URČENÍ NAPĚTÍ V KRUHOVÉM DISKU POMOCÍ MKP A MHP

VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) MKP a MHP (Úlohy pro samostatnou práci studentů) URČENÍ NAPĚTÍ V KRUHOVÉM DISKU POMOCÍ MKP A MHP Autoři: Martin Fusek, Radim Halama, Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava 2007

1 Zadání úlohy F A φ d F Obr. 1 Náčrt kruhového disku. Tenký ocelový kruhový disk je zatížen vertikálními osamělými silami dle Obr.1. Průměr disku je d=60mm, velikost síly pak F=314N. Cílem řešení je nalezení průběhů normálového a smykového napětí v disku s využitím MKP respektive MHP a srovnání výsledků v bodě A s analytickým řešením. Ve výpočtu uvažujte lineární isotropní materiál s elastickými konstantami E=210000MPa, µ=0,3. K řešení využijte program Ansys, program založený na MHP z knihy G.Beera Programming the Boundary Element Method a APDL Pre/PostProcessor ze cvičení předmětu MKP a MHP (http://www.339.vsb.cz/). Tato úloha navazuje na první příklad ze cvičení: Nosník řešený jako rovinná úloha pomocí MKP a MHP. V tomto učebním textu se částečně předpokládá prostudování zmíněného příkladu. 2 Řešení MKP V případě požadavku vykreslení průběhů napětí je nutné APDL Pre/PostProcessor použít až po řešení MKP. Příprava modelu Na úvod je nutné definovat typ prvku (např. PLANE42). Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete /PREP7 ET,1,PLANE42 Dále se ponechá defaultní nastavení úlohy rovinné napjatosti, jen se zkontroluje nastavení prvku PLANE42 (Keyoption 3). Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete tlač.options... S ohledem na další řešení MHP je vhodné již teď definovat další typ prvku (SURF153). Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete ET,2,SURF153 Nyní je nutné zadat materiál. Dle pokynů v zadání bude uvažován elastický isotropní materiál. Preprocessor > Material Props > Material Models MPTEMP,,,,,,,, 2/13

MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,210000 MPDATA,PRXY,1,,0.3 Pro případné ověření konvergence MHP s využitím parametrizace v makrech je výhodné zavést parametry (průměr disku, počet dělení čar na prvky): *SET,d,60 *SET,pocet,20 Nyní lze vytvořit geometrický model disku. Z důvodu symetrie se vygeneruje pouze čtvrtina kruhu: Preprocessor > Modeling > Create > Areas > Circle > By Dimensions PCIRC,d/2,,0,90, Následuje tvorba sítě konečných prvků, například takto: Preprocessor > Meshing > Size Cntrls > Manual Size > Lines > All lines... LESIZE,ALL,,,pocet Preprocessor > Meshing > Mesh > Areas > Mapped > 3 or 4 sided AMESH,ALL Před vytvořením sítě na hranici (SURF153) je nutné změnit atributy pro síťování. Preprocessor > Modeling > Create > Elements > Elem attributes TYPE,2 Teď již je možné vytvořit síť pomocných prvků SURF153 (pro MHP). Nejprve se vyberou uzly ležící na oblouku (Line 1), pak následuje generování prvků SURF153 odpovídající vybraným uzlům na hranici. Ansys Utility menu (AUM) > Select > Enities... (Lines, By Num/Pick) LSEL,S,,,1 AUM > Select > Enities... (Nodes, Attached to... Lines All) NSLL,S,1 Preprocessor > Modeling > Create > Elements > Surf / Contact > Surf Effect > Generl Surface > No extra Node ESURF,0 Pokračovat lze zadáním okrajových podmínek. S ohledem na použití MHP v druhém výpočtu je nutné převést sílu na povrchový tlak, který bude působit pouze na jeden prvek. Za předpokladu rovnoměrného rozložení tlaku lze zjednodušeně uvažovat p=f/2l, kde L je vzdálenost uzlů daného prvku. Požadovanou vzdálenost dvou uzlů L lze určit v Ansysu s využitím uživatelského rozhraní touto funkcí (Obr.2): Preprocessor > Modeling > Check geom > ND distances NSEL,S,LOC,Y,d/2-0.00001,d/2+0.00001 ESLN,S ESEL,R,TYPE,,2 *GET,prvek,ELEM,0,NUM,MIN vzdalenost=distnd(nelem(prvek,1),nelem(prvek,2)) 3/13

