Jarníkův algoritmus. Obsah. Popis
|
|
- Adéla Urbanová
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 z 6 28/05/ :44 Jarníkův algoritmus Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Jarníkův algoritmus (v zahraničí známý jako Primův algoritmus) je v teorii grafů algoritmus hledající minimální kostru ohodnoceného grafu. Najde tedy takovou podmnožinu hran grafu, která tvoří strom obsahující všechny vrcholy původního grafu a součet ohodnocení hran z této množiny je minimální. Poprvé algoritmus popsal Vojtěch Jarník roku 1930, později byl znovuobjeven roku 1957 Robertem Primem a poté ještě jednou roku 1959 Edsgerem Dijkstrou. V zahraničí se téměř výlučně používá označení Primův algoritmus, vzácně pak Jarníkův algoritmus nebo DJP algoritmus. Obsah 1 Popis 2Časová složitost 3 Příklad 4 Implementace v pseudokódu 4.1 S použitím haldy 5 Důkaz správnosti 6 Reference 7 Literatura 8 Externí odkazy Popis Algoritmus začíná s jedním vrcholem a postupně přidává další a tím zvětšuje velikost stromu do té doby, než obsahuje všechny vrcholy. Vstup: souvislý ohodnocený graf G(V,E) Inicializace: V' = {x}, kde x je libovolný vrchol z V, E' = {} Opakuj dokud není V'=V: Vyber hranu (u,v) z E s minimální cenou tak, že u je ve V' a v není ve V' Přidej v do V', přidej (u,v) do E' Výstup: G(V',E') je minimální kostra grafu Časová složitost
2 2 z 6 28/05/ :44 Datová struktura s ohodnocením hran Celková časová složitost matice sousednosti V 2 binární halda (v pseudokódu níže) a seznam sousedů O((V + E) log(v)) = E log(v) Fibonacciho halda a seznam sousedů E + V log(v) Jednoduchá implementace s použitím reprezentace grafu pomocí matice sousednosti a prohledáváním pole cen má časovou složitost O(V 2 ). S použitím binární haldy a seznamu sousedů dosáhneme složitosti O(E log V), kde E je počet hran a V je počet vrcholů. S použitím sofistikované Fibonacciho haldy složitost snížíme až na O(E + V log V), což je obzvláště rychlé u grafů, kde E je. Příklad
3 arníkův algoritmus Wikipedie z 6 28/05/ :44 Obrázek Popis Dosud neviděn Sousedé Dosavadní řešení Toto je náš původní ohodnocený graf. Není to strom, protože definice stromu požaduje, aby v grafu nebyly žádné kružnice a tento graf kružnice obsahuje. Čísla poblíž hran označují jejich cenu. C, G A, B, E, F D Žádná hrana zatím není označena a vrchol D byl vybrán náhodně jako startovní vrchol. Druhý vybraný vrchol je nejbližší k vrcholu D: cena hrany do A je 5, do B je 9, do E je 15 a F je 6. Cena hrany do bodu A (5) je nejnižší, použijeme tedy (a v našem diagramu vyznačíme) tuto hranu. C, G B, E, F A, D Dalším vybraným vrcholem je nejbližší vrchol buď k D nebo k A. Cena hrany z D do B je 9 a z A do B je 7, do E je 15 a do F je 6. Cena poslední jmenované hrany je nejnižší, zvolíme tedy hranu z D do F. C B, E, G A, D, F V tomto případě je nejkratší hrana z A do B. C, E, G A, D, F, B V tomto případě je nejkratší hrana z B do E. Další dvě hrany obarvujeme na červeno, protože je už nebudeme moci C, G A, D, F, B, E použít. Nechceme, aby vznikla kružnice.
