TGH06 - Hledání nejkratší cesty

Transkript

1 TGH06 - Hledání nejkratší cesty Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015

2 Motivační problémy Silniční sít reprezentovaná grafem. Ohodnocené hrany - délky silnic. Najdi nejkratší/nejrychlejší cestu z místa A do místa B. Hledání nejširší cesty (přeprava rozměrných nákladů). Najdi nejrychlejší dopravní spojení (IDOS). Routovaní. Nejkratší cesta pro pakety TCP/IP spojení. AI - pathfinding, pro roboty a boty. Ohodnocení délkou, bezpečností,... AI (problem solving) např. skládání rubikovy kostky,

3 Grafové formulace Vstup: Graf (vrcholu, hrany), orientovaný Ohodnocení hran (nezáporné) Shortest path: Najdi nejkratší cestu z vrcholu A do vrcholu B. Single source shortest path: Najdi nejkratší cesty z vrcholu S do všech vrcholů. V single source úloze je řešením strom nejkratších cest (z každého vrcholu kromě S vede právě jedna hrana směrem k S, tj. N 1 hran). All-to-all shortest path: Najdi nejkratší cestu pro všechny dvojice vrcholů.

4 Modifikace BFS Pro celočíselná ohodnocení bychom mohli hrany rozdělit na podhrany.

5 Modifikace BFS Pro celočíselná ohodnocení bychom mohli hrany rozdělit na podhrany. Spustíme BFS z vrcholu S. Z vrcholu S vypustíme Číňany. Ve vrcholech se budou dělit.

6 Modifikace BFS Pro celočíselná ohodnocení bychom mohli hrany rozdělit na podhrany. Spustíme BFS z vrcholu S. Z vrcholu S vypustíme Číňany. Ve vrcholech se budou dělit. Pro velká ohodnocení budeme opakovaně dávat do fronty vrcholy na stejných makro hranách. Číňané pouze jdou.

7 Modifikace BFS Pro celočíselná ohodnocení bychom mohli hrany rozdělit na podhrany. Spustíme BFS z vrcholu S. Z vrcholu S vypustíme Číňany. Ve vrcholech se budou dělit. Pro velká ohodnocení budeme opakovaně dávat do fronty vrcholy na stejných makro hranách. Číňané pouze jdou. Chceme zjistit, který Čínan první dorazí na nějakou křižovatku. Pro něj provedeme rozdělení.

8 Modifikace BFS Pro celočíselná ohodnocení bychom mohli hrany rozdělit na podhrany. Spustíme BFS z vrcholu S. Z vrcholu S vypustíme Číňany. Ve vrcholech se budou dělit. Pro velká ohodnocení budeme opakovaně dávat do fronty vrcholy na stejných makro hranách. Číňané pouze jdou. Chceme zjistit, který Čínan první dorazí na nějakou křižovatku. Pro něj provedeme rozdělení. Lépe: Na kterou křižovatku dorazí prvně nějaký Číňan. Křižovatek (vrcholů) je méně než skupin Číňanů (hran).

9 Prioritní fronta Datová struktura s operacemi: Odeber Minum (AcessMin, DeleteMin) - vrat prvek s minimálním kĺıčem a odeber ho z fronty Zmenši Kĺıč (DecreaseKey) - zmenši kĺıč daného prvku ve frontě Naplnění fronty - vytvoření fronty z dané množiny prvků, nebo operace přidání prvku Možno implementovat pomocí haldy. Pro binární haldu máme složitost prvních dvou operací O(log n).

10 Dijkstra s algorithm Vstup: vrcholy V a sousednosti Adj[u] = {e E e(u, v)} s ohodnocením w(e), počáteční vrchol s Výstup: vzdálenosti d[i] od s, předci π[i] stromu minimálních vzdáleností for u V do d[u] = ; ; d[s] = 0; π[s] = NULL; Naplň prioritní frontu Q vrcholy V s prioritami d[ ]. while u = OdeberMin(Q) do for e = (u, v) Adj[u] do alt = d[u] + w(e); if alt < d[v] then π[v] = u; d[v] = alt; ZmenšiKĺıč(Q,v);

11 Složitost Dijkstra Obecně: Pro seznam: O( V (čas OdeberMin) + E (čas ZmenšiKĺıč)) O( V O( V ) + E O(1)) = O( V 2 ) Pokud E V 2 je toto optimální, jinak se vyplatí použít: Binární haldu: O(( V + E ) log V ) nebo dokonce Fibonacciho haldu: O( V log V + E )

12 Správnost Dijkstra Theorem Necht R je množina vrcholů mimo prioritní frontu. V průběhu celého algoritmu platí d[v] = δ(v) := δ(s, v) pro všechny vrcholy v R. Důkaz indukcí. Na počátku je R =, tvrzení platí. Pokud platí pro R, platí i po přidání vrcholu v, tj. pro R {v}. Sporem: Existuje cesta P = (s,..., x, y,..., v) kratší než d[v], Necht, (x, y), x R a y / R, je hrana nejbĺıže s (existuje, protože s R a v / R. Vrchol v má nejmenší d[ ] z vrcholů mimo R. Tedy d[v] d[y]. Při přidání x do R jsme prošli i hranu (x, y), je tedy: d[x] + w(x, y) d[y] a zároveň d[x] = δ(x) podle indukčního předpokladu. Dohromady: w(p ) δ(x) + w(x, y) d[v] takže cesta P není kratší.

