Cyklické grupy a grupy permutací
|
|
- Michal Janda
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26
2 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace: 1 Řád prvku v grupě ( logaritmování v grupách), Eulerova věta. 2, šifrovací stroj Enigma, Change Ringing. 3 A řada dalších aplikací... Možná doplňující literatura: Ladislav Bican: Lineární algebra a geometrie, Academia, Praha Nathan Jacobson, Basic Algebra, vol I, Dover Publications, Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 2/26
3 Definice Ať X,, e, ( ) 1 je grupa. Podmnožině W X říkáme podgrupa, když pro každé x, y platí: 1 Jestliže x W a y W, pak x y W (uzavřenost W na operaci ). 2 e W (uzavřenost W na nulární operaci e). 3 Jestliže x W, pak x 1 W (uzavřenost W na operaci ( ) 1 ). Příklad Z, +, 0, ( ) je grupa. Definujte pro přirozené číslo m množinu W m = {km k Z} Pak W m je podgrupa Z, +, 0, ( ). Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 3/26
4 Tvrzení (abstraktní počítání modulo) Ať W je podgrupa grupy X,, e, ( ) 1. Relace W definovaná následovně x W y iff x y 1 W je relace ekvivalence na X. Příklad Pro Z, +, 0, ( ) a W m je x Wm y iff x y = km pro nějaké k Z Tudíž pro m 2 je Z/ Wm množina Z m. Z/ W1 je jednoprvková množina a Z/ W0 je množina Z. Poznámka Skutečné počítání modulo: faktorisace okruhu. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 4/26
5 Lagrangeova věta Ať W je podgrupa konečné grupy X,, e, ( ) 1. Potom počet prvků W dělí počet prvků X. Důkaz. Ukážeme: pro a X platí: počet prvků [a] W = počet prvků W. Důvod: zobrazení f : [a] W W, x a x 1, je bijekce. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 5/26
6 Tvrzení Ať M,, e je monoid. 0značte jako M množinu všech invertibilních prvků v M. Potom M je grupa vzhledem k operaci. Důkaz: 1 Uzavřenost M na operaci. Socks & Shoes Theorem: (x y) 1 = y 1 x 1 (součin invertibilních prvků je invertibilní). 2 Uzavřenost M na operaci e. e M, protože: e 1 = e (e je invertibilní prvek). 3 Existence inversí: M je definována tak, že inverse v M existují, a platí: (x 1 ) 1 = x (inverse invertibilního prvku je invertibilní). Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 6/26
7 Problém logaritmu 1 Z 8,, 1, ( ) 1 je grupa invertibilních prvků v Z 8, prvky jsou 1, 3, 5, 7. Počítejme mocniny: 3 1 = 1, 3 2 = 1, atd. Tudíž: v Z 8,, 1, ( ) 1 nelze logaritmovat se základem 3. 2 Z 7,, 1, ( ) 1 je grupa invertibilních prvků v Z 7, prvky jsou 1, 2, 3, 4, 5, 6. Počítejme mocniny: 3 0 = 1, 3 1 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, 3 4 = 4, 3 5 = 5, 3 6 = 1, 3 7 = 2, 3 8 = 6,... Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 7/26
8 Problém logaritmu 1 Z 8,, 1, ( ) 1 je grupa invertibilních prvků v Z 8, prvky jsou 1, 3, 5, 7. Počítejme mocniny: 3 1 = 1, 3 2 = 1, atd. Tudíž: v Z 8,, 1, ( ) 1 nelze logaritmovat se základem 3. 2 Z 7,, 1, ( ) 1 je grupa invertibilních prvků v Z 7, prvky jsou 1, 2, 3, 4, 5, 6. Počítejme mocniny: 3 0 = 1, 3 1 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, 3 4 = 4, 3 5 = 5, 3 6 = 1, 3 7 = 2, 3 8 = 6,... Takže: např. logaritmus 2 se základem 3 v Z 7 je 2, ale také 7. Logaritmus má periodu 5? Řešení: log 3 2 = 2 v Z 5 Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 7/26
9 Definice Grupa X,, e, ( ) 1 je cyklická, když existuje g X (tzv. generátor) tak, že platí X = {g k k Z} kde k-tá -mocnina x k prvku x je definována takto: e, pro k = 0 x k = x x k, pro k 0 (x ( k) ) 1, pro k < 0 Příklad Z, +, 0, ( ) je cyklická grupa, číslo 1 je generátor. Každá grupa Z m, +, 0, ( ), m 2, je cyklická. Až na isomorfismus jiné konečné cyklické grupy nejsou. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 8/26
10 Definice Ať X,, e, ( ) 1 je konečná grupa, ať g X. Množině S(g) = {g k k N} říkáme cyklická podgrupa generovaná prvkem g. Řád prvku g je počet prvků podgrupy S(g). Cyklické podgrupy aditivní grupy Z m Z m, +, 0, ( ) je konečná cyklická grupa řádu m. Ať g Z m. 1 Řád prvku g je nejmenší kladné k N takové, že kg = 0, tj. kg = lcm(g, m). 2 Protože lcm(g, m) = gm/gcd(g, m), platí k = m/gcd(g, m). 3 Tedy S(g) = Z m iff řád g je m iff gcd(g, m) = 1. 4 Existuje tedy ϕ(m) prvků v Z m, které mají řád m (tzv. primitivní elementy). Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 9/26