4 4 z 6 28/05/ :44 Jediné zbývající vrcholy jsou C a G. Hrana z E do C váží 5 a hrana z E do G váží 9. Vybíráme tedy hranu do C. Hranu G A, D, F, B, E, C z B do C obarvujeme na červeno. Zbývá nám už jenom vrchol G. Hrana do F váží 11 a do E 9. Vybíráme tedy hranu do E. Všechny vrcholy jsou už součástí stromu, získali jsme tedy minimální A, D, F, B, E, C, G kostru grafu (na diagramu je obarvená zelenou). Celková váha kostry je 39. Implementace v pseudokódu S použitím haldy Inicializace vstupy: Graf, funkce vracející ohodnocení hran a startovní vrchol na začátku jsou všechny vrcholy nastaveny na status dosud neviděn, startovní vrchol je umístěn do grafu a všechny hrany do haldy tak, aby vracela hranu s nejnižší vahou. Pro každý vrchol v grafu nastav min_vzdálenost vrcholu na nastav otec vrcholu na null nastav min_seznam_sousedů vrcholu na prázdný_seznam nastav je_v_q vrcholu na true nastav vzdálenost startovního vrcholu na nula přidej do haldy Q všechny vrcholy v grafu. Algoritmus V popisu algoritmu výše, nejbližší vrchol je Q[0] okraj je v v Q, kde vzdálenost v < poté, co je nejbližší vrchol vyjmut z haldy dosud neviděn je v v Q, kde vzdálenost v =, co je nejbližší vrchol vyjmut z haldy Cyklus selže pokud halda vrátí nulu. Seznam sousedů je vytvořen tak, aby mohl vrátit orientovaný graf. časová složitost: V na cyklus, log(v) na vyjmutí hrany z haldy Dokud poslední_přidaný = vrať minimum v Q
5 5 z 6 28/05/ :44 nastav je_v_q čeho poslední přidaný na false přidej poslední_přidaný na (min_seznam_sousedu čeho (otec čeho poslední_přidaný)) přidej (otec čeho poslední_přidaný) do (min_seznam_sousedů čeho poslední_přidaný) časová složitost: E/V, průměrný počet vrcholů pro každý soused čeho poslední_přidaný Jestliže (je_v_q čeho soused) a zároveň (váha(poslední_přidaný, soused) < min_vzdálenost čeho soused) nastav otec čeho soused na poslední_přidaný nastav min_vzdálenost čeho soused na váha(poslední_přidaný, soused) časová složitost: log(v), výška haldy uprav soused v Q, podle min_vzdálenost Důkaz správnosti Nechť P je souvislý, ohodnocený graf. S každou iterací Jarníkova algoritmu je přidána hrana, která spojuje vrchol v podgrafu s vrcholem mimo podgraf. Jelikož je P souvislý, musí existovat cesta mezi všemi dvojicemi vrcholů. Nechť výstup Jarníkova algoritmu je Y a Y 1 je minimální kostra grafu P. Jestliže Y 1 =Y, pak Y je minimální kostra grafu. V opačném případě, nechť e je první hrana přidaná během konstrukce Y, která není v Y 1 a V je množina vrcholů spojených hranami přidanými před e. Pak jeden konec hrany e je v V a druhý není. Jelikož Y 1 je kostra grafu P, pak musí existovat cesta v Y 1 spojující oba konce hrany. Někde v této cestě se musí objevit hrana f spojující vrchol ve V s vrcholem, který není ve V. Ve chvíli, kdy je e přidána k Y by mohla být místo ní přidána také f, pokud by ovšem vážila méně. Jelikož ale byla přidána e, můžeme soudit, že w(f) w(e). Nechť Y 2 je graf získaný odstraněním f a přidáním e z Y 1. Je snadné ukázat, že Y 2 je souvislý, má stejný počet hran jako Y 1 a celková váha hran není vyšší než u Y 1. Y 2 je tudíž minimální kostra grafu P a obsahuje e a všechny hrany přidané předtím při konstrukci V. Opakováním těchto kroků nakonec zjistíme, že minimální kostra grafu P je identická s Y. Tímto jsme tedy dokázali, že Y je minimální kostra grafu. Reference V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prim's algorithm ( /wiki/prim%27s_algorithm?oldid= ) na anglické Wikipedii. Literatura V. Jarník: O jistém problému minimálním, Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti, 6, 1930, pp R. C. Prim: Shortest connection networks and some generalisations. In: Bell System Technical Journal, 36 (1957), pp (anglicky) D. Cherition and R. E. Tarjan: Finding minimum spanning trees. In: SIAM Journal of Computing, 5 (Dec. 1976), pp (anglicky)
6 6 z 6 28/05/ :44 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, ISBN Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp (anglicky) Externí odkazy Obrázky, zvuky či videa k tématu Jarníkův algoritmus ve Wikimedia Commons Problém minimální kostry grafu: Jarníkův algoritmus ( /suuri/dijkstra/prim.shtml) Animovaný příklad Jarníkova algoritmu ( Jarníkův algoritmus (Java Applet) ( Prim's algorithm code ( Citováno z Kategorie: Grafové algoritmy Stránka byla naposledy editována v 11:36. Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití.
zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
1. Minimální kostry. 1.1. Od mìsteèka ke kostøe
. Minimální kostry Napadl sníh a přikryl peřinou celé městečko. Po ulicích lze sotva projít pěšky, natož projet autem. Které ulice prohrneme, aby šlo dojet odkudkoliv kamkoliv, a přitom nám házení sněhu
Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
Paralelní grafové algoritmy
Paralelní grafové algoritmy Značení Minimální kostra grafu Nejkratší cesta z jednoho uzlu Nejkratší cesta mezi všemi dvojicemi uzlů Použité značení Definition Bud G = (V, E) graf. Pro libovolný uzel u
Grafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
Grafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka
TGH08 - Optimální kostry
TGH08 - Optimální kostry Jan Březina Technical University of Liberec 14. dubna 2015 Problém profesora Borůvky řešil elektrifikaci Moravy Jak propojit N obcí vedením s minimální celkovou délkou. Vedení
Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento
TGH06 - Hledání nejkratší cesty
TGH06 - Hledání nejkratší cesty Jan Březina Technical University of Liberec 26. března 2013 Motivační problémy Silniční sít reprezentovaná grafem. Najdi nejkratší/nejrychlejší cestu z místa A do místa
Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu
Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující
TGH06 - Hledání nejkratší cesty
TGH06 - Hledání nejkratší cesty Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Motivační problémy Silniční sít reprezentovaná grafem. Ohodnocené hrany - délky silnic. Najdi nejkratší/nejrychlejší
Graf. Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd.
Graf 2 0 3 1 4 5 Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd. Běžné reprezentace grafu Uzly = indexy Stupně uzlů
PROGRAMOVÁNÍ. Cílem předmětu Programování je seznámit posluchače se způsoby, jak algoritmizovat základní programátorské techniky.
Cílem předmětu Programování je seznámit posluchače se způsoby, jak algoritmizovat základní programátorské techniky. V průběhu budou vysvětlena následující témata: 1. Dynamicky alokovaná paměť 2. Jednoduché
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
Matematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...
Písemný test MA010 Grafy: 17.1. 2007, var A... 1). Vašim úkolem je sestrojit všechny neisomorfní jednoduché souvislé grafy na 6 vrcholech mající posloupnost stupňů 1,2,2,2,2,3. Zároveň zdůvodněte, proč
Základy algoritmizace
Základy algoritmizace Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 1. přednáška 11MAG pondělí 5. října 2014 verze: 2014-10-06 11:27 Obsah přednášky
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie
Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald
Algoritmy na ohodnoceném grafu
Algoritmy na ohodnoceném grafu Dvě základní optimalizační úlohy: Jak najít nejkratší cestu mezi dvěma vrcholy? Dijkstrův algoritmus s t Jak najít minimální kostru grafu? Jarníkův a Kruskalův algoritmus
3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...
