6. Základy maticové algebry

Transkript

1 Genetik ve šlechtění zvířt TGU Zákldy mticové lgebry část (rough drft version Protože učebnice zbývjící mticovým počtem jsou obvykle obsáhlé, uvádí se zde jen nejnutnější informce potřebné k použití mtic v kvntittivní genetice obecná lgebr MATICOVÁ ALGEBRA kontejnerová doprv čísel Mtice předstvuje kontejner skládjící se z čísel Tyto kontejnery zjednodušují zrychlují pohyb čísel mtice zjednodušují složité výpočty velkého množství dt Mtice umožňují řešit problémy kvntittivní genetiky plikovné biometriky Mtice jsou prvoúhlé uspořádání čísel v řádcích sloupcích V kvntittivní genetice šlechtění zvířt se využívá mticová lgebr v nlýze regresní, korelční, vrince kovrince, popř v lineárních modelech Mticová formulce: n A (m x n A m zjednodušení urychlení zefektivnění pohybu čísel Obecný popis mtic V tbulce je zznmenán užitkovost prsnic (počet živě nrozených selt ve vrhu podle pořdí vrhu plemene pořdí vrhu Plemeno Plemeno Plemeno 7 Hlvní vlstností mtic je, že lze dt uspořádt Z tbulky vybereme dt užitkovosti zčleníme je do množiny čísel (mtici ve formátu: 7 Kždé číslo předstvuje prvek mtice kždý prvek mtice má přesně určené místo souřdnice číslo řádku číslo sloupce:, čte se jko jedn jedn

2 Genetik ve šlechtění zvířt TGU Zákldní pojmy Sklár: je jedn veličin (mtice x, mtice o jednom prvku, obvykle oznčen mlým písmenem v kurzívě, npř, r či k Mtice: je skupin prvků uspořádných do řádků sloupců Prvky mohou být skláry, mtemtické výrzy nebo dokonce jiné mtice (submtice Mtice jsou oznčeny velkým tučným písmenem, npř A, T, M Řád nebo rozměr mtice (typ je dán počtem řádků (m sloupců (n: mtice typu m x n; A m x n A x Mtici lze zpst i ve formě složených závorek: A { }, pro i,,,, m, j,,,,, n 7 y B, C b 7 ( b / c t g u Z z x clog d x y Vektory Sloupcový vektor je mtice s jedním sloupcem řádkový vektor je mtice s jedním řádkem Obvykle je-li použito slovo vektor, myslí se tím sloupcový vektor Vektory jsou oznčeny tučným mlým písmenem (u, v, le není to univerzální oznčení u v [ ] Trnspozice (přemístění Trnspozice je sestvení nové mtice změněním řádků původní mtice z sloupce nové, trnsponovné, ve stejném pořdí Trnspozicí sloupcového vektoru získáme vektor řádkový, trnspozicí mtice řádu m x n získáme mtici řádu n x m Jestliže A je původní mtice, pk trnsponovná mtice je oznčen A nebo tké A T Digonál Prvky digonály mtice jsou ty, jejichž číslo řádku sloupce je stejné Prvky,, tvoří hlvní digonálu Npř D, pk prvky hlvní digonály jsou Typy mtic Rektngulární Mtice je rektngulární, jestliže počet řádků m není roven počtu sloupců n: m n Všechny vektory jsou rektngulární mtice Čtvercová Mtice je čtvercová, když má stejný počet řádků sloupců: m x n m n Symetrická Symetrická mtice je čtvercová mtice Prvek v i-tém řádku j-tém sloupci je roven prvku v j-tém řádku i-tém sloupci, pro všechny hodnoty i j Trnspozicí symetrické mtice získáme stejnou mtici, tj A A Výsledek součinu jkékoliv mtice B B je mtice symetrická čtvercová

3 Genetik ve šlechtění zvířt TGU A A Digonální Digonální mtice je čtvercová, symetrická mtice, ve které jsou všechny prvky rovny mimo digonálu Digonální mtice může být zpsán jko: D dig(d d d n, kde d i jsou prvky digonály D, nebo v zápise D dig(- Jednotková (Identická Mtice jednotková je speciální form digonální mtice, ve které jsou všechny digonální prvky rovny jedné Obvykle se oznčuje I Protože to je digonální mtice, je tké čtvercová symetrická I Nulová Nulová mtice je mtice jkéhokoliv řádu s prvky rovných 7 Mtice pouze s jedničkmi Sloupcový vektor délky n s prvky rovnými se obvykle oznčuje n Mtice s m řádky n sloupci všemi prvky rovných se oznčuje jko J J Tringulární (trojúhelníková Tringulární mtice jsou čtvercové mtice se všemi mimo digonálními prvky nd (nebo pod digonálou rovnými nule Rozlišujeme tedy dolní U (nebo horní V tringulární mtici U V 7 9 Tridigonální Tridigonální mtice je čtvercová mtice, která má všechny prvky rovny nule kromě prvků digonály bezprostředně s nimi sousedícími nlevo nprvo od digonály Npř:

