Úvod... Fourierovská optika.... Základy Fourierovské optiky..... Jednorozměrná Fourierova transformace... 3.. Dvourozměrná Fourierova transformace... 4..3 Fourierova transformace pomocí čočky... 5. Fourierova transformace... 7.. Definice Fourierovy transformace... 7.. Filtrace prostorových frekvencí... 8.3 Výpočet Fourierovy transformace funkce rect(x/a):... 9.4 Fourierova transformace ve zpracování obrazu... Difrakce... 3. Základní případy ohybu světla... 3.. Ohyb světla na hraně... 3.. Ohyb světla na štěrbině... 3..3 Ohyb světla na optické mřížce... 5. Fresnelova a Fraunhoferova difrakce... 7.. Fresnelova difrakce... 7.. Fraunhoferova difrakce... 7.3 Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru... 0.4 Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru... 3 Experimentální část... 5 3. Sestavení pracoviště pro experimenty... 5 3. Popis prvků měřící sestavy... 6 3.3 Fraunhoferova difrakce na vybraných objektech... 8 3.3 Prostorová filtrace optického signálu... 3 3.4 Filtrace nečistot na koherentní vlnoploše... 33 3.5 Stanovení velikosti kruhového otvoru pomocí difrakce... 34 3.6 Fourierova transformace a frekvenční filtrace jednoduchých objektů v Matlabu... 37 3.7 Fourierova transformace a frekvenční filtrace reálných obrazů v Matlabu... 40 3.8 Praktické aplikace difrakce a prostorové optické filtrace... 4 Závěr... 43 Literatura... 44 Příloha... 45 Příloha... 46 Příloha 3... 48 Příloha 4... 50
Úvod Diplomová práce se zabývá zpracováním optického signálu v situaci, kdy je ovlivněn nějakou překážkou, přičemž dojde k difrakci. Je důležité si uvědomit k čemu v uvedeném případě dochází a jak lze výhodně takový signál dále zpracovávat. V teoretické části uvádím základy Fourierovské optiky, příklady jednorozměrné a dvourozměrné Fourierovy transformace pro vybrané funkce a pro funkci rect i matematické odvození. Dále rozebírám pojem difrakce a definuji Fresnelovu a Fraunhoferovu difrakci. Chci, aby bylo z mé práce zřejmé, že podstatná je zejména Fraunhoferova difrakce a její analogie s Fourierovou transformací. Je totiž možné ovlivňovat spektrum optických signálů pomocí prostorových filtrů stejně, jako se v případě elektrických signálů ovlivňuje frekvenční spektrum pomocí kmitočtových filtrů. V experimentální části je objasněno sestavení pracoviště pro experimenty s Fraunhoferovou difrakcí, záznam Fraunhoferových difrakčních obrazců na vybraných předmětech, metoda prostorové filtrace signálu, druhy filtrů a jejich vlastnosti, filtrace vlnoplochy laseru, stanovení velikosti kruhového otvoru výpočtem, simulace uvedených experimentů v Matlabu a prodiskutování použití Fraunhoferovy difrakce a optické prostorové filtrace. Práce obsahuje přílohu s fotografickou dokumentací difrakčních obrazců na předmětech různých tvarů a zdrojové kódy Matlabu simulující jevy a principy, zejména experimenty se čtvercovým otvorem a reálnými obrazy, které jsou podrobně rozebrány v teoretické části. Vývoj optiky dobře popisuje [0]. Zde je uvedeno, že na rozvoji moderních technologií nemají kupodivu podíl pouze nově objevené jevy, ale také nově objevené využití jevů dávno známých a proto má smysl se jimi zabývat. Jedním z takových jevů je difrakce a matematický aparát Fourierova transformace. - -
Fourierovská optika Optické zpracování informace podrobně rozpracovává [], zejména pak z pohledu Fourierovské optiky. Amplituda světelné vlny vycházející ze zobrazovaného předmětu se rozkládá na prostorové harmonické složky. Každá z těchto složek pak prochází zobrazovacími optickými prvky nezávisle, lze tedy tyto komponenty individuálně zpracovávat, případně zcela odstranit ze zobrazujícího svazku a tím řízeně ovlivňovat výsledný obraz. Je důležité si uvědomit, že každému bodu ve Fourierově rovině odpovídá jedna prostorová frekvence.. Základy Fourierovské optiky Fourierovská optika popisuje šíření světelných vln na základě harmonické analýzy (Fourierovy transformace) a lineárních systémů. Harmonická analýza je založena na rozvoji libovolné funkce času f ( t) v superpozici (sumu nebo integrál) harmonických funkcí času o různých frekvencích, počátečních fázích a amplitudách. Základním stavebním kamenem této teorie je harmonická funkce F( f ) exp ( jπft ) s frekvencí f a amplitudou F ( f ). Několik takových funkcí je použito k vytvoření funkce f ( t), viz obr... Prostorovou funkci f ( x, y) lze též rozložit v řadu jednoduchých prostorových funkcí, viz obr... Jelikož je možná tato superpozice, může být i libovolná postupná vlna U ( x, y, z) vyjádřena jako součet rovinných vln (viz obr..3), což lze považovat za podstatu fourierovské optiky. Obrázek.: Jakoukoli funkci lze rozložit v řadu harmonických funkcí; []. Obrázek.: Jakoukoli prostorovou funkci lze rozložit v řadu harmonických funkcí o různých prostorových frekvencích a komplexních amplitudách; [9]. Obrázek.3: Libovolnou vlnu lze nahradit superpozicí rovinných vln; []. - -
.. Jednorozměrná Fourierova transformace Harmonická funkce F( f ) ( jπft ) exp hraje ve vědě a technice důležitou roli. Díky ní mohou být jiné funkce získány prostou superpozicí, viz obr... Podle Fourierova teorému [] může být komplexní funkce f ( t) zapsána ve tvaru integrálu z harmonických funkcí o různých frekvencích a komplexních amplitudách jako inverzní Fourierova transformace F ( f ) je Fourierův obraz funkce ( t) f ( t) = F( f ) exp( jπ ft) df. (.) f a je dán vztahem F( f ) = f ( t) exp( jπ ft) dt. (.) Obrázek.4: Funkce rect ( x) a její Fourierova transformace sinc ( f ); [7]. Obrázek.5: Funkce Λ ( x) a její Fourierova transformace sinc ( f ) ; [7]. - 3 -
.. Dvourozměrná Fourierova transformace Funkce F( f f ) exp[ jπ ( f x f y) ], tvoří základ dvourozměrné Fourierovy x y x + y transformace. Ostatní funkce lze vytvořit skládáním těchto funkcí, viz obr... Proměnné f x a f x, y může být f představují prostorové frekvence v příslušných směrech x a y. Funkce ( ) y rozvinuta pomocí harmonických funkcí proměnných x a y a zapsána ve tvaru integrálu jako dvourozměrná inverzní Fourierova transformace kde koeficienty ( f x f ) ( x, y) = F( f x, f y ) exp[ ( f x x + f y y) ] df xdf y, f π (.3) y F, jsou určeny dvourozměrnou Fourierovou transformací F ( f, f y ) = f ( x, y) exp[ ( f x x + f y y) ] dxdy. x π (.4) Obrázek.6: Funkce rect ( x) rect( y) a její Fourierova transformace sinc ( ) f sinc ( ) x f ; [7]. y Obrázek.7: Funkce circ ( r) a její Fourierova transformace ( πδ ) δ J ; [7]. - 4 -