Obr. 2 Určení vzdálenosti uzlů prvku, kde se bude zadávat tlak. Nyní již lze aplikovat tlak na jediný prvek (při uvažování symetrie platí p=f/2l, navíc je vhodné provést vykreslení souřadného systému prvků pro zvolení správného znaménka hodnoty tlaku): Preprocessor > Loads > Define Loads > Apply > Structural > Pressure > On Elements SFE,prvek,1,PRES,,314/(2*vzdalenost) Před spuštěním výpočtu již zbývá pouze zadání symetrických okrajových podmínek, například nejprve pro uzly na ose Y dle obr.3: Preprocessor > Loads > Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On nodes LSEL,S,,,2 NSLL,S,1 D,all,,,,,,UX Obdobně pro uzly na ose X (analogicky se zadá nulový posuv ve směru osy Y, viz obr.4): Preprocessor > Loads > Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On nodes LSEL,S,,,3 NSLL,S,1 D,all,,,,,,UY ALLSEL,ALL /REPLOT 4/13

Obr. 3 Zadání symetrických okrajových podmínek. Obr. 4 Konečnoprvkový model se zadanými okrajovými podmínkami. Ukončí se preprocessor. Finish Výpočet a výsledky výpočtu MKP Přejde se do solution. /solu Může se nechat defaultní nastavení výpočtu, protože se řeší statická úloha (kvazistatická). Všechny okrajové podmínky již byly zadány, proto lze rovnou spustit řešení úlohy. Solution > Solve > Current LS SOLVE Pro zjištění průběhů a velikosti složek napětí se využije General postproc. FINISH /POST1 5/13

Postupně se vykreslí průběhy všech nenulových složek napětí (Sx, Sy, Sxy) viz obr. 5. General Postproc > Read results > Last set SET,LAST General Postproc > Plot Results > Contour Plot > Nodal Solu PLNSOL,S,X PLNSOL,S,Y PLNSOL,S,XY a) b) c) Obr. 5 Průběhy normálového napětí σ x (a), σ y (b) a smykového napětí τ xy (c) získané pomocí MKP. Dle zadání ještě zbývá zjištění výsledků napětí ve středu disku (v bodě A). Odpovídající uzel lze vybrat různými způsoby, například příkazem: NSEL,S,,,NODE(0,0,0) Pak už je možné vypsat hodnoty složek napětí: General Postproc > List Results > Nodal Solution (Stress/X- Component of stress) PRNSOL,S,COMP Obr. 6 Výsledky pro uzel ve středu disku. 6/13

3 Popis řešení MHP Před samotným řešením MHP je nutné rozbalení souboru MHP.zip umístěného na internetových stránkách Katedry pružnosti a pevnosti VŠB-TUO (http://www.339.vsb.cz/) v pracovním adresáři Ansysu (Working directory). Preprocessing Řešení MHP se zahájí instalací pomocných tlačítek, která se odkazují na makra APDL. V Input okně se zadá: NACTI.MAC Pro zobrazení tlačítek (Obr.7) je nutné vybrat položku: AUM > MenuCtrls > Update Toolbar Obr. 7 Pomocná tlačítka APDL Pre/PostProcessoru pro MHP V dalším postupu se budou vytvořená tlačítka používat postupně z leva doprava. Po stisknutí tlačítka MHP_UVOD se zadají základní volby pro řešení podle zadání viz Obr. 8. Obr. 8 Úvodní volby zobrazené po stisknutí tlačítka MHP_UVOD Dále je vhodné držet se instrukcí na obrazovce. Síť hraničních prvků bude ekvivalentní síti prvků Surf 153 (Surface effect), která je již vytvořená. Vyberou se tedy pouze tyto prvky a uzly, které jim náleží. AUM > Select > Enities... (Elements, By Attributes, Elem type num, zadat 2) ESEL,S,TYPE,,2 AUM > Select > Enities... (Nodes, Attached to... Elements, Pick All) NSLE,S 7/13

