Základy algebraických specifikací

Transkript

1 Základy algebraických specifikací Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 1/19

2 Příklad (Připomenutí) Řešení rovnice ax = b, a 0, probíhá stejně v Q, v R, v C, i v jakémkoli Z p, p prvočíslo. (Jde o tělesa!) ax = b (a má inversi a násobení je operace) a 1 (ax) = a 1 b (násobení je asociativní) (a 1 a) x = a 1 b (a 1 a = 1) 1 x = a 1 b (1 je neutrální k násobení) x = a 1 b Polymorfní algoritmus, protože pracujeme s modely abstraktního datového typu (ADT) těleso. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 2/19

3 Příklad (Specifikace seznamů jako ADT) 1 spec LIST is 2 sorts: list 3 operations: nil: --> list; 4 _#_:list,list --> list 5 variables: x,y,z:list 6 equations: x#nil=x; 7 nil#x=x; 8 x#(y#z)=(x#y)#z 9 endspec Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 3/19

4 Příklad (Specifikace zásobníků jako ADT) 1 spec STACK is 2 sorts: alphabet, stack 3 operations: a1: --> alphabet; 4 a2: --> alphabet; 5 a3: --> alphabet; 6 a4: --> alphabet; 7 nil: --> stack; 8 pop(_): stack --> stack; 9 push(_,_): alphabet,stack --> stack 10 variables: x:alphabet, s:stack 11 equations: pop(nil)=nil; 12 pop(push(x,s))=s 13 endspec Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 4/19

5 Zápis je pseudokód, připomínající specifikační jazyk OBJ3. Viz například 1 K. Richta a J. Velebil, Sémantika programovacích jazyků, Karolinum, Praha J. A. Goguen, D. Coleman a R. Gallimore (eds.), Applications of Algebraic Specification Using OBJ, Cambridge University Press, Předmět Prototypování algebraických specifikací, katedra počítačů. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 5/19

6 Další specifikační jazyky 1 CASL (Common Algebraic Specification Language), viz a řada dalších. Možná literatura 1 W. Wechler, Universal Algebra for Computer Scientists, Springer-Verlag, Berlin, 1992 Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 6/19

7 Problémy: 1 Co je operace? Co je rovnice? 2 Co je model rovnicové specifikace? 3 Jak modely porovnávat? 4 Co je zamýšlená sémantika rovnicové specifikace? Odpovědi: 1 Operace jsou popsány finitárním typem. Rovnice jsou dvojice termů. 2 Modelem rovnicové specifikace je algebra daného typu, která splňuje dané rovnice. 3 Modely porovnáváme pomocí homomorfismů algeber. 4 Zamýšlená sémantika je iniciální algebra (doktrína no-junk-no-confusion). Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 7/19

8 Příklad (Nejjednodušší jednosortová specifikace) spec NO_OPERATIONS is sorts: something endspec 1 Jedna sorta, žádné operace, žádné rovnice. 2 Model je jakákoli množina: X 3 Homomorfismus modelů je jakékoli zobrazení x f (x) X f Y Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 8/19

9 Příklad (Abstraktní násobení bez axiomů specifikace grupoidu) spec BINARY is sorts: binary operations: _*_:binary,binary --> binary endspec 1 Jedna sorta, jedna binární operace, žádné rovnice. 2 Model je jakákoli množina, vybavena binární operací: Modelu říkáme grupoid. X X X X Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 9/19

10 Příklad (grupoidy, pokrač.) 3 Homomorfismus modelů je jakékoli zobrazení, které respektuje dané operace: (x, x ) (f (x), f (x )) X X f f Y Y X X f Y Y x X x f (x X x ) f (x) Y f (x ) Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 10/19

11 Příklad (Grupoidy) 1 Na X = existuje jediná binární operace, prázdné zobrazení :. Proto, je příklad grupoidu. 2 Na X = {a, b, c} definujeme binární operaci takto: x X y = x pro všechna x, y X. Popis X tabulkou: X a b c a a a a b b b b c c c c Je-li x v i-tém řádku a y v j-tém sloupci tabulky, pak v položce (i, j) je zapsán výsledek x X y. Dvojice X, X je grupoid. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 11/19