..3 Fourierova transformace pomocí čočky Jednou z fundamentálních pouček fourierovské optiky je to, že čočka vytváří ve své zadní ohniskové rovině rozložení amplitudy světla úměrné Fourierově transformaci amplitudy nacházející se v rovině, kde je zobrazovaný předmět (předmětová rovina). Speciální případ, výhodný pro studium optické Fourierovy transformace a prostorovou filtraci, je dvoučočkový systém, viz obr..8. Z hlediska fourierovské optiky takový systém představuje kaskádu dvou subsystémů realizujících Fourierovu transformaci. První subsystém vytváří přímou Fourierovu transformaci v ohniskové rovině první čočky (zvané též Fourierova rovina). Druhý subsystém (mezi Fourierovou rovinou a obrazovou rovinou systému) provádí inverzní Fourierovu transformaci, jak můžeme ihned usoudit ze záměnnosti chodu světelných paprsků. Výsledkem je tedy obraz, který je přesnou replikou předmětu. Obrázek.8: Dvoučočkový zobrazovací systém 4-f; []. Zmíněný dvoučočkový zobrazovací systém se nazývá systém 4-f či koherentní optický procesor. Jeho použití jako prostorového filtru je názorně ukázáno pro případ, kdy amplituda světelné vlny f ( x, y) je funkcí dvou proměnných, viz obr..9. Jak vyplývá z výše uvedené analogie - každému bodu ve Fourierově rovině odpovídá jedna prostorová frekvence. Vložímeli do Fourierovy roviny vhodnou masku (t.j. nepropustné stínítko s definovaně rozloženými otvory = filtr), která bude některé prostorové frekvence blokovat a jiné propouštět, dostaneme v obrazové rovině obraz s amplitudou F ( x, y), která bude filtrovanou verzí předmětové amplitudy f ( x, y). Touto optickou prostorovou frekvenční filtrací můžeme selektivně potlačit či zcela eliminovat některé rysy geometrického obrazu, změnit kontrast apod. - 5 -
Obrázek.9: Systém 4-f uspořádání pro realizaci optické Fourierovy transformace; []. Obrázek.0: Systém 4-f uspořádání s ukázkou umístění masky neboli optického filtru; []. Tenká sférická čočka transformuje rovinnou vlnu na paraboloidní vlnu fokusovanou do bodu v ohniskové rovině první čočky, viz obr..0. Přichází-li z předmětové roviny rovinná vlna pod malými úhly θ a θ f, θ f, kde f je x θ y, je paraboloidní vlna soustředěna kolem bodu ( x y ) ohnisková vzdálenost. Čočka tedy přiřazuje každému směru ( θ x, θ y ) jeden bod ( θ x f, θ y f ) v ohniskové rovině (na obr..0 označené jako Fourierova rovina) a odděluje tak příspěvky různých rovinných vln. Budiž f ( x, y) komplexní amplituda optické vlny v rovinně z = 0. Světlo je rozloženo do rovinných vln: vlna šířící se pod malými úhly θ x = λf x a θ y = λf y má komplexní F f x, f. Tato vlna je čočkou soustředěna do bodu amplitudu úměrnou Fourierově transformaci. ( ) ( y) x, v ohniskové rovině, kde x = θ x f = λff x, y = θ y f = λff y. Komplexní amplituda v bodě ( x, y) výstupní roviny (Fourierova rovina) je tedy úměrná Fourierově transformaci funkce f ( x, y) spočtené pro = x λf a = y λf, takže g( x, y) F( x λ f, y λf ). f x f y y - 6 -
. Fourierova transformace.. Definice Fourierovy transformace Fourierova transformace bývá definována různými způsoby a v důsledku toho jsou různého tvaru (liší se různě rozmístěnými konstantami), viz. []. Snad všechny definice Fourierovy transformace používané v literatuře jsou speciálním případem transformace definované s použitím tří nenulových konstant A, B, k. Definujeme tedy Fourierovu transformaci FT { f ( x) } funkce f ( x) a inverzní Fourierovu transformaci FT { F( X )} funkce ( X ) F integrály FT N N { f ( x) } A... f ( x) exp( ik X x) d x, = (.5) FT Přitom se předpokládá, že f ( x) a ( X ) N N { F( X )} B... F( X ) exp( ik X x) d X. = (.6) F jsou absolutně integrovatelné po částech hladké komplexní funkce reálných proměnných x, X EN. Konstanty A, B mohou být komplexní, konstanta k musí být ovšem reálná. Zavádět konstanty A, B komplexní by však bylo formální a bezúčelné. Bez újmy na obecnosti můžeme považovat konstanty A a B za reálné a kladné. Volbu konstant A, B, k svazuje podmínka k AB = (.7) π jež vyplývá z tzv. fundamentální věty o Fourierově transformaci, kterou uvádím v odst.... Podmínka (.7) je totiž nezbytná k tomu, aby bylo smysluplné nazývat funkce f ( x) a F ( X ) dvojicí funkcí souvisejících spolu Fourierovou transformací, neboť z (.5), (.6) a (.7) vyplývá, že v bodech spojitosti platí F ( X ) = FT{ f ( x) }, f ( x) FT { F( X )} =. (.8) Integrál (.5) resp. (.6) se nazývá Fourieruv integrál. - 7 -
.. Filtrace prostorových frekvencí V systémech pracujících s koherentním zářením se často v obrazech projevuje nežádoucí interference vznikající na malých, ostře ohraničených nehomogenitách. V optických systémech se jedná především o prach, který se vyskytuje na povrchu čoček a zrcadel, a to včetně zrcadel v laseru. Po ozáření se prach stává sekundárním bodovým zdrojem záření, viz obr.., a paprsky šířící se od tohoto zdroje interferují s paprsky základního svazku [8]. Z obr.. je zřejmé, že paprsek šířící se od prachového zrníčka A šikmo, prochází v ' ' ohniskové rovině bodem A, mimo ohnisko F. Jelikož poloha bodu A v ohniskové rovině je funkcí sklonu sledovaného šikmého paprsku vůči původnímu svazku paprsků, lze dokázat, že tato poloha vyjadřuje vlastně složku prostorové frekvence interferenčních proužků (zde ve směru svislém), které by vznikly interferencí původního svazku se šikmým svazkem daného sklonu. Vložíme-li do ohniska clonu CL s malým otvorem, zamezíme tím průchodu šikmých paprsků za clonu a zabráníme tak parazitní interferenci na sledovaném prachovém zrníčku. Z uvedeného plyne, že clona v ohnisku se chová jako frekvenční filtr a proto se hovoří o filtraci prostorových frekvencí. Obrázek.: Schéma k filtraci prostorových frekvencí ; [8]. Příklad obrazu získaného s parazitní interferencí na prachu a nečistotách v systému je uveden na obr.. vlevo. Vpravo je pak umístěn obdobný obraz, a to s použitím filtrace prostorových frekvencí. Zařízení pro filtraci prostorových frekvencí v optických systémech se nazývá prostorový filtr. Tento filtr se skládá z čočky či objektivu, clony s průměrem otvoru v desítkách mikrometrů (závisí to na vlnové délce záření a ohniskové vzdálenosti čočky) a z traverzovacího systému umožňujícího jednak posuv clony ve směru optické osy a jednak velmi jemné, vzájemně nezávislé posuvy ve dvou příčných směrech (na sebe kolmých). Prostorový filtr seřizujeme tak, že nejdříve ustavíme objektiv se clonou do osy svazku a clonu umístíme od objektivu do vzdálenosti větší, než je ohnisková vzdálenost. Pak clonu k objektivu pomalu přibližujeme a stále sledujeme zpočátku malou stopu prošlého svazku, kolem které je soustava interferenčních proužků. Nastane-li vychýlení stopy z optické osy, doladíme polohu stopy příčným pohybem clony. Seřízení prostorového filtru je ukončeno, když vymizí soustava interferenčních proužků kolem stopy a dostaneme čistý svazek bez parazitní interference. Je-li clona příliš malá, nelze se zbavit soustavy interferenčních proužků kolem stopy, a je-li clona příliš velká, bude filtrace neúčinná. - 8 -