13 Bottleneck path Problém: Najdi cestu z města A do města B s největší minimální šířku silnice. Modifikace Dijkstra: vrcholy - města hrany - silnice váhy hran - šířky silnic délka cesty - minum z hodnot hran (nejužší místo na cestě) fronta - maximální, d[ ] šířka nejširší cesty while u = OdeberMax(Q) do for e = (u, v) Adj[u] do alt = min(d[u], w(e)); if alt > d[v] then π[v] = u; d[v] = alt; ZvětšKĺıč(Q,v);

14 Hledání nejkratší cesty Hledání nejkratší nebo nejrychlejší cesty na mapě. (Rovinný graf) IDOS. Nejrychlejší dopravní spojení. (DAG) Hledání spojení s maximální propustností. (bottleneck path) Path density. Importance of people in social networks.

15 Path density

16 Bellman-Ford pro záporné váhy for u V do d[u] = ; ; d[s] = 0; π[s] = NULL; for i = 1,..., V 1 do for e = (u, v) E do alt = d[u] + w(e); if alt < d[v] then π[v] = u; d[v] = alt; for e = (u, v) E do u = e.begin; v = e.end; alt = d[u] + w(e); if alt < d[v] then Error: negative cycle.; princip: V kroku i najdu všechny nejkratší cesty délky i. složitost: O( V E )

17 Bellman-Ford aplikace Hrany jsou akce, ohodnocení jejich cena (kladná - placená práce, záporná - jiné aktivity), cílem je dosáhnout daného cíle a maximalizovat náklady. Hrany jsou chemické reakce, ohodnocení uvolněné teplo. Kurzová arbitráž. Hrany jsou možné konverze mezi měnami. Cílem je najít negativní cyklus a na něm se obohatit. Zjednodušené verze některých NP-úplných problémů (lineární programování). Řešení soustavy rozdílových nerovnic: x i x j w ij Vrcholy jsou proměnné, hrany jsou nerovnice, přidán startovní vrchol s nulovými hranami do ostatních.

18 Floyd Warshall - všechny nejkratší cesty Počáteční hodnota d[i][j] je hodnota příslušné hrany, nebo nekonečno pokud hrana neexistuje. middle[ ][ ] = NULL for k = 1,..., V do for i = 1,..., V do for j = 1,..., V do if d[i][k] + d[k][j] < d[i][j] then d[i][j] = d[i][k] + d[k][j]; middle[i][j] = k; Pro každé k se aktualizuje d[i][j], což je nejkratší cesta z i do j s použitím vrcholů 1,..., k. middle[i][j] udává mezivrchol s nejvyšším indexem na nejkratší cestě z i do j. Libovolnou nejkratší cestu i j je možno rekurzivně rekonstruovat jako: i middle[i][j], middle[i][j] j. Při přítomnosti záporných cyklů jsou na diagonále matice d záporná čísla.

19 Princip optimality Pokud X Z Y je nejkratší cesta z X do Y, pak X Z a Z Y jsou také nejkratší cesty. Důsledek:

20 Dynamické programování

21 A algorithm Dijkstrův algoritmus + heuristika vzdálenosti do cíle c. Přípustná (admisible) heuristika h(v): pro každý vrchol v máme navíc spodní odhad nejkratší vzdálenosti, t.j. monotóní heuristika δ(v, c) h(v) h(x) δ(x, y) + h(y) V Dijkstrově algoritmu pak modifikujeme ceny hran na: FINISH d (u, v) = d(u, v) h(u) + h(v)

22

23

24 A* algorithm, monotonni for u V do d[u] = ; ; d[s] = 0; π[s] = NULL; Naplň prioritní frontu Q vrcholy V s prioritami d[ ]. while u = OdeberMin(Q) do for e = (u, v) Adj[u] do alt = d[u] + w(e) h[u] + h[v]; if alt < d[v] then π[v] = u; d[v] = alt; ZmenšiKĺıč(Q,v); Stačí modifikovat ohodnocení hran. Díky monotonii nevznikaji zaporné hrany a každý vrchol se do fronty dostane maximálně jednou.

25 A* algorithm, monotonni for u V do d[u] = ; ; d[s] = 0; π[s] = NULL; Naplň prioritní frontu Q vrcholy V s prioritami d[ ]. while u = OdeberMin(Q) do for e = (u, v) Adj[u] do alt = d[u] + w(e); if alt < d[v] then π[v] = u; d[v] = alt; ZmenšiKĺıč(Q,v, d[v] + h[v]); Ohodnocení i hodnoty d[:] jsou jako v Dijkstrovi, ale priority ve frontě jsou modifikované. Pro monoténní heuristiku je to ekvivalentní předchozímu přístupu. Jinak se vrcholy mohou do fronty vracet. Jakou to pak má složitost??

26 Dálniční hierarchie