MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

Transkript

1 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický model procesu je způsob vyjádření chování procesu (systému) formou matematických vztahů Dynamické chování je chování procesu (systému) v čase matematické modely: získané zpracováním experimentů (induktivní) matematický popis je formální, systém je považován za černou skříňku získané fyzikální analýzou procesu (deduktivní, deterministické) matematický popis vyjadřuje podstatu procesu, vychází z fyzikálních, fyzikálně-chemických a chemických zákonů Obecný postup vytváření induktivních modelů vzruch reálný proces odezva experiment odhad chování procesu naměřené časové řady vzruch - odezva formální matematický vztah s neznámými parametry zpracování exper. dat za účelem určení hodnot parametrů vstupní funkce u(t) vstupní informace výstupní funkce matematický model y(t) algoritmus řešení výstupní informace simulační program využití simulačního programu (pouze v oblasti pokryté experimentem) FTOP-09-P2-P 1 / 9

2 vzruch vzruch reálný proces analýza procesu teoretický model matematický popis odezva odezva vstupní funkce u(t) vstupní informace výstupní funkce matematický model y(t) algoritmus řešení výstupní informace simulační program model nevyhovuje VERIFIKACE model vyhovuje využití simulačního programu Analýza procesu specifikace dějů probíhajících v procesu a určení jejich podstaty vymezení vlivů působících na proces určení veličin (fyzikálních,...) popisujících proces výběr dílčích dějů a vlivů podstatných pro popis procesu výběr možných zjednodušení a jejich realizace rozhodující pro kvalitu modelu Zásady: -- v úvahách vycházet z účelu vytvářeného modelu -- začínat od co nejjednoduššího modelu teoretický model Obvyklé zjednodušující předpoklady rozdělení systému na subsystémy, zavádění neexistujících forem hmoty, nezávislost látkových vlastností na stavových veličinách, homogenita a isotropnost materiálu, při současném průběhu pomalého a rychlého děje rychlý děj dosahuje okamžitě rovnovážného stavu, zanedbávání ztrát, linearizace nelineárních závislostí, používání empirických vztahů a závislostí, zavádění korekčních koeficientů, zjednodušování geometrických proporcí, volba vhodné souřadnicové soustavy, užití představy systému se soustředěnými parametry. FTOP-09-P2-P 2 / 9

3 Matematický popis výběr matematického vyjádření vztahů použitých v teoretickém modelu a) definiční rovnice: definice veličin fyziky, chemie, fyzikální chemie,... b) matematické vyjádření zákonů: pohybové rovnice rychlostní rovnice rovnovážné rovnice věty (zákony) o zachování vytvoření modelových rovnic a jejich základní kontrola určení podmínek řešení (počátečních, okrajových) matematický model Řešení modelových rovnic volba metody řešení rovnic matematického modelu analýza přesnosti řešení vytvoření algoritmu řešení sestavení a odladění programu pro počítač (ve vhodném simulačním jazyce) definice souboru vstupních dat a parametrů (veličiny, jednotky) simulační program Verifikace modelu kontrola zachovávání ustálených stavů kontrola adekvátnosti odezvy na definovaný vzruch (logickou úvahou na základě fyzikálních představ) kontrola ustálených stavů po odeznění přechodových jevů kontrola reálnosti výsledků simulace pro mezní stavy kontrola porovnáním simulovaných časových průběhů se známými daty (získanými experimentálně nebo z literatury) další možné kontroly (podle povahy modelovaného procesu) použitelný matematický model (ve formě simulačního programu) FTOP-09-P2-P 3 / 9