.3 Výpočet Fourierovy transformace funkce rect(x/a): Při zpracování této kapitoly jsem používal především []. Funkce rect ( x) je definována vztahy rect ( x) =, když x <,, když x =, 0, když x >. (.9) Obrázek.: Graf funkce ( x a) rect ; []. V teorii difrakce se jí používá k vyjádření funkce propustnosti nekonečně dlouhé štěrbiny v nepropustném stínítku. Je-li štěrbina rovnoběžná s osou x, přičemž osa x prochází jejím středem, a má-li štěrbina šířku a, je funkce propustnosti f ( x, x ) takového stínítka tvaru f x a Počítejme tedy Fourierovu transformaci funkce ( ) ( x, x ) = rect. (.0) f x x = rect, viz obr..: a FT rect x a = A a a exp A ikx ( ikxx ) dx = [ exp( ikax ) exp( ikax )] = sin Aa ( kax ) kax, (.) viz obr..3. Je zajímavé, že funkce ( kax ) sin kax není absolutně integrovatelná. - 9 -
Obrázek.3: Graf funkce sin ( kax ) kax ; []. Inverzní Fourierova transformace funkce (.) ovšem existuje: FT x FT rect a sin ( kax ) = BAa kax exp ( ikrx ) dx = AB k 4 0 sin X ( kax ) cos( kxx ) dx. Tento integrál je Dirichletorovým nespojitým faktorem: 0 sin ( α x) cos( βx) dx x = π, když α > β 0, π, 4 když α = β > 0, 0, když α > β 0. (.) Dostáváme tak očekávaný výsledek FT x FT rect a AB sin = k X 4sgn ( k ) = 0 ( k ax ) cos x a ( kxx ) dx = rect. AB π =, když x < a, k AB π =, když x = a, k AB π 0 = 0, když x > a. k - 0 -
Obrázek.4: Znázornění funkce f ( x x ) rect( x a) rect( x b) Je-li ( ) f x, x charakteristickou funkcí obdélníka, f, = ; []. x a x b ( x, x ) = rect rect (.3) (viz obr..4), lze dvojný Fourierův integrál faktorizovat a podle (.) je sin ( ) ( kax) sin( kbx ) F X, X = A 4ab. (.4) kax kbx Zřejmě x x FT FT rect rect = a b, když x < a x <,,, 4 když, b x < a, x = b nebo x < = a, x b když x = a x =,, b 0, když x > a x >,, b, v souhlasu s (.3). Vypočteme ještě Fourierovu transformaci charakteristické funkce (.0) nekonečně dlouhé štěrbiny šířky a F ( X, X x sin( kax) sin( kbx ) sin( kax) ) = FT rect = A 4a lim = A a kax b kx kax a sin( kax) π a δ X kax k πδ ( kx ) = A sin ( ) ( kax) = A = a δ ( X ). (.5) Tato Fourierova transformace nabývá nenulových hodnot pouze v bodech osy X. B kax - -
.4 Fourierova transformace ve zpracování obrazu Zpracování obrazu lze podle [9] rozdělit na tři tématické části - restaurování obrazu, zkvalitňování zobrazení a segmentaci obrazu. Restaurování obrazu je proces při němž se snažíme převést obraz do takového stavu, v jakém byl před degradací (např. vlivem šumu v přenosové cestě). K úspěšnému provedení restaurace je nutno znát především způsob degradace. V praxi se ve většině případů vystačí, předpokládáme-li poškození způsobené lineárním systémem s prostorové invariantní odezvou. Působení takového systému na obraz lze vystihnout konvolučním integrálem a tedy charakterizovat ve spektrální oblasti součinem původního spektra obrazu a přenosové funkce. Proces rekonstrukce pak náleží ve vytvoření filtru s přenosovou funkcí na méně první. Obecně nemusí hledaný filtr existovat, pak se hledá podle vhodně zvolených kritérií optimální filtr. Příkladem muže být záznam interferenčního obrazce sloučeného s aditivním šumem. Nezašuměný interferenční obrazec bude blízký dvourozměrnému sinusovému signálu, jeho spektrum bude tedy nenulové jen v blízkém okolí průměrné frekvence. Zašuměný obraz bude mít i další složky nenulové. Ideální filtr k restaurování bude mít jednotkovou velikost pro frekvence ležící v kruhu se středem na průměrné frekvenci a nulovou pro ostatní; optimální velikost poloměru kruhu se musí určit na základe zvolených kritérií. Zkvalitňování zobrazení je rozdílný proces. Při tomto procesu není prioritní snaha dosažení maximální věrnosti výsledného obrazu, ale zdůraznění některých charakteristických rysů. Muže se jednat např. o intenzitní mapování, při němž se nelineárním způsobem mění stupnice šedi v obraze, nebo pseudokolorování, kde se monochromatický obraz pro lidský zrak zvýrazní na základě kontrastu mezi jednotlivými barvami, které jsou přiřazeny původním stupňům šedi. Z hlediska Fourierovy transformace jsou významné např. procesy zostřování obrysu, při nichž se zvýrazňují náhlé intenzitní přechody v obraze zesílením spektrálních složek s vyššími hodnotami prostorových frekvencí (v prostorové oblasti odpovídá derivaci obrazu). Segmentace obrazu je proces u něhož se jedná o analýzu obrazu, která spočívá ve vytvoření popisu obrazu. V předchozích metodách zpracování šlo pouze o takovou úpravu obrazu, aby se z něj získalo více vizuální informace. Mezi používané metody patří např. komparace ( šedivý obraz se převede na černobílý tak, že se porovnává intenzita v daném bode s referenční hodnotou a na základě porovnání se přiřadí hodnota 0 nebo ), detekce rozhraní (stanovují se čáry náhlých změn intenzity) nebo vyhledávání obrazců - -
Difrakce Slovo difrakce vytvořil zakladatel teorie difrakce F. M. Grimaldi v polovině 7. století. Charakterizoval světlo, jež se odchyluje od přímočarého šíření jinak než odrazem nebo lomem. Jeho kniha Fyzikálně matematický výklad světla, barev a duhy téměř začíná tvrzením: světlo se šíří nebo proniká nejen přímo, lomem a odrazem, nýbrž někdy ještě také jakýmsi čtvrtým způsobem, difrakcí. Toto konstatování slouží dodnes jako definice, nebo spíš vymezení, pojmu difrakce. V dnešní terminologii jen doplníme, že Grimaldi předpokládal, že se světelný svazek šíří homogenním a izotropním prostředím a že použil slova difrakce, aby charakterizoval světelné jevy za nějakou překážkou vnořenou do takového prostředí a omezující svazek. Českým ekvivalentem difrakce je ohyb vlnění. Při zpracování této kapitoly jsem používal především [].. Základní případy ohybu světla.. Ohyb světla na hraně Ohyb světla na hraně můžeme pozorovat jestliže světlo prochází kolem ostrého okraje nějakého předmětu, odchýlí se a na stínítku za předmětem interferuje a vzniká na něm ohybový obrazec. Na stínítku dochází k tzv. vícesvazkové interferenci. Difrakční obrazec tvoří soustava světlých a tmavých proužků (světlý proužek = interferenční maximum, tmavý proužek = interferenční minimum). Je tím výraznější, čím se rozměry překážky blíží k vlnové délce světla... Ohyb světla na štěrbině Ohyb světla na štěrbině v podstatě rozšiřuje předchozí případ, ale dochází zde k významnějšímu omezení svazku světla, viz obr... l P r N a/ B α r S a/ centrální osa dopadající vlna M Obr..: Ohyb světla na štěrbině. pozorovací stínítko C - 3 -