11 Příklad v aditivní grupě Z 10 1 S(4) = {4, 8, 2, 6, 0} Z 10, tj. řád 4 je 5. 2 S(7) = {7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0} = Z 10, tj. řád 7 je Existují ϕ(10) = 4 prvky řádu 10, konkrétně 1, 3, 7, 9. 4 Ostatní prvky mají řád menší. Konkrétně S(0) = {0}, S(5) = {0, 5} a S(2) = S(4) = S(6) = S(8) = {0, 2, 4, 6, 8}. Tvrzení Pro každého dělitele d čísla m 2 má grupa Z m, +, 0, ( ) právě jednu cyklickou podgrupu řádu d. Důsledek (Möbiův vzorec) Pro přirozené číslo m 2 platí: m = {d d dělí m} ϕ(d). Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 10/26
12 Příklad: logaritmování v Z 11 Generátor Z 11,, 1, ( ) 1 je 7: e 7 e v Z 11,, 1, ( ) 1 x log 7 x v Z 10, +, 0, ( ) Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 11/26
13 Příklad: logaritmování v Z 11 (pokračování) e 7 e je isomorfismus grup Z 11,, 1, ( ) 1 a Z 10, +, 0, ( ). Jednoduché aplikace: 1 Spočtěte v Z 11. V Z 10 : log 7 ( ) = 3 log log 7 8 Tedy = 7 3 = 2 v Z 11. = = = 3 2 Vyřešte 3x = 10 v Z 11. Platí: log log 7 x = log 7 10 v Z 10. Tedy: log 7 x = log 7 10 log 7 3 = 5 4 = 1 v Z 10. Tedy: x = 7 1 = 7 v Z 11. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 12/26
14 Složitější aplikace řádu prvku Například Shorův faktorisační algoritmus: Peter W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer, Faktorisace čísel na kvantovém počítači v polynomiálním čase. Viz předmět Kvantové počítání, Libor Nentvich & Jiří Velebil. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 13/26
15 Eulerova věta v konečných grupách Ať X,, e, ( ) 1 je libovolná konečná grupa. Označme jako n počet prvků množiny X. Pak pro každé a X platí a n = e Důkaz: Vezměme libovolné a X. Ať řád a je m. Tedy a m = e. Lagrangeova věta: m n. Tedy n = m k, pro nějaké k. Takže: x n = (x m ) k = e k = e. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 14/26
16 Poznámka: Eulerova věta a cykličnost grup Ať X,, e, ( ) 1 je konečná grupa. Označme jako n počet prvků množiny X. 1 Víme: pro každé a X platí a n = e (Eulerova věta v konečných grupách). 2 Exponent n nemusí být nejmenší takové k, že platí x k = e. Příklad: v Z 8,, 1, ( ) 1 je 1 1 = 1, 3 2 = 1, 5 2 = 1, 7 2 = 1, ale ϕ(8) = 4. To je: exponent v Eulerově větě nemusí být řád prvku. 3 Ale: Pokud v X,, e, ( ) 1 existuje prvek a řádu n, pak grupa X,, e, ( ) 1 je isomorfní grupě Z n, +, 0, ( ). Důkaz: víme S(a) = X. Pak postupujeme jako při definici logaritmu. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 15/26
17 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Definice Ať n = {1,..., n}, n 1. Bijekci f : n n říkáme permutace na n. Příklad string diagrams pro permutace Permutaci f (1) = 3, f (2) = 2, f (3) = 4, f (4) = 1 znázorníme buď jako matici ( ) nebo jako string diagram Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 16/26
18 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Příklad skládání permutací ( ) Složení f = a g = ( ) je f g = = = ( ) neboli f g = Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 17/26
19 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Tvrzení Označte jako S n množinu všech permutací na n = {1,..., n}. Potom S n = S n,, id, ( ) 1 tvoří grupu. Budeme jí říkat grupa permutací (nebo symetrická grupa). Cayleyho representace konečných grup Každá konečná grupa řádu n je isomorfní podgrupě grupy S n. Důkaz: Ať X,, e, ( ) 1 je grupa o prvcích {x 1,..., x n }. Pak zobrazení R xi : X X, x x x i je bijekce pro každé x i (vzpomeňte na Eulerovu větu). Zobrazení R xi určuje právě jednu permutaci f i na množině n. Zobrazení x i f i je hledaný isomorfismus grupy X,, e, ( ) 1 s podgrupou grupy S n. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 18/26
20 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Definice Ať x 1, x 2 jsou různé prvky n. Transpozice (x 1 x 2 ) je taková permutace, že x 1 x 2 a x 2 x 1, ostatní prvky nechává na místě: 1... x 1... x 2... n 1... x 1... x 2... n Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 19/26
21 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Definice Ať x 1, x 2,..., x r jsou navzájem různé prvky n. r-cyklus (x 1 x 2... x r ) je permutace (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) (x 1 x r ) Dvěma cyklům (x 1 x 2... x r ), (y 1 y 2... y s ) říkáme disjunktní, pokud {x 1, x 2,..., x r } {y 1, y 2,..., y s } =. Tvrzení 1 Disjunktní cykly komutují, tj. f g = g f, pro disjunktní cykly f a g. 2 Řád cyklu (x 1,..., x r ) je r. 3 Každou permutaci lze vyjádřit jako součin transpozic. (Dokonce jako součin transpozic sousedních prvků.) 4 Každou permutaci lze zapsat jako součin disjunktních cyklů. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 20/26
