Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček"

Viktor Slavík
před 7 lety
Počet zobrazení:

Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni.

1 Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné. 1

2 Sdílení tepla: vedením (kondukce) prouděním (konvekce) sálání (radiace) (Zdroj: ms.gsospg.cz) 2

3 Rovnice vedení tepla: T τ = a 2 T + q v ρc 2 T = 2 T + 2 T + 2 T 2 x 2 y 2 z T(x, y, z) q v (x, y, z) zdroj tepla v místě (x, y, z) Počáteční podmínky (např. v čase τ = 0) Okrajové podmínky (zdroj: 3

4 Stacionární vedení tepla v rovinné stěně s vnitřním zdrojem (1D úloha!) 0 = a 2 T + q v ρ c p 0 = λ 2 T ρ c p x 2 + q v ρ c p konstantní zdroj T = f x d 2 T dx 2 = q v λ dt dx = q v λ x + C 1 T = q v 2λ x2 + C 1 x + C 2 4

5 Porovnání s předchozím výsledkem (bez tepelného zdroje, jen využitím Fourierova zákona) q = λ grad T /. S Q = λ S dt dx dt = Q λ S dx T = Q x + C λ S x = 0; T = T 1 ; T 1 = 0 + C x = δ; T = T 2 ; T 2 = Q λ S δ + T 1 Q = S λ δ T 1 T 2 5

6 Jaký má být vnitřní ohřev desky, aby byl nulový tok tepla do desky zleva? Pak pro x = 0 je ( dt = q v dx λ x + C 1) dt dx = 0 c 1 = 0 Pro teploty T 1 a T 2 : x = 0; x = δ; T 1 = q v 2λ 0 + C 2 T 2 = q v 2λ δ2 + C 2 q v = 2λ δ 2 T 1 T 2 6

7 Fourierova metoda řešení nestacionárního vedení tepla Pro q v = 0 T τ = a 2 T Řešení hledáme ve tvaru: Dosazení: C ε x γ τ T(x, τ) = C γ τ ε x = a C γ τ ε (x) γ τ γ τ ε x = a ε x = konst K ε x = a 1 K ε x Víme, že. cos kx = k 2 cos kx sin kx = k 2 sin(kx) K = a k 2 7

8 γ τ γ τ = K = a k2 γ τ = γ τ ak 2 γ τ = e ak2 τ a ε x ε x = a k2 T(x, τ) = C e ak2 τ cos kx + D e ak2 τ sin kx Pozor, počáteční podmínka je ovšem: T(x, 0) = C cos kx + D sin kx 8

9 Numerické řešení 1 dim. nestacionární vedení tepla, λ = konst T T d T a τ τ T b = T a + T x x T x 2 x2 + T c = T a + T x x T x 2 x 2 + 9

10 Dosazení do rovnice vedení tepla: T b + T c 2 T a + 2 T x2 x2 2 T x 2 1 x 2 T b + T c 2 T a T d T a τ = a 1 x 2 T b + T c 2 T a T d T a = a τ x 2 T b + T c 2 T a T d (T a, T b, T c ) 10

11 Sdílení tepla prouděním (konvekcí) Přenos tepla v tekutině je často spojen se současným prouděním tekutiny. Rozlišujeme: PŘIROZENOU KONVEKCI: proudění je vyvoláno změnou hustoty vlivem ohřevu tekutiny a gravitací NUCENOU KONVEKCI: pohyb tekutiny vyvolán vnějším účinkem (čerpadlo, ventilátor, apod.) Řešeno složitým systémem rovnic Podmínky jednoznačnosti: 1. geometrické (tvar a velikost tělesa) 2. fyzikální (hodnota fyzikálních veličin) 3. časové (časový průběh teploty na stěně) 4. okrajové: 1. druhu: teplota stěny 2. druhu: tepelný tok na stěně 3. druhu: teplota tekutiny a součinitel přestupu tepla α 11

12 Jak vzniká přirozená konvekce? Příklad odspoda zahřívaného systému Vrstvy kapaliny v horní části systému jsou hustší než ve spodní části. Dosáhne-li rozdíl teplot určité hodnoty, tíha horní vrstvy kapaliny převládne nad dosud stabilizujícími viskózními silami. V systému nastává konvekční proudění. T c Ohřev spodních vrstev kapaliny vede k jejich expanzi, snížení hustoty a jejich stoupání působením vztlaku směrem vzhůru. Chladnější vrstvy v horních částech kapaliny klesají směrem ke dnu. T h (> T c ) 12

