 = m 4 w D4 m 2 0,767 = m 4 w E ,15 = m 3 w F3 suma zl. proudu 3 : w A3 +w C3 +w F3 = 1 suma zl. proudu 4 : w B4 +w D4 +w E4 = 1 konverze : 0,95 = ξ ,85 přebytek : m 2 0, = (1,0+1)1000 0,

45 2.5. MATERIÁLOVÉ BILANCE S CHEMICKOU REAKCÍ 45 Z rovnice pro konverzi získáme ξ 1 = 0,95 0, = 1,6823 kmol Z rovnice pro přebytek získáme m 2 = (1,0+1)1000 0,85 = 5350,5 kg 0, Sečtením bilancí hmotnosti složek A, C a F, následným vytknutím m 3 a dosazením rovnice pro sumu složení proudu 3 získáme rovnici pro hmotnost m , , , ,15 = m 3 m 3 = 730,8 kg Z celkové bilance dopočítáme m 4 = ,5 730,8 = 5619,7 kg Dosazením do bilancí hmotnosti složek a ze sumy složení dopočítáme hmotnostní zlomky v proudech 3 a 4: w A3 = , , ,8 = 0,0582 w C3 = , ,8 = 0,7366 w F3 = 1 0,0582 0,7366 = 0,2052 w E4 = 5350,5 0, ,7 w D4 = , ,7 = 0,7303 = 0,1533 w B4 = 1 0,7303 0,1533 = 0,1164 Výsledek: Výstupní plyn obsahuje hmotnostně 15,33 % SO 2, 11,64 % O 2 a 73,03 % N 2. Struska obsahuje hmotnostně 5,82 % FeS 2, 73,66 % Fe 2 O 3 a 20,52 % hlušiny. Při použití zdrojových členů vyjádřených pomocí rozsahu reakce ξ jsme tedy opět dosáhli stejného výsledku jako u bilance s fiktivními reakčními proudy (srovnej P2.5a a P2.5b). Počet neznámých i rovnic byl u rozsahu reakce o jednu nižší a nebylo také nutné přepočítávat složení fiktivních proudů z molárních na hmotnostní zlomky. Levá část matice zadání se skutečnými proudy (sloupce 1 4) je v obou případech stejná. Liší se pouze pravá část matice, která v případě bilance se zdrojovými členy obsahuje jeden sloupec pro reakci (R1), zatímco v případě fiktivních proudů je tato reakce reprezentována dvěma proudy (sloupce 5 a 6). V případě několika chemických reakcí v systému se postupuje analogicky: Pro každou reakci zavedeme bud jeden rozsah reakce, nebo dva fiktivní proudy. V případě vyššího počtu reakcí se dává obvykle přednost úspornějšímu vyjádření pomocí rozsahu reakce a tento způsob je také standardně používán v reaktorovém inženýrství, viz kapitola 15 (Chemické reaktory).

46 46 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ 2.6 Úlohy U2.1 Z 59 kg vodného roztoku kyseliny chlorovodíkové obsahujícího 36 % (hm.) HCl má být připraven roztok desetiprocentní. Kolik kilogramů vody je potřeba přidat? Výsledek: K původnímu roztoku je potřeba přidat 153,4 kg vody. U2.2 Do odparky se přivádí 57 kgh 1 vodného roztoku obsahujícího 44 % (hm.) rozpuštěné látky A. Jaké je složení zahuštěného roztoku, jestliže zodparky odchází 12 kgh 1 vodní páry? Výsledek: Zahuštěný roztok obsahuje 55,7 % (hm.) látky A. U2.3 Plynná směs o molárním složení 22 % SO 2, 10 % O 2 a 68 % N 2 se před dalším zpracováním mísí se vzduchem tak, aby výsledná plynná směs obsahovala oxid siřičitý a kyslík v molárním poměru 1:1. Vypočtěte, kolik m 3 vzduchu je potřeba přidat na 1 m 3 původní plynné směsi a jaký bude objemový zlomek SO 2 ve výsledné plynné směsi při stejné teplotě a tlaku. Výsledek: K 1 m 3 původní plynné směsi je třeba přidat 0,57 m 3 vzduchu, výsledná plynná směs bude obsahovat 14 % (mol.) SO 2. U2.4 Chlor vystupující z elektrolyzéru obsahuje 1,6%(obj.) kyslíku. Jeho průtok je zjišt ován tak, že se k němu přidává kyslík. Bylo naměřeno, že za 5 minut a 33 sekund bylo přidáno 20 kg kyslíku. Výsledná směs obsahovala 3,6 % (obj.) kyslíku. Jaký byl objemový průtok v m 3 s 1 původního proudu z elektrolyzéru při teplotě 20 C a tlaku 0,1 MPa? Výsledek:Objemovýprůtokpůvodnísměsizelektrolyzéru zadanýchpodmínekčiní2,2m 3 s 1. U2.5 Při rektifikaci směsi fenolů obsahujících molárně 35 % fenolu, 40 % kresolu, 20 % xylenolu a 5 % těžších fenolů se získává destilát o molárním složení 95 % fenolu a 5 % kresolu. Destilát obsahuje 90 % z celkového látkového množství fenolu z nástřiku. Zjistěte látkové množství destilátu a zbytku vzhledem k nástřiku 100 kmol. Vypočtěte rovněž složení zbytku v molárních %. Výsledek: Získáme 33,2 kmol destilátu a 66,8 kmol zbytku. Molární složení zbytku: 5,2 % fenolu, 57,4 % kresolu, 29,9 % xylenolu a 7,5 % těžších fenolů. U2.6 Tzv. kukuřičný výluh (vznikající jako odpad při výrobě škrobu z kukuřičných zrn) obsahuje hmotnostně 50 % vody a 2,5 % invertního cukru, zbytek je tvořen pevnými nerozpustnými zbytky zrn. Řepná melasa obsahuje hmotnostně 50 % sacharózy, 1 % invertního cukru a 18 % vody, zbytek tvoří suspendované pevné nerozpustné částice. Výluh a melasa se mísí s vodou ve vsádkové směšovací nádrži, do které se pro přípravu jedné vsádky dávkuje 125kgvýluhua45kgmelasy. Kolikvodyjenutnopřidat dosměšovací nádrže, jestliže výsledná směs má obsahovat 2 % (hm.) invertního cukru? Jaký bude hmotnostní zlomek sacharózy ve výsledné směsi? Výsledek: Do směšovací nádrže je nutno přidat 8,75 kg vody. Výsledná směs bude obsahovat 12,6 % (hm.) sacharózy. U2.7 Biomasa bakterií rodu Pseudomonas má být použita jako přísada do krmných směsí (tzv. jednobuněčná bílkovina). Pro kultivaci této bakterie má být použito kapalné kultivační médium obsahující v nadbytku uhlovodík, z něhož bakterie vyžívají uhlík potřebný pro tvorbu biomasy, a amoniak, ze kterého bakterie získávají potřebný dusík. Složení biomasy bakterií

47 2.6. ÚLOHY 47 bylo zjištěno elementární analýzou a lze jej zapsat sumárním vzorcem C 1 H 1,83 O 0,55 N 0,25. Kultivační médium po ukončení kultivace má obsahovat 25kgm 3 buněčné hmoty s výše uvedeným složením. Jakou minimální hodnotu musí mít hmotnostní koncentrace (NH 4 ) 2 SO 4 v médiu před růstem buněk, jestliže síran amonný je jediným zdrojem dusíku pro tvorbu biomasy? Výsledek: Kultivační médium musí před zahájením kultivace obsahovat 14,6 kgm 3 síranu amonného. U2.8 Surovina pro výrobu rostlinného tuku obsahuje hmotnostně 28 % tuku a 10 % vody. Lisováním se z ní získá olej obsahující hmotnostně 80 % tuku a 20 % vody. Zbytek po lisování, který obsahuje ještě 10 % (hm.) tuku, se extrahuje hexanem. Extrakt se zbaví hexanu přeháněním vodní parou a zbylý čistý tuk se připojí k ostatnímu produktu. Zbytek po extrakci se pak vysuší v sušárně tak, že nakonec obsahuje 5 % (hm.) vlhkosti a 0,2 % (hm.) tuku. Jaké je složení produktu? Kolik % tuku z celkové výroby se získá extrakcí? Výsledek: Produkt obsahuje 84.4 % (hm.) tuku a 15,6 % (hm.) vody. Extrakcí se získá 26,2 % tuku z celkové výroby. U2.9 Fermentační kapalné médium(tzv. fermentační břečka) obsahující suspendované buňky mikroorganismu Streptomyces kanamyceticus se filtruje v nepřetržitě pracujícím bubnovém filtru. Do filtru se přivádí 120 kgh 1 břečky, jejíž jeden kilogram obsahuje 0,060 kg buněčné hmoty. Břečka dále obsahuje 0,05 % (hm.) rozpuštěného kanamycinu. Břečku lze pro jednoduchost uvažovat jako směs buněk, kapalného podílu a v něm rozpuštěného kanamycinu. Pro zlepšení průběhu filtračního procesu se k břečce vstupující do filtru přidává křemelina (jemně zrnitá rozsivková zemina) v množství 10 kgh 1. Z filtruodchází kapalný filtrát s hmotnostním průtokem 112 kgh 1. Filtrát neobsahuje žádné buňky ani zrnka křemeliny a je v něm obsaženo 0,045 % (hm.) rozpuštěného kanamycinu. Buňky Streptomyces kanamyceticus zachycené na filtrační ploše filtru spolu s křemelinou vytvářejí tzv. filtrační koláč, který obsahuje určitý podíl kapalného podílu a z filtru se nepřetržitě odvádí jako druhý produkt filtrace. Vypočítejte hmotnostní zlomek kapaliny zadržené ve filtračním koláči (vlhkost filtračního koláče ve hmotnostních %). Výsledek: Filtrační koláč obsahuje 4,4 % (hm.) vody (celková hmotnost koláče je 18 kg). U2.10 Do krystalizační nádoby bylo přivedeno 5000 kg horkého roztoku obsahujícího 31 % (hm.) Na 2 CO 3. Po ochlazení na 20 C vykrystalizuje Na 2 CO 3 10H 2 O. Rozpustnost při této teplotě je 21 kg bezvodého uhličitanu sodného na 100 kg vody. Voda, která se během krystalizace vypaří, tvoří 5 % původní hmotnosti roztoku. Jaké je množství krystalů dekahydrátu uhličitanu sodného? Výsledek: Vykrystalizovalo 3690 kg dekahydrátu uhličitanu sodného. U2.11 Z 1200 kg směsi kyselin o hmotnostním složení 68 % H 2 SO 4, 22 % HNO 3 a 10 % H 2 O je třeba připravit 2000 kg nitrační směsi o hmotnostním složení 63 % H 2 SO 4, 28 % HNO 3 a 9 % H 2 O. K dispozici jsou dvě koncentrované kyseliny: 82% kyselina dusičná a 92% kyselina sírová (koncentrace kyselin je vyjádřena hmotnostním zlomkem). Dále je k dispozici 20% oleum, které obsahuje hmotnostně 20 % SO 3 a 80 % H 2 SO 4. Jaká bude spotřeba jednotlivých koncentrovaných kyselin a olea? Výsledek: K přípravě nitrační směsi se spotřebuje 361 kg kyseliny dusičné, 119 kg kyseliny sírové a 320 kg olea.

48 48 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ U2.12 Propan (C 3 H 8 ) se spaluje vzduchem. a) Vypočítejte potřebnou hmotnost vzduchu a složení spalin v hmotnostních procentech v případě úplného spálení 1 kg propanu v 50% přebytku vzduchu na produkty CO 2 a H 2 O. b) Vypočítejte složení spalin v hmotnostních procentech v případě spálení 1 kg propanu pomocí 12 kg vzduchu, přičemž uvažujte spotřebování veškerého propanu a kyslíku při souběhu reakcí dokonalého hoření (vznik CO 2 a H 2 O) a nedokonalého hoření (vznik CO a H 2 O). Výsledek: a) Na dokonalé spálení 1 kg propanu v 50% přebytku vzduchu je potřeba 23,4 kg vzduchuaspalinyobsahujíhmotnostně12,3%co 2,6,7%H 2 O,7,5%O 2 a73,5%n 2.b)Směs vzniklá spálením 1 kg propanu pomocí 12 kg vzduchu obsahuje hmotnostně 11,5 % CO, 5,4 % CO 2, 12,3 % H 2 O a 70,8 % N 2. U2.13 Analýza vzorku uhlí ukázala, že obsahuje hmostnostně 82 % C, 5 % H 2 O, 2 % H 2 a 11 % popela (nespalitelného zbytku). Kolik kg vzduchu je zapotřebí na spálení 1 kg uhlí, je-li vzduch použit ve 20% přebytku? Výsledek: Je potřeba 12,1 kg vzduchu. U2.14 Letecký petrolej (kerosin) se kontinuálně spaluje v proudovém motoru. Na 1 kg spáleného paliva se přivádí 24 kg vzduchu. Jaký je za uvedených podmínek přebytek vzduchu oproti stechiometrické spotřebě (v %)? Předpokládejte, že petrolej má sumární složení C 10 H 22 a že spalování probíhá dokonale na CO 2 a H 2 O. Výsledek: Vzduch je použit v přebytku 60 % oproti stechiometrické spotřebě. U2.15 Buňky bakterie Acetobacter aceti přeměňují za aerobních podmínek(tj. v přítomnosti kyslíku) ve vodném prostředí etanol na kyselinu octovou. Aby mohl být tento proces uskutečněn v průtočném, nepřetržitě pracujícím reaktoru, jsou buňky A. aceti navázány na povrch želatinových částic a setrvávají trvale v reaktoru (žádné buňky do reaktoru nevstupují ani z něho neodcházejí). Je požadováno, aby reaktor produkoval 2 kgh 1 kyseliny octové. Maximální obsah kyseliny octové v roztoku, kterou buňky tolerují, je 12 % (hm.). Do reaktoru se dávkuje vzduch v množství 200 molh 1. Vypočítejte: a) Hmotnostní průtok etanolu na vstupu do reaktoru potřebný pro dosažení požadované produkce kyseliny octové. b) Jakým množstvím vody je nutno vstupující etanol ředit, aby nebyla překročena maximální přípustná koncentrace kyseliny octové ve výstupním proudu. c) Složení plynu vystupujícího z reaktoru. Biotransformaci etanolu probíhající v reaktoru lze zapsat chemickou rovnicí C 2 H 5 OH+O 2 CH 3 COOH+H 2 O. Lze zanedbat odpařování etanolu, vody i kyseliny octové do odcházejícího plynu. Střední molární hmotnost vzduchu je 0,02885 kgmol 1 ; hmotnostní zlomek kyslíku ve vzduchu je 0,233 a dusíku 0,767. Výsledek:a)Doreaktorujezapotřebí přivádět 1,535kgh 1 etanolu.b)etanolnavstupudoreaktoru je nutno ředit přídavkem 14,07 kgh 1 vody. c) Odcházející plyn obsahuje 94,1 % (hm.) dusíku a 5,90 % (hm.) kyslíku. U2.16 Ze zahuštěné vaječné hmoty se před jejím konečným sušením odstraňuje glukóza oxidací na kyselinu glukonovou za katalytického účinku enzymu glukóza oxidázy (odstraněním glukózy se zlepší barva a vůně konečného produktu). Reakci lze zapsat chemickou rovnicí C 6 H 12 O 6 +O 2 +H 2 O C 6 H 12 O 7 +H 2 O 2, kdec 6 H 12 O 6 je glukóza a C 6 H 12 O 7 jekyselina glukonová. Reakce se uskutečňuje v průtočném kontinuálním reaktoru, ve kterém enzym trvale setrvává. Zahuštěná vaječná hmota vstupující

49 2.6. ÚLOHY 49 do reaktoru obsahuje 2 % (hm.) glukózy a 20 % (hm.) vody, zbytek tvoří nereaktivní pevné látky. Do reaktoru vstupuje 3000 kgh 1 vaječné hmoty a dále je do reaktoru vháněn vzduch v množství, které odpovídá 18 kgh 1 kyslíku. Vaječná hmota na výstupu z reaktoru neobsahuje prakticky žádnou glukózu. Určete: a) Množství a složení vaječné hmoty vystupující z reaktoru. b) Množství a složení plynu vystupujícího z reaktoru. Výsledek: a) Z reaktoru vystupuje 3011 kg h 1 upravené vaječné hmoty, která obsahuje hmotnostně 19,7 % vody, 77,7 % pevných složek, 2,2 % kyseliny glukonové a 0,38 % peroxidu vodíku. b) Z reaktoru odchází 66,6 kgh 1 plynu obsahujícího hmotnostně 11,0 % O 2 a 89,0 % N 2. U2.17 Etylenoxid se vyrábí katalytickou oxidací etylenu podle rovnice 2 C 2 H 4 + O 2 2 C 2 H 4 O. Etylen se mísí se vzduchem tak, že do reaktoru vstupuje směs, v níž je poměr látkového množství etylenu k látkovému množství kyslíku roven 2:1. Konverze etylenu dosahuje 23 %. Vypočtěte látkové množství vzduchu v kilomolech, které je potřeba na výrobu 100 kg etylenoxidu. Rovněž vypočtěte složení plynné směsi na výstupu z reaktoru v objemových procentech. Výsledek: Je potřeba 23,5 kmol vzduchu. Složení plynné směsi na výstupu z reaktoru je objemově 7 % etylenoxidu, 11,8 % kyslíku, 23,6 % etylenu a 57,6 % dusíku. U2.18 Formaldehyd se vyrábí katalytickou oxidací metanolu vzdušným kyslíkem: CH 3 OH O 2 HCHO + H 2 O Do reaktoru se přivádí vzduch a páry metanolu v objemovém poměru 6:1 (při stejné teplotě a tlaku), konverze metanolu dosahuje 30 %. Vypočtěte složení plynné směsi po reakci v objemových procentech. Výsledek: Složení plynné směsi na výstupu z reaktoru je objemově 9,79 % metanolu, 15,52 % kyslíku, 66,29 % dusíku, 4,20 % formaldehydu a 4,20 % vody. U2.19 Kyselina dusičná se hojně používá v průmyslu například k výrobě dusíkatých hnojiv, barviv a laků, léků, výbušnin a různých organických sloučenin. Nejběžnějším způsobem výroby kyseliny dusičné je Ostwaldův proces. V prvním kroku dochází v reaktoru k oxidaci amoniaku katalyzované platinou za zvýšené teploty a tlaku na oxid dusnatý a vodu, následně se v druhém stupni za nižší teploty NO oxiduje na NO 2 : 4 NH O 2 4 NO + 6 H 2 O 2 NO + O 2 2 NO 2 Plynný výstupní proud z druhého stupně reaktoru je pak veden do absorbéru, kde vzniká kyselina dusičná absorpcí NO 2 do vody a jejich následnou reakcí. Určete molární průtok plynu vstupujícího do absorbéru a jeho složení v objemových procentech, pokud je zpracováván 1kmol/h NH 3, konverze amoniaku dosahuje 96 %, vzduch do reaktoru je přiváděn ve 100% přebytku vzhledem k první reakci a konverze NO je 93 %. Výsledek: Molární průtok proudu vstupujícího do absorbéru je 12,7 kmol/h a jeho složení je objemově 0,32 % NH 3, 6,72 % O 2, 74,06 % N 2, 0,53 % NO, 11,34 % H 2 O a 7,03 % NO 2. U2.20 V peci se kontinuálně spaluje plyn obsahující 85,2 % (obj.) etanu, 11,3 % (obj.) metanu a zbytek dusíku. Ke spalování se používá vlhký vzduch, který obsahuje neznámý podíl vodní páry a dále kyslík a dusík, přičemž molární poměr kyslíku ku dusíku je 21:79. Vzduch se používá v 30% přebytku a spalování probíhá dokonale na CO 2 a H 2 O. Spaliny se z pece

50 50 KAPITOLA 2. ZÁKLADY BILANCOVÁNÍ vedou do odvlhčovače, kde se odstraní veškerá voda. Za 1 hodinu a 12 minut provozu bylo zachyceno 7,35 kg vody. Na výstupu z odvlhčovače byl naměřen objemový průtok suchých spalin 15,5 dm 3 s 1 při teplotě 60 C a tlaku 98 kpa. Vypočtěte množství spotřebovaného vlhkého vzduchu v m 3 h 1 při teplotě 25 C a tlaku 98 kpa, obsah vodní páry ve vstupujícím vzduchu v objemových % a složení suchých plynných spalin na výstupu z odvlhčovače v objemových %. Výsledek:Spotřebujese54,69 m 3 h 1 vlhkéhovzduchuobsahujícího2,00 %(obj.)h 2 O.Složení suchých spalin je objemově 5,20 % O 2, 84,98 % N 2 a 9,82 % CO 2. U2.21 Vautomatickém kotli sespaluje12,4 kgh 1 hnědého uhlí,které obsahujeuhlík,sírua nespalitelný zbytek. Všechen uhlíksespalujenaco 2,všechna síranaso 2, nespalitelný zbytek zůstává v pevné fázi ve formě popela. Vzduch se přivádí v přebytku 20,5 %, spaliny obsahují 0,26%(hm.)SO 2 avkotli vzniká1,05 kgh 1 popela.vypočtěte složení uhlívhmotnostních% a plynných spalin v objemových %. Výsledek: Uhlí obsahuje hmotnostně 89,79 % C, 1,74 % S a 8,47 % popela. Spaliny obsahují objemově 3,57 % O 2, 79,0 % N 2, 17,3 % CO 2 a 0,13 % SO 2.

51 Kapitola 3 Základy hydromechanických procesů Milan Jahoda, Dalimil Šnita Proudění tekutin a zejména vody fascinuje každého člověka. V dětství jsme si hráli s touto látkou ve vaně nebo v kaluži bláta. Jak stárneme, pozorujeme potoky, vodopády a víry a jsme okouzleni touto látkou, která ve srovnání s tuhými látkami vypadá jako živá. Takto začíná R. Feynman kapitolu o hydrodynamice ve svých přednáškách z fyziky. Způsob výkladu v této kapitole je tímto dílem inspirován a některé argumentace jsou z něj převzaty. Předpokládáme, že základní vlastnosti tekutin jsou čtenáři již známy. Pojmem tekutina označujeme plyny, páry a kapaliny. Plyny a páry mají mnohem větší vzdálenosti mezi molekulami, a proto jsou více stlačitelné než kapaliny. Pokud na tekutinu působíme silami, které způsobují smykové napětí, dá se do pohybu. Pohybuje-li se těleso, na které působí síla, koná se mechanická práce (práce je dráhový účinek síly). Práce smykového napětí se při pohybu tekutin mění v teplo. Tomuto procesu říkáme vnitřní tření, nebo disipace mechanické energie. Kapaliny podobné medu se pohybují obtížněji než např. voda nebo vzduch. Mírou toho, jak snadno se tekutina poddá napětí, je látková vlastnost viskozita. Tekutiny s vyšší viskozitou se brání pohybu více než tekutiny s nižší viskozitou. V tekutinách obecně působí síly dvojího druhu: síly objemové (nazývané též síly hmotnostní) a síly plošné. Objemové síly působí na tekutinu zvnějšku a jejich velikost je úměrná objemu, resp. hmotnosti, tekutiny, na kterou působí. Typickými objemovými silami působícími v tekutinách jsou síly gravitační, odstředivá, magnetická nebo elektrostatická. Síly plošné působí v tekutinách na plochy, at jsou již skutečně existující, nebo myšlené. Takovými plochami mohou být např. rozhraní mezi dvěma nemísitelnými tekutinami, rozhraní mezi tekutinou a pevnou fází (např. stěnou trubky) nebo myšlené rozhraní mezi dvěma vrstvami kapaliny pohybující se různou rychlostí. Plocha obecně představuje vektorovou veličinu, tj. má velikost a směr. Směr plochy da je dán jejím normálovým vektorem(kolmicí, normálou). d A je vektor kolmý je k dané ploše jehož absolutní velikost je rovna velikosti plochy. Síla působící na plochu v tekutině může mít obecně jakýkoliv směr a tedy může zaujímat vůči normále plochy jakoukoliv orientací. V praxi se osvědčilo rozkládat obecně orientovanou sílu d F A působící na obecně orientovanou plochu d A do normálového směru, tj. do směru rovnoběžného se směrem normály plochy (kolmého k ploše), a do dvou směrů k normále kolmých, které označujeme jako směry tečné, rovnoběžné s plochou. Získáme tak složky působící síly: Složku normálovou d F n (síla normálová, tlaková) a dvě složky tečné d F t1 a d F t2, označované též jako síly smykové. Působí-li normálová síla ve směru opačném vůči směru normály, označuje se jako síla 51

52 52 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ tlaková a po vydělení velikosti této síly velikostí plochy obdržíme tlak p. Tečné (smykové síly) vyjádřené na jednotky plochy označujeme jako tečná (smyková) napětí τ. Zákonitostmi chování tekutin se zabývá hydromechanika (mechanika tekutin). Hydromechanika se rozděluje na hydrostatiku(studující tekutiny v klidu) a hydrodynamiku(zabývající se tekutinami v pohybu). 3.1 Hydrostatika Nejdříve se budeme věnovat hydrostatice - popisu tekutin v klidu. Jestliže jsou tekutiny v klidu, neexistují v nich smykové síly. Základní zákon hydrostatiky tedy je, že napětí v tekutině v klidu je vždy kolmé na libovolnou plochu uvnitř tekutiny. Kolmá síla na jednotku plochy je většinou označovaná jako tlak, tlakové či normálové napětí, df = p da. Ze skutečnosti, že v nehybné tekutině nepůsobí smykové síly, také vyplývá, že v každém místě tekutiny je tlakové napětí stejné ve všech směrech, viz obrázek 3.1. Tlak v nehybné tekutině se ovšem může měnit od místa k místu: p = p(x,y,z). (3.1) hladina z g h = z 2 - z 1 p 1 z 1 p 2 z 2 Obr.3.1: Vlevo: v nehybné tekutině je síla působící na jednotku plochy kolmá na tuto plochu a má stejnou velikost pro libovolnou orientaci plochy. Vpravo: rozdíl tlaků je úměrný rozdílu výšek, p 2 p 1 = gρh Například v nehybné tekutině na zemském povrchu se tlak mění s výškou (hloubkou). Je to způsobeno tíží tekutiny v gravitačním poli Země, viz obrázek 3.1. Jestliže hustota tekutiny je konstantní a na nějaké libovolně zvolené úrovni z 1 je tlak p 1, pak tlak p 2 na úrovni z 2 (v hloubce h pod úrovní z 1 ) je p 2 = p 1 +ρg(z 2 z 1 ) = p 1 +ρgh, (3.2) kde g =. 9,81 m s 2 je gravitační (tíhová) síla na jednotku hladina hmotnosti (gravitační zrychlení) a ρ je hustota tekutiny. g p da Pro jednoduchost budeme předpokládat, že tlak se mění pouze s výškou h ve směru osy z. Hledejme síly, které působí na ponořené těleso, které má v rovině xy stejný průřez da a výšku dh, viz obrázek 3.2. Obecně na těleso působí síly plošné a objemové. Protože tekutina neproudí, jsou plošné síly tečné (smykové) nulové. z F G dh (p + dp) da Plošné síly tlakové, které působí na svislé plochy Obr.3.2: Síly působící na těleso v nehybné se navzájem ruší a zůstávají pouze tlakové síly, které tekutině

53 3.1. HYDROSTATIKA 53 působí na spodní a horní plochu tělesa. Na těleso dále působí objemová (hmotnostní) gravitační síla, F G = mg = ρgdadh. Za předpokladu, že na těleso již další síly nepůsobí, platí rovnováha sil pda+ρgdadh = (p+dp)da, (3.3) po úpravě získáme základní rovnici hydrostatiky g 1 dp ρdh = 0. (3.4) Jiný případ, kdy je hydrostatická rovnováha možná, nastává, když hustota tekutiny ρ je pouze funkcí tlaku p. Např. pro vzduch o konstantní teplotě T vyplývá z rovnice ideálního plynu z g p (h-h0 ) hladina p 0 h h0 ρ = pm/(rt), (3.5) Obr. 3.3: Tlak nad hladinou kde M je střední molární hmotnost vzduchu a R je univerzální plynová konstanta. Potom pro situaci na obr. 3.3 platí dp dh = pm RT g dp p = gm RT a analytickým řešením je tzv. barometrická formule ln p = gm [ p 0 RT (h h 0) p = p 0 exp gm ] RT (h h 0) Příklad P3.1: Tlak na dně Mariánského příkopu dh (3.6). (3.7) Zadání: Předpokládáme, že hloubka Mariánského příkopu je m, tlak při hladině moře je Pa, hustota vody je 1000 kg m 3 a gravitační zrychlení je 9,81 m s 2. Řešení: Dosazením do rovnice (3.2) získáme p = p 0 +ρg(z z 0 ) = ,81( ) = 1, Pa. Výsledek: Tlak na dně Mariánského příkopu je asi 100 MPa. Příklad P3.2: Tlak na vrcholu Mount Everestu Zadání: Předpokládáme, že výška Mount Everestu je m nad mořem, tlak při hladině moře je Pa, střední teplota vzduchu je 270 K, střední molární hmotnost vzduchu je 0,0288 kg mol 1, univerzální plynová konstanta má hodnotu 8,314 J mol 1 K 1 a gravitační zrychlení je 9,81 m s 2. Řešení: Dosazením do rovnice (3.7) získáme ( p = p 0 exp gm ) ( RT (z z 0) = 10 5 exp 9, ) 8, (8848 0) = Pa. Výsledek: Tlak na vrcholu je asi třikrát nižší než při hladině moře.

54 54 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ 3.2 Proudění tekutin Teoretický popisprouděnítekutinjevelmisložitý 1 azabývajísejímspeciálníkurzymechaniky tekutin, resp. hydrodynamiky. Proto se zde nebudeme zabývat detailním řešením tokových polí, ale seznámíme se především ze základními pojmy, které se týkají proudění v jednotkových operacích chemického inženýrství. Zaměříme na problematiku jednorozměrného proudění reálných (viskózních) tekutin. K typickým úlohám patří proudění v potrubí, např. při dopravě tekutin, nebo ve výměnících tepla. Dále se budeme zabývat prouděním v porézních a zrnitých materiálech. Předpokládáme, že rychlost tekutiny je časově zprůměrněná, tj. zanedbáváme fluktuace rychlosti při proudění. Dále předpokládáme konstantní hustotu, tj. předpokládáme, že tekutina je v podstatě nestlačitelná (změny tlaku, teploty a složení jsou tak malé, že jimi způsobené změny hustoty jsou zanedbatelné). Toto je většinou splněno při proudění kapalin, např. vody. Při proudění plynů, např. vzduchu, tento předpoklad často není vyhovující. Při proudění tekutiny podél nehybné pevné stěny se vytvoří v tekutině rychlostní profil. Pokud je pevná látka pro tekutinu nepropustná, je rychlost proudění ve směru kolmém k povrchu nulová. Ukazuje se, že v naprosté většině experimentálně ověřených případů je také tečná rychlost (rovnoběžná s povrchem) běžných tekutin při povrchu pevné látky nulová, tj. těsně u stěny má tekutina nulovou rychlost a směrem od stěny se rychlost zvětšuje. Je to důsledek existence smykových sil a tedy viskozity. Mezi proudící tekutinou a pevnou látkou existuje smyková síla, která tekutinu brzdí. Představme si, že máme dvě rovnoběžné desky, mezi kterými je umístěna viskózní tekutina, např. voda, viz obrázek 3.4a. Spodní deska je v klidu a horní deska se pohybuje konstantní rychlostí v tak, že povrchy desek jsou trvale v konstantní vzdálenosti h. Lokální rychlost tekutiny (označená šipkami) lineárně roste od nuly na povrchu spodní nepohyblivé desky do rychlosti, se kterou se pohybuje horní deska. A F y v x h dy a) b) dv x x Obr. 3.4: Rychlostní profily v tekutině; a) lineární b) nelineární Když změříme sílu F, která je potřebná k tomu, abychom horní desku udrželi v rovnoměrném pohybu, zjistíme, že je přímo úměrná ploše desek A a rychlosti v a nepřímo úměrná 1 Proudění tekutin je obecně třírozměrné, tzn. že rychlost tekutiny v jakémkoliv místě je určena třemi složkami rychlosti v = (v x,v y,v z). Každá složka rychlosti se může měnit s místem a s časem. Také tlak se může měnit s místem a časem p = p(x,y,z,t). Při odvození základních rovnic popisující proudění tekutin (rovnice kontinuity a pohybových Navierových-Stokesových rovnic) užíváme představu velmi malého (elementárního) objemu proudící tekutiny ve tvaru hranolku. Lokální bilancí hmotnostního toku přes stěny hranolku získáme rovnici kontinuity v lokálním tvaru ve formě parciální diferenciální rovnice. Pro odvození pohybových rovnic aplikujeme druhý Newtonův zákon, zákon síly, který říká, jak se mění rychlost v důsledku působících sil: Poměr změny hybnosti tělesa a doby, v níž tato změna nastala, se rovná působící síle (m a = F neboli m v/ t = F). Síly působící na elementární objem jsou jednak plošné síly tlakové a viskózní (třecí), jednak hmotnostní (objemové) síly. Úpravou vznikají parciální diferenciální rovnice pro každou složku rychlosti. Další komplikace nastávají při teoretickém popisu vírového (turbulentního) proudění.

55 3.2. PROUDĚNÍ TEKUTIN 55 vzdálenosti desek h. Absolutní hodnota smykového napětí F/A je úměrná v/h: F A = ηv h, (3.8) kde konstanta úměrnosti η je látková vlastnost, která se nazývá dynamická viskozita. Z rovnice (3.8) můžeme snadno určit, že jednotkou viskozity je pascal sekunda (Pa s). Voda při 20 C má dynamickou viskozitu η. = Pa s = N s m 2 = kg m 1 s 1. Vedle dynamické viskozity η se často používá kinematická viskozita ν, což je dynamická viskozita vydělená hustotou ρ. Jednotkou kinematické viskozity je m 2 s 1. Voda při 20 C má kinematickou viskozitu ν. = m 2 s 1 a vzduch při 20 C má kinematickou viskozitu ν. = m 2 s 1. Viskozita tekutin většinou značně závisí na teplotě. Pro plyny s rostoucí teplotou viskozita roste a pro kapaliny většinou klesá. Pokud rychlostní profil není lineární (obr. 3.4b), např. při proudění v potrubí, je tečné napětí τ mezi částicemi tekutiny úměrné gradientu rychlosti dv x /dy v daném místě. Výraz dv x /dy charakterizuje jak rychle se mění rychlost proudění ve směru osy x se změnou polohy ve směru osy y, která je kolmá ke směru x τ xy = η dv x dy. (3.9) Rovnici (3.9) nazýváme Newtonův zákon pro viskozitu. Povšimněme si záporného znaménka v rovnici. Napětí τ xy představuje sílu ve směru osy x působící na jednotku plochy kolmou na osu y a charakterizuje vzájemné působení částic viskózní tekutiny při jejich pohybu. Vrstva tekutiny s vyšší rychlostí (hybností) předává hybnost vrstvě tekutiny s nižší rychlostí (hybností). Tento přenos je realizován silovým působením jedné vrstvy na druhou. Tok hybnosti směřuje z místa, kde je hybnosti více, do místa, kde je hybnosti méně. Tím je zdůvodněno záporné znaménko v rovnici (3.9). Mechanizmus přenosu hybnosti spočívá v silových působeních jednotlivých molekul mezi sebou při jejich vzájemných srážkách, které jsou důsledkem jejich více či méně nahodilého pohybu na mikroskopické úrovni, který souvisí zejména s teplotou, a více či méně uspořádaného pohybu na makroskopické úrovni, který zkoumáme v rámci hydrodynamiky. Pokud viskozita nezávisí na smykových silách, hovoříme o tzv. newtonovských tekutinách (voda, vzduch). Kapaliny se složitější strukturou, např. roztoky polymerů, maltové směsi a zubní pasta, se vztahem (3.9) neřídí. Tyto kapaliny nazýváme nenewtonowské, jejichž viskozita závisí na aplikovaných silách. Těmito zvláštními případy se budeme vzhledem k obtížnosti popisu zabývat až v pokračujících kurzech chemického inženýrství, přestože jsou technicky významné. Tekutiny, ve kterých třecí síly zanedbáváme, označujeme jako ideální. Rovnice kontinuity Základní rovnicí pro řešení problémů spojených s prouděním tekutin je rovnice kontinuity, která je založena na bilanci hmotnosti proudící tekutiny. Ukážeme si její odvození na toku tekutiny proudovou trubicí při ustáleném stavu.

56 56 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ Proudovou trubici tvoří svazek proudnic, obrázek 3.5. Proudnice je myšlená čára (křivka), jejíž tečna v každém bodě je rovnoběžná s vektorem rychlosti tekutiny v tomto bodě. Experimentálně je možno proudnice sledovat pomocí pozorování pohybu dobře viditelné malé stopovací částice, která je unášena tekutinou. Obr.3.5: Pohyb tekutiny v proudové trubici. Vlevo: svazek proudnic začínajících na průřezu S 1 a končících na průřezu S 2. Vpravo: hmotnost proteklá průřezem S 1 se musí v ustáleném stavu rovnat hmotnosti proteklé průřezem S 2 Stěny proudotrubice jsou tvořeny proudnicemi a neprotéká jimi tedy žádná tekutina. Tato úvaha je možná i případě, kdy proudovou trubicí je reálná trubka s nepropustnými pevnými stěnami. Označme průřez na jednom konci trubice S 1, střední rychlost tekutiny v tomto průřezu v 1 a hustotu tekutiny ρ 1. Analogické veličiny na druhém konci trubice jsou S 2, v 2 a ρ 2. Zakrátký časový interval t setekutina v S 1 posuneovzdálenost v 1 t avs 2 o vzdálenost v 2 t. Zachování hmotnosti v ustáleném stavu vyžaduje, aby se hmotnost, která vstoupí do trubice přes S 1, rovnala hmotnosti, která z ní vystoupí přes S 2 : ṁ 1 = ṁ 2, m 1 = m 2, ρ 1 S 1 v 1 t = ρ 2 S 2 v 2 t, ρ 1 S 1 v 1 = ρ 2 S 2 v 2. (3.10) Pro konstantní hustotu platí ρ 1 = ρ 2. Úpravou předcházející rovnice získáme základní tvar rovnice kontinuity, ze které plyne, že rychlost je nepřímo úměrná průřezu S 1 v 1 = S 2 v 2. (3.11) Bernoulliova rovnice DálesiodvodímeBernoulliovurovnicipomocíbilancemechanické energie 1.Vypočítejmepráci, kterou vykoná tlaková síla v tekutině. Práce vykonaná na tekutině, která vtéká do S 1, je síla dráha = síla rychlost čas = tlak plocha rychlost čas: W 1 = p 1 S 1 v 1 t, (3.12) zatímco práce odevzdaná odtékající tekutinou na průřezu S 2 je W 2 = p 2 S 2 v 2 t. (3.13) Výsledná práce vykonaná na tekutině mezi průřezy S 1 a S 2 (p 1 S 1 v 1 p 2 S 2 v 2 ) t = E (3.14) se musí rovnat zvýšení energie tekutiny o hmotnosti m při přechodu z S 1 do S 2 (p 1 S 1 v 1 p 2 S 2 v 2 ) t = m(e 2 e 1 ), (3.15) 1 Bernoulliovu rovnici lze odvodit také z pohybové rovnice popisující jednorozměrné ustálené proudění při konstantní hustotě. Bernoulliova rovnice je tedy důsledkem pohybové rovnice a zjednodušujících předpokladů, nikoliv další nezávislou rovnicí.

57 3.2. PROUDĚNÍ TEKUTIN 57 kde e 1 (e 2 ) je energie na jednotku hmotnosti v S 1 (S 2 ). Tuto měrnou energii můžeme vyjádřit jako e = 1 2 v2 +gz +u, (3.16) kde členy na pravé straně rovnice postupně představují měrnou kinetickou, měrnou potenciální a měrnou vnitřní energii. Rovnici (3.15) vydělíme m a po úpravě, viz (3.10), získáme p 1 ρ 1 p 2 ρ 2 = e 2 e 1. (3.17) Po dosazení z(3.16) a úpravě dostaneme Bernoulliovu rovnici s dodatečným členem pro vnitřní energii p 1 ρ v2 1 +gz 1 +u 1 = p 2 ρ v2 2 +gz 2 +u 2. (3.18) Při odvození jsme zatím neuvažovali sílu viskózního tření. V inženýrském přístupu k Bernoulliověrovnicitentonedostatekkompenzujemepřidánímdalšíhočlenue dis,kterýmávýznam množství mechanické energie, která se v jednotce hmotnosti při průtoku proudovou trubicí (potrubím) změní vnitřním třením v teplo. Pro nestlačitelnou kapalinu a adiabatický systém (bez výměny tepla s okolím) lze tuto tzv. měrnou disipovanou energii e dis ztotožnit se změnou měrné vnitřní energie u 2 u 1 v rovnici (3.18). Získáme tak výsledný tvar Bernoulliovy rovnice, který budeme užívat při výpočtech toku v potrubí (obr. 3.6) p 1 ρ v2 1 +gz 1 = p 2 ρ v2 2 +gz 2 +e dis. (3.19) 1 p 1,v 1,S 1 směr proudění. 2 p 2,v 2,S 2 z 1 v = V S z 2 Obr. 3.6: Schéma potrubí Při proudění přímým potrubím kruhového průřezu bude měrná disipovaná energie větší v systémech s větší délkou L, menší při stejné rychlosti v systémech s větším průměrem d a bude úměrná měrné kinetické energii v 2 /2: e dis = λ L d v 2 2. (3.20) Koeficientem úměrnosti v této definici je bezrozměrná veličina λ, kterou nazýváme součinitel tření. Součinitel tření je jedna z mnoha bezrozměrných veličin, čísel či kritérií, se kterými pracuje teorie podobnosti.

58 58 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ 3.3 Bezrozměrná kritéria podobnosti Analýzou pohybových rovnic pro tekutiny nebo na základě rozměrové analýzy lze získat čtyři základní bezrozměrná kritéria hydrodynamiky: Strouhalovo kritérium : St = tv l, (3.21) Reynoldsovo kritérium : Re = lv ν = lvρ η dv, v trubce Re = ν = dvρ η (3.22) Eulerovo kritérium : Eu = p ρv 2, (3.23) Froudeovo kritérium : Fr = v2 gl, (3.24) kde l je charakteristický rozměr systému (např. u trubky je to průměr d), v je charakteristická rychlost proudění (většinou průměrná rychlost v převládajícím směru proudění), t je charakteristický čas (např. doba trvání procesu), ρ, η a ν jsou hustota, dynamická viskozita a kinematická viskozita. p je charakteristický rozdíl tlaků (např. rozdíl mezi vstupním a výstupním tlakem) a g je gravitační zrychlení. Strouhalovo kritérium představuje podíl charakteristické hodnoty akumulace hybnosti a charakteristické hodnoty toku hybnosti prouděním. Jinak řečeno, je to podíl charakteristického času konvekce l/v, který je roven času, za který urazí částice pohybující se charakteristickou rychlostí v vzdálenost rovnající se charakteristickému rozměru l, a charakteristického času t souvisejícího se studovaným problémem, např. doby trvání vsádky. V ustáleném stavu není Strouhalovo kritérium významné. Reynoldsovo kritérium je poměr charakteristických hodnot toků hybnosti makroskopickým mechanismem (konvekcí, prouděním) a vnitřním třením (mikroskopickými tečnými silami, viz Newtonův zákon pro viskozitu). Je to z mnoha pohledů nejdůležitější kritérium v oblasti hydrodynamiky. Jedná se o podíl sil setrvačných a vazkých (viskózních, třecích): Re = v(ρv) η dv dx = lvρ η = lv ν dv, v trubce Re = ν = dvρ η (3.25) Vysoká hodnota Reynoldsova čísla odpovídá převaze destabilizujících setrvačných sil, které vedou k turbulenci a chaotickému pohybu tekutiny. Nízká hodnota Re ukazuje na převahu viskózních sil, které stabilizují tok a vedou k laminárnímu proudění. Eulerovo kritérium vyjadřuje podíl charakteristické hodnoty síly tlakové a síly setrvačné (toku hybnosti prouděním), tj. poměr toků hybnosti tlakovými (mikroskopickými normálovými) silami a makroskopickým prouděním: Eu = p v(ρv) = p ρv 2 (3.26) V dalším textu si ukážeme, že Eulerovo kritérium úzce souvisí s již uvedeným součinitelem tření λ, který dává odpověd na základní praktickou hydrodynamickou otázku v chemickém inženýrství: jak velký musí být tlakový rozdíl, aby tekutina tekla tak, jak potřebujeme. Froudeovo kritérium představuje podíl charakteristických hodnot setrvačné síly (toku hybnosti prouděním) a gravitační síly: Fr = Sv(ρv) Vρg = v2 gl (3.27)

59 3.4. PROUDĚNÍ KAPALINY HORIZONTÁLNÍ TRUBKOU KRUHOVÉHO PRŮŘEZU59 Při velkých hodnotách Froudeova kritéria nejsou gravitační síly pro charakter toku významné. Pro popis proudění uvnitř trubky kruhového průřezu potřebujeme tři geometrické rozměry: vnitřní průměr d (charakteristický rozměr), délku trubky L a tzv. absolutní drsnost ε A, která charakterizuje průměrnou výšku nerovností na vnitřních stěnách trubky, viz tabulka 3.1. Užíváme dva bezrozměrné geometrické simplexy: poměr délky a průměru : L/d, (3.28) relativní drsnost : ε R = ε A /d. (3.29) 3.4 Proudění kapaliny horizontální trubkou kruhového průřezu Předpokládáme ustálené proudění kapaliny trubkou (Strouhalovo kritérium není významné), konstantní teplotu a hustotu kapaliny. Trubka je vodorovná, zanedbáme tedy vliv gravitace, a proto Froudeovo kritérium nehraje roli. Dále předpokládáme, že trubka má všude stejný průměr a geometricky je popsána třemi rozměry uvedenými v předchozí části, tj. průměrem d, délkou L a drsností ε A. Významná kritéria podobnosti jsou čtyři: Re, Eu, L/d a ε A /d. Bernoulliovu rovnici (3.19) zapíšeme v upraveném tvaru p 1 ρ = p 2 ρ +e dis, (3.30) nebot geometrické výšky z a rychlosti v na obou koncích trubky předpokládáme stejné. Po dosazení za disipovanou energii z rovnice (3.20) získáme p 1 p 2 ρ = λ L d v 2 2. (3.31) Pro charakteristický rozdíl tlaků p 1 p 2 = p snadno zjistíme, že Eu = λ 2 L d. (3.32) Pomocí této definice nahradíme Eulerovo kritérium v seznamu významných kritérií součinitelem tření. Seznam kritérií nyní je: Re, λ, L/d a ε A /d. Ale pozor! Pokud jsou volby charakteristických hodnot nezávislé, kritéria podobnosti jsou rovněž nezávislá. Tím, že jsme zvolili za charakteristickou hodnotu tlaků skutečný rozdíl tlaku mezi konci trubky a za charakteristickou hodnotu rychlosti střední hodnotu rychlosti v trubce, kritéria podobnosti již navzájem závislá jsou. Provádíme-li na nějaké neměnné trubce měření závislosti např. střední rychlosti proudění na tlakové diferenci, získáme jednoznačnou závislost. Také teoreticky lze za určitých podmínek dokázat jednoznačnost řešení pohybových rovnic pro zadanou tlakovou diferenci. Vzájemnou závislost kritérií lze vyjádřit explicitně pomocí rovnice λ = λ(re,l/d,ε A /d). (3.33) Je-li trubka dostatečně dlouhá, součinitel tření λ nezávisí na délce (výjimku tvoří pomalé proudění v krátkých trubkách, kdy se projevují efekty nátokové a výtokové oblasti) λ = λ(re,ε A /d). (3.34) Závislost součinitele tření λ na hodnotě Reynoldsova kritéria a drsnosti potrubí zobrazuje Moodyův diagram, viz obrázek 3.7.

60 60 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ A Obr. 3.7: Moodyův diagram pro součinitel tření λ. Přerušovaná čára vymezuje automodelovou oblast Laminární proudění Laminární proudění je charakterizováno malými hodnotami Reynoldsova kritéria. Pro trubku o kruhovém průřezu je hranice laminárního proudění Re < Je třeba zdůraznit, že pro jiné geometrie systému se hraniční hodnota laminární oblasti může významně lišit. V laminární oblasti součinitel tření nezávisí na drsnosti. Pak λ = λ(re). (3.35) Platí experimentálně ověřený teoretický poznatek, že v laminární oblasti součinitel tření λ klesá s rostoucí hodnotou Re: λ = K Re, (3.36) Tab.3.1: Orientační hodnoty absolutní drsnosti ε A pro různé materiály beton drsný 3 mm litina nová 1 mm beton hlazený 0,6 mm litina mírně korodovaná 1,5 mm ocel nová 0,2 mm litina značně korodovaná 3 mm ocel mírně korodovaná 0,3 mm sklo, plastické hmoty 0,01 mm ocel značně korodovaná 1 mm pryž 0,03 mm ocel pozinkovaná 0,2 mm tažené měděné trubky 0,05 mm

61 3.4. PROUDĚNÍ KAPALINY HORIZONTÁLNÍ TRUBKOU KRUHOVÉHO PRŮŘEZU61 kde K je konstanta závisející na tvaru průřezu potrubí, pro kruhový průřez K = 64. Dosazením vztahu pro výpočet součinitele tření pro laminární oblast proudění do rovnice (3.31) získáme p 1 p 2 ρ = λ L d v 2 2 = 64 Lv 2 Re d 2 = 32ν L d2v, p = kv. (3.37) V laminární oblasti tedy tlaková ztráta roste lineárně s rychlostí proudění. Vyjádříme-li explicitně rychlost, získáme Hagenovu-Poiseuilleovu rovnici, kterou lze použít například při měření viskozity kapilárním viskozimetrem v = (p 1 p 2 ) L d 2 Turbulentní proudění 32η. (3.38) Pro dostatečně velké hodnoty Reynoldsova kritéria (pro trubku přibližně Re > ) dochází k turbulentnímu proudění) a součinitel tření λ závisí Reynoldsově čísle jen málo, viz obrázek 3.7. Pro velmi velké hodnoty pak λ na Re nezávisí vůbec tato podoblast vysoce turbulentního proudění se nazývá automodelové proudění), kde platí λ = λ(ε A /d), p = k v 2. (3.39) V automodelové turbulentní oblasti tedy tlaková ztráta roste kvadraticky s rychlostí proudění. V turbulentní oblasti pod automodelovou hranicí součinitel tření závisí jak na Reynoldsově čísle, tak na relativní drsnosti potrubí, viz obrázek 3.7. Pro výpočet je pak možno použít přibližného vztahu λ = 0,25 { [ (6,81 ) ]} 0,9 2. (3.40) log + ε A/d Re 3,7 Mezi laminárním a turbulentním prouděním existuje přechodová oblast, ve které je proudění nestabilní a výsledky jsou obtížně reprodukovatelné, proto v Moodyově diagramu (obrázek 3.7) chybí hodnoty λ v rozsahu Reynoldsových čísel přibližně od 2300 do Nyní se pokusíme vysvětlit, proč v laminární oblasti nezávisí součinitel tření na drsnosti potrubí, zatímco v turbulentní oblasti ano. Představme si zvětšený detail povrchu stěny, ve které jsou nejrůznější nerovnosti a prohlubně, které vznikly např. korozí kovového materiálu trubky. Připomeňme, že Reynoldsovo kritérium je dáno poměrem sil setrvačných a sil vnitřního tření. Pokud je Reynoldsovo kritérium malé, jedná se o laminární oblast proudění a částice tekutiny do nerovnosti stěny pronikne a zde se vlivem vnitřního tření, které je oproti setrvačnosti relativně velké, veškerá kinetická energie tekutiny disipuje v teplo a kapalina se prakticky zastaví. Zjednodušeně řečeno, nerovnosti povrchu tekutiny se vyhladí nehybnou tekutinou, těsně u povrchu stěny je rychlost proudění nulová a povrch stěny se jeví jako hladký bez ohledu na to, jak je ve skutečnosti drsný. Oproti tomu v turbulentní oblasti (pro velké hodnoty Reynoldsova kritéria) částice tekutiny s velkou setrvačností narazí na povrch stěny, vlivem vnitřního tření se disipuje jen část kinetické energie a částice se od stěny odrazí a proniká zpět do jádra tekutiny. Nerovnosti stěny tak ovlivňují dění v jádru tekutiny.

62 62 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ Tab. 3.2: Orientační hodnoty součinitelů místních odporů ζ pro některé armatury zcela otevřené klínové šoupátko 0,5 zcela otevřené paralelní šoupátko 0,15 koleno 45 0,3 paralelní šoupátko otevřené na 75% 0,9 koleno 90 1,26 paralelní šoupátko otevřené na 50% 4,5 oblouk 90 0,25 paralelní šoupátko otevřené na 25% 24 zcela otevřený přímý ventil 3 zcela otevřený šikmý ventil 1,6 zpětná klapka 6 výtok z potrubí 1 sací koš 6 Místní odpory Zatím jsme uvažovali trubku, která má všude stejný kruhový průřez. Pokusíme se problém zobecnit. Uvažujme soustavu několika sériově napojených trubek, např. tří, které mají různý průměr. Soustava musí nutně obsahovat dvě rozšíření nebo zúžení. Disipovaná energie je aditivní veličinou v tom smyslu, že když tekutina protéká postupně v uvedeném případě pěti úseky (první trubka, rozšíření nebo zúžení mezi první a druhou trubkou, druhá trubka, rozšíření nebo zúžení mezi druhou a třetí trubkou, třetí trubka), v každém z těchto úseků dojde k disipaci mechanické energie v teplo, tak disipovaná energie v celé soustavě je součtem disipovaných energií v dílčích úsecích. Velikost disipované energie na úseku s konstantním průřezem již umíme popsat. Rozšíření nebo zúžení jsou příklady tzv. místních hydrodynamických odporů. Protože délka či průměr místního odporu jsou obtížně definovatelné veličiny, poměr délky a průměru se zahrne do součinitele tření pomocí definice součinitele místního odporu ζ [zéta]: e dis = ζ v2 2 (3.41) Pro náš systém tří trubek a dvou rozšíření nebo zúžení platí e dis = e dis,1 + e dis,12 + e dis,2 + e dis,23 + e dis,3 = L 1 v1 2 = λ 1 d ζ 12 v L 2 v2 2 + λ 2 d ζ 23 v λ 3 L 3 d 3 v (3.42) Místní odpor typu náhlé rozšíření nebo zúžení je obtížně popsatelný, nebot není jasné, zdali použít rychlost před nebo za místním odporem. V technické praxi je to věc dohody. Pokud jsou v literatuře uvedeny experimentálně zjištěné hodnoty součinitele odporu, musí být uvedeno, jak jsou uvedené hodnoty definovány. Existuje řada jiných důležitých místních odporů, které způsobují ztrátu (disipaci) mechanické energie v technických průtočných armaturách, jako jsou např. ventil, šoupě, sací koš, koleno, oblouk. Pokud jsou tyto armatury na obou stranách vybaveny připojovacími hrdly stejného vnitřního (jmenovitého) průměru, rychlost se počítá na tento průměr. Orientační hodnoty součinitelů místních odporů pro některé armatury jsou uvedeny v tabulce 3.2. Příklad P3.3: Manometr ve tvaru písmene U a laminární tok kapilárou Zadání: Voda protéká při teplotě 20 C vodorovnou kapilárou o vnitřním průměru 0,5 mm a délce 100 mm. Úbytek tlaku na kapiláře se měří pomocí U-manometru. Manometrickou kapalinou je rtut. Rozdíl hladin manometru je 50 mm. Jaký je objemový průtok vody?

63 3.4. PROUDĚNÍ KAPALINY HORIZONTÁLNÍ TRUBKOU KRUHOVÉHO PRŮŘEZU63 Obr. 3.8: Schéma k příkladu P3.3 Řešení: V tabulkách nalezneme hustotu a dynamickou viskozitu vody při dané teplotě: ρ A = 998,2 kg m 3 a η A = 1, Pa s, a hustotu rtuti: ρ B = kg m 3. Provedeme rozbor chování U-manometru, viz obrázek 3.8. Tlaky p 5 a p 6 musí být stejné, jak plyne z rovnice hydrostatiky rovnice aplikované na úsek 5-6. Rovnici hydrostatiky postupně aplikujeme na různé úseky manometru naplněné stejnou tekutinou: 1-3, 2-4, 5-3, 6-4. Je zřejmé, že musí platit, že p 1 p 3 = p 2 p 4, p 1 p 2 = p 3 p 4 = (p 3 p 5 ) (p 4 p 6 ), p 5 p 3 = ρ A g h, p 6 p 4 = ρ B g h, a proto p 1 p 2 = p = (ρ B ρ B )g h = ,81 0,05 = 6155 Pa. Vyjdeme z předpokladu, že voda proudí kapilárou laminárně a dosadíme do Hagenovy-Poiseuilleovy rovnice (3.38) v = (p 1 p 2 ) L d 2 32η = ,1 (0, ) , = 0,48 m s 1. Výpočtem Reynoldsova kritéria se ujistíme, že předpoklad laminárního proudění byl správný. Re = dvρ A η A = 0, ,48 998,2 1, = 238 < Výsledek: Objemový průtok kapilárou je V = Sv = π 4 d2 v = π 4 (0, ) 2 0,48 = 9, m 3 s 1. Příklad P3.4: Turbulentní proudění trubkou Zadání: Voda o teplotě 20 C je dopravována novou ocelovou trubkou o vnitřním průměru 50 mm a délce 100 m střední rychlostí 1 m s 1 do výšky 50 m. Jaký je potřebný rozdíl tlaků mezi vstupem a výstupem. Řešení: V tabulkách nalezneme hustotu a dynamickou viskozitu vody při dané teplotě: ρ = 998,2 kg m 3 a η = 1, Pa s. Vypočteme Reynoldsovo kritérium Re = dvρ η = 0, ,2 1, = > 2300.

64 64 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ V tabulce 3.1 nalezneme absolutní drsnost pro ocel (nová) ε A = 0,2 mm, vypočteme relativní drsnost ε R = 0, /0,05 = 0,004 a určíme hodnotu součinitele tření z Moodyova diagramu λ = 0,029, alternativně také lze λ spočítat ze vztahu (3.40). Vypočteme měrnou disipovanou energii e dis = λ L d v = 0,029 0,05 2 = 29 J kg 1. Dosadíme do Bernoulliovy rovnice a za předpokladu v 1 = v 2 získáme p 1 p 2 = ρg(z 2 z 1 )+ρ e dis = 998,2 9,81(50 0)+998,2 29 = 5, Pa. Výsledek: Mezi vstupem a výstupem je potřebný rozdíl tlaků roven 519 kpa. 3.5 Proudění potrubím s nekruhovým průřezem Proudění v trubkách a kanálech nekruhového průřezu, např. obdélníkového, je kvalitativně podobné proudění v kruhových trubkách. Kriteriální rovnice pro výpočet součinitele tření λ při proudění potrubími s různými tvary průřezů, které můžeme nalézt v literatuře, se však navzájem liší kvantitativně. Zde si ukážeme možnost, jak obecný průtočný průřez popsat pomocí ekvivalentního hydraulického průměru d ekv = 4S O, (3.43) kde S je plocha průtočného průřezu a O je délka tekutinou smočeného obvodu. Snadno se můžeme přesvědčit, že ekvivalentním průměrem kruhu je jeho geometrický průměr. Ekvivalentním průměrem čtverce je délka jeho hrany. Na základě experimentální zkušenosti je možno tvrdit, že proudění potrubím s konstantním nekruhovým průřezem je podobné proudění potrubím s konstantním kruhovým průřezem ekvivalentního průměru. Pro popis proudění potrubím s nekruhovým průřezem můžeme často s přiměřenou přesností použít kriteriální rovnice pro potrubí s kruhovým průřezem tak, že za charakteristický rozměr dosadíme ekvivalentní průměr. 3.6 Proudění v porézních materiálech V chemických a příbuzných technologiích se často setkáváme se situacemi, kdy tekutina protéká vrstvou pevných zrnitých částic nebo porézním materiálem. Jedná se tedy o dvoufázový systém pevná fáze tekutina. Pevná fáze má v obou případech porézní strukturu, tj. jsou v ní obsaženy mezery (kanálky), kterými může tekutina protékat. Předpokládáme, že systém (vrstva částic nebo porézní materiál) má neměnný průřez S a výšku h, obr. 3.9a. Objem vrstvy V je součtem objemu pevné V s a tekuté fáze V f V = V s +V f = Sh. (3.44) Objemový zlomek tekuté fáze ve vrstvě ε se nazývá mezerovitost vrstvy ε = V f V, V f = εv, V s = (1 ε)v. (3.45) Většinou předpokládáme, že pevná fáze zachovává při toku tekutiny neměnnou geometrii, mezerovitost je tedy konstantní. Místní rychlost proudění tekutiny v mezerách mezi

65 3.6. PROUDĚNÍ V PORÉZNÍCH MATERIÁLECH 65 V. p 2 V. L k h p 1 S a) V. b) S V. d k Obr. 3.9: Proudění v porézních materiálech a) zrnitá vrstva, b) model paralelních kanálků pevnou fází se může místo od místa značně měnit v závislosti na velmi komplikované geometrii průtočných kanálků. Pro praktické použití jsou důležité dvě průměrné rychlosti: mimovrstvová rychlost definovaná jako poměr mezi objemovým průtokem tekutiny V a průřezem (mimo vrstvu) S v = V S a střední rychlost tekutiny v mezerách (mezerová rychlost) (3.46) v ε = V S f = V Sε = v ε, (3.47) kde S f = εs je část průřezu vrstvy protínající tekutinu. Další významnou charakteristikou dvoufázových systémů je hustota povrchu a. Jedná se o plochu mezifázového povrchu A vztaženou na jednotku objemu vrstvy V a = A V. (3.48) Pro výpočet hustoty povrchu vrstvy stejných kulových částic o průměru d p použijeme definice (3.45), (3.48) a vztahů pro výpočet povrchu a objemu koule. Při odvození předpokládáme, že počet částic ve vrstvě je n a = A V = A(1 ε) V s = nπd2 p (1 ε) n πd3 p 6 = 6(1 ε) d p, (3.49) Typická hodnota mezerovitosti vrstvy kulových částic je ε = 0,4. Pro částice o průměru 1 mm je pak hustota povrchu a = 2400 m 1 a pročástice o průměru 1 µm je a = 2, m 1. To v posledním jmenovaném případě znamená, že ve vrstvě o objemu V = 1 cm 3 je velikost mezifázové plochy A = 2,4 m 2. Exaktní popis proudění tekutiny v porézních nebo zrnitých materiálech je velmi složitý a při náhodném uspořádání různě velkých částic prakticky nemožný. Proto volíme zjednodušený

66 66 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ model, ve kterém vrstvu nahradíme soustavou n paralelně uspořádaných přímých trubek (kanálků) o délce L k a průměru d k, obr. 3.9b. Pro průměr kanálků užijeme definici ekvivalentního hydraulického průměru (3.43): d k = d ekv = 4S k O k, (3.50) kdes k jeplochaprůřezukanálkuao k jeobvodprůřezukanálku. Přiodvození výpočtu hustoty povrchu předpokládáme, že vnitřní povrch jednoho kanálku je součin jeho délky L k a obvodu O k a = A V = Aε V l = no kl k ε ns k L k = 4O kε 4S k = 4ε d k. (3.51) V případě vrstvy tvořené kulovými částicemi o stejném průřezu můžeme průměr kanálku vypočítat pomocí vztahů (3.49) a (3.51). d k = 4ε a = 4ε 6(1 ε) d p = 2 3 d ε p (1 ε). (3.52) Pomocí vztahu (3.20) vyjádříme měrnou disipovanou energii e dis = λ L k d k v 2 f 2 = 3 4 λl k d p (1 ε) ε 3 v 2 (3.53) kde v f je střední rychlost tekutiny v mezerách, viz. rov. (3.47), a v je mimovrstvová rychlost. Pro výpočet součinitele tření λ vyjádříme Reynoldsovo kritérium Re = v ε d k ρ η = 2 v d p ρ 3(1 ε)η. (3.54) Dále předpokládáme, že proudění v kanálku je laminární (λ = K/Re) díky malému průměru kanálku d k. Pak e dis = 3 K 4Re L k (1 ε) d p ε 3 v 2 = 3 4 K L k (1 ε) 2vd p ρ d p ε 3 v 2 = η 9K 8 3(1 ε)η L k (1 ε) 2 d 2 p ρ ε 3 v. (3.55) Bernoulliovu rovnici při zanedbání rozdílu geometrických výšek a kinetických energií můžeme zapsar ve tvaru p 1 p 2 ρ = e dis. (3.56) Po dosazení e dis z (3.55) do Bernoulliovy rovnice (3.56) získáme Blakeovu-Koženého rovnici v = d2 p ε 3 p 1 p 2 150η (1 ε) 2 h, (3.57) kde za původní výraz 9K/8 z rovnice(3.55) je dosazena empirická hodnota 150, která zahrnuje i korekci na těžko definovatelnou délku zakřivených kanálků L k, místo které je použita známá výška vrstvy h, viz obr. 3.9.