Předpokládejme, že rovinná světelná vlnoplocha o vlnové délce λ dopadá na štěrbinu šířky a. Každý bod štěrbiny se podle Huygensova principu stává zdrojem elementárního vlnění, které se z něho šíří v elementárních vlnoplochách i do prostoru za překážkou. Do každého bodu na stínítku pak dopadá světlo z každého bodu štěrbiny. Protože byla štěrbina osvětlena rovinou monochromatickou vlnou, můžeme tato elementární vlnění považovat za koherentní a na stínítku vznikne ohygbový obrazec. Zvolme na stínítku libovolný bod P. Sestrojíme dva paprsky, které dopadají do bodu P. První (r ) z nich prochází horním okrajem štěrbiny, druhý (r ) prochází středem štěrbiny. Zároveň sestrojíme optickou osu štěrbiny, která prochází jejím středem. Paprsek (r ) se od této osy odchyluje o úhel α. O výsledku interference rozhoduje dráhový rozdíl obou paprsků, který nyní určíme. To se nám bude hodit při definování difrakčních minim a maxim. Budeme předpokládat, že šířka štěrbiny a je malá (řádově desetiny až setiny mm), to znamená, že je zanedbatelná ve srovnání se vzdáleností stínítka l od mřížky. Proto oba paprsky můžeme považovat za rovnoběžné, viz obr... r N α a/ α B α r S dráhový rozdíl l Obr..: Ohyb světla na štěrbině. Dráhový rozdíl obou paprsků vypočteme z pravoúhlého trojúhelníka NBS. Platí tedy a l = sinα. (.) Má-li v bodě P nastat difrakční maximum, musí být dráhový rozdíl mezi paprsky roven sudému násobku poloviny vlnové délky a λ l = sinα = k = kλ. (.) Číslo k nazýváme řád ohybového maxima a nabývá hodnot 0,,, 3, - 4 -
Pro difrakční minimum platí podobná podmínka. Celkový dráhový rozdíl musí být roven lichému násobku poloviny vlnové délky a λ l = sinα = ( k ). (.3) Čím je šířka štěrbiny menší, tím užší je centrální maximum. Rozložení ohybových maxim a minim však závisí také na vlnové délce použitého světla. Čím je vlnová délka světla větší, tím více se projevují vlnové vlastnosti světla a difrakční obrazec je výraznější...3 Ohyb světla na optické mřížce Ohyb světla na mřížce můžeme chápat opět jako rozšíření předchozího případu. Soustavu velkého počtu štěrbin nazýváme optická mřížka. Jejími základními parametry jsou: šířka štěrbiny a a vzdálenost středů sousedních štěrbin tzv. mřížková konstanta b. Optické mřížky se vyrábějí dvěma základními způsoby a to rytím nebo holografickou metodou. Opět nás bude zajímat, jak vypadá ohybový obrazec v případě, že optickou mřížku osvětlíme rovinnou vlnou o vlnové délce λ. Podobně jako při popisu ohybového obrazce, který vzniká na stínítku za jedinou štěrbinou, tak i zde použijeme určité zjednodušení. Vybereme si paprsky, které procházejí odpovídajícími body na štěrbinách a dopadají do určitého bodu P na stínítku. Protože mřížková konstanta i šířka štěrbiny jsou zanedbatelné ve srovnání se vzdáleností stínítka od mřížky, můžeme opět tyto paprsky považovat za rovnoběžné. l P d centrální osa d M pozorovací stínítko C Obr..3: dopadající vlna Ohyb světla na optické mřížce. - 5 -
k bodu P pozorovacíh o stínítka C α d α α α d α dráhový rozdíl l Obr..4: Ohyb světla na optické mřížce. Dráhový rozdíl sousedních paprsků vypočteme opět z pravoúhlého trojúhelníka l = bsinα. (.4) Aby v bodě P nastalo ohybové maximum k-tého řádu, musí být tento dráhový rozdíl roven sudému násobku poloviny vlnové délky λ l = bsin α k = k = kλ, kde α k je ohybový úhel k maximu k-tého řádu, k je řád ohybového maxima (nabývá hodnot 0,,, 3, ). Je-li světlo dopadající na optickou mřížku monochromatické, pak mají maxima stejnou barvu jako je barva světla. Jestliže mřížku osvětlíme bílým světlem, bude maximum nultého řádu bílé a maxima vyšších řádů jsou duhově zbarvená, přičemž nejvíce se ohýbá světlo barvy červené a nejméně světlo fialové. Podmínku pro difrakční minimum odvodíme opět velmi snadno: celková dráhový rozdíl dvou sousedních paprsků musí být roven lichému násobku poloviny vlnové délky: = bsinα = λ ( k ) l k, kde k je v tomto případě řád ohybového minima. Barva ohybových minim nezávisí na vlnové délce použitého světla. To proto, že u minim je intenzita světla nulová a tak jsou všechna tmavá. (.5) (.6) - 6 -
V závislosti na počtu štěrbin optické mřížky nemusí být všechna interferenční minima patrná mřížková spektra některých vyšších řádů se mohou překrývat. K ohybu světla může docházet na jakémkoli otvoru. Ve většině literatury se jako příklady ohybových jevů uvádí ohyb na kruhovém otvoru, na obdélníkovém otvoru atd. jak jsme si ukázali v úvodu. To z důvodu souvislosti difrakčních obrazců s Fourierovou transformací. Po Fourierově transformaci těchto základních tvarů dostaneme známé funkce a tak lze dobře porovnat správnost experimentu. Ohyb světla má využití ve spektrální analýze látek (ve spektroskopu nahradíme rozkladný hranol ohybovou mřížkou), v optické holografii (trojrozměrná metoda zaznamenání obrazu).. Fresnelova a Fraunhoferova difrakce V optice se rozlišují Fresnelovy a Fraunhoferovy difrakční jevy. Všeobecně lze říci, že Fresnelovy ohybové jevy jsou obecnější při určitém experimentálním uspořádání je pozorujeme v nijak nespecifikované rovině pozorování. Naproti tomu Fraunhoferovy ohybové jevy mají určitý rys výlučnosti. Při určitém experimentálním uspořádání je totiž pozorujeme jen v jediné rovině (nejčastěji to bývá nevlastní rovina (tj. rovina v nekonečnu), ohnisková rovina čočky nebo rovina obrazu bodového zdroje)... Fresnelova difrakce Dejme tomu, že bychom chtěli promítat (zvětšovat) nějaké obrazy, např. obdélníkový otvor, a to bez použití optiky viz obr..5. Umístili bychom tedy stínítko µ s obdélníkovým otvorem mezi zdroj světla P 0 a rovinu pozorování π a očekávali bychom, že průmět otvoru v rovině pozorování bude tím věrnější, čím menší ( bodovější ) bude zdroj světla P 0. Výsledek takového pokusu by nás zklamal. Místo průmětu s ostrými okraji bychom pozorovali složitou kompozici barevných proužků a kdybychom použili monochromatického světla, pozorovali bychom obrazce toho typu, jako na obr..6. Příčinou neúspěchu je právě ohyb světla. Do homogenního a izotropního prostředí (vzduch) mezi zdroj a rovinu pozorování byla vložena překážka (nepropustné stínítko s otvorem omezující svazek), a tak se světlo šíří také oním čtvrtým způsobem, difrakcí. Tento příklad ukazuje, že Fresnelovy ohybové jevy se objevují při stínové projekci, použijeme-li malého monochromatického zdroje světla (tzv. koherentního osvětlení). Naznačuje však také, že se s Fresnelovou difrakcí setkáváme i u optických zobrazovacích soustav, a to v místech, kde zobrazení je neostré. Rozostřený obraz lze (při koherentním osvětlení) považovat za Fresnelovu difrakci... Fraunhoferova difrakce Vniknout do problematiky Fraunhoferovy difrakce je poněkud obtížnější. Nesnáz spočívá v tom, že Fraunhoferova difrakce je v mnoha ohledech speciálním případem Fresnelovy difrakce. Tento speciální případ je však v aplikacích mimořádně důležitý. - 7 -