Písemný test MA010 Grafy: 11.1. 2007, var A... 1). Dány jsou následující tři grafy na 8 vrcholech každý. 1 A B C Vašim úkolem je mezi nimi najít všechny isomorfní dvojice. Pro každou isomorfní dvojici
07 Základní pojmy teorie grafů
07 Základní pojmy teorie grafů (definice grafu, vlastnosti grafu, charakteristiky uzlů, ohodnocené grafy) Definice grafu množina objektů, mezi kterými existují určité vazby spojující tyto objekty. Uspořádaná
8 Přednáška z
8 Přednáška z 3 12 2003 Problém minimální kostry: Dostaneme souvislý graf G = (V, E), w : E R + Našim úkolem je nalézt strom (V, E ) tak, aby výraz e E w(e) nabýval minimální hodnoty Řešení - Hladový (greedy)
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 28. března 2017 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10
Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10
Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,
DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
H {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
Úvod do teorie grafů
Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška desátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle R. Bělohlávek, V. Vychodil: Diskrétní matematika 2, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/dm2.pdf P. Martinek: Základy teoretické informatiky,
přirozený algoritmus seřadí prvky 1,3,2,8,9,7 a prvky 4,5,6 nechává Metody řazení se dělí:
Metody řazení ve vnitřní a vnější paměti. Algoritmy řazení výběrem, vkládáním a zaměňováním. Heapsort, Shell-sort, Radix-sort, Quicksort. Řazení sekvenčních souborů. Řazení souborů s přímým přístupem.
Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Programový nástroj pro plánování svozných a rozvozových tras v regionu
Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Programový nástroj pro plánování svozných a rozvozových tras v regionu Bc. Zuzana Karlíková Diplomová práce 2009 University od Pardubice Faculty
5 Rekurze a zásobník. Rekurzivní volání metody
5 Rekurze a zásobník Při volání metody z metody main() se do zásobníku uloží aktivační záznam obsahující - parametry - návratovou adresu, tedy adresu, kde bude program pokračovat v metodě main () po skončení
12. Aproximační algoritmy
12. Aproximační algoritmy (F.Haško,J.enda,.areš, ichal Kozák, Vojta Tůma) Na minulých přednáškách jsme se zabývali různými těžkými rozhodovacími problémy. Tato se zabývá postupy, jak se v praxi vypořádat
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21.11. 2006 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Borůvkův algoritmus
Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.
Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,
matice([[1,1,0,0,0],[1,1,1,0,0],[0,1,1,0,0],[0,0,0,1,1],[0,0,0,1,1]],1). matice([[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1]],2).
% Zápočtový program % souvislost grafu % popis algoritmu a postupu % Program využívá algoritmu na násobení matic sousednosti A. % Příslušná mocnina n matice A určuje z kterých do kterých % vrcholů se lze
Úvod do mobilní robotiky AIL028
zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 5. prosince 2005 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením (náznak řešení) Mapa světa - příklad Obsah Mapa
Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo
III přednáška Toky v sítích
S Dalsi aplikace OOOOOOOO Matematika III - 11. přednáška Toky v sítích Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 11. 2007 O Toky v sítích Q Problém maximálního toku v síti Q Další aplikace
Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
Návrh a implementace algoritmů pro adaptivní řízení průmyslových robotů
Návrh a implementace algoritmů pro adaptivní řízení průmyslových robotů Design and implementation of algorithms for adaptive control of stationary robots Marcel Vytečka 1, Karel Zídek 2 Abstrakt Článek
MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
Jan Březina. 7. března 2017
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík)
8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík) Když s geometrickými problémy pořádně nezametete, ony vám to vrátí! Ale když užzametat,takurčitěnepodkoberecamístosmetákupoužijtepřímku.vtéto přednášce nás