22 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Příklad Permutace ( ) je součin ( ) (3) (6) (7 8) = ( ) (7 8). Tvrzení Ať f = f 1 f 2 f k je rozklad permutace na disjunktní cykly. Pak řád f je nejmenší společný násobek řádů f 1,..., f k. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 21/26
23 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Definide Permutaci f nazveme lichou (resp. sudou), pokud ji lze vyjádřit jako součin lichého (resp. sudého) počtu transpozic. Poznámka Identická permutace id je sudá. Věta Každá permutace je buď lichá nebo sudá (nikdy ne obojí). Tj. liché permutace jdou vyjádřit pouze jako součin lichého počtu transpozic a sudé permutace sudého počtu transpozic. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 22/26
24 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Enigma Enigma je šifrovací přístroj používající symetrickou polyalfabetickou šifru. Chod přístroje je určen: 1 3 rotory permutace ϱ 1, ϱ 2, ϱ 3, počáteční nastavení a nastavení zarážek, 2 Plugboard součin disjunktních transpozic τ, 3 Reflektor součin disjunktních transpozic ϱ, Viz např. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 23/26
25 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné To znamená, že šifrování se odehrává permutací j-té písmeno zprávy je zašifrováno následovně: ε j = τ (σ i 1 ϱ 1 σ i 1 ) (σ i 2 ϱ 2 σ i 2 ) (σ i 3 ϱ 3 σ i 3 ) ϱ (σ i 3 ϱ 1 3 σ i 3 ) (σ i 2 ϱ 1 2 σ i 2 ) (σ i 1 ϱ 1 1 σ i 1 ) τ kde σ = (ABCD Z) a i 1, i 2, i 3 závisí na j a nastavení rotorů. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 24/26
26 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Change ringing Metoda vyzvánění zvonů ve Velké Británii (ze 17. století). Hrají se permutace, notový zápis je string diagram ringing Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 25/26
27 Permutace a šifrovací stroj Enigma nepovinné Permutace a vyzvánění zvonů nepovinné Change ringing Viz také kniha Dorothy L. Sayers, The Nine Tailors, 1934 česky: Devět hran, Svoboda 1994 ve které Lord Peter Wimsey znalostí change ringing vyřeší vraždu. Název detektivky poukazuje na metodu zvonění umíráčku. Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 26/26
Permutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17
Permutace Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Motivace Permutace jsou důležitou částí matematiky viz použití v pravděpodobnosti, algebře (např. determinanty) a mnoho dalších. Jsou
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: A7B01MCS 31. října 2011: Hlubší věty o počítání modulo 1/18 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceAlgebra - druhý díl. Lenka Zalabová. zima Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita
Algebra - druhý díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Permutace 2 Grupa permutací 3 Více o permutacích
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
Více1. Základní příklady a poznatky o monoidech a grupách
Předmět: Algebra I Semestr: Zimní 2015/2016 Přednášel: J. Žemlička Verze z: 6. ledna 2017 Díky za pomoc s řešeními příkladů: Martin Šerý, Štěpán Hojdar, Petr Houška, Péťa Pelikánová. (A určitě další, ale
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VíceObsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie
Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické
VíceProtokol RSA. Tvorba klíčů a provoz protokolu Bezpečnost a korektnost protokolu Jednoduché útoky na provoz RSA Další kryptosystémy
Protokol RSA Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2010: Protokol RSA 1/18 Protokol RSA Autoři: Ronald Rivest, Adi Shamir a Leonard Adleman. a Publikováno: R. L. Rivest, A. Shamir a L. Adleman, A Method for
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
VíceCyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceAlgebra II pro distanční studium
Algebra II pro distanční studium (1) Předmluva................... 3 I. Struktury s jednou binární operací........ 5 1. Základní vlastnosti grup.......... 5 2. Podgrupy................ 22 3. Grupy permutací.............