67 3.7. ÚLOHY 67 Došli jsme k důležitému závěru, že v laminární oblasti je mimovrstvová rychlost proudění vrstvou zrnitého materiálu přímo úměrná rozdílu tlaků před a za vrstvou. v = p 1 p 2 R = P(p 1 p 2 ) = κ η (p 1 p 2 ) h, R = 150η h d 2 p (1 ε) 2 ε 3, (3.58) kde R je hydraulický odpor a P je celková permeabilita vrstvy (propustnost, převrácená hodnota odporu). Součinitel κ [kapa] se nazývá Darcyova permeabilita. Rovnice (3.58) může být zobecněna do formy Darcyova zákona: v = κ η dp dx, (3.59) přičemž podle rovnice (3.57) pro Darcyovu permeabilitu κ v laminární oblasti platí ε 3 κ = d2 p 150(1 ε) 2. (3.60) Darcyův zákon (3.59) říká, že v porézním prostředí tekutina proudí proti směru gradientu tlaku a rychlost proudění je nepřímo úměrná viskozitě. Uvedené rovnice jsou důležité při popisu filtrace, kdy je charakter proudění vesměs laminární. V obecném případě, kdy nemůžeme vyloučit turbulentní proudění (např. při proudění vrstvou náplně absorpční kolony), je pro výpočet součinitele tření doporučována Ergunova rovnice, která může být v limitních případech zjednodušena do tvarů: λ = K { K/Re laminární proudění, malá hodnota Re Re +B, λ = B turbulentní proudění, velká hodnota Re (3.61) Doporučené empirické hodnoty parametrů jsou K = 133 a B = 2, Úlohy U3.1 Diferenční U-manometr plněný vodou o teplotě 20 C měří pokles tlaku v potrubí, kterým protéká olej hustoty 819 kg m 3. Olej vyplňuje spojovací trubky a je v přímém styku s vodou v manometru. Trubice manometru jsou 0,70 m dlouhé. Levá trubice je tvořena skleněnou trubkou o vnitřním průměru 6 mm, pravá má vnitřní průměr 8 mm. Při rovnosti tlaků v obou ramenech je sloupec vody vysoký 0,30 m. Jaký maximální tlakový rozdíl bude možno měřit, připojíme-li k místu vyššího tlaku trubice o menším průměru, a jaký v případě, že k tomuto místu připojíme trubici většího průměru? Výsledek: Při připojení užší trubice je tlakový rozdíl 0,82 kpa a při připojení širší trubice je tlakový rozdíl 1,2 kpa. U3.2 Olej SAE10 o teplotě 20 C teče trubkou o vnitřním průměru 0,230 m. Určete maximální možnou hodnotu střední rychlosti oleje, při které je tok ještě laminární. Olej má při uvedené teplotě kinematickou viskozitu 9, m 2 s 1. Jakou hodnotu bude mít objemový průtok oleje? Výsledek: Olej může téci maximální rychlostí 0,95 ms 1 (bereme-li kritickou hodnotu Reynoldsova kritéria rovnu 2300). Objemový průtok oleje bude mít hodnotu 0,0395 m 3 s 1. U3.3Vodaoteplotě10 Ctečetrubkouovnitřnímprůměru150 mmstřednírychlostí5,5 ms 1. Je tento tok laminární nebo turbulentní? Výsledek: Hodnota Reynoldsova kritéria je 6, , a proto je tok turbulentní.

68 68 KAPITOLA 3. ZÁKLADY HYDROMECHANICKÝCH PROCESŮ U3.4 Trubkou o vnitřním průměru 100 mm proudí různé tekutiny při teplotě 20 C. Jejich objemový průtok je 0,8 dm 3 s 1. Rozhodněte, zda tok je laminární nebo turbulentní, jestliže proudící tekutinou je a) vodík (kinemat. viskozita ν = 1, m 2 s 1 ), b) vzduch (ν = 1, m 2 s 1 ), c) benzín (ν = 4, m 2 s 1 ), d) voda. Kritickou hodnotu Re berte rovnu Výsledek: a) Laminární, Re=94, b) laminární, Re=675, c) turbulentní, Re=25088, d) turbulentní, Re= U l s 1 oleje se dopravuje vodorovným potrubím z ocelových, značně korodovaných trubek vnitřního průměru 0,5 m a délce 1 km. Olej má při střední teplotě v potrubí hustotu 900 kg m 3 a dynamickou viskozitu 0,01 Pa s. Jaké množství mechanické energie se disipuje za jednotku času vnitřním třením? Výsledek: Ztráta mechanické energie činí 5,03 kw. U3.6 Určete objemový průtok vody o teplotě 20 C, která proudí novou ocelovou trubkou o vnitřním průměru 150 mm, jestliže tlaková ztráta na 100 m délky trubky nesmí překročit 35kPa. Drsnost stěn trubky je 4, m a trubka je uložena vodorovně. Výsledek: Objemový průtok v trubce má hodnotu 0,044m 3 s 1. U3.7 Plastovou trubkou o průměru 60 mm je čerpáno 36 m 3 za hodinu vody o teplotě 25 C z pouličního hydrantu na vrchol budovy ve výšce 25m. Celková délka trubky je 160m. Jaký bude tlak vody v trubce na vrcholu budovy, jestliže tlak vody v hydrantu je 1,6MPa? Zanedbejte místní odpory v potrubí. Výsledek: Tlak bude mít hodnotu 1,08MPa, rychlost proudění v trubce bude 3,54 ms 1, součinitel tření bude mít hodnotu 0,016. U3.8 Benzín protéká přímou šikmo umístěnou ocelovou trubkou jejíž stěny mají drsnost 0,5mm. Výše položený konec trubkyje umístěn ve výšce 83m a přetlak benzínuvtomto místě vůči tlaku na níže umístěném konci trubky je 2500Pa. Dolní konec trubky je umístěn ve výšce 65m a benzín z něho volně vytéká do nádrže, ve které je atmosférický tlak. Délka trubky je 965 m. Určete objemový průtok benzínu trubkou, jestliže průměr trubky je 0,14 m. Hustota benzínuje790 kgm 3,dynamickáviskozita mápřipodmínkáchtokuhodnotu2, Pas. Výsledek: Objemový průtok benzínu je 0,02 m 3 s 1. U3.9 Voda se přivádí k turbíně novým ocelovým potrubím, které má vnitřní průměr 240 mm. Na vstupu do potrubí je přetlak 20 kpa. Průměr trysky, z níž voda proudí na rotor turbíny, je 80 mm. Ústí trysky je 60 m pod vstupem do potrubí a je v něm podtlak 9,81 kpa. Minimální teplota vody během provozu je 12 C. Určete: a) jaká by byla střední rychlost proudu vody, vystupujícího z trysky, kdyby se voda chovala jako ideální kapalina, b) jak rychle bude voda vytékat, je-li součet délky rovného potrubí a ekvivalentních délek vyjadřujících místní odpory 600 m? Výsledek: Střední rychlost proudu vody, vystupujícího z trysky, je v případě, že by se voda chovala jako ideální kapalina, 35,4 m s 1 a v případě viskózní kapaliny 27,9 ms 1.

69 Kapitola 4 Doprava kapalin Milan Jahoda Při dopravě kapalin vyvoláváme jejich tok působením energie, která je potřebná k uvedení kapaliny do pohybu, k překonání místních odporů a výškových nebo tlakových rozdílů ve směru toku. Nejjednodušší dopravou kapalin je pohyb samospádem vlivem gravitace z výše položeného místa do místa položeného níže. Potřebná mechanická energie je dána rozdílem potenciální energie ve výchozím a konečném místě. Kapaliny můžeme také dopravovat rozdílem tlaků v různých místech potrubní linky. V praxi se však nejčastěji dodává energie prostřednictvím čerpadel. Schéma jednoduché potrubní linky se zařazeným čerpadlem je uvedeno na obr. 4.1, kde čerpáme kapalinu ze zásobníku A do zásobníku B. Vzdálenost h s označujeme jako sací výšku a h v jako výšku výtlačnou. Čerpadlo je v tomto systému aktivním členem, který dodává kapalině energii (koná práci na kapalinu), zatímco v potrubním systému a armaturách se energie spotřebovává. Bernoulliova rovnice pro potrubní linku z 2 h v h s z 1 p 2 směr toku p 1 B čerpadlo sací část A šoupě výtlačná část sací koš Obr. 4.1: Potrubní linka s čerpadlem odvozenávpředchozí kapitoleserozšíří očlen e c,který vyjadřujeměrnou mechanickou energii, kterou tekutina získá při průchodu čerpadlem p 1 ρ + v gz 1 +e c = p 2 ρ + v gz 2 + e dis, (4.1) přičemž platí e dis = e dis,s +e dis,v, (4.2) kde členy e dis,s a e dis,v vyjadřují měrnou ztrátu mechanické energie v sací, resp. výtlačné části potrubí. Měrnou ztrátu mechanické energie v potrubí konstantního kruhového průřezu počítáme ze vzorce e dis = (λ L d + ζ j ) v2 2, (4.3) 69

70 70 KAPITOLA 4. DOPRAVA KAPALIN kde λ je součinitel tření obecně závislý na Reynoldsově kritériu a relativní drsnosti ε A /d, L délka potrubí, d vnitřní průměr potrubí, ζ j sumasoučinitelů místních odporůarmatur a v střední rychlost tekutiny v potrubí, která je počítána z objemového průtoku V a vnitřního průměru potrubí d v = 4 V πd 2. (4.4) Volbavhodnéhočerpadlazávisínaprovozníchpodmínkáchadopravovanétekutině.Čerpadla obecně rozdělujeme na hydrostatická a hydrodynamická. U hydrostatických čerpadel probíhá přeměna mechanické energie na tlak přímo na pracovním prvku čerpadla. Pracovní prvek je většinou konstrukčně řešen jako píst, zub, lamela nebo membrána. Od pracovního prvku se často odvozuje označení čerpadel: pístová, zubová, lamelová nebo membránová. Tlak kapaliny v činném prostoru čerpadla je hydrostatický a je nezávislý na kinematických hodnotách proudového pole, tj. na rychlosti a poloze. Pracovní prvky se u hydrostatických čerpadel pohybují cyklicky, čímž dochází k pulsacím čerpané tekutiny. Pulsaci můžeme zmírnit zvětšením počtu prvků (např. zubů nebo lamel), částečným překrýváním (např. pístů) a v případě dopravy kapalin zapojením vzdušníku do potrubí.vzdušník je tlaková nádoba, kde je uzavřen vzduch, nebo jiný plyn. Při krátkodobém zvýšení tlaku (při pulsu) dopravovaná kapalina zaplní spodní část vzdušníku a stlačí přítomný plyn, který následně po poklesu tlaku nahromaděnou kapalinu vytlačuje zpět do potrubí. Hydrostatická čerpadla se užívají pro dopravu kapalin i plynů. V následujícím textu se zaměříme na popisy konstrukcí a principy činností základních typů. Pístová čerpadla se užívají pro dosažení vysokých tlaků na výtlačné části ( p až 80 MPa, kde p je tlakový rozdíl mezi sacím a výtlačným hrdlem čerpadla). Mechanická část čerpadla je v klasickém provedení tvořena klikovým mechanismem, který je mazán tlakovým olejem. Aby nedocházelo ke znečištění dopravované tekutiny mazacím olejem, je mechanická a hydraulická část utěsněná, např. těsnícím kroužkem. Úplného hermetického uzavření hydraulické části čerpadla dosáhneme membránou. Pracovním prvkem se místo pístu stává membrána, jejíž pohyb zprostředkuje vnější tlak oleje vytvářený pístovým čerpadlem. Princip pístových čerpadel je znázorněn na obr. 4.2a. Na vstupu do čerpadla (sací část) a na výstupu z čerpadla (výtlačná část) jsou umístěny ventily. Nejčastěji jsou užívány kuželové ventily, pro větší průtoky ventily talířové a pro víceviskózní kapaliny ventily kulové. Při pohybu pístu (membrány) směrem od ventilů vzniká v pracovním prostoru podtlak, výtlačný ventil se uzavře a přes sací ventil proniká do pracovního prostoru dopravovaná tekutina. Při obráceném pohybu dojde k uzavření ventilu na sání a přes výtlačný ventil odchází kapalina do výtlačného potrubí. a) b) c) Obr. 4.2: Hydrostatická čerpadla; a) pístové, b) zubové, c) zubové pro vysokoviskózní kapaliny Zubová čerpadla (obr. 4.2b) jsou nejvíce užívána pro čerpání viskózních kapalin, např. mazacích a topných olejů, s rozdílem tlaků na výtlaku do p = 2,5 MPa. Používají se také

71 71 jako podávací jednotky u vysokotlakých pístových čerpadel. Kapalina se u zubových čerpadel přesouvá v prostoru mezi zuby a skříní od sání k výtlaku, kde je vytlačována tím, že zuby do sebe zapadají. S rostoucí viskozitou čerpané kapaliny obvykle klesá počet zubů (obr. 4.2c). Lamelová čerpadla mají excentricky umístěnou rotační část, ve které jsou kluzně umístěny lamely (obr. 4.3a). Lamely jsou pružinami přitlačovány k vnitřní stěně skříně (statoru). Rotací se mění velikost pracovního prostoru mezi lamelami a tím dochází k vytěsňování dopravované tekutiny. Lamelová čerpadla slouží k dopravě kapalin i plynů. Rozdíl tlaků na výtlaku je do p = 10 MPa. Existují také konstrukčně jednodušší nízkotlaká ( p do 0,5 MPa) čerpadla s elastickými lamelami z pryže nebo neoprenu, které těsně přiléhají ke statoru. Čerpadla s pružnými lamelami se užívají pro dopravu kapalin a mají samonasávací vlastnosti. lamela vřeteno ucpávka a) b) c) Obr. 4.3: Hydrostatická čerpadla; a) lamelové b) šroubové, c) vřetenové Šroubová (vřetenová) čerpadla se užívají pro dopravu viskózních a těstovitých látek, hustých kalů s pevnými příměsemi nebo k čerpání zkapalněných plynů. Jejich hydraulická část je tvořena ze závitového vřetene, které je umístěno bud v polootevřeném krytu (žlabu), nebo je zcela uzavřeno v trubce (obr. 4.3b). Mezi statorem a jednotlivými závity rotujícího vřetena vzniká prostor, do něhož se na sání nabírá kapalina, která postupuje k výtlaku. Čerpadla s pootevřeným závitovým vřetenem jsou rovnotlaká (nízkotlaká). Pro tlaky vyšší ( p do 4 MPa) se užívají jednovřetenová čerpadla s oblým závitem statoru i rotoru (obr. 4.3c). Vyšších tlaků kapaliny ( p do 35 MPa) dosahují čerpadla vícevřetenová. ložisko ucpávka ložisko ucpávka těleso čerpadla difuzor A B oběžné kolo a) b) c) Obr. 4.4: Hydrodynamická čerpadla; a) axiální čerpadlo, b,c) radiální (odstředivé) čerpadlo U hydrodynamických čerpadel probíhá přeměna mechanické energie na tlak nepřímo prostřednictvím změny kinetické energie tekutiny. Tlak tekutiny je hydrodynamický, funkčně závislý na kinematických hodnotách proudového pole tekutiny (rychlostech a poloze). Pracovním prvkem hydrodynamických čerpadel je oběžné kolo, kde přeměna mechanické energie na tlak začíná na vstupní hraně oběžné lopatky (obr. 4.4c, bod A), a končí na výstupní hraně této lopatky, bod B. Průtok tekutiny u hydrodynamických čerpadel je kontinuální, nebot

72 72 KAPITOLA 4. DOPRAVA KAPALIN kanály oběžného kola jsou trvale propojeny tekutinou se vstupní a výstupní částí čerpadla. Podle konstrukce oběžného kola rozdělujeme hydrodynamická čerpadla na axiální a radiální (odstředivá). Dále je rozdělujeme na nízkotlaká ( p do 2 MPa), středotlaká ( p od 2 MPa do 30 MPa) a vysokotlaká ( p nad 30 MPa). Axiální čerpadla jsou určená pro nízkotlakou dopravu velkých objemů kapalin nebo plynů. Oběžné kolo mají ve tvaru vrtule a jeho rotací se vytváří pohyb tekutiny ve směru shodném s osou hřídele (obr. 4.4a). Radiální (odstředivá) čerpadla pracují na principu odstředivé síly způsobené rotací oběžného kola, které je umístěné ve stacionární skříni. Sací potrubí je vedeno k ose oběžného kola, které má lopatky různých tvarů. Při otáčení oběžného kola je tekutině udělována kinetická energie a odstředivou silou je vynášená k vnějšímu obvodu kola, kde je umístěno výtlačné potrubí. Při vstupu do výtlačného potrubí se značná část kinetické energie přemění na energii tlakovou (kanály na oběžném kole se rozšiřují, platí rovnice kontinuity a Bernoulliova rovnice). Ve skříni čerpadla může být umístěn stacionární difuzor pro usměrnění proudění tekutiny k výtlaku. Radiální čerpadla se užívají jak pro dopravu nízkoviskózních kapalin (např. voda), tak pro dopravu plynů (radiální ventilátory). Nízkotlaká odstředivá čerpadla jsou jednostupňová, zatímco středotlaká a vysokotlaká jsou obvykle vícestupňová, vytvořená řazením většího počtu oběžných kol za sebou. Vícestupňová čerpadla mohou mít tzv. článkovou konstrukci, kde každý článek obsahuje oběžné kolo s rozvaděči tekutiny. Pro určitou velikost čerpadla, tj. pro konstantní průtok tekutiny, se podle požadovaného tlaku na výstupu řadí potřebný počet článků. Hydrostatická i hydrodynamická čerpadla mají společné některé konstrukční prvky např. spojky hřídelů, ložiska a ucpávky, které zabezpečují pracovní činnost čerpadel. Tyto součásti jsou normalizované a v příslušných obměnách se používají u čerpadel různých tvarů a velikostí. Podrobnější popis těchto částí čerpadel najdeme například v příručce Bláhy a Brady (1997). Existují také jiné typy čerpadel např. proudová, řetězová, monžík atd., které se však používají pouze ve speciálních případech. 4.1 Charakteristika čerpadel a potrubí Při výpočtech charakteristik čerpadel a potrubí se obvykle používá výškový tvar Bernoulliovy rovnice, který získáme vydělením rovnice (4.1) tíhovým zrychlením g. Jednotlivé členy mají rozměr délky (m) p 1 ρg + v2 1 2g + z 1 +H c = p 2 ρg + v2 2 2g + z 2 + h dis, (4.5) kde h dis = e dis /g je ztrátová výška potrubí a H c = e c /g pracovní výška čerpadla. Veličina H c je někdy nazývána dopravní výška, ale toto označení nebudeme užívat, nebot se snadno zamění za čerpací výšku h = h s +h v (obr. 4.1). Charakteristika čerpadla je označení pro závislost měrné energie, resp. pracovní výšky čerpadla na objemovém průtoku a zjišt uje se experimentálně. Schéma experimentu je ukázáno na obr. 4.5a. Přivíráním šoupěte měníme objemový průtok tekutiny, který měříme současně s rozdílem tlaků mezi sáním (1) a výtlakem (2) čerpadla. Každé hodnotě objemového průtoku V přiřadíme pracovní výšku H + c vypočtenou podle vztahu H + c = p ρg, (4.6) což je rovnice(4.5) upravená pro experimentální uspořádání. Typické charakteristiky hydrodynamického čerpadla pro různé frekvence otáčení n a charakteristika hydrostatického čerpadla

73 4.1. CHARAKTERISTIKA ČERPADEL A POTRUBÍ 73 p šoupě směr toku H c HS n 1 n 2 n čerpadlo průtokoměr HD n 3 n 2 a) b) V. n 1 Obr. 4.5: Charakteristika čerpadla; a) schéma experimentu, b)porovnání charakteristik hydrostatického (HS) a hydrodynamického (HD) čerpadla pro různé frekvence otáčení oběžného kola jsou znázorněny na obr. 4.5b. Z obrázku je patrné, že hydrodynamická čerpadla jsou schopna vyvinout jen omezený maximální tlak tekutiny, zatímco hydrostatická čerpadla mají schopnost neomezeného zvýšení tlaku a musí se proto havarijně chránit v tlakové (výtlačné) části systému pojistným ventilem, aby po překročení kritického tlaku nedošlo k destrukci čerpadla. Charakteristiky čerpadel obvykle dodávají výrobci čerpadel. Charakteristika potrubí je závislost mezi měrnou energii e c (resp. H c ), kterou je zapotřebí dodat tekutině, aby v daném potrubním řadu nastal objemový průtok tekutiny o hodnotě V. Charakteristiku potrubí počítáme z výškového tvaru Bernoulliovy rovnice (4.5) H c = p 2 p 1 ρg + v2 2 v2 1 2g + z 2 z 1 + e dis g. (4.7) Po dosazení měrné ztráty mechanické energie e dis z rov. (4.3) a střední rychlosti tekutiny v z rov. (4.4) získáme zobecněný vztah Hc = p 2 p 1 + v2 2 v2 1 + z 2 z 1 + (λ Ld ρg 2g + ) 8 V 2 ζ j π 2 d 4 g. (4.8) Když charakteristiku potrubí zakreslíme do společného grafu s charakteristikou čerpadla a obě křivky se protnou, tj. H + c = H c, (obr. 4.6), získáme průsečík, který se nazývá pracovní bod čerpadla. Pracovní bod nám určí, jaký bude objemový průtok V v potrubním řadu se zabudovaným čerpadlem a jaká bude hodnota měrné energie čerpadla e c, resp. pracovní výšky H c. Z této hodnoty můžeme vypočítat teoretický výkon čerpadla N c = e c ṁ, N c = H c gṁ, N c = H c g V ρ, (4.9) kde ṁ je hmotnostní průtok tekutiny. Skutečný příkon na hřídeli čerpadla bude větší v důsledku ztrát energie ve vlastním čerpadle H c charakteristika čerpadla charakteristika potrubí pracovní bod Obr. 4.6: Společná charakteristika čerpadla a potrubí P c = N c η c, (4.10) kde veličina η c je účinnost čerpadla, která zahrnuje všechny ztráty mechanického původu (tj. ztráty třením mechanických částí v ucpávkách, ložiskách a dalších pohybových mechanismech), ztráty třením kapaliny v čerpadle a ztráty místní vznikající změnou průtokového V.

74 74 KAPITOLA 4. DOPRAVA KAPALIN průřezu. Pokud je míchadlo poháněno elektromotorem o účinnosti η el, pak příkon elektromotoru je P el = P c η el = N c η c η el = N c η celk, (4.11) kde η celk je celková účinnost soustavy čerpadla a elektromotoru (η celk = η c η el ). Pokud průtok vypočtený z pracovního bodu neodpovídá provozním požadavkům, je nutné změnit bud charakteristiku čerpadla, nebo charakteristiku potrubí. Z ekonomického hlediska je lepší provozní stav čerpacího systému řídit na straně čerpadla, tj. změnou charakteristiky čerpadla. Příklad P4.1: Příkon čerpacího zařízení a spotřeba energie Voda se čerpá z otevřené studny do uzavřeného zásobníku (obr. 4.7), ve kterém se udržuje konstantní přetlak 0,02 MPa. Výškový rozdíl mezi hladinou vody ve studni a hladinou vody v zásobníku je 25 m, průřezy studny a zásobníku se prakticky neliší. Voda protéká plastovým potrubím střední rychlostí 1,2ms 1 a její teplota je 10 C (ρ 1000kgm 3,η = 1, Pas). Potrubí je 28m dlouhé, jeho vnitřní průměr je 32mm a obsahuje sací koš, uzavírací ventil a 2 kolena 90. Vypočtěte příkon na hřídeli čerpadla, příkon elektromotoru a denní (24 hodin) spotřebu elektrické energie čerpacího zařízení, je-li celková účinnost čerpadla 60% a celková účinnost elektromotoru 74%. Zadáno:Hustotavodyρ=1000kgm 3,dynamickáviskozita vody η = 1, Pas, tlak na hladině vody ve studni p 1 =p atm (p atm = Pa), tlak na hladině vody v zásobníku p 1 =p atm Pa, vnitřní průměr potrubí d=0,032m, délka potrubí L=28m, střední rychlost vody v potrubí v=1,2ms 1, geodetický rozdíl hladin (čerpací výška) h=25m, účinnost čerpadla η c =0,6 a účinnost elektromotoru η el =0, Řešení: Z Bernoulliovy rovnice (4.1) nejprve vypočteme Obr. 4.7: Schéma k příkladu P4.1 hodnotu měrné energie čerpadla e c, kterou následně dosadíme do spojených rovnic (4.9) a (4.10). Nejdříve indexem 1 označíme veličiny, které příslušejí k hladině vody ve studni a indexem 2 veličiny, které se vztahují k hladině vody v tlakovém zásobníku. Za referenční geodetickou rovinu volíme hladinu vody ve studni: z 1 =0 a z 2 =25m. Průřezy studně S 1 a tlakového zásobníku S 2 jsou prakticky shodné, a proto se budou shodovat i střední rychlosti v rovinách 1 a 2: v 1 v 2. Pro výpočet měrné ztráty mechanické energie kapaliny v potrubí e dis užijeme vztahu (4.3) obsahující součinitele místních odporů armatur zařazených do potrubí (tabulka 3.2): Armatura ζ sací koš 6 uzavírací ventil 3 2 kolena 90 2 x 1,26 výtok z potrubí 1 ζj = 12,52

75 4.1. CHARAKTERISTIKA ČERPADEL A POTRUBÍ 75 Další veličinou je součinitel tření λ, který je funkcí Reynoldsova kritéria Re a relativní drsnosti potrubí ε A /d Re = vdρ η = 1,2 0, , = Pro výpočet relativní drsnosti potrubí ε A /d nalezneme v tabulce 3.1 hodnotu absolutní drsnosti pro plasty: ε A = 0, m, takže relativní drsnost ε A /d = 0, ,032 = 3, Vypočteme hodnotu součinitele tření pro turbulentní oblast proudění (nebo hodnotu zjistíme v Moodyově diagramu) λ = 0,25 { [ (6,81 ) ]} 0,9 2 = log + ε A/d Re 3,7 0,25 { [ ( ) ]} 6,81 0,9 2 = 0,024. log + 3, ,7 Rovnice (4.1) se dle zadání zjednoduší na tvar e c = p 2 p 1 ρ + gz 2 +(λ L d + ζ j ) v2 2 = = , (0, ,22 +12,52) 0,032 2 = 289,4 J kg 1. Pro výpočet příkonu na hřídeli čerpadla použijeme spojené rovnice (4.9) a (4.10), v níž neznámý hmotnostní průtok čerpané kapaliny ṁ vyjádříme pomocí objemového průtoku (popřípadě rychlosti) a hustoty vody P c = e cṁ η c = e c V ρ η c = e cvπd 2 ρ = 289,4 1,2 3,14 0, η c 4 0,6 = 465 W. Příkon elektromotoru čerpacího zařízení vypočteme z příkonu na hřídeli čerpadla, který dělíme účinností elektromotoru P el = P c η el = 465 0,74 = 628 W. Spotřebu elektrické energie čerpacího zařízení vypočteme z hodnoty příkonu elektrického spotřebiče (tj. elektromotoru) v kw, kterou vynásobíme dobou provozu v hodinách: E el = P el τ = = 15 kwh (1kWh = 3600kWs = 3600kJ). Výsledek: Při čerpání vody ze studně do tlakového zásobníku bude příkon na hřídeli čerpadla 465 W, příkon elektromotoru 628 W a denní spotřeba elektrické energie čerpacího zařízení 15 kwh.

76 76 KAPITOLA 4. DOPRAVA KAPALIN Řízení čerpacího systému změnou charakteristiky čerpadla Změna charakteristiky hydrostatických čerpadel se týká jen objemového průtoku, který je prakticky nezávislý na pracovní výšce čerpadla, viz obr. 4.5b. Například u pístových čerpadel můžeme ovlivňovat průtok: změnou počtu pístů nebo jejich průměru, změnou výšky zdvihu, změnou frekvence otáčení, změnou objemové účinnosti, např. přepouštění tekutiny z činného prostoru čerpadla. U hydrodynamických čerpadel lze ovlivnit jejich charakteristiku změnou jak objemového průtoku, tak měrné energie např.: změnou frekvence otáčení oběžného kola, natáčením lopatek na oběžném kole, ovlivněním rotace tekutiny v sání čerpadla před oběžným kolem. Změnou frekvence otáčení oběžného kola se mění množství dopravované tekutiny V, pracovní výška H c a příkon čerpadla P c. Z teorie podobnosti lze vliv změny frekvence otáčení na charakteristiku čerpadla vyjádřit vztahy V 1 V 2 = n 1 n 2, H c1 H c2 = n2 1 n 2 2, P c1 P c2 = n3 1 n 3 2, (4.12) kde index 1 značí stav před změnou a index 2 po změně. Vztahy (4.12) neplatí zcela přesně, ale pro praktické účely zcela vyhovují. Řízení čerpacího systému změnou charakteristiky potrubí Změny charakteristiky potrubí pro regulaci průtoku se dosahuje bud změnou hydraulického odporu na výtlačné části potrubí (tzv. škrcením), nebo obtokem. Při řízení škrcením se přivírá regulační prvek (ventil, šoupě, kohout, klapka), který je zabudován ve výtlačné části potrubí. Škrcením se zvyšuje místní odpor v potrubí, tím se mění měrná ztráta mechanické energie ve výtlačné části potrubí a tím i charakteristika potrubí (obr. 4.8). Řízení průtoku škrcením je vhodné pouze pro hydrodynamická čerpadla, protože hydrostatická čerpadla reagují na změnu charakteristiky potrubí změnou měrné energie(tlaku), přičemž průtok zůstává prakticky stejný. U hydrostatických čerpadel škrcením na výtlaku dochází k nebezpečnému růstu tlaku, který může způsobit zničení čerpadla, a proto se objemový průtok potrubním řadem reguluje obtokem. Při strmé charakteristice může být řízení škrcením provozně nehospodárné, nebot nárůst měrné energie čerpadla a tím také jeho příkonu, viz rov. (4.9) a (4.10), je větší než pokles objemového průtoku. Technicky je to však nejjednodušší a často užívaná metoda pro regulaci čerpadel s nízkým výkonem. Řízení průtoku obtokem je vhodné pro čerpadla se strmou charakteristikou a je hospodárnější než regulace škrcením ve výtlačném řadu. Schéma řízení průtoku kapaliny obtokem je uvedeno na obr Při plně otevřeném šoupěti na obtoku, se kapalina vrací obtokem a nastává tak nulový nebo minimální průtok potrubím. Uzavíráním šoupěte (škrcení obtoku) se zvyšuje průtok potrubím a při zcela uzavřeném obtoku veškerá kapalina vystupující z čerpadla protéká potrubím.

77 4.1. CHARAKTERISTIKA ČERPADEL A POTRUBÍ 77 H c škrcení šoupě. V max V. Obr.4.8: Řízení průtoku škrcením Obr. 4.9: Schéma regulace obtokem Více čerpadel v potrubní lince Do potrubní linky můžeme zařadit i více čerpadel, např. když při užití jednoho čerpadla nedosáhneme požadované pracovní výšky H c (resp. pracovního tlaku p), objemového průtoku V nebo z důvodu zajištění ekonomicky optimálního chodu dopravní linky. U kontinuálních provozů je běžné zdvojování čerpadel, nebot při havárii čerpadla by bylo nutno odstavit celý provoz. Čerpadla řadíme bud sériově, nebo paralelně. Sériové řazení (za sebou) slouží k docílení vyšší pracovní výšky H c (e c, p) nebo objemového průtoku. Výslednou charakteristiku spojených čerpadel (obr. 4.10a, b) sestrojujeme tak, že pro daný objemový průtok sčítáme pracovní výšky. Paralelní řazení (vedle sebe) užíváme prodosažení vyššího objemového toku V. Výsledná charakteristika (obr. 4.10c) je dána součtem objemových toků při stejné pracovní výšce H c. Při paralelním řazení se doporučuje, aby měla čerpadla stejné nebo alespoň blízké charakteristiky. H c H c H potrubí c potrubí C 1 + C 2 C 1 + C 2 potrubí C 1, C 2 C 1 + C 2 C 2 C 1 C 1, C 2 a) V. b) V. c) V. Obr.4.10: Řazení více čerpadel; a) sériové řazení dvou stejných čerpadel pro zvýšení tlaku b) sériové řazení dvou různých čerpadel pro zvýšení průtoku c) paralelní řazení dvou stejných čerpadel pro zvýšení průtoku Příklad P4.2: Společné řešení charakteristiky čerpadla a potrubí Máme naplnit otevřený zásobník o objemu 12m 3 vodou zřeky o teplotě 25 C (ρ=997kgm 3, η=0, Pas). Řeka je se zásobníkem propojena mírně korodovaným ocelovým potrubím o vnitřním průměru 2,5 cm, do kterého je zapojen jeden sací koš, uzavírací ventil, čtyři kolena 90, pět kolen 45 a odstředivé čerpadlo. Celková délka potrubí je 100m. Zásobník je umístěn výše než je hladina řeky a svislá vzdálenost mezi hladinou řeky a koncem výtlačné části potrubí je 23 m, viz schéma na obr Charakteristika čerpadla je zadána následující tabulkou.

78 78 KAPITOLA 4. DOPRAVA KAPALIN Charakteristika čerpadla V /lmin H + c /m 50 48,3 45,5 41,6 36,5 30 Jak dlouho bude trvat naplnění zásobníku vodou? V případě užití dvou čerpadel se shodnou charakteristikou, které uspořádání z hlediska doby čerpání by bylo výhodnější: vedle sebe, nebo za sebou? m Obr. 4.11: Schéma k příkladu P4.2 Zadáno: Hustota vody ρ=997kgm 3, dynamická viskozita vody η=0, Pas, vnitřní průměr potrubí d = 0,025 m, rozdíl geodetických výšek (čerpací výška) h = 23 m, délka potrubí L=100m, tlak v referenční rovině1 (hladina řeky) p 1 =p atm a tlak v referenční rovině2 (hladina v zásobníku) p 2 =p atm. Objem zásobníku 12m 3 (12000 litrů). Řešení: Společným grafickým řešením charakteristiky potrubí a charakteristik čerpadel zjistíme objemové průtoky vody v potrubí pro uvažovaná uspořádání. Do grafu nejdříve vyneseme charakteristiku samostatného čerpadla z dat uvedených v tabulce (křivka 1, obr. 4.12). Dále zakreslíme společnou charakteristiku dvou čerpadel zapojených vedle sebe (sčítáme hodnoty objemových průtoků příslušející stejné pracovní výšce (křivka 2, obr. 4.12) a společnou charakteristiku dvou čerpadel zapojených za sebou(sčítáme hodnoty pracovních výšek příslušející stejným hodnotám objemových průtoků(křivka 3, obr. 4.12). Data pro charakteristiky čerpadel jsou pro větší přehlednost uvedena v následující tabulce. V /lmin H c + /m 50 48,3 45,5 41,6 36,5 30 křivka 1, obr H c + /m 50 48,3 45,5 41,6 36,5 30 křivka 2, obr H c + /m , , křivka 3, obr Do grafu dále znázorníme charakteristiku potrubí (křivka 4, obr. 4.12), pro jejíž sestrojení použijeme rovnici (4.8). Postup při sestrojení charakteristiky potrubí je následující: Indexem 1 označíme veličiny vztahující se k hladině řeky, v jejíž úrovni volíme i referenční rovinu k určování geodetických výšek. Indexem 2 označíme veličiny vztahující se ke konci výtlačné části potrubí. Ze zadání příkladu vyplývá, že z 1 =0, z 2 =23m a p 1 = p 2. Střední rychlost kapaliny v úrovni1 je zanedbatelná (hladina řeky: v 1 0) a střední rychlost kapaliny v úrovni2 je rovna střední rychlosti ve spojovacím potrubí (v 2 =v). Vypočteme součet hodnot součinitelů místních odporů armatur (Tab. 3.2) zařazených do potrubí Armatura ζ sací koš 6 uzavírací ventil 3 4 kolena 90 4 x 1,26 5 kolen 45 5 x 0,3 výtok z potrubí 1 ζj = 16,54

79 4.1. CHARAKTERISTIKA ČERPADEL A POTRUBÍ 79 Rovnice (4.8) se dle zadání zjednoduší na tvar H c = z V 2 = 23+ π 2 d 4 g + (λ L d + ζ j ) 8 V 2 3,14 2 0, ,81 8 V 2 π 2 d 4 g = = , V 2 + 8, V 2 λ. + (λ 100 0, ,54) 8 V 2 3,14 2 0, ,81 = Součinitel tření λ je funkcí Reynoldsova kritéria a relativní drsnosti potrubí ε A /d, avšak Reynoldsovo kritérium je funkcí objemového průtoku V. Postupujeme proto tak, že vhodně volíme několik hodnot objemového průtoku V (v rozsahu zadané charakteristiky čerpadla) a vypočítáme hodnoty Reynoldsova kritéria, odpovídající těmto zvoleným průtokům. Po vyčíslení relativní drsnosti potrubí ε A /d a z hodnot Reynoldsova kritéria získáme hodnoty součiniteletření.pakvypočtemepracovnívýškyh c příslušející zvolenýmobjemovýmprůtokům V a zjištěným hodnotám součinitelů tření λ. Výsledky uspořádáme do přehledné tabulky a získanou závislost charakteristiky potrubí znázorníme graficky společně se zadanou charakteristikou čerpadla. Ze získaného pracovního bodu zjistíme hledaný objemový průtok V. Výpočet siukážemeprojednuzvolenouhodnotuobjemovéhoprůtoku,např. V =40lmin 1, tj. 6, m 3 s 1. Reynoldsovo kritérium Re = vdρ η = 4 V ρ πdη = 4 6, = ,14 0,025 0, Pro výpočet relativní drsnosti potrubí ε A /d nalezneme v Tab. 3.1 absolutní drsnost mírně korodované oceli: ε A = 0, m, takže relativní drsnost je ε A /d = 0, ,025 = 1, Vypočteme hodnotu součinitele tření pro turbulentní oblast proudění(3.40), nebo hodnotu najdeme v Moodyově diagramu, obr. 3.7 λ = 0,25 { [ (6,81 ) ]} 0,9 2 = log + ε A/d Re 3,7 0,25 { [ ( ) ]} 6,81 0,9 2 = 0,0421. log + 1, ,7 Po dosazení objemového průtoku a součinitele tření do rovnice charakteristiky potrubí získáme pracovní výšku odpovídající zvolenému objemovému průtoku H c = , (6, ) 2 + 8, (6, ) 2 0,0421 = 40,4m. Tabulka dílčích výsledků charakteristiky potrubí V /lmin V /m 3 s 1 0 3, , , , Re - 1, , , , , λ - 0,0436 0,0421 0,0416 0,0413 0,0411 Hc /m 23 27,5 40,4 61,7 91,4 129,4

80 80 KAPITOLA 4. DOPRAVA KAPALIN H c m P1 P2 P V / l min -1 Obr. 4.12: Společné řešení charakteristiky čerpadel a potrubí pro příklad P4.2 Na obr nalezneme souřadnice pracovních bodů pro jednotlivá uspořádání. Při zapojení jednoho čerpadla je zjištěný objemový průtok V =44,5lmin 1 (pracovní bod P1). Doba plnění zásobníku τ = V V = ,5 = 270 min. V případě zapojení dvou čerpadel vedle sebe vzroste objemový průtok na V =48lmin 1 (pracovní bod P2) a při zapojení za sebou dosáhneme objemového průtoku V =71lmin 1 (pracovní bod P3). Z výsledných hodnot je patrné, že v tomto případě bude výhodnější zapojení dvou čerpadel za sebou. Výsledek: Doba čerpání bude 270 minut. Při užití dvou shodných čerpadel je v tomto případě výhodnější zapojení za sebou. 4.2 Sací a výtlačná výška Čerpadlo rozděluje potrubní linku na část sací a část výtlačnou (obr. 4.1). Při čerpání kapalin se objevuje problematika geodetické sací výšky, nebot při toku tekutin potrubím klesá tlak ve směru toku a nejnižší tlak v potrubí je obvykle v místě, kde sací potrubí ústí do čerpadla. V okolí vstupu do kanálů oběžného kola u hydrodynamických čerpadel a na vstupu do činného prostoru hydrostatických čerpadel mohou pak v důsledku nízkého tlaku vznikat kavitace (kavitační dutiny) v kapalině. Kavitační dutiny jsou především vyplněny nasycenými parami dopravované kapaliny v případě, že je tlak nižší než tlak nasycených par p při dané teplotě (dochází k lokálnímu varu dopravované kapaliny), nebo desorbovaným plynem uvolněným z kapaliny. Kavity jsou unášeny proudem kapaliny a dostávají se do oblastí s větším tlakem, kde jsou plyny absorbovány kapalinou a páry rychle kondenzují. Při zanikání kavit se dutiny vysokou rychlostí vyplňují okolní kapalinou (implodují), dochází k tlakovým rázům a k opotřebení materiálu (např. lopatek rotoru). Vznik kavitací můžeme snížit např.: umístěním čerpadla co nejblíže k hladině čerpané kapaliny, čímž snížíme délku sací části potrubí, resp. e dis,s, co možno největší hodnotou tlaku na hladině p 1, použitím sacího potrubí s co největším průměrem, snižujeme tak hodnotu e dis,s,

81 4.2. SACÍ A VÝTLAČNÁ VÝŠKA 81 omezením místních odporů na sacím potrubí; proto nikdy neregulujeme průtok škrcením na straně sání, zajištěním dokonalé těsnosti sacího potrubí, čímž zamezíme přisávání okolního plynu (např. vzduchu) do dopravované kapaliny. Odstředivá čerpadla při větším výskytu kavitačních dutin přestávají pracovat, nebot se přeruší spojitost dopravované kapaliny v pracovní části. Pro každou kapalinu a teplotu existuje maximální přípustná sací výška, při které je čerpadlo v daném potrubí provozuschopné. Teoretická maximální sací výška h s,max se vypočítá ze základní Bernoulliovy rovnice pro úsek mezi hladinou nasávané kapaliny (index 1) a vstupem do čerpadla (index s), pokud za tlak na konci sací části potrubí (vstup do čerpadla) p s dosadíme hodnotu tlaku nasycených par při teplotě čerpané kapaliny p. Teoretická maximální sací výška může být i záporná, což vyžaduje umístění čerpadla pod hladinu nasávané kapaliny h s,max = p 1 p ρg + v2 1 v2 s 2g e dis,s g. (4.13) V praxi užíváme empirické korekce pro snížení maximální sací výšky z důvodu minimalizace tvorby kavit. Redukovaná sací výška h s,max,r je pak dána rovnicí h s,max,r = h s,max h br, (4.14) kde h br je výšková bezpečnostní rezerva. Maximální výtlačná výška čerpadla je ovlivněna frekvencí otáčení oběžného kola a konstrukcí čerpadla, které musí i krátkodobě odolat nejvyššímu tlaku, který se může vyskytnout. Z tohoto důvodu užíváme např. ponorná čerpadla při čerpání vody z hlubokých vrtaných studní, nebot maximální sací výška je kolem 8 m, viz příklad P4.3, zatímco výtlačná výška je omezena pouze konstrukcí čerpadel. Příklad P4.3: Maximální sací výška Jaká je dovolená geodetická sací výška čerpadla, která vyloučí vznik kavitace, při čerpání vody teplé 20 C (p =2313,3 Pa, ρ=998kgm 3,η = Pas) z otevřené nádrže, požaduje-li se průtok 15 litrů za sekundu. Svislé plastové sací potrubí má vnitřní průměr 100 mm a výšková bezpečnostní rezerva je 1,6 m. Zadáno: Hustota vody ρ=998kgm 3, dynamická viskozita vody η = Pas, tlak nad hladinou vody p 1 =p atm (p atm = Pa), tlak nasycených par vody při teplotě 20 C (z Antoineovy rovnice) p =2313,3Pa, objemový průtok V =0,015m 3 s 1, vnitřní průměr potrubí d=0,1m a výšková bezpečnostní rezerva h br = 1,6 m. Řešení: Teoretickou sací výšku vypočteme z rovnice(4.13), do které dosadíme hodnotu měrné ztráty mechanické energie v sacím potrubí e dis,s z rovnice (4.3). Při výpočtu předpokládáme maximální délku potrubí 10 m. Rychlost kapaliny v rovině 1 (hladina zásobníku) v 1 bude zanedbatelná vzhledem k rychlosti v s, předpokládáme v 1 0. Střední rychlost vody v potrubí bude shodná s rychlostí na vstupu do čerpadla v = v s. Součinitel tření λ vypočteme z hodnoty Reynoldsova kritéria Re a relativní drsnosti potrubí ε A /d. Při zanedbání vtoku do potrubí budeme předpokládat, že suma součinitelů místních odporů armatur je nulová. Dovolenou geodetickou sací výšku čerpadla vypočteme z rovnice (4.14).

82 82 KAPITOLA 4. DOPRAVA KAPALIN Rychlost v potrubí v = 4 V πd 2 = 4 0,015 3,14 0,1 2 = 1,9ms 1. Reynoldsovo kritérium Re = vdρ η = 1,9 0, = Pro výpočet relativní drsnosti potrubí ε A /d nalezneme v Tab. 3.1 hodnotu absolutní drsnosti pro plasty: ε A = 0, m, takže relativní drsnost je ε A /d = 0, ,1 = Vypočteme hodnotu součinitele tření pro turbulentní oblast proudění ze vztahu (3.40), nebo hodnotu najdeme v Moodyově diagramu, obr. 3.7 λ = 0,25 { [ (6,81 ) ]} 0,9 2 = log + ε A/d Re 3,7 0,25 { [ ( ) ]} 6,81 0,9 2 = 0,0164. log ,7 Teoretická maximální sací výška, rov. (4.13) doplněná rov. (4.3) h s,max = p 1 p ρg + v2 1 v2 s 2g = , ,81 (λ L d + ζ j ) v2 2g = + 0 1,92 2 9,81 Redukovaná maximální sací výška, z rovnice (4.14) h s,max,r = h s,max h br = 9,6 1,6 = 8m. (0, ,1 +0) 1, ,81 = 9,6m. Výsledek: Dovolená geodetická sací výška čerpadla, která vyloučí vznik kavitace, bude 8 m. 4.3 Úlohy U4.1 Odstředivé čerpadlo dopravující 1,5m 3 min 1 kapaliny při pracovní výšce 12m a frekvenci otáčení 960min 1 vyžaduje příkon 11,8kW. Čerpadlo mábýt připojenona elektromotor s frekvencí otáčení 1440min 1. Jak se změní pracovní bod čerpadla? Výsledek:Objemový průtokbude2,25m 3 min 1,pracovnívýška27mapříkončerpadla40kW. U4.2 Vypočítejte maximální teoretickou sací výšku pro odstředivé čerpadlo přečerpávající 200lmin 1 methanolu při teplotě 30 C (hustota 778,8kgm 3, viskozita 0, Pas, tlak nasycených par Pa). Methanol se dopravuje svislým skleněným potrubím o vnitřním průměru 60mm ze zásobníku, ve kterém je udržován tlak 9, Pa. Výsledek: Teoretická maximální sací výška je 9,3 m. U4.3 Odstředivé čerpadlo dopravuje 900lmin 1 ethylalkoholu z tlakového zásobníku, ve kterém je udržován konstantní tlak 1, Pa. Sací potrubí je nové, litinové, svislé, má

83 4.3. ÚLOHY 83 vnitřní průměr 150mm a je v něm zařazen sací koš a jeden uzavírací ventil přímý. Původně se čerpal ethylalkohol při teplotě 5 C. Čerpadlo bylo umístěno v maximální možné svislé vzdálenosti nad hladinou tlakového zásobníku při zvolené bezpečnostní rezervě 1,5m pro zabránění tvorby kavit. Nyní bylo nutno zvýšit teplotu čerpaného ethylalkoholu na 30 C. Určete, jak a o kolik metrů bylo nutno změnit původní umístění čerpadla, aby se zabránilo vzniku kavitace. Výsledek: Při zvýšení teploty čerpaného ethylalkoholu z 5 C na 30 C je nutno posunout čerpadlo o 0,6 m blíže k hladině zásobníku. U4.4 Odstředivé čerpadlo přečerpává 14m 3 h 1 vody o teplotě 20 C vodorovným zkorodovaným litinovým potrubím o vnitřním průměru 50 mm z nádrže do zásobníku. Celková délka potrubí je 100m a obě nádrže jsou otevřené do atmosféry. Určete, na jakou hodnotu vzroste objemový průtok vody, nahradíme-li původní potrubí novým plastovým potrubím o vnitřním průměru 70 mm a zůstane-li původní měrná energie čerpadla zachována. Výsledek: Po výměně potrubí vzroste objemový průtok vody na hodnotu 73,3m 3 h 1. U4.5 Odstředivé čerpadlo dopravuje při teplotě 20 C 1,2m 3 min 1 vody. Tlakoměr na sacím hrdle čerpadla ukazuje tlak 5, Pa, tlakoměr na výtlačné části potrubí tlak 0,3MPa. Průměry sacího a výtlačného potrubí jsou stejné, celková účinnost čerpadla je 0,6. Vypočítejte příkon čerpadla: a) v případě, že druhý tlakoměr je umístěn těsně za výtlačným hrdlem čerpadla, b) v případě, že svislá vzdálenost tlakoměru je 1 m od výtlačného hrdla čerpadla na výtlačném potrubí při zanedbání ztrátové energie v potrubí mezi výtlačným hrdlem a tlakoměrem. Výsledek: Potřebný příkon na hřídeli čerpadla je a)8kw b)8,3kw. U4.6 Vodorovně uloženým novým ocelovým potrubím se v množství 3800m 3 za den čerpá topný olej o hustotě 900kgm 3 a viskozitě 0,04Pas. Potrubí je 32km dlouhé a má vnitřní průměr 219mm. Účinnost čerpacího zařízení je 0,65 a účinnost elektromotoru včetně převodů je 0,88. Vypočtěte spotřebu elektrické energie za 24hodin za předpokladu, že působením čerpadla bude tlak oleje na výstupu z potrubí shodný s tlakem na vstupu. Výsledek: Spotřeba elektrické energie čerpacího zařízení za 24 hodin činí kwh. U4.7 Odstředivé čerpadlo přečerpává vodu ze spodní nádrže do nádrže horní. Výškový rozdíl hladin obou nádrží ve svislém směru je 50m. Spojovací potrubí je nové ocelové s vnitřním průměrem 100mm. Měrná ztráta mechanické energie v sací části potrubí je 15,3Jkg 1. Výtlačná část potrubí má délku 400 m a suma součinitelů místních odporů armatur je 9,2. Rychlostprouděníkapalinyvpotrubíje1,3ms 1.Celkováúčinnostčerpadlaje0,76.Vypočítejte příkon čerpadla a objemový průtok kapaliny. Výsledek: Příkon čerpadla je 8kW. Objemový průtok kapaliny je 0,01m 3 s 1. U4.8 Z železniční cisterny se při teplotě 20 C čerpá motorová nafta (ρ = 815kgm 3, η = 2, Pas) do podzemní nádrže ocelovým, mírně zkorodovaným potrubím dlouhým 48 m vnitřního průměru 50 mm. Během čerpání jsou cisterna a podzemní nádrž otevřené do atmosféry. Svislá vzdálenost mezi hladinou v podzemní nádrži a hladinou v cisterně je 6 m. Pro zjednosušení předpokládejte, že tato vzdálenost se během čerpání nemění. Vypočítejte, za jak dlouho se vyprázdní cisterna, která obsahuje 40m 3 nafty při použití odstředivého čerpadla, jehož charakteristika je zadána následující tabulkou. V /dm 3 s /m 22,0 22,4 22,6 22,3 21,5 20,0 H + c

84 84 KAPITOLA 4. DOPRAVA KAPALIN Výsledek: Při použití daného čerpadla se cisterna vyprázdní během 83 min. U4.9 Vypočítejte množství vody oteplotě 20 C, které je schopnododávat odstředivé čerpadlo za těchto podmínek: voda se přečerpává z níže položené otevřené nádrže do výše položené otevřené nádrže, přičemž hladiny v nádržích jsou od sebe vzdáleny 16,7 m ve svislém směru. Potrubímádélku100m,vnitřníprůměr100mmajevněmzabudovánsacíkoš, uzavíracíventil přímýa3kolena90.charakteristikačerpadlajezadánatabulkou.přivýpočtupředpokládejte, že součinitel tření v potrubí má v oblasti objemového průtoku 400 až 1000dm 3 min 1 konstantní hodnotu 0,038. Charakteristika odstředivého čerpadla je zadána následující tabulkou. V /dm 3 min H c + /m 23 23,5 23, ,8 19,8 17 Výsledek: Odstředivé čerpadlo dodává do horní nádrže 703dm 3 min 1 vody.

85 Kapitola 5 Filtrace Pavel Hasal Filtrací se oddělují pevné částice od tekutiny, ve které jsou rozptýleny (suspendovány), tím způsobem, že směs tekutiny a částic suspenze je vedena přes porézní přepážku, která propustí tekutinu a částice zadrží. Pojem filtrace (nebo částicová filtrace) se používá pro označení filtračních procesů, při kterých se zpracovávají suspenze s částicemi o velikosti větší než přibližně m. Jsou-li filtrovány suspenze (roztoky) obsahující pevné částice (molekuly) s rozměry menšími, označují se používané filtrační procesy jako membránové filtrační procesy, protože se při nich používají speciální mikroporézní filtrační materiály - membrány. Filtrace patří mezi základní hydromechanické operace v chemických, potravinářských a příbuzných technologiích a je též běžně používanou laboratorní operací. V průmyslovém měřítku nachází SUSPENZE p F ZACHYCENÉ ČÁSTICE PORÉZNÍ FILTRAČNÍ PŘEPÁŽKA NOSNÁ DESKA (ROŠT) S F FILTRÁT Obr. 5.1: Základní uspořádání filtračního zařízení filtrace velmi časté uplatnění při separaci pevných produktů od kapalin (např. při filtraci cukerných krystalů), při separaci buněk mikroorganismů od kultivačního média, při odstraňování pevných nečistot z kapalin (filtrace nápojů v potravinářském průmyslu) až po čištění plynů (odstraňování popílku z plynných spalin, odstraňování prachových částic ze vzduchu). Filtrace představuje základní operaci při zpracování a úpravách vody (pitné, odpadní, napájecí, pro laboratorní použití). 85

86 86 KAPITOLA 5. FILTRACE Základní představy o filtračním procesu Základní schéma uspořádání filtračního zařízení je ukázáno na obr Filtrační zařízení se v praxi označují zkráceným pojmem filtr. Porézní materiál použitý pro zachycení částic má obvykle plochý tvar, např. ve formě textilní tkaniny, listu filtračního papíru, síta, desky z porézní keramiky nebo makroporézní polymerní membrány, a nazývá se filtrační přepážka. Filtrační přepážka je umístěna napříč přes průtočný průřez filtru, tj. v rovině kolmé na směr toku suspenze a filtrátu. Velikost filtrační přepážky určuje velikost filtrační plochy S F daného filtru. Filtrační přepážka je obvykle podepřena nosným roštem nebo perforovanou deskou, která přepážku chrání před mechanickým poškozením (protržením) účinkem působící tlakové síly. Tekutina přítomná ve filtrované suspenzi prochází nejprve vrstvou částic zachycených na filtrační přepážce, potom filtrační přepážkou a zbavená částic odchází z filtračního zařízení jako filtrát. Filtrát představuje jeden produkt filtrace, částice zachycené filtrační přepážkou jsou druhým produktem. V závislosti na konkrétní aplikaci může být účelem filtrace získání filtrátu, pevných částic nebo obou produktů současně. Koláčová filtrace Pokud je při filtraci použita filtrační přepážka s velikostí pórů menší než je velikost částic v suspenzi, jsou částice zachyceny na jejím povrchu, nad kterým vytvářejí vrstvu nazývanou filtrační koláč (viz obr. 5.2a). Tento způsob uskutečnění filtrace se proto označuje jako filtrace koláčová (nebo též povrchová). Tloušt ka filtračního koláče ve většině filtrů v průběhu filtrace postupně narůstá. Filtrační přepážka působí jako aktivní filtrační prostředek pouze na počátku filtrace. V pozdějších fázích jsou částice zachytávány na povrchu již vytvořeného filtračního koláče nebo v kanálcích mezi částicemi v koláči. a) b) SUSPENZE SUSPENZE FILTRAČNÍ KOLÁČ FILTRAČNÍ PŘEPÁŽKA FILTRAČNÍ PŘEPÁŽKA FILTRÁT NOSNÁ DESKA (ROŠT) FILTRÁT KOLÁČOVÁ FILTRACE HLOUBKOVÁ FILTRACE Obr. 5.2: Porovnání koláčové a hloubkové filtrace Při filtraci některých suspenzí (např. amorfních sraženin nebo jiných měkkých částic) může mít filtrační koláč nepříznivou strukturu a filtrace probíhá s nízkou rychlostí. V takových případech lze strukturu filtračního koláče zlepšit přidáním pomocných filtračních látek k filtrované suspenzi. Jako pomocné filtrační látky se používají inertní zrnité materiály s tvrdými nedeformovatelnými částicemi, např. křemelina nebo aktivní uhlí, nebo lze ke zlepšení průběhu filtrace použít flokulační a koagulační činidla, která způsobují shlukování částic obsažených v suspenzi do větších celků. Hloubková filtrace Při použití vysoce porézních filtračních přepážek, např. z polymerních pěnových materiálů,

87 87 netkaných textilních materiálů nebo vrstev vláknitých materiálů, pronikají pevné částice z filtrované suspenze do nitra filtrační přepážky, kde jsou teprve zachyceny. Velikost částic je obvykle výrazně menší než průměr kanálků v přepážce a k jejich zachycení dochází v důsledku interakcí různé fyzikálně-chemické podstaty mezi částicemi a materiálem přepážky. K tvorbě filtračního koláče na povrchu přepážky nedochází. Tento způsob uskutečnění filtrace se označuje jako filtrace hloubková (viz obr. 5.2b) a nachází uplatnění především při filtraci suspenzí s velmi nízkou koncentrací pevných částic (pod 1 obj.%), kdy je účelem filtrace získat čirou tekutinu, např. při čištění kapalin od zákalů, při odstraňování prachu z chladicího vzduchu pro elektronická zařízení atp. V dalším textu se budeme zabývat pouze koláčovou filtrací, protože v chemických a příbuzných technologiích nachází podstatně širší uplatnění než filtrace hloubková. Hybná síla filtrace Pro vyvolání toku filtrátu filtračním koláčem a filtrační přepážkou je nutné vytvořit tlakový rozdíl p F (viz obr. 5.1) mezi horním povrchem filtračního koláče (místo s vyšším tlakem) a spodním povrchem filtrační přepážky (místo s nižším tlakem), který se označuje jako filtrační rozdíl tlaků. Tento tlakový rozdíl je nezbytný pro překonání hydraulických odporů proti toku filtrátu ve filtračním koláči a ve filtrační přepážce a představuje hybnou sílu filtrace. Nosný rošt nebo nosná deska pod filtrační přepážkou obvykle vykazuje jen zanedbatelný hydraulický odpor. Filtrační rozdíl tlaků p F lze vytvořit několika způsoby: hydrostatickým tlakem sloupce suspenze nad filtračním koláčem, resp. filtrační přepážkou. Tento způsob vytváření tlakového rozdílu odpovídá situaci znázorněné na obr. 5.1 a je obvyklý při laboratorní filtraci, zvyšováním tlaku plynu nad hladinou suspenze (tlaková filtrace), snižováním tlaku pod filtrační přepážkou (vakuová filtrace), čerpáním suspenze do filtru pomocí čerpadla, odstředivou silou (ve filtračních odstředivkách). Dílčí kroky filtračního procesu Typický filtrační proces lze rozčlenit do několika následných kroků: 1. vlastní filtrace, kdy se ve filtru vytváří filtrační koláč a filtrát, 2. promývánífiltračníhokoláče vhodnoupromývací kapalinou.účelem promývánífiltračního koláče je zbavit koláč nežádoucích rozpustných složek obsažených v kapalině zadržené v koláči, nebo převést tyto složky z koláče do filtrátu, 3. odstranění vlhkosti z koláče. Původní kapalina z filtrované suspenze nebo promývací kapalina se z filtračního koláče obvykle odstraňuje profouknutím vzduchem nebo jiným plynem, nebo mechanickým stlačením koláče, 4. částečné nebo úplné sušení filtračního koláče pomocí proudu sušicího plynu, 5. odstranění (vyjmutí) filtračního koláče z filtru, 6. příprava filtru na další filtraci (rozebrání a čištění filtru, výměna nebo vyčištění filtrační přepážky, opětné sestavení filtru). Při konkrétních technologických aplikacích filtrace může některý z uvedených kroků ve filtračním procesu chybět, nebo naopak může být zařazen další krok, specifický jen pro danou aplikaci.

