KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
|
|
- Naděžda Moravcová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MECHANIKA 1
2 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve vakuu c m s Mechanický pohyb změna vzájemné polohy těles v prostoru a čase. Pohyb je relativní nutno udat vztažné těleso (vztažnou soustavu). 2
3 Kartézský souřadný systém osa z základní vektor k základní vektor j osa x základní vektor i počátek [0,0,0] osa y 3
4 Vztažné soustavy pravoúhlá (kartézská) souřadnice x, y, z polární: poloměr r, úhel ϕ cylindrická (válcová): poloměr r, úhel ϕ, souřadnice z sférická (kulová): poloměr r, úhel ϕ, úhel ϑ Nejčastěji se používá tzv. laboratorní soustava tj. pravotočivá kartézská soustava pevně spojená se Zemí). 4
5 Popis pohybu v prostoru a čase bez uvažování příčin pohybu KINEMATIKA Studium příčin pohybu a jeho změn MECHANIKA DYNAMIKA Zvláštní část mechaniky: STATIKA (pohyb nenastává) 5
6 KINEMATIKA Idealizace Hmotný bod (HB fiktivní objekt) rozměry tělesa jsou v daných souvislostech zanedbatelně malé (lze je zanedbat vzhledem např. k uražené dráze) rotační pohyb lze zanedbat těleso nepodléhá deformaci Abychom mohli jednoznačně určit polohu tělesa a změnu této polohy, musíme znát v každém okamžiku základní kinematické veličiny, tj. jeho polohu (polohový vektor r ) rychlost v, zrychlení a 6
7 Základní kinematické veličiny (okamžitý) polohový vektor r okamžitá rychlost v a okamžité zrychlení Vedlejší kinematické veličiny vektor elementárního úhlového otočení vektor úhlové rychlosti vektor úhlového zrychlení 7
8 Polohový vektor Definice r x i +y j + zk osa x α k i γ y β Δ j z x osa y Velikost polohového vektoru r r x + y + z Směrové kosiny polohového vektoru cosα, cosβ, cosγ 8
9 Pro směrové kosiny platí cos α x, cos β y, cosγ z r r r přičemž cos α cos β cos γ Základní vektory i j k ( 1, 0, 0) ( 010,, ) ( 0, 0, 1) i Vektor : cosα 1, cosβ 0, cosγ 0 Vektor k j : cosα 0, cosβ 1, cosγ 0 Vektor : cosα 0, cosβ 0, cosγ 1 i k j 9
10 Trajektorie množina koncových bodů polohového vektoru znázorněna červeně. Délka trajektorie dráha s s(t). r r 0 r (t 0 ) 0,0,0 t Polohový vektor r r t trajektorie ( ) rt () xti () + yt () j+ ztk () r (t 0 +Δt) r : počátek vždy v počátku soustavy souřadnic, konec na trajektorii ve sledovaném bodě. Může se natáhnout na neomezenou délku. Jednotkou dráhy i velikosti polohového vektoru je metr (m). 10
11 Parametrické rovnice trajektorie x x() t x 2t y z y() t zt () například: y z 3t 4t 2 Vyloučením času (tj. parametru) obdržíme tvar křivky y f( x, z), po které se HB pohybuje. Okamžitou polohu HB můžeme tedy popsat třemi skalárními rovnicemi, nebo jednou vektorovou rt () xti () + yt () j+ ztk () rt () 2ti+ 3t j+ 4tk 2 například: 11
12 Příklad 1 Polohový vektor tělesa v pohybu je dán vztahem Určete tvar trajektorie. y rt () (3,6 t + 4,2) i+ (5,4 t) j Řešení: Pohyb se děje v rovině xy. Složky polohového vektoru jsou (1) x 3,6t + 4, 2 y t (2) 5,4 2 4 x Z rovnice (1) vyjádříme čas: a dosadíme do rovnice (2). t [SI]. x 4,2 3,6 Po úpravě obdržíme: y 1, 5x 6,3. To je rovnice přímky, jejíž směrnice je 1,5. Úsek na ose y je - 6,3 m. 12
13 Okamžitá rychlost Definice v dr dt Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle času r trajektorie A Δs B v B v r + Δr A r Δ r Δs délka oblouku 0 Střední rychlost v AB mezi body A, B Δs Δr v AB Δt Δt Limitní přechod: B A, potom Δt 0, střední rychlost v AB okamžitá rychlost v 13
14 r dr v lim v lim AB Δ t 0 Δ t 0 Δ Δt dt r Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle času v v v v x y z (, ) (,, ) x y, z v trajektorie rt ( ) 0,0,0 Vektor rychlosti má směr tečny ke trajektorii a jeho orientace odpovídá rostoucím hodnotám času t. 14