Obrázek.5: Projekce otvoru ve stínítku µ do roviny π. Použijeme-li bodového zdroje P 0 světla, pozorujeme v rovině π Fresnelův difrakční obrazec, viz obr..6; []. Obrázek.6: Fresnelova difrakce na obdélníkovém otvoru v nepropustném stínítku získaná způsobem naznačeným na obr..5 při různých kombinacích délek a, b ; []. Zůstaňme u experimentálního uspořádání bez čoček (obr..5) a představme si, že zdroj P 0 i rovinu pozorování π velmi vzdálíme od roviny µ difrakčního stínítka. V mezním případě až do nekonečna (tj. a, b, viz obr..7). Protože bodům roviny v nekonečnu odpovídají směry, lze tuto situaci chápat tak, že na stínítko dopadá rovnoběžný svazek světla (rovinná vlna) a Fraunhoferovou difrakcí rozumíme směrové rozložení difraktovaného světla. Jinými slovy, při Fraunhoferově difrakci se zajímáme o to, kolik světla se za objektem µ šíří v jednotlivých směrech. Difrakční obrazec tedy nepředstavuje rozložení intenzity světla jako funkci polohy (jak tomu bylo u Fresnelovy difrakce), nýbrž představuje rozložení intenzity jako funkci směru. Vzhled Fraunhoferova difrakčního obrazce se velmi liší od tvaru otvoru ve stínítku, jak to ukazuje příklad na obr..8. Je na něm Fraunhoferova difrakce na témž obdélníkovém otvoru, z něhož byla získána Fresnelova difrakce na obr..6. Obr..7 je vlastně nejjednodušším experimentálním uspořádáním pro pozorování Fraunhoferovy difrakce. Na zkoumaný objekt µ dopadá rovnoběžný svazek záření a měříme (např. fotograficky nebo okem), kolik záření se za objektem šíří v jednotlivých směrech. - 8 -
Obrázek.7: Uspořádání pro pozorování Fraunhoferovy difrakce, která představuje rozložení intenzity difraktovaného světla jako funkci směru ϑ na stínítku µ ; []. Obrázek.8: Fraunhoferova difrakce na témž obdélníkovém otvoru v nepropustném stínítku, z něhož byla získána Fresnelova difrakce na obr..6; []. Vzdálenosti a a b z obr..5 nejsou ovšem nikdy nekonečné, ale pouze velmi velké ve srovnání s velikostí objektu, na němž dochází k difrakci, a ve srovnání s vlnovou délkou λ záření. V optice lze takto získat kvalitní Fraunhoferovy difrakční obrazce při vzdálenostech a, b > 0m, lineárních rozměrech otvoru d 0 3 < m a λ = 5 0 7 m. Kdybychom chtěli 3 jednoduše získat z obdélníkového otvoru ( d < 7 0 m ) difrakční obrazec srovnatelné kvality jako na obr..8, museli bychom při 6,3 0 7 λ = m volit vzdálenosti a = b = 0 m. Plocha difrakčního obrazce by pak byla větší než m. To je ovšem poněkud nepohodlné, a proto se v optice téměř vždy získává Fraunhoferův difrakční obrazec pomocí čoček. Využívá se přitom známé vlastnosti spojné čočky, totiž toho, že fokusuje rovnoběžné svazky do své ohniskové / roviny (viz obr..9). Jinými slovy, obrazová ohnisková rovina F čočky je obrazem roviny v nekonečnu, a tedy body této roviny odpovídají směrům předmětového prostoru čočky. - 9 -
Obrázek.9: Spojná čočka L fokusuje rovnoběžné svazky do své obrazové ohniskové roviny / / F. Tato rovina F je obrazem roviny v nekonečnu vytvořeným čočkou L. V / ohniskové rovině F je tedy zobrazena Fraunhoferova difrakce na otvoru ve stínítku µ chápaná jako směrové rozložení difraktovaného světla; []..3 Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru Souřadnicovou soustavu volím tak, že její počátek O je ve středu obdélníka a osy x a y jsou rovnoběžné se stranami obdélníkového otvoru v nepropustném stínítku (viz obr..0). Obrázek.0: K Fraunhoferově difrakci na obdélníkovém otvoru; []. Funkce propustnosti takového difrakčního stínítka má tedy tvar ( ) t x M, y M =, když x a, y b, M 0, když x M > a nebo y M > b. M (.7) Dopadající rovinná vlna má směr osy z a difrakční integrál je tvaru a b ( nx, n y ) = C ik( nx xm + n y ym ) a b exp[ ] dx dy. ψ (.8) M M - 0 -
Tento dvojný integrál faktorizujeme a ( nx, n y ) = C exp( iknx xm ) dxm exp( ikn y ym ) a b ψ dy (.9) a vypočítáme jednoduché integrály: a a exp ( x ) b ikn x M dxm = a a exp ikn exp = sin a x iknx knx = iknx knx a a = a sin knx knx. (.0) Podobně pro integrál podle y. M Vlnová funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci na obdélníkovém otvoru má tedy tvar a a b b ψ ( n, n ) = Cab sin kn kn sin kn kn. (.) x y Faktor Cab souvisí s intenzitou 0 x x y I v primárním směru 0( 0,0, ) y M n vztahem = ψ ( 0,0) C a. (.) I = 0 b Fotografický snímek Fraunhoferovy difrakce na obdélníkovém otvoru je na obr..8, v jiné orientaci na obr... Graf funkce sin x/x je na obr... Obrázek.: Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru; []. - -
Obrázek.: Graf funkce sin x x ; []..4 Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru Nepropustné difrakční stínítko s kruhovým otvorem o poloměru a situované do roviny z = 0 tak, že střed otvoru je totožný s počátkem soustavy souřadnic, má funkci propustnosti ( ) t x M, y M =, když x + y a 0, když x + y a. M M M M > (.3) Dopadající rovinná vlna má směr osy z a difrakční integrál má tvar ( n, n ) = ik( n x + n y ) exp[ ] dx dy. ψ x y x M y M M M (.4 ) xm + ym a V polárních souřadnicích x M = r cosϕ, n x = R cos Φ, y M = r sinϕ, n y = R sin Φ je ( cos Φ cosϕ + sin Φ sinϕ) = Rr ( Φ ϕ) nx xm + ny ym = Rr cos a vlnová funkce (.4) je a π ψ = C exp[ ikrr cos( Φ ϕ) ] dϕrdr. (.5) 0 0 - -
S použitím integrální reprezentace Besselovy funkce nultého řádu α + π 0 π cos J ( z) = exp( ± iz ϑ) dϑ (.6) α je vnitrní integrál ve (.5) π [ ikrr cos( Φ ϕ) ] dϕ πj ( krr). (.7) exp = 0 0 Vlnovou funkci (.5) tak dostáváme ve tvaru a ψ = Cπ J ( krr) rdr, (.8) 0 0 z něhož je zřejmá její rotační symetrie. Integrál v (.8) vypočítáme pomocí vztahu π 0 = 0 J ( z) zdz xj ( x). (.9) S pomocí substituce t = krr vypočteme vlnovou funkci (.8) ve tvaru Cπ kar Cπ ψ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). J 0 t tdt = kar J kar (.0) kr kr 0 Drobnou úpravou pak získáme standardní tvar vlnové funkce charakterizující Fraunhoferovu difrakci na kruhovém otvoru: J ( ) ( kar) n, n Cπa, ψ x y = R n x + n y. kar = (.) - 3 -