4 Základní pojmy okolí systému bilancovaná veličina bilancovaný systém bilanční časový interval rozhraní základní bilanční rovnice: AKUMULACE = VTUP - VÝTUP + ZDROJ AKUMULACE = VTUP - VÝTUP + ZDROJ AKUMULACE změna množství (zádrže) bilancované veličiny uvnitř bilancovaného systému za bilanční časový interval, VTUP (přítok) množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vstoupí z okolí přes rozhraní do bilancovaného systému, VÝTUP (odtok) množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval vystoupí z bilancovaného systému přes rozhraní do okolí, ZDROJ množství bilancované veličiny, které za bilanční časový interval přeměnou uvnitř bilancovaného systému vznikne (znaménko +) nebo zanikne (znaménko -) Hranice a velikost bilancovaného systému ystémy se soustředěnými parametry bilancovaný systém obvykle totožný s modelovaným systémem hranice a geometrické rozměry se volí podle tvaru a uspořádání modelovaného systému souřadnicová soustava se nemusí zavádět ystémy s rozloženými parametry pro bilancovaný systém se volí jednoduché geometrické tvary rozměr bilancovaného systému ve směru souřadnice, která v popisu vystupuje jako nezávisle proměnná (x) je infinitesimálně malý (dx) souřadnicová soustava se zavádí tak, aby popis byl co nejjednodušší: FTOP-09-P2-P 4 / 9

5 Bilanční časový interval Bilance ustáleného stavu systému (pro statické modely) bilanční časový interval libovolný (obvykle jednotkový) Bilance neustáleného stavu systému (pro dynamické modely) bilanční časový interval infinitesimálně malý ( dt ) Znaménka členů bilanční rovnice ystémy se soustředěnými parametry členy VTUP a VÝTUP formulovat jako kladné, znaménko členu ZDROJ určit úvahou podle charakteru procesu, znaménko členu AKUMULACE pak vychází automaticky. ystémy s rozloženými parametry ve vybrané souřadnicové soustavě zvolit pro každou nezávisle proměnnou kladný směr a důsledně jej dodržovat, znaménka členů VTUP a VÝTUP, které jsou funkcemi souřadnic, pak vycházejí automaticky, členy VTUP a VÝTUP, které nejsou funkcemi souřadnic, formulovat jako kladné, znaménko členu ZDROJ určit úvahou podle charakteru procesu, znaménko členu AKUMULACE pak vychází automaticky. Důležité momenty postupu volba bilančního časového intervalu ustálené děje: libovolný, neustálené děje: dt volba hranic (rozměrů) bilancovaného systému jednoduché geometrické tvary se snadno matematicky vyjádřitelnými hranicemi, plochami a objemy bude-li souřadnice (např. x) nezávisle proměnnou modelu, pak rozměr bilancovaného systému v jejím směru musí být infinitesimálně malý (dx) volba souřadnicové soustavy kartézská x, y, z (obecné použití) cylindrická r, ϕ, z (pro systémy symetrické kolem osy) sférická r, ϕ, ψ (pro systémy symetrické kolem středu) volba kladných směrů na počátku zvolit a pak důsledně dodržovat FTOP-09-P2-P 5 / 9

6 Kartézský souřadnicový systém x, y, z x, y, z (, ) dv = dx. dy. dz Cylindrický souřadnicový systém r, φ, z r 0, ), φ 0, 2π, z (-, ) x = r. cos φ dv = r. dφ. dr. dz y = r.sin φ z = z férický souřadnicový systém r, φ, ψ r 0, ), φ 0, 2π, ψ 0, π x = r.sin ψ.cos φ y = r.sin ψ.sin φ z = r.cos ψ dv = r. sin ψ. dφ. r. dψ. dr FTOP-09-P2-P 6 / 9

