Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Aproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy"

Natálie Horáková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1. pro 1D úlohu (obecně) u = m n 2. pro 2D úlohu (obecně) u, y = y y 6 y 2... m y n Obecně pak {u}=[ N ]{r},{ε}=[g]{r}, [ N ],[G] v, y = m 1 m 2 m 3 y m 4 2 m 5 y m 6 y m y n {u}=[ M ]{ }.

2 Aproimace posuvů Rovnice {u}=[ M ]{ } (*) musí platit i pro zobecněné posuvy, lze tedy psát {r}=[ A]{ }, kde matice [ A] obsahuje hodnoty souřadnic uzlů prvku. Z poslední rovnice je možno vyjádřit vektor s neznámými koeficienty i { }=[ A] 1 {r}. Následným dosazením do (*) {u}=[m ]{ }=[M ][ A] 1 {r}=[ N ]{r} lze získat vztah pro matici tvarových funkcí [ N ]=[M ][ A] 1. Radim Halama MKP a MHP

3 Matice bázových funkcí některých prvků Prvek Matice [M] Tyčový [1 ] Trojúhelníkový Obdélníkový Jehlanový (čtyřstěn) [ 1 y y] [ 1 y y y y] [ 1 y z y z y z]

4 Typy prvků Prvky dělíme dle dimenze úlohy na: 1) jednorozměrné 2) dvojrozměrné (rovinné) 3) prostorové dle volby tvarové funkce na: 1) Serendipity family 2) Lagrange family 3) Hermitovské prvky dle tvaru a použití na: 1) tyčové 2) nosníkové 3) trojúhelníkové 4) obdélníkové 5) jehlanové (tetrahedral element) 6) šestistěnové (brick element) 7) deskové (shell element)... Radim Halama MKP a MHP

5 Serendipity family Byly odvozeny intuitivně. Aproimační funkce je ve tvaru polynomu, jehož členy se obvykle vybírají symetricky z Pascalova trojúhelníku. Např. pro trojúhelník na obrázku dole lze volit aproimaci posuvu ve tvaru y 2 y y y y 2 y y y 4 2 y 2 y 3 u= y 4 y 5 2 y 6 y 2 Pro y=k+q zjistíme, že potřebujeme 4 uzly na jedné straně. Zvolíme-li ovšem polynom u= y y 6 y 2, y C vystačíme si s uzly třemi. A B

6 Srendipity family Kvadratický obdélníkový prvek aproimační funkce: u, y = y y 6 y y 8 y 2 =[M ]{ }, Aproimace u (,y) musí opět platit i pro uzlové hodnoty, proto dosadíme-li 8 do vztahu pro u (,y), získáme rovnici {r}=[ A]{ }. Po inverzi matice [ A] můžeme odvodit tvarové funkce [ N ]=[M ][ A] 1, y kde [ N ]=[ N 1, N 2, N 3, N 4, N 5, N 6, N 7, N 8 ] Např. pro prvek s rozměry 11 očíslovaný dle obrázku lze získat tvarovou funkci uzlu 4: N 4, y =4y 1 y 1 Radim Halama MKP a MHP

7 Lagrange family tvarové funkce lze psát přímo - užitím Lagrangeových interpolačních polynomů potřebujeme uzly i uvnitř oblasti Např. pro uzel 4 obdélníkového prvku vpravo N 4, y = Tato funkce nabývá nulových hodnot ve všech uzlech kromě uzlu 4. y y 1 y y 7 y 4 y 1 y 4 y 7 Výhoda odpadá dosazování souřadnic uzlů Nevýhodou těchto prvků je, že při větším počtu vnitřních uzlů obvykle nesplňují požadavek spojitosti na hranicích prvků. y N 4 (,y)

8 Lagrange family Obdélníkový kvadratický prvek tvarové funkce lze zapsat hromadně takto N n i, j =A i1 A i2 A i3 B j1 B j2 B j3, kde A il = l pro i l, i l A il =1 pro i=l, B jl = y y l pro j l, y i y l B jl =1 pro j=l. Např. pro prvek 11 a uzel 7 lze získat: N 7, y =4 1 0,5 y 2 0,5 y. y j=2 i=1 i=3 i= j= j= Radim Halama MKP a MHP

9 Lagrangeův prvek rozměrů 11 tvarové funkce Serendipity Lagrange y y N 6 (,y) N 7 (,y) N 6, y = y 2 2 2y 2y 1 N 7, y =4 1 0,5 y 2 0,5 y

10 Lagrangeův prvek rozměrů 11 tvarové funkce Serendipity Lagrange y y N 4 (,y) N 4 (,y) N 4, y =4y 1 y 1 N 4, y =8 0,5 1 y y 2 Radim Halama MKP a MHP

11 Hermitovské prvky V interpolačních vztazích se vyskytují i derivace posuvů Např. Hermitovský tyčový prvek se čtyřmi u() r 4 stupni volnosti. Volíme polynom u = =[M ]{ }. Konstanty α 1 až α 4 se určí z podmínek v uzlech 1, 2: u 0 =r 1, u l =r 3 du 0 du l =r d 2, =r d 4 Po dosazení do první rovnice lze psát E,S,l r 1 r r 3 r 1 = 1, r 3 = 1 l 2 l 2 3 l 3 4, r 2 = 2, r 4 = 2 2l 3 3l 2 4

12 Hermitovské prvky Rovnice r 1 = 1, r 3 = 1 l 2 l 2 3 l 3 4, r 2 = 2, r 4 = 2 2l 3 3l 2 4 lze zapsat maticově {r}=[ A]{ }, kde [ A]=[1 1 l l 2 l 3 2] l 3l Po inverzi matice [ A] se získá matice tvarových funkcí [ N ]=[M ][ A] 1 =[1 32 l 2 23 l 3, 22 3 l l, 32 2 l 23 2 l 3, 2 l 3 l 2 ]. Výhoda spojitost také v první derivaci posuvů, tzn. také v poměrných deformacích a napětích Radim Halama MKP a MHP

13 Referenční prvky, bezrozměrné (přirozené) souřadnice Rodičovské (referenční) prvky mají tvarové funkce vyjádřeny pomocí bezrozměrných souřadnic, což je výhodné pro stanovování integrálů v matici tuhosti. Skutečný prvek lze získat z prvku rodičovského při dodržení těchto pravidel geometrické transformace: Každému bodu skutečného prvku musí odpovídat bod v referenčním prvku. Totéž musí platit pro uzly. Hranice mezi dvěma uzly referenčního prvku odpovídá hranici mezi odpovídajícími uzly skutečného prvku. SKUTEČNÝ 1 E,S 2 ξ = 1 ξ =0 ξ =1 L REFERENČNÍ E,S 1 2 ξ

14 Referenční prvky tyčový prvek Geometrickou transformaci můžeme vyjádřit lineární závislostí = 1 2 =[1, ]{ 1 2} =[ M ]{ }. Tato rovnice je analogická ke vztahu u=[1, ]{ 1 2} =[M ]{ }, ξ = 1 ξ =0 ξ =1 1 2 L 1 E,S 2 ξ který popisuje aproimaci posuvů lineárního tyčového prvku. Lze tedy použít stejný postup pro odvození geometrické transformace jako u posuvů, tzn. určí se matice [ A] dosazením souřadnic uzlů 1, 2 do první rovnice [ A] 1 =[1, 1]{ 1 2} 2=[1,1]{, 1 2}, tzn. { 1 2} = [ 1 1 ]{ }. Radim Halama MKP a MHP

15 Referenční prvky tyčový prvek Po provedení inverze matice, tj. [ A] 1 = 1 2[ ] a dosazení se získá [ N ]=[ M ][ A] 1 = [1, ] 1 2[ ] = [ 1 2 1, ]. Jestliže se aplikuje stejný postup i pro určení transformačních matic u aproimace posuvů referenčního tyčové prvku, vyjde =[ [ N ]=[M ][ A] , ], odkud plyne, že transformační matice geometrické transformace a matice tvarových funkcí mohou být stejné.