88 88 KAPITOLA 5. FILTRACE Vsádková a kontinuální filtrace Filtrační zařízení používaná v technologické praxi lze rozdělit na zařízení vsádková a kontinuální. Při vsádkové filtraci (označované též jako filtrace periodická či opakovaná) probíhají dílčí kroky filtračního procesu postupně za sebou vždy po celé filtrační ploše. Při filtraci kontinuální probíhají všechny kroky filtračního procesu současně na různých částech filtrační plochy. 5.1 Filtrační přepážky a některé typy filtrů Filtrační přepážky Filtrační přepážky používané v průmyslových i laboratorních filtrech lze dělit do skupin podle druhu materiálu, ze kterého jsou vyrobeny: vrstvy zrnitých materiálů, např. písku, filtračních hlinek (křemeliny), expandovaného perlitu nebo aktivního uhlí, uložené na vhodné makroporézní (perforované) podložce. Filtry, ve kterých se tyto materiály používají se někdy označují jako naplavovací filtry, protože vrstva se v nich vytváří naplavením suspenze filtračního materiálu na podložku. Tyto vrstvy lze po filtraci snadno regenerovat nebo z filtru odstranit propláchnutím filtru vhodnou kapalinou, vrstvy vláknitých materiálů, které jsou obdobně jako v předchozím případě vytvořeny nanesením na nosnou makroporézní(perforovanou) podložku. Používají se vlákna azbestová, skleněná, celulózová, ze syntetických materiálů (polyamidy, polypropylen, polytetrafluorethylen), z přírodních materiálů (vlna a bavlna) atd., papírové materiály, které představují základní typ filtrační přepážky pro laboratorní filtrace, ale nacházejí velmi široké uplatnění i v průmyslu, porézní kompaktní materiály, např. porézní (sintrované, spékané) kovy, porézní sklo (frity) nebo keramika, které lze vyrobit v různých tvarech (desky, trubky, tzv. filtrační svíčky) a s řízenou porozitou a morfologií pórů a přizpůsobit je specifickým požadavkům filtračního procesu, tkaniny z přírodních nebo syntetických vláken. Filtrační tkaniny (tzv. filtrační plachetky) jsou v průmyslu užívány velmi často, po ukončení filtrace je lze snadno regenerovat praním. Používají se též netkané vláknité materiály plsti, např. z textilních, uhlíkových nebo grafitových vláken, perforované desky nebo síta vyráběná především z kovových, ale i syntetických polymerních materiálů umožňují konstruovat filtrační přepážky s velmi přesně definovanou velikostí, strukturou a morfologií pórů, speciální makroporézní filtrační membrány ze syntetických polymerních materiálů, např. pro filtraci potravinářských produktů, v mikrobiologii, zdravotnictví atp. Jejich vlastnosti lze velmi přesně přizpůsobit požadavkům dané aplikace. Filtrační přepážky lze též dělit podle jejich vnitřní morfologie na přepážky se zrnitou strukturou, s vláknitou strukturou a na kompaktní přepážky s kanálkovou strukturou (s póry procházejícími od jednoho povrchu přepážky k druhému). Výběr filtrační přepážky vhodné pro daný filtrační proces je především určen velikostí (distribucí velikostí) a morfologií pórů nebo kanálků v přepážce a velikostí a tvarem částic ve zpracovávané suspenzi. Je nutno brát zřetel i na fyzikálně-chemické vlastnosti zpracovávané suspenze a filtrátu a na chemickou odolnost (stabilitu) přepážky vůči suspenzi, resp. filtrátu (chemické vlastnosti přepážky jsou zvláště důležité při filtracích potravinářských produktů). Významnou vlastnost filtrační přepážky

89 5.1. FILTRAČNÍ PŘEPÁŽKY A NĚKTERÉ TYPY FILTRŮ 89 představuje její mechanická odolnost vůči působící tlakové síle. Podstatná je též dostupnost a cena filtrační přepážky. a) PŘÍVOD ZNEČIŠTĚNÉ VODY b) ODVZDUŠNĚNÍ FILTRU ODVOD KALU PŘI PROMÝVÁNÍ FILTRU ODVZDUŠNĚNÍ - PŘÍVOD PLYNU PŘÍVOD SUSPENZE PROMÝVACÍ KAPALINA FILTRAČNÍ VRSTVA FILTRAČNÍ PLACHETKA PROMÝVACÍ VODA NOSNÝ ROŠT VAKUUM ODVOD VYČIŠTĚNÉ VODY ODVOD FILTRÁTU A PROMÝVACÍ KAPALINY Obr. 5.3: a) Uzavřený (tlakový) pískový filtr, b) filtrační nuč Některé typy vsádkových a kontinuálních filtrů Vsádkové filtry Obr. 5.3a ukazuje uspořádání uzavřeného (tlakového) pískového filtru, který se téměř výhradně používá pro filtraci znečištěných vod. Filtr je tvořen tlakovou nádobou, ve které je na nosné desce opatřené kloboučky, štěrbinami, sítí malých otvorů nebo jiným drenážním (zcezovacím) systémem nanesena vrstva písku o vhodné velikosti zrn. Znečištěná voda se pod tlakem přivádí nad pískovou vrstvu. Pevné částice se zachycují na povrchu pískové vrstvy, nebo do ní i částečně pronikají. Po zanesení pískové vrstvy kalem, resp. po vytvoření koláče s vysokým hydraulickým odporem se filtr propere promývací vodou přivedenou pod nosnou desku. Po ukončení promývání se filtrační vrstva obnoví opětovným usazením pískových částic. Při pomalé filtraci vod se používají otevřené pískové filtry. Ty mají podobu otevřených kovových nebo častěji betonových nádrží(bazénů). Dna těchto nádrží jsou opatřena drenážním systémem, např. trubkovým, nad kterým se nachází několik drenážních vrstev z hrubozrnných štěrků a písků. Na drenážních vrstvách je položena vlastní filtrační vrstva tvořená jemnozrnným pískem. Hybnou silou filtrace v těchto filtrech je hydrostatický tlak sloupce filtrované vody nad filtračním ložem. Filtrační vrstva se po zanesení částicemi kalu regeneruje propláchnutím promývací vodou. Velmi často používaným vsádkovým filtrem je filtrační nuč (obr. 5.3b). Je tvořena nádobou (obvykle kruhového průřezu), která může být z bezpečnostních nebo hygienických důvodů opatřena odnímatelným(odklápěcím) víkem. V nádobě je umístěna perforovaná deska, na kterou se pokládá vlastní filtrační přepážka. Pod deskou se nachází prostor pro jímání filtrátu a připojení nuče ke zdroji vakua. Filtrace na nučích vyžadují poměrně značné množství manuální práce spojené s vyjímáním filtračního koláče a s přípravou na další filtraci. Listový filtr (obr. 5.4a) je tvořen tlakovou nádobou, ve které jsou umístěny tzv. filtrační listy, tvořené zdvojenou filtrační přepážkou, ve které je umístěna drenážní vložka (např. kovové pletivo). Filtrovaná suspenze se do filtru přivádí pod tlakem, filtrát prochází do vnitřku listů a odvádí se pomocí trubkových rámů listů do sběrného potrubí. Filtrační koláč se zachytává na vnějším povrchu listů. Filtr je obvykle vybaven i promývacím zařízením a koláč se z listů odstraňuje tlakovým vzduchem.

90 90 KAPITOLA 5. FILTRACE a) b) PROMÝVACÍ KAPALINA VZDUCH ODVOD FILTRÁTU FILTRAČNÍ LISTY FILTRAČNÍ SVÍČKY ODVOD FILTRÁTU PŘÍVOD SUSPENZE A PROMÝVACÍ KAPALINY PŘÍVOD SUSPENZE ODPAD KOLÁČ Obr. 5.4: a) Listový filtr, b) svíčkový filtr Svíčkové filtry (viz obr. 5.4b) pracují obdobným způsobem jako filtry listové. Používají se k filtraci zředěných suspenzí velmi jemných částic. Filtrační prvky v těchto filtrech, tzv. filtrační svíčky, mají tvar trubek, jejichž stěny jsou tvořeny filtrační přepážkou, např. porézní keramikou, sklem nebo kovem. V případě snadno deformovatelných filtračních přepážek je uvnitř svíček umístěna mechanická drenážní výztuž. Svazek filtračních svíček je ponořen v suspenzi v nádobě filtru a filtrát je protlačován do jejich vnitřku. Filtrační koláč se z povrchu svíček odstraňuje tlakovým vzduchem. K odstraňování prachových částic z plynů se používají tzv. rukávové filtry, ve kterých jsou filtrační prvky tvořeny textilními rukávy navléknutými na kovových výztužích. Zachycené částice se z vnějšího povrchu rukávů odstraňují oklepáváním, resp. setřásáním. Pokud se tak děje periodicky, lze tyto filtry provozovat i v kontinuálním režimu. PŘÍVOD SUSPENZE ODVOD FILTRÁTU FILTRAČNÍ KOLÁČ Obr. 5.5: Filtrační odstředivka K filtraci hrubě krystalických suspenzí, zejména když je zapotřebí získat dobře promyté krystaly s nízkým obsahem vlhkosti, se používají filtrační odstředivky (viz obr. 5.5). Suspenze se přivádí do rotujícího bubnu, jehož plášt je tvořen, resp. pokryt filtrační přepážkou. Pevné částice se zadržují na vnitřním povrchu bubnu, kde vytvářejí koláč, který se promývá kapalinou rozstřikovanou po jeho povrchu. Filtrační odstředivky se často provozují v kontinuálním režimu s periodickým střídáním jednotlivých kroků filtračního procesu. Pro filtrace obtížně filtrovatelných suspenzí vyžadujících použití velmi vysokých filtračních tlakových rozdílů slouží tzv. kalolisy. V praxi se používají kalolisy rámové a kalolisy komorové. Rámový kalolis (viz obr. 5.6) se skládá ze soustavy filtračních desek a rámů, stažených k sobě pomocí šroubů nebo hydraulického systému. Desky a rámy jsou uspořádány střídavě a po obou stranách rámů je natažena filtrační plachetka. Na povrchu desek je systémem rýh vytvořen drenážní prostor sloužící k odvádění filtrátu, resp. promývací kapaliny. V horních rozích desek a rámů jsou umístěny otvory, které po sestavení kalolisu vytvářejí kanály, sloužící k přívodu suspenze a promývací kapaliny. Při filtraci je suspenze přiváděna do všech rámů, pevné částice jsou zachyceny plachetkami a filtrát prochází do

91 5.1. FILTRAČNÍ PŘEPÁŽKY A NĚKTERÉ TYPY FILTRŮ 91 DESKA BEZ PŘÍVODU PROMÝVACÍ KAPALINY RÁM DESKA S PŘÍVODEM PROMÝVACÍ KAPALINY VSTUP SUSPENZE DO RÁMU VSTUP PROMÝVACÍ KAPALINY ODTOK ODTOK SUSPENZE KALOLIS PŘI FILTRACI KALOLIS PŘI PROMÝVÁNÍ KOLÁČE PROMÝVACÍ KAPALINA FILTRÁT PROMÝVACÍ KAPALINA Obr. 5.6: Desky a rámy rámového kalolisu a princip jeho činnosti drenážních systémů přilehlých desek a odtéká jejich výtokovými kohouty. Při promývání jsou otevřeny odtokové kohouty každé druhé desky a promývací kapalina se přivádí do zbývajících desek (viz obr. 5.6). Promývací kapalina je rozvedena po povrchu přítokové desky a prochází plachetkou do koláče, ze kterého vystupuje přes další plachetku do drenážního systému odtokové desky a odtéká otevřeným odtokovým kohoutem. Velikost promývací plochy je proto poloviční ve srovnání s velikostí plochy filtrační a tloušt ka koláče při promývání je dvojnásobná oproti tloušt ce, kterou prochází filtrát při filtraci. Po ukončení promývání se sevření desk a rámů uvolní, koláč se z rámů vyjme a po očištění se kalolis sestavuje pro další filtraci. Komorové kalolisy jsou složeny pouze z desek, které jsou speciálně tvarovány tak, aby po jejich složení mezi nimi vznikly prostory - komory - pro filtrační koláč. Oproti kalolisům rámovým jsou v nich podstatně složitějším způsobem zakládány filtrační plachetky, ale jinak je jejich činnost obdobná. Kontinuální filtry Základní typy kontinuálních filtrů představují filtry bubnové, kotoučové a pásové. Filtrační rozdíl tlaků je ve všech těchto filtrech vytvářen pomocí podtlaku (vakua) pod filtrační přepážkou. V kontinuálním bubnovém filtru (viz obr. 5.7a) je filtrovaná suspenze přiváděna do vany (žlabu), ve které se otáčí buben s filtrační přepážkou na povrchu. Na ponořené části bubnu probíhá vlastní filtrace a tloušt ka filtračního koláče ve směru otáčení bubnu postupně narůstá. Na vynořené části povrchu filtračního bubnu probíhá odvodňování koláče, jeho promývání a sušení. Promytý a prosušený koláč se z povrchu bubnu odstraňuje seškrabávacím (snímacím) nožem. Vnitřní prostor bubnu je pomocí podélných přepážek rozdělen na cely (segmenty). Rozváděcí hlava, umístěná na jedné z čelních ploch bubnu, řídí činnost filtru tak, aby cely byly připojovány postupně ke zdroji vakua nebo tlakového plynu podle etapy filtrace, která na jejich povrchu právě probíhá. Zajišt uje též oddělený odvod filtrátu a promývacích kapalin. Prvotní odvodnění koláče se dosahuje textilním pásem(popruhem) přitlačovaným k jeho povrchu. Bubnový filtr pracuje za konstantního filtračního rozdílu tlaků. V kontinuálních

92 92 KAPITOLA 5. FILTRACE a) b) SUSPENZE PROMÝVÁNÍ PROMÝVACÍ KAPALINA ODVODNĚNÍ KOLÁČE SUŠENÍ KOLÁČE KOLÁČ KOLÁČ SUSPENZE Obr. 5.7: a) Kontinuální bubnový filtr, b) pásový filtr kotoučových filtrech je filtrace uskutečňována pomocí soustavy plochých kotoučů (obdobných filtračním listům listových filtrů), které se otáčejí ve vaně se suspenzí. Kotouče jsou uvnitř děleny na segmenty a činnost kotoučových filtrů je podobná činnosti filtrů bubnových. Pásové filtry (obr. 5.7b) mají filtrační přepážku z pohyblivého uzavřeného textilního pásu napnutého přes hnací a napínací válce. V aktivní oblasti pásu, kde probíhá vlastní filtrace, promývání a prosoušení koláče je filtrační pás podložen podpůrným perforovaným pryžovým pásem s rýhovaným (drenážním) povrchem. Pod pryžovým pásem je umístěn žlab rozdělený příčnými přepážkami na segmenty, které jsou připojeny ke zdroji vakua, resp. tlakového vzduchu a zajišt ují dílčí kroky filtračního procesu obdobně jako segmenty bubnového filtru. Rozsáhlejší přehledy průmyslově používaných filtrů lze nalézt v literatuře [např. Perry a kol. (1997) nebo Novák a kol. (1989)]. 5.2 Bilance hmotnosti a objemu při filtraci Bilanční schéma filtrace je uvedeno na obr Do filtru vstupuje suspenze (S) a vystupují z něho dva výstupní proudy filtrační koláč (K) a filtrát (F). Bilance celkové hmotnosti pro S - suspenze m S, w S FILTR K- filtrační koláč m K, w K F - filtrát m F, w F Obr. 5.8: Bilanční schéma filtrace bilanční systém z obr. 5.8 v ustáleném stavu (nebo při délce bilančního období rovné době trvání jednoho filtračního cyklu) má tvar m S = m F +m K, (5.1) kdem S jehmotnostsuspenze,m K jehmotnostfiltračníhokoláče am F značí hmotnostfiltrátu. Bilance hmotnosti pevných částic a hmotnosti tekutiny mají podobu m S w S = m K w K +m F w F, (5.2) m S w ls = m K w lk +m F w lf, (5.3)

93 5.3. KINETIKA KOLÁČOVÉ FILTRACE 93 kde w S, w K a w F značí hmotnostní zlomky pevných částic a w ls, w lk a w lf hmotnostní zlomky kapaliny. V praxi se hmotnostní zlomek kapaliny v koláči, w lk = 1 w K, označuje jako vlhkost filtračního koláče. V případě filtru, který zachytí všechny částice přítomné v suspenzi, je w F = 0 a w lf = 1. Bilanční rovnice pak nabývají jednoduššího tvaru m S w S = m K w K, (5.4) m S w ls = m K w lk +m F. (5.5) Pokud při filtraci prochází do filtrátu nezanedbatelné množství pevných částic, popisuje se rozsah tohoto jevu výtěžkem filtrace y F = m sk m ss = w Km K w S m S. (5.6) Při filtraci kapalných suspenzí obsahujících neporézní (nenasákavé) pevné částice platí tzv. aditivita objemů pevné a kapalné fáze. To znamená, že celkový objem všech proudů v bilančním schématu filtrace lze vyjádřit jako součet objemů pevné fáze (s) a kapaliny (l) přítomných v proudu. Např. pro suspenzi vstupující do filtru tedy platí V S = V ss +V ls. (5.7) Namísto hmotností lze pak bilancovat celkové objemy proudů a objemy složek V S = V K +V F, (5.8) ϕ S V S = ϕ K V K +ϕ F V F, (5.9) ϕ ls V S = ϕ lk V K +ϕ lf V F, (5.10) kde ϕ j a ϕ lj, j S,F,K jsou objemové zlomky pevných částic a kapaliny. V rámových kalolisech je objem filtračního koláče určen celkovým vnitřním objemem rámů: V K = nabc, kde n je počet rámů a a, b, c jsou jejich vnitřní rozměry. 5.3 Kinetika koláčové filtrace Z bilančních rovnic filtrace lze určit množství a složení jednotlivých proudů. Z technologického hlediska jsou dalšími významnými veličinami popisujícími filtrační proces doba trvání filtrace (filtrační doba) τ F a potřebná velikost filtrační plochy filtru S F. Obě tyto veličiny lze určit, je-li známa rychlost filtrace, kterou je možno vyjádřit objemovým průtokem filtrátu V F na výstupu z filtru. Hodnota tohoto průtoku je však úměrná velikosti filtrační plochy S F a závisí tedy na typu a velikosti filtru. Vztáhneme proto rychlost filtrace v F k filtrační ploše jednotkové velikosti v F = V F S F, (5.11) abychom tuto závislost odstranili. Rovnici (5.11) lze s použitím definice objemového průtoku filtrátu, VF = dv F /dτ, upravit do podoby v F = 1 dv F S F dτ = dq F dτ, (5.12) kdeveličina q F vyjadřujeobjem filtrátu, který od počátku filtracedodaného okamžiku protekl filtrační plochou jednotkové velikosti q F = V F S F. (5.13)

94 94 KAPITOLA 5. FILTRACE Rychlost filtrace lze vyjádřit (viz rovnice (3.57) a (3.58)) jako podíl hybné síly filtrace, tj. filtračního rozdílu tlaků p F = p 1 p 3 a hydraulického odporu filtru R F, který zahrnuje odpory filtračního koláče a filtrační přepážky (viz obr. 5.9) v F = hybná síla odpor filtru = p F R F. (5.14) Celkový filtrační rozdíl tlaků p F je součtem tlakového rozdílu přes filtrační koláč p K = p 1 p 2 a tlakového rozdílu přes filtrační přepážku p M = p 2 p 3 p F p K p 1 h K R K SUSPENZE KOLÁČ p F = p K + p M. (5.15) Odpor filtru R F je součtem odporů filtračního koláče a přepážky p M p 2 p 3 v F R M R = R + R F K M PŘEPÁŽKA R F = R K +R M. (5.16) Obr.5.9: Hybné síly a odpory při filtraci Velikost odporu filtračního koláče R K je úměrná jeho tloušt ce h K (viz obr. 5.9) a v průběhu filtrace proto postupně narůstá. Odpor filtrační přepážky R M zůstává konstantní. Rovnici (5.14) lze s použitím vztahů (5.15) a (5.16) přepsat do tvaru v F = p K + p M R K +R M. (5.17) Rychlost filtrace má stejnou hodnotu ve filtračním koláči i ve filtrační přepážce, proto též platí v F = p K R K = p M R M. (5.18) Filtrační koláč je porézní vrstva tvořená částicemi ze suspenze a kanálky, kterými protéká filtrát. Při hledání vztahu pro rychlost filtrace ve filtračním koláči proto vyjdeme z rovnice (3.58), dokterézaodpovídajícíveličiny dosadímerychlostfiltracev F,rozdíltlakůpřesfiltrační koláč p K a tloušt ku filtračního koláče h K v F = p K α K η F h K, (5.19) kde η F je dynamická viskozita filtrátu a α K je tzv. specifický odpor filtračního koláče, jehož hodnota je dána velikostí a tvarem částic a dalšími parametry charakterizujícími strukturu koláče (specifický odpor koláče α K v rovnici (5.19) je převrácenou hodnotou Darcyova koeficientu κ v rovnici (3.58)). Pokud je hodnota specifického odporu filtračního koláče α K nezávislá na velikosti tlakového rozdílu p K, tedy α K α K ( p K ), jedná se o nestlačitelný filtrační koláč. V opačném případě, kdy α K = α K ( p K ), se jedná o stlačitelný filtrační koláč. V dalším textu budeme uvažovat pouze filtrace s nestlačitelným koláčem. Tloušt ka filtračního koláče je dána podílem jeho objemu a velikosti filtrační plochy h K = V K S F = c V F S F = cq F. (5.20)

95 5.3. KINETIKA KOLÁČOVÉ FILTRACE 95 Objem filtračního koláče je přímo úměrný objemu zfiltrované suspenze, protože z rovnic (5.8) a (5.9) vyplývá, že V K = V F ϕ S /(ϕ K ϕ S ). Konstanta úměrnosti c = ϕ S /(ϕ K ϕ S ). Po dosazení h K do rovnice (5.19) obdržíme pro filtrační rychlost vztah v F = p K β η F q F, (5.21) kde β = c α K je konstanta charakterizující jak vlastnosti filtračního koláče tak i filtrované suspenze. Z porovnání rovnic (5.21) a (5.18) vyplývá, že odpor filtračního koláče R K = β η F q F. Analogický vztah platí i pro odpor filtrační přepážky, tj. R M = γη F, kde konstanta úměrnosti γ zahrnuje ve své hodnotě strukturální parametry přepážky a její tloušt ku. S použitím rovnic (5.17) a (5.21) vyjádříme rychlost filtrace pomocí celkového filtračního rozdílu tlaků v F = p F β η F q F +γη F (5.22) a s použitím definice (5.13) ji dále upravíme do tvaru v F dq F dτ = p F β η F q F +γ/β = K F q F +q M, (5.23) který popisuje kinetiku filtrace při filtraci ve vsádkovém filtru s nestlačitelným filtračním koláčem. O tzv. filtračních konstantách K F a q M zavedených v předcházející rovnici bude podrobněji pojednáno v odstavci Hodnotu konstanty q M lze chápat jako objem filtrátu připadající na jednotkovou filtrační plochu, při jehož filtraci vznikne filtrační koláč se stejným odporem jako má filtrační přepážka. Předpokládáme-li, jakým způsobem filtrační proces probíhá, získáme integrací rovnice (5.23) vztah mezi dobou trvání filtrace τ F a objemem filtrátu získaného na jednotkové filtrační ploše. Nejčastěji jsou uvažovány dva základní způsoby uskutečnění filtrace: filtrace při konstantní rychlosti a filtrace při konstantním filtračním rozdílu tlaků Filtrace při konstantní rychlosti Ve vsádkových filtrech v průběhu filtrace postupně narůstá tloušt ka filtračního koláče a v důsledku toho postupně roste i hydraulický odpor filtru R F. Pro udržení konstantní rychlosti filtrace v F je nutno postupně zvyšovat hodnotu filtračního rozdílu tlaků p F. Filtrace je ukončena, když hodnota p F vzroste na maximální přípustnou hodnotu. Jestliže je rychlost filtrace udržována po celou dobu jejího trvání na konstantní hodnotě v F = KF /(q F +q M), kde KF označuje hodnotu filtrační konstanty K F v obecném průběžném okamžiku filtrace, ve kterém q F nabývá hodnoty qf, lze rovnici (5.23) integrovat v mezích (0,q F ) pro objem filtrátu vztažený na jednotkovou filtrační plochu a v mezích (0,τ F ) pro dobu filtrace qf τf dq F = v F dτ. (5.24) 0 0 Po integraci rovnice(5.24), ve které čárky u symbolů slouží jen k odlišení integračních proměnných od integračních mezí, dostaneme q F = v F τ F = K F q F +q M τ F. (5.25)

96 96 KAPITOLA 5. FILTRACE Do pravé strany rovnice (5.25) při výpočtech za q F obvykle dosazujeme konečnou hodnotu q F a za K F hodnotu K F pro filtrační rozdíl tlaků p F na konci filtrace, tj. v čase τ F. Dostaneme tak vztah mezi objemem filtrátu vztaženým na jednotkovou filtrační plochu q F a celkovou dobou filtrace τ F v podobě vztahu q 2 F +q M q F K F τ F = 0, (5.26) který lze užít k výpočtu hodnoty q F nebo doby filtrace τ F (známe-li hodnoty konstant K F a q M, kterým je věnován odstavec 5.3.3) Filtrace při konstantním filtračním rozdílu tlaků Jestliže je v průběhu filtrace udržován filtrační rozdíl tlaků p F na konstantní hodnotě, klesá v důsledku postupného růstu odporu filtru R F rychlost filtrace v F. Filtrace se ukončuje v okamžiku, kdy filtrační rychlost klesne na nepřijatelně nízkou hodnotu. Protože rychlost filtrace nemá konstantní hodnotu, je nutno rovnici (5.23) integrovat po separaci proměnných ve stejných mezích jako rovnici (5.25) qf 0 τf (q F +q M ) dq F = K F dτ. (5.27) Obdržíme tak vztah 0 q 2 F +2 q F q M 2 K F τ F = 0, (5.28) který lze užít k výpočtu objemu filtrátu vztaženého na jednotkovou filtrační plochu q F nebo filtrační doby τ F při filtraci s konstantním filtračním rozdílem tlaků Filtrační konstanty V rovnici (5.23) byly zavedeny filtrační konstanty K F a q M K F = p F β η F, q M = γ β = R M β η F, (5.29) Hodnota konstanty K F je závislá na vlastnostech filtračního koláče a filtrované suspenze, viskozitě filtrátu a velikosti filtračního rozdílu tlaků. Hodnota konstanty q M je dána vlastnostmi použité filtrační přepážky. Není závislá na viskozitě filtrátu, protože odpor filtrační přepážky R M = γ η F je na viskozitě přímo úměrně závislý (viz též rovnici (5.29)). Veličina K F se běžně označuje jako filtrační konstanta, i když z jejího definičního vztahu je zřejmé, že konstantní hodnoty nabývá pouze tehdy, nemění-li se v průběhu filtrace viskozita filtrátu (tj. teplota) a filtrační rozdíl tlaků. Obě filtrační konstanty nenabývají univerzálně platných hodnot, ale jsou platné pouze pro danou suspenzi a daný typ filtrační přepážky. Hodnoty filtračních konstant se obvykle určují z výsledků pokusných filtrací, při kterých se za konstantního filtračního rozdílu tlaků filtruje daná suspenze přes danou filtrační přepážku a zaznamenává se závislost objemu filtrátu získaného na jednotkové filtrační ploše q F na době filtrace τ F. Takto získané dvojice hodnot [τ F,q F ], se použijí k výpočtu hodnot konstant K F a q M z rovnice (5.28) (případně z rovnice (5.26)). Jestliže při pokusné filtraci a následné provozní filtraci jsou použity odlišné hodnoty filtračního rozdílu tlaků a filtrace probíhají při různých teplotách, lze hodnoty filtrační konstanty K F z pokusné filtrace (index 1) přepočítat na provozní podmínky (index 2) s použitím vztahu K (2) F K (1) F = p(2) F η (1) F p (1) F η (2) F, (5.30)

97 5.3. KINETIKA KOLÁČOVÉ FILTRACE 97 který platí, pokud se vlastnosti filtračního koláče nemění s teplotou a hodnotou filtračního rozdílu tlaků. Tento předpoklad je splněn v případě nestlačitelných filtračních koláčů Promývání filtračního koláče Při promývání filtračního koláče prochází filtračním koláčem a přepážkou promývací tekutina neobsahující pevné částice a tloušt ka filtračního koláče a jeho hydraulický odpor proto zůstávají konstantní. Udržuje-li se při promývání stálá hodnota promývacího rozdílu tlaků p P, má konstantní hodnotu i rychlost promývání v P, kterou pro vsádkové filtry definujeme vztahem v P = V P = 1 dv P S P S P dτ = dq P dτ, (5.31) kde V P jeobjemový průtokpromývací kapalinyfiltremas P jevelikost promývací plochyfiltru. Ve většině filtrů je velikost promývací plochy shodná s velikostí plochy filtrační. Výjimkou jsou rámové kalolisy, ve kterých S P = 1 2 S F. Veličina q P označuje objem promývací kapaliny vztažený k promývací ploše jednotkové velikosti q P = V P S P. (5.32) Promývání filtračního koláče probíhá při konstantní rychlosti i konstantním rozdílu tlaků a je popsáno kinetickou rovnicí analogickou k rovnici (5.23) dq P dτ = K P q F +q M, (5.33) kdek P jepromývacíkonstanta(vizdále).konstantaq M máprovětšinu filtrůstejnouhodnotu jako při filtraci. Výjimku opět představují kalolisy a promývání koláče v totmto typu filtrů proto popíšeme odděleně. Do pravé strany rovnice (5.33) dosazujeme konečný objem filtrátu vztažený na jednotkovou filtrační plochu q F (počátek promývání je totožný s koncem filtrace). Rovnici (5.33) integrujeme v mezích (0,τ P ) a (0,q P celkový objem promývací kapaliny) qp 0 dq P = K P q F +q M a obdržíme tak vztah τp 0 dτ, (5.34) q P (q F +q M ) K P τ P = 0, (5.35) který se používá obdobným způsobem jako rovnice (5.26) a (5.28). Hodnotu promývací konstanty K P lze určit přepočtem z hodnoty filtrační konstanty K F K P K F = p P p F η F η P, (5.36) kde η P je dynamická viskozita promývací kapaliny. Filtrace a promývání filtračního koláče v kalolisech Velikost filtrační plochy kalolisu je dána počtem rámů N a rozměry jejich stěn a b (viz obr. 5.6) S F = 2N ab. (5.37)

98 98 KAPITOLA 5. FILTRACE Objem filtračního koláče po zaplnění vnitřního prostoru N rámů kalolisu o rozměrech a b c je pak V K = N abc. (5.38) Průběh filtrace v kalolisu popisujeme standardními rovnicemi odvozenými v částech a Během promývání kalolisu (obr. 5.6) však promývací kapalina prochází vrstvou koláče o dvojnásobné tloušt ce oproti filtrátu a dvěma filtračními plachetkami. Hydraulické odpory koláče a přepážky při promývání kalolisu jsou tedy oproti filtraci dvojnásobné. Navíc promývací plocha kalolisu je poloviční oproti filtrační ploše. Promývání v kalolisu proto popisujeme rovnicí vycházející z (5.33) ve tvaru dq P dτ = K P 4q P +4q M, (5.39) která po integraci poskytne výsledný vztah pro promývání filtračního koláče v kalolisu 4q P (q F +q M ) = K P τ P, (5.40) do níž při výpočtech za q P dosazujeme objem promývací kapaliny vztažený k jednotkové filtrační ploše, tj. q P = V P /S F Filtrační cyklus Součet doby filtrace τ F, doby promývání filtračního koláče τ P a doby prodlení (ztrátové doby) mezi mezi dvěma následnými filtracemi ve vsádkovém filtru τ z (doba potřebná pro vyjmutí koláče z filtru, rozebrání filtru, vyčištění, opětovné sestavení atd.) určuje dobu trvání jednoho filtračního cyklu τ c = τ F +τ P +τ z. (5.41) Za určitou dobu τ (jednu směnu, jeden pracovní den, pracovní týden) lze tudíž uskutečnit N c = τ τ c (5.42) filtračních cyklů a výkonnost filtru, vyjádřená např. celkovým objemem suspenze zpracované za dobu τ, lze určit ze znalosti objemu suspenze zpracované v jednom cyklu (V S ) V Sc = N c V S. (5.43) Příklad P5.1: Hmotnostní bilance listového filtru: Vodnásuspenzeohustotě 1150 kgm 3 obsahující 14,2 hmotn.%pevných částic byla filtrována při konstantní filtrační rychlosti na listovém filtru. Při zkušební filtraci bylo za 5 minut filtrační doby získáno 1,85 m 3 filtrátu. Vlhkost filtračního koláče činila 27,5 hmotn.%. Filtrace probíhala při teplotě 20 C. Jaká bude výkonnost filtru (vyjádřená celkovým objemem suspenze zfiltrované za 24 hodin), jestliže za nezměněných podmínek bude doba filtrace prodloužena na 12 minut, promývání filtračního koláče bude trvat 15 minut a příprava filtru na další filtrační cyklus 25 minut? Zadáno: Hustota suspenze ρ S = 1150 kgm 3 ; hmotnostní zlomek pevných částic v suspenzi w S = 0,142; vlhkost koláče w lk = 0,275; filtrační doba zkušební filtrace τ F1 = 300 s; objem

99 5.3. KINETIKA KOLÁČOVÉ FILTRACE 99 filtrátu při zkušební filtraci V F1 = 1,85 m 3 ; prodloužená doba filtrace τ F2 = 720 s; doba promývání koláče τ P = 900 s a doba prodlevy τ z = 1500 s. Řešení: Ze zadaných dat vypočteme dobu trvání jednoho filtračního cyklu definovanou rovnicí (5.41) τ c = τ F2 +τ P +τ z = = 3120 s. Počet filtračních cyklů, které lze uskutečnit za 24 hodin určíme z rovnice (5.42) C = τ c = = 27,7. Při filtraci konstantní rychlostí je objem filtrátu přímo úměrný filtrační době, takže objem filtrátu, který se získá v jednom filtračním cyklu při prodloužené filtrační době určíme ze vztahu V F2 = τ F2 τ F1 V F1 = ,85 = 4,44 m3. Hmotnost filtrátu pak je m F2 = V F2 ρ F = 4,44 998,19. = 4430 kg (za hustotu filtrátu byla dosazena hustota vody při 20 C). Z bilance celkové hmotnosti a z bilance hmotnosti pevné fáze m S = m K +4430, 0,142m S = (1 0,275)m K, určíme hmotnost suspenze zfiltrované za 1 filtrační cyklus m S = , ,275 = 5509 kg, kterou přepočítáme na objem V S = m S ρ S = = 4,79 m3. Výkonnost filtru definovaná rovnicí (5.43) pak je V Sc = C V S = 27,7 4,79 = 132,7. = 133m 3. Výsledek: Výkonnost filtru bude činit 133 m 3 suspenze zfiltrované za 24 hodin. P5.2: Bilancování objemu při filtraci na rámovém kalolisu: Pro filtraci odpadního kalu z metalurgické výroby se používá rámový kalolis s 25 rámy o vnitřních rozměrech mm. Kal obsahuje 7 obj.% pevných částic a vlhkost filtračního koláče je 24 obj.%. Filtrační doba činí 4250 s. Filtrační koláč se promývá vodou jejíž objem představuje 15% z celkového objemu filtrátu. Filtrace i promývání koláče probíhají za stejné konstantní rychlosti. Jaká bude výkonnost kalolisu za 24 hodin (viz příklad P5.1), trvá-li vyprázdnění kalolisu a jeho příprava na následnou filtraci celkem 50 minut? Zadáno: Počet rámů kalolisu N = 25; rozměry rámů a b c = 0,5 0,5 0,035 m; objemový zlomek částic v suspenzi ϕ S = 0,07; objemový zlomek vlhkosti ve filtračním koláči ϕ lk = 0,24;

100 100 KAPITOLA 5. FILTRACE filtrační doba τ F = 4250 s; objem promývací vody V P = 0,15V F ; ztrátová doba τ z = 3000 s. Řešení: Pro určení výkonnosti filtru je nutno vypočítat dobu promývání filtračního koláče, abychom mohli určit dobu trvání jednoho filtračního cyklu (doba filtrace a ztrátový čas jsou známy). Budeme předpokládat, že rámy kalolisu se zcela zaplní filtračním koláčem. Pak můžeme jeho objem vypočítat pomocí rozměrů rámů V K = N abc = 25 0,5 0,5 0,035 = 0,219m 3. Bilanční rovnice pro celkový objem a pro objem pevné fáze (předpokládáme aditivitu objemů pevné a kapalné fáze) mají po dosazení zadaných hodnot tvar V S = 0,219+V F, 0,07V S = (1 0,24)0,219. Z druhé rovnice lze přímo vypočítat objem suspenze zfiltrované v 1 cyklu V S = (1 0,24)0,219 0,07 = 2,375m 3 a z bilance celkového objemu pak objem filtrátu získaného v jednom filtračním cyklu V F = V S 0,219 = 2,375 0,219 = 2,156m 3. Objem promývací vody je V P = 0,15V F = 0,15 2,156 = 0,3234 m 3. Doba promývání je (za předpokladu stejných konstantních rychlostí filtrace a promývání) dána vztahem τ P = V P τ F = 0, = 637,5 s. V F 2,156 Celková dobatrváníjednohofiltračníhocyklutedyjeτ c = τ F +τ P +τ z = , = 7887,5. = 7900 s. Za 24 hodin lze tedy uskutečnit C = ( )/7900 = 10,94 filtračních cyklů a výkonnost filtru bude V Sc = CV S = 10,94 2,375 = 26,0 m 3. Výsledek: Výkonnost kalolisu je 26 m 3 zpracované suspenze za 24 hodin. P5.3: Filtrace za konstantní rychlosti na filtrační nuči: Na filtrační nuči s filtrační plochou 3,25 m 2 je zapotřebí každou hodinu zfiltrovat 100 kg směsi matečného roztoku a krystalů; koncentrace krystalů ve směsi je 15 hmotn.% a matečný roztok má hustotu 1098 kgm 3. Filtrační koláč obsahuje 88 hmotn.% krystalů, zbytek představuje ulpělý matečný roztok. Filtrace probíhá za konstantní rychlosti, odfiltrované krystaly nejsou promývány a příprava nuče na další filtraci trvá 20 minut. Zjistěte, zda je s použitím uvažované nuče za daných podmínek možno filtraci každou hodinu uskutečnit. Hodnoty filtračních konstant jsou: K F = 3, m 2 s 1 (hodnota na konci filtrace), q M = 4, m. Zadáno: Filtrační plocha S F = 3,25 m 2 ; trvání jednoho filtračního cyklu τ c 1 h; doba prodlevy τ z = 1200 s; τ P = 0 (filtrační koláč se nepromývá); hmotnost suspenze v 1 cyklu m S = 100 kg; hmotnostní zlomek krystalů v suspenzi w S = 0,15; hmotnostní zlomek krystalů v koláči w K = 0,88; hustota filtrátu F = 1098 kgm 3 ; filtrační konstanty K F = 3,2 10 7

101 5.3. KINETIKA KOLÁČOVÉ FILTRACE 101 m 2 s 1, q M = 4, m. Řešení: Z bilanční rovnice pro pevnou fázi (5.4) vyjádříme hmotnost filtračního koláče zachyceného v nuči m K = w Sm S = 0, = 17,05 kg. w K 0,88 Z bilanční rovnice pro celkovou hmotnost určíme hmotnost filtrátu, který vznikne v jednom filtračním cyklu m F = m S m K = ,05 = 82,95 kg. Objem filtrátu je V F = m F / F = 82,95/1098 = 7, m 3 a objem filtrátu připadající na jednotkovou filtrační plochu q F = V F /S F = 7, /3,25 = 2, m. Z rovnice pro filtraci konstantní rychlostí (5.26) vyjádříme dobu filtrace τ F τ F = q F (q F +q M ) K F = 2, (2, , ) 3, = s. Celková doba trvání filtračního cyklu je τ c = τ F +τ P +τ z = = 3216 s. Výsledek: Celková doba trvání jednoho filtračního cyklu (3 216 s) je kratší než 1 hodina, proto lze filtraci každou hodinu uskutečnit. P5.4: Filtrace při konstantním filtračním rozdílu tlaků, určení hodnot filtračních konstant: Suspenze buněk baktérie Bacillus subtilis je filtrována za konstantního rozdílu tlaků s cílem oddělit buňky od kapalného kultivačního média. Na laboratorním filtru s filtrační plochou 0,25 m 2 byla při rozdílu tlaků 48 kpa provedena zkušební filtrace, při níž byly zjištěny tyto hodnoty: za3minuty filtracebylozachyceno 12,1 dm 3 filtrátuaza20minut32 dm 3 filtrátu.jakou velikost musí mít filtrační plocha provozního filtru, aby na něm bylo možno za 30 minut zfiltrovat 4 m 3 suspenze buněk při konstantním filtračním rozdílu tlaků 75 kpa? Suspenze buněk obsahuje 12 kg buněčné hmoty (pevných částic) v 1 m 3 ; filtrační koláč obsahuje 23 hmotn.% buněčné hmoty. Laboratorní i provozní filtrace probíhají při stejné teplotě a je použita stejná filtrační přepážka. Při uvažovaných tlakových rozdílech je možno buňky považovat za nestlačitelné. Zadáno: Filtrační plocha laboratorního filtru S F,lab = 0,25 m 2 ; tlakový rozdíl při filtraci na laboratorním filtru p F,lab = 48 kpa; doby filtrace na laboratorním filtru a odpovídající objemy filtrátu: τ F1 = 180 s, V F1 = 1, m 3 a τ F2 = 1200 s, V F2 = 3, m 3 ; filtrační doba při provozní filtraci τ F = 1800 s; filtrační rozdíl tlaků při provozní filtraci p F = 75 kpa; objem filtrátu při provozní filtraci V F = 4 m 3 ; hmotnostní zlomek buněčné hmoty ve filtrované suspenzi w S = 12/1000 = 0,012 (předpokládáme, že hustota buněčné suspenze se významně neliší od hustoty vody, kterou bereme rovnu 1000 kgm 3 - předpoklad je oprávněný, protože koncentrace buněk a rozpuštěných složek v suspenzi je velmi nízká); hmotnostní zlomek buněčné hmoty v koláči w K = 0,23.

102 102 KAPITOLA 5. FILTRACE Řešení: Z dat získaných při laboratorní filtraci vypočteme objemy filtrátu připadající na jednotkovou filtračníplochu:q F1 = V F1 /S F,lab = 1, /0,25 = 0,0484m,q F2 = V F2 /S F,lab = 3, /0,25 = 0,128 m. Po dosazení odpovídajících si dvojic q Fi a τ Fi, i 1,2 do rovnice (5.28) obdržíme dvě rovnice pro neznámé hodnoty filtračních konstant 0, ,0484q M 2 180K F,lab = 0, 0, ,128q M K F,lab = 0. Řešením této soustavy dostaneme K F,lab = 7, m 2 s 1 a q M = 1, m (konstanta q M nemáoznačení lab,protožejejíhodnotazůstávástejnápřiprovozníilaboratornífiltraci). Hodnotu filtrační konstanty K F pro provozní filtraci určíme přepočtem podle rovnice (5.30) K F = p F p F,lab K F,lab = , = 1, m 2 s 1. Objem filtrátu vztažený na jednotkovou filtrační plochu při provozní filtraci vypočítáme řešením kvadratické rovnice (5.28) po dosazení hodnot provozní doby filtrace a filtračních konstant q 2 F +2 1, q F 2 1, = 0. Kladný kořen této rovnice je q F = 0,197 m. Řešením bilančních rovnic pro celkovou hmotnost a pro hmotnost buněčné hmoty 4000 = m F +m K, 0, = 0,23m K, obdržíme hmotnost filtračního koláče m K = 208,7 kg a hmotnost filtrátu m F = 3791,3 kg (při dosazování do bilance celkové hmotnosti jsme opět předpokládali, že hustota suspenze buněk má hustotu 1000 kgm 3 ) a tedy, že m F = = 4000 kg. Objem filtrátu pak je V F = m F / F = 3791,3/1000. = 3,79 m 3 (opět jsme předpokládali, že hustota filtrátu se neodlišuje od hustoty vody). Nakonec z rovnice (5.13) vypočítáme velikost potřebné filtrační plochy S F = V F q F = 3,79 0,197 = 19,25m2. Výsledek: Provozní filtr musí mít filtrační plochu o velikosti 19,25 m 2. P5.5: Filtrace a promývání na kalolisu: Naprovozním kalolisu ocelkové filtrační ploše12m 2 mábýtpřikonstantním filtračním rozdílu tlaků filtrována suspenze z jejíž jedné zpracované dávky vznikne 1,25 m 3 filtrátu. Při zkušební filtraci na jiném filtru s filtrační plochou 1,2 m 2 byly se stejnou filtrační přepážkou, ale při filtračním tlakovém rozdílu rovném 60% tlakového rozdílu na provozním kalolisu, zjištěny tyto hodnoty filtračních konstant: K F = 1, m 2 s 1, q M = 12, m. Filtrační koláč bude promýván vodou, jejíž viskozitu lze považovat za shodnou s viskozitou filtrátu, při stejném tlakovém rozdílu jako při provozní filtraci a objem promývací vody bude činit 15% objemu filtrátu. Jaká bude doba potřebná k filtraci jedné dávky suspenze a k promytí koláče? Zadáno: Filtrační plocha provozního filtru S F = 12 m 2 ; objem filtrátu při provozní filtraci: V F = 1,25 m 3 ; filtrační rozdíl tlaků při zkušební filtraci p F,zk = 0,6 p F ; filtrační konstanty

103 5.4. ÚLOHY 103 ze zkušební filtrace: K F,zk = 1, m 2 s 1, q M = 12, m; objem promývací vody V P = 0,15V F. Řešení: Pro výpočet doby filtrace je nutno určit objem filtrátu připadající na jednotkovou filtrační plochu (rovnice (5.13)) q F = V F S F = 1,25 12 = 0,1042 m a přepočítat hodnotu filtrační konstanty K F,zk na odlišný tlakový rozdíl při provozní filtraci p F p F K F = K F,zk = K F,zk = K F,zk p F,zk 0,6 p F 0,6 = 1, ,6 Dobu filtrace vyjádříme z rovnice (5.28) = 2, m 2 s 1. τ F = q F(q F +2q M ) 2K F = 0,1042(0, , ) 2 2, = = 3160 s. Pro objem promývací vody platí V P = 0,15V F, proto též q P = 0,15q F (viz poznámku za rovnicí (5.40)), tedy q p = 0,15 0,1042 = 0,01563 m. Vzhledem ke shodným podmínkám při filtraci a promývání K P = K F. Dobu promývání koláče vyjádříme z rovnice (5.40) τ P = 4q P (q F +q M ) 4 0,01563(0, ,0128) = K P 2, = 3415 s. Výsledek: Filtrace bude trvat 3160 s a promývání filtračního koláče 3415 s. 5.4 Úlohy U5.1 Suspenze kvasničných buněk byla filtrována při konstantním tlakovém rozdílu 0,7 bar přes filtrační papír Whatman 41. Bylo zfiltrováno 1,5 dm 3 suspenze buněk a bylo získáno 0,0554 kg vlhkého filtračního koláče jehož hmotnost po úplném vysušení činila 0,0143 kg. Hustota kapalné fáze v suspenzi má hodnotu 1000 kgm 3, hustota buněk má hodnotu 1050 kg m 3. Určete koncentraci sušiny buněk ve filtrované suspenzi a vlhkost koláče (ve hmotn. %). Výsledek: Filtrovaná suspenze obsahovala 0,95 hmotn. % sušiny buněk, vlhkost koláče je 74,2 hmotn. %. U5.2 Rámový kalolis s celkovou filtrační plochou 10 m 2 má být použit k filtraci 1,09 m 3 vodné suspenzeohustotě 1175 kgm 3. Filtrace budeuskutečněna při konstantní rychlosti. Suspenze obsahuje 15 hmotn.% pevné fáze a vlhkost filtračního koláče je 35%. Jakým maximálním objemem promývací vody bude možno promýt filtrační koláč, nemá-li doba filtračního cyklu překročit 90 minut? Příprava filtru na další filtraci trvá 15 minut. Promývání probíhá při stejném tlakovém rozdílu jako filtrace a teploty filtrátu a promývací vody jsou shodné. Při pokusné filtraci bylo zjištěno, že odpor filtrační přepážky lze zanedbat a že filtrační konstanta K F na konci filtrace nabývá hodnoty 3, m 2 s 1. Výsledek: Lze použít 0,185 m 3 promývací vody. U5.3 V rámovém kalolisu s deseti rámy jejichž vnitřní rozměry jsou mm je filtrována vodná suspenze s obsahem 7,5 obj. % pevných částic. Filtrace trvá 3 hodiny 20 minut

104 104 KAPITOLA 5. FILTRACE a je vedena při konstantní rychlosti. Promývání koláče vodou trvá 54 minut a probíhá při stejné teplotě a stejném tlakovém rozdílu jako na konci filtrace. Na pokusném filtru byly za stejných podmínek a se stejnou filtrační přepážkou získány tyto hodnoty filtračních konstant: K F = 8, m 2 s 1, q M = 3, m. Kolik bude v jednom filtračním cyklu získáno filtrátu a jaké bude množství zpracované suspenze a objem promývací vody? Určete též vlhkost filtračního koláče. Výsledek: 0,967 m 3 filtrátu; 1,09 m 3 suspenze; 0,065 m 3 promývací vody; vlhkost koláče 33,2 obj.%. U5.4 Vodná suspenze pevných částic je filtrována na vakuové filtrační nuči s filtrační plochou 2,65 m 2. Doba filtrace činí 1 hodinu a filtrace probíhá při konstantním filtračním rozdílů tlaků. Při pokusné laboratorní filtraci na filtru s filtrační plochou 0,085 m 2 za jinak stejných podmínek jako při filtraci na nuči bylo za 8 minut získáno 30 dm 3 a za 18 minut 60 dm 3 filtrátu. Jaký bude objem filtrátu získaný v jednom filtračním cyklu při filtraci na nuči? Výsledek: Objem filtrátu získaného v jednom cyklu bude 4,68 m 3. U5.5 Kolik tun suspenze částic pevné látky ve vodě lze zfiltrovat na listovém filtru za 1 hodinu,jestliže filtrační plocha mávelikost 50 m 2, filtr pracujepři konstantním filtračním rozdílu tlaků 152 kpa a filtrace probíhá při teplotě 20 C? Na pokusném filtru s filtrační plochou 0,1 m 2 bylo při konstantním rozdílu tlaků 101 kpa za 200 s získáno 5 dm 3 filtrátu a za 1500 s bylo zachyceno 14 dm 3 filtrátu. Filtrovaná suspenze obsahuje 10 hmotn.% pevných částic a vlhkost koláče je 32 hmotn.%. Teplota a filtrační přepážka jsou při provozní a pokusné filtraci shodné. Výsledek: Za 1 hodinu lze zfiltrovat 15,70 tuny suspenze. U5.6 V kalolisu s filtrační plochou 8 m 2 má být v každém cyklu zfiltrováno 1,125 m 3 vodné suspenze s hustotou 1105 kgm 3 při konstantním filtračním rozdílu tlaků 150 kpa. Suspenze obsahuje 15 hmotn.% pevných částic a vlhkost filtračního koláče činí 25 hmotn.%. Objem promývací vody činí 12,5% z objemu filtrátu. Doba potřebná na rozebrání a opětovné sestavení kalolisu je 35 minut. Promývání probíhá při stejném rozdílu tlaků a stejné teplotě jako filtrace. Jaká bude výkonnost filtru za 24 hodin provozu a jaká bude za tutéž dobu spotřeba promývací vody? Filtrační konstanty mají hodnoty: K F = 1, m 2 s 1, q M = 3, m. Výsledek: Výkonnost filtru bude 8,9 tuny suspenze za 24 hodin, spotřeba promývací vody 0,890 m 3. U5.7 V tlakové nuči je filtrována suspenze oxidu měd natého při p F =konst. po dobu 60 minut. V průběhu této doby se získá 6,8 m 3 filtrátu jehož viskozita má hodnotu 1,4 mpas. Odpor filtrační přepážky lze při této filtraci zanedbat. K promytí filtračního koláče je použito 1,5 m 3 vody o teplotě 20 C za jinak stejných podmínek jako při filtraci. Rozebrání a vyčištění filtru trvá 20 minut. Jaký objem filtrátu lze získat za 24 hodin nepřetržitého provozu filtru? Výsledek: Za 24 hodin lze získat 99 m 3 filtrátu. U5.8 Meziprodukt pro výrobu léčiva je produkován ve formě suspenze krystalů v n-propanolu. Krystaly se oddělují filtrací trvající 15 minut na chlazené nuči za konstantního rozdílu tlaků při teplotě -20 C. Filtrační konstanty při této filtraci mají hodnoty: K F = 1, m 2 s 1, q M = 2, m. Filtrační koláč se promývá n-propanolem o teplotě 20 C v množství rovném jedné polovině objemu filtrátu při stejném rozdílu tlaků jako při filtraci. Pro zvýšení výkonnosti filtru bylo navrženo zvýšit teplotu při filtraci a promývání na 0 C. Je možno fil-

105 5.4. ÚLOHY 105 traci a promývání při zvýšené teplotě uskutečnit, jestliže maximální přípustná doba expozice meziproduktuteplotě 0 C je 15 minut? Viskozita n-propanolu při teplotě 20 C je 6,9 mpas a při 0 C má hodnotu 3,9 mpas. Výsledek: Celková doba filtrace a promývání by při teplotě 0 C dosáhla hodnoty 16,85 minuty, proto nelze proces při této teplotě uskutečnit. U5.9 Suspenze kalu po neutralizaci odpadních vod z farmaceutického provozu byla filtrována nakalolisu s celkovou filtrační plochou 109,85 m 2 při konstantní rychlosti filtrace a za 1hodinu filtrační doby bylo získáno 13,5 m 3 filtrátu. Na konci filtrace dosahoval filtrační rozdíl tlaků hodnoty 7,25 MPa. O kolik bude nutno změnit počet rámů kalolisu (rozměry: 1,3 1,3 0,04 m), jestliže filtrace bude vedena při konstantním filtračním rozdílu tlaků 5 MPa a výkonnost filtru (objem filtrátu získaný za jednu hodinu filtrační doby) má zůstat zachována? Odpor filtrační plachetky lze při obou způsobech filtrace oproti odporu filtračního koláče zanedbat. Výsledek: Z kalolisu bude možno odebrat 4 rámy z původního počtu 33 rámů. U5.10 Suspenze buněk vláknitého mikroorganismu byla filtrována nejprve za konstantní rychlosti a potom, aby nedošlo ke kompresi filtračního koláče, za konstantního rozdílu tlaků. Filtrace konstantní rychlostí trvala 20 minut a bylo při ní získáno 30% z celkového objemu filtrátu. Jaká byla celková doba trvání filtrace? Odpor filtrační přepážky lze oproti odporu filtračního koláče zanedbat. (Návod: Nejprve použijte rovnici (5.26), potom integrujte rovnici (5.27), do které dosad te za dolní integrační meze hodnoty pro konec filtrace za konstantní rychlosti.) Výsledek: Filtrace trvala celkem 121 minut.

106 Kapitola 6 Míchání Milan Jahoda Míchání patří mezi nejvíce užívané procesy jak v chemickém a potravinářském průmyslu, tak v dalších příbuzných oborech. Hlavním cílem procesu míchání je snížení nehomogenity roztoku nebo směsi na požadovanou úroveň. Nehomogenita může být např. koncentrační, fázová nebo teplotní. Dalším důležitým cílem je zlepšení sdílení tepla nebo hmoty. Míchání maloobjemových aparátů je obvykle snadné, ale zajistit dostatečné promíchávání vsádky v aparátech o objemech řádově desítek nebo stovek kubických metrů, navíc s co nejmenší spotřebou energie, již není snadný úkol. V této kapitole se budeme zabývat mícháním v kapalném prostředí. Míchání kapalné vsádky lze realizovat různými způsoby. Nejběžnějším typem je mechanické míchání, při kterém rotační nebo vibrační míchadla vyvolávají nucené proudění kapaliny uvnitř míchacího aparátu. Při pneumatickém míchání je kapalina promíchávána stoupajícími bublinami plynu, který je přiváděn do spodní části zařízení. Při hydraulickém míchání dochází k promíchávání proudem kapaliny vycházející z ponořené trysky. Ke zvýšení intenzity samovolného míchání kapaliny v potrubí se užívají tvarované vestavby - statické směšovače, které napomáhají promíchávání v radiálním směru. V následujícím textu se zaměříme na míchání kapalin mechanickými rotačními míchadly. Mechanické míchání se provádí v aparátech, které obecně nazýváme míchací zařízení s mechanickým (rotačním) míchadlem. Jedná se např. o směšovací aparáty, reaktory, homogenizéry atd. Důležitým parametrem pro hodnocení míchacích zařízení je účinnost míchání, která udává, při jaké spotřebě energie lze dosáhnout požadovaného technologického výsledku. Účinnější je takové míchací zařízení, ve kterém se požadovaného výsledku dosáhne při menší spotřebě energie. Účinnost je také základem pro výběr optimálních pracovních podmínek míchání a optimálních rozměrů míchacího zařízení. Nejdříve si uvedeme stručný přehled, k čemu se mechanické míchání v kapalném prostředí užívá. Nejčastějším důvodem míchání je homogenizace, jejímž cílem je dosažení rovnoměrného rozptýlení určité složky nebo teploty v celém objemu promíchávané vsádky. U systémů kapalina-pevná zrnitá fáze je důležitá suspendace, při které se mícháním snažíme udržet pevné částice ve vznosu v kapalině. Tím můžeme dosáhnout např. urychlení sdílení hmoty při rozpouštění, adsorpci nebo katalytické reakci. Z provozního hlediska obvykle stačí dosáhnout takového stavu, kdy žádná částice nezůstává v klidu na dně nádoby. V některých případech je však nutné zintenzivnit míchání tak, aby bylo dosaženo rovnoměrného rozdělení pevné fáze v celém objemu kapalné vsádky. Dispergace je proces, při kterém se mícháním vytvářejí dvoufázové soustavy s velkým mezifázovým povrchem v systémech nemísitelných kapalin a kapalina-plyn. Velký mezifázový povrch je důležitý pro intenzifikaci sdílení hmoty. V případě nemísitelných kapalin dispergujeme jednu fázi do druhé ve formě kapiček. Podle velikosti ka- 106

107 107 pek se tyto systémy rozlišují na emulze (velikost kapek je v rozmezí od 0,1 µm do 100 µm) a kapalinové disperze s velikostí kapek nad 10 µm. Plyn je dispergován v kapalině ve formě bublin. Mícháním také zlepšujeme přestup tepla, protože množství vyměněného tepla závisí mimo jiné na rychlosti proudící kapaliny. motor převodovka ucpávka narážky b šířka narážek C vzdálenost míchadla nade dnem nádoby d průměr míchadla D vnitřní průměr nádoby h výška lopatek míchadla H výška plnění vsádky b h d C H Standardně užívané poměry: b=0,1d C=0,2D 0,5D d=0,25d 0,5D h=0,2d H =D D Obr. 6.1: Schéma standardní míchací nádoby s rychloběžným míchadlem a stěnovými narážkami Běžný průmyslový míchací aparát (obr. 6.1) tvoří nádoba, která má obvykle válcový tvar a rovné popř. klenuté dno různého tvaru (kuželové, eliptické, půlkulové). V nádobě je hřídel, na které je umístěno míchadlo, nebo více míchadel nad sebou v případě věžovitých míchacích aparátů, např. bioreaktory nebo extraktory. Hřídel je poháněná elektromotorem přes řemenové, nebo zubové převody, je uchycená pomocí ložisek a utěsněná ucpávkou. Nejčastěji se hřídel umist uje svisle. Šikmé nebo vodorovné (boční) umístění se obvykle používá pro míchání ve velkoobjemových zásobnících. Uvnitř nádoby mohou být různé vestavby např. stěnové narážky, topný had nebo různé usměrňovače toku. Míchadlem se koná práce. Činností míchadla získává kapalina hybnost a tím dochází ke složitému proudění uvnitř míchací nádoby. Míchadel je mnoho typů, které lze rozdělit podle různých hledisek. Nejčastěji se užívají míchadla rotační, které podle frekvence otáčení rozdělujeme na pomaloběžná a rychloběžná (obr. 6.2). Mezi pomaloběžná patří např. kotvové, pásové, šnekové nebo listové míchadlo. Tato míchadla se používají pro vysokoviskózní kapaliny o viskozitách 0,1 až 100 Pa s, obvodová rychlost konců lopatek nepřesahuje 1,5ms 1 a jejich průměr je větší než polovina průměru nádoby (d/d > 0,5). Rychloběžná míchadla (lopatková, turbínová nebo vrtulová) se užívají pro nízkoviskózní kapaliny s viskozitou řádově odpovídají viskozitě vody. Jejich průměr je obvykle rovný jedné polovině, nebo jedné třetině průměru nádoby. Při užití rychloběžných míchadel umist ujeme obvykle do nádoby stěnové narážky o šířce b rovné desetině průměru nádoby (0,1 D), které zvyšují intenzitu turbulence(a tím zlepšují promíchávání vsádky), brání tvorbě středového víru a potlačují tangenciální proudění. Přítomnost středového víru snižuje intenzitu míchání a může vést k přisávání vzduchu do kapaliny. Pak směs plynu a kapaliny v oblasti míchadla má sníženou hustotu, často proměnnou v čase, takže může docházet k ovlivnění provozních podmínek, např. frekvence otáčení míchadla. Tvorbu středového víru lze také omezit umístěním míchadla mimo osu nádoby nebo šikmo k ose nádoby. Podle charakteru proudění rozdělujeme míchadla na axiální, radiální nebo tangenciální.

108 108 KAPITOLA 6. MÍCHÁNÍ a) b) c) d) e) f) Obr. 6.2: Vybrané typy rotačních míchadel; a) kotvové, b) šnekové, c) pásové, d) Rushtonova turbína, e) lopatkové se šikmo-skloněnými lopatkami, f) hydrofoil Techmix TX 335 Míchadla s axiálním charakterem toku (obr. 6.3a) vytvářejí v nádobě proudění, jehož proudnice jsou převážně rovnoběžné s osou hřídele a také hlavní proud opouštějící oblast míchadla je orientován souběžně s osou hřídele. Do této skupiny řadíme např. míchadla vrtulová a lopatková míchadla se šikmo skloněnými lopatkami. Míchadla s radiálním charakterem toku (obr. 6.3b) vytvářejí v nádobě proudění převážně radiálního směru. Hlavní proud opouštějící oblast míchadla je kolmý na osu hřídele. Patří sem hlavně míchadla turbínová a lopatková míchadla s kolmými lopatkami. Míchadla s tangenciálním tokem (obr. 6.3c) vytvářejí v nádobě převážně tangenciální proudění v rovinách kolmých na osu míchadla. Mezi tato míchadla řadíme převážně pomaloběžná míchadla lopatková nebo kotvová, popř. rychloběžná míchadla v nádobách bez narážek. V poslední době vznikla skupina rychloběžných míchadel tzv. hydrofoily, které mají speciálně tvarované lopatky s vysokým čerpacím účinkem a které často vytvářejí kombinované axiálně-radiální proudění. a) b) c) Obr. 6.3: Znázornění tokových profilů v mechanicky míchaných nádobách; a) axiální, b) radiální, c) tangenciální Jedním z rozhodujících faktorů pro výběr vhodného míchadla je jeho příkon, tj. mechanická energie předaná z míchadla do míchané vsádky. Míchadlo s nízkým příkonem, kterým dosáhneme požadovaného výsledku za velmi dlouhou dobu může být stejně nevhodné jako míchadlo, se kterým požadovaného výsledku dosáhneme za velmi krátký čas, ale na úkor velkého příkonu. Příkon míchadla určujeme z experimentálně zjištěné příkonové charak-

109 109 teristiky, tj. bezrozměrné závislosti příkonového kritéria Po na modifikovaném Reynoldsově kritériu pro míchání Re M, Froudeově kritériu Fr M, a různých geometrických poměrech Γ, které vyjadřují např. poměr průměru míchadla k průměru nádoby (D/d), poměr výšky míchadla nad dnem nádoby k průměru míchadla (C/d) atd. Příkonové charakteristiky jednotlivých míchadel jsou bud znázorňovány graficky, jak je naznačeno na obrázku 6.4 pro vybraná pomaloběžná a rychloběžná míchadla za standardních podmínek, nebo je vyjadřujeme pomocí vztahu Po = f(re M,Fr M,Γ 1,Γ 2,...). (6.1) Pro pochody v míchacích zařízeních se zavádí za charakteristickou rychlost obvodová rychlost konců lopatek míchadla (v = π d n) a za charakteristickou délku užíváme průměr míchadla (l = d). Po zanedbání Ludolfova čísla π získáme modifikovaná kritéria pro míchání. Reynoldsovo kritérium Re = vlρ η Froudeovo kritérium Fr = v2 gl Příkonové kritérium 1 Re M = nd2 ρ η Fr M = n2 d g, (6.2), (6.3) Po = P M n 3 d 5 ρ, (6.4) kde P M je příkon míchadla, d průměr míchadla, n frekvence otáčení míchadla, ρ hustota a η dynamická viskozita vsádky. Z obrázku 6.4 je patrné, že v oblasti s plně rozvinutou turbulencí (pro Re > 10 4 ) již příkonové kritérium rychloběžných míchadel nezávisí na Reynoldsově kritériu. Jedná se o tzv. automodelovou oblast. V případě, že máme v nádobě umístěny stěnové narážky k potlačení centrálního víru neuplatní se při popisu vliv gravitačního zrychlení g a tím také vliv Froudeova kritéria. Dalším důležitým parametrem pro hodnocení míchacího zařízení je homogenizační účinek míchadla. Homogenizaci posuzujeme podle tzv. stupně homogenity, který obecně vyjadřuje poměr skutečného rozmíchání k ideálnímu, kterého by se dosáhlo při dokonalém promíchání celého systému. Pro výpočet stupně homogenity můžeme použít upravený vztah zavedený Landauem a Procházkou (1961) I M = 1 1 N N i=1 c i c c c i0, (6.5) kde c i je koncentrace (popřípadě jiná sledovaná veličina, např. teplota) odebraná z i-tého místa v systému v čase τ, c i0 počáteční hodnota koncentrace v čase τ 0 v i-tém místě, c 1 Příkonové kritérium je někdy označováno jako Eulerovo kritérium pro míchání Eu M. Základní definice Eulerova kritéria vyjadřuje podíl charakteristické síly tlakové a síly setrvačné, Eu= p/(ρv 2 ). Charakteristickou sílu tlakovou můžeme vyjádřit jako podíl síly odporu F R a plochy A, která je úměrná druhé mocnině charakteristické délky. Součinu síly odporu a rychlosti je úměrný příkon míchadla, který je na rozdíl od síly odporu snadno stanovitelnou veličinou, tj. p F R/A, P M F Rv, A d 2 a v nd. Po úpravě získáme modifikované Eulerovo kritérium pro míchání Eu M = PM n 3 d 5 ρ.