15 v rt () Vektor okamžité rychlosti má tedy směr tečny a jeho velikost má význam dráhy uražené za jednotku času. 0 Složky vektoru rychlosti: d dx dy dz v ( xi + yj + zk ) i + j + k vxi + vy j + vk z dt dt dt dt velikost rychlosti v v v + v + v x y z., Jednotkou rychlosti je metr za sekundu (m.s -1 ) 15
16 Pozn. Sledujme pouze velikosti okamžité rychlosti : ds dr dr ds v v s dt dt dt tedy : v dr r v ds s ale dt dt 16
17 Příklad 2 2 Poloha elektronu je dána vztahem r 3,0ti 4,0t j + 2,0k. a) Určete časovou závislost rychlosti elektronu vt (). b) Jakou rychlost má elektron v okamžiku t 2,0 s? Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů. c) Určete velikost rychlosti v tomto okamžiku. Řešení: a) Časovou závislost rychlosti elektronu vt () získáme derivací polohového vektoru d v() t (3,0 ti 4,0 t j + 2,0 k ) m.s (3,0 i 8,0 t j ) m.s dt b) V čase t 2 s má elektron rychlost v( t 2) 3,0 i (8,0 2,0) j (3,0 i 16,0 j) m.s 1 r c) Velikost rychlosti elektronu v čase t 2 s v v v + v x y 3,0 16,0 16 m.s 17
18 Typické hodnoty některých rychlostí v Šíření elektromagnetických vln ve vakuu Orbitální rotace Země kolem Slunce Zvuk ve vzduchu Automobil na dálnici Lidská chůze (průměrná hodnota) Vodivostní elektron v kovu (v drift ) m/s 29, m/s 332 m/s 45 m/s 1,2 m/s 0,001 m/s 18
19 Okamžité zrychlení Mění-li vektor rychlosti buď velikost nebo směr (případně obojí najednou), pak říkáme, že se těleso pohybuje se zrychlením. Změna vektoru rychlosti v čase okamžité zrychlení dv a v dt a a i+ a j+ a k, x y z ( ) nebo jinak x y z 2 dv d dr d r a v r 2 dt dt dt dt kde a v, a v, a v. x x y y z z dv d dv dv x y dv z a v i + v j + v k i + j + k dt dt dt dt dt Jednotkou zrychlení je (m.s -2 ). 19
20 Vektor zrychlení nemá při pohybu částice po své trajektorii žádný význačný nebo specifický směr. Obecně a a i + a j + a k x y z Obr.: Rozklad okamžitého zrychlení při pohybu částice v rovině xy a a i + a j Uděláme rozklad vektoru zrychlení a do dvou jiných, také navzájem kolmých ale mnohem názornějších směrů. Zvolíme směr tečny k trajektorii a směr kolmice (normály) k této tečně. Tato normála směřuje do středu oblouku, který trajektorie v bodě P tvoří. x y 20
21 0 dφ R A ds Vektor dv nemá žádný specifický směr ve vztahu k polohovému vektoru R v B v v + + dv dv v dv dv n dv t Jestliže se mění : pouze velikost rychlosti v pouze směr rychlosti v, pak vektor dv má směr : tečny k trajektorii tečné zrychlení a t normály k trajektorii normálové zrychlení a n 21
22 Změna jen velikosti rychlosti tečné zrychlení a t Zrychlení Změna jen směru rychlosti normálové zrychlení a n Obě změny současně a an + at 22
23 Obecný (křivočarý) pohyb a t a n a a t tečné zrychlení, a n normálové zrychlení Celkové zrychlení je dáno vztahem a a + a t n velikost zrychlení je a a + a 2 2 t n velikosti složek a t dv dt a n 2 v R kde R je poloměr oskulační kružnice. Shrnutí 23
24 rychlost má směr tečny k trajektorii tečná složka zrychlení a t určuje změnu velikosti rychlosti za jednotku času a a 0 normálová složka zrychlení n ( n ) závisí na poloměru křivosti dráhy souvisí se změnou směru pohybu. Směřuje do středu křivosti dráhy, takže i celkové zrychlení a 0 Je-li zrychlení a mění se jen velikost rychlosti, pak mění se jen směr rychlosti, pak a směřuje dovnitř zakřivení. a at a an a a + a mění se velikost i směr rychlosti, pak t n 24