Pokračuje se stisknutím tlačítka MHP_SIT (vypsání zadaných údajů a informací o síti do souboru INPUT.TXT). Dulezite je definovani oblasti, kterou chceme resit (u MHP lze resit i oblasti s nekonecnymi rozmery). V řešeném případě směřují normály prvků vně řešené oblasti (Obr.9) zadá se 2. Obr. 9 Zobrazení souřadného systému prvků SURF153 a informace o vygenerované síti hraničních prvků V dalším postupu je opět vhodné držet se instrukcí na obrazovce (Obr. 9). Používaný program MHP umožňuje zadat okrajové podmínky v uzlech každého prvku, a to buď Neumannovu okrajovou podmínku (u úlohy pružnosti povrchové složky napětí) nebo Dirichletovu okrajovou podmínku (u úlohy pružnosti složky posuvů). Na jednom prvku může být však zadána okrajová podmínka jen jednoho typu. V řešeném případě se pro MHP vyskytují pouze Neumanovy okrajové podmínky, proto se vytvoří pouze jedna komponenta prvků pomocí Component manageru programu Ansys, která dokonce bude zahrnovat pouze jediný prvek (nulová Neumanova podmínka je default, nemusí se zadávat), na který byl zadán tlak (postup viz obr.10). Select > Component Manager... ESEL,R,,,prvek CM,neum,ELEM 1. 6. 2. 4. 3. 5. 7. Obr. 10 Vytvoření komponenty zahrnující jediný prvek s nenulovou Neumanovou okrajovou podmínkou. 8/13

Nyní již lze dokončit přípravu vstupních dat pro výpočet MHP stisknutím tlačítka MHP_OP. Dirichletova okrajová podmínka nebude uvažována, proto se v dalším dialogu zmáčkne ENTER. Nakonec se zadá jméno komponenty nenulové Neumanovy okrajové podmínky (na obr.10 nazvána neum ) a po potvrzení se zapíší do souboru INPUT.TXT (v pracovním adresáři) údaje o okrajových podmínkách (Obr.11,12). 2. 1. 3. 4. Obr. 11 Postup zadání okrajových podmínek pomocí APDL Pre/PostProcesoru p ρxi p ρyi p ρxj Obr. 12 Vytvořený vstupní soubor INPUT s okrajovými podmínkami Na obr.12 je vidět, že v důsledku zjednodušeného zadání tlaku kolmo na prvek nebude tento přesně odpovídat zadané osamělé síle, protože ta působí jen ve směru osy Y a při tom je u daného prvku nenulová složka povrchového napětí v ose x (p ρx ). Jak je však zřejmé již z výpočtu p ρyj 9/13

MKP (Obr.6), chyba způsobená zjednodušením bude u výsledku napětí v bodě A minimální (σ ymkp =-9.98MPa, σ yanalyticky =-10MPa, blíže později). Solution Po smazání přípony souboru (.TXT) již lze spustit program prog71.exe a získat tak výsledky posuvů a napětí na povrchu (v souboru BERESULTS). Vstupní data (soubor INPUT) pro použitý program MHP lze vytvořit také ručně přímo např. pomocí NOTEPADU. Stručný popis struktury souboru INPUT je proveden v Obr. 12. Kromě výsledků v souboru BERESULTS byly vypsány také komplexní informace o výpočtu v souboru OUTPUT. Formát výpisu získaných výsledků na hranici (soubor BERESULTS) byl stručně popsán již v příkladě 1 Nosník řešený jako rovinná úloha pomocí MKP a MHP, proto nyní bude popis vynechán. Postprocessing Pokud je nutné určit výsledky také uvnitř tělesa nebo všechny složky tenzoru napětí (ve středech prvků) na povrchu, musí se použít program prog81.exe, jak bylo již popsáno v příkladě 1. V případě použití APDL Pre/PostProcesoru až po výpočtu MKP lze získat také průběh napětí v celém tělese postupným použitím zbývajících tlačítek APDL Pre/PostProcesoru. Tato tlačítka umožňují vlastně automatické vytvoření vstupního souboru programu prog81.exe a načtení výsledků zpět do Ansysu. Pro definici bodů uvnitř řešené oblasti, ve kterých se má provést dodatečný výpočet MHP, budou s výhodou použity uzly konečných prvků uvnitř disku. Opět se tedy vytvoří pomocná komponenta v Ansysu, tentokrát zahrnující uzly uvnitř disku. Postupovat lze dle obr.13, následně vybrat kružnicí (circle) uzly pouze uvnitř čtvrtiny disku a potvrdit OK. U dané sítě konečných prvků by měla komponenta čítat celkem 310 uzlů. Select > Component Manager... LSEL,S,,,1 NSLL,S,1 NSEL,INVE CM,uvnitr,NODE ALLSEL,ALL 1. 4. 5. 2. 3. Obr. 13 Sestavení komponenty uzlů 10/13