110 110 KAPITOLA 6. MÍCHÁNÍ Po Oblasti proudění: laminární přechodová turbulentní a b c d e Po = 5,1 d 1 f a b Po = 1,7 Po = 1 e f c 0, Re M Obr. 6.4: Ukázka příkonových charakteristik; pomaloběžná míchadla: a) kotvové míchadlo, b) šnekové míchadlo, c) pásové míchadlo; rychloběžná míchadla ve standardní geometrii (H = D,C = D/3,d = D/3): d) Rushtonova turbína, e) šestilopatkové míchadlo se šikmo-skloněnými lopatkami (45 ), f) hydrofoil Techmix TX 335 konečná hodnota koncentrace dosažená po dokonalé homogenizaci a N počet míst odběru v objemu míchané kapaliny. I M se mění od 0 do 1, přičem při stupni homogenizace 0,95 považujeme vsádku za dobře homogenizovanou. Měřítkem homogenizačních účinků míchadla je doba homogenizace τ M. Při výběru vhodného homogenizačního míchadla je tak vedle příkonu nutné přihlížet k jeho homogenizačním schopnostem v daném míchacím zařízení. Dobu homogenizace zjišt ujeme bud experimentálně, nebo ji lze vypočítat z empirických rovnic. V případě užití jednoho rychloběžného míchadla, které je umístěno ve standardní výšce C = D/3 nade dnem nádoby se čtyřmi stěnovými narážkami při výšce plnění H = D můžeme použít empirickou rovnici pro výpočet doby homogenizace při stupni homogenity 0,95 τ M(0,95) = 5,3 Po 1/3 n ( ) D 2. (6.6) d Doba homogenizace se často vyjadřuje v bezrozměrném tvaru nτ M, jehož hodnota je konstantní při turbulentním režimu proudění (platí pro míchání kapalin). Příklad P6.1: Příkon rotačního míchadla a doba homogenizace Určete příkon šestilopatkového míchadla se šikmo skloněnými (45 ) lopatkami o průměru 40cm, které je umístěné v nádobě o průměru 1m ve výšce nade dnem rovné jedné třetině průměru nádoby. Míchadlo se otáčí konstantní frekvencí 150min 1. Nádoba je vybavena čtyřmi standardními stěnovými narážkami a je plněna vsádkou do výše rovné průměru nádoby. Míchaná vsádka má hustotu 1300kgm 3 a dynamickou viskozitu 1, Pas. Odhadněte dobu homogenizace v zařízení pro zadané podmínky.

111 6.1. MODELOVÁNÍ MÍCHACÍCH ZAŘÍZENÍ 111 Zadáno: Průměr nádoby D=1m, průměr míchadla d=0,4m, výška míchadla nade dnem nádoby C=D/3, frekvence otáčení míchadla n=150min 1 (tj. 2,5s 1 ), výška plnění vsádky H=D, hustota vsádky ρ=1300kgm 3 a dynamická viskozita vsádky η=1, Pas. Řešení: Pro určení hydrodynamických podmínek v míchaném aparátu vypočteme hodnotu Reynoldsova kritéria pro míchání podle rovnice (6.2) Re M = nd2 ρ η = 2,5 0, , = 3, Z výsledné hodnoty Re M je patrné, že míchání probíhá v automodelové oblasti při plně vyvinutém turbulentním režimu proudění. Protože geometrie míchacího zařízení (H = D, C = D/3, d = 0,4D) je blízká standardní geometrii, můžeme podle obrázku 6.4 určit hodnotu příkonového kritéria: Po = 1,7. Dosazením do upravené rovnice (6.4) vypočteme hledanou hodnotu příkonu míchadla P M = Pon 3 d 5 ρ = 1,7 2,5 3 0, = 353,6 W. Pro odhad doby homogenizace v míchacím aparátu užijeme empirickou rovnici (6.6) τ M(0,95) = 5,3 Po 1/3 n ( D d ) 2 = 5,3 1,7 1/3 2,5 ( ) 1 2 = 11 s. 0.4 Výsledek: Příkon rotačního míchadla v zadaném zařízení bude 353,6 W a doba homogenizace bude 11 s. 6.1 Modelování míchacích zařízení Během návrhu průmyslových míchacích zařízení řešíme dvě základní otázky: jaká bude geometrie zařízení a jaká bude frekvence otáčení míchadla pro dosažení požadovaného cíle míchání. Vhodnou geometrii míchacího aparátu (geometrii nádoby, typ a polohu míchadla, umístění vestaveb atd.) obvykle hledáme a testujeme v nízkoobjemových modelových míchacích aparátech nebo v zařízeních poloprovozních měřítek. Naším cílem je vždy najít takové uspořádání, aby bylo dosaženo požadovaného cíle míchání při vysoké účinnosti. Průmyslové (velkoobjemové) míchací zařízení (nazýváme ho dílo) pak volíme jako geometricky podobné k modelovému. Geometrická podobnost dvou míchacích aparátů (např. modelu a díla) je splněna, když lineární transformací délek mohou obě zařízení splynout v jediný. Prakticky to znamená, že sobě odpovídající rozměry (např. výška plnění nádoby, průměr nádoby, šířka narážek, průměr míchadla, vzdálenost míchadla nade dnem atd.) jsou ve stejném poměru, kterým je měřítko délek mezi dílem a modelem. Pro modelování míchacích zařízení za předpokladu zachování geometrické podobnosti modelu a díla a při turbulentním režimu proudění se užívají dva přístupy. První z nich předpokládá stejnou hodnotu veličiny P/V (Wm 3 ), tj. příkonu míchadla vztaženého na jednotkový objem vsádky, neboli tzv. specifický příkon (hustota příkonu) míchadla, na modelu i díle P M,dílo /V dílo = P M,model /V model. (6.7) Protože je objem vsádky přímo úměrný třetí mocnině průměru míchadla V d 3, můžeme rovnici (6.7) přepsat do tvaru P M,dílo /d 3 dílo = P M,model/d 3 model. (6.8)

112 112 KAPITOLA 6. MÍCHÁNÍ Pokud pracujeme v automodelové oblasti, je příkonové kritérium konstantní, pak platí Po P M,dílo n 3 dílo d5 dílo ρ dílo = P M,model n 3 model d5 model ρ model. (6.9) Za předpokladu, že hustota vsádky je stejná na modelu i díle, dostaneme z rovnice (6.9) výsledný vztah pro výpočet frekvence otáčení na díle ( ) 2/3 dmodel n dílo = n model. (6.10) d dílo Při turbulentním režimu proudění můžeme vypočítat dobu homogenizace na díle τ M,dílo k dosažení téhož stupně homogenity jako na modelu ( ) 2/3 ddílo τ M,dílo = τ M,model. (6.11) d model Druhý způsob výpočtu frekvence otáčení míchadla na díle je založen na konstantní obvodové rychlosti konců lopatek míchadla (π n d = konst.). Z tohoto požadavku získáme výsledný vztah pro frekvenci otáčení míchadla n dílo = n model d model d dílo (6.12) a pro výpočet doby homogenizace k dosažení shodného stupně homogenity jako na modelu τ M,dílo = τ M,model d dílo d model. (6.13) V obou případech s rostoucím průměrem míchadla na díle klesá jeho frekvence otáčení. Obvykle se při modelování míchacího zařízení používá obou uvedených způsobů a pak se na základě ekonomických úvah se zřetelem na investiční a provozní náklady stanoví optimální rozměry navrhovaného zařízení. Příklad P6.2: Modelování míchacího zařízení Navrhněte vhodnou frekvenci otáčení míchadla v průmyslovém aparátu, který má průměr nádoby 2m, průměr míchadla 1m a výšku plnění vsádky rovnou průměru nádoby. Použité míchadlo má v turbulentní oblasti proudění konstantní hodnotu příkonového kritéria rovnou jedné. Hustota vsádky je 1100kgm 3 a dynamická viskozita 0, Pas. Na geometricky podobném laboratorním zařízení o průměru 0,2 m byla zjištěna doba homogenizace 1,2 s. Průměr laboratorního míchadla stejného typu byl 0,1 m a jeho frekvence otáčení byla 1000min 1. Zadáno: Model: průměr nádoby D model =0,2m, průměr míchadla d model =0,1m, frekvence otáčení míchadla n model =1000min 1 (16,67s 1 ), hodnota příkonového kritéria míchadla Po model =1, doba homogenizace τ M,model = 1,2s a výška plnění vsádky H model = D model. Dílo: průměr nádoby D dílo = 2m, průměr míchadla d dílo = 1m, hodnota příkonového kritéria míchadla Po dílo = 1 a výška plnění vsádky H dílo = D dílo. Hustota vsádky ρ = 1100kgm 3 a dynamická viskozita vsádky η = 0, Pas. Řešení: Frekvenci otáčení míchadla na díle vypočteme oběma přístupy, včetně požadovaného příkonu míchadla a doby homogenizace. Výsledné hodnoty poté porovnáme.

113 6.1. MODELOVÁNÍ MÍCHACÍCH ZAŘÍZENÍ 113 Stejná hustota příkonu. Pro výpočet frekvence otáčení míchadla na díle použijeme rovnici(6.10) ( ) 2/3 ( ) dmodel 0,1 2/3 n dílo = n model = 16,67 = 3,6 s 1. d dílo 1 Modifikované Reynoldsovo kritérium pro míchání na díle pro frekvenci otáčení 3,6 s 1 bude Re M,dílo = n dílod 2 dílo ρ η = 3, , = 79, Hodnota Re M > 10 4, takže míchání probíhá v turbulentní oblasti proudění. Potřebný příkon míchadla a doba homogenizace pro frekvenci otáčení 3,6 s 1 na díle bude P M,dílo = Po dílo n 3 dílo d5 dílo ρ = 1 3, = 51,3 kw, τ M(0,95),dílo = 5,3 Po 1/3 dílo n dílo ( Ddílo d dílo ) 2 = 5,3 1 1/3 3,6 ( ) 2 2 = 5,9 s. 1 Stejná obvodová rychlost. Pro výpočet frekvence otáčení míchadla použijeme rovnici (6.12) n dílo = n model d model d dílo = 16,67 0,1 1 = 1,67 s 1. Modifikované Reynoldsovo kritérium pro míchání na díle pro frekvenci otáčení 1,67 s 1 bude Re dílo = n dílod 2 dílo ρ η = 1, , = 36, Hodnota Re> 10 4, míchání opět probíhá v turbulentní oblasti proudění. Potřebný příkon míchadla a doba homogenizace pro frekvenci otáčení 1,67 s 1 bude P M,dílo = Po dílo n 3 dílo d5 dílo ρ = 1 1, = 5,1 kw, τ M(0,95),dílo = 5,3 Po 1/3 dílo n dílo ( Ddílo d dílo ) 2 = 5,3 1 1/3 1,67 ( ) 2 2 = 12,7 s. 1 Porovnáme-li výsledky z obou přístupů zjistíme, že při stejné obvodové rychlosti na modelu a díle vyjde nižší frekvence otáčení (1,67 s 1 ), při které bude doba homogenizace pouze dvakrát delší, ale potřebný příkon míchadla bude asi desetkrát menší než pro výpočet zahrnující konstantní hustotu příkonu. Pro zajímavost můžeme navíc vypočítat potřebný příkon míchadla na díle, když budeme chtít zachovat stejnou hodnotu doby homogenizace na modelu i díle (τ M = 1,2 s). Z rovnice (6.6) vyplývá, že pro zachování stejné doby homogenizace budou stejné frekvence otáčení, tj. frekvence otáčení na díle bude 1000 min 1 (16,67 s 1 ), při zachování geometrické podobnosti. Výsledný příkon míchadla bude P M,dílo = Po dílo n 3 dílo d5 dílo ρ = 1 16, = 5095 kw. Při stejné frekvenci otáčení míchadla na modelu i díle bude požadovaný příkon míchadla na díle neuvěřitelných 5 MW! Výsledek: Navrhovaná frekvence otáčení na díle bude 1,67 s 1, tj. 100 min 1.

114 114 KAPITOLA 6. MÍCHÁNÍ 6.2 Úlohy U6.1 Při homogenizaci fasádní barvy se užívá pásové míchadlo. Vypočtěte příkon tohoto míchadla ve válcové nádobě o vnitřním průměru 900 mm, je-li výška plnění rovněž 900 mm. Průměr míchadla s frekvencí otáčení 90 min 1 je 600 mm. Průměrné fyzikální vlastnosti míchané vsádky jsou: hustota 1700 kgm 3 a dynamická viskozita 20 Pas. Výsledek: Příkon míchadla bude činit asi 3,6 kw. U6.2 K míchání v kapalinovém extraktoru, válci o vnitřním průměru 0,8 m a výšce 8 m, opatřeném radiálními narážkami šíře 0,08 m, se používá deseti turbínových míchadel s rovnými kolmými lopatkami a dělicím kotoučem (Rushtonova turbína) o průměru 0,2 m, umístěnými rovnoměrně po celé výšce extraktoru na společném hřídeli s frekvencí otáčení 300 min 1. Dispergovanou fází je benzen, spojitou fází je zředěný vodný roztok fenolu. Teplota v extraktoru je 20 C. Hmotnostní průtoky zařízením jsou pro benzen 850 kgh 1, pro fenolový roztok 5000 kgh 1. Vypočítejte teoretický příkon extraktoru za předpokladu, že se míchadla vzájemně neovlivňují, tj. celkový příkon je destinásobkem příkonu jednoho míchadla. Střední hodnoty dynamické viskozity a hustoty pro kapalinovou disperzi vypočteme podle vztahů doporučených pro příkonové výpočty míchaných extraktorů se stěnovými narážkami: η = η C ϕ C ( 1 + 1,5 η D ϕ D η C + η D ), ρ = ρ C ϕ C + ρ D ϕ D, kde ϕ je objemový zlomek spojité (index C) a dispergované (index D) fáze. Přitom vlastnosti zředěného vodného roztoku fenolu lze považovat za stejné jako vlastnosti vody při téže teplotě. Výsledek: Teoretický příkon extraktoru bude asi 2 kw. U6.3 Turbínové míchadlo se šesti rovnými lopatkami a dělicím kotoučem (Rushtonova turbína) o průměru 400 mm je umístěno ve válcové nádobě vnitřního průměru 1400 mm, opatřené čtyřmi stěnovými narážkami širokými 140 mm. Výška spodní hrany míchadla nad dnem činí 420 mm. Nádoba je zaplněna do výšky 1400 mm kapalinou, jejíž dynamická viskozita je 0,02 Pas a hustota 1200 kgm 3. Má se dosáhnout měrného příkonu 0,5 kwm 3. Určete potřebnou frekvenci otáčení míchadla v min 1. Výsledek: Potřebná frekvence otáčení míchadla bude 155 min 1. U6.4 Průmyslové míchací zařízení tvoří válcová nádoba vnitřního průměru mm, opatřená čtyřmi stěnovými narážkami a šestilopatkové míchadlo s rovnými, šikmo umístěnými (45 ) lopatkami. Průměr míchadla i vzdálenost spodní hrany jeho lopatek nad dnem činí 700 mm. Výška plnění nádoby je 3000 mm. Stěnové narážky jsou 300 mm široké. V zařízení se má připravit homogenní výchozí směs pro perličkovou polymeraci methakrylátu. Na modelovém zařízení o vnitřním průměru mm, geometricky podobném provoznímu zařízení, bylo nalezeno, že proces probíhá uspokojivě při frekvenci otáčení míchadla 140 min 1, když požadované stejnorodosti vsádky bylo dosaženo za 20 sekund. Vlastnosti vsádky jsou v modelovém i provozním zařízení stejné: dynamická viskozita 2,6 mpas a hustota 975 kgm 3. Zjistěte, zda modelováním pomocí specifického příkonu míchadla nebo pomocí konstantní obvodové rychlosti konců lopatek míchadla na modelu a díle lze dosáhnout na provozním zařízení požadované homogenity vsádky alespoň za 45 sekund. Výsledek: Požadované homogenity vsádky lze na provozním zařízení dosáhnout za 41,5 sekund modelováním pomocí specifického příkonu míchadla.

115 Kapitola 7 Bilance entalpie Petr Kočí, Michal Přibyl, Dalimil Šnita V kapitole Bilance entalpie se budeme zabývat bilancováním tepelné energie(tepla) v chemickoinženýrských systémech. Dodávání či odebírání tepla v chemicko-technologických procesech patří k vůbec nejnákladnějším operacím. Jako příklad lze uvést dodávání tepla do vařáků rektifikačních kolon používaných při dělení kapalných směsí, dodávání tepla do odparek a krystalizátorů, odebírání odpadního tepla z elektráren a jeho dodávání do domácností. Z vlastní zkušenosti víme, že dodání nebo odebrání tepla vede ke změně teploty nebo i skupenství látek. Příkladem může být zahřátí a přeměna vody na vodní páru ve varné konvici či ochlazení a ztuhnutí vody v mrazáku. Změna teploty může být vyvolána také chemickou reakcí nebo i prostým smícháním dvou různých látek (například ředění kyseliny sírové vodou). Úkolem chemického inženýra často bývá určit, kolik tepla je nutno odebrat či přidat do nějakého systému, abychom zajistili požadovanou teplotu a skupenství látek uvnitř systému. Dalšími typy úloh jsou například: Jaká bude výsledná teplota a stav systému po smíchání dvou či více proudů o různých teplotách? Jak se změní teplota v důsledku probíhající reakce? Nakolik se směs ohřeje nebo ochladí po odebrání nebo dodání určitého množství tepla? V kapitole 2 jsme si ujasnili, jaké veličiny můžeme bilancovat, a jaké nikoli. Teplota je intenzivní veličina, kterou přímo bilancovat nelze. Zodpovězení výše uvedených otázek je však možné na základě bilance entalpie. V následujícím textu bude nejprve vysvětlen fyzikální význam extenzivní veličiny entalpie, kterou označujeme symbolem H. Poté budou odvozeny obecné bilanční rovnice tepelné energie pro různé typy systémů, nejprve bez chemických reakcí a pak i se zahrnutím reakční entalpie. Abychom mohli bilanční rovnice správně vyřešit, musíme ovšem zvládnout výpočet entalpie čistých látek i směsí v závislosti na teplotě, skupenství a chemickém složení. Dále uplatníme postupy a znalosti o materiálových bilancích z kapitoly 2, nebot entalpické bilance jsou v praxi téměř vždy provázány s bilancemi materiálovými. Teprve potom můžeme pomocí entalpických bilancí správně zodpovědět otázky položené v předchozím odstavci. Celý postup bude předveden pomocí řešených příkladů. 7.1 První věta termodynamická bilance uzavřeného systému Často se setkáváme s pojmy teplota, teplo, tepelné procesy, tepelná energie či bilance tepla. Přestože tyto pojmy více méně intuitivně známe z každodenní zkušenosti (za dodané teplo do ústředního topení platíme, teplotu měříme teploměrem), jejich přesné vymezení není jednoduché a vede občas k interpretačním sporům. V těchto skriptech jsou při výkladu tepelných procesů voleny běžné kompromisy, tedy na jednotlivá tvrzení nelze pohlížet jako na dogmata. V naprosté většině praktických případů jsou však výsledky bilančních výpočtů týkajících se 115

116 116 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE tepelných jevů založených na zde použitém výkladu zcela vyhovující. Tepelné procesy se projevují nejen změnami teploty systému, ale také jeho tlaku a/nebo objemu (hovoříme o stavovém chování). Pokud bychom zahřívali láhev se stlačeným kyslíkem, bude růst nejenom teplota kyslíku, ale také jeho tlak. V horkovzdušných balónech dojde při dodání tepla kromě nárůstu teploty také ke zvětšení objemu plynu. Pokud u zahřívaných nebo chlazených látek dochází ke změně skupenství, jsou důležité znalosti o jejich fázové rovnováze. Pro řadu chemických látek jsou známy tzv. fázové diagramy, které nám pomáhají určit skupenství dané látky při zvoleném tlaku a teplotě. Součástí fázových diagramů jsou křivky fázových rovnováh, které například udávají teplotu fázové přeměny při určitém tlaku. Změny objemu a tlaku jsou doprovázeny přeměnami tepelné energie na objemovou práci nebo obráceně. Vzpomeňme si na zahřívání válce hustilky (komprese plynu) nebo na chladný proud plynu ze sprejové nádobky (expanze plynu). Tyto jevy musí chemický inženýr respektovat tehdy, když v procesu vystupují plyny nebo páry. Naopak při popisu tzv. kondenzovaných fází (kapalin a pevných látek) je objemová práce většinou zanedbatelná. První věta termodynamická definuje existenci stavové funkce vnitřní energie U a její vazbu k teplu Q a práci W, které uzavřený systém 1 s okolím vymění během uvažovaného děje. Hodnota vnitřní energie nám říká nám cosi o tom, jaký je relativní energetický obsah nějakého systému. Každý z nás intuitivně chápe, že hrnek horkého čaje má větší energetický obsah než týž hrnek naplněný chladnou vodou. Nebo, že nádoba se stlačeným plynem je jaksi nebezpečnější (obsahuje více využitelné energie) než stejná nádoba obsahující plyn nestlačený. Z termodynamického hlediska nelze určit absolutní hodnotu vnitřní energie systému. Vnitřní energie se podobně jako další termodynamické funkce s výjimkou entropie vztahují k tzv. referenčnímu stavu, který je možno zvolit podle potřeby. Pokud se systém nachází v referenčním stavu, pak je hodnota jeho vnitřní energie nulová. Neznamená to však, že by systém žádnou energii neobsahoval. Uved me si příklad volby referenčního stavu. Budeme mít v kádince určité množství vody při 20 C a normálním tlaku. V referenčním stavu je důležité definovat skupenství všech chemických složek (voda kapalina), teplotu (20 C) a tlak (101,3 kpa). Volba tlaku je obvykle důležitá pouze pro neizobarické systémy se stlačitelnými látkami. Protože jsme si zvolili podmínky referenční stavu stejné jako podmínky, při kterých se nachází naše voda v kádince, je její vnitřní energie nulová. Kdybychom vodu zahřáli například na 60 C, pak by vnitřní energie vzrostla na určitou kladnou hodnotu. Naopak při ochlazení vody nebo dokonce při zmrznutí vody by vnitřní energie systému byla záporná. Je tedy zřejmé, že hodnota vnitřní energie systému nabývá pouze relativních hodnot vůči referenčnímu stavu. Matematická formulace 1. věty termodynamické se pro uzavřený systém obvykle zapisuje ve tvaru du = dq+dw, (7.1) kde du je změna vnitřní energie systému, dq je teplo převedené do systému a dw je práce vykonaná okolím na systém. Jednotkou vnitřní energie, tepla i práce je 1 J (Joule). Změny veličin dq a dw mohou nabývat jak kladných, tak i záporných hodnot. Záleží pouze na tom, zda teplo nebo práci do systému dodáváme nebo ze systému odebíráme. První větu termodynamickou lze pak interpretovat jako bilanci energie pro uzavřený systém za diferenciální W Obr. 7.1: Energetické bilanční schéma uzavřeného systému. Fiktivní proud U reprezentuje počáteční stav systému a fiktivní proud U+dU konečný stav systému 1 Uzavřený systém je systém nevyměňující hmotu s okolím.

117 7.1. PRVNÍ VĚTA TERMODYNAMICKÁ BILANCE UZAVŘENÉHO SYSTÉMU 117 bilanční období, obr Na počátku byla vnitřní energie systému vůči referenčnímu stavu rovna hodnotě U. Do systému bylo za diferenciální období dodáno celkové množství tepla dq a práce dw. Vnitřní energie systému se tedy zvýšila na hodnotu U + du. Bilanční rovnice tedy nabývá tvaru U +dq+dw = U +du, (7.2) který je ekvivalentní rovnici (7.1). V našich dalších úvahách budeme předpokládat, že systém může konat pouze vratnou objemovou práci, kterou vyjadřujeme vztahem dw = pdv. (7.3) Symbol p označuje tlak. Objemová práce souvisí s objemovou expanzí nebo kompresí systému dv. Práci na systém konáme a vnitřní energii systému zvyšujeme tehdy, pokud nějakou vnější silou zmenšujeme jeho objem, tedy dv < 0. Dosazením (7.3) do 1. věty termodynamické získáme du = dq pdv. (7.4) Vnitřní energie systému je extenzivní veličina a v principu proto může být použita při bilancování energie v chemicko-inženýrských systémech. Namísto vnitřní energie je však často výhodnější bilancovat jinou stavovou veličinu entalpii H, která je definována vztahem H U +pv. (7.5) Jednotkou entalpie je 1 Joule. Diferencováním rovnice(7.5) obdržíme výraz pro změnu entalpie dh = du +pdv +Vdp (7.6) a dosazením do 1. věty termodynamické (7.1) získáme dh = dq+vdp. (7.7) V těchto skriptech se omezíme při popisu tepelných jevů na systémy izobarické 2, se kterými se v chemickém inženýrství setkáváme nejčastěji. V uzavřených izobarických systémech platí dp = 0 a přírůstek entalpie dh je právě roven množství tepla dq, které přešlo z okolí do systému dh = dq. (7.8) Protože většina procesů používaných v chemickém a potravinářském průmyslu je uskutečňována za stálého tlaku, je teplo přivedené nebo odvedené ze systému rovno změně entalpie systému. Výhodou entalpie je fakt, že při výpočtu nemusíme uvažovat objemovou práci, která nabývá významu zejména při expanzi nebo kompresi plynů. Vzhledem k relativně malé teplotní objemové roztažnosti kapalin a pevných látek bývá v kondenzovaných izobarických systémech změna entalpie prakticky rovna změně vnitřní energie. Integrací rovnice (7.8) přes časový úsek konečného bilančního období získáme bilanci entalpie (tepla, tepelné energie) izobarického systému ve tvaru H poč +Q = H kon, ( počáteční množství ) +(vstup) = ( konečné množství ), (7.9) kde H poč a H kon jsou entalpie systému na začátku a na konci bilančního období a Q je celkové množství tepla, které za bilanční období vstoupilo do systému z okolí. 2 Izobarický systém je systém s konstantním tlakem.

118 118 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE 7.2 Obecná bilance entalpie v otevřeném systému Konečné bilanční období V předchozí kapitole jsme se zabývali bilancováním entalpie v uzavřeném systému. V průmyslové praxi se však mnohem častěji setkáváme se systémy otevřenými (průtočné chemické reaktory, průtočné mísiče či děliče, tepelné výměníky nebo výměníky hmoty atd.). Rovnici (7.9) je proto vhodné rozšířit o další členy podle obecně platných principů bilancování, uvedených v kapitole 2: počáteční součet vstupů součet vstupů součet zdrojů entalpie entalpie tepla tepla H poč + H vstup + Q vstup + Q zdroj = koncová součet výstupů součet výstupů entalpie entalpie tepla = H kon + H výstup + Q výstup (7.10) Vstupy a výstupy entalpie H jsou představovány hmotnými proudy přinášejícími nebo odnášejícími chemické látky s jistým tepelným obsahem do a ze systému (například proud horké nebo studené vody). Z bilančního hlediska lze počáteční entalpii uvnitř systému chápat také jako fiktivní vstup entalpie do systému a koncovou entalpii uvnitř systému jako fiktivní výstup entalpie ze systému, podobně jako tomu bylo u materiálových bilancí (kapitola 2). Všimněme si, že v bilanční rovnici (7.10) není uveden zdrojový člen entalpie H. Nejedná se o opomenutí a uvedený tvar rovnice platí i v případě systémů s chemickou reakcí. Reakcí se totiž celková entalpie systému nemění(podobně jako se reakcí nemění celková hmotnost). V důsledku reakce se ovšem může měnit teplota systému, jak si ukážeme v kapitole Vstupem a výstupem tepla Q rozumíme dodávání nebo odebírání tepla přes hranice systému, které není zprostředkováno hmotným proudem (například teplo dodávané či odebírané přes teplosměnnou plochu). Teplo může vznikat také uvnitř bilančního systému (například disipací mechanické energie míchadla nebo průchodem elektrického proudu), potom hovoříme o zdroji tepla. Zdroj tepla uvnitř systému také můžeme nahradit fiktivním vstupem tepla. Potom lze všechny příspěvky entalpické bilance zakreslit do podoby bilančního schématu na obr Nehmotné proudy (teplo Q) jsou vyznačeny přerušovanou čarou, zatímco hmotné proudy (entalpie H) plnou čarou. zdroj Obr. 7.2: Obecné bilanční schéma konečné bilanční období Fiktivní proudy, které nahrazují akumulaci a zdroj (ve skutečnosti během bilančního období nepřecházejí přes hranice systému), jsou označeny přeškrtnutím. Rovnici (7.10) je pak možné zapsat v následujícím tvaru: součet reálných součet reálných součet reálných součet reálných a fiktivních a fiktivních a fiktivních a fiktivních vstupů entalpie vstupů tepla výstupů entalpie výstupů tepla (7.11) H vstup + Q vstup = H výstup + Q výstup Uved me si ted příklad použití rovnice (7.11) pro bilancování tepelné energie ve varné konvici za konečné období. Bilanční schéma pro tento systém je zakresleno na obr. 7.3.

119 7.2. OBECNÁ BILANCE ENTALPIE V OTEVŘENÉM SYSTÉMU 119 Na počátku jsme do konvice nalili vodu při určité teplotě (H poč = H 1 ). Za bilanční období jsme dodali topným drátem do konvice teplo (Q zdroj = Q 4 ) a do okolí odešlo ztrátami teplo (Q výstup = Q 5 ). Během bilančního období se voda postupně zahřívala, dosáhla varu a část vody z konvice odešla ve formě páry (H výstup = H 3 ). V konvici na konci bilančního období zbyla ohřátá voda (H kon = H 2 ). Celkovou entalpickou bilanci tedy zapíšeme ve tvaru: H 1 +Q 4 = H 2 +H 3 +Q 5 (7.12) Obr. 7.3: Příklad bilančního schématu varné konvice: 1. hmotný proud počáteční množství vody, 2. hmotný proud konečné množství vody, 3. hmotný proud množství odpařené vody, 4. nehmotný proud zdroj tepla topením, 5. nehmotný proud ztráty tepla do okolí Způsoby vyjadřování entalpií H 1, H 2 a H 3 v závislosti na teplotě, skupenství, složení a hmotnosti či látkovém množství si podrobněji vysvětlíme v kapitole 7.3. Ještě předtím si však ukážeme, jak sestavit bilanci entalpie za diferenciální bilanční období Diferenciální bilanční období Bilance za konečné bilanční období neumožňuje studovat dynamické chování systémů, tedy změnu stavu systému v čase. Opět uvažujme nádobu naplněnou tekutinou, do které průběžně dodáváme určitý tepelný tok například elektrickým topným tělesem. Může nás zajímat, jak se v průběhu ohřívání bude měnit teplota v nádobě a za jak dlouho se tekutina uvnitř nádoby ohřeje na požadovanou teplotu. Většina chemicko-inženýrských systémů se chová dynamicky. Například udržování konstantní teploty v chemických reaktorech s tepelně zabarvenými reakcemi (exotermními nebo endotermními) vyžaduje účinnou dynamickou regulaci přívodu nebo odvodu tepla do nebo ze systému. Ve všech výše uvedených případech je tedy nutno bilancovat tepelnou energii systému v každém časovém okamžiku, tedy za diferenciální (nekonečně krátké) bilanční období dτ. Obecné bilanční schéma pro bilancování systému za diferenciální bilanční období je znázorněno na obr Teplo nebo hmotné proudy nesoucí určitý tepelný obsah vtékají do nebo vytékají ze systému průběžně. Spíše než o teple nebo entalpii těchto proudů pak hovoříme o toku tepla Q nebo toku entalpie Ḣ. Tepelné nebo entalpické toky udávají, kolik tepla si systém s okolím vymění za jednotku času. Základní jednotkou toku tepla či entalpie je 1 W (Watt), neboli 1 J s 1. Například u každé varné konvice je deklarováno, jaký tepelný tok může dodávat do ohřívané vody (typicky 1-2 kw). Obr. 7.4: Obecné bilanční schéma diferenciální bilanční období Každý hmotný tok s sebou přináší nebo odnáší tok entalpie Ḣ. Tokem tepla Q je míněn tok tepelné energie, který není spojený s žádným hmotným proudem (např. tepelný tok uvolňovaný ztopného drátuuvnitř systému Q zdroj, ztráty tepla dookolí přes stěny zařízení Q výstup, vytápění přes vyhřívaný plášt zařízení Q vstup ). V bilančním schématu na obr. 7.4 je pro jednoduchost uveden celkový tok tepla Q bez rozlišení jednotlivých příspěvků, přičemž platí Q = Q vstup + Q zdroj Q výstup. Pokud je tok entalpie nebo tepla násoben časovým intervalem, například dτ, získáme množství tepla přivedeného/odvedeného za období dτ. Bilanci entalpie v systému za dife-

120 120 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE renciální časové období lze tedy zapsat ve tvaru: součet vstupů entalpie hmotnými proudy součet vstupů tepla nehmotnými proudy součet výstupů entalpie hmotnými proudy Ḣ vstup dτ + Qdτ = Ḣ výstup dτ + dh změna entalpie uvnitř systému, tj. akumulace entalpie (7.13) Jednotkou všech členů v rovnici (7.13) je 1 J. Rovnice vyjadřuje fakt, že výměna tepelné energie mezi bilančním systémem a jeho okolím vede za časové období dτ ke změně entalpie systému o hodnotu dh. Změnu entalpie (tepelného obsahu) systému nazýváme akumulací entalpie. Dělením rovnice (7.13) časovým intervalem dτ získáme entalpickou bilanci otevřeného systému za diferenciální časové období v obvyklém tvaru: součet přítoků entalpie součet přítoků tepla součet odtoků entalpie rychlost akumulace Ḣ vstup + Q = Ḣ výstup + dh dτ Jednotkou všech členů v diferenciální rovnici (7.14) je 1 J s 1, tedy 1 W. Vzhledem ke způsobu řešení této bilanční rovnice je vhodné rozlišit, zda se systém nachází v ustáleném stavu (pak rychlost akumulace dh dτ = 0 a řešíme algebraickou rovnici podobně jako u bilance za konečné období), nebo zda se skutečně stav systému mění v čase (pak rychlost akumulace dh dτ 0 a řešíme diferenciální rovnici). Použití bilance za diferenciální bilanční období v neustáleném stavu si budeme demonstrovat na jednoduchém příkladu, viz obr Uvažujme, že (7.14) Obr. 7.5: Příklad schématu pro diferenciální entalpickou bilanci v izolované nádobě je na počátku (τ = 0) umístěna voda s entalpií H(0). Do nádoby je přiváděn tepelný tok Q 1. Zajímá nás, jak se bude vyvíjet entalpie vody uvnitř nádoby v čase. Bilanční rovnice popsaného systému má tvar: Q 1 = dh dτ (7.15) Entalpii systému v libovolném čase získáme integrací této diferenciální rovnice (7.15). Po separaci proměnných a integraci ve zvolených mezích získáme: H(τ) H(0) = τ 0 Q 1 dτ (7.16) Pokud je tepelný tok Q 1 konstantní, potom entalpie systému v libovolném čase τ je rovna H(τ) = H(0)+ Q 1 τ, (7.17) tedy entalpie vody v izolované nádobě lineárně roste s časem, přičemž rychlost růstu je přímo úměrná velikosti dodávaného tepelného toku Q Výpočet entalpie Entalpie H nebo tok entalpie Ḣ hmotných vstupních nebo výstupních proudů, které se vyskytují v bilančních rovnicích, je nutno při praktických výpočtech vyčíslit, a to v závislosti

121 7.3. VÝPOČET ENTALPIE 121 na hmotnosti (látkovém množství), složení, teplotě a skupenství, jak bude ukázáno dále. Z kurzu fyzikální chemie víme, že entalpie ideálního plynu nezávisí na tlaku a entalpie kapalin a pevných látek závisí na tlaku relativně málo (díky velmi malé stlačitelnosti). S výjimkou plynů za velmi vysokých tlaků (neideální chování) můžeme tedy většinou přijmout předpoklad, že entalpie na tlaku nezávisí Měrná a molární entalpie Entalpii systému nebo proudu H je možno vyjádřit jako součin hmotnosti m a měrné entalpie h (měr). V případě diferenciálních bilancí lze tok entalpie Ḣ vyjádřit obdobně jako součin hmotnostního toku ṁ a měrné entalpie h (měr) : H = mh (měr), Ḣ = ṁh (měr) (7.18) Jednotkou měrné entalpie h (měr) je J kg 1. Zatímco entalpie H je extenzivní veličina, měrná entalpie h (měr) jeveličinou intenzivní, která nezávisí nahmotnosti prouduči systému. Měrnou entalpii h (měr) tedy nikdy nebilancujeme přímo, musíme vždy bilancovat extenzivní entalpii H. Analogicky můžeme vyjádřit entalpii nebo tok entalpie pomocí součinu látkového množství n a molární entalpie h (mol). Molární entalpie je tedy entalpie vztažená na jednotkové látkové množství a její jednotkou je J mol 1. H = nh (mol), Ḣ = ṅh (mol) (7.19) Měrnou a molární entalpii lze navzájem přepočítat s použitím molární hmotnosti 3 : h (mol) = h (měr) M (7.20) Uvedené vztahy (7.18), (7.19) a (7.20) platí jak pro jednotlivé čisté složky, tak i pro celé směsi (v tom případě pak musíme v rovnici (7.20) použít střední molární hmotnost směsi). Tam, kde je ze souvislostí patrné, zda se jedná o měrnou či molární entalpii, se často používá symbol h bez upřesňujícího indexu (měr) či (mol) a rozlišuje se podle jednotky. Rovnice(7.18) a(7.19) nám umožňují propojit entalpickou bilanci s bilancemi hmotnosti či látkového množství (viz kapitola 2). Zbývá tedy určit, jak závisí měrná či molární entalpie h na složení, teplotě a skupenství. K tomu si nejprve musíme definovat referenční stav Volba referenčního stavu Protože entalpie je podobně jako vnitřní energie veličinou relativní, neznáme její absolutní hodnotu, ale vztahujeme ji vždy k určité referenční hladině, kterou si musíme zvolit. Nejprve si předvedeme volbu referenčního stavu na jiné fyzikální veličině. Okno v domě je řekněme ve výšce 10 m nad zemí. Zároveň je stejné okno 300 m nad hladinou moře nebo také 6371 km nad středem Země. Vidíme, že poloha okna je relativní veličina. V běžném životě pro určení výšky okna přirozeně volíme vzdálenost od povrchu Země(10 m). Referenčním stavem v tomto případě bývá povrch Země. S volbou referenčního stavu pro výpočet entalpie libovolného systému nebo proudu je to velmi podobné. V systému se mohou nacházet látky v různých skupenstvích a při různých teplotách. Dodáním tepla ve formě hmotných (Ḣ) nebonehmotných ( Q) proudůdojde v systému ke změně tepelného obsahu (entalpie) systému ( H). Změna se projeví nárůstem teploty nebo 3 Molární hmotnosti je pro přepočet v základních jednotkách nutno dosadit v kg mol 1.

122 122 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE fázovou přeměnou některých složek (například táním nebo varem) nebo obojím. Je proto nutné zvolit jednu referenční teplotu T ref a pro každou složku referenční skupenství. Pokud se systém bude nacházet v referenčním stavu, tj. všechny složky budou mít skupenství a teplotu, jaké jsme předtím zvolili, bude entalpie systému nulová. Srovnejme tento fakt s volbou referenční výšky: Položíme-li okno na referenční hladinu (povrch Země), bude jeho výška nulová. Jestliže se systém chemických složek nachází v referenčním stavu a je do něj dodáno jakoukoli formou teplo, entalpie systému se zvýší, tj. hodnota entalpie bude kladná. Naopak, pokud teplo odebereme, entalpie se sníží a její hodnota bude záporná. Je to stejné, jako kdybychom vynesli okno původně položené na povrchu Země do prvního patra domu nebo naopak do sklepa. Pro daný systém volíme referenční stav na základě našeho rozhodnutí. To se řídí zejména dostupností fyzikálně-chemických dat, která jsou často tabelována s pevně zvoleným referenčním stavem. Například u entalpických bilancí s chemickou reakcí se využívají slučovací entalpie tabelované při 25 C, proto se v tomto případě volí obvykle referenční teplota 25 C. V entalpických bilancích bez chemické reakce se pak běžně používá referenční teplota 0 C. Dalším kritériem, které se zohledňuje při volbě referenčního stavu, je snaha o co největší zjednodušení řešené úlohy. V tomto případě bývá poměrně častou volbou T ref teplota jednoho ze vstupních proudů, protože pak odpadá nutnost vyčíslovat entalpii tohoto proudu (v referenčním stavu je nulová). Všimněme si také, že zatímco referenční teplota T ref je společná pro všechny složky, referenční skupenství můžeme volit jiné pro každou složku. U plynů, které za běžných podmínek nekondenzují (vzduch, kyslík, dusík, metan aj.), je nejlepší volbou skupenství plynné. Podobně u látek, které jsou za normálních podmínek pevné (například uhlík), volíme pevné referenční skupenství. Obecně je možno říci, že pokud složka ve zkoumaném procesu nemění své skupenství, volíme pro referenční stav právě toto skupenství. Pokud složka podléhá fázové přeměně (například voda tuhne, alkohol přechází varem do plynné fáze, suchý led sublimuje), pak pro referenční stav volíme skupenství složky podle svého uvážení. V případě výskytu kapalné i plynné fáze téže složky se jako referenční stav volí obvykle kapalina, která má nižší hladinu entalpie než pára. Speciálním typem referenčního stavu je tzv. standardní stav, který je určen dohodou v rámci vědecké a technické komunity a je definován více či méně závaznými normami. Hodnoty různých veličin pro standardní stav nalezneme v tabulkách a databázích fyzikálně chemických dat (účel standardizace), zatímco hodnoty pro námi zvolený referenční stav si na základě dostupných dat musíme vypočítat. Závěrem zdůrazněme, že teoreticky výsledek entalpické bilance nezávisí na volbě referenčního stavu. Vhodnou volbou referenčního stavu si však můžeme výpočet ulehčit, nevhodnou volbou naopak zkomplikovat (více početních úkonů, horší dostupnost či přesnost tabelovaných dat atp.) Závislost entalpie čisté látky na teplotě Měrná či molární entalpie čisté látky i závisí na teplotě velmi významně. Nakonec teplota systému či proudu bývá často veličinou, jejíž hodnotu chceme pomocí entalpické bilance vypočítat. Fyzikální chemie zavádí pojem měrná tepelná kapacita složky c pi vztahem ( ) hi (měr) = c pi(měr) (7.21) T p

123 7.3. VÝPOČET ENTALPIE 123 Rovnice (7.21) definuje, že změna měrné entalpie čisté složky s teplotou je za konstantního tlaku rovna měrné tepelné kapacitě c pi. Jinými slovy: měrná tepelná kapacita je množství tepla, které je nutno dodat jednomu kilogramu čisté složky, aby se ohřála o jeden Kelvin. Měrná tepelná kapacita se udává v jednotkách J kg 1 K 1. Stejným způsobem je definována molární tepelná kapacita, která je rovna množství tepla potřebného k ohřátí jednoho molu čisté složky o jeden Kelvin. ( ) hi (mol) = c pi(mol) (7.22) T p Molární tepelná kapacita se udává v jednotkách J mol 1 K 1. Měrnou a molární kapacitou čisté složky lze vzájemně přepočítávat pomocí molární hmotnosti c pi(mol) = c pi(měr) M i. (7.23) Tam, kde je ze souvislostí patrné, zda se jedná o měrnou či molární tepelnou kapacitu, se často používá symbol c pi bez upřesňujícího indexu (měr) či (mol) a rozlišuje se podle jednotky. Měrné i molární kapacity chemických látek patří k nejdůležitějším fyzikálním vlastnostem hmoty. Tepelná kapacita není konstanta, mění se s teplotou a skupenstvím složky. Různých hodnot tepelných kapacit tedy nabývá voda ve formě kapaliny, ledu nebo páry, byt při stejné teplotě. Závislost měrné nebo molární tepelné kapacity na teplotě lze pro mnoho látek nalézt v tabulkách (například Jahoda a kol., 2016; Holeček, 2001; NIST, 2019; DE- THERM, 2019; DIPPR, 2019) ve formě různých funkcí. Příkladem takové funkce může být polynom druhého řádu, který se používá pro určení tepelných kapacit některých kapalin c pi = A i +B i T +C i T 2, (7.24) kde A i,b i,c i jsou experimentálně získané koeficienty. V praxi je používána i celá řada jiných funkčních závislostí tepelných kapacit na teplotě. Měrnou nebo molární entalpii čisté složky i při teplotě T získáme obecně integrací rovnice (7.21) h i (T) = T T ref c pi dt. (7.25) Jako dolní integrační mez jsme použili referenční teplotu, při které je měrná entalpie čisté složky nulová h i (T ref ) = 0. Měrná entalpie složky i při teplotě T je tedy rovna přírůstku nebo poklesu entalpie vůči referenčnímu stavu složky. Jestliže lze závislost měrné tepelné kapacity složky popsat vztahem (7.24), pak pro měrnou entalpii čisté složky i integrací získáme h i (T) = A i (T T ref )+B i T 2 T 2 ref 2 +C i T 3 T 3 ref 3. (7.26) Pro přibližné výpočty v relativně úzkých intervalech teplot (většinou změny teploty o jednotky či desítky C) je možno nahradit teplotní závislost konstantní hodnotou měrné či molární tepelné kapacity nalezenou při střední teplotě T definované vztahem T = T +T ref 2. (7.27) Integrací rovnice (7.25) s konstantní střední měrnou nebo molární tepelnou kapacitou c pi T získáme jednoduchý vztah pro výpočet entalpie čisté složky při teplotě T h i (T) = c pi T (T T ref ). (7.28)

124 124 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE Dolní index teploty u c pi T zdůrazňuje, že hodnota měrné nebo molární tepelné kapacity byla nalezena při střední teplotě T vypočtené podle rovnice (7.27). Pro praktické výpočty měrné či molární entalpie v závislosti na teplotě T je také užitečné uvědomit si možnost dosazení hodnot teploty t přímo v jednotkách C, protože rozdíly či změny teplot vyjádřené ve C a K jsou stejné 4 : dt = dt, T = t (7.29) h i (t) = t t ref c pi dt (7.30) h i (t) = c pi t (t t ref ) (7.31) t = t+t ref 2. (7.32) Při výpočtech se velmi často setkáme se situací, kdy teplota jednoho z proudů není známa a máme ji z entalpické bilance vypočítat, viz příklady v kapitole 7.4. V takovém případě nemůžeme předem přesně určit střední teplotu T, při které je třeba hledat v tabulkách molární tepelné kapacity c pi T, viz rovnice (7.27) a (7.28), případně (7.31) a (7.32). Potom použijeme následující iterační postup: 1. Odhadneme střední teplotu T a při této teplotě najdeme v tabulkách přibližné hodnoty měrné či molární tepelné kapacity c pi T. 2. Z entalpické bilance vypočítáme přibližnou hodnotu neznámé teploty T proudu. 3. Vypočítáme střední teplotu T = T+T ref Najdemehodnotuměrné či molární tepelnékapacity c pi T při vypočítané střední teplotě T. Pokud se významně neliší od předchozí použité hodnoty c pi T, můžeme výpočet ukončit. Pokud se liší, pokračujeme dále. 5. Do entalpické bilance dosadíme nové c pi T a vypočítáme přesnější hodnotu neznámé teploty T proudu. 6. Pokud se zpřesněná hodnota neznámé teploty proudu T významně neliší od předchozího odhadu, můžeme výpočet ukončit. Pokud se liší, opakujeme znovu postup od bodu 3. Když není teplota T příliš vzdálena od referenční teploty T ref, postačí často provést úkony 1 4. V případě velkých teplotních rozdílů (změny o stovky až tisíce C) je vhodnější použít výchozí tvar pro teplotní závislost měrné či molární entalpie ve formě c pi dt, dosadit tabelované polynomiální závislosti c pi (T), viz například (7.24), analyticky zintegrovat c pi dt, viz například (7.26), a řešit vzniklou nelineární rovnici pro neznámou teplotu T. Tento postup je složitější, ale přesnější. 4 U tabelovaných polynomů pro výpočet závislosti měrné či molární tepelné kapacity na teplotě (7.24) je však vždy třeba nejprve zjistit, v jakých jednotkách byly sestaveny, a důsledně dosadit teplotu v požadovaných jednotkách (v tomto případě nesmí dojít k záměně).

125 7.3. VÝPOČET ENTALPIE Změna entalpie čisté látky se změnou skupenství Změny skupenství čistých látek, např. tání a tuhnutí, vypařování a kondenzace, sublimace a desublimace, probíhají za konstantní teploty a tlaku. Aby látky za konstantního tlaku tály, vypařovaly se nebo sublimovaly, je nutno do systému dodávat teplo. Naopak aby látky tuhly, kondenzovaly nebo desublimovaly je nutno teplo odebírat. Teplo, které je nutno za konstantního tlaku a teploty dodat do systému z okolí, aby se vypařila jednotka hmotnosti (resp. látkového množství) čisté složky, se nazývá měrná (resp. molární) výparná entalpie. Výparná entalpie má kladnou hodnotu. Pro obrácený jev hovoříme o měrné či molární kondenzační entalpii: h výp,i(měr) = h (g) i(měr) h(l) i(měr) = h kond,i(měr) (7.33) h výp,i(mol) = h (g) i(mol) h(l) i(mol) = h kond,i(mol) (7.34) V dalším textu nebudeme indexy (měr) a (mol) uvádět, nebot nehrozí záměna. Horní indexy (l) a (g) označují kapalnou (liquid) a plynnou (gas) fázi. Teplo, které je nutno za konstantního tlaku a teploty dodat do systému z okolí, aby roztála jednotka hmotnosti (resp. látkového množství) čisté složky, se nazývá měrná (resp. molární) entalpie tání. Entalpie tání má kladnou hodnotu. Pro obrácený jev hovoříme o měrné či molární entalpii tuhnutí: h tání,i = h (l) i h (s) i = h tuh,i (7.35) Horní index (s) označuje pevnou (solid) fázi. Teplo, které je nutno za konstantního tlaku a teploty dodat do systému z okolí, aby sublimovala, tedy změnila pevné na plynné skupenství, jednotka hmotnosti (resp. látkového množství) čisté složky, se nazývá měrná (resp. molární) entalpie sublimace. Entalpie sublimace má kladnou hodnotu. Pro obrácený jev hovoříme o měrné či molární entalpii desublimace: h sub,i = h (g) i h (s) i = h desub,i (7.36) Měrné a molární entalpie změn skupenství složek jsou látkovými vlastnostmi, které závisejí na teplotě. Tyto závislosti nalezneme v tabulkách fyzikálně-chemických vlastností látek. Fyzikální jednotkou měrných skupenských entalpií je J kg 1 a molárních skupenských entalpií J mol 1. S využitím molární hmotnosti můžeme pomocí rovnice (7.20) přepočítat molární veličinu na veličinu měrnou a obráceně. Měrná (resp. molární) entalpie látky i při konstantní teplotě je nejnižší v pevném skupenství, vyšší v kapalném skupenství a nejvyšší v plynném skupenství. Obecně označujeme měrnou či molární entalpii změny skupenství látky i vzhledem k referenčnímu skupenství jako h skup,i. Pokud je látka ve svém referenčním skupenství, pak h skup,i = Změna entalpie čisté látky se změnou teploty i skupenství Mnohé jednotkové operace (destilace, odpařování, sušení aj.) jsou spojeny nejen se změnami teplot, ale i se změnami skupenství chemických složek či jejich směsí. Při bilančních výpočtech je zpravidla nutno vypočítat entalpie jednotlivých vstupních a výstupních proudů vůči zvolenému referenčnímu stavu. Jestliže se složka v nějakém proudu nachází ve stavu, kdy její teplota i skupenství jsou odlišné od referenčního stavu, musíme pro výpočet entalpie této složky kombinovat postupy popsané v předchozích dvou kapitolách.

126 126 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE Z hlediska vratné termodynamiky existuje v podstatě nekonečně mnoho možností, jak spočítat entalpii čisté složky či směsi složek v jiném než referenčním stavu. Ne všechny možnosti jsou však vhodné pro praktický výpočet, at už z důvodu složitosti nebo nedostatku tabelovaných údajů. Pro názornost si uvedeme jednoduchý příklad výpočtu entalpie vodní párypři teplotě T. Referenční stavem bude[voda kapalina, teplota T ref ]. Uvažujme, že platí T > T ref. Potom si můžeme celý postup výpočtu entalpie páry graficky znázornit na obr Výpočet entalpie v diagramu chápeme jako cestu z bodu A (referenční stav) do bodu B. Entalpie je stavová veličina, výsledek tedy nezávisí na tom, jakou cestu zvolíme. Zvolená cesta ovšem musí být konzistentní a dodržovat vztahy uvedené v předchozím textu. Vrat me se k našemu příkladu v referenčním stavu máme v nádobě vodu při referenční teplotě (T ref ) a její měrná entalpie je nulová, viz bod A na obr Chceme získat informaci otom, jaká budeměrnáentalpie této vodypřeměněné napáruoteplotě T,viz bodb. Entalpie páry je tedy rovna množství tepla, které spotřebujeme na zahřátí a odpaření vody v nádobě. V následujícím textu si ukážeme tři způsoby výpočtu měrné entalpie páry. (T) výp (Tref) výp (Tvar) výp Obr. 7.6: Grafické znázornění výpočtu entalpie při změně skupenství a teploty. Referenční skupenství kapalina, aktuální skupenství pára. Cesta I plná čára, Cesta II čárkovaná čára, Cesta III šrafovaná čára Cesta I. Postupným dodáváním tepla nejprve ohřejeme kapalnou vodu z referenční teploty T ref k bodu varu T var za daného tlaku 5. Při této teplotě vodu odpaříme, čímž její měrná entalpie vzroste o h výp,i (T var ). Nakonec vodní páru ohřejeme z teploty T var na konečnou teplotu T. Uvedená cesta je znázorněna plnou čarou na obr Matematicky lze cestu z bodu A do bodu B zapsat s využitím rovnic (7.25) a (7.33) h i (T) = Tvar T ref c (l) pi dt }{{} teplotní příspěvek + h výp,i (T var ) + }{{} skupenský příspěvek T T var c (g) pi dt }{{} teplotní příspěvek, (7.37) kde symboly c (l) pi a c(g) pi označují měrné tepelné kapacity kapalné vody a vodní páry. Výparné teplovody h výp,i (T var )musímenalézt přiteplotěvarut var.pokudchcemeužítméněpřesného výpočtu pomocí měrných tepelných kapacit nalezených při střední teplotě, můžeme psát h i (T) = c (l) pi T 1 (T var T ref ) }{{} teplotní příspěvek + h výp,i (T var ) }{{} skupenský příspěvek +c (g) pi T 2 (T T var) }{{} teplotní příspěvek, (7.38) 5 Při normálním tlaku v nádobě bude T var = 100 C.

127 7.3. VÝPOČET ENTALPIE 127 kde měrnou tepelnou kapacitu kapaliny c (l) pi T 1 hledáme při střední teplotě T 1 a měrnou tepelnou kapacitu vodní páry c (g) pi T 2 při střední teplotě T 2 : T 1 = T ref +T var 2, T 2 = T var +T 2. (7.39) Cesta II. Postupným dodáváním tepla ohřejeme kapalnou vodu z referenční teploty T ref až na požadovanou teplotu T, aniž bychom jí odpařili. Odpaření lze zabránit zvýšením tlaku v nádobě 6. Při teplotě T vodu odpaříme, čímž její měrná entalpie vzroste o h výp,i (T). Uvedená cesta je znázorněna čárkovanou čarou na obr Matematicky lze tuto cestu z bodu A do bodu B zapsat vztahem h i (T) = T c (l) pi dt + h výp,i (T) T } ref }{{}{{} skupenský příspěvek teplotní příspěvek, (7.40) nebo h i (T) = c (l) pi T (T T ref) + h výp,i (T) }{{}}{{} teplotní příspěvek skupenský příspěvek, (7.41) kde T = T ref +T 2. (7.42) Výparné teplo vody h výp,i (T) musíme v tomto případě nalézt při koncové teplotě T a měrnou tepelnou kapacitu kapaliny c (l) pi T hledáme při střední teplotě T. Cesta III.Postupným dodáváním tepla vodunejprveodpařímepři referenční teplotě T ref, aniž bychom jí ohřáli. Tím vzroste její měrná entalpie o h výp,i (T ref ). Zahřátí lze zabránit snížením tlaku v nádobě. Získáme vodní páru, kterou je nutno ohřát z teploty T ref na teplotu T. Uvedená cesta je znázorněna čerchovanou čarou na obr Matematicky lze tuto cestu z bodu A do bodu B zapsat vztahem T h i (T) = h výp,i (T ref ) + c (g) pi }{{} dt T ref skupenský příspěvek }{{} teplotní příspěvek, (7.43) nebo h i (T) = h výp,i (T ref ) +c (g) }{{} pi T (T T ref) }{{} skupenský příspěvek teplotní příspěvek. (7.44) Výparné teplo vody h výp,i (T ref ) musíme v tomto případě nalézt při referenční teplotě T ref a měrnou tepelnou kapacitu páry c (g) pi T hledáme při střední teplotě T, která je stejná jako u cesty II (kde jsme ale použili měrnou tepelnou kapacitu kapaliny). Pokud porovnáme všechny tři postupy výpočtu entalpie páry, pak je zřejmé, že Cesta II a Cesta III jsou jednodušší při praktickém výpočtu, a to navzdory faktu, že experimentální realizace obou cest by byla složitější než realizace Cesty I. V případě vysoké koncové teploty T 6 Entalpie na tlaku v systému prakticky nezávisí.

128 128 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE může být použití Cesty II při výpočtu omezeno špatnou dostupností či přesností tabelovaných údajů pro kapalnou fázi. Jestliže v systému dochází k jiné fázové přeměně nebo k více fázovým přeměnám (tání, sublimaci, kondenzaci aj.), je postup výpočtu obdobný. Je vždy nutno nalézt vhodnou cestu z referenčního stavu do požadovaného bodu tak, jak jsme znázornili na obr Závěrem ještě podotkněme, že entalpie skupenských změn bývají řádově vyšší než entalpie potřebné k ohřevu látky i o desítky C. Například pokud dochází v zařízení ke kondenzaci syté páry a následnému ochlazení kondenzátu o 10 C, uvažuje se ve výpočtech často pouze kondenzační entalpie, protože příspěvek ochlazování kapalného kondenzátu ke změně entalpie je zanedbatelně malý Změny entalpie při chemické reakci Pokud v systému dochází k reakci, musíme při vyjádření entalpie jednotlivých složek uvažovat kromě teplotně-skupenského příspěvku (viz kapitoly ) navíc i chemický (reakční) příspěvek. V tomto případě používáme obvykle molární entalpie, protože rozsah reakce se vyjadřuje v molech. Celkovou molární entalpii látky i se zahrnutím reakčního příspěvku pak můžeme zapsat h i (T) = h ts,i (T) }{{} + h sluč,i (T ref ) }{{} teplotně-skupenský příspěvek reakční příspěvek, (7.45) přičemž teplotně-skupenský příspěvek k entalpii látky i vyjádříme podle (7.43) jako h ts,i (T) = T c pi dt + h skup,i (T ref ) T } ref }{{}{{} skupenský příspěvek teplotní příspěvek, (7.46) případně s aproximací konstantní molární tepelnou kapacitou při střední teplotě T = T+T ref 2 podle rovnice (7.44) h ts,i (T) = c pi T (T T ref ) + h skup,i (T ref ) }{{}}{{} teplotní příspěvek skupenský příspěvek, (7.47) kde h skup,i (T ref ) je molární entalpie skupenské přeměny látky i vůči referenčnímu skupenství při referenční teplotě T ref a c pi je molární tepelná kapacita složky i v aktuálním skupenství. Tato rovnice odpovídá Cestě III v obr Reakčnípříspěvekvrovnici(7.45)jevyjádřenjako h sluč,i (T ref ),cožjemolární slučovací entalpie látky i při referenční teplotě. Referenční stav představují čisté prvky nacházející se v nejběžnějším skupenství a modifikaci při referenční teplotě T ref. Všechny prvky tedy mají v takovém stavu nulovou slučovací entalpii, u sloučenin je nenulová. Hodnoty standardních molárních slučovacích entalpií chemických látek jsou tabelovány (viz například Jahoda a kol., 2016; Holeček, 2001; NIST, 2019) při referenční teplotě 25 C a značí se h sluč,i (v mezinárodní literatuře h f,i, heat of formation). V případě entalpických bilancí s reakcí se proto za T ref často volí 25 C, při které lze přímo použít tabelovaná data slučovacích entalpií. U mnoha látek je možné najít slučovací entalpie při standardní referenční teplotě, ale pro různá skupenství. Například standardní slučovací entalpie vody je pro kapalné skupenství 7 Alternativně je možné vyjádřit teplotně-skupenský příspěvek i podle Cesty II v obr Pak se dosazuje molární tepelná kapacita c pi složky i v referenčním skupenství a molární entalpie skupenské přeměny látky i vůči referenčnímu skupenství h skup,i (T) se dosazuje při aktuální teplotě T, viz rovnice (7.40).