4 Genetik ve šlechtění zvířt TGU K Zákldní operce s mticemi Pro výpočet selekčních indexů pro odhd PH je nutné ovládt tyto zákldní operce s mticemi: TRANSPONOVÁNÍ MATICE (trnspozice přemístění Trnspozice mtice úvodního příkldu počet živě nrozených selt ve vrhu podle pořdí vrhu plemene: S x T S 7 x 7 Vzthu, kdy řádky jedné mtice jsou sloupce druhé, se říká, že jedn mtice je trnspozicí druhé S je trnspozicí T T je trnspozicí S Pltí, že T S Trnspozicí již trnsponovné mtice S získáme opět původní mtici S: (S S SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ (mtice musí mít stejné rozměry, říká se, že jsou konformní A B A B B A ( ( ( A - B ( ( ( NÁSOBENÍ MATIC KONSTANTOU (SKALÁREM A c - ca Ac 7 9 NÁSOBENÍ MATIC ( mtice jsou konformní pro násobení, když počet sloupců v mtici je roven počtu řádků v mtici! F p x q G m x n pk existuje součin FG pouze když q m Výsledkem součinu je mtice C o rozměru p x n Obecně součin FG nemusí být roven GF, většinou součin GF

5 Genetik ve šlechtění zvířt TGU nemusí dokonce existovt protože G nemusí být konformní pro násobení s F ( n p Tkže pořdí mtic v součinu musí být přesně určeno dodrženo V tomto přípdě: F p x q {f } G m x n {g }, pk m součin FG p x n { f g ik kj }, když q m k Př A x B 7 x 9 AB nelze spočítt (A počet sloupců B počet řádků BA lze spočítt (B počet sloupců A počet řádků C BA 9 (- 9 9 (- 9 Násobí-li se mtice A mticí jednotkovou, výsledkem je nezměněná mtice A AI IA A Proveďte důkz s libovolnou mticí! Trnspozice součinu Trnspozice součinu dvou nebo více mtic je součin kždé trnsponovné mtice v opčném pořdí Npř trnsponování ABC je C B A Je nutné si ověřit, že výsledek je konformní pro násobení že výsledek má správné rozměry Speciální součiny Mtice A je idempotentní jestliže součin mtice sm se sebou je roven původní mtici, tj AA A Mtice musí být čtvercová, le ne nutně symetrická Mtice je nulpotentní jestliže součin mtice sm se sebou je roven nulové mtici, tj BB

6 Genetik ve šlechtění zvířt TGU Mtice je ortogonální jestliže součin mtice s trnsponovnou je roven identické mtici, tj CC I, C C I Prvidl součinu Násobení mtice sklárem je, když násobíme kždý prvek mtice sklárem ABC A(BC (ABC A(B C AB AC (A B (A B(A B AA AB BA BB Stopy čtvercové mtice Stop je operce, která je plikovná n čtvercovou mtici je oznčován písmeny tr Stop mtice se vypočítává jko součet digonálních prvků mtice Tento součet je sklární hodnot A, pk tr(a Stop součinu konformních mtic má speciální vlstnost známou jko prvidlo rotce stop Stopy jsou stejné, protože jsou skláry, i kdyby dimenze tří součinů byly velmi rozdílné tr(abc tr(bca tr(cab Přímý součin mtic (Kroneckerův součin Kždý prvek první mtice je násoben jko sklár, druhou mticí Jestliže mtice B je řádu m x n mtice A je řádu p x q (npř x, pk přímý součin je: b Př A, B c d e f b b c A B e c e d f b d f c e Obecné vyjádření A B A B Když B, B A c b c d e f e B B b d c d f e f b d f B, tento součin je typu mp x mq B