Obrázek.3: Graf Airyho funkce J ( x) x ; []. Obrázek.4: Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru; []. - 4 -
3 Experimentální část V experimentální části je objasněna realizace Fourierovy transformace optického signálu a metoda prostorové filtrace optického signálu. Prvním úkolem byl návrh a sestavení pracoviště, kterým by se dala pozorovat Fraunhoferova difrakce a provádět optická prostorová filtrace. Fraunhoferovu difrakci na vybraných difrakčních otvorech jsem realizoval dle experimentálního uspořádání na obr. 3.. Záznam obrazců jsem nejprve prováděl pomocí digitálního fotoaparátu, LCD snímačem připojeným ke grafické kartě PC a poté pomocí souřadnicového zapisovače. Fraunhoferovu difrakci resp. Fourierovu transformaci jsem také simuloval v programu Matlab. Samozřejmě jsem simuloval i filtrační procesy. Dále jsem provedl výpočet velikosti předmětu ze znalosti Fraunhoferova difrakčního obrazce a experimentálního uspořádání pracoviště. Na závěr rozebírám další možná použití difrakce a optického zpracování informace v praxi. 3. Sestavení pracoviště pro experimenty Teoretické zásady sestavení pracoviště jsou blíže popsány v podkapitole., kde jsem rozebíral použití čočky pro získání Fraunhoferovy difrakce. Krátce připomenu, že při difrakci na předmětu dostaneme Fraunhoferovu difrakci v nevlastní rovině, tedy v nekonečnu. Jednou z vlastností čočky je, že její ohnisková rovina je obrazem roviny v nekonečnu. Z toho jednoznačně vyplývá důležitost dodržování vzdáleností f resp. f resp. f 3 (viz. obrázek 3.). Tyto vzdálenosti vymezují roviny P resp. P resp. P 3, které jsou mimo jiné popsány v následujícím odstavci. Zde uvádím a popisuji uspořádání optického procesoru pro realizaci Fourierovy transformace. V první řadě je nutné zajistit takový zdroj záření, aby světlo bylo koherentní. Tuto podmínku splním použitím laseru jako zdroje koherentního spojitého záření, a to Helium- Neonového (o výkonu řádově jednotky mw). Kolimátor vytváří svazek bez parazitních interferencí a difrakcí. Lze ho přímo nahradit dvěma čočkami, přičemž v ohniskové rovině první čočky je umístěna clona. Kolimátor společně s čočkou Č tvoří dalekohled. Rovnoběžný světelný svazek vycházející z laseru je pomocí tohoto jednoduchého dalekohledu roztažen na vetší průměr a osvětluje stínítko s otvorem. Tímto se také zmenší divergence svazku. Předmět, který chceme P, tj. do předmětové ohniskové roviny čočky Č. zobrazit, se umístí na vstup systému do roviny Předmět je osvětlen rovnoběžným svazkem světla. Čočka Č provádí Fourierovu transformaci předmětu. Fourierovo spektrum se objeví v obrazové ohniskové rovině čočky Č, tj. v rovině P. Do této roviny se proto umísťují příslušné filtry. Čočka Č 3 vytvoří v rovině P 3 převrácený obraz předmětu (případně modifikovaný filtrací), umístěného na vstupu koherentního procesoru v rovině P. - 5 -
Obrázek 3.: Schématické uspořádání experimentu pro prostorovou filtraci optického signálu L He-Ne laser, filtr (50%) Hama, P max = mw, vlnová délka λ= 63,8 nm; K kolimátor, planochromat 6,3x/0,, /0,7, Pol; Č spojná čočka, f = 0,60 m, průměr čočky D =0,070 m; Č spojná čočka, f = 0,0 m, průměr čočky D =0,036 m; Č 3 spojná čočka, f 3 = 0,4 m, průměr čočky D 3 =0,04 m; P rovina difrakčního objektu / vstupní rovina; P rovina Fraunhoferovy difrakce / rovina vkládání prostorových filtrů; P 3 rovina rekonstruovaného obrazce / výstupní rovina. 3. Popis prvků měřící sestavy Pro aplikace v oblasti optických měřicích metod je často třeba používat zdroje vyzařující pouze jedním směrem. Tento požadavek je prakticky nedosažitelný. Nejvíce se mu však přibližují lasery, jejichž paprsky se šíří tak, jak je uvedeno na obr. 3.. V důsledku Gaussovského rozložení intenzity v příčném řezu svazku laseru dochází nejdříve ke konvergenci svazku a pak opět k divergenci ve směru vyzařování s vrcholovým úhlem a. Pro většinu aplikací (i náš experiment) se používá laser, který za svým výstupním zrcadlem rezonátoru už jen diverguje. Pro názornost jsem použil obrázek svazku konvergujícího i divergujícího. Nejužší místo, které je ve vzdálenosti L od laseru, nebo někdy také uvnitř laseru (závisí na použitém rezonátoru laseru), má jistý minimální, ale nenulový průměr d min. Rozbíhavost svazku je závislá na konstrukci laseru. Obrázek 3.: Záření reálného laseru s Gaussovským rozložením intenzity v příčném řezu svazku; [8]. He-Ne laser generuje světelný paprsek v červené oblasti spektra o výkonu mw. Průměr laserového svazku se s rostoucí vzdáleností od výstupního zrcadla laseru zvětšuje. Proto se optické prvky zařazují hned do blízkosti výstupního zrcadla laseru. Zvětšování průměru svazku se charakterizuje veličinou, která se nazývá divergence svazku. Divergence svazku d se rovná - 6 -
d D D =, ( 3.) L kde D je průměr svazku v místě výstupního otvoru laseru, D je průměr svazku ve vzdálenosti L. Minimální dosažitelná divergence d min je limitována ohybem světla a lze ji odhadnout na hodnotu d min ~ λ, kde λ je vlnová délka generovaného světla. D Kolimátor K a první spojnou čočku Č jsem použil pro rozšíření a vyčištění světelného svazku, viz obr. 3.3. Čočka Č a clona CL tvoří uspořádání kolimátoru. Obrázek 3.3: Chod paprsků při rozšiřování a čištění laserového svazku dalekohledem. Rovinnou vlnu vytvoříme tak, že necháme laserový paprsek dopadat na spojku Č a do předmětového ohniska spojky Č umístíme obrazové ohnisko spojky Č. Do společného ohniska spojek Č a Č se ještě vloží, například kruhová, clonka CL. Toto optické zařízení je totožné s Keplerovým dalekohledem. Pomocí tohoto dalekohledu svazek rozšíříme a zmenšíme jeho divergenci. Rozšířeným, zhruba rovnoběžným světelným svazkem si posvítíte na štěrbinu (čtvercový otvor, kruhový otvor, atd.) a na stínítku, jak už bylo řečeno, budete pozorovat ohybový (difrakční) obrazec. Dle zákonů geometrické optiky lze pro zobrazení objektu tenkou spojnou čočkou odvodit zobrazovací rovnici ve tvaru a = b, f + ( 3.) kde f je ohnisková vzdálenost čočky, a je vzdálenost objektu od čočky a b je vzdálenost zaostřeného obrazu od čočky, viz obr. 3.4. Při transformaci paprsků spojnou čočkou platí, že paprsky šířící se rovnoběžně s osou čočky se po průchodu čočkou lámou do ohniska F. Paprsky procházející středem čočky se i po průchodu čočkou šíří stále ve stejném směru. Tyto poznatky je možné aplikovat při geometrické konstrukci zobrazení čočkou, která je uvedená na obr. 3.4 a také při odvození zobrazovací rovnice čočky. - 7 -