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují
VíceZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I
1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceSVD rozklad a pseudoinverse
SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 19.12.2016: SVD rozklad a pseudoinverse 1/21 Cíle
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
S Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 s Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy s Doporučene zdroje Martin Panák,
VíceDefinujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu.
1.teorie(1bod) Formulujte princip matematické indukce. Napište základní větu aritmetiky. Napište Bézoutovu rovnost v oboru celých čísel. Definujte,coznamenázápis a b(mod n),auveďtezákladnívlastnosti. Napište
VíceMatematika IV - 3. přednáška Rozklady grup
Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 3. 2008 Obsah přednášky Rozklady podle podgrup ô Normální podgrupy Martin Panák, Jan Slovák, Drsná
VícePočet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná. Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti, vybranými partiemi algebry, šifrování a kódování.
Název předmětu: Matematika pro informatiky Zkratka předmětu: MIE Počet kreditů: 5 Forma studia: kombinovaná Forma zkoušky: kombinovaná (písemná a ústní část) Anotace: Předmět seznamuje se základy dělitelnosti,
Více(1) Dokažte, že biprodukt je součin (a tím pádem i součet). Splňují-li homomorfismy. A B je izomorfismus stejně jako A B i+j
1. cvičení (1) Necht A je komutativní grupa. Dokažte, že End(A) společně s operacemi sčítání a skládání zobrazení je okruh. (2) Dokažte přímo z definice, že na každé komutativní grupě existuje právě jedna
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceMatematika pro informatiku 2
Matematika pro informatiku 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 21. února 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceMarkl: 3.2.Grupoidy /ras32.doc/ Strana 1
Markl: 3.Grupoidy /ras3doc/ Strana 1 3. Grupoidy V této kapitole se budeme zabývat algebrami s jediným nosičem a jedin ou základní /výchozí/ binární operací. Pokud má tato operace vlastnost JE / viz definice
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceGRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ
Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.
VíceAlgebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.
Algebra I Cvičení Podle následující sbírky probíhalo cvičení na PřF v semestru Jaro 2003. Příklady jsou rozděleny na ty, které jsme dělali na cvičení (označeno C), úlohy na kterých lze procvičovat probranou
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceMatematika pro informatiku 1
Matematika pro informatiku 1 Alena Šolcová katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií ČVUT Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Přednášející Ing. Karel Klouda, Ph.
VíceSOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3
SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více2. Test 07/08 zimní semestr
2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:
VíceMatematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup
Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,
VíceH {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
VíceKarel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. února, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 3 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. února, letní semestr 2010/2011 Množiny s jednou binární operací Neprázdná množina M s binární operací (resp. +
VíceRelace a kongruence modulo
Relace a kongruence modulo Jiří Velebil: A7B01MCS 10. října 2011: Relace a kongruence modulo 1/19 Definice Binární relace R na množině A je podmnožina R A A. Píšeme x R y (čteme: x je v relaci R s y) místo
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
Více8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF
VíceMPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.
MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b
Více4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
VíceM M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceDiskrétní logaritmus
13. a 14. přednáška z kryptografie Alena Gollová 1/38 Obsah 1 Protokoly Diffieho-Hellmanův a ElGamalův Diffieho-Hellmanův a ElGamalův protokol Bezpečnost obou protokolů 2 Baby step-giant step algoritmus
VíceTeorie grup a její aplikace ve fyzice
Týden 1: 4.10. Obsah přednášek NTMF061 Teorie grup a její aplikace ve fyzice ZS 2018/19 definice grupy, řád grupy, příklady grup, Abelova grupa, cyklická grupa, izomorfismus mezi grupami multiplikativní
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceGrupy Mgr. Růžena Holubová 2010
Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010 1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto
VíceMPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky
MPI - 5. přednáška vytvořeno: 3. října 2016, 10:06 Doteď jsem se zabývali strukturami, které vzniknou přidáním jedné binární operace k neprázdné množině. Jako grupu jsme definovali takovou strukturu, kde
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Vícedoplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je
28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci
Více18. První rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceBáze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární
Více3. Algebraické systémy
Markl: 3.1. Morfismy a kongruence /ras31.doc/ Strana 1 3. Algebraické systémy Na rozdíl od klasické algebry, jejíž ústředním tématem jsou rovnice a potřebný aparát pro jejich řešení /matice, polynomy,.../,
VíceZáklady teorie grup. Martin Kuřil
Základy teorie grup Martin Kuřil Abstrakt Text je vhodný pro samostudium a jako studijní opora pro studenty distanční a kombinované formy studia. V textu jsou vyloženy základy teorie grup od zavedení pojmu
Více1. Pologrupy, monoidy a grupy
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.
VíceTransformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
VíceRELACE, OPERACE. Relace
RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé
VíceHypergrafové removal lemma a Szemérediho
Hypergrafové removal lemma a Szemérediho věta Zdeněk Dvořák 7. prosince 207 Hypergrafové removal lemma a jeho důsledek Definice. Dvojice (V, E) je k-uniformní hypergraf, je-li E množina neuspořádaných
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
VíceKonstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceZáklady teorie grup Elements of Group Theory
Technická univerzita v Liberci FAKULTA PEDAGOGICKÁ Katedra: Studijní program: Kombinace: Matematiky a didaktiky matematiky Učitelství pro 3. stupeň matematika, zeměpis Základy teorie grup Elements of Group
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceDiskrétní matematika (KAP/DIM)
Technická univerzita v Liberci Zápisky z předmětu Diskrétní matematika (KAP/DIM) Autor: David Salač Vyučující: doc. Miroslav Koucký z akademického roku 2015 / 2016 19. prosince 2015 OBSAH 1 This work is
VíceMatematické základy šifrování a kódování
Matematické základy šifrování a kódování Permutace Pojem permutace patří mezi základní pojmy a nachází uplatnění v mnoha oblastech, např. kombinatorice, algebře apod. Definice Nechť je n-prvková množina.
VíceALGEBRA I PRO INFORMATIKY. Obsah
ALGEBRA I PRO INFORMATIKY Obsah 1. Předmět(y) zkoumání 1 2. Základy elementární teorie čísel 4 3. Asociativní binární operace 8 4. Grupy, podgrupy a homomorfismy 10 5. Klasifikace cyklických grup 14 6.
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceZáklady aritmetiky a algebry I
Základy aritmetiky a algebry I Základní literatura k předmětu: [BeDla] Bečvář J., Dlab V.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016. Další literatura k předmětu: [Be] Bečvář J.: Lineární
Více1 Lineární zobrazení. 5. f(u) = u + v, kde v je pevně daný nenulový vektor z R f(u) = o.
1 Lineární zobrazení Cvičení 1 Která z následujících zobrazení f : R 2 R 2 jsou lineární? 1 f(u) = v, kde v je pevně daný nenulový vektor z R 2 2 f(u) = o 3 f(u) = k f(u), kde k je pevně dané reálné číslo
VíceRekurentní rovnice, strukturální indukce
Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n
VíceStřípky z LA Letem světem algebry
Střípky z LA Letem světem algebry Jaroslav Horáček Pojem Algebra Laicky řečeno algebra je struktura na nějaké množině, společně s nějakými operacemi, které splňují určité vlastnosti. Případy algebry lineární
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 7.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/200 Michal Marvan 7 Determinanty Determinant je jistá hodnota přiřazená čtvercové matici Geometricky
VíceZáklady algebraických specifikací
Základy algebraických specifikací Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 1/19 Příklad (Připomenutí) Řešení rovnice ax = b, a 0, probíhá stejně v Q, v R, v C, i v jakémkoli
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceZDVOJENÍ KOULE PARADOX BANACHA A TARSKÉHO
ZDVOJENÍ KOULE PARADOX BANACHA A TARSKÉHO 1. Úvod Věta Banacha a Tarského říká, že je možné rozdělit jednotkovou kouli v R 3 na konečný počet (ve skutečnosti je nejmenší možný počet pět) disjunktních podmonožin
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceVlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
Více