13 Rayleighova Bénardova nestabilita 13

14 Teorie podobnosti? 14

15 Teorie podobnosti Nutno zvýšit svalový průřez 15

16 Teorie podobnosti 16

17 Teorie podobnosti 1. Experimentátor provádí měření na modelu. 2. Jak přenést výsledky z modelu na reálné dílo? 3. Základní předpoklad: jevy na modelu i na díle jsou popsány stejnými rovnicemi. Zavedeme měřítka Měřítko geometrické: Měřítko času: A podobně dále c l = l M l D c τ = τ M τ D c T = T M T D c w = w M w D 17

18 Rovnice vedení tepla pro model: T M + T M w τ M x xm + T M w M y ym + T M 2 T M w M z zm = a M 2 M x + M Substituce: T M = c T T D τ M = c τ τ D w M = c w w D a M = c a a D x M = c l x D y M = c l y D z M = c l z D Změna měřítka T D c T τ D c τ + T D c T x D c l w xd c w + T D c T y D c l w yd c w + = a D c a 2 T D c T x D 2 c l 2 + Rovnice vedení tepla pro dílo: T D τ D + T D x D w xd + T D y D w yd + = a D 2 T D x D

19 Má-li rovnice pro model být identická s rovnicí pro dílo, pak: Porovnáním: Dosazením: Odtud: Podobnostní číslo: c T c τ = c T c w c l c T = c a c T c τ c 2 l a M τ M l D 2 = c a c T c l 2 c a c τ c l 2 a D τ D l M 2 = 1 a M τ M l M 2 = a D τ D l D 2 = 1 a τ = Fo (Fourierovo) l2 19

20 Podobně: c T c w c l = c a c T c l 2 c T c τ = c T c w c l = c a c T c l 2 c w c l c a = 1 w l a = Pe (Pecletovo) 20

21 Okrajová podmínka 3. druhu: λ s grad T s = α T s T t λ s dt dx = α T s T t c λs c T c l = c α c T c α c l c λs = 1 α l λ s = Bi (Biotovo) 21

22 Rovnice přecházení tepla: λ t grad T t = α T s T t c λt c T c l = c α c T α l λ t = Nu (Nusseltovo) 22

23 Navier-Stokesovy rovnice: w x τ + w x x ν x w x + w x y w x x + w x y + w x z w y + w x z + ν w z = g z 1 ρ 2 w x x w y y 2 p x w z z 2 c w 2 = c w = c c τ c g = c p = c c w l c ρ c ν l c l 2 23

24 Porovnáním: 1.-2.: c w = c 2 w c τ c l c w c τ c l = : 2.-4.: 2.-5.: c w 2 c l c w 2 c w 2 c l c l = c p c ρ c l w τ l = c g = Sh (Strouhal) g l w2 = Fr (Froude) = c c w ν c 2 w l l ν p ρ w2 = Eu (Euler) = Re (Reynolds) 24

25 Podobnostní čísla bezrozměrné veličiny! Každá bezrozměrná kombinace veličin podobnostní číslo Příklad: 1 V V t p β T podobnostní číslo gl 3 ν2 = Ga Galileo β T gl3 ν2 = Ga Grasshoff Pr = Pe Re = wl a ν wl = ν a Prandtl 25

26 Kriteriální rovnice Výsledky experimentu na modelu α = f β, T, w, ν, λ t, τ, se zpracují ve formě podob. čísel (kritérií podobnosti): Pro stacionární (ustálený stav): Nu = f Gr, Pr, Re, Fo POZOR! charakteristický rozměr Nu = f Gr, Pr, Re Pro přirozenou konvekci: Nu = f Gr, Pr Pro nucenou konvekci: Nu = f Pr, Re w l ν = Re charakteristická rychlost 26

27 zahřívaná deska Sdílení tepla Přirozená konvekce v neomezeném prostoru zahřívaná deska 27

28 Přirozená konvekce v neomezeném prostoru Kolem vodorovného potrubí: Pro 10 3 < Gr t,d Pr t < 10 8 Nu t,d = 0, 50 Gr t,d Pr t 0,25 Pr t Pr s 0,25 Kolem svislé plochy: a) 10 3 < Gr t,h Pr t < 10 9 (lamin. ) 0,25 Pr t Nu t,h = 0, 76 Gr t,h Pr t Pr s b) Gr t,x Pr t > 10 9 (turbul. ) 0,25 Nu t,x = Nu t,h = 0, 15 Gr t,x Pr t 0,33 Pr t Pr s 0,25 28

29 Konec Děkuji za pozornost 29

Podobné dokumenty

Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím