Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016
Program přednášek 1. Poloklasická teorie šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím 2. Šíření stacionární rovinné vlny v aktivním prostředí 3. Šíření optických impulsů v aktivním prostředí 4. Laser v aproximaci rychlostních rovnic 5. Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser 6. Koherentní šíření impulzů a zesílená spontánní emise
Literatura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce rezonančního záření s látkou, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 2006 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvod do laserové techniky, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 (http://space.fjfi.cvut.cz/web/sulc/ulat/) VRBOVÁ M. a kol.: Lasery a moderní optika - Oborová encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 SALEH, B. E. A. TEICH, M. C.: Základy fotoniky 3.díl, Matfyzpress, Praha, 1995 LONČAR, G.: Elektrodynamika I, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1990 Štol, I.: Elektřina a magnetismus, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 Přednášky: http://people.fjfi.cvut.cz/sulcjan1/lt1/
Světlo Světlo kvantově proud částic, tzv. fotonů (energie kvanta E = ω) Světlo klasicky elektromagnetická vlna E(x, y, z, t) = i ye 0 cos(ω t k r + Φ) Maxwellovy rovnice klasická teorie elektromagnetického pole (1873) H = J + D (Faraday) t. D = ρ (Gauss) E = B (Ampér) t. B = 0 (Gauss) Materiálové vztahy B = µ H (permeabilita), D = ε E (permitivita) µ a ε obecně tenzory a funkce pole
Šíření světla (elektromagnetické vlny) vlnová rovnice Vakuum ( J = 0, ρ = 0, µ = µ 0, ε = ε 0, H = B/µ 0, D = ε 0 E) Vlnová rovnice: E 1 c 2 0 2 E t = 0, kde c 2 0 = 1. (1) µ0 ε 0 Bezeztrátové dielektrikum ( J = 0, ρ = 0, µ = µ 0, ε = ε 0 ε r, H = B/µ 0 ) Dielektrikum = těleso tvořené elementárními dipóly, náboje jsou vázané Nenulová hustota vázaných nábojů ϱ v Polarizace dielektrika P( E) D = ε 0 E + P, ϱv =.P E 1 c 2 0 2 E t = µ 2 P 2 0 (2) t 2 Interakce záření s prostředím
Elektrická polarizace dielektrika P
Elektrická polarizace prostředí P Dielektrikum tvoří částice s vlastním nebo indukovaným dipólovým momentem Elektrická polarizace je odezva prostředí na vnější elektrické pole Polarizace P = objemová hustota elektrického dipólového momentu dielektrika Lineární, homogenní, izotropní prostředí: P = ε 0 χ E, kde χ je elektrická susceptibilita Vlnová rovnice má tvar: E 1 c 2 2 E t 2 = 0, kde c = c 0 1 + χ (3) V obecném případě je nezbytné určit odezvu prostředí polarizaci pro pravou stranu vlnové rovnice (2) na základě přesnějšího fyzikálního modelu dielektrika. (Klasická teorie Drude-Lorentz [4])
Kvantový model prostředí Model prostředí makroskopického systému soubor velkého počtu stejných kvantových soustav Kvantová soustava mikroskopický systém vázaných částic (elektron, proton, iont), které spolu interagují (elektromagnetická síla) Diskrétní spektrum energetických hladin E i (základní, 1. excitovaná,... ) Diskrétní množina stavů vlnových funkcí ϕ i, i vnitřní uspořádání Schrödingerova rovnice (1926) Ĥ i = E i i Př.: atom vodíku konfigurace elektronového obalu (stav kvantové soustavy) vs energetické hladiny a spektrum
Energetické hladiny Populace hladiny Přirozená šířka čáry (Heisenbergovy relace neurčitosti) Pravděpodobnost přechodu (Einsteinovy koeficienty) Degenerace hladin Štěpení hladin ve vnějším poli
Interakce kvantové soustavy s okolím Interakce s okolím výměna energie změna energetické hladiny změna stavu (konfigurace) mikroskopická změna dipólového momentu změna makroskopické polarizace souboru kvantových soustav (prostředí) Interakce s elmag. polem: absorpce hν + A A spontánní emise A hν + A stimulovaná emise A + hν 2hν + A Podmínka rezonance zákon zachování energie (Bohrův vztah, 1913) E = E j E i = hν ji Rezonanční záření frekvence ν ji je v rezonanci s kvantovým přechodem j i
Dvouhladinový systém Dvouhladinový systém E 2 2 E 1 hν 12 1 Nejjednodužší model ideální kvantové soustavy Nejjednodužší model ideální kvantové soustavy Soustava Soustava má má jen jen dva dvastacionární stacionárnístavy, tj. jen jendvě dvěenergetické energetickéhladiny hladiny Libovolný Libovolný stav stav popsán maticí hustoty čtyři komplexní čísla, ale stačí jentři tři reálná reálná čísla čísla Blochův vektor R R = (R x,r x, y R,R y, z ) R z) ( ρ11 ρ ˆρ = 12 ) = 1 ( 1 Rz R x ) + ir y ρ 21 ρ 11 ρ 22 12 ˆρ = = 1 2 1R x R z irr yx + ir1 y + R z ρ ρ 21 ρ 22 2 ij pravděpodobnosti přechodu i j R x ir y 1 + R z Inverze populace hladin n = ρ 22 ρ 11 Rezonanční frekvence ν 12 = ν 21 = E 2 E 1 h 9
Dipólový moment dvouhladinového systému Magnetický moment kvantové soustavy ˆ d = eˆ r d ˆ d = 11 d 12. d 21 d 22 Atom je bez vlastního dipólového momentu (středově symetrické orbitaly) Dipólový moment se projeví při kvantovém přechodu změna konfigurace atomu 1 2 (ψ 1 ( r) ψ 2 ( r)) Z d 12 = e 1 r 2 = e ψ1 ( r) rψ 2 ( r) dv = d 21. Střední hodnota dipólového momentu 1 n o d = Tr ˆρˆ d = d 12 ρ 21 + d 21 ρ 12 Pro učení vývoje střední hodnoty dipólového momentu je třeba popsat vývoj dvouhladinové soustavy (určit v každém okamžiku matici hustoty) Makroskopická polarizace prostředí P = P d dipólové momenty jednotlivých kvantových soustav 1 Tr {A} je součet diagonálních prvků matice A, tzv. stopa matice.