Registrační číslo Hodnocení - část A Hodnocení - část B Hodnocení - část A+B
PŘIJÍMACÍ TEST Z INFORMATIKY A MATEMATIKY NAVAZUJÍCÍ MAGISTERSKÉ STUDIUM V OBORU APLIKOVANÁ INFORMATIKA FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITY HRADEC KRÁLOVÉ ČÁST A Registrační číslo Hodnocení -
10 Podgrafy, isomorfismus grafů
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 470-2301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 25, 2018) 1 10 Podgrafy, isomorfismus grafů 10.1. Určete v grafu G na obrázku Obrázek 10.1: Graf G. (a) největší
Použití dalších heuristik
Použití dalších heuristik zkracování cesty při FIND-SET UNION podle hodností Datové struktury... p[x] - předchůdce uzlu x MAKE-SET(x) p[x] := x hod[x] := 0 hod[x] - hodnost (aprox. výšky) UNION(x,y) LINK(FIND-SET(x),
Pokud nebude na příkazové řádce uveden právě jeden argument, vypište chybové hlášení a stručný
KIV/PC ZS 2015/2016 Zadání ZADÁNÍ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE ŘEŠENÍ KOLIZÍ FREKVENCÍ SÍTĚ VYSÍLAČŮ VARIANTA 2 (REx) Naprogramujte v ANSI C přenositelnou 1 konzolovou aplikaci, která jako vstup načte z parametru
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
Často potřebujeme hledat mezi dvěma vrcholy grafu cestu, která je v nějakém
1. Nejkrat¹í cesty Často potřebujeme hledat mezi dvěma vrcholy grafu cestu, která je v nějakém smyslu optimální typicky nejkratší možná. Už víme, že prohledávání do šířky najde cestu s nejmenším počtem
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INFORMAČNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS PŘÍPRAVA DOMÁCÍCH
Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla
Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní
Prioritní fronta, halda
Prioritní fronta, halda Priority queue, heap Jan Kybic http://cmp.felk.cvut.cz/~kybic kybic@fel.cvut.cz 2016 2018 1 / 26 Prioritní fronta Halda Heap sort 2 / 26 Prioritní fronta (priority queue) Podporuje
PROBLÉM ČTYŘ BAREV. Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu?
ROBLÉM ČTYŘ BAREV Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu? ROBLÉM ČTYŘ BAREV L KH ROBLÉM ČTYŘ BAREV Vytvoříme graf Kraje = vrcholy
Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
TGH10 - Maximální toky
TGH10 - Maximální toky Jan Březina Technical University of Liberec 23. dubna 2013 - motivace Elektrická sít : Elektrická sít, jednotlivé vodiče mají různou kapacitu (max. proud). Jaký maximální proud může
Základní grafové algoritmy
i Základní grafové algoritmy Jakub Černý KAM, MFF UK 24. listopadu 2010 Verze 0.95 Homepage http://kam.mff.cuni.cz/ ~ kuba/ka Kontakt: kuba@kam.mff.cuni.cz ii Obsah Úvod v iii iv OBSAH Úvod Text je psán
2. RBF neuronové sítě
2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně
Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]
Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme
Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014
Teorie grafů Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 013/014 Obsah Kostra grafu. Tahy,. Úloha čínského pošťáka. Zdroj: Vítečková, M., Přidal, P. & Koudela, T. Výukový modul k předmětu Systémová
Minimální kostry. Teorie. Štěpán Šimsa
Minimální kostry Štěpán Šimsa Abstrakt. Cílem příspěvku je seznámit s tématem minimálních koster, konkrétně s teoretickými základy, algoritmy a jejich analýzou. Problém.(Minimální kostra) Je zadaný graf
autorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy
9 Krátké povídání o průnikových grafech Od této lekce teorie grafů se zaměříme lehce na několik vybraných partíı teorie grafů bĺızkých autorovu srdci... Naším prvním výběrem jsou průnikové grafy, což jsou
Obsah. KAPITOLA 1 Dříve než začneme 19 Kdysi dávno aneb střípky z historie algoritmických strojů 20 1801 21 1833 21 1890 22 třicátá léta 22
Předmluva 11 Čím se tato kniha liší od jiných příruček? 11 Proč C++? 12 Jak číst tuto knihu? 12 Čím se budeme zabývat? 13 Kapitola 1: Dříve než začneme 13 Kapitola 2: Rekurze 13 Kapitola 3: Analýza složitosti
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Vedoucí práce: RNDr. Martin Pergel, Ph.D.