Obrázek 3.4: Zobrazení tenkou čočkou; [8]. Geometrická optika popisuje transformaci svazku čočkou pouze zjednodušeně. Z hlediska vlnové optiky se jeví čočka jako tzv. fázový převaděč, který prakticky neumožňuje vytvoření paralelního svazku paprsků (a tím i rovinné vlnoplochy) podél nějaké větší vzdálenosti ve směru optické osy. Na obr. 3.5 jsem uvedl transformaci Gaussovského svazku čočkou z pohledu vlnové optiky. Skutečně paralelní může být svazek paprsků pouze v úzkém rozmezí vzdáleností, a to v okolí minimálního průměru svazku d min, přičemž v ohnisku je průměr svazku nenulový a má hodnotu d f. Gaussovský svazek bývá generován především lasery a kromě koherence se vyznačuje tím, že v příčném řezu má Gaussovské rozložení intenzity záření s maximem intenzity ve středu svazku. Obrázek 3.5: Transformace Gaussovského svazku čočkou; [8]. Při zobrazení čočkou se projevují také různé optické vady. Mezi nejčastější patří nežádoucí odchylky od ideálního optického zobrazení. Jejich popis přesahuje rámec práce. 3.3 Fraunhoferova difrakce na vybraných objektech V této části práce již ukazuji první výsledky. Nyní používám modifikované pracoviště z obrázku 3. pouze pro experiment získání difrakčního obrazce. Z toho vyplývá, že pracoviště neobsahuje filtrační komponenty, tedy ani rekonstrukční část resp. čočku Č 3. V rovině P jsem zaznamenal Fraunhoferovy difrakční obrazce na vybraných předmětech. Hlavní část měření jsem prováděl, z důvodu dobré názornosti, s jednoduchými tvary čtverec a kruh. Pro zajímavost jsem zaznamenal i difrakci na dalších předmětech (viz. příloha ). Nejdříve jsem pro zaznamenání difrakce použil souřadnicový zapisovač (viz. obr. 3.6 a obr. 3.7). Vzhledem k jednoduchosti difrakčních předmětů tento záznam stačí k tomu, abychom získali přehled o rozložení intenzity záření na celém difrakčním obrazci. - 8 -
I rel [-] 0,5-5 -4-3 - - 0 3 4 5 x [mm] Obrázek 3.6: Průběh relativní intenzity při Fraunhoferově difrakci na čtvercovém otvoru o hraně mm. - 9 -
I rel [-] 0,5-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0 x [mm] Obrázek 3.7: Průběh relativní intenzity při Fraunhoferově difrakci na kruhovém otvoru průměru,35mm. - 30 -
K lepší představě prostorového spektra optických signálů, realizovaných vybranými difrakčními objekty, jsem vyfotografoval jejich příslušné Fraunhoferovy difrakční obrazce na stínítku v rovině P digitálním fotoaparátem, což vidíme na obrázcích 3.8. Obrázek 3.8: Fraunhoferova difrakce na čtvercovém otvoru průměru mm (vlevo) a kruhovém otvoru průměru,35mm (vpravo). 3.3 Prostorová filtrace optického signálu Nyní již použiji všechny prvky pracoviště, tedy prostorové filtry a rekonstrukční část experimentálního uspořádání provádějící inverzní Fourierovu transformaci ve smyslu jak je popsána v kapitole 3.. Prostorové filtry lze rozdělit na filtry amplitudové, fázové a amplitudověfázové. Tvary jednoduchých amplitudových prostorových filtrů, které jsem v experimentu použil, jsou na obr. 3.9. Optické filtry jsou základními prvky při zpracování obrazu omezováním spektra obrazu, které je reprezentováno optickým signálem. Použil jsem směrový filtr a dva základní typy filtrů - dolní a horní propust. Tyto filtry jsou vhodné pro pochopení jejich role při filtrování. Po odfiltrování vysokých resp. nízkých frekvencí je jejich funkce, z výsledného tvaru obrazce, zcela zřejmá. I vlastnosti směrového filtru budou ještě rozebrány. Obrázek 3.9 Filtr typu dolní propust (vlevo), horní propust (uprostřed) a směrový filtr (vpravo); černá barva značí nulovou propustnost, bílá značí jednotkovou propustnost - 3 -
Pro tvorbu filtrů jsem použil fotografický papír. Tvary filtrů jsem pečlivě vystříhal a pro stabilní umístění použil kovový držák. Horní propust jsem připevnil na špendlík. Dolní propust je filtr, který propouští pouze nízké prostorové frekvence obrazu. Důsledkem je rozmazání hran obrazu (postupné ztrácení detailů). V praxi se dá použít např. k eliminaci šumu, který má vysokofrekvenční charakter. Horní propust blokuje nízké frekvence a propouští frekvence vysoké, což vede k zvýraznění ostrých přechodů v obrazu. Nízké frekvence obrazu, jež jsou zodpovědné za vybarvení velkých ploch odstraníme. Tyto velké plochy ztmavnou, zůstanou výrazné pouze hrany. Popsané filtrační vlastnosti jsou vidět na obrázcích 3.0. Obrázek 3.0: Zpětná rekonstrukce difrakčního objektu tvaru čtverce (nahoře) a kruhu (dole); filtrace dolní propustí (vlevo) a filtrací horní propustí (vpravo). - 3 -
Při samotném vkládání filtrů do cesty laserového svazku si musíme počínat obezřetně. Předmět, který není určen jako součást filtrace, nesmí vstupoval do filtračního procesu. K tomu může dojít například při realizaci filtru dolní propusti. Ta může být realizována jako nepropustný disk na nosné tyčince. Právě tyčinka může způsobit nežádoucí filtraci. 3.4 Filtrace nečistot na koherentní vlnoploše Filtraci nečistot na koherentní vlnoploše prodiskutujme pouze teoreticky. Vlivem nečistot, které se dostanou do cesty laserového svazku (např. otisky prstů či prachová zrníčka zachycená na čočce; cestu svazku může ovlivnit i objímka čočky), mohou na koherentní vlnoploše vzniknout parazitní spektrální složky. Ty mají vysokofrekvenční charakter a proto se pro jejich odstranění používá filtr typu dolnofrekvenční propust. Tento problém rozebírám v teoretické části práce. Nebudu tedy pokračovat v podrobnějším výkladu a odkazuji čtenáře na odstavec... Na tomto místě si ještě všimněme, že laserový svazek vykazuje jakousi zrnitost a prodiskutujme jak ji lze odstranit. Nejprve si musíme uvědomit, že zde nepůjde o filtraci ve smyslu jak je chápána v předchozím a v rámci celé práce. Zrnitý charakter vlnoplochy svazku je problém zobrazení. Nemá tedy nic společného se spektrálními složkami signálu a lze odstranit průměrováním; viz. []. Průměrování se používá ke snížení optického šumu (skvrnkové interference) pomocí opakovaného snímání (série) jedné stopy s posunutou matnicí mezi jednotlivými snímky. Díky tomu, že je matnice z jedné strany naleptaná a záznamy svazku prošlých paprsků jsou pokaždé vzájemně náhodně mírně odlišné, lze zprůměrováním dostatečného počtu snímků účinně snížit vliv skvrnkové interference. Průměrování způsobuje vyhlazení průběhu intenzity beze ztráty informace např. o hranici svazku. Abychom nemuseli zdlouhavě pořizovat sérii snímků, do cesty svazku se umísťuje rotující matnice. Zaznamenat stopu laseru tak detailně, aby byla vidět výše zmíněná zrnitost, je náročné. Proto jako ukázku použiji převzatý obrázek. Obrázek 3.: Zrnitý charakter koherentní vlnoplochy (vlevo; [4]) a její detail (vpravo). - 33 -