Vývoj dvouhladinového systému Pauliho řídící rovnice Vývoj kvantových systémů obecně popisuje tzv. časová Schrödigerova rovnice i ˆρ t = [Ĥ, ˆρ] Vývoj dvouhladinové soustavy popisují tzv. Pauliovy rovnice (zjednodušená Schrödingerova rovnice pro statistický operátor, respektive jeho složky) ρ 11 t = Γ 2 ρ 22 Γ 1 ρ 11 ρ 12 t = (Γ 21 iω 21 ) ρ 12 ρ 22 t = Γ 1 ρ 11 Γ 2 ρ 22 ρ 21 t = (Γ 12 + iω 21 ) ρ 21 Parametry Γ 1, Γ 2, Γ 12 = Γ 21 souvisí s tlumením soustavy v důsledku interakce s okolím, ω 21 = 2πν 21 Energie interakce mezi atomem a polem E(t) působícím na dipólový moment d dvouhladinové soustavy W = d E(t) (klasicky) Ŵ = ˆ d E(t) (polo-klasicky)
Rovnice poloklasické teorie interakce látky a záření K Pauliho rovnicím přidáme energii interakce dipólu dvouhladinové soustavy s vnějším polem a postupně přejdeme od prvků matice hustoty k střední hodnotě inverze populace hladin a dipólového momentu Příspěvky k inverzi populace hladin a polarizaci od jednotlivých kvantových soustav tvořících makroskopické prostředí sečteme P = P d, N = P n Získáme rovnice pro makroskopickou polarizaci a inverzi populace hladin nahrazující materiálové vztahy: " t + 1 2 # + ω 2 E 21 P = 2ω 21 T 2 d 21 2 N t + 1 T 1 N N 0 = 2E ω 21 t + 1 P T 2 Deterministické pole popisujeme klasiky Maxwellovy rovnice vlnová rovnice: E 1 2 E c 2 t = µ 2 P 2 0 t 2 Vzájemně vázané nelineární vektorové parciální diferenciální rovnice druhého řádu vlastně je to celkem 7 rovnic Zahrnují všechny kvantové aspekty odezvy dvouhladinové kvantové soustavy
2 T 1 = (Γ 1 + Γ 2 ) 1, T 2 = Γ 1 12 Rovnice poloklasické teorie interakce látky a záření E Elmag. pole T 1 Relaxace inverze populace hladin 2 P Makroskopická polarizace T 2 Relaxace makroskopické polarizace N Inverze populace hladin ω 21 Rezonanční frekvence N 0 Inverze populace hladin d 21 Velikost dipólového bez vnějšího pole momentu
Shrnutí Poloklasická teorie interakce záření a rezonančního prostředí Záření popisuje klasicky elektromagnetická vlna (amplituda, frekvence, MR) Odezva prostředí na záření je makroskopicky vyjádřena pomocí polarizace Prostředí je popsáno kvantově jako soubor mnoha stejných dvouhladinových kvantových soustav (rezonanční frekvence) Mikroskopický popis prostředí představuje statistický operátor (Blochův vektor), operátor dipólového momentu a Pauliho rovnice Vazbu pole a prostředí mikroskopicky popisuje energie dipólu kvantové soustavy ve vnějším elamg. poli Řešením Puliho rovnic a přechodem od elementů statistického operátoru ke střední hodnotě operátoru dipólového momentu a obsazení hladin a následným přechodem k makroskopickým proměnným P a N dostáváme rovnice pro poloklasický model odezvy rezonančního prostředí na záření. " t + 1 2 # + ω 2 E 21 P = 2ω 21 T 2 d 21 2 N t + 1 T 1 N N 0 = 2E ω 21 t + 1 P T 2
Literatura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce rezonančního záření s látkou, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 2006 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvod do laserové techniky, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 (http://space.fjfi.cvut.cz/web/sulc/ulat/) VRBOVÁ M. a kol.: Lasery a moderní optika - Oborová encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 SALEH, B. E. A. TEICH, M. C.: Základy fotoniky 3.díl, Matfyzpress, Praha, 1995 LONČAR, G.: Elektrodynamika I, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1990 Štol, I.: Elektřina a magnetismus, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 Přednášky: http://people.fjfi.cvut.cz/sulcjan1/lt1/