12 Příklad (Grupoidy, pokrač.) 3 Ať X je množina všech zobrazení z {0, 1} do {0, 1}. Množina X má čtyři prvky: f 1 : 0 0 f 2 : f 3 : 0 1 f 4 : Skládání funkcí je binární operace na množině X, a proto je X, grupoid. Příslušná tabulka je: f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2 f 2 f 2 f 2 f 2 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 4 f 4 f 3 f 2 f 1 Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 12/19

13 Asociativita, komutativita, neutralita Abstraktní výpočty Definice (Vlastnosti abstraktního násobení) Ať je binární operace na množině X. 1 Operace je asociativní, pokud pro všechna x, y, z X platí rovnost x (y z) = (x y) z. 2 Operace je komutativní, pokud pro všechna x, y X platí rovnost x y = y x. 3 Prvek e l je levý neutrální prvek operace, pokud pro všechna x X platí rovnost e l x = x. 4 Prvek e r je pravý neutrální prvek operace, pokud pro všechna x X platí rovnost x e r = x. 5 Prvek e je neutrální prvek operace, pokud je pravým i levým neutrálním prvkem, tj. když pro všechna x X platí rovnost e x = x e = x. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 13/19

14 Asociativita, komutativita, neutralita Abstraktní výpočty Příklad Operace X : X a b c a a a a b b b b c c c c 1 Je asociativní, protože podle definice pro všechna x, y, z {a, b, c} platí x X (y X z) = x a (x X y) X z = x X z = x. 2 Není komutativní, protože například platí a = a X b b X a = b. 3 Každý prvek množiny {a, b, c} je pravým neutrálním prvkem operace X : například a je pravý neutrální prvek, protože pro všechna x {a, b, c} platí x X a = x. Podobně: b i c jsou pravé neutrální prvky. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 14/19

15 Asociativita, komutativita, neutralita Abstraktní výpočty Příklad (pokrač.) 4 Operace X nemá žádný levý neutrální prvek, a tudíž žádný neutrální prvek. Příklad Na množině N definujeme: n m = n m. Protože platí 2 27 = 2 (3 3) (2 3) 3 = 2 9 není binární operace asociativní. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 15/19

16 Asociativita, komutativita, neutralita Abstraktní výpočty Příklad abstraktního výpočtu: Lemma Jestliže binární operace na množině X má levý neutrální prvek e l a pravý neutrální prvek e r, pak platí e l = e r. Důkaz. e l x = x pro všechna x X (protože e l je levý neutrální). Speciálně: e l e r = e r. Ale e l = e l e r (protože e r je pravý neutrální). Celkem: e l = e r. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 16/19

17 Asociativita, komutativita, neutralita Abstraktní výpočty Další příklad abstraktního výpočtu: Lemma Každá binární operace má nanejvýš jeden neutrální prvek. Důkaz. Pokud e a e jsou neutrální prvky, potom e je pravý neutrální prvek a e je levý neutrální prvek, a proto podle předchozího musí platit rovnost e = e. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 17/19

18 Asociativita, komutativita, neutralita Abstraktní výpočty Ve zbytku semestru vybudujeme 1 Rozumné násobení: ADT, ve kterém jdou dobře řešit lineární rovnice. Výsledný ADT = grupa. 2 Ukážeme různé aplikace grup v matematice a informatice. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 18/19

19 Asociativita, komutativita, neutralita Abstraktní výpočty Použitá metoda = refinement ADT 1 Začneme se základním (velmi jednoduchým) ADT. 2 Postupně přidáváme sorty, operace, rovnice (= zjemňování původního ADT). Ve specifikačních jazycích = import jednoduššího ADT do výsledného složitějšího ADT. 3 Problémy: 1 Nedojde ke kolizi starého ADT s novým ADT? 2 Nepřidáváme zbytečně mnoho operací, rovnic? 3 Změní se homomorfismy nového ADT? Pokud ano, jak? 4... a řada dalších. Jiří Velebil: A7B01MCS 21. listopadu 2011: Základy algebraických specifikací 19/19