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta SVOČ 2011 Jindřich Ivánek Heuristikou řízené hledání optima v NP-těžkých úlohách Vedoucí práce: RNDr. Martin Pergel, Ph.D. Obsah 1 Úvod 3 2 Algoritmus
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Mějme dán graf následující úlohy: G = ( V, E), chceme algoritmicky vyřešit Je daný vrchol t dosažitelný z vrcholu s? Pokud ano, jaká nejkratší cesta tyto vrcholy
Seminář z IVT Algoritmizace. Slovanské gymnázium Olomouc Tomáš Kühr
Seminář z IVT Algoritmizace Slovanské gymnázium Olomouc Tomáš Kühr Algoritmizace - o čem to je? Zatím jsme se zabývali především tím, jak určitý postup zapsat v konkrétním programovacím jazyce (např. C#)
opakování reprezentace grafů, dijkstra, bellman-ford, johnson
opakování reprezentace grafů, dijkstra, bellman-ford, johnson Petr Ryšavý 19. září 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT opakování reprezentace grafů Graf Definice (Graf) Graf G je uspořádaná dvojice G = (V,
4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
Teorie grafů BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
Teorie grafů Petr Hanuš (Píta) BR Solutions - Orličky 2010 23.2. 27.2.2010 Píta (Orličky 2010) Teorie grafů 23.2. 27.2.2010 1 / 66 Pojem grafu Graf je abstraktní pojem matematiky a informatiky užitečný
TEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1
TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý
Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
Základy informatiky. 07 Teorie grafů. Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant
Základy informatiky 07 Teorie grafů Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant Obsah přednášky barvení mapy teorie grafů definice uzly a hrany typy grafů cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy Kolik barev je
Teorie grafů. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Teorie grafů Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Opakování z minulé přednášky Co je to složitostní třída? Jaké složitostní třídy známe? Kde leží hranice mezi problémy řešitelnými
ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2014 5, 5.1 a 5.2 8/14
ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2014 5, 5.1 a 5.2 8/14 Co je vhodné vědět, než si vybereme programovací jazyk a začneme programovat roboty. 1 / 18 0:40 Algoritmus Algoritmem by se dal nazvat
5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 20. září 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší
ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY
Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu
Rekurentní rovnice, strukturální indukce
Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n
Grafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti.
Intervalové stromy Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme průběžně provádět tyto dvě operace: 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. 2. Zjištění součtu čísel
4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA 4. NP-úplné (NPC) a NP-těžké (NPH) problémy Karpova redukce
Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová
Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy
Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
Filtrace snímků ve frekvenční oblasti. Rychlá fourierova transformace
Filtrace snímků ve frekvenční oblasti Rychlá fourierova transformace semestrální práce z předmětu KIV/ZVI zpracoval: Jan Bařtipán A03043 bartipan@students.zcu.cz Obsah Úvod....3 Diskrétní Fourierova transformace
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda
bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 19. září 2017 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší
NEJKRATŠÍ CESTY I. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NEJKRATŠÍ CESTY I Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 7 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
Gramatická evoluce a softwarový projekt AGE
Gramatická evoluce a softwarový projekt AGE Adam Nohejl Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze http://nohejl.name/ 4. 4. 2010 Poznámka: Prezentace založené na variantách těchto slajdů
6. Tahy / Kostry / Nejkratší cesty
6. Tahy / Kostry / Nejkratší cesty BI-EP2 Efektivní programování 2 LS 2017/2018 Ing. Martin Kačer, Ph.D. 2011-18 Martin Kačer Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
Distribuovaná synchronizace. Paralelní a distribuované systémy. 11. Přednáška Vzájemné vyloučení. Centralizovaný algoritmus - fronta procesů
Distribuovaná synchronizace Využití kritické sekce při vzájemném vyloučení v distribuovaném systému Paralelní a distribuované systémy 11. Přednáška Vzájemné vyloučení Logicky distribuovaný systém s vlákny
ADT STROM Lukáš Foldýna
ADT STROM Lukáš Foldýna 26. 05. 2006 Stromy mají široké uplatnění jako datové struktury pro různé algoritmy. Jsou to matematické abstrakce množin, kterou v běžném životě používáme velice často. Příkladem
Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem
Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky. Vizualizace hledání nejkratší cesty na grafech. Bc. Tomáš Havránek
Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Vizualizace hledání nejkratší cesty na grafech Bc. Tomáš Havránek Diplomová práce 2010 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval samostatně. Veškeré
13. Třídící algoritmy a násobení matic
13. Třídící algoritmy a násobení matic Minulou přednášku jsme probírali QuickSort, jeden z historicky prvních třídících algoritmů, které překonaly kvadratickou složitost aspoň v průměrném případě. Proč