V dalším kroku již lze použít tlačítko MHP_UVNITR. Objeví se postupně dvě dialogová okna (obr.14). Po zadání jména vytvořené komponenty se vygeneruje soubor INPUT2.TXT, který lze po smazání přípony TXT použít jako vstup MHP programu prog81.exe. Obr. 14 Vytvoření souboru INPUT2 pomocí tlačítka MHP_UVNITR Obr. 15 Ohlášení dokončení přípravy souboru INPUT2 Nyní již lze dokončit výpočet MHP spuštěním programu prog81.exe (obr.15). Požadované výsledky se zapíší do souboru OUTPUT, kde je může uživatel prostudovat opět užitím Notepadu (obr.16). σ ya Obr. 16 Odečtení hodnot složek napětí v bodě A ze souboru OUTPUT Požadovaná hodnota normálového napětí v bodě A je tedy σ ymhp =-9.085MPa (obr.16). Pro transfer výsledků MHP ze souborů OUTPUT a BERESULTS do Ansysu lze užít tlačítko MHP_IMPORT. Po jeho stisknutí budou nahrazeny výsledky MKP v uzlech (Nodal solution) výsledky MHP a lze obvyklým způsobem zobrazit průběhy napětí σ x, σ y, τ xy nebo posuvů u x a u y. V řešeném příkladě je úkolem vykreslit průběhy napětí, tedy stejně jako u MKP: General Postproc > Plot Results > Contour Plot > Nodal Solu PLNSOL,S,X PLNSOL,S,Y PLNSOL,S,XY 11/13

Získané průběhy jsou zřejmé z obr.17. a) b) c) Obr. 17 Průběhy normálového napětí σ x (a), σ y (b) a smykového napětí τ xy (c) získané pomocí MHP. Dle zadání ještě zbývá zjištění výsledků napětí ve středu disku (v bodě A). Postup je stejný jako u MKP (výsledek by měl být stejný jako z obr.16): NSEL,S,,,NODE(0,0,0) General Postproc > List Results > Nodal Solution (Stress/X- Component of stress) PRNSOL,S,COMP 4 Srovnání výsledků MKP a MHP S ohledem na předchozí text lze shrnout získané výsledky pro střed disku do tabulky 1. Po srovnání hodnot normálového napětí σ y z numerického a analytického řešení lze konstatovat, že MKP u lineárních prvků dává v daném případě výrazně přesnější výsledky při použití ekvivalentní sítě na hranici. Je však třeba upozornit na výrazný rozdíl v počtu stupňů volnosti u obou přístupů (viz tabulka 1). Ze srovnání průběhů smykových napětí (obr.5c a 17c) obou metod je zřejmé, že přesnější je v tomto případě MHP. Na vertikální ose symetrie a povrchu disku by měla být nulová hodnota smykového napětí, což lineární prvky u MKP nebyly schopny zachytit. Tab. 1 Výsledky řešení MKP a MHP ve středu disku. MHP MKP Analytické řešení σ ya [MPa] -9.08-9.98-10 DOF 42 662 12/13

5 Postup řešení při použití připravených maker Pro usnadnění samostatné práce čtenářů tohoto učebního textu byla připravena makra MKP.mac, MHP1.mac, MHP2.mac, a MHP3.mac, která jsou dostupná na http://www.339.vsb.cz/. Kroky pro řešení: 1. spuštění MKP.mac pro snadné řešení MKP 2. spuštění MHP1.mac (preprocessing) a vyplňování dialogových oken dle kapitoly 3 3. smazání přípony.txt souboru INPUT.TXT 4. spuštění prog71.exe (solution) 5. spuštění MHP2.mac (postprocessing) 6. spuštění prog81.exe 7. spuštění MHP3.mac (postprocessing - import do Ansysu) 6 Náměty na samostatnou práci Zkuste zjemnit síť modifikací počtu dělení čar v makru MKP.mac. Analyzujte vliv na konvergenci úlohy u MHP. Proveďte analogicky výpočet s kvadratickými prvky. Ověřte vliv singularity při určování výsledků uvnitř disku blízko hranice. Zvolte bod blízko okraje disku v horizontálním řezu vedeným středem disku. 13/13