25 Kruhový pohyb pohyb v rovině 2D problém y r v ϕ x y x Pro popis tohoto pohybu jsou vhodné polární souřadnice: r ( konst.) a ϕ() t Vztah k souřadnicím kartézským x r cosϕ y rsinϕ r xi + yj rcosϕ i + rsinϕ j Polohový vektor ( ) ( ) Rovnoměrný pohyb kruhový úhlová dráha ϕ narůstá rovnoměrně s časem ϕ ω t (ω je velikost úhlové rychlosti otáčení) rt r ti r t j Polohový vektor: () ( cosω ) + ( sinω ) 25
26 Délka oblouku s: s rϕ S r a ϕ a n s v a t B Obvodová rychlost v : dr v ( rωsinωt) i + ( rωcosωt) j dt [ ] A Její velikost: v v + v r ω sin ϕ+ r ω cos ϕ x y v rω. 26
27 úhlové zrychlení ε! v ose otáčení! Vektorově ϕ ω r v ω d ϕ dt, v ω r Obvodová rychlost v je vektor, který má směr tečny k trajektorii. v ω r Poznámka: Při vektorovém popisu kruhového pohybu leží vektory veličin úhlová dráha ϕ, úhlová rychlost ω 27
28 Zrychlení y v r dv a ( rω 2 cosωt) i + ( rω 2 sinωt) j dt a x a 2 ω r Zrychlení a má směr do středu kružnice název dostředivé zrychlení Velikost zrychlení: an v r 2 2 rω (poněvadž v ωr ), a 0 (poněvadž velikost rychlosti konst.) t 28
29 Perioda doba jednoho oběhu Platí Pro t ϕ ω t. T je ϕ 2π. Po dosazení do předchozí rovnice obdržíme 2π ωt T 2π ω [ T ] s Frekvence (počet oběhů za sekundu) převrácená hodnota periody f 1 T Spojením těchto rovnic dostaneme [ f ] 1 s Hz ω 2π f [ ] -1 ω s. 29
30 Základní druhy pohybů přímočarý rovnoměrný a n 0, a t 0 přímočarý rovnoměrně zrychlený (zpomalený) 0 n a, a konst. 0 t přímočarý nerovnoměrný a n 0, křivočarý rovnoměrný an 0, at a t 0 0 kruhový rovnoměrný a konst. 0, a 0 křivočarý nerovnoměrný 0 n n a, a 0 t t 30
31 DVĚ ÚLOHY KINEMATIKY 1. úloha Máme dán polohový vektor rt (), odtud derivace derivace () r r t v v() t a a() t Úloha je triviální a jednoznačná. 2. úloha Známe vektor zrychlení at (), odtud integrace integrace at () v vt () r rt () Musíme znát počáteční (okrajové) podmínky. 31
32 Aplikace 2. úlohy 1) Pohyb s konstantním zrychlením (tj. přímočarý rovnoměrně zrychlený) a) Hledáme rychlost Z definice Po integraci obdržíme Pro t 0s pak a konst. dv a dv adt v adt dt (neurčitý integrál) v at+ C 1 vt ( 0) + C C v (1), kde C 1 je integrační konstanta (libovolná). at Konstanta C 1 má význam rychlosti v čase t 0 s a vztah zapíšeme v at+ v 0 (2) 32
33 b) Hledáme polohový vektor r. dr v dr vdt r vdt dt v ( ) Po dosazení za z rovnice (2) a následné integraci dostaneme 2 (neurčitý integrál) at r vdt at+ v dt atdt+ v dt + v t+ C 2 kde C 2 je integrační konstanta (libovolná). Pro t 0s at 2 rt ( 0) + vt C 2 C 2 r 0 0 Konstanta C 2 má význam polohového vektoru v čase t 0 s a vztah zapíšeme r at + v0t + r0 (3) 0, 33
34 2) Pohyb s konstantní rychlostí (tj. přímočarý rovnoměrný) v konst. Zrychlení je v tomto případě a dv 0, konst protože a 0 dt Hledáme pouze polohový vektor r. dr v dr vdt r vdt dt (neurčitý integrál) Po integraci obdržíme r vt + C, kde C je integrační konstanta (libovolná). Pro t 0s pak rt ( 0) r0 vt + C C r0 0 Konstanta C má význam počáteční rychlosti tj.rychlosti v čase t 0 s. Pro polohový vektor dostáváme r vt+ r 0 34
35 Shrnutí Aplikace 2. úlohy 1) Pohyb s konstantním zrychlením (tj. přímočarý rovnoměrně zrychlený) a konst. 1 2 v at+ v 0 r at + v 0t+ r 0 2 a v r shodný směr Protože jde o pohyb po přímce (1D) mají vektory,, a navíc platí r s, můžeme použít jen velikosti veličin 1 2 a konst. v at+ v0 s at + v t + s ) Pohyb s konstantní rychlostí (tj. přímočarý rovnoměrný) a 0 v konst. r vt+ r0 Analogicky pro velikosti veličin a 0 v konst. s vt + s0 35
36 Poznámky Pokud jsou vektory rovnoběžné r v a (ať už souhlasně nebo nesouhlasně), jedná se o pohyb přímočarý. Mají-li různý směr křivočaré pohyby. Každá z vektorových rovnic (1), (2) a (3) se dá nahradit třemi skalárními rovnicemi. Rozklad pohybů do zvolených směrů (např. do směrů os x, y, z). Princip nezávislosti pohybů. Pohyb tělesa (hmotného bodu) v tíhovém Zemském poli (v prvním počítačovém cvičení) 36
BIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
VíceMechanika - kinematika
Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb
Více2. Kinematika bodu a tělesa
2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a
VíceKINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník
KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje
VíceKinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet
VíceFYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P01 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P01 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce
1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VíceZákladní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici
Kinematika Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Základní pojmy Kinematika - popisuje pohyb tělesa, nestuduje jeho příčiny Klid (pohyb)
VíceB. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy
VíceShrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace
Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Číslo a název sady: Téma: Jméno a příjmení autora: Datum vytvoření:
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceRovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83
Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceŠroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu
ŠROUBOVICE Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ZÁKLADNÍ POJMY osa šroubovice o nosná válcová plocha (r poloměr řídicí kružnice
VícePočty testových úloh
Počty testových úloh Tematický celek rok 2009 rok 2011 CELKEM Skalární a vektorové veličiny 4 lehké 4 těžké (celkem 8) 4 lehké 2 těžké (celkem 6) 8 lehkých 6 těžkých (celkem 14) Kinematika částice 6 lehkých
VíceKinematika. Tabulka 1: Derivace a integrály elementárních funkcí. Funkce Derivace Integrál konst 0 konst x x n n x n 1 x n 1.
Kinematika Definice: Známe-li časový průběh polohového vektoru r(t), potom určíme vektor okamžité rychlosti hmotného bodu časovou derivací vektoru r(t), v= d r dt Naopak, známe-li časový průběh vektoru
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň 2
Obsah 1 Rozdělení mechaniky a její náplň 2 2 Kinematika hmotného bodu 6 2.1 Křivočarý pohyb bodu v rovině................. 7 2.2 Přímočarý pohyb hmotného bodu................ 9 2.2.1 Rovnoměrný pohyb....................
Více14 Pohyb hmotného bodu v rovině je určen rovnicemi. kde Raωjsoukonstanty.Určeterychlost vazrychlení a.ukažte,že v= ωr,
Kinematika 1 Dvahmotnébody AaBsezačnousoučasnězklidupohybovatstejnýmsměrem pojednépřímce.počátečnívzdálenostbodůbyla s=4m.bod Asepohybuje rovnoměrněpřímočařerychlostí v=6ms 1,bod Bsepohybujerovnoměrně
VíceFyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole
Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu
VíceIng. Oldřich Šámal. Technická mechanika. kinematika
Ing. Oldřich Šámal Technická mechanika kinematika Praha 018 Obsah 5 OBSAH Přehled veličin A JEJICH JEDNOTEK... 6 1 ÚVOD DO KINEMATIKY... 8 Kontrolní otázky... 8 Kinematika bodu... 9.1 Hmotný bod, základní
Více= (1.21) a t. v v. což je výraz v závorce ve vztahu (1.19). Normálové zrychlení a H jednoduše jako rozdíl = (1.20)
Tečné zrychlení získáme průmětem vektoru zrychlení a vynásobením jednotkovým vektorem ve směru rychlosti do směru rychlosti a a t v v a v v = (1.19) Podotýkáme, že vektor tečného zrychlení může být souhlasně
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceObsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8
Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................
VíceHmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);
Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
VíceGyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2
Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové
VíceBIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.
BIOMECHANIKA 4, Kinematika pohybu I. (zákl. pojmy - rovnoměrný přímočarý pohyb, okamžitá a průměrná rychlost, úlohy na pohyb těles, rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb, volný pád) Studijní program,
VíceMechanika
Mechanika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Mechanika Kinematika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VíceProjekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky
Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................
VíceK L A S I C K Á T E O R I E P O H Y B U Č Á S T I C A J E J I CH S O U S T A V
ČÁST III K L A S I C K Á T E O R I E P O H Y B U Č Á S T I C A J E J I CH S O U S T A V 10. Pohyb hmotného bodu 11. Dynamika hmotného bodu 12. Dynamika systému hmotných bodů 13. Statistická mechanika 14.
VíceSkládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :
Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceI N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í
DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou
Vícevztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další
p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů
VíceBIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY
BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceŘešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
VíceElektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceKinematika II. Vrhy , (2.1) . (2.3) , (2.4)
Kinematika II Vrhy Galileo Galilei již před čtyřmi staletími, kdy studoval pád různých těles ze šikmé věže v Pise, zjistil, že všechna tělesa se pohybují se stálým zrychlením směřujícím svisle dolů můžemeli
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VíceKinematika hmotného bodu
Kinematika hmotného bodu (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 17. října 2009 Obsah Hmotný bod, poloha a vztažná soustava Trajektorie. Dráha Polohový vektor. Posunutí Rychlost
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceKinematika hmotného bodu
KINEMATIKA Obsah Kinematika hmotného bodu... 3 Mechanický pohyb... 3 Poloha hmotného bodu... 4 Trajektorie a dráha polohového vektoru... 5 Rychlost hmotného bodu... 6 Okamžitá rychlost... 7 Průměrná rychlost...
VíceŘešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.
Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceZákladní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více2. Mechanika - kinematika
. Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu
VíceKRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
VíceFyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK
Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická
VícePříklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
VíceVyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1
DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-07 Téma: Mechanika a kinematika Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TESTY Testy Část 1 1. Čím se zabývá kinematika? 2. Které těleso
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceDiferenciální geometrie
Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5
Víceω=2π/t, ω=2πf (rad/s) y=y m sin ωt okamžitá výchylka vliv má počáteční fáze ϕ 0
Kmity základní popis kmitání je periodický pohyb, při kterém těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou mechanický oscilátor zařízení vykonávající kmity Základní veličiny Perioda T [s], frekvence f=1/t
VíceRychlost, zrychlení, tíhové zrychlení
Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete
VíceKinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.
Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18 Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18 Vektorová funkce jedné
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VíceProjekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou
VíceObsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9
Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů
Více10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
VíceFYZIKA I VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová Ostrava 03
VíceFYZIKA. Kapitola 3.: Kinematika. Mgr. Lenka Hejduková Ph.D.
1. KŠPA Kladno, s. r. o., Holandská 2531, 272 01 Kladno, www.1kspa.cz FYZIKA Kapitola 3.: Kinematika Mgr. Lenka Hejduková Ph.D. Kinematika obor, který zkoumá pohyb bez ohledu na jeho příčiny klid nebo
Více(test version, not revised) 9. prosince 2009
Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009 Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceRadiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice
Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,
VíceKINEMATIKA. 18. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI III. Úhlová rychlost. Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0218
KINEMATIKA 18. ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI III. Úhlová rychlost Mgr. Jana Oslancová VY_32_INOVACE_F1r0218 Úkol 1: Roztřiď do dvou sloupců, které veličiny, popisující pohyb, jsou u všech bodů otáčejícího
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
VíceObsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
Více7. Gravitační pole a pohyb těles v něm
7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:
VícePotenciální proudění
Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Více3. Obecný rovinný pohyb tělesa
. Obecný rovinný pohyb tělesa Při obecném rovinném pohybu tělesa leží dráhy jeho jednotlivých bodů v navzájem rovnoběžných rovinách. Těmito dráhami jsou obecné rovinné křivky. Všechny body ležící na téže
Více