16 Izoparametrické prvky Jestliže funkce N a N jsou shodné a rovněž jsou identické geometrické a interpolační uzly, pak se mluví o prvku izoparametrickém. Další případy definují obrázky uvedené níže. PRVEK IZOPARAMETRICKÝ SUBPARAMETRICKÝ SUPERPARAMETRICKÝ značí body pro určení geometrie prvku značí uzly pro určení aproimace Radim Halama MKP a MHP

17 Matice bázových funkcí lineárních referenčních prvků Prvek Matice [M] Tyčový [1 ] Trojúhelníkový Obdélníkový Jehlanový (čtyřstěn) [ ] [ ] [ ]

18 Matice tvarových funkcí 1D referenčních prvků 1D prvek Serendipity family - lineární - parabolický Tvarové funkce [ N ]=[ ]=[ N 1, N , ] [ N ]=[ ]=[ N 1, N 2, N , 1 2] 2 2,1 Lagrange family N i =A i1 A i2 A i3, A il = l i l pro i l, A il =1 pro i=l, Vyjde totéž jako u Serendipity family Hermitovský prvek [ N ]=[ , , , ] Radim Halama MKP a MHP

19 Aproimace křivek pomocí 1D prvků Viz: Beer, G., Watson, J.O.: Introduction to Finite and Boundary Element Methods for Engineers, New York, Lineární prvek Parabolický prvek Hermitovský prvek

20 Matice tvarových funkcí vybraných 2D referenčních prvků 2D prvek Lineární - trojúhelník - čtyřúhelník Tvarové funkce [ N ]=[ N 1, N 2, N 3 ]=[1,, ] [ N ]= 1 4 [ 1 1, 1 1, 1 1, 1 1 ] Lagrangeův čtyřúhelník N n i, j =A i1 A i2 A i3 B j1 B j2 B j3, η ξ A il = l i l pro i l, A il =1 pro i=l, B jl = l i l pro j l, B jl =1 pro j=l. Radim Halama MKP a MHP

21 Získání prvkových matic pomocí referenčních prvků Matici tuhosti lineárních prvků lze získat analyticky. U složitějších prvků je nutné použití přirozených souřadnic a dodržení pravidel transformace i při odvozování prvkových matic (matice tuhosti a matice hmotnosti). Např. Rovinný prvek se zakřivenými hranami Matice tuhosti prvku je definována vztahem [ K ]= [G] T [C][G]dV, kde [G] V je transformační matice ze vztahu y η ξ {ε}=[ ] T {u}=[ ] T [N ]{r}=[g]{r}. Použitím referenčního prvku lze potom psát 1 1 [ K ]= [G] T [C ][G ] t det [ J ] d d, 1 1 η 1 transformace kde det [J ] je determinant Jakobiánu transformace -1 1 ξ a t značí tloušťku prvku (u rovinné napjatosti). -1

22 Jakobián transformace Rozměr 1D 2D Jakobián [J] d d [ d dy ] d d d dy d d 3D [ d d d d d d dy d dy d dy d dz ] d dz d dz d Radim Halama MKP a MHP

23 Numerická integrace prvkových matic U složitějších prvků je nutno integrovat numericky, přičemž se většinou používá Gaussova integrace. Pro tyčový prvek lze integrál na prvku vyčíslit tak, že se integrovaná funkce Ψ uprostřed prvku vynásobí hodnotou délky intervalu 1 1 d 2 =0 Tato aproimace bude u lineárního prvku přesnou hodnotou. Pro jednorozměrné prvky lze obecně psát Ψ (ξ) Ψ (ξ=0) ξ = 1 ξ =0 ξ ξ =1 1 1 d n i=1 w i i, kde n je počet tzv. Gaussových integračních bodů (řád Gaussovy integrace) w i jsou váhové faktory.

24 Numerická integrace prvkových matic Pro jednorozměrný prvek lze potom matici tuhosti prvku vyčíslit takto 1 [ K ]= 1 n [G] T [C][G]det [ J ] d = i=1 w i [G i ] T [C ][G i ]det [ J ], přičemž váhové koeficienty w i se volí dle tabulky: ξ i w i Pro rovinný prvek lze podobně psát n n [ K ]= i=1 j=1 w i w j [G i, j ] T [C ][G i, j ] t det [ J ]. Radim Halama MKP a MHP

Podobné dokumenty

Globální matice konstrukce

Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{