129 7.3. VÝPOČET ENTALPIE 129 h (l) sluč,h 2 O = 285,83 kj mol 1, provodní páru h (g) sluč,h 2 O = 241,83 kj mol 1 (NIST,2019). Obvykle volíme takové skupenství, ve kterém daná látka v systému skutečně reaguje nebo vzniká jako produkt. Toto skupenství se pak automaticky stává referenčním skupenstvím i pro vyjádření tepelně-skupenského příspěvku h ts,i (T) podle rovnice (7.46) či (7.47). Pokud je látka ve svém referenčním skupenství, pak h skup,i = Entalpie směsi Měrné a molární entalpie směsí vyjadřujeme pomocí měrných a molárních entalpií čistých složek. Smísení řady látek může být doprovázeno uvolněním nebo spotřebováním určitého množství tepla, které odpovídáměrné či molární směšovací entalpii h mix vztažené na1kg či 1 mol směsi. Potom měrné a molární entalpie vícesložkových proudů nebo systémů (h (měr) a h (mol) ) vyjádříme vztahem h (měr) (T) = h (mol) (T) = složky i složky i w i h i(měr) (T)+ h mix(měr) (T), (7.48) x i h i(mol) (T)+ h mix(mol) (T), (7.49) kde symboly w i a x i označují hmotnostní a molární zlomky složky i ve vícesložkové směsi. Takto zavedená směšovací entalpie h mix se někdy nazývá také dodatková. Nezanedbatelná směšovací entalpie se vyskytuje například u směsí některých kapalin, z nejběžnějších uved me například kyselinu sírovou s vodou, ale třeba také kratší alkoholy (např. etanol) s vodou. V literatuře (DETHERM, 2019; DIPPR, 2019; Springer Materials, 2019) lze nalézt závislosti h mix na složení binární směsi, nejčastěji formou grafů či polynomických funkcí h mix (x i ). V kapitole 10 (Odparky) se budeme mimo jiné zabývat výpočtem entalpie směsi, která je tvořena dvěma složkami: čistým rozpouštědlem a netěkavou rozpuštěnou látkou. Nejčastěji se bude jednat o roztok anorganické soli nebo netěkavé organické látky ve vodě. Ze zkušenosti víme, že také rozpouštění některých látek je doprovázeno uvolněním tepla (při rozpouštění hydroxidu sodného ve vodě se roztok zahřívá) nebo spotřebováním tepla (při rozpouštění močoviny ve vodě se roztok ochlazuje). Příslušnou měrnou směšovací entalpii lze v těchto případech vyjádřit pomocí tabelované integrální měrné rozpouštěcí entalpie h rozp h mix(měr) (T) = w h rozp(měr) (T), (7.50) kde symbol w označuje hmotnostní zlomek rozpuštěné látky v roztoku. Tabelovaná integrální měrná rozpouštěcí entalpie h rozp je vztažena na 1 kg rozpuštěné látky, proto je třeba ji vynásobit hmotnostním zlomkem dané látky, abychom získali měrnou směšovací entalpii vztaženou na hmotnost celé směsi h mix. Hodnota h rozp se mění s koncentrací rozpuštěné látky. Pro řadu roztoků lze v tabulkách (například Jahoda a kol., 2016; Holeček, 2001) nalézt hodnoty měrných integrálních rozpouštěcích entalpií v závislosti na hmotnostním zlomku rozpuštěné látky. Tato data bývají tabelována nejčastěji při 25 C, směšovací entalpie ovšem obecně závisí na teplotě. Pokud při vyjádření měrné či molární entalpie směsi vyjdeme z čistých látek při referenční teplotě a skupenství, pak nejprve započteme teplotní příspěvky čistých látek podle rovnice (7.25)či (7.28)odT ref doaktuálníteploty T anakoneczapočteme měrnoučimolárnísměšovací entalpii při aktuální teplotě T. Po dosazení rovnice (7.28) do (7.48), respektive (7.49)

130 130 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE dostáváme složky h (měr) (T) = (T T ref ) w i c pi T (měr) + h mix(měr) (T), (7.51) i složky h (mol) (T) = (T T ref ) x i c pi T (mol) + h mix(mol) (T). (7.52) i Zde narazíme na fakt, že směšovací a rozpouštěcí entalpie bývají často tabelovány jen při jedné nebo několika málo teplotách (Jahoda a kol., 2016; Holeček, 2001; DDB, 2019; DETHERM, 2019; DIPPR, 2019; Springer Materials, 2019). Obvykle se dosazuje hodnota směšovací entalpie při nejbližší dostupné tabelované teplotě, případně interpolujeme mezi dostupnými tabelovanými hodnotami pro různé teploty. 8 Pokud je směšovací entalpie nulová, hovoříme o tzv. ideální směsi. Ideálními směsmi jsou například směsi plynů. Vztahy pro ideální směs používáme i v případě, že směšovací entalpie je zanedbatelně malá. To platí i pro většinu běžných kapalných směsí, ale tento předpoklad je vhodné vždy nejprve ověřit na základě dostupných tabelovaných dat, jak bylo diskutováno výše. Rovnice pro výpočet měrné nebo molární entalpie přechází pro ideální směs do tvaru h (měr) = složky i w i h i(měr), h (mol) = složky i x i h i(mol), (7.53) Po dosazení vztahů pro teplotní závislost měrné a molární entalpie čistých složek můžeme vyjádřit měrné a molární entalpie ideálních směsí jako funkce teploty. Nejjednodušší možností je dosazení rovnice (7.28) do rovnice (7.53) složky h (měr) (T) = (T T ref ) w i c pi T (měr) i } {{ } = c p(měr) složky, h (mol) (T) = (T T ref ) x i c pi T (mol) i } {{ } = c p(mol), (7.54) kde c p(měr) a c p(mol) označují střední měrnou respektive molární tepelnou kapacitu ideální směsi. Pokud lze závislost molární nebo měrné tepelné kapacity jednotlivých složek na teplotě vyjádřit rovnicí (7.24), získáváme integrací c p dt obdobně jako (7.26) přesnější vztah pro výpočet molární entalpie ideální směsi 9 složky h (mol) (T) = (T T ref ) i x i A i + T2 Tref 2 složky 2 i x i B i + T3 Tref 3 složky 3 i x i C i. (7.55) Konstanty A i, B i a C i, které nalezneme v tabulkách, nejčastěji umožňují přímý výpočet molární entalpie. Měrnou entalpii směsi je pak možné přepočítat pomocí střední molární hmotnosti směsi, viz rovnice (2.8) a (7.20). Pro výpočet skupenské změny entalpie ideální směsi použijeme následující vztahy: h skup(měr) = složky w i h skup,i(měr), h skup(mol) = i i 8 Problém s teplotní závislostí h mix se nedá obejít volbou jiné cesty či jiného referenčního stavu. Pokud bychom například nejprve započetli směšovací entalpii při referenční teplotě h mix(t ref ), museli bychom při vyjádření teplotního příspěvku v rovnicích (7.51) a (7.52) použít střední tepelnou kapacitu neideální směsi c p. Ta se od střední tepelné kapacity ideální směsi definované v (7.54) liší o dodatkovou tepelnou kapacitu c p,mix, přičemž platí c p,mix = h mix/ T. Dostupnost teplotní závislosti c p,mix(t) v tabulkách bývá ještě více omezená, než je tomu u samotné h mix(t). 9 V praxi je používána i celá řada jiných funkčních závislostí tepelných kapacit na teplotě. složky x i h skup,i(mol). (7.56)

131 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE Výsledné tvary entalpické bilance Nyní, když umíme vyjádřit molární či měrné entalpie čistých složek i směsí v závislosti na tepotě, skupenství a složení (kapitola 7.3), můžeme tyto vztahy dosadit do obecné bilance entalpie uvedené v kapitole 7.2. Získáme tak konkrétní bilanční rovnice umožňující výpočet teploty, množství tepla potřebného pro její dosažení, případně zjištění neznáměho látkového množství či hmotnosti některého z proudů. K tomu využijeme znalosti materiálových bilancí (kapitola 2), které propojíme s bilancí entalpie. Jak bylo vysvětleno v kapitole 7.2, bilance lze zapisovat bud ve tvaru za konečné bilanční období (vstupní a výstupní proudy charakterizovány pomocí veličin H a Q pro entalpii a teplo a n či m pro hmotu), nebo za diferenciální bilanční období (vstupní a výstupní proudy charakterizovány pomocí veličin Ḣ a Q pro toky entalpie a tepla a ṅ či ṁ pro tok hmoty) Entalpická bilance bez reakce Bilanční schéma mísiče se ztrátami tepla do okolí, které nám poslouží jako příklad pro odvození výsledného tvaru entalpické bilance v systému bez probíhající chemické reakce, je na obr Entalpickou bilanci zapíšeme nejprve v základním tvaru H 1 +H 2 = H 3 +Q 4. (7.57) 4 Obr. 7.7: Bilanční schéma mísiče se ztrátami tepla do okolí: 1 hmotný vstupní proud, 2 hmotný vstupní proud, 3 hmotný výstupní proud, 4 nehmotný výstupní proud (ztrátové teplo Q 4 ) Poté vyjádříme entalpie jednotlivých proudů bud pomocí součinu látkového množství a molární entalpie (7.19), nebo součinu hmotnosti a měrné entalpie (7.18). Volbu provádíme podle jednotek uvedených v zadání, jednotek požadovaných ve výsledku a jednotek dostupných tabelovaných dat. V tomto odvození použijeme vyjádření pomocí molárních entalpií h (mol), látkových množství n, molárních zlomků x i a molárních tepelných kapacit c pi(mol), přičemž obdobně bychom mohli bilanci zapsat pomocí měrných entalpií h (měr), hmotností m, hmotnostních zlomků w i a měrných tepelných kapacit c pi(měr) (viz vztahy uvedené v kapitole 7.3). n 1 h 1 +n 2 h 2 = n 3 h 3 +Q 4 (7.58) Proudy 1, 2 a 3 jsou obecně směsi složek o teplotách T 1, T 2 a T 3, přičemž složení proudu 1 je dáno molárními zlomky x i1, složení proudu 2 zlomky x i2 a složení proudu 3 zlomky x i3. Molární entalpie směsí h 1,h 2 ah 3 můžemevyjádřit vzávislosti namolárních entalpiích čistých látek pomocí rovnice (7.49) složky ) složky ) n 1 ( h mix,1 + x i1 h i1 +n 2 ( h mix,2 + x i2 h i2 = i složky = n 3 ( h mix,3 + x i3 h i3 )+Q 4. (7.59) i Protože v systému neprobíhá chemická reakce, jsou molární entalpie čistých složek dány pouze i

132 132 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE teplotním a skupenským příspěvkem, který můžeme vyjádřit podle rovnice (7.46) složky ] T1 složky n 1 [ h mix,1 + x i1 c pi dt + x i1 h skup,i1 (T ref ) + i T ref i složky ] T2 složky + n 2 [ h mix,2 + x i2 c pi dt + x i2 h skup,i2 (T ref ) = i T ref i složky ] T3 složky x i3 + x i3 h skup,i3 (T ref ) +Q 4, (7.60) = n 3 [ h mix,3 + }{{} směšovací c pi dt i T ref }{{} teplotní příspěvek i } {{ } skupenský příspěvek případně po aproximaci pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při středních teplotách T 1 = T 1+T ref 2, T 2 = T 2+T ref 2 a T 3 = T 3+T ref 2 podle rovnice (7.47) složky složky n 1 [ h mix,1 +(T 1 T ref ) x i1 c pi T1 + x i1 h skup,i1 (T ref ) i ] složky složky + n 2 [ h mix,2 +(T 2 T ref ) x i2 c pi T2 + x i2 h skup,i2 (T ref ) = = n 3 [ h mix,3 }{{} směšovací složky +(T 3 T ref ) i i x i3 c pi T3 } {{ } teplotní příspěvek i i složky + ] ] x i3 h skup,i3 (T ref ) +Q 4. (7.61) i } {{ } skupenský příspěvek Pokudsehodnotymolárních tepelných kapacit složek c pi v daném rozsahu teplot mění jen málo, můžeme si výpočet podle (7.61) ulehčit zavedením středních molárních tepelných kapacit c pi, společných pro celý rozsah teplot. Potom nahradíme c pi T1, c pi T2 i c pi T3 pro každou složku jedinou střední hodnotou c pi. ] složky složky n 1 [ h mix,1 +(T 1 T ref ) x i1 c pi + x i1 h skup,i1 (T ref ) + i ] složky složky + n 2 [ h mix,2 +(T 2 T ref ) x i2 c pi + x i2 h skup,i2 (T ref ) = = n 3 [ h mix,3 }{{} směšovací složky +(T 3 T ref ) i i x i3 c pi } {{ } teplotní příspěvek i i ] x i3 h skup,i3 (T ref ) +Q 4. (7.62) složky + i } {{ } skupenský příspěvek Výpočet si dále můžeme zjednodušit vhodnou volbou referenčního stavu. Například pokud zvolíme referenční teplotu T ref = T 1 a referenční skupenství všech složek podle proudu 1, pak teplotní a skupenský příspěvek k molární entalpii u proudu 1 budou nulové (viz kapitola 7.3.2). Pokud T ref = T 1, pak hodnoty středních molárních tepelných kapacit složek c pi hledáme při teplotě T = T 1+T 2 2. Bilance (7.60), (7.61) a (7.62) se také často zjednoduší s ohledem na konkrétní složení a stav proudů. U proudů, které jsou tvořeny ideální směsí nebo jednou čistou složkou, je směšovací entalpie h mix = 0 (viz kapitola 7.3.7). U složek, které jsou ve svém referenčním skupenství,respektive nemění své skupenství, platí h skup,i = 0(viz kapitola 7.3.4). Pokud je systém adiabatický (nevyměňuje teplo s okolím), pak Q 4 = 0. +

133 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 133 Obdobně lze zapsat diferenciální bilanci průtočného mísiče v ustáleném stavu. Pak pouze nahradíme látkové množství n (jednotka mol) tokem ṅ (jednotka mol s 1 ), a teplo vyměněné s okolím Q (jednotka J) tokem tepla Q (jednotka J s 1 = W). Konkrétní použití výše uvedených principů bilancování entalpie v systémech bez chemické reakce si ukážeme na několika následujících řešených příkladech. Příklad P7.1: Entalpická bilance jednoduchého mísiče Zadání: Bylo smícháno 10 kg vody o teplotě 25 C a 5 kg vody o teplotě 100 C. Jaká je výsledná teplota? Obr.7.8: Bilanční schéma k příkladu P7.1: 1. vstupní hmotný proud 10 kg vody o teplotě 25 C, 2. vstupní hmotný proud 5 kg vody o teplotě 100 C, 3. výstupní hmotný proud voda neznámé teploty Řešení: Z bilance hmotnosti vyplývá: m 3 = m 1 +m 2 = 10+5 = 15 kg. Entalpii bilancujeme za konečné bilanční období. Do systému vstupují dva hmotné proudy a ze systému odchází jeden hmotný proud. Základní entalpickou bilanci zapíšeme ve tvaru rovnice (7.11) H 1 +H 2 = H 3, kterou rozepíšeme pomocí měrných entalpií jednotlivých proudů (7.18), protože zadány jsou hmotnosti m 1 h 1 +m 2 h 2 = m 3 h 3. Nyní musíme vyjádřit měrné entalpie v závislosti na složení, skupenství a teplotě jednotlivých proudů analogicky k (7.61). Ze zadání víme, že ve všech proudech je jediná složka voda. Proto směšovací entalpie ve všech proudech je nulová ( h mix = 0). Voda je ve všech proudech kapalná, nedochází ke změně skupenství. Pro vodu zvolíme referenční skupenství kapalné a pak h skup = 0. V entalpické bilanci tedy zbyde pouze teplotní příspěvek. Měrná tepelná kapacita kapalné vody vody c (l) p,h 2 O se v daném teplotním intervalu mění jen velmi málo, a proto při výpočtu měrných entalpií můžeme využít vztahu (7.28) se střední měrnou tepelnou kapacitou c (l) p,h 2 O společnou pro všechny proudy m 1 c (l) p,h 2 O (t 1 t ref )+m 2 c (l) p,h 2 O (t 2 t ref ) = m 3 c (l) p,h 2 O (t 3 t ref ). (7.63) Střední měrnou tepelnou kapacitu kapalné vody c (l) p,h 2 O v předchozí rovnici můžeme vykrátit. Nyní zvolíme vhodným způsobem referenční teplotu: t ref = t 1 = 25 C. Rovnice (7.63) se tak zjednoduší do tvaru m 2 (t 2 t ref ) = m 3 (t 3 t ref ),

134 134 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE a proto t 3 = m 2(t 2 t ref ) m 3 +t ref = 5 (100 25) 15 Výsledek: Výsledná teplota je 50 C. +25 = 50 C. Příklad P7.2: Entalpická bilance se zdrojem tepla a změnou skupenství Zadání: Varná konvice byla naplněna 1,7 litru vody o teplotě 15 C. Za jak dlouho pozapnutí elektrického ohřevu o konstantním příkonu P=2,2 kw se a) voda uvede do varu při běžném atmosférickém tlaku a b) za jak dlouho se varem zmenší původní hmotnost vody na 50%. Předpokládejte, že tepelná kapacita samotné prázdné konvice je zanedbatelná a ztrátami tepla do okolí odchází 10 % tepla dodaného elektrickým ohřevem. Dále předpokládejte, že měrná tepelná kapacita kapalné vody je konstantní c (l) p = 4,18 kj kg 1 K 1 a měrné výparné teplo vody při teplotě 100 C je rovno 2257 kj kg 1. Obr. 7.9: Bilanční schéma k příkladu P7.2: 1. fiktivní hmotný proud počáteční množství vody, 2. fiktivní hmotný proud konečné množství vody, 3. hmotný proud množství odpařené vody, 4. nehmotný proud dodané teplo, 5. nehmotný proud ztráty tepla do okolí Řešení: V obou bodech zadání je nutno bilančním výpočtem určit, kolik tepelné energie je nutno dodat, aby došlo bud a) k varu, nebo b) k odpaření 50 % vody. Čas potřebný k dodání tohoto tepla souvisí s tepelným tokem podle rovnice Q = Qτ. K výpočtu použijeme bilanci za konečné bilanční období, protože nás zajímá pouze konečný stav systému. Zapíšeme hmotnostní a entalpickou bilanci: m 1 = m 2 +m 3 (7.64) H 1 +Q 4 = H 2 +H 3 +Q 5 (7.65) a) Výpočet doby potřebné k dosažení varu: Ze zadání a) plyne m 3 = 0 kg, H 3 = 0 J, m 1 = m 2 = m = 1,7kg, t 1 = 15 C, t 2 = 100 C. Entalpickou bilanci (7.65) zapíšeme pro zadání a) ve tvaru H 1 +Q 4 = H 2 +Q 5. Z rovnice (7.18) plyne m 1 h 1 +Q 4 = m 2 h 2 +Q 5. Po dosazení z (7.28) dostaneme m c (l) p (t1 t ref )+Q 4 = m c (l) (t2 t ref )+Q 5. p

135 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 135 Jako referenční skupenství volíme kapalinu, nebot v konvici je kapalná voda. Jako referenční teplotu volíme t ref = t 1, což je počáteční teplota vody v konvici. Po převedení členů tepla Q na levou stranu a členů entalpie H na pravou stranu získáme Q 4 Q 5 = m c (l) p (t2 t 1 ). Teplo dodané topením o příkonu P za čas τ je Q 4 = Pτ. Teplo odevzdané ztrátami do okolí představuje 10 % dodaného tepla, tedy Q 5 = 0,10 Q 4 = 0,10 Pτ. Po dosazení za Q 4 a Q 5 dostaneme Pτ 0,10 Pτ = m c (l) p (t2 t 1 ). Čas potřebný k ohřevu vody je tedy τ = m c (l) p (t2 t 1 ) (1 0,10) P = 1, (100 15) 0, = 305 s. b) Výpočet doby potřebné k odpaření 50% vody: Ze zadání b) a hmotnostní bilance (7.64) plyne m 1 = 1,7kg,m 3 = 0,50 1,7 = 0,85kg,m 2 = 1,7 0,85 = 0,85kg,t 1 = 15 C,t 2 = t 3 = 100 C. Entalpickou bilanci (7.65) zapíšeme pro zadání b) ve tvaru H 1 +Q 4 = H 2 +H 3 +Q 5. Z rovnice (7.18) plyne m 1 h 1 +Q 4 = m 2 h 2 +m 3 h 3 +Q 5. Po dosazení Q 4 = Pτ a Q 5 = 0,10 Pτ dostaneme τ = m 2h 2 +m 3 h 3 m 1 h 1 (1 0,10) P. (7.66) Opět zvolíme vhodným způsobem referenční skupenství a teplotu [voda kapalina, t ref = t 1 ] a spočteme měrné entalpie proudů h 1, h 2 a h 3 s využitím rovnic (7.28) a (7.41): h 1 = c (l) p (t1 t ref ) = 4,18 (15 15) = 0 kj kg 1, h 2 = c (l) p (t2 t ref ) = 4,18 (100 15) = 355,3 kj kg 1, h 3 = c (l) p (t3 t ref )+ h výp (t 3 ) = 4,18 (100 15)+2257 = 2612,3 kj kg 1. Vyčíslené h 1, h 2 a h 3 dosadíme do (7.66), přičemž můžeme použít konzistentní násobné jednotky 10 kj a kw = kj s 1 : τ = 0,85 355,3+0, ,3 1,7 0 0,9 2,2 = 1274 s. Výsledek: a) Voda v konvici se zahřeje k varu za 305 s (tj. 5 min 5 s), b) polovina objemu konvice se vypaří za 1274 s (tj. 21 min 14 s). 10 Pokud si nejsme jistí, můžeme vždy převést na základní jednotky, v tomto případě by to byly J a W = J s 1.

136 136 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE Příklad P7.3: Bilance zvlhčovače vzduchu Zadání: Do zvlhčovače vstupuje vzduch s obsahem 1 hmot. % vodní páry o teplotě 75 C a voda o teplotě 25 C. Ze zařízení vystupuje vzduch s obsahem 4 hmot. % vodní páry o teplotě 65 C. Hmotnostní průtok vlhkého vzduchu na vstupu je 1 kg s 1. Vypočtěte potřebný hmotnostní tok vody a tok tepla do zařízení. Systém pracuje v ustáleném stavu. Dodatečná data: měrná výparná entalpie vody je 2345 kj kg 1 při teplotě 65 C a 2321 kj kg 1 při teplotě 75 C. Předpokládejte, že měrné tepelné kapacity vody a vzduchu jsou konstantní: pro kapalnou vodu c pa = 4,18 kj kg 1 K 1, pro vzduch c pb = 1,01 kj kg 1 K 1. Obr. 7.10: Bilanční schéma k příkladu P7.3: 1. hmotný proud vstup vlhkého vzduchu, 2. hmotný proud vstup vody, 3. hmotný proud výstup vlhkého vzduchu, 4. nehmotný proud tok tepla do systému Řešení: Postup řešení můžeme rozdělit na dvě základní části. Nejprve pomocí hmotnostních bilancí určíme potřebný hmotnostní tok vody. Ve druhé části určíme tok tepla do systému z entalpické bilance. Pro přehlednost řešení vytvoříme matici zadání, která zahrnuje hmotnosti, složení a teplotu všech hmotných proudů. Vodu označíme jako složku A, suchý vzduch jako složku B. Matice zadání: Proudy voda : w A 0,01 1 0,04 suchý vzduch : w B 0,99 0 0,96 ṁ (kg s 1 ) 1 ṁ 2 ṁ 3 t ( C) V systému se nacházejí dvě chemické složky. Můžeme tedy zapsat dvě lineárně nezávislé rovnice hmotnostní bilance a z nich určit dvě neznámé m 2 a m 3 ṁ 1 +ṁ 2 = ṁ 3, ṁ 1 w A1 +ṁ 2 w A2 = ṁ 3 w A3. Po dosazení obržíme dvě rovnice o dvou neznámých 1+ṁ 2 = ṁ 3, 1 0,01+ṁ 2 1 = ṁ 3 0,04, jejichž řešením získáme výsledek ṁ 2 = 0,0313 kg s 1, ṁ 3 = 1,0313 kg s 1. Nyní, když známe všechny hmotnostní toky, můžeme řešit entalpickou bilanci v ustáleném stavu Ḣ 1 +Ḣ2 + Q 4 = Ḣ3,

137 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 137 kterou lze rozepsat s využitím rovnic (7.18) a (7.53) ṁ 1 (w A1 h A1 +w B1 h B1 )+ṁ 2 h A2 + Q 4 = ṁ 3 (w A3 h A3 +w B3 h B3 ). (7.67) Abychom mohli spočítat měrné entalpie čistých složek ve všech hmotných proudech, je nutno zvolit referenční stav. Vhodnou volbou je například [voda kapalina, vzduch plyn, t ref = t 2 = 25 C]. Měrné entalpie složek v jednotlivých proudech spočteme pomocí rovnic (7.28) a (7.41) h A1 = c pa (t 1 t ref )+ h výp,a (t 1 ) = 4,18 (75 25)+2321 = 2530 kj kg 1, h B1 = c pb (t 1 t ref ) = 1,01 (75 25) = 50,5 kj kg 1, h A2 = c pb (t 2 t ref ) = 4,18 (25 25) = 0 kj kg 1, h A3 = c pa (t 3 t ref )+ h výp,a (t 3 ) = 4,18 (65 25)+2345 = 2512 kj kg 1, h B3 = c pb (t 3 t ref ) = 1,01 (65 25) = 40,4 kj kg 1. Nakonec určíme tok tepla z entalpické bilance (7.67) Q 4 = ṁ 3 (w A3 h A3 +w B3 h B3 ) ṁ 1 (w A1 h A1 +w B1 h B1 ) ṁ 2 h A2 Q 4 = 1,0313 (0, ,96 40,4) 1 (0, ,99 50,5) 0, Q 4 = 68,33 kj s 1 = 68,33 kw Výsledek:Potřebný hmotnostnítok přidávané vodyje0,0313 kg s 1 atepelný tok dosystému je 68,3 kw. Příklad P7.4: Bilance s nezanedbatelnou směšovací entalpií Zadání: V tepelně izolované nádobě byl smíchán 1 kg kapalné vody o teplotě 18 C s 1 kg kapalného etanolu o stejné teplotě. Vypočtěte výslednou teplotu kapalné směsi při zohlednění směšovacího tepla. V literatuře a databázích termochemických dat (např. Springer Materials, 2019) lze nalézt následující vztah umožňující výpočet molární směšovací entalpie etanol-voda při 25 C v závislosti na molárním zlomku etanolu x E : h mix(mol) = x E (1 x E ) [ (1 2x E )+3487(1 2x E ) (1 2x E ) (1 2x E ) 4] (7.68) Obr. 7.11: Bilanční schéma k příkladu P7.4: 1. hmotný vstupní proud voda, 2. hmotný vstupní proud etanol, 3. hmotný výstupní proud směs etanolu a vody Řešení: V bilanci se vyskytují tři proudy (viz obr. 7.11) a dvě složky: voda V, etanol E. Vzhledem k formulaci rovnice (7.68) je jednodušší bilancovat látková množství, molární zlomky a molární entalpie. Entalpická bilance má tvar H 1 +H 2 = H 3,

138 138 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE po vyjádření pomocí molárních entalpií n 1 h 1 +n 2 h 2 = n 3 h 3. (7.69) Nejprve provedeme přepočet zadaných hmotností na látková množství: n 1 = m 1 M 1 = m V M V = 1 0,018 = 55,56 mol, n 2 = m 2 M 2 = m E M E = 1 0,046 Z celkové bilance látkového množství plyne: n 3 = n 1 +n 2 = 55,56+21,74 = 77,30 mol = 21,74 mol Poté vypočteme molární zlomky etanolu a vody ve výsledné směsi, tj. v proudu 3: x V3 = n V n 3 = 55,56 77,30 = 0,719, x E3 = 1 x V3 = 1 0,719 = 0,281 Nyní vyjádříme molární entalpie proudů h 1, h 2 a h 3. Zohledníme fakt, že všechny složky zůstávají ve všech proudech ve stejném skupenství (které si zvolíme jako referenční), takže h skup = 0. Dále víme, že molární směšovací entalpie proudů1a2, tvořených čistými látkami, jsou nulové ( h mix,1 = h mix,2 = 0). Molární entalpie proudůh 1, h 2 a h 3 lze pak zapsat podle (7.52) následujícím způsobem: h 1 = c pv (t 1 t ref ) h 2 = c pe (t 2 t ref ) [ ] h 3 = x V3 c pv +x E3 c pe (t 3 t ref )+ h mix,3 (t 3 ) Referenční stav volíme [voda kapalina, etanol kapalina, t ref = 18 C = t 1 = t 2 ]. Při takové volbě referenční teploty a skupenství jsou molární entalpie proudů h 1 a h 2 nulové. Všimněme si, že střední molární tepelné kapacity bychom měli hledat v tabulkách při střední teplotě T = t 3+t ref 2, ovšem t 3 v tuto chvíli ještě neznáme. Nezbývá, než najít v tabulkách (Jahoda a kol., 2016) hodnoty molárních tepelných kapacit kapalné vody a etanolu při známé teplotě vstupních proudů t 1 = t 2 = t ref = 18 C a po vyřešení neznámé teploty t 3 zpětně ověřit, že se hodnoty c p v rozsahu teplot od t ref do t 3 příliš nemění a případně korigovat výsledek. c (l) pv (18 C) = 75,3 Jmol 1 K 1, c (l) pe (18 C) = 109,6 Jmol 1 K 1 Dále pro vyjádření molární entalpie h 3 potřebujeme hodnotu molární směšovací entalpie h mix,3 při teplotě t 3, viz rovnice (7.52). K tomu bychom potřebovali data o teplotní závislosti směšovací entalpie, respektive dodatkové tepelné kapacity této neideální směsi. Taková data jsou však jen omezeně dostupná ve specializovaných fyzikálně-chemických monografiích či placených databázích (např. DDB, 2019; DETHERM, 2019; DIPPR, 2019; Springer Materials, 2019). V nepříliš vzdáleném okolí tabelovaných teplot se proto většinou spokojíme s předpokladem konstantní hodnoty h mix, budeme tedy v prvním kroku předpokládat, že h mix,3 (t 3 ) h mix (t tab = 25 C). S touto aproximací lze vyčíslit hodnotu molární směšovací entalpie výstupního proudu 3 dosazením vypočteného molárního zlomku x E3 = 0,281 do tabelovaného vztahu (7.68): h mix,3 = 0,281(1 0,281) [ (1 2 0,281) +3487(1 2 0,281) (1 2 0,281) (1 2 0,281) 4]

139 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 139 h mix,3 = 829,4 Jmol 1 Po dosazení všech známých hodnot do vyjádření molární entalpie výstupního proudu 3 získáme h 3 = [0,719 75,3+0, ,6](t 3 18) 829,4 = (84,94 t ) Jmol 1 Nakonec dosadíme h 1, h 2, h 3, n 1, n 2 a n 3 doentalpické bilance (7.69) a z této rovnice vyřešíme neznámou teplotu t 3 : 0 = 77,30 (84,94 t ) t 3 = 27,8 C Na závěr ještě musíme zkontrolovat, zda jsme se našimi prvotními odhady středních molárních tepelných kapacit a směšovací entalpie příliš neodchýlili od skutečnosti a případně korigovat výsledek. Zpřesněné hodnoty c p hledáme při teplotě T = t 3+t ref 2 = 27, = 22,9 C: c (l) pv (22,9 C) = 75,3 Jmol 1 K 1, c (l) pe (22,9 C) = 111,5 Jmol 1 K 1 Střední molární tepelná kapacita vody zůstala stejná, u etanolu došlo k nárůstu hodnoty o necelá dvě procenta. S přihlédnutím k tomu, že téměř tři čtvrtiny směsi tvoří voda, bude odchylka způsobená nepřesnostmi v hodnotách střední tepelných kapacit čistých složek malá. Dalším zdrojem nepřesnosti může být hodnota molární směšovací entalpie, která závisí na teplotě. Hodnotu h mix proudu 3 bychom měli dosazovat při teplotě t 3 = 27,8 C, ovšem ve výpočtu jsme použili dostupnou hodnotu h mix při tabelované teplotě t tab = 25 C. V databázích fyzikálně chemických dat (např. DDB, 2019; Springer Materials, 2019) lze najít tabelované závislosti h mix i při několika dalších teplotách, z kterých plyne, že absolutní hodnota směšovací entalpie v systému etanol-voda s teplotou poměrně významně klesá. Při teplotě 0 C je h mix pro dané složení směsi etanol-voda v absolutní hodnotě zhruba 1,5 vyšší než při 25 C, a při teplotě 50 C je zhruba poloviční oproti teplotě 25 C. V našem případě jsme se odchýlili od správné teploty o (t 3 t tab ) = 2,8 C, což odpovídá odchylce v hodnotě směšovací entalpie zhruba 5%. Skutečná molární směšovací entalpie h mix (t 3 ) bude tedy v absolutní hodnotě zhruba o 5 % nižší než směšovací entalpie tabelovaná při 25 C. Díky silné teplotní závislosti směšovací entalpie je tato odchylka větší, než nepřesnost v hodnotách tepelných kapacitách čistých látek, ačkoli t 3 leží velmi blízko tabelované teploty. h mix,3 (27,8 C). = 788 Jmol 1 Podosazenízpřesněných hodnot c pv, c pe a h mix (t 3 )aopakovánívýpočtuzískámepřesnější výsledek t 3 = 27,2 C. Výsledek: Výsledná teplota směsi je asi 27,2 C. Po smíchání etanolu a vody se tedy teplota zvýšila zhruba o 9,2 C. Ve většině běžných kapalných směsí jehodnota h mix nižší anedochází ktakto výraznému nárůstu teploty, nicméně při provozních výpočtech je vhodné tento předpoklad ověřit pro konkrétní směs na základě tabelovaných dat.

140 140 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE Entalpická bilance s reakcí Bilanční schéma reaktoru, které nám poslouží pro odvození výsledného tvaru entalpické bilance s probíhající chemickou reakcí, jena obr Pokudjevýměna tepla sokolím nulová Q = 0, označujeme reaktor jako adiabatický, u reaktoru s topením je Q > O, u reaktoru s chlazením je Q < O. Toto bilanční schéma můžeme použít pro bilanci za konečné bilanční období (v tom případě bilancujeme H a Q) nebo pro diferenciální období průtočného reaktoru v ustáleném stavu (pak bilancujeme toky Ḣ a Q přes hranice systému). V případě diferenciálního bilančního období a neustáleného stavu by v bilanci vystupoval i akumulační člen dh dτ a k nalezení řešení v podobě vývoje entalpie systému v čase bychom museli integrovat diferenciální rovnici, viz kapitola Q R1 Obr. 7.12: Bilanční schéma pro systém s chemickou reakcí R1 (reaktor): 1 hmotný vstupní proud, 2 hmotný výstupní proud, Q nehmotný proud výměny tepla s okolím Vyjádření pomocí rozsahu reakce a molární reakční entalpie Entalpickou bilanci zapíšeme nejprve v základním tvaru H 1 +Q = H 2 (7.70) a poté vyjádříme entalpie jednotlivých proudů pomocí součinu látkového množství a molárních entalpie (7.19), čímž dostaneme n 1 h 1 +Q = n 2 h 2. (7.71) Proudy 1 a 2 jsou směsi složek o teplotách T 1 a T 2, přičemž složení proudu 1 vyjadřují molární zlomky x i1, složení proudu 2 pak zlomky x i2. Molární entalpie směsí můžeme vyjádřit v závislosti na molárních entalpiích čistých látek obecně pomocí rovnice (7.49). Pokud je směšovací teplo h mix zanedbatelné (ideální směs), pak můžemepoužít rovnici (7.53)abilanci zapsat ve tvaru složky n 1 i složky x i1 h i1 +Q = n 2 i x i2 h i2. (7.72) Protože v systému dochází k chemické reakci, rozepíšeme molární entalpie jednotlivých složek h i pomocí rovnice (7.45) na teplotně-skupenské příspěvky h ts,i a reakční příspěvky h sluč,i : složky n 1 i složky x i1 (h ts,i1 + h sluč,i )+Q = n 2 i x i2 (h ts,i2 + h sluč,i ), (7.73) kde h sluč,i je molární slučovací entalpie složky i v referenčním skupenství při referenční teplotě T ref. Po seskupení reakčních příspěvků a vytknutí h sluč,i (která se vyjařuje při referenční teplotě, a je tedy stejná ve všech proudech nezávisle na jejich teplotě) získáme složky n 1 i složky x i1 h ts,i1 + i (n 1 x i1 n 2 x i2 ) h sluč,i } {{ } změna entalpie reakcí složky +Q = n 2 x i2 h ts,i2. (7.74) i

141 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 141 Zaměřme se nyní na vzniklý člen vyjadřující změnu entalpie vlivem reakce. Součin n 1 x i1 = n i1 představuje látkové množství složky i vstupující do reaktoru, obdobně n 2 x i2 = n i2 je látkové množství složky i vystupující z reaktoru. Pro všechny reaktanty i produkty lze změnu mezi vstupujícím a vystupujícím množstvím vyjádřit pomocí společného rozsahu reakce ξ, definovaného rovnicí (2.13). V našem případě ξ = n i2 n i1 ν i, kde ν i je stechiometrický koeficient složky i v reakci (kladný pro produkty, záporný pro reaktanty). Provedeme tedy následující úpravy členu vyjadřujícího změnu entalpie vlivem reakce: složky (n 1 x i1 n 2 x i2 ) h sluč,i = i složky i n i2 n i1 ν i }{{} =ξ složky ν i h sluč,i = ξ i ν i h sluč,i } {{ } = h r kde h r je molární reakční entalpie při teplotě T ref, definovaná Hessovým zákonem h r = složky i, (7.75) ν i h sluč,i. (7.76) Po této úpravě členu vyjadřujícího změnu entalpie vlivem reakce dostává bilance (7.74) tvar složky n 1 i x i1 h ts,i1 + ξ( h r ) }{{} změna entalpie reakcí složky +Q = n 2 i x i2 h ts,i2, (7.77) kdeh ts,i1 jeteplotně-skupenskýpříspěvek molárníentalpiesložky ivproudu1(tedypřiteplotě T 1 a skupenství v proudu 1), h ts,i2 je teplotně-skupenský příspěvek molární entalpie složky i v proudu 2 (tedy při teplotě T 2 a skupenství v proudu 2) a h r je molární reakční entalpie při referenční teplotě T ref a referenčním skupenství. Členy h ts,i1 a h ts,i2 rozepíšeme v závislosti na teplotě podle definice (7.46) složky n 1 i ( T1 ) x i1 c pi dt + h skup,i1 (T ref ) T ref složky = n 2 i x i2 ( T2 ( ) +ξ h r (T ref ) +Q = ) c pi dt + h skup,i2 (T ref ) T ref, (7.78) případně aproximujeme pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při středních teplotách T 1 = T 1+T ref 2 a T 2 = T 2+T ref 2 podle rovnice (7.47) složky ) ( ) n 1 x i1 (c pi T1 (T 1 T ref )+ h skup,i1 (T ref ) +ξ h r (T ref ) +Q = i složky = n 2 i ) x i2 (c pi T2 (T 2 T ref )+ h skup,i2 (T ref ). (7.79) Připomeňme, že při vyjádření molární entalpie směsi jsme předpokládali zanedbatelnou směšovací entalpii. Pokud směšovací entalpie není zanedbatelná, pak na levé straně bilancí(7.78) a (7.79) přibude navíc člen n 1 h mix,1 a na pravé straně člen n 2 h mix,2. Naopak pokud jsou všechny složky v obou proudech ve svém referenčním skupenství 11, pak h skup,i = 0 a entalpická bilance s reakcí se zjednoduší na složky n 1 i x i1 T1 T ref c pi dt +ξ ( složky h r (T ref ) )+Q = n 2 i x i2 T2 T ref c pi dt, (7.80) 11 Zvolené referenční skupenství jednotlivých látek musí být v souladu s použitými hodnotami tabelovaných slučovacích entalpií h sluč,i, jak bylo vysvětleno v kapitole

142 142 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE případně po aproximaci pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při středních teplotách T 1 = T 1+T ref 2 a T 2 = T 2+T ref 2 na složky n 1 (T 1 T ref ) i ( ) x i1 c pi T1 +ξ h r (T ref ) složky +Q = n 2 (T 2 T ref ) i x i2 c pi T2. (7.81) Obdobně lze zapsat diferenciální bilanci průtočného reaktoru v ustáleném stavu. Pak pouze nahradíme látkové množství n (jednotka mol) tokem ṅ (jednotka mol s 1 ), rozsah reakce ξ (jednotka mol) rozsahem reakce vztaženým na jednotku času ξ (jednotka mol s 1 ) a teplo vyměněné s okolím Q (jednotka J) tokem tepla Q (jednotka J s 1 = W): složky ṅ 1 i x i1 T1 T ref c pi dt + ξ ( složky h r (T ref ) )+ Q = ṅ 2 i x i2 T2 T ref c pi dt, (7.82) případně po aproximaci pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při středních teplotách T 1 = T 1+T ref 2 a T 2 = T 2+T ref 2 na složky ṅ 1 (T 1 T ref ) i x i1 c pi T1 + ξ ( ) h r (T ref ) složky + Q = ṅ 2 (T 2 T ref ) i x i2 c pi T2. (7.83) V předchozím textu jsme několikrát zmínili, že pro entalpické bilance s reakcí se často volí referenční teplota T ref = 25 C, protože standardnímolární slučovací entalpie složek h sluč,i jsou tabelovány právě při 25 C. Pomocí Hessova zákona (7.76) z nich snadno spočítáme standardní reakční entalpii h r, která bude opět při 25 C. Pokud tedy zvolíme T ref = 25 C, pak můžeme takto získanou molární reakční entalpii přímo použít v bilančních rovnicích (7.78) (7.83), protože v takovém případě h r (T ref ) = h r (25 C) = h r. V reaktorovém inženýrství (viz kapitola 15) se však také často používají entalpické bilance s alternativní volbou referenční teploty T ref = T 2. Při této volbě má výstupní proud 2 referenční teplotu, a proto pokud jsou v něm všechny složky ve svém referenčním skupenství, pak tepelně-skupenská část molární entalpie proudu 2 na pravé straně rovnic (7.78) (7.83) je nulová. Entalpické bilance (7.80) (7.81) se pak zjednoduší na tvar 12 složky n 1 i x i1 T1 T 2 c pi dt +ξ ( ) h r (T 2 ) +Q = 0, (7.84) případně po aproximaci pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při střední teplotě T = T 1+T 2 2 složky ( ) n 1 (T 1 T 2 ) x i1 c pi T +ξ h r (T 2 ) +Q = 0, (7.85) i Entalpická bilance průtočného reaktoru v ustáleném stavu za diferenciální období (7.80) (7.81) je pak s volbou T ref = T 2 složky ṅ 1 i x i1 T1 T 2 c pi dt + ξ ( ) h r (T 2 ) + Q = 0, (7.86) 12 Pokud by některé ze složek měnily své skupenství vůči referenčnímu stavu, museli bychom u teplotněskupenského příspěvku započítat n 1 xi1 h skup,i1, respektive n 2 xi2 h skup,i2. Dále připomeňme, že při nezanebatelné směšovací entalpii (neideální směs) by na levé straně rovnic přibyl navíc člen n 1 h mix,1 a na pravé straně člen n 2 h mix,2.

143 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 143 případně po aproximaci pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při střední teplotě T = T 1+T 2 2 složky ṅ 1 (T 1 T 2 ) x i1 c pi T + ξ ( ) h r (T 2 ) + Q = 0. (7.87) i Výše uvedené tvary entalpické bilance s volbou T ref = T 2 jsou výhodné s ohledem na to, že pro určení neznámé teploty či toku tepla nám stačí znalost složení vstupního proudu a hodnota rozsahu reakce, takže není třeba dopočítávat složení výstupního proudu a vyčíslovat jeho entalpii. Tento tvar se běžně používá v reaktorovém inženýrství, viz například rovnice (15.58) v kapitole 15 (Chemické reaktory). Nesmíme ovšem zapomenout, že v rovnicích (7.84) (7.87) dosazujeme molární reakční entalpii při teplotě T ref = T 2. Z fyzikální chemie víme, že molární reakční entalpii při teplotě T 2 můžeme vypočítat podle Kirchhoffova zákona termochemie T2 ( složky h r (T 2 ) = h r + ν i c pi )dt, (7.88) T tab i kde T tab = 25 C je teplota, při které jsou standardně tabelovány molární slučovací entalpie látek, z nichž jsme podle Hessova zákona (7.76) vypočítali standardní molární reakční entalpii h r, ν i jsoustechiometrické koeficienty složek vreakci (záporné proreaktanty, kladnéproprodukty) a c pi jsou molární tepelné kapacity složek. Pokud aproximujeme integrál v rovnici (7.88) pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při střední teplotě T = T tab+t 2 2, dostaneme Kirchhoffův zákon termochemie v podobě složky h r (T 2 ) = h r +(T 2 T tab ) ν i c pi T. (7.89) i Obdobně je možné vyjádřit entalpickou bilanci reaktoru i pro volbu referenční teploty T ref = T 1. Někdy může být výhodné použít entalpickou bilanci ve tvaru kombinujícím měrnou entalpii u teplotně-skupenského příspěvku podle rovnic (7.18) a (7.54) s molární reakční entalpii u reakčního příspěvku. Příkladem, který odpovídá bilanci (7.87) je složky ṁ 1 (T 1 T 2 ) w i1 c pi T (měr) i } {{ } = c p(měr) ( ) + ξ h r (T 2 ) + Q = 0, (7.90) kde c p(měr) je střední měrná tepelná kapacita reakční směsi. Rozsah reakce vztažený na jednotku času lze také přímo vyjádřit pomocí rychlosti reakce r a objemu reaktoru V ξ = rv, (7.91) čehož se s výhodou využívá při návrhových výpočtech reaktorů, viz kapitola 15 (Chemické reaktory). Všechny výše uvedené bilance lze zobecnit pro případ více reakcí j = 1...N r. Potom pro každou reakci zavedeme rozsah reakce ξ j a molární reakční entalpii h r,j, vyjádříme příspěvek j-té reakce ke změně entalpie ξ j ( h r,j ) a tyto příspěvky pak sečteme pro všechny probíhající reakce.

144 144 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE Vyjádření pomocí fiktivních reakčních proudů V kapitole 2 jsme si ukázali, že alternativně je možné nahradit chemickou přeměnu složek při reakci dvojicí fiktivních reakčních proudů (jedním odcházejí reaktanty a druhým vstupují produkty) a uvedli jsme, jak určit jejich složení a poměr látkových množství. Takto pojaté bilanční schéma reaktoru je zakresleno na obr Toto schéma jsme získali z původního obr přidáním fiktivních reakčních proudů 3 a 4. Nyní si odvodíme, jak v tomto případě sestavit entalpickou bilanci. Vyjdeme z tvaru entalpické bilance bez fiktivních Q proudů (7.74), ve které už máme rozděleny tepelněskupenské a reakční příspěvky složky n 1 i složky = n 2 i složky x i1 h ts,i1 + (n 1 x i1 n 2 x i2 ) h sluč,i +Q = i }{{} změna entalpie reakcí, reál. proudy x i2 h ts,i2 (7.92) a budeme se snažit reakční příspěvek vyjádřit pomocí fiktivních proudů 3 a 4. K tomu využijeme látkovou bilanci složky i ve všech (reálných i fiktivních) proudech n 1 x i1 n 2 x i2 = n 4 x i4 n 3 x i3. (7.93) 3 4 Obr. 7.13: Bilanční schéma s chemickou reakcí vyjádřenou pomocí fiktivních proudů: 1 hmotný vstupní proud, 2 hmotný výstupní proud, Q nehmotný proud výměny tepla s okolím, 3 fiktivní vstupní proud produktů, 4 fiktivní výstupní proud reaktantů Dosazením (7.93) do reakčního příspěvku entalpické bilance (7.92) získáme složky n 1 i složky x i1 h ts,i1 + (n 4 x i4 n 3 x i3 ) h sluč,i i }{{} změna entalpie reakcí, fikt. proudy složky +Q = n 2 i x i2 h ts,i2. (7.94) Po roznásobení reakčního příspěvku a převední fiktivního výstupního proudu reaktantů na druhou stranu dostaneme běžně uváděný tvar entalpické bilance s fiktivními reakčními proudy: složky n 1 i produkty x i1 h ts,i1 +n 3 i složky ( ) x i3 hsluč,i +Q = n2 i reaktanty x i2 h ts,i2 +n 4 i x i4 ( hsluč,i ), (7.95) kdeh ts,i1 jeteplotně-skupenskýpříspěvek molárníentalpiesložky ivproudu1(tedypřiteplotě T 1 a skupenství v proudu 1), h ts,i2 je teplotně-skupenský příspěvek molární entalpie složky i vproudu2(tedypři teplotě T 2 askupenstvívproudu2) a h sluč,i jemolárníslučovací entalpie složky i při referenční teplotě T ref a referenčním skupenství. Členy h ts,i1 a h ts,i2 rozepíšeme v závislosti na teplotě podle definice (7.46) složky n 1 i i x i1 ( T1 produkty ) c pi dt + h skup,i1 (T ref ) )+n 3 x i3 ( h sluč,i (T ref ) +Q = T ref složky ( T2 reaktanty = n 2 x i2 c pi dt + h skup,i2 (T ref ) )+n 4 T ref i i ) x i4 ( h sluč,i (T ref ), (7.96)

145 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 145 případně aproximujeme pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při středních teplotách T 1 = T 1+T ref 2 a T 2 = T 2+T ref 2 podle rovnice (7.47) složky n 1 i produkty x i1 (c pi T1 (T 1 T ref )+ h skup,i1 (T ref ) )+n 3 složky reaktanty = n 2 x i2 (c pi T2 (T 2 T ref )+ h skup,i2 (T ref ) )+n 4 i i i ) x i3 ( h sluč,i (T ref ) +Q = ) x i4 ( h sluč,i (T ref ). (7.97) Připomeňme, že při vyjádření molární entalpie směsi jsme předpokládali zanedbatelné směšovací teplo. Pokud směšovací teplo není zanedbatelné, pak na levé straně bilancí (7.96) a (7.97) přibude navíc člen n 1 h mix,1 a na pravé straně člen n 2 h mix,2. Naopak pokud jsou všechny složky v obou proudech ve svém referenčním skupenství 13, pak h skup,i = 0 a entalpická bilance s fiktivními reakčními proudy se zjednoduší na složky n 1 i x i1 T1 složky T2 = n 2 x i2 i T ref c pi dt +n 3 T ref c pi dt +n 4 produkty i reaktanty i ) x i3 ( h sluč,i (T ref ) +Q = ) x i4 ( h sluč,i (T ref ), (7.98) případně po aproximaci pomocí konstantních molárních tepelných kapacit při středních teplotách T 1 = T 1+T ref 2 a T 2 = T 2+T ref 2 na složky n 1 (T 1 T ref ) složky = n 2 (T 2 T ref ) i i produkty x i1 c pi T1 +n 3 reaktanty x i2 c pi T2 +n 4 i i ) x i3 ( h sluč,i (T ref ) +Q = ) x i4 ( h sluč,i (T ref ). (7.99) Obdobně lze zapsat diferenciální bilanci průtočného reaktoru v ustáleném stavu. Pak pouze nahradíme látkové množství n (jednotka mol) tokem ṅ (jednotka mol s 1 ), a teplo vyměněné s okolím Q (jednotka J) tokem tepla Q (jednotka J s 1 = W). Pro entalpické bilance s reakcí vyjádřenou pomocí fiktivních proudů se prakticky vždy volí referenční teplota T ref = 25 C, protože standardní molární slučovací entalpie složek h sluč,i jsou tabelovány právě při 25 C. Pokud tedy zvolíme T ref = 25 C, pak můžeme tabelované molární slučovací entalpie složek přímo použít v bilančních rovnicích (7.95) (7.99), protože v takovém případě h sluč (T ref ) = h sluč (25 C) = h sluč. Volba jiné referenční teploty u entalpické bilance s reakcí vyjádřené pomocí fiktivních proudů je sice možná, ale běžně se nepoužívá. V případě více reakcí zavedeme pro každou reakci dvojici fiktivních proudů a do entalpické bilance přidáme odpovídající vstupní a výstupní členy. Praktický výpočet entalpické bilance reaktoru si ukážeme na následujícím řešeném příkladu P7.5, který si vyřešíme jak pomocí rozsahu reakce a reakční entalpie (P7.5a), tak i pomocí fiktivních proudů (P7.5b). Příklad P7.5a: Entalpická bilance reaktoru rozsah reakce, reakční entalpie Zadání: Kapalný propylenglykol (propan-1,2-diol) se vyrábí v míchaném průtočném reaktoru o objemu 1,2 m 3 kysele katalyzovanou hydratací kapalného 1,2-epoxypropanu. Nastřikuje se 13 Zvolené referenční skupenství jednotlivých látek musí být v souladu s použitými hodnotami tabelovaných slučovacích entalpií h sluč,i, jak bylo vysvětleno v kapitole

146 146 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE směs 1,3 m 3 /h epoxypropanu a 8 m 3 /h okyselené vody při teplotě 18 C. Teplotu v reaktoru je třebaudržovat na50 Czdůvoduvysoké těkavosti anízké teploty varuepoxypropanu.při této teplotě a daném průtoku dosahuje konverze epoxypropanu v reaktoru 95 %. Vypočtěte topný či chladicí výkon potřebný k udržení požadované teploty v ustáleném stavu za předpokladu zanedbatelného vlivu směšovacích entalpií. Q R1 Obr. 7.14: Bilanční schéma k příkladu P7.5a: 1 hmotný vstupní proud (směs epoxypropanu a vody), 2 hmotný výstupní proud (směs propylenglykolu, nezreagovaného epoxypropanu a vody), Q nehmotný proud výměny tepla s okolím Řešení pomocí rozsahu reakce: V bilanci se vyskytují dva hmotné proudy, jeden nehmotný proud (viz obr. 7.14), tři složky (epoxypropan E, voda V, propylenglykol P) a jedna reakce (R1). Tu musíme zapsat a vyčíslit 1 C 3 H 6 O }{{} E + 1 H 2 O }{{} V 1 C 3 H 6 (OH) 2 }{{} P, přičemž stechiometrické koeficienty jsou ν E = 1, ν V = 1, ν P = +1. Všechny složky jsou kapalné, zvolíme tedy referenční skupenství [V kapalina, E kapalina, P kapalina]. Žádná ze složek nemění své skupenství, takže pro všechny složky ve všech proudech platí h skup = 0. Dále podle zadání zanedbáme vliv směšovacích entalpií ( h mix = 0). Bilancujeme průtočný reaktor v ustáleném stavu, entalpickou bilanci zapíšeme ve tvaru rovnice (7.87), která byla odvozena s volbou referenční teploty t ref = t 2 : složky ṅ 1 (t 1 t 2 ) x i1 c pi t1,2 + ξ ( ) h r (t 2 ) + Q = 0 (7.100) i Ze zadání víme, že t 1 = 18 C a t 2 = 50 C. Molární tepelné kapacity složek v kapalném stavu pro vyčíslení prvního členu entalpické bilance (teplotní příspěvek) hledáme v tabulkách (Jahodaakol., 2016; NIST,2019; DETHERM, 2019; DIPPR, 2019) při střední teplotě t 1,2 = t 1 +t 2 2 = 34 C. Všimněme si, že v bilanci (7.100) se vyskytuje pouze složení vstupního proudu, který v našem případě neobsahuje produkt P (propylenglykol). c pe t1,2 = 137,8 Jmol 1 K 1, c pv t1,2 = 75,35 Jmol 1 K 1 Dále potřebujeme zjistit hodnotu molární reakční entalpie h r při výstupní teplotě t 2 (připomeňme,žerovnice(7.87)a(7.100)bylyodvozenysvolbout ref = t 2 ).Nejprvevypočítámepodle Hessova zákona (7.76) standardní molární reakční entalpii h r z vyhledaných tabelovaných dat standardních molárních slučovacích entalpií h sluč při teplotě t tab = 25 C (NIST, 2019): h sluč,e = 122,6 kjmol 1, h sluč,v = 285,83 kjmol 1, h sluč,p = 501,0 kjmol 1 složky h r = i ν i h sluč,i = 1 ( 122,6) 1 ( 285,83) +1 ( 501,0) = 92,57 kjmol 1

147 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 147 Záporná hodnota reakční entalpie značí exotermní reakci, můžeme tedy očekávat nárůst teploty v reaktoru vlivem reakce. Hodnotu molární reakční entalpie h r při teplotě t 2 = 50 C dopočítáme podle Kirchhoffova zákona (7.89) složky h r (t 2 ) = h r +(t 2 t tab ) ν i c pi ttab,2, (7.101) i k čemuž potřebujeme najít v tabulkách (Jahoda a kol., 2016; NIST, 2019; DETHERM, 2019; DIPPR, 2019) hodnoty molární tepelné kapacity reaktantů a produktů při střední teplotě t tab,2 = t tab+t 2 2 = 37,5 C: c pe ttab,2 = 139,3Jmol 1 K 1,c pv ttab,2 = 75,35Jmol 1 K 1,c pp ttab,2 = 182,9Jmol 1 K 1 Po dosazení do rovnice (7.101) dostaneme h r (t 2 ) = 92, (50 25) ( 1 139,3 1 75, ,9) Jmol 1 h r (t 2 ) = 93,36 kjmol 1 Vidíme, že molární reakční entalpie se v daném (poměrně úzkém) rozsahu teplot mění jen slabě. Pro velké teplotní rozdíly by však tato změna začala hrát důležitější roli. Složení vstupníhoproudu 1 potřebujeme vyjádřit v molárních zlomcích složek x i1 a průtok pomocí celkového molárního toku ṅ 1. Ten je součtem molárních toků ṅ E1 +ṅ V1. Jsou zadány objemové průtoky V E1 = 1,3 m 3 /h = 3, m 3 s 1 a V V1 = 8 m 3 /h = 2, m 3 s 1. Platí ṅ i = ṁi V = i ρ i M i M i (7.102) Hustoty ρ V = 997 kgm 3 a ρ E = 830 kgm 3 najdeme v tabulkách při teplotě t 1 = 18 C (Jahoda a kol., 2016; DETHERM, 2019; DIPPR, 2019). Tabelované molární hmotnosti jsou M V = 0,018 kgmol 1 a M E = 0,058 kgmol 1. Po dosazení do (7.102) získáme ṅ E1 = ṁe1 = V E1 ρ E = 3, = 5,168 mol s 1 M E M E 0,058 ṅ V1 = ṁv1 = V V1 ρ V = 2, = 123,1 mol s 1 M V M V 0,018 Celkový molární tok proudu 1 je pak ṅ 1 = ṅ V1 +ṅ E1 = 123,1+5,168 = 128,3 mol s 1 Molární zlomky epoxypropanu a vody v proudu 1 tedy jsou x E1 = ṅe1 ṅ 1 = 5, ,3 = 0,0403, x V1 = 1 x E1 = 1 0,0403 = 0,9597 V entalpické bilanci s rozsahem reakce ve tvaru (7.87), respektive (7.100), vystupuje tok látkového množství a složení pouze vstupního proudu. Pro vyřešení entalpické bilance tedy nemusíme dopočítávát složení výstupního proudu. Zbývá pouze vyčíslit rozsah reakce ξ, který je v průtočném reaktoru vztažen na jednotku času. K tomu využijeme zadanou hodnotu konverze epoxypropanu ζ E = Definice rozsahu reakce a konverze byly zavedeny

148 148 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE v kapitole 2 rovnicemi (2.13) a (2.20). Vztah mezi rozsahem reakce ξ a konverzí ζ E zapíšeme analogicky k rovnici (2.21): ξ = ζ Eṅ E1 = 0,95 5,168 = 4,910 mol s 1 ν E 1 Všechny spočtené hodnoty dosadíme do entalpické bilance (7.100) a dostaneme 128,3 (18 50) (0, ,8+0, ,35) +4,910 93, Q = 0 Q = 138, Js 1. = 138,7 kw Tok tepla Q jsme při odvození bilance reaktoru definovali jako vstupní proud. Pokud by hodnota Q vyšla kladná, museli bychom dodávat teplo pomocí topení. Protože však hodnota Q vyšla záporná, je třeba z reaktoru teplo odvádět. Bude tedy potřeba chlazení o tepelném výkonu daném absolutní hodnotou Q. Výsledek: Pro udržení požadované teploty v reaktoru bude potřeba chlazení o tepelném výkonu 138,7 kw. Nyní si vyřešíme stejný příklad pomocí fiktivních proudů. Příklad P7.5b: Entalpická bilance reaktoru fiktivní proudy Zadání: Kapalný propylenglykol (propan-1,2-diol) se vyrábí v míchaném průtočném reaktoru o objemu 1,2 m 3 kysele katalyzovanou hydratací kapalného 1,2-epoxypropanu. Nastřikuje se směs 1,3 m 3 /h epoxypropanu a 8 m 3 /h okyselené vody při teplotě 18 C. Teplotu v reaktoru je třebaudržovat na50 Czdůvoduvysoké těkavosti anízké teploty varuepoxypropanu.při této teplotě a daném průtoku dosahuje konverze epoxypropanu v reaktoru 95 %. Vypočtěte topný či chladicí výkon potřebný k udržení požadované teploty v ustáleném stavu za předpokladu zanedbatelného vlivu směšovacích entalpií. Q 3 4 Obr. 7.15: Bilanční schéma k příkladu P7.5b: 1 hmotný vstupní proud (směs epoxypropanu a vody), 2 hmotný výstupní proud (směs propylenglykolu, nezreagovaného epoxypropanu a vody), 3 fiktivní hmotný vstupní proud produktů reakce, 4 fiktivní hmotný výstupní proud reaktantů, Q nehmotný proud výměny tepla s okolím Řešení: V bilanci se vyskytují dva skutečné hmotné proudy a jeden nehmotný proud. Dále v systému probíhá jedna chemická reakce, kterou nahradíme dvojicí fiktivních hmotných proudů (viz obr. 7.15). V systému se vyskytují tři složky (epoxypropan E, voda V, propylenglykol P). Zapíšeme a vyčíslíme reakci 1 C 3 H 6 O }{{} E + 1 H 2 O }{{} V 1 C 3 H 6 (OH) 2 }{{} P,

149 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 149 přičemž absolutní hodnoty stechiometrických koeficientů jsou e = 1 pro epoxypropan (složka E), v = 1 pro vodu (složka V) a p = 1 pro propylenglykol (složka P). Všechny složky jsou kapalné, zvolíme tedy referenční skupenství [V kapalina, E kapalina, P kapalina]. V případě entalpických bilancí s reakcí pomocí fiktivních proudů se standardně volí referenční teplota t ref = 25 C, protože molární slučovací entalpie složek jsou tabelovány při t tab = 25 C. Žádná ze složek nemění své skupenství, takže pro všechny složky ve všech proudech platí h skup = 0. Dále podle zadání zanedbáme vliv směšovacích entalpií ( h mix = 0). Entalpickou bilanci s fiktivními reakčními proudy tedy zapíšeme ve tvaru odpovídajícím rovnici (7.99), kde místo látkového množství n použijeme toky ṅ, nebot bilancujeme průtočný reaktor v ustáleném stavu: složky ṅ 1 (t 1 t ref ) složky = ṅ 2 (t 2 t ref ) i i produkty x i1 c pi t1 +ṅ 3 reaktanty x i2 c pi t2 +ṅ 4 i i ) x i3 ( h sluč,i (t ref ) +Q = ) x i4 ( h sluč,i (t ref ). (7.103) Nyní musíme určit střední teploty t 1 a t 2, při kterých budeme hledat v tabulkách střední molární tepelné kapacity složek c pi t1 a c pi t2 : t 1 = t 1 +t ref 2 = = 21,5 C, t 2 = t 2 +t ref 2 = = 37,5 C V tabulkách (Jahoda a kol., 2016; NIST, 2019; DETHERM, 2019; DIPPR, 2019) najdeme při odpovídajících teplotách molární tepelné kapacity složek v kapalném stavu: c pe t1 = 132,3 Jmol 1 K 1, c pv t1 = 75,35 Jmol 1 K 1, c pp t1 = 175,1 Jmol 1 K 1 c pe t2 = 139,3 Jmol 1 K 1, c pv t2 = 75,35 Jmol 1 K 1, c pp t2 = 182,9 Jmol 1 K 1 Dále potřebujeme zjistit hodnotu molárních slučovacích entalpií jednotlivých reaktantů a produktů h sluč,i při zvolené referenční teplotě, což je v našem případě t ref = 25 C. Zvolená referenční teplota je shodná s teplotou, při které jsou tabelovány standardní slučovací entalpie, použijeme tedy přímo tabelované hodnoty h sluč,i (NIST, 2019): h sluč,e = 122,6 kjmol 1, h sluč,v = 285,83 kjmol 1, h sluč,p = 501,0 kjmol 1 Složení vstupního proudu 1 potřebujeme vyjádřit v molárních zlomcích složek x i1 a průtok pomocí celkového molárního toku ṅ 1. Ten je součtem molárních toků ṅ E1 +ṅ V1. Jsou zadány objemové průtoky V E1 = 1,3 m 3 /h = 3, m 3 s 1 a V V1 = 8 m 3 /h = 2, m 3 s 1. Platí ṅ i = ṁi V = i ρ i M i M i (7.104) Hustoty ρ V = 997 kgm 3 a ρ E = 830 kgm 3 najdeme v tabulkách při teplotě t 1 = 24 C (Jahoda a kol., 2016; DETHERM, 2019; DIPPR, 2019). Tabelované molární hmotnosti jsou M V = 0,018 kgmol 1 a M E = 0,058 kgmol 1. Po dosazení do (7.104) získáme ṅ E1 = ṁe1 = V E1 ρ E = 3, = 5,168 mol s 1 M E M E 0,058 ṅ V1 = ṁv1 = V V1 ρ V = 2, = 123,1 mol s 1 M V M V 0,018

150 150 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE Celkový molární tok proudu 1 je pak ṅ 1 = ṅ V1 +ṅ E1 = 123,1+5,168 = 128,3 mol s 1 Molární zlomky epoxypropanu a vody v proudu 1 tedy jsou x E1 = ṅe1 ṅ 1 = 5, ,3 = 0,0403, x V1 = 1 x E1 = 1 0,0403 = 0,9597 Pro vyřešení entalpické bilance s fiktivními proudy (7.103) musíme ovšem znát složení a toky látkových množství všech proudů. Nejprve vyjádříme složení fiktivních proudů. Vstupní fiktivní proud číslo 3 obsahuje produkty reakce, v tomto případě pouze propylenglykol P: x P3 = 1 Výstupní fiktivní proud číslo 4 se skládá z reaktantů (epoxypropan E a voda V) a jeho složení je určeno poměrem stechiometrických koeficientů e a v: x E4 = e e+v = = 0,5, x V4 = 1 x E4 = 1 0,5 = 0,5 Složení skutečného výstupního proudu číslo 2 získáme vyřešením materiálové bilance, viz kapitola 2. K tomu si zapíšeme matici zadání včetně fiktivních proudů: Proudy Epoxypropan : x E 0,0403 x E2 0 0,5 Voda : x V 0,9597 x V2 0 0,5 Propylenglykol : x P 0 x P2 1 0 ṅ (mol s 1 ) 128,3 ṅ 2 ṅ 3 ṅ 4 Z této matice zjistíme, že máme šest neznámých: x E2, x V2, x P2, ṅ 2, ṅ 3 a ṅ 4. K vyřešení úlohy potřebujeme šest nezávislých rovnic. Pro tři složky lze sestavit tři nezávislé bilanční rovnice (jednu celkovou a dvě složkové). Dalším vztahem, který použijeme, je dodatečný vztah pro druhý proud, kde součet molárních zlomků všech složek je roven jedné. Ze stechiometrie plyne druhý dodatečný vztah, který říká, že poměr látkového množství fiktivních proudů se rovná poměru součtu stechiometrických koeficientů ṅ 3 = p ṅ 4 e+v = = 1 2. Protože je zadána konverze epoxypropanu ζ E, získáme třetí dodatečný vztah z definice konverze (2.20) ζ E = x E4ṅ 4 x E1 ṅ 1 = x E4ṅ 4 ṅ E1 Máme tedy k dispozici šest nezávislých rovnic pro šest neznámých a úloha je řešitelná. Zapíšeme soustavu rovnic pro řešení materiálové bilance: bilance celk. : 128,3+ṅ 3 = ṅ 2 +ṅ 4 bilance sl. V : 0, ,3 = x V2 ṅ 2 +0,5ṅ 4 bilance sl. P : 1ṅ 3 = x P2 ṅ 2 suma zl. proudu 2 : x E2 +x V2 +x P2 = 1

151 7.4. VÝSLEDNÉ TVARY ENTALPICKÉ BILANCE 151 fikt.proudy : ṅ 3 ṅ 4 = 1 2 konverze : 0,95 = 0,5ṅ 4 5,168 Z rovnice pro konverzi epoxypropanu vyčíslíme tok látkového množství fiktivního proudu reaktantů ṅ 4 = 0,95 5,168 0,5 = 9,820 mol s 1. Z dodatečného vztahu pro fiktivní proudy vyčíslíme tok látkového množství fiktivního proudu produktů ṅ 3 = 1 2ṅ4 = 1 2 9,820 = 4,910 mol s 1. Z celkové bilance dopočítáme tok látkového množství ṅ 2 ṅ 2 = 128,3+4,910 9,820 = 123,4 mol s 1. Z bilance složky V (voda) vypočítáme molární zlomek x V2 0, ,3 = x V2 123,4+0,5 9,820, x V2 = 0,9580. Z bilance složky P (propylenglykol) vypočítáme molární zlomek x P2 1 4,910 = x P2 123,4, x V2 = 0,0398. Ze sumy molárních zlomků v proudu 2 pak vypočítáme x E2 x E2 = 1 0,9580 0,0398 = 0,0022, Všechny spočtené hodnoty z materiálové bilance dosadíme do entalpické bilance (7.103): 128,3 (18 25) (0, ,3+0, ,35) +4,910 (1 501, )+ Q = = 123,4 (50 25) (0, ,3+0, ,35+0, ,9) + + 9,820 (0,5 122, ,5 285, ) Výsledná hodnota toku tepla je Q = 138, Js 1. = 138,7 kw Tok tepla Q jsme při odvození bilance reaktoru definovali jako vstupní proud. Pokud by hodnota Q vyšla kladná, museli bychom dodávat teplo pomocí topení. Protože však hodnota Q vyšla záporná, je třeba z reaktoru teplo odvádět. Bude tedy potřeba chlazení o tepelném výkonu daném absolutní hodnotou Q. Výsledek: Pro udržení požadované teploty v reaktoru bude potřeba chlazení o tepelném výkonu 138,7 kw.