7 Genetik ve šlechtění zvířt TGU pk A B 9, součin typu x ( x Kroneckerův součin se využívá při predikci PH pomocí víceznkového modelu (multi-trits model Hdmrdův součin Hdmrdův součin je možný pro mtice, které jsou konformní pro sčítání Korespondující prvky obou mtic jsou společně násobeny Řád výsledného součinu je stejný jko dílčích mtic součinu Pro mtice A B řádu x, pk Hdmrdův součin je: b b A B b b INVERTOVÁNÍ MATIC Inverze čtvercové mtice A, oznčovná A -, je mtice, která je-li násobená původní mticí (bez ohledu n pořdí, dává identickou (jednotkovou mtici: AA - I A - A Inverzní (reciproká mtice A - Pltí: (A - - A (ABC - C - B - A - C - B - A - ABC I (AB - B - A - Výpočet inverzní mtice je zdlouhvá operce Výkonná výpočetní technik všk umožňuje provádět inverzi velmi rozsáhlých mtic Přesto je důležité ovládt zákldy invertování Anlogický proces inverze je možné vidět u sklárů: ( - je inverzí : Protože dělení mtic není definováno, musí být nhrzeno inverzí! Dělení mtice A mticí B se zpisuje provádí jko AB - ( A B POSTUP INVERTOVÁNÍ MATICE: určení determinntu určení přilehlé mtice trnspozice přilehlé mtice vynásobení reciprokou hodnotou determinntu d Jkákoliv čtvercová mtice s nenulovým determinntem (nesingulární, regulární může být invertován Je-li determinnt mtice roven nule, nzývá se tto mtice singulární 9

8 Genetik ve šlechtění zvířt TGU Prvním krokem invertování mtice je VÝPOČET DETERMINANTU mtice Determinnt je sklár Npř u obecné mtice A x, A, determinnt je A (rozdíl mezi součinem digonálních prvků součinu prvků mimodigonálních Pro mtice větší než x je determinnt získán rekurzivně z obecného vyjádření: n i j B b ( M j det B, kde B je mtice řádu n x n M je submtice (minor získná vymzáním i-tého řádku j-tého sloupce z mtice B pro prvek b M je subdeterminnt submtice M Jkýkoliv řádek mtice B může být použit k výpočtu determinntu mtice, protože výsledek by měl být stejný pro kždý řádek I sloupce mohou být použity místo řádků Můžete si to ověřit Pk se pokrčuje jko u mtic x Pro mtici B x může být determinnt zredukován do řdy determinntů mtic x Npř B pk: B ( ( ( (- (- (- -7 d Jestliže determinnt je nenulový, pokrčuje se v dlším kroku, v kterém se hledá PŘILEHLÁ MATICE V přípdě mtice A x je: - digonální prvky převrátíme prvky mimodigonální vynásobíme (- - přilehlá mtice: A V přípdě mtice B x získáme přilehlou mtici trochu složitěji, když kždý prvek mtice nhrdíme jeho kofktorem: i j - kofktor: M ( M, kde i j ( číslo i-tého řádku j-tého sloupce obshující -tý prvek M je subdeterminnt -tého prvku, po vypuštění i-tého řádku j- tého sloupce obshující -tý prvek (determinnt minoru! M ; M ; M Determinnt je společný dělitel všech prvků inverzní mtice Nlezení determinntů submtic je hlvní část při výpočtu přilehlé mtice

9 Genetik ve šlechtění zvířt TGU M ; M ; M M ; M ; M 7 Kofktory jsou prvky přilehlé mtice M B : M B 7 d Přilehlou mtici trnsponujeme po vynásobení reciprokou hodnotou determinntu získáme INVERZI MATICE Obecné řešení inverze mtice: T i j ( A, A kde - je -tý prvek mtice A, A je -tá submtice mtice A Inverze mtice A je: A - Inverze mtice B je: B - A B ' M B M B ' B Ověření správnosti výpočtu: AA - I, BB - I PŘÍKLAD INVERZE MATICE X A, Nejdříve zjistěte determinnty minorů, 7 7 A ; A ; A A ; A ; A A ; A ; A Vypočítejte determinnt, když použete první řádek mtice A, n i j A ( A j A - A A