7 přenos tepla přenos tepla vedením množství tepla Q přenesené za čas t ve směru souřadnice x T Q = λ A x t, T x... gradient teploty (A plocha kolmá na směr šíření tepla, λ tepelná vodivost prostředí) přenos tepla mezi dvěma prostředími (tekutinou a pevnou látkou) množství tepla Q přenesené za čas t z prostředí o teplotě T 1 do prostředí o teplotě T 2 ( T1 T2 ) t, T1 T2 Q = α A > (A plocha, kterou teplo prochází, α koeficient přestupu tepla) přenos tepla průchod tepla stěnou množství tepla Q přenesené za čas t z tekutiny o teplotě T 1 stěnou do tekutiny o teplotě T 2 ( T1 T2 ) t, T1 T2 Q = U A > (A plocha, kterou teplo prochází, U koeficient prostupu tepla) 1 1 d 1 = + + U α λ α 1 2 (d tloušťka stěny, λ tepelná vodivost materiálu stěny, α 1, α 2 koeficienty přestupu tepla u povrchů stěny) přenos hmoty jsou analogické vztahům pro přenos tepla, odpovídající si veličiny jsou: Q ~ M přenesená hmotnost látky T ~ c koncentrace látky λ ~ D difuzní koeficient α ~ β koeficient přestupu hmoty difuze c M = D A x t, c... gradient koncentrace x přenos hmoty mezi dvěma prostředími (tekutina a pevná látka) ( c1 c2 ) t, c1 c2 M = β A > FTOP-09-P2-P 7 / 9

8 kinetika chemických reakcí schéma reakce k α A + β B produkty rychlost reakce r = k α β ( c A ) ( cb ) (k... rychlostní konstanta, c A, c B... koncentrace složek A a B v reakční směsi) řád reakce součet všech exponentů u koncentrací složek 0. řád 1. řád r = k r = k c A 2. řád r = k ( c ) nebo r = k c 2 A A c B necelý řád z r = k ( c ), z... racionální číslo A kinetika chemických reakcí závislost reakční rychlosti na teplotě (Arrheniova rovnice) E = a k( T ) Ak exp R T k rychlostní konstanta, A k konstanta (frekvenční faktor), E a... aktivační energie, T... absolutní teplota, R... univerzální plynová konstanta kinetika biotechnologických procesů kinetika růstu mikroorganizmů dx = μ X δ X dt X... množství mikroorganizmů, δ... specifická rychlost odumírání, µ... specifická rychlost růstu nelimitovaný růst µ = µ max (růst max. možnou rychlostí) limitace substrátem inhibice substrátem inhibice produktem µ = µ max (Monodova rovnice) K µ = µ µ = max 1 µ max K + + K I 1. K P K... množství substrátu, P... množství produktu, K... saturační konstanta K I... konstanta inhibice substrátem, K IP... konstanta inhibice produktem + IP FTOP-09-P2-P 8 / 9

9 kinetika biotechnologických procesů kinetika enzymových reakcí schéma reakce: rychlost reakce : ENZYM + UBTRÁT ENZYM + PRODUKT r = v M (rovnice Michaelis - Mentenové) K + v M... max.rychlost reakce, K M... Michaelisova konstanta,... množství substrátu M kinetika sterilace teplem dn = k( T ) N dt N... počet živých mikroorganizmů (buněk), k... rychlostní konstanta sterilace (je funkcí teploty T) Příklad 1 Vytvořit matematický model elektrického průtokového ohřívače vody za účelem sledování časového průběhu výstupní teploty. Známe: objem ohřívače V průtok vody Q vstupní teplotu T 1 příkon topení P účinnost topení η hustotu vody ρ měrné teplo vody c p V Q, T 1 Q, T 2 P, η Hledáme: vztah pro závislost T 2 na čase t Příklad 2 Vytvořit matematický model pro stanovení časových změn teplotního průběhu podél teploměrné jímky vyčnívající ze stěny zařízení do proudícího média Známe: rozměry: délku L průřez obvod B teplotu média T M teplotu stěny T tepel.vodivost materiálu λ hustotu materiálu ρ měrné teplo materiálu c p koeficient přestupu tepla α T x = 0 T M x = L Hledáme: vztah pro závislost T na čase t a souřadnici x FTOP-09-P2-P 9 / 9