152 152 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE Při řešení entalpické bilance reaktoru pomocí fiktivních proudů (P7.5b) jsme tedy dostali stejný výsledek jako při řešení pomocí rozsahu reakce (P7.5a). V obou postupech bylo třeba zjistit hodnoty molárních tepelných kapacit při dvou různých středních teplotách, tyto střední teploty se však v P7.5a a P7.5b lišily kvůli jiné volbě referenční teploty t ref. Při řešení entalpické bilance pomocí fiktivních proudů s referenční teplotou t ref = 25 C (P7.5b) jsme museli nejprve provést celou materiálovou bilanci, abychom dopočítali složení všech fiktivních i skutečných proudů, čímž se výpočet poněkud prodloužil a zkomplikoval. Pro řešení entalpické bilance pomocí rozsahu reakce ξ s referenční teplotou t ref = t 2 (P7.5a) nám stačila znalost složení vstupního proudu a rozsahu reakce ξ (ze zadané konverze ζ), museli jsme ovšem podle Kirchhoffova zákona termochemie dopočítat reakční entalpii h r (t 2 ) při teplotě t 2. Celkově je řešení entalpické bilance reaktoru pomocí rozsahu reakce ξ a reakční entalpie h r při volbě t ref = t 2 (P7.5a) jednodušší a úspornější, proto se mu dává přednost. V reaktorovém inženýrství se navíc s výhodou využívá vztah (7.91) mezi rozsahem reakce ξ, reakční rychlostí r a objemem reaktoru V, jak je podrobněji rozvedeno v kapitole 15 (Chemické reaktory). 7.5 Úlohy U7.1 Kolik kg topné páry se spotřebuje na ohřev 2000 kg vody z 20 C na 50 C, jestliže použijeme sytou vodní páru za normálního tlaku a neuvažujeme podchlazování kondenzátu? Ztráty do okolí činí 6% z dodaného tepla. Výsledek: Bude potřeba 118 kg topné páry. U7.2 Do topného systému výrobní linky je potřeba dodávat 6 tun za hodinu vody o teplotě 60 C. Do výměníku vstupuje voda o teplotě 38 C. Jaká bude spotřeba topné páry (v kg h 1 ) ve výměníku, jestliže použijeme sytou vodní páru při tlaku 150 kpa a z výměníku odchází kondenzát topné páry o teplotě 86 C? Jaké chyby (vyjádřené jako % celkového tepelného toku) se dopustíme, zanedbáme-li podchlazování kondenzátu? Výsledek: Bude potřeba 237 kg h 1 topné páry, teplo získané ochlazením kondenzátu tvoří 4,6% z celkového tepelného toku. U7.3 Do vařáku rektifikační kolony je potřeba dodávat tepelný tok 5,8 kw pomocí topné páry. Vypočtěte potřebný hmotnostní tok syté vodní páry o teplotě 130 C, a) je-li tato pára suchá, b) je-li suchost této páry 0,94. Neuvažujte podchlazování kondenzátu. Výsledek: Hmotnostní tok topné páry bude a) 9,6 kg h 1, b) 10,2 kg h 1. U7.4 V podlaze víceúčelové sportovní haly, jejíž rozměry jsou m 3, je zapuštěn dětský bazén o rozměrech m 3. Vzduch v hale, která je dobře utěsněna a dokonale tepelně izolovaná, má teplotu 25 C při tlaku 101,3 kpa. Voda v bazénu bezprostředně po napuštění má teplotu 12 C. Vypočtěte a) teplotu v místnosti po ustavení tepelné rovnováhy, b) kolik tepla je potřeba dodat, aby teplota vody i vzduchu dosáhla 25 C. Změnu hustoty s teplotou lze u vzduchu i vody zanedbat. Výsledek: a) Teplota v místnosti se ustaví na 12,4 C. b) Pro dosažení teploty 25 C by bylo potřeba dodat 3,25 GJ tepla. U7.5 Počítačová učebna pro 40 osob má být v letním období klimatizována pomocí klima-

153 7.5. ÚLOHY 153 tizačních jednotek s chladicím výkonem 5 kw. Jedna osoba v klidu (nevykonávající fyzickou práci) předává do okolí tepelný tok přibližně 360 kjh 1. Učebna je plně obsazená a je v ní rozsvíceno 12 osvětlovacích těles, každé vyzařuje tepelný tok 40 W. V učebně je v provozu 20 počítačů, z nichž každý generuje tepelný tok 60 Js 1. Ze sluncem rozpáleného okolí se do učebny přes její stěny a okna dostává přibližně kjh 1 tepla. Okna i dveře učebny jsou uzavřeny. Kolik klimatizačních jednotek je zapotřebí k tomu, aby se teplota v učebně udržela na konstantní hodnotě 21 C? Výsledek: Je nutno odvést tepelný tok asi 9,77 kw, bude zapotřebí dvou klimatizačních jednotek. U7.6 Kamion převáží 30 t pomerančů ochlazených před nakládáním na teplotu 4 C. Teplota vzduchu v okolí kamionu je po celou dobu transportu rovna 27 C. Stěnami kamionu proniká dovnitř tepelný tok 80 W na každý stupeň teplotního rozdílu mezi teplotou pomerančů a teplotou vzduchu v okolí kamionu. Netěsnostmi ve stěnách kamionu k nákladu proniká okolní vzduch s objemovým průtokem 4 dm 3 s 1. Respirační procesy v dužině pomerančů produkují 0,017 Wkg 1 tepla. Určete potřebný výkon chladicí jednotky kamionu, má-li být teplota pomerančů udržena na původní hodnotě 4 C po celou dobu přepravy. Zanedbejte kondenzaci vodních par a předpokládejte hustotu vzduchu 1,15 kgm 3. Výsledek: Potřebný výkon chladicí jednotky kamionu je 2,46 kw. U7.7 Do nádrže obsahující 100 kg vody o teplotě 25 C bylo přidáno a) 20 kg, b) 80 kg ledové tříště o teplotě 0 C. Tříšt obsahuje hmotnostně 70% ledu a 30% vody. Vypočtěte výslednou hmotnost, teplotu a složení obsahu nádrže. Měrné teplo tání ledu je 334 kjkg 1. Střední měrná tepelná kapacita vody je 4,2 kjkg 1 K 1. Výsledek: a) Všechen led roztaje, nádrž bude obsahovat 120 kg vody o teplotě 11,6 C. b) Led roztajepouzečástečně, nádržbudeobsahovat180kgledovétříště oteplotě 0 Cshmotnostním zlomkem ledu 13,6%. U7.8 Do nádrže obsahující na počátku 100 kg vody o teplotě 25 C je vstřikována sytá vodní pára o teplotě 100 C rychlostí 1 kgmin 1. Předpokládejte, že pokud je teplota vody nižší než 100 C, veškerá pára zkondenzuje a kondenzát se smísí s původní vodou. Pokud teplota dosáhne 100 C, pára vodou prochází bez kondenzace. Výměna tepla mezi nádrží a okolím je zanedbatelná. Vypočtete: a) hmotnost a teplotu obsahu nádrže v časech 10 a 20 min od počátku, b) za jak dlouho voda v nádrži dosáhne teploty 100 C. Měrná výparná entalpie vody při 100 C je 2257 kjkg 1. Střední měrná tepelná kapacita vody je 4,2 kjkg 1 K 1. Výsledek: a) Po 10 minutách bude v nádrži 110 kg vody o teplotě 80,7 C, v čase 20 minut bude hmotnost vody 114 kg a teplota 100 C. b) Teplota dosáhne maxima 100 C asi za 14 minut, po tomto čase už se hmotnost vody ani teplota v nádrži nebudou měnit. U7.9 Vprotiproudémchladiči seochlazujeplynnásměsetylénu avodnípáryz200 Cna25 C chladicívodou,kteráseohříváz15 Cna80 C.Protožepřichlazení páračástečně kondenzuje, mění se podél výměníku složení plynné fáze. Tlak plynu je Pa. Ochlazený plyn je nasycen vodní parou a má stejnou teplotu jako kondenzát. Etylén se v kondenzátu nerozpouští, kondenzát jetedy tvořen čistou vodou. Hmotnostní tok horkého plynuje1200 kgh 1, ztoho je 200 kgh 1 vodní páry. Tepelné ztráty do okolí jsou zanedbatelné. Vypočtěte spotřebu chladicí vody. Výsledek: Spotřebuje se 3060 kgh 1 chladicí vody. U7.10 V chladiči rektifikační kolony kondenzuje 120 kg h 1 par o molárním složení 95% metanolu a 5% etanolu, vzniká kapalný destilát. Vypočtěte spotřebu chladicí vody (v kgh 1 ), která vstupuje při teplotě 15 C a vystupuje s teplotou 35 C. Předpokládejte, že konden-

154 154 KAPITOLA 7. BILANCE ENTALPIE zace probíhá při konstantní teplotě 65 C, páry zkondenzují úplně a kapalný destilát odchází při teplotě kondenzace. Výsledek: Spotřebuje se 1570 kgh 1 chladicí vody. U7.11 Energetický obsah potravin se zjišt uje spálením vzorku potraviny v kalorimetru, v němž se teplo uvolněné při spálení předává vodě. Byly spáleny 2 g vzorku potraviny v přítomnosti 100 g vzduchu a teplota vody v kalorimetru v důsledku toho stoupla o 3,2 C. Kalorimetr obsahuje 3 kg vody. Určete energetický obsah potraviny v MJkg 1. Zanedbejte teplo zadržené v materiálu obsaženém ve spalovací komoře kalorimetru a ztráty tepla do okolí. Výsledek: Energetický obsah vzorku je 20,1 MJkg 1. U7.12 Spálením 1 kg uhlí v kotli se vyrobí 8 kg suché, syté vodní páry při tlaku 1,2 MPa. Teplota vody vstupující do kotle je 40 C. a) Kolik páry by se získalo na stejném zařízení, kdyby voda přivedená do kotle měla teplotu 10 C a vyráběná suchá, sytá pára tlak 1,6 MPa? b) Spočítejte uvolněné teplo v kotli a množství suché, syté vodní páry při tlaku 1,2 MPa vyrobené z vody o vstupní teplotě 40 C za následujících předpokladů: úplné spálení 1 kg uhlí, přívod 50% přebytku vzduchu, zanedbatelné ztráty odvodem tepla do okolí, teplota vystupujících spalin 500 C a teploty vstupních proudů 25 C. Porovnejte výsledek b) s údajem o množství vyrobené páry v prvotním zadání a diskutujte možné příčiny odchylky. Výsledek: a) Z vody o teplotě 10 C by vzniklo 7,6 kg rovnovážné páry o tlaku 1,6 MPa. b) V kotli se uvolní 2, kj tepla, čímž lze z vody o teplotě 40 C získat 9,1 kg rovnovážné páry o tlaku 1,2 MPa. Nižší hmotnost získané páry v prvotním zadání může být způsobena např. nižší výhřevností skutečného uhlí s obsahem příměsí a nečistot, ztrátami tepla do okolí, popřípadě vyšší skutečnou teplotou odcházejících spalin, či vyšším skutečně použitým přebytkem vzduchu. U7.13 Kolik tun suché, rovnovážné vodní páry o teplotě 120 C lze teoreticky získat spálením 1 t síry v proudu stechiometricky potřebného množství vzduchu na oxid siřičitý? Teplota vstupující síry a vzduchu je 25 C, teplota spalin je 400 C, teplota kapalné vody použité pro výrobu páry je 25 C. Výsledek: Teoreticky lze získat 2,85 t požadované vodní páry. U7.14 Oxid dusnatý se vyrábí parciální oxidací amoniaku vzduchem. Do reaktoru vstupuje plynný NH 3 při 25 C a vzduch předehřátý na 750 C, přičemž na 1 mol NH 3 připadá 2,4 mol O 2. Konverze NH 3 v reaktoru dosahuje90%. Vypočtěte, kolik energie jetřeba odebrat na 1 mol vstupujícího NH 3, aby teplota na výstupu z reaktoru nepřesáhla 920 C. Molární reakční entalpie při 920 C je h r = 823 kjmol 1. Výsledek: Je třeba odebrat minimálně 637,8 kj na 1 mol vstupujícího amoniaku. U7.15 Při výrobě cyklohexanu se používá plynná směs vodíku a benzenu, která obsahuje molárně 40% benzenu, má teplotu 200 C a tlak 0,1013 MPa. Směs je nutné před vstupem do průtočného reaktoru předehřát. Vypočítejte tepelný tok, který je potřeba dodávat na ohřátí 1000 m 3 /h této plynné směsi na 400 C. Výsledek: Je potřeba dodávat tepelný tok 112,2 kw. U7.16 Mžikovou destilací se snižuje obsah metanolu ve vodě. Do procesu vstupuje kapalná směs při teplotě 30 C, obsahující 30% (mol.) metanolu. Vystupuje kapalná směs obsahující 20% (mol.) metanolu a rovnovážná parní fáze s 57,67% (mol.) metanolu, která má teplotu 81,8 C. Kolik tepla je třeba dodat na zpracování 1 kmol původní kapalné směsi? Výsledek: Je potřeba dodat 14,03 MJ.

155 Kapitola 8 Základy sdílení tepla Michal Přibyl, Dalimil Šnita Energii mikroskopického pohybu částic (translačního, rotačního a vibračního) 1 zjednodušeně říkáme tepelná energie. Mírou této energie je teplota: čím vyšší je intenzita mikroskopického pohybu částic, tím vyšší je teplota látky. Částice, z nichž se skládá hmota (atomy, molekuly), mohou mít různou kinetickou energii, tomu odpovídá různá intenzita pohybu jednotlivých částic, a také odlišná teplota v různých místech zkoumaného systému. Pokud mezi systémem a okolím dochází k výměně energie vázané v hmotě na mikroskopické úrovni (např. kinetické energie neuspořádaného vzájemného pohybu molekul), říkáme, že dochází k přenosu či sdílení tepla. Teplo se může předávat jak přímým kontaktem mezi částicemi (například srážkou dvou částic plynu nebo interakcí sousedních vibrujících molekul v pevné látce), tak nepřímo, prostřednictvím elektromagnetického záření (například částice plynu do sebe navzájem náhodně narážejí, většina kinetické energie se při těchto srážkách zachovává, ale část se vyzařuje ve formě elektromagnetického záření; molekuly či atomy mohou rovněž pohlcovat elektromagnetické záření a tím svou kinetickou energii zvyšovat). Hybnou silou sdílení tepla je tedy rozdíl měrných energií mikroskopického pohybu částic (tepelných energií) v různých místech systému, který v makroskopickém měřítku běžně uplatňovaném v technické praxi nahrazujeme rozdílem teplot, protože teplotu lze na rozdíl od energie tepelného pohybu snadno změřit. Tepelný tok (neboli tok tepla) Q pak definujeme jako množství tepla Q, které projde nějakou plochou za jednotku času ve směru kolmém k této ploše Q = dq dτ. (8.1) Jelikož je teplo jednou z forem energie, je jeho jednotkou 1 Joule (J), jednotkou tepelného toku je pak 1 Js 1 neboli 1 Watt (W). V praxi se celkové množství tepla udává v Joulech (a jejich násobcích kj, MJ, GJ apod.) nebo v kilowatthodinách 2 (kwh). Rozlišujeme tři základní mechanismy sdílení tepla: Sdílení tepla vedením (kondukcí). Pokud má hmota v různých místech různou hladinu tepelné energie (teplotu) dochází k vzájemným interakcím (srážkám) mezi molekulami s různou energií. Po interakci se energie molekul s původně menší energií zvyšuje a ener- 1 V plynech je dominantní translační pohyb částic částice se v objemu plynu mohou volně pohybovat, v pevných látkách, v nichž jsou elementární částice pevně fixovány, např. v krystalové mřížce, je významný zejména vibrační pohyb. 2 Jedna kilowatthodina je takové množství energie, které se předá za jednu hodinu tepelným tokem 1 kw (neboli 1 kjs 1 ), tedy 1 kwh 3600 kj. 155

156 156 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA gie molekul s původně větší energií se zmenšuje. Tak dochází k tepelnému toku z místa s vyšší energií (vyšší teplotou) do místa s nižší energií (nižší teplotou). Sdílení tepla prouděním (konvekcí). Tepelná energie je vázána na hmotu. Prouděním tekutin nebo pohybem pevných látek se přenáší (sdílí) i teplo. Pohyb tekutiny může být samovolný (způsobený změnou hustoty při nerovnoměrném ohřevu či ochlazení tekutiny) tzv. přirozené proudění. Pokud je pohyb tekutiny vyvolán působením vnější síly(např. čerpadlem), hovoříme o nuceném proudění. Sdílení tepla zářením (sáláním, radiací). Energie se přenáší mezi dvěma tělesy ve formě elektromagnetického záření. Sdílením tepla radiací se v těchto skriptech nebudeme zabývat. V technické praxi se často setkáme s kombinací výše uvedených mechanismů. Sdílení tepla vedením a prouděním probereme dále včetně kombinací těchto mechanismů, pro něž jsou zavedeny pojmy přestup a prostup tepla. 8.1 Vedení tepla Fourierova rovnice Nultý zákon termodynamiky říká, že systém je v tepelné rovnováze, tj. nedochází v něm ke sdílení (toku) tepla, má-li všude stejnou teplotu (neboli teplota je konstantní). Obecnou hybnou silou procesů je jejich vzdálenost od rovnovážného stavu. Mírou odchylky od konstantnosti teploty v prostoru je gradient teploty ( T x, T y, T ) z. Gradient teploty je vektor, který charakterizuje změnu teploty v prostoru. Směr vektoru odpovídá směru nejstrmější změny teploty. Velikost vektoru potom udává absolutní hodnotu této změny. V případě, že se teplota mění pouze ve směru osy z, platí podle Fourierova zákona pro vedení tepla následující tvrzení: Tok tepla Q ve směru osy z plochou o velikosti A, která je kolmá k ose z, je úměrný součinu velikosti této plochy a záporné hodnoty derivace teploty podle souřadnice z (8.2) ( Q = Aλ dt ) = Aλ dt dz dz. (8.3) Tok tepla je kladný ve směru klesající teploty, t.j. je-li derivace teploty podle příslušné prostorové souřadnice záporná. Konstantou úměrnosti ve vztahu (8.3) je tepelná vodivost λ, jejíž hodnota závisí především na druhu materiálu, kterým je teplo vedeno, a též na teplotě a u plynů i na tlaku. Tepelná vodivost bývá za běžných podmínek nízká u plynů (pro vzduch je λ. = 0,02Wm 1 K 1 ) a vysoká u kovů (pro ocel je λ. = 47Wm 1 K 1 ). Tepelná vodivost běžných kapalin a pevných látek (s výjimkou zmíněných kovů) se pohybuje mezi výše uvedenými hodnotami (pro vodu je λ. = 0,6Wm 1 K 1 ). Tok tepla ve směru osy z vztažený na jednotku plochy nazveme intenzitou toku tepla vedením q ved,z = Q A = λdt dz. (8.4)

157 8.1. VEDENÍ TEPLA FOURIEROVA ROVNICE 157 V obecném případě je intenzita toku tepla vektor, jehož velikost je přímo úměrná velikosti gradientu teploty a jehož směr je vůči gradientu teploty opačný ( T q ved = (q ved,x, q ved,y, q ved,z) = λ x, T y, T ). (8.5) z Rovnice (8.5) je vyjádřením Fourierova zákona pro vedení tepla ve vektorovém tvaru Vedení tepla rovinnou stěnou Při ustáleném jednosměrném vedení tepla (viz obr. 8.1a) musí být intenzita tepelného toku konstantní. Proč? Uvažujme dvě libovolné stejně velké plochy kolmé na směr vedení tepla. Pokud by intenzity toku tepla jednou a druhou plochou byly různé, v prostoru mezi plochami by docházelo k akumulaci vnitřní energie (tepelné energie), a tím i k postupnému nárůstu či poklesu teploty, což by bylo v rozporu s předpokladem ustáleného stavu. Za předpokladu ustáleného stavu a konstantní hodnoty tepelné vodivosti λ můžeme v rovnici (8.3) separovat proměnné Q dz = dt λa a provést integraci v mezích představovaných okrajovými podmínkami T(z 1 ) = T 1 a T(z 2 ) = T 2, viz obr. 8.1a Q z2 T2 dz = dt, (8.7) λa z 1 T 1 Q λa (z 2 z 1 ) = T 1 T 2. (8.8) Zde z 1 a z 2 jsou souřadnice povrchů stěny. Protože tloušt ka rovinné desky na obr. 8.1a je (8.6) δ = z 2 z 1, (8.9) získáme kombinací rovnic (8.8) a (8.9) vztah pro výpočet tepelného toku jednoduchou rovinnou stěnou Q = Aλ T 1 T 2 δ. (8.10) Z porovnání rovnic (8.3) a (8.10) je zřejmé, že derivace teploty ve směru osy z je konstantní, což jinými slovy znamená, že ustálený teplotní profil v rovinné stěně je lineární dt dz = T 1 T 2 δ = konstanta. (8.11) Vedení tepla složenou rovinnou stěnou Procesy sdílení tepla jsou často řazeny za sebou (sériově). Teplo může postupně (za sebou) procházet několika vrstvami materiálů s obecně různou tloušt kou a různou tepelnou vodivostí (viz obr. 8.1b). S vrstvenými rovinnými stěnami se typicky setkáváme u staveb nebo některých tepelných výměníků. Za předpokladu ustáleného stavu musí opět platit, že intenzita tepelného toku Q/A je ve všech vrstvách stejná. V opačném případě by docházelo k akumulaci tepla, a tím ke změnám teploty v čase v jednotlivých částech systému.

158 158 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA Obr. 8.1: Vedení tepla jednoduchou a složenou rovinnou stěnou Odvodíme vztah pro výpočet toku tepla vrstvenou stěnou znázorněnou na obr. 8.1b a tento vztah následně zobecníme. Zapišme nejprve rovnice pro tok tepla všemi třemi vrstvami Q = Aλ I T 1 T 2 δ I, (8.12) Q = Aλ II T 2 T 3 δ II, (8.13) Q = Aλ III T 3 T 4 δ III. (8.14) a upravme je tak, že na pravých stranách rovnic budou vystupovat pouze hybné síly, tj. rozdíly teplot Q δ I = T 1 T 2, (8.15) Aλ I Q δ II = T 2 T 3, (8.16) Aλ II Q δ III = T 3 T 4. (8.17) Aλ III Rovnice(8.15) až(8.17) sečteme a získáme výraz vhodný pro výpočet tepelného toku třívrstvou rovinnou stěnou ( Q δi + δ II + δ ) III = T 1 T 4, (8.18) A λ I λ II λ III který můžeme pro n vrstev zobecnit do tvaru Q = A T 1 T n+1 n δ j, (8.19) λ j=1 j kde ve jmenovateli se sčítají odpory proti sdílení tepla v jednotlivých vrstvách. Důležitou vlastností rovnice (8.19) je fakt, že k výpočtu tepelného toku postačuje znalost teplot na vnějších okrajích systému.

159 8.1. VEDENÍ TEPLA FOURIEROVA ROVNICE 159 Příklad P8.1: Vedení tepla složenou rovinnou stěnou Zadání: Stěna místnosti široká 4m a vysoká 2,5m je tvořena vnitřní vrstvou cihel o tloušt ce 30 cm a vnější vrstvou pěnového polystyrénu o tloušt ce 10 cm. Teplota vnitřního povrchu stěny je 25 C, teplota vnějšího povrchu stěny je 10 C. Vypočtěte tok tepla touto stěnou a teplotu na rozhraní mezi vrstvami. Řešení: Označme indexem 1 vnitřní povrch stěny, indexem 2 rozhraní cihlová zed polystyrenová izolace, a indexem 3 vnější povrch polystyrenové izolace. Cílem je výpočet tepelného toku Q a určení teploty t 2. Z hlediska geometrie se jedná o rovinnou desku složenou ze dvou vrstev s různou tepelnou vodivostí. V tabulkách nejprve nalezneme příslušné hodnoty tepelných vodivostí: pro stavební cihly je λ c = 0,60 Wm 1 K 1, pro pěnový polystyren je λ p = 0,04 Wm 1 K 1.CelkováplochasdíleníteplajeA = 4 2,5m 2 =10m 2,tloušt kyjednotlivých vrstev jsou δ c = 0,30m a δ p = 0,10m. Celkový tok tepla lze vyčíslit pomocí vztahu (8.19), v němž T 1 T 3 = T je rozdíl teplot, který můžeme dosazovat ve C, protože T = t = t 1 t 3 Q = A t 1 t 3 δ c λ c + δ p λ p = ( 10) 0,30 0,60 + 0,10 0,04. = 117W. Vypočtený tepelný tok musí projít oběma vrstvami. Neznámou teplotu na rozhraní mezi cihlovou stěnou a tepelnou izolací vypočteme tak, že použijeme vztah (8.10) pro kteroukoli z obou vrstev (u obou vrstev známe teplotu na jednom povrchu), do vztahu (8.10) dosadíme vypočtenou hodnotu celkového tepelného toku a jedinou neznámou pak bude teplota na druhém povrchu zvolené vrstvy. Například pro vrstvu cihel musí platit t 1 t 2 Q = Aλ c 117 = 10 0,60 25 t 2 δ c 0,30, odtud snadno vyčíslíme t 2 = 19,2 C Výsledek: Stěnou bude procházet tepelný tok 117 W, teplota na rozhraní cihel a polystyrenové izolace bude 19,2 C Vedení tepla válcovou stěnou Při ustáleném vedení tepla pouze ve směru kolmém na podélnou osu systému souosých válcových ploch (viz obr. 8.2) musí být tepelný tok každou z těchto ploch stejný. Tedy nezávisí na vzdálenosti od osy soustavy ploch radiální souřadnici r. Pokud by celkové toky tepla dvěma sousedícími plochami byly odlišné, v prostoru mezi plochami by docházelo k akumulaci entalpie, což je opět v rozporu s předpokladem ustáleného stavu. Pro tepelný tok válcovou plochou o poloměru r a délce L tedy podle rovnice (8.3) platí Q = λa dt dr = 2λπrLdT dr Separací proměnných získáme Q dr 2πLλ r = dt.. (8.20) (8.21) Řešení této diferenciální rovnice pro okrajové podmínky T(r 1 ) = T 1 a T(r 2 ) = T 2 získáme integrací v mezích za předpokladu konstantní tepelné vodivosti λ Q r2 dr T2 2πLλ r 1 r = dt. (8.22) T 1

160 160 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA Zde r 1, resp. r 2, je poloměr vnitřní, resp. vnější, válcové vrstvy. Výsledkem je výraz Q 2πLλ ln r 2 r 1 = T 1 T 2. (8.23) Po algebraické úpravě dostáváme rovnici pro výpočet ustáleného tepelného toku válcovou stěnou Q = 2πLλ T 1 T 2 ln r 2 r 1 T 1 T 2 T 1 T 2 = 2πLλ ln 2r = 2πLλ 2 ln d, (8.24) 2 2r 1 d 1 kde d 1 a d 2 jsou průměry vnitřní a vnější válcové vrstvy. Obr. 8.2: Vedení tepla jednoduchou a složenou válcovou stěnou Příklad P8.2: Vedení tepla jednoduchou válcovou stěnou Zadání: Trubkou o délce 100 m a vnějším průměru 100 mm proudí chladicí médium. Trubka je zvnějšku izolována vrstvou pěnového polystyrenu o tloušt ce 50 mm. Teplota vnějšího povrchu trubky je 25 C, teplota vnějšího povrchu izolace je 25 C. Vypočtěte tok tepla z okolí do trubky (ztrátu chladu). Řešení: Jelikož je zadána teplota na rozhraní trubka izolace a izolace okolí, je hledaný tepelný tok roven toku tepla skrze vrstvu izolace, která je tvořena homogenní vrstvou pěnového polystyrenu. Z hlediska geometrie se jedná o jednoduchou válcovou stěnu. V tabulkách nalezneme pro pěnový polystyren hodnotu λ = 0,04 Wm 1 K 1. Indexem 2 označíme vnější povrch izolace, indexem 1 vnější povrch trubky (vnitřní povrch izolace). Celkový tepelný tok vyjádříme pomocí vztahu (8.24); dosadíme za L = 100m. Jelikož v tomto vztahu figuruje rozdíl teplot, lze za T 1 a T 2 dosazovat teploty přímo ve C, tj. t 1 a t 2. Průměr d 1 je zadán přímo (d 1 = 0,10 m), průměr d 2 vyčíslíme pomocí d 1 a zadané tloušt ky izolace δ: d 2 = d 1 +2δ Q = 2πLλ t 1 t ln d = 2π100 0,04 2 ln 0,10+2 0,05 d 1 0,10 = 1813 W.

161 8.2. PŘESTUP TEPLA 161 Záporné znaménko u výsledného tepelného toku znamená, že teplo se nesdílí z místa o teplotě T 1 do místa o teplotě T 2, nýbrž je sdíleno ve směru opačném. Výsledek: Z okolí do trubky bude procházet tepelný tok 1813 W Vedení tepla složenou válcovou stěnou Pro popis vedení tepla složenou válcovou stěnu (např. pro ocelovou trubku, která je zevnitř pokryta vrstvou nánosu a zvnějšku obalena vrstvou tepelné izolace, viz obr. 8.2b) použijeme rovnici (8.23) a zapíšeme ji pro všechny tři vrstvy Q 1 ln r 2 = T 1 T 2, (8.25) 2πLλ I r 1 Q 1 ln r 3 = T 2 T 3, (8.26) 2πLλ II r 2 Q 1 ln r 4 = T 3 T 4. (8.27) 2πLλ III r 3 Sečtením rovnic (8.25) až (8.27) obdržíme vztah ( Q 1 ln r ln r ln r ) 4 = T 1 T 4, (8.28) 2πL λ I r 1 λ II r 2 λ III r 3 který po algebraické úpravě přechází do tvaru 2πL(T 1 T 4 ) Q = 1 λ I ln r 2 r λ II ln r 3 r λ III ln r. (8.29) 4 r 3 V obecném případě píšeme pro n-vrstvý válcový povrch Q = 2πL T 1 T n+1 n 1 ln r = 2πL T 1 T n+1 n j+1 1 ln d j+1 λ j r j λ j d j j=1 j=1. (8.30) kde T 1 a T n+1 jsou teploty na vnějších površích válcové stěny (viz obr. 8.2b, kde pro válcovou stěnou složenou ze 3 vrstev máme 4 různé teploty povrchů, protože n = 3). Při výpočtech doporučujeme volit číslování vrstev tak, aby poměry r j+1 /r j, resp. d j+1 /d j, nabývaly hodnot větších než 1. Podobně jako u sdílení tepla složenou rovinnou stěnou se ve jmenovateli nachází součet odporů proti sdílení tepla v jednotlivých vrstvách. 8.2 Přestup tepla V proudících tekutinách se vedle sdílení tepla vedením uplatňuje současně také sdílení tepla prouděním nebo-li konvekcí. Tekutina obsahuje takové množství entalpie, které je rovno součinu hmotnosti tekutiny m a měrné entalpie h (tj. entalpie vztažené na jednotku hmotnosti). Pokud se tekutina pohybuje, pohybuje se s ní také entalpie, kterou obsahuje. Množství proudící tekutiny můžeme vyjádřit např. pomocí hmotnostního toku ṁ, tok entalpie (tepelné energie) prouděním Ḣ je pak roven Ḣ = ṁh. (8.31)

162 162 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA Tok entalpie prouděním vztažený na jednotku plochy A ve směru osy z, kdy tato plocha je kolmá na osu z, označíme jako intenzitu toku entalpie prouděním q kon,z = Ḣ A = ṁh A = Vρh A = v zρh, (8.32) kdesymbol V označuje objemový tok tekutiny vesměru osy z plochou A, ρjehustota tekutiny a v z je rychlost tekutiny ve směru osy z. Intenzita toku entalpie je obecně vektorová veličina, protože entalpie se může sdílet (vyměňovat) ve třech prostorových směrech q kon = (q kon,x, q kon,y, q kon,z) = (v x, v y, v z )ρh = vρh. (8.33) Při současném sdílení tepla vedením i konvekcí, jak je u tekutin nejčastější případ, je celková intenzita toku entalpie (tepla) q dána součtem příspěvků vedení a konvekce q = q ved + q kon, (8.34) což po dosazení z rovnic (8.5) a (8.34) vede ke vztahu, který později využijeme při odvození Fourierovy-Kirchhoffovy rovnice ( T q = (q x, q y, q z ) = λ x, T y, T ) +(v x, v y, v z )ρh. (8.35) z K detailnímu popisu sdílení tepla v proudící tekutině potřebujeme znát rychlost proudění tekutiny v každém místě a v každém čase, tj. rychlostní pole. Z kapitoly o hydrodynamice víme, že až na jednoduché případy představuje určení rychlostního pole velmi obtížně řešitelnou nebo dokonce i neřešitelnou úlohu. Při obtékání pevné stěny tekutinou(viz obr. 8.3) se předpokládá, že charakter toku v blízkosti stěny (v tzv. mezní vrstvě) je vzhledem k působení třecích sil jiný než charakter toku v dostatečně velké vzdálenosti od stěny (v tzv. jádře tekutiny). Pokud má jádro proudící tekutiny jinou teplotu než obtékaná stěna, dochází ke sdílení tepla, které je kombinací sdílení vedením a prouděním. Pro praktické účely potřebujeme formulovat takový popis sdílení tepla mezi jádrem proudící tekutiny a povrchem stěny, při kterém je hybnou silou rozdíl teploty v jádře proudící tekutiny T b (kde se už teplota nemění a lze ji snadno změřit) a teploty na povrchu stěny, T w. V inženýrské praxi se sdílení tepla mezi jádrem proudící tekutiny a povrchem stěny (nebo fázovým rozhraním, např. voda vzduch) označuje jako přestup tepla. Využijeme teorie podobnosti a pokusíme se vytvořit matematický popis, který umožní řešit obtížné úlohy sdílení tepla v proudící tekutině na základě teoretických nebo experimentálních poznatků uspořádaných do formy kriteriálních rovnic, podobně jako tomu bylo v kapitole o hydrodynamice Newtonův ochlazovací zákon Newtonův ochlazovací zákon popisuje, jaké množství tepla se vyměňuje mezi proudící tekutinou a pevnou stěnou, kolem níž se tekutina pohybuje, tj. přestup tepla, jednoduchým vztahem Q = αa(t b T w ). (8.36) Touto rovnicí zavádíme významnou praktickou veličinu součinitel přestupu tepla α. V rovnici (8.36) vyjadřuje symbol Q tok tepla vyměňovaný mezi proudící tekutinou a stěnou o velikosti povrchu A, T w je teplota povrchu stěny a T b je teplota v jádře tekutiny, obvykle

163 8.2. PŘESTUP TEPLA 163 Obr. 8.3: Přestup tepla z jádra proudící tekutiny na stěnu definovaná jako střední teplota tekutiny přes průtočný průřez. Rozdíl teplot T = T b T w je hybnou silou sdílení tepla. Newtonův ochlazovací zákon tedy vystihuje základní kvalitativní rys přestupu tepla, že tok tepla roste přímo úměrně s hybnou silou (T b T w ). Sám o sobě tento zákon nic neřeší, ale převádí úlohu popisu přestupu tepla na úlohu nalezení hodnoty součinitele přestupu tepla α. Celkovou intenzitu tepelného toku q přenášeného mezi jádrem tekutiny a stěnou konvekcí a vedením tepla můžeme vyjádřit jako q = Q A = α(t b T w ). (8.37) Převrácená hodnota součinitele přestupu tepla 1/α pak představuje odpor proti přestupu tepla ve vrstvě mezi jádrem tekutiny a stěnou Fourierova-Kirchhoffova rovnice Výpočet součinitele přestupu tepla α vychází z analýzy Fourierovy-Kirchhoffovy rovnice pro konkrétní případ sdílení tepla. Hodnota součinitele přestupu tepla je závislá na typu proudění (konvekce) tekutiny, geometrických vlastnostech obtékaných těles a fyzikálně chemických vlastnostech tekutin. Uvedeme si nejprve odvození Fourierovy-Kirchhoffovy rovnice pro prostorově jednorozměrný systém. q z (z) = λ dt dz (z)+v zρh(z) q z (z + z) = = λ dt dz (z + z)+v zρh(z + z) 0 z z + z L Obr. 8.4: Schéma diferenciálního bilančního úseku prostorově jednorozměrného průtočného systému s plochou průřezu A Uvažujme průtočný jednorozměrný systém, v němž si vymezíme bilanční systém délky z, označený na obr. 8.4 čárkovaně, ve kterém se veličiny mohou měnit jen ve směru osy z

164 164 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA a tekutina proudí též pouze ve směru osy z. Dále předpokládáme, že hustota ρ, tepelná vodivost λ a měrná tepelná kapacita c p jsou konstantní. Rychlost proudění v z pak musí být podle rovnice kontinuity také konstantní. Objem bilančního systému je V = A z, kde A je konstantní plocha průřezu kolmá na osu z a z je délka bilančního systému. Hmotnost tekutiny v bilančním systému je m = ρ V, objemový tok systémem je V = v z A a hmotnostní tok je ṁ = ρ V. Nyní zapíšeme bilanci entalpie za diferenciální bilanční období pro výše uvedený systém celkový přítok tepelné energie = celkový odtok tepelné energie q z (z)a = q z (z + z)a + + rychlost akumulace dh dτ, (8.38) Celkový tok tepelné energie je vyjádřen jako součin intenzity celkového tepelného toku q z (viz rovnici (8.35)) a plochy kolmé na směr toku A. Zdroj tepla není uvažován. První člen na pravé straně rovnice (8.38) rozvineme pomocí Taylorova rozvoje do prvního stupně 3 a za entalpii diferenciálního bilančního úseku dosadíme H = mh = V ρh = A zρh, přičemž veličiny A, z a ρ jsou konstantní q z (z)a = q z (z)a+ q z(z) za+a zρ h z τ. (8.39) V rovnici(8.39) se vyskytují derivace podle dvou nezávislých proměnných(prostorové souřadnice a času), a proto při zápisu těchto parciálních derivací užíváme symbol. Po algebraické úpravě (odečtení stejných členů a vykrácení rovnice objemem bilančního systému A z) získáváme 0 = q z(z) z +ρ h τ. (8.40) Nyní do rovnice (8.40) dosadíme za celkovou intenzitu tepelného toku z rovnice (8.35) 0 = [ λ dt ] z dz (z)+v zρh(z) +ρ h. (8.41) τ V další krocích budeme uvažovat, že tekutina, která protéká popisovaným jednorozměrným systémem, pouze mění svou teplotu a nedochází k fázové přeměně. Z kapitoly o entalpických bilancích víme, že měrnou entalpii tekutiny za těchto podmínek lze spočíst z rovnice h = c p (T T ref ), (8.42) kde T ref je zvolená referenční teplota. Dosazením vztahu (8.42) do rovnice (8.41) získáme 0 = [ λ T ] z z (z)+v zρc p (T T ref ) +ρ [c p(t T ref )]. (8.43) τ Kromě teploty a její časové a prostorové derivace jsou všechny veličiny v rovnici (8.43) konstantní, což vede ke zjednodušení 0 = λ 2 T z 2 +v T zρc p z +ρc T p τ (8.44) 3 Pro funkci f(x+ x) přibližně platí f(x+ x) =f(x)+ df(x) x+ 1 d 2 f(x) dx 2! d 3 f(x) dx 3 x Pro velmi x dx 2 3! malý přírůstek x 0 jsou velikosti vyšších členů Taylorova rozvoje zanedbatelné a platí f(x+ x) =f(x)+ df(x) x. dx

165 8.2. PŘESTUP TEPLA 165 a po úpravě a vydělení konstantou ρc p získáme bilanci entalpie v prostorově jednorozměrném systému v obvyklém tvaru T τ +v T z z = T a 2 z 2, (8.45) který nazýváme Fourierovou-Kirchhoffovou rovnicí. Symbol a v rovnici (8.45) označuje teplotní vodivost, nazývanou někdy také teplotní difuzivita (neplést s tepelnou vodivostí λ): a = λ ρc p. (8.46) Bez konvektivního členu v z ( T/ z) je rovnice (8.45) označována jako Fourierova rovnice T τ = T a 2 z 2, (8.47) která popisuje teplotní pole v pevných látkách. Fourierovu-Kirchhoffovu rovnici nyní převedeme do bezrozměrného tvaru. Zavedeme soustavu konstantních tzv. charakteristických hodnot veličin (označených dolním indexem 0 ): τ 0 charakteristická hodnota časového intervalu, l 0 charakteristická hodnota délky a T 0 charakteristická hodnota teploty. Bezrozměrné veličiny (označené symbolem ), definujeme jako podíly jejich skutečných (rozměrových) hodnot a jejich charakteristických hodnot τ = τ τ 0, z = z l 0, T = T T 0. (8.48) Charakteristické hodnoty volíme pokud možno tak, aby všechny bezrozměrné proměnné nabývaly řádově stejných hodnot nejlépe v řádu jednotek (10 0 ). U konstant (v našem případě rychlost a teplotní vodivost) charakteristické hodnoty nevolíme. Za charakteristickou délku l 0 je obvykle volen jeden z významných geometrických rozměrů studovaného systému ve směru vedení tepla (například průměr potrubí, šířka štěrbiny mezi dvěma deskami nebo průměr obtékaného tělesa). Charakteristická teplota T 0 je nejčastěji představována maximálním teplotním rozdílem (hybnou silou), se kterým se v systému setkáváme. Pro volbu charakteristického času máme několik možností. Velmi často se používá tzv. vodivostní nebo difúzní čas, který je definován vztahem τ 0 = l2 0 a = l2 0 ρc p λ. (8.49) Vodivostní čas přibližně určuje dobu, která je potřeba k transportu tepla na vzdálenost l 0 vedením tepla bez přítomnosti konvektivního přenosu tepla. Dosazením těchto vztahů do Fourierovy-Kirchhoffovy rovnice (8.45) získáme ( T0 ) ( ) ( ) T vz T 0 T at0 2 T τ 0 τ + l 0 z = l0 2 z 2. (8.50) ( ) at0 Dosazením vodivostního času (8.49) a vydělením členem dostaneme T t + Pe {( }}{ vz l 0 a ) T z = 2 T z 2 (8.51) l 2 0

166 166 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA Výraz v závorkách označený horními svorkami definuje důležité bezrozměrové kritérium Pécletovo kritérium pro sdílení tepla: Pe = v zl 0 a = vl a = lvρc p λ (8.52) Pécletovo kritérium můžeme fyzikálně interpretovat jako poměr intenzit sdílení tepla konvekcí (prouděním) a vedením. Pokud Pe 0, je tok tepla konvekcí zanedbatelný a převažuje mechanizmus vedení. V opačném případě, Pe, dominuje konvektivní transport tepla. Dalším významným bezrozměrovým kritériem, které souvisí s problematikou sdílení tepla, je kritérium Nusseltovo. K jeho odvození a pochopení jeho významu vyjdeme z Newtonova ochlazovacího zákona. Nejprve uvažujme, že systém znázorněný na obr. 8.3 je v ustáleném stavu. Obrázek představuje desku s nižší teplotou, která je obtékána tekutinou s teplotou vyšší (v jádru). Jestliže je systém v ustáleném stavu, nedochází v žádném místě k akumulaci tepla. To znamená, že tepelný tok, který opustí tekutinu, vstoupí do stěny. Intenzitu tepelného toku vyjádříme rovnicí (8.37). Tepelný tok i jeho intenzita jsou stejné v jakékoli vzdálenosti od stěny směrem do tekutiny, a tedy i v těsném sousedství pevné stěny. Rychlost proudění v těsné blízkosti stěny je blízká nule bez ohledu na to, jakou rychlostí proudí tekutina v jádru tekutiny. Tekutinou přiléhající ke stěně se tedy tepelná energie transportuje výhradně vedením tepla a nikoliv kombinací vedení a konvekce. Pro intenzitu tepelného toku proto můžeme zapsat q = λ T z w = α(t b T w ), (8.53) kde λ je tepelná vodivost tekutiny obtékající stěnu. Rovnici (8.53) převedeme do bezrozměrové formy dosazením za rozměrové veličiny z rovnice (8.48) ( ) λl T 0 T z l 0 w = (αt 0 )(T b T w). (8.54) ( ) λl T 0 Rovnici pak vydělíme členem a dostaneme T z w Nu ({}}{ αl0 = λ l l 0 ) (T b T w ). (8.55) Výraz v závorce označené horní svorkou definuje bezrozměrové Nusseltovo kritérium: Nu = αl 0 λ = αl λ (8.56) Nusseltovo kritérium podobnosti představuje podíl intenzity toku tepla přestupem (vedením a konvekcí) a intenzity toku tepla v hypotetickém nehybném prostředí, ve kterém by docházelo ke sdílení tepla pouze vedením. Je-li hodnota Nu = 10, sdílení tepla přestupem je přibližně desetkrát intenzivnější, než sdílení tepla samotným vedením. V definici Nusseltova kritéria se explicitně objevuje součinitel přestupu tepla α. K určení hodnoty α je tedy nutno nejprve vyčíslit hodnotu Nusseltova kritéria. Součinitel přestupu tepla pak vypočítáme z rovnice α = Nuλ = Nuλ l 0 l (8.57)

167 8.2. PŘESTUP TEPLA 167 Sdílení tepla přestupem je významně ovlivněno charakterem proudění (laminární, přechodové, turbulentní). Charakter toku vystihuje bezrozměrové Reynoldsovo kritérium, viz kapitola 3 a rovnice (3.22): Re = v zl 0 ν = vl ν, (8.58) kde ν označuje kinematickou viskozitu tekutiny. Mezi Pécletovým a Reynoldsovým číslem existuje jednoduchý vztah Pe = Re Pr, (8.59) kde Pr je Prandtlovo kritérium definované vztahem Pr = ν a = ηc p λ, (8.60) kde η je dynamická viskozita tekutiny. Prandtlovo kritérium závisí výhradně na fyzikálně chemických vlastnostech proudící tekutiny. Kromě relativní intenzity transportu tepla prouděním (Pécletovo kritérium), vlastností tekutiny (Prandtlovo kritérium) a typu proudění (Reynoldsovo kritérium), závisí intenzita toku tepla přestupem (Nusseltovo kritérium) na geometrických vlastnostech systému (tzv. bezrozměrných geometrických simplexech). Mezi geometrické simplexy patří například poměr průměru a délky potrubí (d/l) nebo relativní drsnost potrubí (ε A /d), viz kapitola 3. Pomocí teoretických představ a empirických poznatků pak můžeme vyjádřit Nusseltovo kritérium jako funkci ostatních kritérií například ve formě nebo Nu = Nu(Re,Pr,Γ 1,Γ 2,...). (8.61) Nu = Nu(Pe,Γ 1,Γ 2,...), (8.62) kde symboly Γ 1 a Γ 2 označují geometrické simplexy. Poznamenejme, že v kriteriálních rovnicích pro výpočet Nusseltova kritéria nebo koeficientu přestupu tepla řada autorů používá i jiná bezrozměrná kritéria Přestup tepla při nuceném proudění Pokud je proudění v průtočných systémech vynuceno např. rozdílem tlaků, výšek nebo působením čerpadla či dmychadla, mluvíme o tzv. nuceném proudění. V kapitole 3 o hydrodynamice jsme si vysvětlili, že charakter toku se mění v závislosti na vlastnostech tekutiny, rychlosti proudění, vlastnostech obtékaného povrchu apod. Charakter toku jsme určovali pomocí hodnoty Reynoldsova kritéria a vymezili jsme tři základní oblasti: oblast laminární (malé hodnoty Re, pro trubku Re < 2300), oblast přechodovou (pro trubku 2300 < Re < 10000) a oblast turbulentní (velké hodnoty Re, pro trubku Re > ). Charakter toku samozřejmě ovlivňuje i sdílení tepla, proto jsou rovnice pro výpočet součinitele přestupu tepla definovány pouze pro určité rozmezí parametrů, v prvním přiblížení je rozdělíme podle charakteru toku tekutiny. V dále uvedených vztazích dosazujeme látkové vlastnosti proudící tekutiny (hustotu ρ, dynamickou viskozitu η, kinematickou viskozitu ν, tepelnou vodivost λ, teplotní vodivost a a měrnou tepelnou kapacitu c p ) při její střední teplotě (kromě dynamické viskozity η w, což je viskozita tekutiny při teplotě stěny). Střední teplotou při nuceném proudění máme

168 168 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA zpravidla na mysli aritmetický průměr spočtený z teploty, při které tekutina do systému vstupuje, a z teploty, při které tekutina systém opouští. L je celková délka systému (délka trubky či výměníku tepla). Za l dosazujeme charakteristický rozměr systému vnitřní průměr dpřiprouděníuvnitřtrubkykruhovéhoprůřezuneboekvivalentní průměr d ekv připroudění potrubím s nekruhovým průřezem d ekv = 4S/O. (8.63) V rovnici (8.63) značí symbol S plochu průtočného průřezu a symbol O smočený obvod, tj. součet délek všech hran při vyobrazení průtočného průřezu, které jsou v kontaktu s protékající tekutinou. Laminární oblast proudění Experimentální a teoretické poznatky ukazují, že v laminární oblasti závisí Nusseltovo kritérium na Graetzově kritériu Gz Nu = Nu(Gz), Gz = Pe d L = RePrd L. (8.64) Z řady vhodných kriteriálních rovnic zde uvedeme např. Hausenovu rovnici pro laminární proudění 0,19Gz 0,8 ( ) η 0,14 Nu = 3, ,117Gz 0,467, (8.65) η w kde η a η w jsou hodnoty dynamické viskozity tekutiny při střední teplotě tekutiny a při teplotě stěny. Tato korelace je vhodná pro 0,1 < Gz < Jednodušším vztahem platným na jiném intervalu hodnot Graetzova kritéria a pro menší průměry potrubí je Siederova- Tateova rovnice pro laminární proudění ( ) η 0,14 Nu = 1,86Gz 1/3. (8.66) η w Tato korelace je vhodná pro Gz > 100. Výraz (η/η w ) 0,14 ve výše uvedených rovnicích se vypouští tehdy, pokud se teplota v jádru tekutiny příliš neliší od teploty tekutiny na stěně. Viskozita se pak významně nemění a výraz (η/η w ) 0,14 je přibližně roven jedné. Přechodová oblast proudění Dalším příkladem je Hausenova rovnice pro přechodovou oblast proudění ( ) Nu = 0,116 Re 2/3 125 Pr [1+ 1/3 ( ) ] d 2/3 ( ) η 0,14. (8.67) L η w Tato korelace je vhodná pro 2100 < Re < I zde lze v případě, že se viskozity η a η w příliš neliší, výraz (η/η w ) 0,14 vypustit, nebot je přibližně roven jedné. Turbulentní oblast proudění V turbulentní oblasti dosti přesně platí Dittusova-Boelterova korelace obvykle uváděná ve zjednodušeném tvaru Nu = Nu(Re,Pr) = 0,023 Re 0,8 Pr 0,4. (8.68)

169 8.2. PŘESTUP TEPLA 169 Tato korelace je vhodná za podmínek: 0,7 < Pr < 170, L/d > 50 a < Re < Je-li rozdíl teplot tekutiny a stěny vysoký a hodnoty viskozit η a η w se výrazně liší, lze použít přesnější tvar Dittusovy-Boelterovy korelace Nu = Nu(Re,Pr) = 0,023 Re 0,8 Pr 0,4 ( η η w ) 0,14. (8.69) Příklad P8.3: Výpočet součinitele přestupu tepla při laminárním proudění Zadání: Vodorovným ocelovým potrubím o vnitřním průměru 5 cm proudí vzduch o teplotě 20 C rychlostí 0,1 m s 1. Teplota stěny je 100 C. Vypočtěte hodnotu součinitele přestupu tepla. Řešení: Na základě zadání a tabulek zapíšeme a/nebo vypočteme fyzikální veličiny důležité pro daný problém: střední rychlost proudění v = 0,1ms 1, průměr trubky d = 0,05m, délka L = 20m, střední teplota tekutiny t b = 20 C, vlastnosti při této teplotě: hustota ρ = 1,205kgm 3, měrná tepelná kapacita c p = 1005Jkg 1 K 1, tepelná vodivost λ = 0,0257 Wm 1 K 1, dynamická viskozita η = 1, Pas, teplota povrchu stěny t w = 100 C, dynamická viskozita při této teplotě η w = 2, Pas. Vypočteme Prandtlovo kritérium Pr = ηc p λ = 1, = 0,7109 0,0257 a Reynoldsovo kritérium Re = dvρ η = 0,05 0,1 1,205 1, = 331,4. Hodnota Reynoldsova čísla je menší než 2300, což je hranice laminárního proudění v trubce, vypočteme tedy Graetzovo kritérium Gz = RePr d L = 331,4 0,71090,05 20 = 0,589, Pro výpočet Nusseltova kritéria použijeme rovnici (8.65) Nu = 3,66+ 0,19Gz 0,8 1+0,117Gz 0,467 = 3,66+ 0,19 (0,589) 0,8 = 3, ,117 (0,589) 0,467 Při výpočtu jsme předpokládali, že se hodnota poměru viskozit vzduchu při jeho střední teplotě a při teplotě stěny významně neliší od jedničky a že lze hodnotu korekčního výrazu na rozdílné viskozity v rovnici (8.65) brát rovnu jedné (jednoduchým výpočtem je možno ověřit, že předpoklad je splněn). Koeficient přestupu tepla je pak roven α = Nuλ d = 3,774 0,0257 0,05 = 1,94Wm 2 K 1. Výsledek: Hodnota součinitele přestupu tepla je 1,94Wm 2 K 1.

170 170 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA Příklad P8.4: Výpočet součinitele přestupu tepla při přechodovém proudění Zadání: Ocelovým potrubím o vnitřním průměru 5 cm proudí vzduch o teplotě 20 C rychlostí 1 m s 1. Teplota stěny je 100 C. Vypočtěte součinitel přestupu tepla. Řešení: Na základě zadání a tabulek zapíšeme a/nebo vypočteme fyzikální veličiny důležité pro daný problém: střední rychlost proudění v = 1ms 1, průměr trubky d = 0,05m, střední teplota tekutiny t b = 20 C, vlastnosti tekutiny při této teplotě: hustota ρ = 1,205kgm 3, měrná tepelná kapacita c p = 1005Jkg 1 K 1, tepelná vodivost λ = 0,0257Wm 1 K 1, dynamická viskozita η = 1, Pas, teplota povrchu stěny t w = 100 C, dynamická viskozita při této teplotě η w = 2, Pas. Vypočteme hodnotu Prandtlova kritéria Pr = ηc p λ = 1, = 0,7109 0,0257 a Reynoldsova kritéria Re = dvρ η = 0,05 1 1,205 1, = Reynoldsovo číslo je větší než 2300 a menší než 10000, což jsou hranice přechodového proudění v trubce, takže pro výpočet Nusseltova kritéria použijeme rovnici (8.67) ( ) Nu = 0,116 Re 2/3 125 Pr [1+ 1/3 = 0,116 ( (3314) 2/3 125 ) (0,7109) 1/3 [1+ ( ) ] d 2/3 = L ( ) ] 0,05 2/3 = 10, Z definice Nusseltova kritéria vypočteme hodnotu koeficientu přestupu tepla α = Nuλ d = 10,26 0,0257 0,05 = 5,27Wm 2 K 1. Výsledek: Koeficient přestupu tepla je roven 5,27Wm 2 K 1. Při výpočtu jsme opět předpokládali, že hodnota poměru viskozit vzduchu při jeho střední teplotě a při teplotě stěny se významně neliší od jedničky. Příklad P8.5: Výpočet součinitele přestupu tepla při turbulentním proudění Zadání: Ocelovým potrubím s průřezem ve tvaru obdélníku o vnitřních rozměrech 20 cm 30cm proudí vzduch o teplotě 20 C rychlostí 10 m s 1. Teplota stěny je 100 C. Vypočtěte hodnotu součinitele přestupu tepla. Řešení: Na základě zadání a tabulek zapíšeme a/nebo vypočteme fyzikální veličiny důležité pro daný problém: střední rychlost proudění tekutiny v = 10ms 1, střední teplota tekutiny t b = 20 C, vlastnosti tekutiny při této teplotě: hustota ρ = 1,205kgm 3, měrná tepelná kapacita c p = 1005Jkg 1 K 1, tepelná vodivost λ = 0,0257Wm 1 K 1, dynamická viskozita η = 1, Pas, teplota povrchu stěny t w = 100 C, dynamická viskozita při této teplotě η w = 2, Pas.

171 8.2. PŘESTUP TEPLA 171 Jelikož se jedná o proudění nekruhovým průřezem, nejprve vypočteme ekvivalentní průměr d ekv = 4S O = 4 0,2 0,3 2(0,2+0,3) = 0,24m. Dále vypočteme hodnotu Prandtlova kritéria Pr = ηc p λ = 1, = 0,7109 0,0257 a Reynoldsova kritéria Re = d ekvvρ η = 0, ,205 1, = 1, Reynoldsovo číslo je větší než 10000, proudění je turbulentní a pro výpočet Nusseltova kritéria použijeme rovnici (8.68) Nu = 0,023 Re 0,8 Pr 0,4 = 0,023(1, ) 0,8 (0,7109) 0,4 = 290,9. Součinitel přestupu tepla je pak roven α = Nuλ = 290,9 0,0257 d ekv 0,24 = 31,15Wm 2 K 1. Výsledek: Vypočtená hodnota součinitele přestupu α = 31,2Wm 2 K 1. Poznámka: Pokud bychom použili pro výpočet Nusseltova kritéria přesnější korelace (8.69), vyjde hodnota Nusseltova kritéria 283,8 a hodnota součinitele přestupu 30,4Wm 2 K 1. Jelikož rozdíl mezi těmito dvěma hodnotami je menší než 3%, použití jednoduššího vztahu pro výpočet hodnoty Nusseltova kritéria je oprávněné Přestup tepla při přirozeném proudění K přestupu tepla dochází i v systémech, které jsou celkově neprůtočné a nedochází v nich k nucenému proudění. Například v uzavřené místnosti, vytápěné topnými tělesy (radiátory), dochází k proudění vzduchu tím, že se vzduch v blízkosti radiátorů ohřívá, jeho hustota klesá a ohřátý vzduch pak v gravitačním poli stoupá, protože je vytlačován chladnějším vzduchem, který se nachází ve větší vzdálenosti od radiátorů. Dochází k tzv. přirozenému proudění (volné konvekci), obr Je zřejmé, že hlavní úlohu zde hraje gravitační síla. Při popisu volné konvekce se namísto Reynoldsova kritéria charakterizujícího typ proudění používá kritérium Grashofovo Gr ( ) Gr = Re 2 ub l 2 b =, (8.70) ν veličina u b je charakteristická rychlost volné konvekce a Re b je modifikované Reynoldsovo číslo. V případě přirozeného proudění volíme za charakteristický rozměr l svislý rozměr obtékaného tělesa. To platí i u kritérií souvisejících s přestupem tepla (zejména Nusseltovo kritérium Nu). Charakteristickou rychlost volné konvekce je možno odvodit na základě analýzy modifikovaných Navierových-Stokesových rovnic, což přesahuje rámec tohoto kurzu u b = (glβ T) 1 2, (8.71)

172 172 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA kde symboly g, β a T označují gravitační zrychlení, teplotní objemovou roztažnost proudící tekutiny a přítomný rozdíl teplot (rozdíl teplot mezi stěnou a jádrem tekutiny). Po dosazení charakteristické rychlosti volné konvekce do vztahu (8.70) získáváme vztah pro výpočet Grashofova kritéria Gr = gl3 β T ν 2. (8.72) Zde znovu zdůrazněme, že l představuje svislý rozměr obtékaného tělesa a stejný rozměr pak dosazujeme i do Nusseltova kritéria. Teplotní objemová roztažnost β vyjadřuje relativní změnu objemu V (hustoty ρ) tekutiny s teplotou podle rovnice β = 1 V V T = 1 ρ ρ T, (8.73) Připomeňme si, že pro ideální plyn platí ρ = pm RT, β = 1 ρ ρ T = 1 T. (8.74) Teplotní objemová roztažnost je pro většinu tekutin (mj. všechny plyny) kladná objem s teplotou roste (nebo-li hustota klesá) a ohřátá tekutina (o nižší hustotě) stoupá nahoru. Velmi důležitou výjimkou je voda v teplotním intervalu asi 0 C až +4 C, u níž je hodnota teplotní roztažnosti záporná. Chladnější voda proto stoupá k hladině, což způsobuje, že řeky, jezera, moře a oceány zamrzají od hladiny. Teplotní objemovou roztažnost pak dosazujeme do Grashoffova kritéria v absolutní hodnotě. Pro popis sdílení tepla přirozeným prouděním jsou vhodné teoreticky odvozené nebo empirické vztahy typu Nu = Nu(Gr,Pr). (8.75) Obr. 8.5: Přestup tepla ze stěny do tekutiny, vznik přirozeného proudění vlivem rozdílu hustot Pro určení hodnoty součinitele přestupu tepla při přirozeném proudění je obecně doporučována Nusseltova rovnice Nu = C(GrPr) m, (8.76) hodnoty koeficientů C a m jsou uvedeny v tabulce 8.1. V této korelaci se všechny látkové vlastnosti použité v bezrozměrných kritériích (ρ, η, ν, λ, β, a a c p ) vyčíslují při střední teplotě tekutiny T = (T w +T b )/2. Hybnou silou přirozeného proudění je rozdíl mezi teplotou okolí a teplotou povrchu stěny T = T w T b, viz obr. 8.5.

173 8.2. PŘESTUP TEPLA 173 Tab. 8.1: Doporučené hodnoty parametrů pro rovnici (8.76) Typ teplosměnné plochy Rozsah hodnot GrPr C m svislá rovina, svislá trubka GrPr < ,36 1/5 za charakteristický rozměr l < GrPr < ,59 1/4 dosazujeme do Gr i Nu výšku < GrPr 0,13 1/3 vnější povrch GrPr < ,49 0 vodorovného válce (trubky) < GrPr < 1 1,09 1/10 za charakteristický rozměr l < GrPr < ,71 1/25 dosazujeme do Gr i Nu 1 < GrPr < ,09 1/5 vnější průměr < GrPr < ,53 1/ < GrPr 0,13 1/3 Příklad P8.6: Výpočet součinitele přestupu tepla při přirozeném proudění Zadání: Vodorovná ocelová trubka o vnějším průměru 5 cm je obklopena vzduchem o teplotě 20 C. Teplota vnější stěny trubky je 100 C. Vypočtěte součinitel přestupu tepla přirozeným prouděním. Řešení: Na základě zadání a tabulek zapíšeme a/nebo vypočteme fyzikální veličiny důležité pro daný problém: průměr trubky d = 0,05m, teplota vzduchu t b = 20 C, teplota povrchu stěny t w = 100 C, rozdíl teplot t = t w t b = 80 C, střední teplota t = 60 C, T = 333,1K. Vlastnosti vzduchu při střední teplotě: hustota ρ = 1,06kgm 3, měrná tepelná kapacita c p = 1005Jkg 1 K 1, tepelná vodivost λ = 0,028Wm 1 K 1, dynamická viskozita η = 1, Pas. Za gravitační zrychlení dosadíme g = 9,81ms 2. Koeficient relativní objemové roztažnosti je pro ideální plyn roven β = 1 T = 0,003002K 1. Vypočteme hodnotu Prandtlova kritéria Pr = ηc p λ = 1, = 0,7171 0,028 a Grashoffova kritéria (u vodorovné trubky je charakteristickým rozměrem průměr d): Gr = gd3 ρ 2 β t η 2 = 9,81 0,053 1,06 2 0, (1, ) 2 = 8, Na základě hodnoty GrPr = 5, určíme pomocí tabulky 9.1 koeficienty Nusseltovy rovnice (8.76): C = 0,53 a m = 0,25. Pak vypočteme Nusseltovo kritérium Nu = C(GrPr) m = 0,53 (8, ,7171) 0,25 = 14,72. Z definice Nusseltova kritéria (8.56) vypočteme hodnotu koeficientu přestupu tepla α = Nuλ d = 14,72 0,028 0,05 = 8,24Wm 2 K 1. Výsledek: Součinitel přestupu tepla α bude mít hodnotu 8,24Wm 2 K 1.

174 174 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA Přestup tepla při současném přirozeném a nuceném proudění Pokud dochází současně k nucenému i přirozenému proudění, používáme vztahy typu Nu = Nu(Re,Gr,Pr). (8.77) Reynoldsovo kritérium popisuje nucené proudění, Grashoffovo kritérium popisuje přirozené proudění a Prandtlovo kritérium určuje látkové vlastnosti tekutiny. Detailní diskuse výpočtu součinitele přestupu tepla při kombinaci přirozeného a nuceného proudění přesahuje rámec tohoto kurzu Přestup tepla při varu a kondenzaci Uvede-li se do styku nasycená pára s chladným povrchem, bude přecházet do kapalného skupenství čili kondenzovat. Pára se nejdříve musí dostat do kontaktu s povrchem, na kterém kondenzuje. Tento krok je velmi rychlý, nebot při kondenzaci páry dochází k velkému úbytku objemu (v případě kondenzace čisté syté páry se objem zmenší přibližně tisíckrát) a pára je k povrchu přisávána vzniklým podtlakem. Tento krok může být zpomalován přítomností inertního (nekondenzujícího) plynu v páře, nebot obsahuje-li pára např. 50 obj. % inertu, zmenšení objemu při kondenzaci je jen zhruba poloviční. Při kondenzaci se na teplosměnné ploše vytváří kapalný kondenzát, který je nutno odvádět. Je-li teplosměnná plocha rovinná, obvykle je orientována svisle, protože pak kondenzát odtéká samospádem působením gravitační síly. Pokud je teplosměnnou plochou vnější povrch válce (trubky), lze použít i vodorovnou trubku. V případě, kdy se stěna kondenzátem smáčí, kondenzát odtéká ve formě souvislého kapalného filmu a jeho tloušt ka je nejdůležitějším faktorem při přestupu tepla kondenzací. Jedná se o tzv. filmovou kondenzaci. Pokud se stěna kondenzátem nesmáčí, jedná se o tzv. kapkovou kondenzaci, jelikož kondenzát po povrchu stěny stéká v oddělených kapkách. Pro výpočet koeficientu přestupu tepla při filmové kondenzaci je doporučována Nusseltova rovnice Nu = cγ 1/4, Γ = l3 ρ 2 g h výp(měr) ηλ T, (8.78) kde Γ je bezrozměrné kondenzační kritérium. Za l se dosazuje svislý rozměr stěny. Pro svislou trubku se tedy dosazuje její délka a doporučená hodnota koeficientu c = 0,943. U vodorovné trubky se za charakteristický rozměr l dosazuje její průměr a koeficient c = 0,73. Všechny látkové vlastnosti (ρ, η, λ, a c p ) se v případě kondenzace vyčíslují pro kondenzát (kapalinu) při střední teplotě stékajícího filmu T = (T w + T k )/2, kde T w je teplota stěny a T k je teplota kondenzace. T = T k T w je absolutní hodnota rozdílu mezi teplotou kondenzace a teplotou povrchu stěny (hybná síla sdílení tepla přes stékající film). Měrná výparná entalpie h výp(měr) se vyčísluje při teplotě kondenzace T k. Pro velmi hrubý odhad koeficientu přestupu tepla při kondenzaci použijeme α Wm 2 K 1. (8.79) Obvykle platí, že koeficient přestupu tepla při kondenzaci a varu je výrazně (řádově) větší než koeficient přestupu tepla při proudění tekutiny beze změny skupenství. Podobně jako při kondenzaci je také při varu sdílení tepla provázeno tvorbou nové fáze. Hustota páry vznikající při varu kapaliny je většinou řádově menší, než hustota kapaliny. Pára vytváří bubliny, které v gravitačním poli stoupají nahoru (bublinový var). Rovněž směs kapaliny a bublin páry má menší průměrnou hustotu než kapalina. Tedy směs kapaliny a páry v místě intenzivnějšího varu má tendenci stoupat nahoru, zatímco v místech bez varu nebo

175 8.2. PŘESTUP TEPLA 175 s menší intenzitou varu klesá dolů. Jedná se o analogii přirozeného proudění v systémech bez fázové přeměny, kde se hustota mění s teplotou. Relativní změny hustoty při fázové přeměně jsou ovšem výrazně větší. Toho se využívá ve vařácích kolon, kde se vhodnou geometrií dosahuje intenzivního promíchávání vroucí kapaliny a tím zvětšení hodnoty součinitele přestupu tepla. Při vysokém rozdílu mezi teplotou kapaliny a teplotou stěny, na níž dochází k varu, se mohou bubliny spojovat v souvislou vrstvu páry (tzv. blánový var). Tento jev je nežádoucí, nebot způsobuje pokles hodnoty koeficientu přestupu tepla. Pro velmi hrubý odhad koeficientu přestupu tepla při varu použijeme α Wm 2 K 1. (8.80) Příklad P8.7: Výpočet součinitele přestupu tepla při filmové kondenzaci Zadání: Vodorovná ocelová trubka o vnějším průměru 5 cm je obklopena sytou vodní parou o teplotě 100 C. Teplota vnější stěny trubky je 20 C. Vypočtěte součinitel přestupu tepla při filmové kondenzaci. Řešení: Na základě zadání a tabulek zapíšeme a/nebo vypočteme fyzikální veličiny důležité pro daný problém: vnější průměr trubky d = 0,05m, teplota kondenzující páry t k = 100 C, měrná výparná entalpie h výp = 2, Jkg 1, teplota povrchu stěny t w = 20 C, rozdíl teplot t = t k t w = 80 C, střední teplota t = 60 C, vlastnosti kondenzátu při této teplotě: hustota ρ = 968kgm 3, měrná tepelná kapacita c p = 4183Jkg 1 K 1, tepelná vodivost λ = 0,6543Wm 1 K 1, dynamická viskozita η = 0, Pas, gravitační zrychlení g = 9,81ms 2. Nejprve vypočteme kondenzační kritérium Γ = d3 ρ 2 g h výp ηλ T = 0, ,81 2, , , Dále vypočteme Nusseltovo kritérium = 1, Nu = 0,73Γ 1/4 = 0,73 (1, ) 1/4 = 418,3 a z jeho definice vypočteme hodnotu součinitele přestupu tepla α = Nuλ d = 418,3 0,6543 0,05 =5474Wm 2 K 1. Výsledek: Koeficient přestupu tepla je roven 5,47kWm 2 K Obecný postup výpočtu hodnoty součinitele přestupu tepla 1. Podle údajů ze zadání rozhodneme, zda se jedná o přirozené či nucené proudění (volná či nucená konvekce), případně o děj s fázovou přeměnou (var, kondenzace). 2. V tabulkách vyhledáme nebo vypočteme látkové vlastnosti tekutiny při její střední teplotě, kterou je nutno vhodným způsobem odhadnout podle typu přestupu tepla. Například při nuceném proudění vlastnosti tekutiny (kromě viskozity η w ) vyčíslíme při střední teplotě v jádře proudící tekutiny. Při přirozeném proudění použijeme aritmetický průměr teploty tekutiny v jejím jádře (daleko od stěny) a teploty stěny, s níž je v kontaktu. 3. Podle geometrie, rychlosti proudění a látkových vlastností určíme charakteristické hodnoty veličin (např. průměr nebo ekvivalentní průměr průtočného systému).

176 176 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA 4. Vypočteme hodnoty příslušných bezrozměrných kritérií (Re, Gr, Gz, Pr, d/l). 5. Na základě hodnot těchto kritérií vybereme vhodný kriteriální vztah pro výpočet Nu. V případě nutnosti vypočteme nebo odhadneme hodnoty dalších potřebných kritérií a simplexů. 6. Vypočteme hodnotu Nusseltova kritéria. 7. Z Nusseltova kritéria pak vypočteme hodnotu součinitele přestupu tepla α podle rovnice (8.57). 8.3 Složené sdílení tepla prostup tepla V technické praxi často řešíme problém, jak vypočíst množství tepla, které se vyměňuje mezi dvěma proudícími tekutinami, navzájem oddělenými stěnou nepropustnou pro hmotu, ale propustnou pro teplo. To je důležité například u výměníků tepla, v nichž dochází ke sdílení tepla mezi teplejší a studenější tekutinou přes tepelně vodivou (nejčastěji kovovou) stěnu. Popsaný děj se nazývá prostup tepla. Prostup tepla se skládá ze tří sériově (za sebou) řazených procesů (viz obr. 8.6) 1. Přestup tepla z jádra proudící teplejší tekutiny A na povrch stěny, kolem něhož tekutina A protéká. 2. Vedení tepla stěnou, která může být jednoduchá nebo složená z více vrstev. 3. Přestup tepla z povrchu stěny, kolem něhož protéká tekutina B, do jádra tekutiny B. Hybnou silou prostupu tepla je rozdíl mezi střední teplotou T ba v jádře teplejší tekutiny A a střední teplotou T bb v jádře chladnější tekutiny B. Z praktického hlediska je formulace prostupu tepla velmi důležitá, nebot střední teploty uvnitř proudících tekutin lze relativně snadno změřit Prostup tepla rovinnou stěnou Budeme se zabývat pouze prostupem tepla v ustáleném stavu, ve kterém nedochází k akumulaci tepla v žádném místě systému (tzn. rozložení teplot je konstantní). Z obr. 8.6 je patrné, Obr. 8.6: Prostup tepla vícevrstvou rovinnou stěnou

177 8.3. SLOŽENÉ SDÍLENÍ TEPLA PROSTUP TEPLA 177 že tepelný tok Q vstupující na povrch stěny z tekutiny A musí být roven tepelnému toku procházejícímu jednotlivými vrstvami stěny a také tepelnému toku, který opouští opačný povrch stěny a vstupuje do jádra tekutiny B. Na základě této úvah můžeme zapsat rovnici pro přestup tepla z tekutiny A na povrch stěny, viz (8.36), Q = α A A(T ba T wa), (8.81) pro transport tepla vedením složenou vícevrstvou stěnou, viz (8.19), Q = A T wa T wb III δ j (8.82) λ j=i j a pro přestup tepla z povrchu stěny do jádra tekutiny B Q = α B A(T wb T bb). (8.83) Nyní všechny tři rovnice převedeme do takového tvaru, aby se na pravé straně vyskytovaly pouze rozdíly teplot Q 1 = T ba T wa, (8.84) Aα A Q A III j=i δ j λ j = T wa T wb, (8.85) Q 1 = T wb T bb. (8.86) Aα B Nyní všechny tři rovnice sečteme a dostame Q 1 III δ j = T ba T bb. (8.87) A α A λ j j=i α B Zde rozdíl teplot T = T ba T bb představuje hybnou sílu prostupu tepla, tj. rozdíl mezi středními teplotami v jádře teplejší tekutiny A a chladnější tekutiny B. Dále definujeme součinitel prostupu tepla K pro sdílení tepla rovinnou stěnou rovnicí 1 K = 1 + α A III j=i δ j λ j + 1 α B (8.88) Tok tepla při ustáleném prostupu tepla rovinnou stěnou poté uvádíme v jednoduchém tvaru Q = KA(T ba T bb) = KA T. (8.89) Pro úplnost uved me vztahy pro výpočet koeficientu prostupu tepla pro sdílení tepla jednovrstvou stěnou 1 K = 1 + δ α A λ + 1 (8.90) α B a j-vrstvou stěnou 1 K = 1 α A + j δ j λ j + 1 α B. (8.91) Rovnici (8.91) lze interpretovat tak, že celkový odpor proti prostupu tepla 1/K je součtem dílčích odporů proti přestupu tepla z jádra tekutiny A na stěnu 1/α A, proti vedení tepla jednotlivými vrstvami stěny j δ j/λ j a proti přestupu tepla ze stěny do jádra tekutiny B 1/α B.

178 178 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA Prostup tepla válcovou stěnou Při odvození vztahu vyjadřující prostup tepla válcovou stěnou vycházíme ze stejných předpokladů jako v předchozí kapitole a postupujeme analogicky. Pro názornost si budeme odvození ilustrovat na příkladu třívrstvé válcové stěny. Na obr. 8.7 je znázorněn příčný řez takovou stěnou, která může například představovat ocelové potrubí zevnitř pokryté kotelním kamenem azvnějškuobalenévrstvouizolace. Proúplnostjetřebadodat,žedélkapotrubíjerovnaL.Aby Obr. 8.7: Prostup tepla vícevrstvou válcovou stěnou tepelný tok z výsledné rovnice pro prostup tepla vycházel kladný a aby rovnice byla obecně použitelná, přijmeme následující zásady: Teplejší tekutinu budeme vždy značit indexem A, studenější tekutinu indexem B a stěny budeme číslovat směrem od vnitřních k vnějším tak, jak je znázorněno na obr Nejprve zapišme rovnici pro přestup tepla mezi jádrem teplejší tekutiny A a přilehlou válcovou stěnou. Vyjdeme z rovnice (8.36) Q = 2πLα A r 4 (T ba T wa), (8.92) kde za velikost teplosměnné plochy jsme dosadili velikost povrchu válcové stěny 2πLr 4, která je obtékána teplejší tekutinou A, viz obr Je ale zřejmé, že kdyby teplejší tekutina obtékala druhou stěnu, byli bychom museli dosadit poloměr r 1. Abychom mohli rovnici (8.92) zobecnit, jevhodné zavést poloměr r A, za který budemedosazovat vždy poloměr té stěny, kterou obtéká teplejší tekutina. V našem případě tedy platí r A = r 4, protože teplejší tekutina obtéká vnější stěnu. Rovnici (8.92) pak zapíšeme v obecném tvaru Q = 2πLα A r A (T ba T wa). (8.93) Pro popis transportu tepla vedením složenou válcovou stěnou použijeme vztah (8.30) T wa T wb Q = 2πL 1 λ I ln r 2 r λ II ln r 3 r λ III ln r. (8.94) 4 r 3 Můžeme také zapsat rovnici pro tok tepla mezi jádrem chladnější tekutiny a povrchem stěny Q = 2πLα B r B (T wb T bb). (8.95) V našem případě platí r B = r 1, protože chladnější tekutina obtéká vnitřní stěnu. Rovnice upravíme tak, aby na pravých stranách vystupovaly pouze hnací síly v podobě rozdílů teplot Q 1 = T ba T wa, (8.96) 2πLα A r A

179 8.3. SLOŽENÉ SDÍLENÍ TEPLA PROSTUP TEPLA 179 ( Q 1 ln r ln r ln r ) 4 = T wa T wb, (8.97) 2πL λ I r 1 λ II r 2 λ III r 3 Q 1 = T wb T bb (8.98) 2πLα B r B a rovnice sečteme Q 2πL ( 1 α A r A + 1 λ I ln r 2 r λ II ln r 3 r λ III ln r 4 r α B r B ) = T ba T bb. (8.99) Protože při prostupu tepla válcovou stěnou v radiálním směru (kolmém na osu válce) se plocha, jíž prochází tepelný tok z tekutiny A do tekutiny B, mění, zavádí se délkový součinitel prostupu tepla K L vztažený na jednotkovou délku trubky 2π = ln r ln r ln r (8.100) K L α A r A λ I r 1 λ II r 2 λ III r 3 α B r B Celkový tok tepla lze pak vyjádřit jako součin délkového součinitele prostupu tepla K L, délky válce (potrubí) L a hnací síly (celkového rozdílu teplot T = T ba T bb) Q = K L L T. (8.101) Pro úplnost uved me vztahy pro výpočet délkového součinitele prostupu pro jednovrstvý válec 2π K L = 1 α A r A + 1 λ ln r 2 r α B r B, (8.102) kde r 2 je vnější poloměr válce a r 1 vnitřní poloměr válce. Za r A dosadíme ten z poloměrů, na kterém se nachází teplejší tekutina. Naopak za r B dosadíme zbývající poloměr. Velmi často se namísto poloměrů válců r dosazují průměry válců d, proto uvádíme i druhou možnost výpočtu součinitele K L π = K L α A d A 2λ ln d (8.103) d 1 α B d B Pro n-vrstvý válec můžeme zapsat vztah nebo 2π K L = 1 α A r A + n j=1 π = K L α A d A 2 1 λ j ln r j+1 r j + 1 α B r B, (8.104) n j=1 1 λ j ln d j+1 d j + 1 α B d B. (8.105) Poloměry nebo průměry válců indexujeme od nejmenšího k největšímu tak, aby vždy platilo, že r j+1 /r j > 1. Za r A dosadíme ten z poloměrů, který odpovídá povrchu obtékanému teplejší tekutinou. Za r B dosadíme ten z poloměrů, který odpovídá povrchu obtékanému chladnější tekutinou. Rovnice (8.102)-(8.105) opět představují celkový odpor proti prostupu tepla, který je dán součtem dílčích odporů při přestupu tepla a při vedení válcovou stěnou.

180 180 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA Příklad P8.8: Výpočet součinitele prostupu tepla Zadání: Vodorovná ocelová trubka o vnějším průměru 10 cm a tloušt ce stěny 5 mm je izolována vrstvou skelné vaty o tloušt ce 5cm. Uvnitř trubky proudí sytá vodní pára o tlaku 1MPa. Koeficient přestupu tepla při kondenzaci páry je 10000Wm 2 K 1. Koeficient přestupu tepla mezi vnějším povrchem izolace a okolím je 50Wm 2 K 1. Teplota okolí je 20 C. Vypočtěte hodnotu součinitele prostupu tepla vztaženého na jednotku délky trubky a množství páry (v kgs 1 ), které zkondenzuje při průchodu trubkou o délce 200m. Řešení: Jedná se o prostup tepla válcovou stěnou složenou ze dvou vrstev (ocelová stěna trubky a vrstva izolace). Teplejší tekutinou (A) je pára, chladnější tekutinou (B) je vzduch. Pára (A) kondenzuje uvnitř trubky, hodnota součinitele přestupu tepla α A je zadána. Z povrchu izolace uniká teplo do okolí (volnou konvekcí), hodnota součinitele přestupu tepla α B je rovněž zadána. Nejprve si označíme a vyčíslíme důležité geometrické rozměry systému (viz obr. 8.8) označíme d 1 = 0,1 2 0,005 = 0,09 m vnitřní průměr ocelové trubky, d 2 = 0,1 m vnější Obr. 8.8: Obrázek k příkladu P9.8 prostup tepla průměr ocelové trubky a d 3 = 0,1+2 0,05 = 0,2 m vnější průměr vrstvy izolace. V tabulkách nalezneme hodnoty tepelné vodivosti oceli λ 1 = 47 Wm 1 K 1 a skelné vaty λ 2 = 0,04 Wm 1 K 1. Dále v tabulkách vyhledáme teplotu kondenzace syté vodní páry o tlaku 1 MPa: t ba = 179,92 C a hodnotu její měrné výparné entalpie hvýp = 2014,8 kjkg 1. Hodnotu součinitele prostupu tepla vypočteme z rovnice (8.105), kam dosadíme d A = d 1 (obtékáno teplejší tekutinou) a d B = d 3 (obtékáno studenější tekutinou) π K L = = ln d ln d = α A d 1 2λ 1 d 1 2λ 2 d 2 α B d , ,1 ln , ,2 ln 2 0,04 0, ,2. K L = 0,7167 W m 1 K 1. Množství tepla, které unikne do okolí, spočteme ze vztahu (8.101); jelikož ve vztahu se vyskytuje rozdíl teplot, můžeme dosazovat teploty přímo ve C Q = K L L(T ba T bb ) = 0, (179,92 20) = 22,92 kw. Hmotnostní tok vznikajícího kondenzátu pak získáme z entalpické bilance ṁ k = Q hvýp = 22, ,8 = 1, kg s 1. Výsledek: Hodnota délkového součinitele prostupu tepla je 0,717 Wm 1 K 1 a vznikat bude 11,4 g s 1 kondenzátu.

181 8.4. ÚLOHY Úlohy U8.1 Teplota vnějšího povrchu trubky, jíž se rozvádí chladicí směs, je 30 C, a její vnější průměr je 10 cm. Trubka je tepelně izolována dvěma vrstvami izolace: vnitřní vrstvou pěnového polyetylénu o tepelné vodivosti 0,08 Wm 1 K 1 a tloušt ce 10cm, a vnější vrstvou plsti o tepelné vodivosti 0,05Wm 1 K 1 a tloušt ce 5 cm. Teplota vnějšího povrchu izolace je 25 C. Vypočtete, jaký bude tok tepla z okolí do trubky připadající na 100 m délky trubky a jaká bude teplota na rozhraní polyetylénové a plstěné izolace. Výsledek: Tok tepla z okolí je asi 1,77 kw. Na rozhraní vrstev izolace se ustaví teplota 8,8 C. U8.2 Kolikrát musí narůst hybná síla (rozdíl teplot), aby bylo dosaženo stejného tepelného toku stěnou topného hadu vyrobeného z trubky z uhlíkové oceli o vnějším průměru 38 mm a tloušt ce stěny 2,5 mm a stěnou stejného topného hadu zvenku pokrytého vrstvou kyselinovzdorného smaltu o tloušt ce 0,5 mm a tepelné vodivosti 0,6 Wm 1 K 1. Výsledek: Hnací síla musí být asi 15,4 krát větší u topného hadu pokrytého smaltem. U8.3 Teplotavnitřníhopovrchupeceje1400 C.Teplotavnějšíhopovrchupecenemápřesáhnout 50 C. Intenzita tepelného toku stěnou pece je 250W m 2. Stěna pece je složena z vnitřní vrstvy žáruvzdorných cihel o tepelné vodivosti 0,25 W m 1 K 1 a vnější vrstvy keramické plsti o tepelné vodivosti 0,05 W m 1 K 1. Maximální teplota, které může být vnější izolace vystavena, je 1100 C. Vypočtete tloušt ky obou vrstev izolace. Předpokládejte, že stěnu pece lze považovat za rovinnou desku. Výsledek: Tloušt ka vrstvy cihel je 30 cm, keramické plsti 21 cm. U8.4 Vypočtěte ztráty tepla volnou konvekcí z neizolovaného vodorovného ocelového potrubí o vnějším průměru 51 mm a délce 50m. Potrubím je vedena sytá vodní pára o tlaku 0,7 MPa, teplota okolního vzduchu je 15 C a tlak vzduchu 98 kpa. Zanedbejte tepelný odpor stěny trubky (tj. teploty vnitřního i vnějšího povrchu trubky jsou přibližně stejné) a ztráty tepla sáláním. Výsledek: Ztráty tepla jsou 11,5 kw. U8.5 Trubkou o vnitřním průměru 20 cm prochází vzduch při středním tlaku 100 kpa a střední teplotě 120 C střední rychlostí 10 m s 1. Vypočtete součinitel přestupu tepla ze vzduchu na vnitřní stěnu trubky. Výsledek: Koeficient přestupu tepla má hodnotu 27,1Wm 2 K 1. U8.6 Vnitřní trubkou výměníku tepla protéká voda o střední teplotě 25 C. Trubka je dlouhá 1,5 m, má vnitřní průměr 25 mm a střední teplotu stěny 40 C. Vypočtete hodnotu součinitele přestupu tepla z vody nastěnu trubky, je-li hmotnostní průtok vody a) 0,02 kgs 1, b) 0,1 kg s 1, c) 0,5 kg s 1. Výsledek: Koeficient přestupu tepla má hodnotu a) 0,23kWm 2 K 1 (laminární oblast proudění, Siederova-Tateova rovnice), b) 1,12kWm 2 K 1 (přechodná oblast proudění, Hausenova rovnice pro proudění v přechodné oblasti), c) 4,24kWm 2 K 1 (turbulentní proudění, Dittusova-Boelterova korelace). U8.7 Měděnou trubkou 1,8 m dlouhou o vnějším průměru 22 mm a tloušt ce stěny 2 mm proudí 0,25 kg s 1 benzenu. Střední teplota benzenu je 40 C. Vypočtěte koeficient přestupu tepla z benzenu na stěnu trubky. Výsledek: Hodnota součinitele přestupu tepla je 1, Wm 2 K 1.

182 182 KAPITOLA 8. ZÁKLADY SDÍLENÍ TEPLA U8.8 Elektrický vodič pro velmi velké proudy je konstruován jako obdélníková měděná trubka o vnějších rozměrech 13 mm 19 mm a tloušt ce stěny 3,5 mm. Při průchodu proudu se ve stěnách trubky vyvíjí teplo, objemová hustota zdrojů tepla je Wm 3 (vztaženo na objem mědi). Určete hodnotu koeficientu přestupu tepla z povrchu vodiče do proudícího vzduchu a teplotu stěny vodiče, odvádí-li se veškeré vznikající teplo vzduchem, který proudí dutinou ve vodiči rychlostí 50 m s 1 při střední teplotě 40 C a středním tlaku 0,4 MPa (předpokládejte, že teplota vodiče i vzduchu se ve směru proudění vzduchu mění jen málo). Výsledek: Koeficient přestupu tepla je 643 Wm 2 K 1, teplota vodiče 47,6 C. U8.9 Transformátorový olej se chladí ve vodorovném svazkovém výměníku tepla. Trubkový svazek má 37 trubek 2 m dlouhých o vnějším průměru 38 mm, plášt tvoří trubka vnitřního průměru 350 mm. Olej protéká v mezitrubkovém prostoru podél svazku rychlostí 0,15 m s 1. Střední teplota oleje je 65 C, střední teplota vnějších stěn trubek svazku je 60 C. Fyzikální vlastnosti oleje při 65 C jsou: hustota 850 kg m 3, kinematická viskozita m 2 s 1, objemová teplotní roztažnost K 1, tepelná vodivost 0,12 Wm 1 K 1 a měrná tepelná kapacita 2, J kg 1 K 1. Dynamická viskozita oleje při 60 C je 9, Pas. Vypočtěte součinitel přestupu tepla na straně oleje. Výsledek: Hledaná hodnota koeficientu přestupu tepla je 66,9Wm 2 K 1. U8.10 Trubkou o vnějším průměru 22 mm a tloušt ce stěny 2,5 mm zhotovenou z nerezavějící oceli (tepelná vodivost 14,2 Wm 1 K 1 ) protéká tekutina A (koeficient přestupu tepla 1050 Wm 2 K 1 ) a z vnější strany je obtékána tekutinou B (koeficient přestupu tepla 3200 Wm 2 K 1 ). Spočtěte délkový koeficient prostupu tepla. Výsledek: Délkový součinitel prostupu tepla je 39,6 Wm 1 K 1. U8.11 Topná soustava odparky je zhotovena z ocelových trubek o vnějším průměru 30 mm a tloušt ce stěny 2,5 mm. Na vnitřní straně trubek je usazena vrstva kotelního kamene o tloušt ce 0,5 mm. Na vnějším povrchu trubek kondenzuje vodní pára (koeficient přestupu tepla Wm 2 K 1 ), uvnitř trubek vře kapalina (koeficient přestupu tepla Wm 2 K 1 ). Střední teplota stěny trubky je 100 C. Vypočtěte délkový koeficient prostupu tepla pro jednu trubku. Výsledek: Hodnota délkového součinitele prostupu tepla je 115 Wm 1 K 1. U8.12 V deskovém výměníku tepla se ohřívá voda kondenzující vodní parou. Desky jsou zhotoveny z oceli tloušt ky 0,3 mm. Vypočtěte součinitel prostupu tepla deskou výměníku, je-li hodnota součinitele přestupu tepla na straně páry 11 kwm 2 K 1, a druhá strana desky je obtékána vodou rychlostí 0,8 m s 1. Průtočný průřez mezi sousedícími deskami má rozměry 3 mm 300 mm, délka desky (ve směru toku, tj. délka výměníku) je 500 mm. Střední teplota ohřívané vody je 40 C, střední teplota desky je 95 C. Jaké chyby (vyjádřené jako procentuální zvýšení či snížení vypočtené hodnoty součinitele prostupu) se dopustíme, zanedbáme-li tepelný odpor desky (tj. při výpočtu součinitele prostupu nebudeme uvažovat člen zahrnující tloušt ku stěny a její tepelnou vodivost)? Výsledek: Hodnota součinitele prostupu tepla je 3,73 kwm 2 K 1. Zanedbáme-li tepelný odpor desky, vypočtená hodnota součinitele prostupu se zvýší asi o 2,4%. U8.13 Na vnější stěně vodorovné trubky o vnějším průměru 20 mm a délce 1 m kondenzuje sytá pára o tlaku p. Teplota stěny trubky je t w. Vypočtěte koeficient přestupu tepla α a hmotnost kondenzátu m vzniklého na trubce za 1 hodinu, je-li a) tlak páry p = 5 kpa a teplota trubky t w = 27,1 C; b) tlak páry p = 100 kpa a teplota trubky t w = 90,4 C. Výsledek: a) α=1, Wm 2 K 1, m=6,12kg; b) α=1, Wm 2 K 1, m=12,3kg.

183 Kapitola 9 Výměníky tepla Michal Přibyl, Dalimil Šnita Výměníky tepla jsou zařízení sloužící k vzájemné výměně tepla mezi dvěma fázemi, nejčastěji tekutinami. Teplejší tekutina předává teplo a ochlazuje se, nebo v případě kondenzující páry odevzdává výparné teplo a kondenzuje. Chladnější tekutina přijímá teplo a ohřívá se, nebo v případě vroucí kapaliny přijímá výparné teplo a odpařuje se. Řada procesů probíhá požadovaným směrem a požadovanou rychlostí pouze za vhodné teploty či ve vhodném teplotním intervalu. Výměníky tepla pak mohou být použity k úpravě teploty tekutin vstupujících do zařízení, ve kterých se tyto procesy uskutečňují, nebo mohou být výměníky přímo součástí těchto zařízení. Ve složitějších výrobních procesech se často stává, že do některých dílčích procesů je nutno teplo přivádět, a naopak, z některých jiných dílčích procesů je zapotřebí teplo odvádět. Tato úloha, související také s úsporami energie, se často řeší právě s použitím výměníků tepla. 9.1 Příklady konstrukce výměníků tepla Výměníky tepla se dělí zejména na rekuperační, regenerační a směšovací. V rekuperačních výměnících tepla probíhá plynulá výměna tepla mezi tekutinami, které jsou odděleny teplosměnnou stěnou propustnou pro teplo a nepropustnou pro hmotu, která má vysokou tepelnou vodivost. V regeneračních výměnících tepla procházejí zúčastněné látky střídavě týmž prostorem, ve kterém je uložena hmota se schopností akumulovat teplo, např. keramická vyzdívka. V první fázi protéká prostorem teplejší tekutina a předává teplo této hmotě a tím se ochlazuje. V druhé fázi protéká prostorem studenější tekutina, která uloženou hmotu ochlazuje a tím se ohřívá. Pracovní proces je přerušovaný, většinou periodický. Dalším typem jsou výměníky směšovací, kde se smíšením jedné tekutiny s druhou dosáhne požadované teploty. Zde se budeme zabývat pouze rekuperačními výměníky tepla. Podle konstrukčního uspořádání teplosměnné plochy se rekuperační výměníky dělí zejména na trubkové, viz obrázek 9.1, spirálové, v nichž se zkroucením trubky do spirály dosáhne větší délky a tedy i teplosměnné plochy v daném objemu, a deskové, viz obrázek 9.2. Trubkové výměníky s mnoha rovnoběžnými trubkami, viz obrázek 9.3, se nazývají svazkové. 183

184 184 KAPITOLA 9. VÝMĚNÍKY TEPLA Obr. 9.1: Výměníky tepla typu trubka v trubce s protiproudým a souproudým uspořádáním toků. Tekutina A teplejší, tekutina B chladnější 9.2 Entalpická bilance výměníku tepla Nejdříve zapíšeme entalpickou bilanci celého výměníku (otevřeného systému) v ustáleném stavu za diferenční časové období, rovnice (7.14). Bilanční schéma výměníku je uvedeno na obr Ztráty tepla z výměníku do okolí zde zanedbáváme přítok odtok {}}{{}}{ Ḣ A,i +ḢB,i = Ḣ A,e +ḢB,e. (9.1) Zde ḢA,i, resp. Ḣ A,e, je tok entalpie proudem teplejší tekutiny vstupem výměníku, resp. jeho výstupem, a ḢB,i, resp. Ḣ B,e, je tok entalpie proudem studenější tekutiny na vstupu, resp. výstupu z výměníku. Všechny členy v rovnici (9.1) jsou vyjádřeny v jednotkách výkonu, wattech (W = Js 1 ). Rovnici upravíme a definujeme celkový tepelný tok Q AB, který se ve výměníku vyměňuje teplo, které za jednotku času odevzdal teplejší proud {}}{ Ḣ A,i ḢA,e = teplo, které za jednotku času přijal chladnější proud {}}{ Ḣ B,e ḢB,i = teplo, které výměník za jednotku času převedl z teplejšího do chladnějšího proudu {}}{ Q AB. Za toky entalpie Ḣ dosadíme součiny hmotnostních toků ṁ a měrných entalpií h (9.2) ṁ A (h A,i h A,e ) = ṁ B (h B,e h B,i ) = Q AB. (9.3)

185 9.2. ENTALPICKÁ BILANCE VÝMĚNÍKU TEPLA 185 Obr. 9.2: Protiproudý deskový výměník tepla. Nákres je ilustrativní, reálné výměníky tepla obsahují obvykle mnohem větší počet desek. Výměník se skládá z kanálů obdélníkového průřezu. Výška kanálů je mnohem menší než šířka a je vymezena tloušt kou desek s výřezy. Jednotlivé kanály jsou odděleny tenkými, většinou kovovými přepážkami. Lichými kanály teče teplejší tekutina a sudými chladnější. Sestava může být rozebírací, utěsněna např. pryžovými těsněními a stáhnutá šrouby, nebo napevno spojena lepením, letováním nebo svářením Pokud se proudy ve výměníku pouze ohřívají nebo ochlazují bez fázové přeměny, platí h i h e = Ti T e c p dt = pro konstantní c p {}}{ c p (T i T e ). (9.4) Jestliže měrná tepelná kapacita c p není v daném teplotním intervalu konstantní, můžeme obvykle pro rozdíl měrných entalpií zapsat méně přesný vztah h i h e =c p T (T i T e ), (9.5) kde c p T je měrná tepelná kapacita při střední teplotě definované T = T i +T e 2. (9.6) V dalším výkladu nebudeme rozlišovat, zda je měrná tepelná kapacita konstantní na celém teplotním intervalu či zda byla nalezena její hodnota při střední teplotě. Index T budeme proto vynechávat. Do rovnice (9.3) dosadíme za rozdíly měrných entalpií ze vztahu (9.4) nebo(9.5) a získáme důležitou rovnici celkovou entalpickou bilanci výměníku tepla ṁ A c p,a (T A,i T A,e ) = ṁ B c p,b (T B,e T B,i ) = Q AB. (9.7) Pokud teplejší proud ve výměníku pouze a úplně kondenzuje (kondenzátor) platí h A,i h A,e = h Avýp. (9.8) Pokud se studenější proud ve výměníku pouze a úplně vypařuje (vařák) platí h B,e h B,i = h Bvýp. (9.9) Uvedené bilance platí jak pro protiproudý, tak pro souproudý výměník tepla.

186 186 KAPITOLA 9. VÝMĚNÍKY TEPLA Obr. 9.3: Svazkové výměníky tepla a uspořádání toků v nich. Nákresy jsou ilustrativní, reálné výměníky tepla obsahují obvykle mnohem větší počet trubek 9.3 Bilance diferenciálního úseku protiproudého výměníku tepla Nyní zapíšeme bilanci diferenciálního úseku výměníku, který je vyznačen ve schématu na obr Pro teplejší proud v ustáleném stavu platí Ḣ A (z) = Q AB +ḢA(z + z) (9.10) a pro chladnější proud Ḣ B (z + z)+ Q AB = ḢB(z). (9.11) Tok tepla z teplejšího do studenějšího proudu Q AB, naúseku výměníku délky z, vyjádříme pomocí délkového koeficientu prostupu tepla Q AB = K L (T A T B ) z. (9.12) Za toky entalpie v rovnicích (9.10) a (9.11) dosadíme součiny hmotnostních toků a měrných entalpií a za tepelný tok Q AB dosadíme z rovnice (9.12). Získáme ṁ A h A (z) = K L (T A T B ) z +ṁ A h A (z + z), (9.13) ṁ B h B (z + z)+k L (T A T B ) z = ṁ B h B (z). (9.14)

187 9.3. BILANCEDIFERENCIÁLNÍHOÚSEKUPROTIPROUDÉHOVÝMĚNÍKUTEPLA187 ṁ A h A (T A,i ) ṁ A, Ḣ A,i, T A,i T(z) = TA (z) T B (z) ṁ A h A (T A,e ) ṁ A, Ḣ A,e, T A,e ṁ B h B (T B,e ) ṁ B, Ḣ B,e, T B,e T 1 = T A,i T B,e T 2 = T A,e T B,i ṁ B h B (T B,i ) ṁ B, Ḣ B,i, T B,i ṁ A h A (T A,i ) ṁ A, Ḣ A,i, T A,i T(z) = TA (z) T B (z) ṁ A h A (T A,e ) ṁ A, Ḣ A,e, T A,e T 1 = T A,i T B,i T 2 = T A,e T ṁ B,e B h B (T B,i ) ṁ B h B (T B,e ) ṁ B, Ḣ B,i, T B,i ṁ B, Ḣ B,e, T B,e 0 z L Obr. 9.4: Celková entalpická bilance protiproudého (nahoře) a souproudého (dole) výměníku tepla Funkce měrné entalpie vmístě z+ z rozepíšeme pomocí Taylorova rozvoje 1, přičemž uvažujeme, že z 0 [ ṁ A h A (z) = K L (T A T B ) z +ṁ A h A (z)+ dh ] A dz z, (9.15) [ ṁ B h B (z)+ dh ] B dz z +K L (T A T B ) z = ṁ B h B (z). (9.16) Po algebraické úpravě (odečtení stejných členů a vydělení z) dostáváme dh A K L (T A T B ) = ṁ A dz = ṁ d[c p,a (T A T ref )] dt A A = ṁ A c p,a dz dz, (9.17) dh B K L (T A T B ) = ṁ B dz = ṁ d[c p,b (T B T ref )] dt B B = ṁ B c p,b dz dz. (9.18) V rovnicích (9.17) a (9.18) předpokládáme, že proudící tekutiny mění podél výměníku svou teplotu, ale nikoliv skupenství. Toto zjednodušení však nemá vliv na výsledný vztah (9.28). Předchozí vztahy dále upravíme a získáme soustavu dvou obyčejných diferenciálních rovnic dt A dz = K L(T A T B ) ṁ A c p,a. (9.19) 1 Pro funkci f(x+ x) přibližně platí f(x+ x) =f(x)+ df(x) x+ 1 d 2 f(x) dx 2! d 3 f(x) dx 3 x Pro velmi x dx 2 3! malý přírůstek x 0 jsou velikosti vyšších členů Taylorova rozvoje zanedbatelné a platí f(x+ x) =f(x)+ df(x) x. dx

188 188 KAPITOLA 9. VÝMĚNÍKY TEPLA Ḣ A (z) Q AB Ḣ A (z + z) Ḣ B (z) Ḣ B (z + z) 0 z z + z L Obr. 9.5: Bilance diferenciálního úseku protiproudého výměníku tepla dt B dz = K L(T A T B ) ṁ B c p,b. (9.20) Získané rovnice zkombinujeme tak, že od rovnice (9.19) odečteme rovnici (9.20), aby vznikl diferenciál hybné síly d(t A T B ) d(t A T B ) dz C {( }} ){ 1 1 = K L (T A T B ) ṁ A c p,a ṁ B c p,b. (9.21) Provedeme separaci proměnných K L Cdz = d(t A T B ) T A T B = dln(t A T B ) (9.22) a integrací přes celkovou délku výměníku L K L C L 0 získáme vztah TA,e T B,i dz = dln(t A T B ) (9.23) T A,i T B,e K L CL = ln T A,e T B,i T A,i T B,e, (9.24) který upravíme do tvaru 1 1 K L L ln T = A,i T B,e C. (9.25) T A,e T B,i Uvědomme si, že vztah(9.25) je platný pouze v případě, že parametr C je skutečně konstantou, tj. měrné tepelné kapacity nalezené při středních teplotách jsou uvažovány konstantní podél výměníku. Z celkové bilance (9.7) plyne 1 ṁ A c p,a = T A,i T A,e Q AB, 1 ṁ B c p,b = T B,e T B,i Q AB, (9.26)

189 9.3. BILANCEDIFERENCIÁLNÍHOÚSEKUPROTIPROUDÉHOVÝMĚNÍKUTEPLA189 Pak pro konstantu C můžeme zapsat, viz (9.21), 1 C = 1 1 ṁ A c p,a = 1 ṁ B c p,b Q AB (T A,i T A,e ) (T B,e T B,i ). (9.27) Dosazením do rovnice (9.25) za 1/C obdržíme T ls { }} { K L L (T A,i T B,e ) (T A,e T B,i ) ln T A,i T B,e = Q AB. (9.28) T A,e T B,i Získáme praktický výpočetní vztah Q AB = K L L T ls, (9.29) kde Q AB je celkový tepelný tok, K L je koeficient prostupu tepla vztažený na jednotku délky, L je délka výměníku a T ls je střední hybná síla prostupu tepla, tzv. logaritmický střední rozdíl teplot 2. Zdůrazněme zde, že se nejedná o střední teplotu, ale o střední rozdíl teplot mezi teplejší a chladnější tekutinou. Při použití koeficientu prostupu tepla K vztaženého na jednotku plochy A lze odvodit analogický vztah Q AB = KA T ls. (9.30) Výsledný vztah je stejný i pro souproudý výměník tepla, pokud logaritmický střední rozdíl teplot (tedy střední hybnou sílu prostupu tepla) vyjádříme jako T ls = T 1 T 2 ln T 1 T 2. (9.31) kde T 1 je rozdíl mezi teplotou tekutiny A a B na jednom konci výměníku a T 2 rozdíl teplot A a B na druhém konci výměníku, viz obrázek 9.4. Vztahy (9.29) a (9.30) je možno použít i v případě, že v jedné nebo v obou částech výměníku dochází namísto ohřevu nebo chlazení ke kondenzaci či varu. V některých případech se může stát, že hybné síly prostupu tepla jsou na obou koncích výměníku stejné, tj. T 1 = T 2. Potom namísto logaritmických středních teplotních rozdílů T ls v rovnicích (9.29) a (9.30) dosazujeme hnací sílu na koncích výměníků T 1 = T 2 = T. Zbývá diskutovat, za jakých podmínek je výhodnější použít výměník souproudý a za jakých podmínek výměník protiproudý, obr Nejprve diskutujme výhody obou typů výměníků z hlediska rychlosti transportu tepla z tekutiny A do tekutiny B. Rychlost libovolného děje je úměrná hybné síle tohoto děje. Lokální hnací silou prostupu tepla ve výměníku je rozdíl teplot T = T A T B. Největší hybnésíly jemožné dosáhnoutnavstupuvýměníku souproudého, kde se stýkají tekutiny s nejnižší a nejvyšší teplotou v celém systému. Dojde k velice rychlému poklesu teploty teplejší tekutiny a k velice rychlému nárůstu teploty tekutiny chladnější. U výměníku protiproudého se nikdy nejteplejší tekutina s tekutinou nejstudenější do styku 2 Pro informaci zde uvádíme definice tří hlavních typů průměru ze dvou hodnot a a b ; aritmetický průměr: (a+b)/2, geometrický průměr: ab a logaritmický průměr:(a b)/ln(a/b).

190 190 KAPITOLA 9. VÝMĚNÍKY TEPLA nedostanou (výjimkou je případ, kdy na jedné ze stran výměníku dochází k fázové přeměně). Souproudé výměníky tedy využíváme zejména v případech, kdy je žádoucí dosáhnout rychlé změny teploty některé z tekutin. Další sledovanou vlastností výměníků tepla je jejich schopnost předat co nejvíce tepla obsaženého v tekutině teplejší do tekutiny studenější. Hovoříme o účinnosti tepelného výměníku. Při souproudém uspořádání je výstupní teplota obou tekutin relativně blízká a nikdy nemůže dojít k tomu, že výstupní teplota chladnější tekutiny bude vyšší než výstupní teplota tekutiny teplejší. Rozdíl vstupní a výstupní teploty je pro každou tekutiny v souproudém výměníku relativně nízký, byt ke změnám teplot dochází rychle. Účinnost využití tepla v takovém výměníku tedy nebývá vysoká. Při protiproudém uspořádání může být výstupní teplota původně chladnější tekutiny vyšší než výstupní teplota tekutiny, která vstupuje do systému jako teplejší. Výstupní teplota ohřívané tekutiny se na výstupu může blížit nejvyšší teplotě ve výměníku, tj. vstupní teplotě teplejší tekutiny. Vidíme, že protiproudý výměník je obecně lépe využitelný, pokud chceme docílit co nejvyšší změny teploty některé z tekutin. Účinnost takového výměníku je vysoká. Příklad P9.1: Protiproudý výměník tepla Zadání: V protiproudém výměníku tepla pro ohřev teplé užitkové vody se ohřívá 1 kg s 1 studené vody ze vstupní teploty 15 C na výstupní teplotu 70 C. Jaká je spotřeba tlakové horké vody z teplárny, která se ochlazuje ze vstupní teploty 120 C na výstupní teplotu 90 C? Jaký je tepelný tok vyměňovaný ve výměníku? Délka výměníku je 1,5 m. Jaký je délkový koeficient prostupu tepla? Řešení: Předpokládáme, že měrná tepelná kapacita vody je konstantní, c p,a = c p,b = 4180 J kg 1 K 1. Tepelný tok vyměňovaný ve výměníku je Q AB = ṁ B c p,b (t B,e t B,i ) = (70 15) = W. (9.32) Spotřebu teplejší vody vypočteme ze vztahu Q AB = ṁ A c p,a (t A,i t A,e ) ṁ A = Vypočteme střední logaritmický rozdíl teplot Q AB c p,a (t A,i t A,e ) = (120 90) = 1,8 kg s 1. (9.33) t ls = (t A,i t B,e ) (t A,e t B,i ) ln t = A,i t B,e t A,e t B,i (120 70) (90 15) ln = 49,1 C. (9.34) Délkový koeficient prostupu tepla vypočteme ze vztahu Q AB = K L L t ls K L = Q AB L t ls = ,5 49,1 = 3121 W m 1 K 1. (9.35) Výsledek: Spotřeba topné vody je 1,8 kg s 1, tepelný tok ve výměníku je 230 kw a délkový koeficient prostupu tepla je 3121 W m 1 K 1.

191 9.3. BILANCEDIFERENCIÁLNÍHOÚSEKUPROTIPROUDÉHOVÝMĚNÍKUTEPLA191 Příklad P9.2: Protiproudý svazkový výměník tepla Zadání: V protiproudém svazkové výměníku tepla se ohřívá voda o hmotmostním průtoku 2kgs 1 z teploty 20 C na teplotu 70 C. K ohřívání se používá voda o hmotnostním průtoku 2kgs 1, která do výměníku vstupuje při teplotě 130 C. Výměník se skládá z 19 ocelových trubek kruhového průřezu o vnitřním průměru 20mm a vnějším průměru 25mm ve formě svazku vloženého do pláště o vnitřním průměru 150 mm. Mezitrubkovým prostorem protéká chladnější voda a vnitřními trubkami teplejší voda. Vypočtěte tepelný tok vyměňovaný ve výměníku, hodnoty součinitelů přestupů tepla a součinitel prostupu tepla a délku výměníku. Řešení: Na základě zadání a tabulek vyčíslíme fyzikální veličiny důležité pro daný problém. Hmotnostní tok tekutiny A: ṁ A = 2kgs 1, hmotnostní tok tekutiny B: ṁ B = 2kgs 1, vstupní teplota tekutiny A: t A,i = 130 C, vstupní teplota tekutiny B: t B,i = 20 C, výstupní teplota tekutiny B: t B,e = 70 C, počet trubek: N = 19, vnitřní průměr trubek: d 1 = 0,02m, vnější průměr trubek: d 2 = 0,025m, vnitřní průměr pláště: d 3 = 0,15m, odhad délky svazku (bude potřebný pro výpočet Nusseltova kritéria): L = 1m, tepelná kapacita tekutiny A: c pa = 4180Jkg 1 K 1, tepelná kapacita tekutiny B: c pb = 4180Jkg 1 K 1, tepelná vodivost přepážky: λ = 47Wm 1 K 1. Celková entalpická bilance výměníku Q AB = ṁ B c pb (t B,e t B,i ) = ṁ A c pa (t A,i t A,e ), Q AB = (70 20) = (130 t A,e ). Řešení těchto rovnic získáme t A,e = 80 C, Q AB = W. Vypočteme hybné síly prostupu tepla na jednom a druhém konci výměníku t 1 = t A,i t B,e = = 60K, t 2 = t A,e t B,i = = 60K. Logaritmický průměr ze dvou veličin, které mají stejnou hodnotu, je právě tato hodnota t ls = t 1 = t 2 = 60K. Výpočet součinitele přestupu tepla na straně tekutiny A Tekutina A proudí trubkami o vnitřním průměru d 1 d A = d 1 = 0,02m. Vypočteme střední teplotu proudu A jako aritmetický průměr vstupní a výstupní teploty t A = (t A,i +t A,e )/2 = (130+80)/2 = 105 C.

192 192 KAPITOLA 9. VÝMĚNÍKY TEPLA Při této teplotě nalezneme fyzikálně-chemické vlastnosti tekutiny A: Tepelná vodivost tekutiny A: λ A = 0,6798Wm 1 K 1, viskozita tekutiny A: η A = 0, Pas, hustota tekutiny A: ρ A = 1000kgm 3. Vypočteme střední rychlosti proudění tekutiny A v A = V A S A = ṁa ρ A S A = ṁ A ρ A N(π/4)d 2 1 = (π/4)0,02 2 = 0,3351ms 1. Výpočet Prandtlova kritéria na straně tekutiny A Pr A = η Ac pa 0, = = 1,647. λ A 0,6798 Výpočet Reynoldsova kritéria na straně tekutiny A Re A = d Av A ρ A = 0,02 0, = 2, η A 0, Reynoldsovo číslo je větší než 10000, což znamená, že proudění je turbulentní. Pro výpočet Nusseltova kritéria je možno použít rovnici (8.68) Nu A = 0,023 Re 0,8 A Pr0,4 A = 0,023 (2, ) 0,8 1,647 0,4 = 92,69. Nakonec spočteme hodnotu součinitele přestupu tepla na straně tekutiny A α A = Nu Aλ A = 92,69 0,6798 d A 0,02 = 3151Wm 2 K 1. Výpočet součinitele přestupu tepla na straně tekutiny B Nejprve vypočteme ekvivalentní průměr mezitrubkového prostoru jako čtyřnásobek podílu průtočného průřezu a smočeného obvodu d B = 4S B = 4(π/4)(d2 3 Nd2 2 ) = 4(π/4)(0, ,025 2 ) = 0,017m. O B π(d 3 +Nd 2 ) π(0, ,025) Vypočteme střední teplotu proudu B t B = (t B,i +t B,e )/2 = (20+70)/2 = 45 C. Při této teplotě nalezneme další fyzikálně-chemické vlastnosti tekutiny B: Tepelná vodivost tekutiny B: λ B = 0,6369Wm 1 K 1, viskozita tekutiny B: η B = 0, Pas, hustota tekutiny B: ρ B = 1000kgm 3. Dále vypočteme střední rychlosti proudění tekutiny B v mezitrubkovém prostoru v B = V B S B = ṁb ρ B S B = ṁ B ρ B (π/4)(d 2 3 Nd2 2 ) = (π/4)(0, ,025 2 ) = 0,2397ms 1. Výpočet Prandtlova kritéria na straně tekutiny B Pr B = η Bc pb 0, = = 3,915. λ B 0,6369 Výpočet Reynoldsova kritéria na straně tekutiny B Re B = d Bv B ρ B = 0,017 0, η B 0, = 6830.

193 9.3. BILANCEDIFERENCIÁLNÍHOÚSEKUPROTIPROUDÉHOVÝMĚNÍKUTEPLA193 Reynoldsovo číslo je větší než 2300 a menší než Proudění je tedy přechodové a pro výpočet Nusseltova kritéria použijeme rovnici (8.67) [ ( ) Nu B = 0,116 Re 2/3 B 125 Pr 1/3 B 1+ ( ) = 0, / ,915 [1+ 1/3 ( ) ] 2/3 db = L ( ) ] 0,017 2/3 = 45,8. 1 V předchozím výpočtu jsme za dosud neznámou délku výměníku L mohli dosadit pouze její odhad. Délka typických svazkových výměníků se pohybuje v jednotkách metrů, proto můžeme za přibližný odhad délky volit L = 1 m. Výsledek bude ovšem vždy zatížen určitou chybou, která bude tím větší, čím větší bude rozdíl mezi naším odhadem a vypočtenou délkou výměníku. Pokud tento rozdíl bude významný (v jednotkách metrů), měli bychom výpočet koeficientu přestupu opakovat a jako zpřesněný odhad použít vypočtenou délku výměníku. Výpočet součinitele přestupu tepla na straně tekutiny B α B = Nu Bλ B = 45,8 0,6369 d B 0,017 Výpočet součinitele prostupu tepla K výpočtu využijeme vztah (8.105) K L = = 1716Wm 2 K 1. π π α A d 1 2λ ln d = 1 d 1 α B d , ,025 ln , ,025 Výpočet délky výměníku = 75,61Wm 1 K 1. Nejprve vypočteme, jak by musel být výměník dlouhý, kdyby byla ve svazku uložena pouze jedna vnitřní trubka L 1 = Q AB K L t ls = 4, ,61 60 = 92,14m. V uvažovaném výměníku je však uloženo 19 vnitřních trubek a délka svazku je tedy významně kratší L = L 1 N = 92,14 = 4,849 m. 19 Vypočtená délka je jiná než její odhad. Proto budeme iteračně opakovat ty části výpočtu, které na délce závisí, dokud nedojdeme k přiměřeně přesné shodě v řádu jednotek procent. Většinou stačí jedna iterace. Na straně tekutiny B musíme znovu spočítat hodnoty Nusseltova kritéria a koeficientu přestupu tepla ( ) Nu B = 0,116 Re 2/3 B 125 Pr 1/3 B [ 1+ ( ) = 0, / ,915 [1+ 1/3 ( ) ] 2/3 db = L ( ) ] 0,017 2/3 = 43,93. 4,849

194 194 KAPITOLA 9. VÝMĚNÍKY TEPLA α B = Nu Bλ B = 43,93 0,6369 d B 0,017 = 1646Wm 2 K 1. Dále opakujeme výpočet součinitele prostupu tepla K L = π π α A d 1 2λ ln d = 1 d 1 α B d , ,025 ln , ,025 Vypočteme potřebnou délku výměníku L 1 = Q AB K L t ls = 4, ,84 60 = 94,35m, L = L 1 N = = 4,966 m. 19 = 73,84Wm 1 K 1. Výsledek: Tepelný tok vyměňovaný ve výměníku je 4, W, součinitel přestupu tepla na straně teplejší tekutiny je 3151Wm 2 K 1, součinitel přestupu tepla na straně chladnější tekutinyje1646wm 2 K 1,délkový součinitel prostuputeplajeroven 73,84Wm 1 K 1 adélka výměníku je 4,966 m. Příklad P9.3: Protiproudý deskový výměník tepla Zadání: V protiproudém deskovém výměníku tepla se ohřívá voda o hmotnostním průtoku 1kgs 1 z teploty 20 C na teplotu 70 C. K ohřívání se používá horká tlaková voda o hmotnostním průtoku 2kgs 1, která do výměníku vstupuje při teplotě 130 C. Výměník se skládá z 20 kanálů obdélníkového průřezu 150 1mm 2 oddělených přepážkami z ocelového plechu tloušt ky 0,25 mm. Každým lichým kanálem protéká chladnější voda a každým sudým kanálem teplejší voda. Vypočtěte tepelný tok výměníkem a jeho délku. Řešení: Na základě zadání a tabulek vyčíslíme fyzikální veličiny důležité pro daný problém. HmotnostnítoktekutinyA:ṁ A = 2kgs 1,hmotnostnítoktekutinyB:ṁ B = 1kgs 1,vstupní teplota tekutiny A: t A,i = 130 C, vstupní teplota tekutiny B: t B,i = 20 C, výstupní teplota tekutiny B: t B,e = 70 C, počet kanálů: N = 20, odhad délky kanálů (pro výpočet Nusseltova kritéria): L = 1m, šířka kanálů: b = 0,15m, výška kanálů: h = 0,001m, tloušt ka přepážky: δ = 0,00025m, tepelná kapacita tekutiny A: c pa = 4180Jkg 1 K 1, tepelná kapacita tekutiny B: c pb = 4180Jkg 1 K 1, tepelná vodivost přepážky: λ = 47Wm 1 K 1. Celková entalpická bilance výměníku Q AB = ṁ B c pb (t B,e t B,i ) = ṁ A c pa (t A,i t A,e ), Q AB = (70 20) = (130 t A,e ). Řešení těchto rovnic získáme t A,e = 105 C, Q AB = W.

195 9.3. BILANCEDIFERENCIÁLNÍHOÚSEKUPROTIPROUDÉHOVÝMĚNÍKUTEPLA195 Vypočteme hybné síly prostupu tepla na jednom a druhém konci výměníku t 1 = t A,i t B,e = = 60K, t 2 = t A,e t B,i = = 85K. Vypočteme střední hybnou síly prostupu pomocí logaritmického průměru t ls = t 1 t 2 ln t 1 t 2 = ln = 71,78K. Výpočet součinitele přestupu tepla na straně teplejší tekutiny A Vypočteme ekvivalentní průměr pro tekutinu A. Jedná se o obdélníkový průtočný průřez rozměru b h = 0,15 0,001m 2. d A = 4S O = 4hb 2h+2b = 4 0,001 0,15 2 0, ,15 = 0,001987m. Vypočteme střední teplotu proudu A t A = (t A,i +t A,e )/2 = ( )/2 = 117,5 C. Při této teplotě nalezneme další fyzikálně-chemické vlastnosti tekutiny A. Tepelná vodivost tekutiny A: λ A = 0,6801Wm 1 K 1, viskozita tekutiny A: η A = 0, Pas, hustota tekutiny A: ρ A = 1000kgm 3. Při výpočtu střední rychlosti proudění tekutiny A musíme vzít v úvahu, že teplejší tekutina protéká pouze každým druhým kanálem (N/2) v A = ṁa (ρ A S A ) = ṁ A (ρ A hbn/2) = 2 (1000 0,001 0,15 20/2) = 1,333ms 1. Výpočet Prantlova kritéria na straně tekutiny A Pr A = η Ac pa 0, = = 1,46. λ A 0,6801 Výpočet Reynoldsova kritéria na straně tekutiny A Re A = d Av A ρ A 0, , = = 1, η A 0, Reynoldsovo číslo je větší než 10000, což znamená, že proudění je turbulentní. Pro výpočet Nusseltova kritéria je možno použít rovnici (8.68) Nu A = 0,023Re 0,8 A Pr0,4 A = 0,023 (1, ) 0,8 1,46 0,4 = 46,28. Výpočet součinitele přestupu tepla na straně tekutiny A α A = Nu Aλ A = 46,28 0,6801 d A 0, = 1, Wm 2 K 1.

196 196 KAPITOLA 9. VÝMĚNÍKY TEPLA Výpočet součinitele přestupu tepla na straně chladnější tekutiny B Ekvivalentní průměr pro tekutinu B je shodný s ekvivalentním průměrem pro tekutinu A, protože obě tekutiny procházejí kanálky o stejném průřezu. d B = d A = 0,001987m. Vypočteme střední teplotu proudu B t B = (t B,i +t B,e )/2 = (20+70)/2 = 45 C. Při této teplotě nalezneme další fyzikálně-chemické vlastnosti tekutiny B. Tepelná vodivost tekutiny B: λ B = 0,6369Wm 1 K 1, viskozita tekutiny B: η B = 0, Pas, hustota tekutiny B: ρ B = 1000kgm 3. Vypočteme střední rychlosti tekutiny B v B = ṁb (ρ B S B ) = ṁ B (ρ B hbn/2) = 1 (1000 0,001 0,15 20/2) = 0,6667ms 1. Hodnota Prantlova kritéria na straně tekutiny B činí Pr B = η Bc pb 0, = = 3,915, λ B 0,6369 a hodnota Reynoldsova kritéria na straně tekutiny B je Re B = d Bv B ρ B = 0, , = η B 0, Reynoldsovo číslo je menší než Proudění je laminární a pro výpočet Nusseltova kritéria použijeme rovnice (8.64) a (8.65). Nejprve spočteme Graetzovo kritérium Gz B = Re B Pr B d B L = ,9150, = 17,27 a poté Nusseltovo kritérium Nu B = 3,66+ 0,19Gz0,8 B 0,117Gz 0,467 B = 3,66+ 0,19 17,27 0,8 1+0,117 17,270,467 = 4,947. Při výpočtu jsme byli nuceni dosadit dosud neznámou hodnotu délky desek výměníku. Použili jsme proto náš odhad L = 1, který bude pravděpodobně nutno později zpřesnit. Hodnota součinitele přestupu tepla na straně tekutiny B je α B = Nu Bλ B = 4,947 0,6369 d B 0, Výpočet součinitele prostupu tepla = 1586Wm 2 K 1. Koeficient prostupu tepla vypočteme z rovnice (8.88) 1 1 K = 1 + δ α A λ + 1 = 1 α B 1, , = 1430Wm 2 K

197 9.4. ÚLOHY 197 Výpočet teplosměnné plochy výměníku Pro výpočet celkové teplosměnné plochy deskového výměníku použijeme vztah A = Q AB K t ls = 2, ,78 = 2,036m2. Délka desek výměníku a tedy i délka samotného výměníku je dána podílem celkové teplosměnné plochy, šířky kanálku a počtu desek (N 1) L = A b(n 1) = 2,036 0,15 (20 1) = 0,7142m. Vypočtená délka je jiná než její odhad. Proto budeme iteračně opakovat ty části výpočtu, které na délce závisí, dokud nedojdeme k přiměřeně přesné shodě řádu jednotek procent. Většinou stačí jedna iterace. Reynoldsovo číslo je menší než 2300, proudění je laminární, vypočteme postupně Graetzovo kritérium, Nusseltovo kritérium, koeficient přestupu tepla na straně tekutiny B, koeficient prostupu tepla, celkovou teplosměnnou plochu a nakonec opět délku výměníku Gz B = Re B Pr B d B L = ,9150, ,7142 = 24,18 Nu B = 3,66+ 0,19Gz0,8 B 0,117Gz 0,467 B α B = Nu Bλ B = 5,261 0,6369 d B 0, K = = 3,66+ 0,19 24,18 0,8 1+0,117 24,180,467 = 5,261. = 1686Wm 2 K δ α A λ + 1 = 1 α B 1, , A = Q AB K t ls = 2, ,78 = 1,926m2. L = A b(n 1) = 1,926 0,15 (20 1) = 0,6758m. = 1512Wm 2 K 1. Výsledek: Tepelný tok výměníkem je 2, W a délka výměníku je 0,676m. 9.4 Úlohy U9.1 Vypočtěte velikost teplosměnné plochy deskového výměníku tepla, v němž se má ochlazovat olej (hmotn. tok 2 kg s 1 ) z teploty 65 C na 25 C. Jako chladicí médium se používá voda, která vstupuje s teplotou 20 C a odchází s teplotou 40 C. Součinitel prostupu tepla je 180 W m 2 K 1, měrná tepelná kapacita oleje je J kg 1 K 1. Výsledek: Velikost teplosměnné plochy výměníku je 71,5 m 2.

198 198 KAPITOLA 9. VÝMĚNÍKY TEPLA U9.2 Do protiproudého kondenzátoru se přivádí páry čistého ethanolu při teplotě 78 C. Veškerá pára zkondenzuje a kondenzát se ochladí na 20 C. Do kondenzátoru se přivádí 0,28 kg s 1 chladicí vody, která se ohřeje z 10 C na 65 C. Koeficient prostupu tepla je při kondenzaci 1400 W m 2 K 1 a při chlazení 230 W m 2 K 1. Vypočtěte výkon výměníku, vyjádřený v kilogramech kondenzátu za hodinu, a velikost teplosměnné plochy. (Předpokládejte, že výměník si lze pro výpočet představit rozdělený na dvě části, v jedné probíhá pouze kondenzace a ve druhé pouze chlazení kondenzátu.) Výsledek: Zkondenzuje 223 kg h 1 ethanolu a potřebná teplosměnná plocha je 2,74 m 2. U9.3 V protiproudém deskovém výměníku tepla se horkými spalinami (hmotnostní tok 1,2 kgs 1 ) předehřívá vzduch pro provozní sušárnu. Výměník se skládá z desek obdélníkového tvaruorozměrech mm 2,vyrobenýmizocelovéhoplechutloušt ky0,3mm.vzdálenost mezi deskami (tj. výška průtočného kanálu) je 4 mm. Jednotlivými kanály protéká střídavě ohřívaný vzduch (každým lichým kanálem) a horké spaliny (každým sudým kanálem). Spaliny vstupují při teplotě 800 K a vystupují s teplotou o 120 K nižší, ohřívaný vzduch vstupuje při teplotě 20 C, požadovaná teplota na výstupu je 80 C. Střední hodnoty měrných tepelných kapacit jsou pro spaliny 1040 J kg 1 K 1 a pro vzduch 1005 J kg 1 K 1. Výrobce udává střední hodnotu součinitele prostupu deskou výměníku 38 W m 2 K 1. Vypočtěte: a) z kolika desek se skládá teplosměnná plocha výměníku tepla, b) jaký bude hmotnostní tok ohřátého vzduchu, a c) o kolik % se sníží produkce ohřátého vzduchu, usadí-li se na deskách nečistoty ze spalin vytvářející přídavný tepelný odpor R = δ/λ = m 2 KW 1. Výsledek: a) Teplosměnná plocha výměníku je tvořena 40 deskami, b) výměník bude produkovat 2,48 kgs 1 ohřátého vzduchu, c) produkce ohřátého vzduchu poklesne o 22,3%. U9.4 Čerstvé mléko (hmotn. tok 2 kgs 1 ) se před pasterací předehřívá v protiproudém deskovém výměníku tepla z teploty 20 C na teplotu 60 C. K ohřevu se využívá tepla již zpracovaného mléka, které vstupuje do výměníku při teplotě 75 C a jehož hmotnostní tok je stejný jako u mléka před pasterací (tj. 2kgs 1 ). Průtočný průřez mezi deskami výměníku má rozměry mm 2, tepelný odpor kovové stěny desky a ztráty tepla do okolí lze zanedbat. U ohřívaného i ochlazovaného mléka lze se zanedbatelnou chybou použít středních hodnot následujících veličin: hustota 1020kgm 3, kinematická viskozita 8, m 2 s 1, měrná tepelná kapacita 3, Jkg 1 K 1, tepelná vodivost 0,546Wm 1 K 1. Vypočtěte teplotu ochlazeného mléka na výstupu a celkovou potřebnou teplosměnnou plochu. Výsledek: Pasterované mléko se ochladí na 35 C, teplosměnná plocha výměníku bude 7,1m 2. U9.5 V předehřívači typu trubka v trubce se ohřívá 0,25 kg s 1 benzenu z 20 C na 80 C sytou vodní parou o tlaku 0,12 MPa. Benzen protéká ocelovou trubkou o vnitřním průměru 20 mm a vnějším průměru 24 mm. Koeficient přestupu tepla na straně benzenu je 1, Wm 2 K 1,nastraněpáry Wm 2 K 1.Vypočtěte spotřebupáryadélkuvýměníku. Výsledek: Spotřeba páry je 0,012 kg s 1 a délka výměníku je 6,4 m. U9.6 Ve výměníku tepla typu trubka v trubce se chladí reakční směs o průtoku 0,1kgs 1 z teploty 150 C nateplotu 80 C pomocí chladicí vody. Reakční směs protéká vnitřní ocelovou trubkou o vnějším průměru 25 mm a tloušt ce stěny 2 mm. Voda o průtoku 1 kg s 1 protéká mezitrubkovým prostorem. Vnitřní průměr vnější trubky je 50 mm. Ztráty tepla do okolí jsou zanedbatelné. Vstupní teplota vody je 15 C. Koeficient přestupu tepla uvnitř vnitřní trubky je 1000Wm 2 K 1. Střední měrná tepelná kapacita reakční směsi je 2 kj kg 1 K 1. Střední měrná tepelná kapacita vody je 4,2 kj kg 1 K 1. Vypočtěte celkový tepelný tok, výstupní

199 9.4. ÚLOHY 199 teplotu chladicí vody, koeficient přestupu tepla na straně chladicí vody, délkový koeficient prostupu tepla a délku výměníku. Výsledek: Celkový tepelný tok je 14kW, výstupní teplota chladicí vody je 18,3 C, koeficient přestupu tepla na straně chladicí vody je 2792Wm 2 K 1, délkový koeficient prostupu tepla je 49,2Wm 1 K 1, délka výměníku je 3.0m. U9.7 V protiproudém svazkovém výměníku tepla se chladí 1,7 kg s 1 oleje o měrné tepelné kapacitě 2, J kg 1 K 1 z teploty 90 C na 20 C. Olej protéká mezitrubkovým prostorem. Chladicí voda vstupuje při teplotě 15 C a prochází svazkem 37 trubek o vnitřním průměru 25 mm a vnějším průměru 32 mm. Svazek je dlouhý 6 m. Hmotnostní průtok chladicí vody je 2 kg s 1. Vypočtěte délkový koeficient prostupu tepla. Výsledek: Délkový koeficient prostupu tepla je 80 W m 1 K 1. U9.8 V protiproudém svazkovém výměníku tepla se chladí reakční směs o průtoku 1 kg s 1 z teploty 150 C na teplotu 80 C chladicí vodou. Svazek se skládá ze sedmi vnitřních trubek. Reakční směs protéká vnitřními ocelovými trubkami o vnějším průměru 25 mm a tloušt ce stěny 2mm. Střední měrná tepelná kapacita reakční směsi je 2kJkg 1 K 1. Vnitřní průměr pláště výměníku je 150 mm. Voda protéká mezitrubkovým prostorem. Střední měrná tepelná kapacita vody je 4,2kJkg 1 K 1. Ztráty tepla do okolí jsou zanedbatelné. Vstupní teplota vody je 15 C. Výstupní teplota vody je 25 C. Koeficient přestupu tepla na straně reakční směsi je 1000Wm 2 K 1. Vypočtěte celkový tepelný tok teplosměnnou plochou, hmotnostní průtok chladicí vody, koeficient přestupu tepla na straně chladicí vody, koeficient prostupu tepla a délku výměníku. Výsledek: Celkový tepelný tok je 140kW, hmotnostní průtok chladicí vody je 3,333kgs 1, koeficient přestupu tepla nastraně chladicí vody je 1057Wm 2 K 1, koeficient prostuputepla je 36,0Wm 1 K 1 a délka výměníku je 6,06m.

200 Kapitola 10 Odparky Igor Schreiber, Petr Kočí Odpařování je proces, při kterém se těkavá kapalina, ve které jsou rozpuštěny popř. dispergovány netěkavé složky, odpařuje a tím se koncentrace netěkavých složek ve směsi zvyšuje. Účelem může být jak zahuštění směsi, tak i získání těkavé kapaliny. Těkavá kapalina může obsahovat více složek, ale obvykle je tvořena jednou složkou. Touto složkou je nejčastěji voda, může to však být i organické rozpouštědlo. Směs má často charakter roztoku, např. solí ve vodě, ale může se jednat i o emulzi, např. při zahušt ování mléka. Základním procesem při odpařování je sdílení tepla. Příklady využití tohoto procesu jsou zahušt ování roztoků solí ve většině anorganických výrob, jako např. výroba koncentrovaných kapalných hnojiv, nebo výroba koncentrované kyseliny fosforečné, zahušt ování cukerné št ávy a výroba ovocných št áv. Získávat lze také rozpouštědla, jako je tomu při získávání destilované nebo demineralizované vody. Odpařování se běžně provádí varem kapaliny za atmosférického tlaku, často také při sníženém tlaku, aby se zabránilo tepelnému rozkladu netěkavých složek, někdy i při zvýšeném tlaku. Kromě varu je také možné využít volného odpařování z hladiny (solivary). Při výraznějším zahuštění může nastat i krystalizace, a proto zařízení pro odpařování a krystalizaci jsou si konstrukčně podobná Odpařovací zařízení Zařízení, které je určeno k průmyslovému odpařování varem se nazývá odparka. Rozlišují se odparky s cirkulací směsi (volnou, nucenou; vnitřní, vnější) a bez cirkulace filmové odparky. Odparky mohou být jednočlenné nebo vícečlenné. Nejčastěji jsou to průtočná zařízení, mohou však být i vsádková. Základní částí jednočlenné odparky je vlastní těleso odparky s přívodem kapalné směsi a odvodem vzniklých par nazývaných brýdové páry. Na výstupu brýdových par jsou instalovány lapače kapek unášených vzniklou parou. Topná soustava může být instalována uvnitř, ve stěně, nebo vně tělesa odparky. K topení se obvykle používá vodní pára. V jedné z možných variant odparek(obr. 10.1) se brýdové páry vedou do kondenzátoru, což je tepelný výměník, kde odvodem tepla do chladicí kapaliny vzniká kondenzát brýdových par. Při kondenzaci se snižuje tlak. Pokud vzniká podtlak vůči okolí, je odvod kondenzátu zajištěn čerpadlem nebo hydraulickým uzávěrem (barometrickou trubkou). Nekondenzovatelné plyny musí být odváděny pomocí vývěvy. V jiné variantě odparky brýdová pára nekondenzuje, ale je odváděna čerpadlem, a její entalpie se využívá k předehřívání vstupního roztoku, k vytápění dalšího členu odparky nebo i téhož členu. Existuje řada konstrukčních řešení odparek. Na obr je schéma Robertovy odparky, 200

201 10.1. ODPAŘOVACÍ ZAŘÍZENÍ 201 Obr.10.1: Robertova odparka s hydraulickým uzávěrem. R 0 vstupující kapalná směs, R 1 vystupující kapalná směs, P přívod topné páry, K P odvod kondenzátu topné páry, C přívod chladicí kapaliny (vody), K B odvod kondenzátu brýdových par společně s chladicí kapalinou v níž probíhá samovolná cirkulace odpařované směsi vyvolaná rozdílem hustot směsi v úzkých ohřívaných trubkách, kde dochází k odpařování, a kapaliny v širší cirkulační trubce. S ohledem na úsporu energie by namísto kondenzace brýdových par mohlo být použito tepelného čerpadla ke stlačení a zvýšení teploty brýdových par, které se pak dají použít k dalšímu odpařování. Robertova odparka se pro svoji jednoduchost často používá v praxi. Ke zvětšení teplosměnné plochy lze topnou soustavu uložit šikmo. Vyšší intenzity proudění a tím zvýšení účinnosti přenosu tepla lze dosáhnout nucenou vnitřní cirkulací, např. pomocí vestavěného axiálního čerpadla. Jinou variantou účinnějšího přenosu tepla je odparka s nucenou vnější cirkulací roztoku, kde topná pára předává teplo směsi suroviny a recirkulované kapaliny ve výměníku tepla vyčleněném z odparky. Kestnerova odparka na obr. 10.2a je příkladem zařízení s filmem kapaliny, kde se dosahuje intenzivního odpařování a krátké doby zdržení, protože nedochází k cirkulaci. Směs se přivádí do dolní části topné soustavy tvořené svazkem tenkých a dlouhých svislých trubek. Vznikající pára o velkém objemovém průtoku proudí vzhůru vlivem podtlaku v horní části a vyvolává souproudý pohyb roztoku po vnitřních stěnách trubek v důsledku třecích sil (tzv. šplhající film). Oddělení páry od kapaliny se uskutečňuje v cyklónovém separátoru. V zařízení se stékajícím filmem (Luwa) na obr. 10.2b stéká kapalina po vnitřním povrchu trubky a film je udržován a promícháván svislými otáčejícími se lopatkami dosahujícími téměř ke stěně. Toto uspořádání je důležité hlavně u velmi viskózních kapalin ke zvýšení součinitele přestupu tepla na straně kapalin, kde je soustředěn odpor proti sdílení tepla. Rychlý průchod roztoku oběma typy filmových odparek umožňuje zahušt ování termolabilních směsí, a jsou proto používány v potravinářství, např. při zahušt ování ovocných št áv. Ve vícečlenné odparce je možné docílit snížení spotřeby topné páry tím, že se brýdová pára vzniklá v jednom členu použije jako topná pára v dalším členu. Nejčastěji se používá souproudého a protiproudého uspořádání, viz obr V případě souproudu kapalná

202 202 KAPITOLA 10. ODPARKY Obr.10.2: a) Kestnerova odparka se šplhajícím filmem, b) odparka Luwa se stékajícím filmem. R 0 vstupujícíkapalnásměs,r 1 vystupujícíkapalnásměs,p přívodtopnépáry,k P odvod kondenzátu topné páry, B odvod brýdových par směs proudí ve směru poklesu tlaku, proto na rozdíl od protiproudu nemusí být mezi členy použita čerpadla. U protiproudu je však větší úspora topné páry. Lze použít také křížového uspořádání (tj. čerstvá surovina je přiváděna do každého stupně), které je vhodné tehdy, když dochází k vylučování krystalů. Zahušt ovaný roztok při průchodu stupni zvyšuje svoji viskozitu a tím se snižuje součinitel prostupu tepla, protože ten prostřednictvím přestupu tepla na straně kapaliny významně závisí na hodnotě Reynoldsova kritéria, které je nepřímo úměrné viskozitě kapaliny. U odparek s cirkulací tedy v prvním členu mnohdy postačí samovolná cirkulace, ale v následných členech kaskády je třeba použít nucené cirkulace kapaliny; případně lze v kaskádě použít odparek filmových. Výhodou protiproudu oproti souproudu v tomto ohledu je relativně vyšší teplota (a tedy nižší viskozita) v členech na konci kaskády. Volba typu odparek a uspořádání vícečlenu závisí na účelu použití a počet členů je dán ekonomickou kalkulací provozních a investičních nákladů (optimální počet členů nebývá vysoký, typicky tři až pět). Obr. 10.3: Běžné způsoby uspořádání tříčlenné odparky: a) souproud, b) protiproud

203 10.2. VÝPOČET JEDNOČLENNÉ ODPARKY Výpočet jednočlenné odparky V dalším se budeme zabývat výpočtem kontinuální jednočlenné odparky cirkulačního typu s kondenzátorem brýdových par. Přijmeme následující předpoklady: 1. Vstupující i vystupující kapalina je roztok netěkavé látky v těkavém rozpouštědle. 2. Ve varném prostoru dochází k ideálnímu promíchávání, tj. vlastnosti roztoku jsou všude stejné. 3. K topení se používá nasycená (rovnovážná) vodní pára a její kondenzát opouští topnou soustavu při teplotě kondenzace. 4. Brýdová pára je čisté rozpouštědlo zbavené kapek roztoku, v kondenzátoru zkapalní a kondenzát je odváděn při teplotě kondenzace. Měrná entalpie brýdové páry odcházející z varného prostoru je se zanedbatelnou chybou rovna měrné entalpii nasycených par při teplotě roztoku. Páry v kondenzátoru jsou nasycené. 5. Chladicí tekutina používaná ke kondenzaci brýdových par nemění svoje skupenství. 6. Odparka pracuje v ustáleném stavu a tepelné ztráty jsou zanedbatelné. U filmových odparek neplatí 2. předpoklad, avšak lze jej nahradit předpokladem pístového toku, který umožňuje použít vztahy pro trubkový výměník tepla. Předmětem výpočtu je obvykle množství zahuštěného roztoku na výstupu z odparky, množství brýdové páry, spotřeba topné páry, spotřeba chladicí tekutiny, teplosměnná plocha vařáku, popř. teplosměnná plocha kondenzačního výměníku. Hmotnostní a tepelné toky lze určit pomocí bilancí hmotnosti a entalpie, teplosměnné plochy pomocí rovnic prostupu tepla (tj. rychlostních rovnic). Hmotnostní a entalpická bilance Bilanční schéma je uvedeno v obr Varný prostor 1, vařák V a kondenzátor K jsou vyznačeny jako samostatné bilanční uzly. Složení vstupujícího, popř. vystupujícího roztoku je vyjádřeno pomocí hmotnostních zlomků netěkavé složky w 0, popř. w 1. Příslušné hmotnostní průtoky jsou ṁ R0 a ṁ R1. Hmotnostní průtok brýdové páry na výstupu z varného prostoru je totožný s hmotnostním průtokem na vstupu do kondenzátoru, ṁ B1 = ṁ BK, což však zcela neplatí pro odpovídající měrné entalpie v důsledku určitého poklesu tlaku proudící páry (pára C 0 R0 w, h R 0 1 = B1 h B 1 = R1 w, h 1 R1 BK h BK h Ci K C h Ce BK h BK P P V h P h P Obr. 10.4: Bilanční schéma jednočlenné odparky s kondenzátorem

204 204 KAPITOLA 10. ODPARKY při nižším tlaku má nižší teplotu a tedy i entalpii). U topné páry P, resp. chladicí kapaliny C, se předpokládá stejný hmotnostní průtok ṁ P, resp. ṁ C, na vstupu a výstupu. Roztok je dvousložkový, a tedy pro jednočlennou odparku lze zapsat dvě nezávislé rovnice bilance hmotnosti. Je výhodné zapsat celkovou bilanci, ṁ R0 = ṁ R1 +ṁ B1, (10.1) a bilanci netěkavé složky, ṁ R0 w 0 = ṁ R1 w 1. (10.2) Z těchto rovnic můžeme určit dvě neznámé. Např. jsou-li zadány vlastnosti suroviny a požadované složení zahuštěného roztoku, neznámými jsou hmotnostní průtok brýdových par ṁ B1 a hmotnostní průtok vystupujícího roztoku ṁ R1. Pokud budeme předpokládat, že tepelné ztráty jsou zanedbatelné, bilance entalpie varného prostoru je ṁ R0 h R0 + Q V = ṁ R1 h R1 +ṁ B1 h B1, (10.3) kde h R0 a h R1 jsou měrné entalpie roztoku na vstupu a výstupu, a h B1 je měrná entalpie brýdové páry. Měrnou entalpii roztoku h R určíme pomocí metod uvedených v kapitole 7 pro neideální dvousložkovou směs: h R = [wc ps +(1 w)c pr ](t R t ref ) + w h rozp, (10.4) }{{}}{{} teplotní příspěvek směšovací př. kde t R je teplota roztoku v C, w je hmotnostní zlomek rozpuštěné netěkavé složky, c ps je měrná tepelná kapacita netěkavé látky v pevném stavu, c pr je měrná tepelná kapacita kapalného rozpouštědla (obě tepelné kapacity jsou při střední teplotě t R = (t R + t ref )/2) a h rozp je měrná integrální rozpouštěcí entalpie (vztažená na 1 kg rozpuštěné látky). Z kapitoly 7 víme, že za h rozp bychom měli dosazovat hodnotu při aktuální teplotě t R. Teplotní závislost rozpouštěcí entalpie však není pro naprostou většinu látek tabelována. Proto nezbývá, než se spokojit s aproximací v podobě h rozp standardně tabelované při 25 C. Entalpii brýdové páryh B1 (čistá složka) vypočítáme napříkladdosazením dorovnice(7.41) h B1 = c pr (T B1 T ref ) + h výp,r, (10.5) }{{}}{{} teplotní příspěvek skupenský př. kde c pr je měrná tepelná kapacita kapalného rozpouštědla při střední teplotě t B1 = (t B1 + t ref )/2 a h výp,r je měrná výparná entalpie rozpouštědla při teplotě t B1. U bilancování odparek se obvykle používá jako referenční skupenství kapalina pro rozpouštědlo a stabilní pevná fáze pro netěkavou složku. Referenční teplota se často z historických důvodů volí t ref = 0 C. Hlavní motivací pro tuto volbu je fakt, že v některých tabulkách (např. Holeček, 2001) lze s tímto referenčním stavem nalézt pro vodu, jakožto nejběžnější rozpouštědlo, přímo měrné entalpie kapaliny i páry v závislosti na teplotě. Pokud je tedy rozpouštědlo voda a zvolili jsme t ref = 0 C, je možné místo dosazování do rovnice (10.5) odečíst hodnotu h B1 z tabulek v závislosti na t B1. V takovém případě však pro vyčíslení měrných entalpii proudů h R0 a h R1 (vstupující a vystupující roztok) potřebujeme měrné tepelné kapacity rozpouštědla i rozpuštěné látky při dvou různých středních teplotách t R0 = (t R0 +t ref )/2 a t R1 = (t R1 +t ref )/2. Pokudsimístotohozvolíme jakoreferenčníteplotut ref = t R0 (teplota roztokuvstupujícího do odparky), pak teplotní příspěvek k měrné entalpii roztoku h R0 v rovnici (10.4) budenulový

205 10.2. VÝPOČET JEDNOČLENNÉ ODPARKY 205 a zbyde pouze příspěvek rozpouštěcí entalpie, čímž se výpočet zjednoduší (nemusíme hledat měrné tepelné kapacity při teplotě t R0 ). Pak už ovšem nemůžeme pro h B1 využít tabelované měrné entalpie vodní páry a musíme h B1 vypočitat z rovnice (10.5). Pokud je rozpouštědlem jiná kapalina než voda, musíme rovnici(10.5) použít vždy, nezávisle na volbě referenční teploty. Z rovnice (10.3) lze vypočítat tepelný tok Q V a dále pomocí entalpické bilance vařáku Q V = ṁ P (h P h P ) = ṁ P h výp,p (10.6) lze určit spotřebu topné páry ṁ P. Za uvedených předpokladů rozdíl měrné entalpie topné páryakondenzátu označený h výp,p vposlednírovnici představujeměrnouvýparnouentalpii topné páry. Zbývající bilance entalpie kondenzátoru slouží k určení spotřeby chladicí kapaliny ṁ C a lze ji výhodně zapsat v rozdílovém tvaru, ṁ BK (h BK h BK ) }{{} h výp,b = ṁ C (h Ce h }{{ Ci) = } Q K, (10.7) c pc (t e t i ) kde, podle předpokladu o sytosti kondenzujících par, h výp,b je měrná výparná entalpie brýdové páry za podmínek v kondenzátoru a přírůstek měrné entalpie chladicí kapaliny je vyjádřen pomocí rozdílu teplot a střední měrné tepelné kapacity chladicí kapaliny c pc. Při tomobarozdílovéčleny představujítepelnýtok Q K přesteplosměnnouplochuvkondenzátoru. Rozložení teplot Abychom mohli použít entalpickou bilanci varného prostoru (10.3) a kondenzátoru (10.7) k určení tepelných toků, potřebujeme znát měrné entalpie materiálových proudů, a tedy také teploty těchto proudů. Dále potřebujeme znát některé teploty k určení teplosměnné plochy. Je tedy nezbytná znalost rozložení teplot v odparce, viz obr Nejvyšší teplotu t P má topná pára, což umožňuje transport tepla z vařáku do varného prostoru. Podle uvedených předpokladů je topná pára nasycená, a tedy její teplotu i entalpii lze určit podle jejího tlaku p P z parníchtabulek. Teplota ve varném prostorut R1 odpovídákoncentraci netěkavé látky w 1, která je v důsledku předpokladu ideálního promíchávání stejná všude uvnitř varného prostoru a na výstupu z něj. Tuto teplotu určíme ze vztahu t R1 = t R1 + t e + t h, (10.8) t t P t R1 t B1 t o R1 t K t t t h t 1 e p p p p K 1 P Obr. 10.5: Rozložení teploty a tlaku v odparce (od topné páry po brýdovou páru v kondenzátoru). Proces probíhá ve směru poklesu obou veličin p

206 206 KAPITOLA 10. ODPARKY 25 te/ K dusicnan sodny 2 - hydroxid sodny 3 - hydroxid draselny 4 - chlorid amonny 5 - chlorid horecnaty 6 - chlorid sodny 7 - chlorid vapenaty 8 - uhlicitan sodny ,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 W Obr.10.6: Teplotní elevace t e pro určení teploty varu vodných roztoků některých anorganických látek v závislosti na jejich relativním hmotnostním zlomku W kde t R1 je teplota varu čistého rozpouštědla při tlaku p 1 nad hladinou roztoku v odparce. K této teplotě je třeba přičíst korekci t e na přítomnost rozpuštěné látky (teplotní elevace). Teplotní elevace mohou být někdy zanedbatelně malé, avšak například u roztoků solí ve vodě jsou značné, viz obr Korekci t h na zvýšení bodu varu vlivem tlaku hydrostatického sloupce ve střední hloubce topné soustavy pod hladinou většinou zanedbáváme (výjimkou je vysoká hladina roztoku v odparce). Teplota brýdové páry se pak rovná teplotě roztoku v odparce t B1. = tr1. (10.9) Teplota t R1 tak slouží nejen k určení měrné entalpie roztoku h R1, ale i k určení entalpie brýdové páry h B1. 1 Po určení t R1 z (10.8) můžeme vypočítat účinný teplotní rozdíl t P t R1 = t 1, (10.10) který představuje hybnou sílu prostupu tepla a je důležitý pro výpočet teplosměnné plochy. Brýdová pára v kondenzátoru se při výpočtu považuje za sytou a její měrná entalpie h BK se určuje za podmínekvkondenzátoru, kde tlak p K je nižší než ve varném prostoru v důsledku 1 Ve skutečnosti je brýdová pára v odparce přehřátá o teplotní elevaci t e oproti syté páře při tlaku p 1, její entalpii lze však s malou chybou nahradit entalpií syté páry při t R1. Entalpie brýdové páry se tradičně aproximuje entalpií syté páry při t R1, avšak ani entalpie syté páry odečtená při tlaku v odparce p 1, a tedy odpovídající teplotě t R1, nevnáší do výpočtu velkou chybu.

207 10.2. VÝPOČET JEDNOČLENNÉ ODPARKY 207 tlakových ztrát ve spojovacím potrubí. Tomu odpovídá poněkud nižší teplota kondenzace t K než je hodnota t R1, a tedy t K = t R1 t p. (10.11) Obvykle se předpokládá pokles teploty t p 1,5 K. Při výpočtu je typicky zadán tlak v kondenzátoru (popř. ve varném prostoru), a ponalezení příslušné teploty nasycené páry t K (popř. t R1 ) pomocí tabulek pro sytou páru lze z rov. (10.11) určit druhou z uvažovaných teplot. Sečtením rovnic (10.8), (10.10) a odečtením (10.11) získáme výraz pro celkový rozdíl teplot t P t K = t 1 + t e + t h + t p }{{} neúčinný teplotní rozdíl (10.12) jako součet účinného teplotního rozdílu t 1 a neúčinného teplotního rozdílu, který je dán součtem elevační, hydrostatické a tlakové korekce, viz obr Teplosměnná plocha Výpočet plochy tepelné výměny ve vařáku se opírá o rovnici prostupu tepla v příslušném typu výměníku tepla, viz kap. 9. V případě odparky je situace jednoduchá: na jedné straně tepelně vodivé přepážky dochází ke kondenzaci topné páry, na druhé k varu roztoku. Příslušné teploty t P a t R1 jsou tedy konstantní a rovněž tak jejich rozdíl t 1, který představuje hybnou sílu prostupu tepla. Rovnice prostupu pak má jednoduchou formu Q V = K 1 t 1 A, (10.13) odkud lze vypočítat teplosměnnou plochu vařáku A. K tomu potřebujeme znát součinitel prostupu tepla K 1 (lze určit metodami uvedenými v kapitole 8), účinný teplotní rozdíl t 1, který určíme pomocí (10.8) a (10.10) a tepelný tok ve vařáku Q V, který určíme z entalpické bilance varného prostoru (10.3). Teplosměnnou plochu kondenzačního výměníku vypočteme obdobným způsobem. Rovnice prostupu tepla však bude mít poněkud jiný tvar, protože teplota chladicí kapaliny se podél výměníku bude měnit (předpokládáme, že kapalina se ohřívá ale neodpařuje), a tedy je nutné použít logaritmickou střední hybnou sílu, viz kap. 9. Příklad P10.1 Bilance jednočlenné odparky V provozní hale je umístěna jednočlenná odparka, ve které se odpařuje 760 kgh 1 vodného roztoku NaOH o teplotě 30 C z koncentrace 15 % hmot. na 25 % hmot. Tlak v odparce je 0,1013 MPa. V odparce se topí nasycenou parou o tlaku 0,3 MPa a kondenzát se odvádí při teplotě kondenzace. Topná plocha je 20,7 m 2. Tepelné ztráty z pláště odparky do okolí jsou zanedbatelné, stejně jako hydraulická korekce teploty. Měrnou tepelnou kapacitu vody považujte za konstantní a rovnou 4, Jkg 1 K 1. Vypočítejte: a) hmotnostní průtok zahuštěného roztoku a brýdové páry, b) hmotnostní průtok topné páry, c) koeficient prostupu tepla u topné soustavy. Zadáno: Hmotnostní tok vstupujícího roztoku ṁ R1 = 760 kg h 1, teplota roztoku na vstupu t R0 = 30 C, hmotnostní zlomek netěkavé látky na vstupu w 0 = 0,15, hmotnostní zlomek netěkavé látky na výstupu w 1 = 0,25, tlak nad hladinou roztoku p 1 = 0,1013 MPa, tlak topné páry p P = 0,3 MPa, teplosměnná plocha vařáku A = 20,7 m 2, měrná tepelná kapacita rozpouštědla c pr = 4, J kg 1 K 1.

208 208 KAPITOLA 10. ODPARKY Řešení: Průtoky zahuštěného roztoku ṁ R1 a brýdové páry ṁ B1 vypočteme z celkové a složkové hmotnostní bilance odparky (10.1) a (10.2). K určení potřebného množství topné páry ṁ P i koeficientu prostupu tepla K 1 musíme nejdříve znát tepelný tok dodaný topnou parou z vařáku Q V. Ten vypočteme pomocí entalpické bilance odparky (10.3), kde měrné entalpie roztoku na vstupu h R0 a výstupu h R1 vypočteme podle vztahu (10.4). Integrální rozpouštěcí entalpie při 25 C nalezneme v E-tabulkách (Jahoda a kol., 2016), anebo v knižním vydání chemicko-inženýrských tabulek (Holeček, 2001, tab. VIII-1). V ideálním případě bychom měli použít rozpouštěcí entalpie při teplotách t R0 a t R1, protože však nejsoukdispozici,spokojímesesaproximacípřiteplotě25 C.Proentalpickou bilancisenabízí dvě vhodné volby referenční teploty: t ref = t R0, nebo t ref = 0 C, viz diskuze v textu pod rovnicí (10.5). Zde si ukážeme postup pro volbu t ref = 0 C. V takovém případě vyčíslujeme měrné tepelné kapacity rozpuštěné pevné látky při dvou různých teplotách t R0 = (t R0 + t ref )/2 a t R1 = (t R1 + t ref )/2. Pokud jsou tabelovány molární tepelné kapacity c p(mol), přepočteme je podle rovnice (7.23) na měrné tepelné kapacity c p(měr) podělením molární hmotností (pozor na základní jednotky, zde M NaOH = kg mol 1 ). Teplotu varu zahušt ovaného roztoku t R1 určíme ze vztahu (10.8), v němž teplotu varu čistého rozpouštědla při tlaku p 1 nalezneme v tabulkách (např. Holeček, 2001, tab. II-1) t R1 = 100 C, teplotní elevaci t e = 12 C odečteme z grafu na obr. 10.6, případně z tabulek (Holeček, 2001, rov. XIII-1 a tab. XIII-3), a hydraulickou korekci teploty t h zanedbáme. Při znalosti tepelného toku dodaného topnou parou z vařáku Q V již snadno dosazením do entalpické bilance vařáku (10.6) vypočteme potřebné množství topné páry. Výparnou entalpii a teplotu syté topné páry při tlaku p P = 0,3 MPa najdeme v tabulkách (např. Holeček, 2001, tab. II-1): h výp,p = 2162,4 J kg 1, t P = 134,0 C. Konečně koeficient prostupu tepla K 1 určímezrovniceprostuputepla(10.13),kdeúčinný teplotní rozdíl t 1 jedánvztahem (10.10). Pro hmotnostní průtok zahuštěného roztoku ṁ R1 a brýdové páry ṁ B1 z uvedených hmotnostních bilancí plyne: ṁ R0 = ṁ R1 +ṁ B1, w 0 ṁ R0 = w 1 ṁ R1, 760 = ṁ R1 +ṁ B1, 0, = 0,25ṁ R1, ṁ R1 = 456 kgh 1, ṁ B1 = 304 kgh 1. Střední teplota t R0 je t R0 = t R0 +t ref 2 = = 15 C a měrná tepelná kapacita c ps0 při této teplotě je například podle korelace VII-3 pro NaOH v tabulkách (Holeček, 2001) 2 c ps0 = a+b T R0 +c T R0 2 M NaOH = 7,34+125, ,15+13, , = 1, Jkg 1. Alternativně lze přímo nalézt hodnotu c ps0 pro NaOH při střední teplotě t R0 v E-tabulkách (Jahoda a kol., 2016). V obecném případě bychom dále hledali v tabulkách měrnou tepelnou 2 Všimněme si, že uvedená korelace vyžaduje dosazení teplot v jednotkách K a poskytuje molární tepelnou kapacitu, kterou je nutno přepočítat na měrnou.

209 10.2. VÝPOČET JEDNOČLENNÉ ODPARKY 209 kapacitu kapalného rozpouštědla při střední teplotě t R0, v tomto příkladu však bylo přímo zadáno c pr0 = 4, Jkg 1 K 1. Tabelovaná integrální rozpouštěcí entalpie pro NaOH při w 0 = 0,15 (vstupující roztok) je h rozp,0 = 1, J kg 1 (Jahoda a kol., 2016; Holeček, 2001, tab. VIII-1). Měrná entalpie roztoku na vstupu je pak podle rovnice (10.4) 3 h R0 = [w 0 c ps0 +(1 w 0 )c pr0 ](t R0 t ref )+w 0 h rozp,0 = [ 0,15 1, (1 0,15) 4, ] (30 0) 0,15 1, = 47, Jkg 1. Teplota varu zahuštěného roztoku je t R1 = t R1 + t e = = 112 C a střední teplota t R1 je t R1 = t R1 +t ref = = 56 C. 2 2 Měrnou tepelnou kapacitu c ps1 při střední teplotě t R1 odečteme z tabulek obdobně, jako bylo popsáno výše pro c ps0, a získáme c ps1 = 1, Jkg 1. V obecném případě bychom dále hledalivtabulkáchměrnoutepelnoukapacitukapalnéhorozpouštědlapřistředníteplotě t R1, v tomto příkladu však bylo přímo zadáno c pr1 = 4, Jkg 1 K 1. Integrální rozpouštěcí entalpiepronaohpřiw 1 =0,25(vystupujícíroztok)je h rozp,1 = 0, Jkg 1 (Jahoda a kol., 2016; Holeček, 2001, tab. VIII-1). Měrná entalpie roztoku na výstupu je pak h R1 = [w 1 c ps1 +(1 w 1 )c pr1 ](t R1 t ref )+w 1 h rozp,1 = [ 0,25 1, (1 0,25) 4, ] (112 0) 0,25 0, = 146, Jkg 1. Tabelovaná měrná entalpie brýdové páry při teplotě t B1 = t R1 = 112 C je h B1 = 2695, Jkg 1 (Holeček, 2001, tab. II-1). Pozor, tato tabelovaná hodnota platí pouze pro vodní páru vzhledem k referenční teplotě t ref = 0 C a referenčnímu kapalnému skupenství. Při volbě jiného referenčního stavu anebo při použití jiného rozpouštědla bychom museli měrnou entalpii brýdové páry spočítat z rovnice (10.5). Tepelný tok z vařáku Q V se určí z entalpické bilance odparky (pozor na jednotky), ṁ R0 h R0 + Q V = ṁ R1 h R1 +ṁ B1 h B1, 760 ( 47) Q V = , ,1 10 3, Q V = 9, Jh 1 = 2, W. Hmotnostní průtok topné páry ṁ P plyne z entalpické bilance vařáku, Q V = ṁ P h výp,p, 9, = ṁ P 2162,4 10 3, ṁ P = 426,2 kgh 1. Účinný teplotní rozdíl je t 1 = t P t R1 = = 22 C, a konečně součinitel prostupu tepla K 1 je K 1 = Q V A t 1 = 2, ,7 22 = 562 Wm 2 K 1. T 1 = 22K Výsledek: Při provozu odparky se vyrábí 456 kgh 1 zahuštěného roztoku a 304 kgh 1 brýdové páry. K tomu je potřeba dodávat 426,2 kgh 1 topné páry. Součinitel prostupu tepla u topné soustavy je 562 Wm 2 K 1. 3 Pokud bychom alternativně zvolili t ref = t R0, pak by se výpočet zjednodušil na h R0 = w 0 h rozp,0 a nemuseli bychom v tabulkách hledat a vyčíslovat c ps0 a c pr0.

210 210 KAPITOLA 10. ODPARKY 10.3 Úlohy U10.1 Do odparky se přivádí 100 kgh 1 vodného roztoku 10 % (hm.) soli při 80 C. Při tlaku v odparce má roztok teplotu varu 90 C. Do topné soustavy odparky přichází 50 kgh 1 suché nasycené (rovnovážné) páry, která má tlak 0,5 MPa. Je-li měrná tepelná kapacita rozpuštěné látky 2 kjkg 1 K 1 a hodnota rozpouštěcí entalpie je nevýznamná, vypočtěte množství a složení zahuštěného roztoku. Výsledek: Vzniká 55,6 kgh 1 roztoku obsahujícího 18 % (hm.) rozpuštěné látky. U10.2 V odparce se zahušt uje 1500 kgh 1 vodného roztoku NaOH z počáteční koncentrace 10%(hm.) na konečnou koncentraci 30%(hm.). Vodný roztok vstupuje do odparky při teplotě 30 C, tlak v odparce je 101,3 kpa, ztráty tepla do okolí lze zanedbat. Vypočtěte, jaká bude spotřeba topné páry o teplotě 130 C, jestliže se kondenzát odvádí při teplotě kondenzace. Výsledek: Spotřeba topné páry v odparce bude 1270 kgh 1. U kgh 1 vodného roztoku glycerolu se zahušt uje v odparce z původní koncentrace 13 % (hm.) na konečnou koncentraci 80 % (hm.). V předehřívači se zředěný roztok ohřívá brýdovou párou z odpařováku z 30 C na 60 C. V odparce se udržuje tlak 33,3 kpa a topí se v ní sytou párou, která má teplotu 110 C a suchost 0,97 (tj. obsahuje 97 % páry a zbytek je dispergovaný rovnovážný kondenzát). Teplota varu 80% glycerolu při tlaku 33,3 kpa je 92 C, jeho měrná tepelná kapacita 2,554 kjkg 1 K 1, měrná tepelná kapacita 13% roztoku je 3,559 kjkg 1 K 1. Vypočtěte spotřebu topné páry a určete, kolik procent brýdové páry se zužitkuje v předehřívači. Výsledek: Spotřeba topné páry v odparce je 1900 kgh 1, v předehřívači se zužitkuje 5,47 % brýdové páry. U10.4 Při zpracování magnezitové rudy se rozpouštěním v HCl získá 7 % (hm.) roztok chloridu hořečnatého, který je třeba zahustit na 25 % (hm.) v odparce opatřené kondenzátorem. Má se zpracovat 2000 kgh 1 roztoku o teplotě 20 C. V odparce se topí sytou párou, která má teplotu 130 C a v kondenzátoru se udržuje tlak 50 kpa. Součinitel prostupu tepla v odparce je 2000 Wm 2 K 1. Vypočtěte spotřebu topné páry a určete velikost teplosměnné plochy. Výsledek: Spotřeba topné páry v je 1740 kgh 1, potřebná teplosměnná plocha je 14,3 m 2. U10.5 Roztok organické látky ve vodě má být zahuštěn z 8 na 45 % (hm.) v odparce s kondenzátorem. Je k dispozici sytá pára o teplotě 120 C a v barometrickém kondenzátoru je udržován tlak 1, Pa. Má se zpracovat kgh 1 roztoku o teplotě 25 C. Součinitel prostuputepla v odparceje2800 Wm 2 K 1. Roztok má zanedbatelnou teplotní elevaci a rozpouštěcí entalpii. Měrná tepelná kapacita vstupujícíhoroztoku je3,91 kjkg 1 K 1. Vypočtěte spotřebu topné páry a chladicí vody o teplotě 10 C, která se v barometrické trubce ohřeje na teplotu kondenzace par, a určete velikost teplosměnné plochy odparky. Výsledek: Spotřeba topné páry v odparce je 5,2 kgs 1, spotřeba chladicí vody je 62,6 kgs 1 a teplosměnná plocha je 61,1 m 2.

211 Kapitola 11 Úvod do sdílení hmoty Igor Schreiber Jestliže systém obsahuje dvě nebo více složek, jejichž koncentrace se mění v prostoru, přirozený sklon systému je transportovat složky tak, aby rozdíl koncentrací každé složky byl minimalizován a systém se tak přibližoval k rovnováze. Naše každodenní zkušenost zahrnuje mnoho příkladů transportu hmoty. Vůně kávy či parfému šířící se vzduchem dospěje k našemu nosu prostřednictvím vzduchu. Cukr v šálku čaje se rozpouští a časem se stejnoměrně rozmístí v nápoji, zejména když obsah promícháváme lžičkou. Pověšené prádlo postupně schne, obzvláště když okolní vzduch je suchý a pofukuje vánek. Přenos hmoty nastává jak uvnitř jedné fáze, tak i mezi více fázemi a hraje důležitou roli v mnoha průmyslových procesech. Hybnou (hnací) silou tohoto přenosu je rozdíl koncentrací (popř. aktivit) transportovaných složek nebo koncentrační gradient a základní proces odpovědný za takový transport je difuze. Při analogickém přenosu tepla se využívá rozdílu či gradientu teploty, u hydromechanických separačních procesů se uplatňuje rozdíl tlaků (filtrace), hustot či velikostí (usazování). Procesy, při kterých se separují složky ve směsích transportem přes fázové rozhraní se označují jako difuzní separační procesy, a tento transport se nazývá sdílení hmoty. Mezi jednotkové operace založené na sdílení hmoty patří destilace, absorpce plynů, sušení, extrakce, adsorpce, membránové separace, a další. Destilace dělí kapalnou směs částečným odpařením na dvě části. Parní podíl je obohacen o těkavější složku (či složky), a kapalný zbytek je obohacen o méně těkavé složky. Rektifikace je účinnější způsob destilace se zpětným tokem v patrových nebo plněných kolonách. Příkladem destilace (rektifikace) je dělení směsi metanolu a vody na složky; kapalného vzduchu na kyslík, dusík a argon; ropy na benzín, lehký petrolej, naftu a mazut. Opačný proces se nazývá parciální kondenzace. Při absorpci se z páry nebo plynu pohlcuje určitá složka (či složky) do kapaliny. Typickým příkladem je vymývání amoniaku ze směsi se vzduchem do vody. Opačný proces se nazývá desorpce. Sušení je proces, při kterém vlhkost z pevné (často zrnité) fáze přechází do plynu. Suší se zejména různé potravinářské produkty, jako např. zrní, cukr, ovoce atd. Adsorpce je zachycování složek kapalné nebo plynné směsi na povrchu pevné fáze. Zachycené složky se pak odstraňují desorpcí v cyklickém procesu. Kapalinová a plynová chromatografie využívá kombinace adsorpce s desorpcí k dělení pulsní dávky suroviny (nebo vzorku, pokud jde o analýzu) v koloně s výplní. Extrakce je dělení kapalné směsi přidáním jiné nerozpustné kapaliny. Přes vzniklé fázové rozhraní přechází jedna či více složek. Obohacená fáze přidané kapaliny se nazývá extrakt, ochuzená původní fáze je rafinát. Proces podobný extrakci je vyluhování, při němž složky 211

212 212 KAPITOLA 11. ÚVOD DO SDÍLENÍ HMOTY z pevné fáze přecházejí do kapaliny (někdy se tento proces označuje jako extrakce z pevné fáze). Tímto způsobem se např. získávají cenné látky ze sušeného biologického materiálu. Krystalizace je tvorba částic pevné fáze uvnitř homogenní tekuté fáze. Může jít o krystalizaci z páry nebo taveniny, ale nejčastěji se využívá krystalizace z kapalného roztoku. Membránové procesy se užívají tam, kde by se fáze navzájem spontánně mísily. Transport složek přes membránu může mít difúzní charakter, jako např. u dialýzy, anebo je to hydromechanický transport podobný filtraci, kdy složky s větší velikostí částic, např. koloidy, jsou zadržovány. Vrat me se ještě ke kostce cukru v čaji. Je zřejmé, že doba potřebná k homogenní distribuci molekulcukruvčaji budevelmizávisetnatom,zdalijekapalinavklidu,nebojepromíchávána lžičkou. Rovněž šíření vůně kávy či parfému vzduchem nebo prosychání prádla na šňůře bude záviset na tom, zdali je vzduch v klidu či proudí. Zobecněním docházíme k závěru, že přenos hmoty závisí nejen na materiálových vlastnostech prostředí ve kterém probíhá, ale může záviset také na dynamice. Hmota může být přenášena v důsledku nahodilého pohybu molekul v nepohybující se tekutině, anebo může být přenášena vlivem toku tekutiny. Tyto dva význačné způsoby transportu, molekulární přenos neboli difúze a proudění neboli konvekce, jsou analogické vedení a konvektivnímu přenosu tepla probíraným v kapitole 8. Oba typy transportu obecně probíhají vždy současně, i když v dané konkrétní situaci často jeden z nich převládá Mezifázová rovnováha Dříve než se začneme zabývat přenosem hmoty uvnitř fází i při přechodu z jedné fáze do druhé, musíme se zabývat rovnováhou ve vícesložkových dvoufázových směsích. Podle druhé věty termodynamické uzavřené systémy samovolně přecházejí do stavu s maximální neuspořádaností. Transport hmoty z míst o vyšší koncentraci do míst o koncentraci nižší je příkladem takového samovolného procesu a v uzavřeném jednofázovém systému bude koncentrace každé ze složek nakonec mít homogenní prostorové rozložení. Jinými slovy, systém přešel od nerovnovážného stavu k termodynamické rovnováze. Pokud jsou v systému fáze dvě, podmínka rovnováhy se formuluje jako rovnost vhodné termodynamické veličiny (fugacity, aktivity nebo obecněji chemického potenciálu) v obou fázích. Pro rozložení koncentrací určité složky to ve svém důsledku znamená, že se uvnitř každé z fází koncentrace vyrovnají, ale koncentrace bude obecně různá v obou fázích. Změníme-li složení jedné z fází, systém se vychýlí z rovnováhy a nastane transport hmoty, kterým se systém k rovnováze opět časem navrátí, i když složení fází bude jiné. Existuje tedy vztah mezi rovnovážným složením v obou fázích, který je možné pro libovolnou složku i v N S -složkové směsi zapsat například takto: c (1) i = f i (p,t,c (1) 1,,c(1) N S,c (2) 1,,c(2) N S ) nebo c (1) i = K i c (2) i, (11.1) kdeindexy(1) a(2) označují prvníadruhoufázi ac 1,,c NS jsoumolární koncentrace složek. První zápis pomocí funkce f i je formální, což někdy vyhovuje (viz např. kapitolu o extrakci), ale často je výhodnější zápis pomocí koeficientu K i, který se nazývá rovnovážný nebo také distribuční či rozdělovací koeficient (součinitel). Tento koeficient závisí obecně na teplotě, tlaku a složení. Je třeba pamatovat na to, že automatickou součástí podmínky rovnováhy je rovnost tlaků a teplot v obou fázích, p (1) = p (2) = p, T (1) = T (2) = T, což je primární podmínka platná i pro jednosložkový systém. Často je výhodné pracovat s molárními zlomky namísto molárních koncentrací a při tom se používají odlišné symboly pro tyto zlomky v každé fázi. Tradičně se používá označení x ve fázi, která má větší hustotu ( těžší fáze, fáze x ) a y ve fázi s menší hustotou ( lehčí

213 11.1. MEZIFÁZOVÁ ROVNOVÁHA 213 fáze, fáze y ). Při práci s hmotnostními zlomky se v literatuře často také používají symboly x a y (tam, kde z kontextu plyne nemožnost záměny s molárními zlomky), nebo se používá označení w (v těžší fázi) a u (v lehčí fázi). Tedy vztah (11.1) lze nahradit rovnicí y i = ψ i x i, (11.2) kde indexy označující fáze byly vynechány. Vztah mezi rovnovážnými koeficienty ψ i a K i je dán přepočtem mezi molární koncentrací a molárním zlomkem, ψ i = K i c x /c y, kde c x, c y jsou celkové molární koncentrace (molární hustoty) fází x a y. V případech, kdy přes fázové rozhraní nepřechází všechny složky, je výhodné vyjádřit rovnovážný vztahpomocírelativních molárníchzlomkůx i,y i (popř.relativních hmotnostních zlomků W i, U i ), vztažených na látkové množství (popř. hmotnost) nepřecházející složky či složek; například při použití relativních molárních zlomků (definice viz. kap. 2) Y i = ϕ i X i. (11.3) Tento vztah je zejména vhodný v případě, že každá z fází obsahuje pouze dvě složky: složku i přecházející přes fázové rozhraní a inertní rozpouštědlo, které je často čistou složkou, ale někdy obsahuje i více nepřecházejících složek (pak je rozpouštědlo tzv. pseudosložka např. vzduch). Pak Y i = y i /(1 y i ), X i = x i /(1 x i ) a po dosazení do (11.3) a úpravě lze nalézt vztah mezi ψ i a ϕ i, ϕ i = ψ i 1+X i (1 ψ i ). (11.4) Rovnovážný vztah je graficky vyjádřen jako křivka v x y diagramu, kde proti sobě vynášíme koncentrace složky i v těžší a lehčí fázi, viz obr Zakřivení bude tím větší, čím více y i y i = ψ i x i x i Obr. 11.1: Rovnovážná křivka v rozdělovacím diagramu pro složku i bude daný rovnovážný koeficient záviset na složení. Formální tvar rovnovážných vztahů je však volen tak, aby jednoduše vyjadřoval důležitý mezní případ, a sice případ konstantního rovnovážného koeficientu, kdy rovnovážný vztah je lineární a ψ i, ϕ i popř. K i je směrnice přímky v příslušných koncentračních souřadnicích. Avšak pozor, je-li možné jednu z forem rovnovážných koeficientů považovat za konstantní, neznamená to automaticky, že i ostatní formy jsou konstantami, jak je zřejmé z rovnice (11.4).

214 214 KAPITOLA 11. ÚVOD DO SDÍLENÍ HMOTY Konkrétní vyjádření rovnovážného vztahu závisí na typu rovnováhy a bude uvedeno v následujících kapitolách vždy u příslušného procesu. Uved me si zde však alespoň dva nejjednodšší příklady vztahující se k rovnováze kapalina pára a kapalina plyn (parou resp. plynem se rozumí plynná fáze pod resp. nad kritickou teplotou). Pro parciální tlak p i složky i v parách nad ideální kapalinou platí Raoultův zákon, a zároveň v ideální plynné fázi platí pro parciální tlak Daltonův zákon, tj. p i = y i p = p o }{{} ix i, (11.5) }{{} pára kapalina kdepjetlak ap o i jetenze par(tlak rovnovážných par)čisté složky i, která jezávislá nateplotě, p o i = po i (T). Rovnovážný koeficient je tedy ψ i = p o i /p a vztah (11.5) se uplatňuje zejména při destilaci, případně při absorpci par. Formálně podobný vztah platící pro rovnováhu kapalina plyn při nízkých koncentracích je Henryův zákon používaný při absorpci plynů, p i = y i p = H }{{} i x i, (11.6) }{{} plyn kapalina kde H i = H i (T) je Henryova konstanta složky i a rovnovážný koeficient je ψ i = H i /p. Vzhledem k tomu, že uvedené rovnováhy jsou zapsány pomocí molárních zlomků, je výhodné absorpci a destilaci popisovat pomocí bilancí látkového množství. Naproti tomu, při extrakci a sušení, kde rovnováha je obvykle zadána empiricky, se z praktických důvodů dává přednost hmotnostní bilanci, a tedy rovnováha se vyjadřuje pomocí (relativních) hmotnostních zlomků. V této kapitole budeme používat molární veličiny, práce s hmotnostními veličinami je však zcela analogická. Proč je vůbec nutné zabývat se rovnováhou, když procesy přenosu hmoty jsou nerovnovážné, a výměníky hmoty jsou obvykle průtočné systémy, kde se na první pohled rovnováha nemůže uplatnit? Hlavní důvody jsou dva. Za prvé, rychlost mezifázového přenosu hmoty, jak se dozvíme z následujících oddílů, se vyjadřuje relativně vzhledem k rovnováze, která představuje nejzazší mez, které lze transportem dosáhnout. Za druhé, v některých typech zařízení (obsahujících stupně) je doba kontaktu fází dostatečně dlouhá na to, aby transport hmoty proběhl téměř úplně, a tedy obě vystupující fáze jsou přibližně rovnovážné Typy výměníků hmoty Účelem činnosti výměníku hmoty je přenos jedné nebo více složek z jedné fáze do druhé s cílem získat bud fázi obohacenou o žádanou složku, nebo fázi zbavenou nežádoucí složky. Množství hmoty, které při tom přejde přes fázové rozhraní roste s velikostí fázového rozhraní, s rychlostí transportu složky mezi fázemi a s dobou kontaktu fází. Z hlediska způsobu kontaktu mezi fázemi existují dvě základní uspořádání výměníků, kterými lze požadovaných vlastností docílit, stupňový a spojitý kontakt fází Stupňový kontakt fází Stupňový kontakt je realizován v zařízeních s oddíly stupni ve kterých se obě fáze nejprve dispergují, po určitou dobu zůstávají v těsném kontaktu a pak se oddělí a odvedou jako produkty, nebo se celý proces opakuje v následujícím stupni. Běžnou technickou realizací stupně je patro, viz obr Nejjednodušší konstrukci má sítové patro, do kterého přepadem shora přitéká kapalina a perforovaným dnem patra zdola proudí plyn nebo pára, která ve vrstvě kapaliny na patře vytváří bubliny nebo pěnu a tím se vytváří velký mezifázový povrch. Vrstva

215 11.2. TYPY VÝMĚNÍKŮ HMOTY 215 pěna pěna pěna pěna pěna pěna kloboučková patra sítová patra ventilová patra Obr. 11.2: Schematické nákresy některých typů pater kapaliny je udržována jezem, přes který přetéká a proudí na nižší patro. Uspořádání toku fází je tedy protiproudé, což je výhodné k dosažení vyšší separační učinnosti zařízení. Patra mohou mít i složitější konstrukci, např. kloboučková patra s kapalinovým uzávěrem, který zamezuje nežádoucímu průchodu kapaliny perforovaným dnem sítového patra. Ventilová patra jsou podobná sítovým, ale otvory jsou opatřeny svisle se pohybujícími ventily, které v závislosti na průtoku plynné fáze vhodně regulují svým zdvihem průtok kapaliny. Patra mohou být i bezpřepadová. Soustava pater je umístěna ve svislé válcové nádobě nazývané kolona nebo věž, viz obr. 11.3a. Patrové kolony se používají hlavně pro rektifikaci, absorpci a desorpci; při extrakci je často nutné dodávat mechanickou energii (pulsní vstup fází do kolony, vibrační patra) k urychlení postupu fází. Jiná realizace stupňového zařízení sestává ze stupňů, které obsahují mísič a oddělovač fází, viz kap. 12. V mísiči je směs dispergována míchadlem, v oddělovači se fáze rozvrstvují např. vlivem gravitace. Tento způsob je vhodný zejména pro dvě kapalné fáze, tedy pro extrakci. Rovnovážný stupeň a účinnost. Při stupňovém uspořádání se dispergovaná směs na patře dobře promíchává (blíží se ideálnímu mísiči, viz kap. 1), a doba kontaktu je často dostatečná k tomu, aby transport hmoty proběhl až téměř do rovnováhy. Proto se při popisu chodu zařízení se stupni často předpokládá, že vystupující fáze z patra jsou v rovnováze. Tato modelová představa vede k pojmu rovnovážný (teoretický) stupeň, který je definován tak, že vystupující fáze jsou: 1) v rovnováze a 2) dokonale odděleny. Ve skutečném stupni však rovnováhy zcela dosaženo není. V principu by bylo možné použít rovnice přestupu a prostupu i na skutečný stupeň, ale jde o obtížněji řešitelný problém, který se v praxi často nahrazuje koncepcí účinnosti. Formální definice účinnosti v daném stupni je účinnost ve fázi = rozdíl koncentrací při průchodu fáze stupněm rozdíl koncentrací při dosažení rovnováhy. Účinnost je tedy mírou dosažení rovnováhy a její hodnota může být v rozmezí od 0 do 1. Existují dvě rozdílné situace uspořádání stupňů ve výměnících hmoty a s tím souvisejí dvě poněkud odlišné definice účinnosti. V jednostupňových zařízeních a při souproudém nebo křížovém uspořádání více stupňů není mezi stupni zpětná vazba a používá se účinnost stupně. Například při křížovém toku (uplatňujícím se zejména při opakované extrakci) se v prvním stupni surovina (fáze x ) mísí s přidaným rozpouštědlem S (fáze y ) a vystupující fáze x se pak používá namísto suroviny v následujícím stupni, atd. Účinnost stupně

216 216 KAPITOLA 11. ÚVOD DO SDÍLENÍ HMOTY Obr. 11.3: Příklady kolon; a) absorpční stupňová kolona se sítovými patry, b) absorpční kolona s výplní, sprchovým distributorem na vstupu kapaliny a redistributorem ve střední části; G i, G e, vstup a výstup plynu/páry, L i, L e, vstup a výstup kapaliny. Konstrukce rektifikačních kolon je obdobná, jsou však navíc opatřeny vařákem, kondenzátorem a zpětným tokem kondenzovaných par a přívod suroviny je v určitém místě uvnitř kolony (viz kapitola 14) vzhledem ke klíčové přecházející složce i v k-tém stupni (viz obr. 11.4a) je E k = y is y ik y is y ik = x i(k 1) x ik x i(k 1) x, kde yik = ψ ix ik. (11.7) ik Veličiny označené hvězdičkou jsou vzájemně rovnovážné koncentrace na výstupu z rovnovážného stupně. Při této definici mají vyjádření účinnosti v obou fázích stejnou hodnotu. Při protiproudu je však výhodnější použít Murphreeovu účinnost (viz obr. 11.4b) Eky M = y i(k+1) y ik y i(k+1) yik, kde yik = ψ ix ik nebo Ekx M = x i(k 1) x ik x i(k 1) x, kde x ik = y ik/ψ i. (11.8) ik Veličina označená hvězdičkou je koncentrace, která je rovnovážná vzhledem ke skutečné výstupní koncentraci v opačné fázi. Při tomto způsobu zavedení účinnosti E M ky EM kx. Poznámka: Účinnost lze ekvivalentně definovat pomocí jiných koncentračních údajů, tedy pomocí hmotnostních zlomků, nebo pomocí molárních či hmotnostních relativních zlomků. Konečně celková účinnost se nevztahuje k danému stupni, ale k celému vícestupňovému zařízení: E c = N/N skut, (11.9)