10 Genetik ve šlechtění zvířt TGU Použitím vzorce T i j ( A získáme, A x x x x x x x x x A - Ověření, zd je inverze správná, A - x A, x Jestliže je determinnt nulový, není inverze definován nebo neexistuje I HODNOST MATICE (RANK Hodnost mtice je vyjádřen počtem lineárně nezávislých řádků nebo sloupců Čtvercová mtice s hodností rovnou počtu řádků nebo sloupců se nzývá mtice plné hodnosti je nesingulární, má nenulový determinnt má inverzi Jsou všk mtice, kde jsou některé řádky nebo sloupce lineárními kombincemi jiných řádků nebo sloupců Hodnost mtice je pk menší než je počet řádků nebo sloupců Pk je to mtice s neúplnou hodností Neexistuje pk jedinečná inverze, protože v mtici je závislost mezi řádky nebo sloupci x x x y x x x y x x x y třetí rovnice je součtem prvních dvou vektor řešení x (x [x x x ] nelze odhdnout pro nedosttečný zdroj informcí x y x y x y Ax y Protože v mtici A je závislost mezi řádky, neexistuje jedinečná inverze! Pouze dv řádky jsou nezávislé mtice má hodnost : r(a Determinnt má hodnotu mtice je singulární 7 ZOBECNĚNÁ INVERZE Singulární mtici nelze invertovt, le lze vypočítt zobecněnou inverzi Zobecněnou inverzi mtice A oznčujeme jko A - Pro zobecněnou inverzi není jedinečné řešení Zobecněné inverze A - je mtice, která splňuje tyto výrzy: AA - A A Dále pltí že A - A ni AA - není rovn I Je nekonečný počet zobecněných inverzí pro jednu singulární mtici Z mtice A získáme mtici s plnou hodností B, která je podsouborem mtice A z osttní prvky se dosdí nuly Pk lze vypočítt inverzi B prvky A nhrdíme korespondujícími prvky výsledek se rovná A - - B B Jsou-li nhrzeny prvky v A korespondujícími prvky B z zbývjící prvky v mtici A se dosdí nuly vytvoří se A -

11 Genetik ve šlechtění zvířt TGU A - Předpokládejme, že máme sdu rovnic, Ax y Řešením pro x je vynásobení obou strn rovnice A - Pokud je A regulární (nesingulární mticí Pk x A - y Stává se, že mtice A je singulární, tzn, že její determinnt je roven Řešením sdy rovnic může všk být vypočítáno použitím zobecněné inverze A VARIANČNÍ A KOVARIANČNÍ MATICE (VCV Genetický zisk u jedné vlstnosti bude záviset n poměru genetické fenotypové vrinci pro vlstnost ( dědivosti Je-li všk měřeno více vlstností u jedince, je možné mezi nimi vypočítt fenotypové kovrince Vytváří se vrinční-kovrinční mtice s vrincemi n digonále kovrincemi mimo digonálu x, x, x n - proměnné vr(x, vr(x vr(x n - vrince cov(x x, cov (x x, cov (x n-; x n - kovrince vr(x σx ; cov(xx σ x x Vrince skláru náhodné proměnné x je definován jko: V(x E(x E(x E(x E(x E(x σ x Kovrince mezi dvěm skláry náhodných proměnných x x : cov(x, x E(x, x E(x E(x σ x x Rozšířením těchto definic n vektor náhodných proměnných x, získáme vrinčně kovrinční mtici (čtvercová, symetrická, pozitivně definovná nebo lespoň pozitivně semidefinovná o rozměrech rovných délce x V(x E(xx E(xE(x vr(x cov(xx V cov(xx cov(xx n cov(x x vr(x cov(x x cov(x x cov(x vr(x x cov(xx n cov(x x n vr(x n - tto mtice je nutná pro odhd PH výpočtu selekčních indexů!!! - nechť A je mtice konstnt konformní pro násobení s vektorem x, pk: V(Ax E(Axx A E(Ax E(x A AE(xx A AE(xE(x A A(E(xx E(xE(x A AV(xA AVA - máme-li dvě sdy funkcí x, máme Ax Bx, pk: cov(ax, Bx AVB - máme-li dvě funkce různých náhodných vektorů, máme Ax, My, cov(x, y C, pk: cov(ax, My ACM - vrince n digonále - kovrince mimo digonálu Npř Sledujeme dvě vlstnosti měřené u mléčného skotu, produkce mlék procento tuku v mléce Předpokládejme, že fenotypové vrince pro mléko tuk jsou kg, % kovrince je 9 kg-% Mtice vrinční-kovrinční pk bude:

12 Genetik ve šlechtění zvířt TGU 9 9, Vrinčně-kovrinční mtice je vždy čtvercová symetrická mtice Můžeme podobně zkonstruovt geneticko vrinční-kovrinční mtici, s genetickými vrincemi n digonále genetickými kovrincemi mimo digonálu Genetické kovrince budou rovny zlomku celkové kovrince determinovné ditivními genetickými fktory V tomto přípdě budeme předpokládt následující genetickou vrinčně-kovrinční mtici:,,, Tkže dědivost v tomto přípdě pro: produkci mlék je h /, procento tuku je h,/,, Fenotypové korelce se počítjí jko podíl fenotypové kovrince druhé odmocnině součinu fenotypových vrincí Genetické korelce se počítjí jko podíl genetické kovrince druhé odmocnině součinu genetických vrincí Pk genetické korelce v nšem přípd jsou:, r g, *, Aplikce mticového počtu N rozdíl od sčítání, odečítání násobení mtic, nejsou jednoduché lgoritmy pro inverzi mtic Byly vyvinuty spíše složitější lgoritmy Množství čsu pro výpočet závisí exponenciálně n počtu řádků (nebo sloupců v mtici Moderní výpočetní technik umožňuje inverzi poměrně rychle Určité důležité mticové lgoritmy všk byly zkráceny (Henderson, 97 Čtvercová soustv lineárních rovnic soustv n lineárních rovnic o n neznámých: Ab y A (n x n, nesingulární; b (n x Vynásobením rovnice A - získáme vektor řešení: b A - y Užitečná vlstnost inverze je, že je-li mticový součin AB čtvercová mtice, pk (AB - B - A - Zákldní vzth mezi inverzí mtice řešením systému lineárních rovnic: Př Čtvercová nesingulární mtice A, jediné řešení pro b v rovnici mtic Ab y, je získáno vynásobením inverzí A -, b A - Ab A - y Když mtice A je singulární nebo nečtvercová, řešení pro b může být získáno zobecněnou inverzí (viz str, le tkovéto řešení není jedinečné - rovnice o neznámých: 9 pomernčů jblk Kč pomernčů jblek Kč - způsob výpočtu: elimince jedné neznáme vypočítt druhou (metod odečítcí nebo substituční

13 Genetik ve šlechtění zvířt TGU 9x y x y - řešení n zákldě obecné lgebry: řešení: x Kč y 9 Kč Řešení n zákldě mticové lgebry: 9x y x y 9 x y A b y mtice koeficientů vektor proměnných vektor cen nákupu Mticový zápis: 9 x y x 9 y Řešení: čtvercová inverzní mtice A b d b,97 c d d bc c ,77,77,7,79 doszení inverzní mtice A - do soustvy mtic vypočítt: x,77,77 7,79 (,7 y,7,79, 9,9 9 Výhody řešení: - velký počet rovnic řeší počítče softwre!!! - velký počet proměnných Př Použití mticové lgebry je tké v řešení systému lineárních rovnic o neznámých: x x x x - x x x x x - Je možné řešit následující systém tří rovnic pro tři neznámé: x, x, x Použitím mticové lgebry n tento systém rovnic získáme: x x x A x y A mtice koeficientů x vektor řešení y vektor prvé strny

14 Genetik ve šlechtění zvířt TGU A x y Řešení rovnic: A - A x A - y x A - y Obě strny se násobí inverzní mticí A Protože A - A I Př Rovnice nejmenších čtverců Předpokládejme, že existuje systém rovnic podoby Ax y, pro které neexistuje řešení: - buď je více rovnic než neznámých (A nebude čtvercová mtice nebo je lineární závislost mezi rovnicemi y Ax e y známý vektor (npř vektor měření získný n vzorku zvířt: výšk, váh, produkce mlék, A známá mtice (mtice známých šetření plikovná n tyto zvířt x neznámý vektor (vektor řešení; vektor efektů těchto šetření n vzorku zvířt e neznámý vektor (vektor reziduální Přejeme si vyřešit pro hodnoty x minimální součet reziduálních čtverců Tento součet čtverců je roven čtverci rozdílů mezi Ax y: e e (y Ax (y Ax x A Ax x A y y y Odečtením s ohledem n x porovnáním k nule získáme: A Ax A y nkonec: x (A A - A y Tto rovnice se nzývá normální používá se k odvození řešení nejmenších čtverců pro x Jeli mtice A singulární, pk zobecněná inverze (A A - může nhrdit prvou inverzi V tomto přípdě všk není jedinečné řešení normálních rovnic, le je množné získt specifické řešení, přidáním omezení do systému rovnic, npř omezení, že všechny úrovně efektu by se měly přičíst k dné hodnotě Mteriály určené pro studenty specilizce Genetik šlechtění hospodářských zvířt pro předmět Genetik ve šlechtění zvířt (letní semestr Dr Ing Tomáš Urbn ÚMFGZ prcoviště genetiky MZLU v Brně urbn@mendelucz únor Urbn