3.5 Stanovení velikosti kruhového otvoru pomocí difrakce Zkoumání malých objektů je jednou z možností využití samotné difrakce. Jelikož opět pracuji pouze s difrakcí, není potřeba použít všechny prvky pracoviště. Měřící řetěz neobsahuje rekonstrukční část. Optická filtrace zde nehraje žádnou roli; vůbec k ní nedojde. Velikost částic je vypočítána z difrakčních obrazců, v našem případě kruhového otvoru, tj. z poloměrů soustředných kružnic, které vytvoří koherentní paprsky laseru po průchodu vzorkem. Pro tyto výpočty je nutné znát funkci popisující difrakční obrazec. Proto je v podstatě nemožné, nebo nesmírně náročné, provádět výpočet pro složitější obrazce. Nevýhodou dosud zaznamenaných difrakčních obrazců na stínítku pomocí digitálního fotoaparátu je, že focení probíhá zešikma, aby nedošlo k zastínění svazku. Pro co nejpřesnější odečtení poloměrů soustředných kružnic obrazce jsem záznam provedl znovu a to LCD snímačem připojeným ke grafické kartě PC. Snímač je umístěn přímo do cesty svazku laseru a proto není obrazec zešikmen. Intenzitu difrakčního obrazce na kruhovém otvoru vyjadřuje vzorec I πd 4 J R π d λ 4 λ 6 πd R λ ( R) =, ( 3.3) kde λ je vlnová délka použitého světla, d je průměr otvoru, R je úhlová souřadnice v difrakčním obrazci v radiánech a J je tzv. Besselova funkce. Normovaný průběh funkce I(R) je patrný z naměřené závislosti relativní intenzity světla na kruhovém otvoru (obr. 3.7). Obrázek 3.3: Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru o průměru,35mm. Nyní odměřím průměry r i, několika tmavých difrakčních kroužků, z obrázku 3.3. - 34 -
Tabulka 3.: Velikosti odměřených průměrů difrakčních kroužků. r i [m] r 0,004 r 0,006 r 3 0,008 r 4 0,00 r 5 0,0 Vypočítám úhly, pod kterým se nachází difrakční minima a vyjádřím v radiánech podle vztahu R ri = tg f i. ( 3.4) Tabulka 3.: Vypočítané hodnoty úhlů. R i [rad] R 0,000349 R 0,00054 R 3 0,000699 R 4 0,000873 R 5 0,00048 R i r i / f Rovina předmětu Difrakční rovina Obrázek 3.4: Nákres situace při výpočtu úhlového odchýlení tmavých difrakčních kroužků. Porovnám-li i-tý kořen r i s argumentem Besselovy funkce z rovnice (3.3), do které jsem dosadil změřenou úhlovou odchylku i-tého kroužku R i, dostanu následující vztah πd R i = r i λ, ( 3.5) - 35 -
Nakonec ze vztahu (3.5) vyjádřím průměr otvoru d a pro jednotlivé kroužky dosadím hodnoty r i a R i, přičemž vlnová délka laseru je 633nm. ri λ R π d =, ( 3.6) i Tabulka 3.3: Vypočítané hodnoty průměrů kruhového otvoru. d i [m] d 0,00309 d 0,00308 d 3 0,00308 d 4 0,00307 d 5 0,00306 Z vypočítaných průměrů otvoru spočítám jejich aritmetický průměr dle d = N N d i i=, ( 3.7) kde N je v našem případě rovno 5. Směrodatnou odchylku určím pomocí Absolutní chyba se vypočte ze vztahu N ( d i d ) σ =. ( 3.8) N i= ε. ( 3.9) σ = 00 d Tabulka 3.4: Vypočítané hodnoty určující přesnost výpočtu. d [ m] σ [ m] ε [%] 0,00308 0,00000 0,04 Vypočítaná hodnota průměru kruhového otvoru,308mm se tedy jen velice málo liší od skutečné hodnoty,35mm. Tímto způsobem by se dala vypočítat např. tloušťka drátu. Difrakční obrazec vzniklý na drátu se vyjádří stejnou funkcí jako difrakce na štěrbině. Polohy nulové intenzity jsou závislé na tloušťce drátu. Opět by se odečetly difrakční minima, vypočítal úhel odchýlení, atd. Vzhledem k velikosti difrakčního obrazce lze potom poměrně snadno zaručit, že tloušťka drátu při jeho výrobě nevybočí z přiměřených tolerancí. - 36 -
3.6 Fourierova transformace a frekvenční filtrace v Matlabu Difrakční předmět jsem v Matlabu definoval jako nulovou matici, která představuje nepropustný transparent. Otvor v transparentu musí mít jednotkovou propustnost. Odpovídající pozice v matici jsem naplnil jedničkami. Na obr. 3.5 je zobrazen transparent tvaru čtverce vytvořen výše popsaným způsobem. Fourierova transformace na tomto otvoru (viz. obr. 3.5) odpovídá difrakčnímu obrazci získanému analogovou metodou. V podstatě jde o Fraunhoferovu difrakci, ale z matematického hlediska, takže je přirozenější bavit se o Fourierově transformaci. Se získaným spektrem jsem pracoval při frekvenční filtraci. Jelikož spektrum jsem dostal opět jako matici, nebyl problém podle potřeby některé pozice nulovat a tím provést filtraci. Obrázek 3.5: Čtvercový otvor (vlevo) a jeho Fourierova transformace (vpravo). Obrázek 3.6: Průběh relativní intenzity při Fraunhoferově difrakci na čtvercovém otvoru. - 37 -
Pro srovnání předložím Fraunhoferovu difrakci na čtvercovém otvoru získanou analogovou metodou, viz. obrázek 3.6. Pro záznam byl použit opět LCD snímač. Výhodnost tohoto záznamu je vysvětlena v odstavci 3.5 v rámci snímání difrakce na kruhovém otvoru. Obrázek 3.7: Část spektra Fourierovy transformace na čtvercovém otvoru. Na obrázku 3.7 je část spektra, kterou jsem ponechal při filtraci spektra dolní propustí, resp. část spektra kterou jsem vyfiltroval při použití filtru typu horní propust. Po odfiltrování vysokých frekvencí je výsledný obraz rozmazaný. Jak už bylo zmíněno výše vysoké frekvence nesou informace o hranách v obraze a výsledek po filtraci z programu Matlab je ukázán na obrázku 3.8 vlevo. Stejné experimenty jsem provedl pro filtrování hornofrekvenční propustí. Obraz má naopak zvýrazněné hrany a informace, které nesou odfiltrované nízké frekvence, jsou pryč. Můžeme se o tom přesvědčit na obr. 3.8 vpravo. Artefakty na fotkách jsou způsobeny prací s maticemi resp. jejich zobrazením. Obrázek 3.0 ukazuje vyfocené výsledné obrazy získané analogovou metodou. Jak je na první pohled zřejmé, oba výsledky se shodují. Obrázek 3.8: Výsledný obrazec po inverzní Fourierově transformaci spektra ovlivněný filtrem dolní (vlevo) a horní propust (vpravo). - 38 -
Zdrojový kód naleznete v příloze. Obsahuje stručný komentář, takže by neměl být problém jej podle potřeby modifikovat. Další ukázkou z experimentu je směrová filtrace na mřížové předloze, která byla prováděna pomoci štěrbinového směrového filtru vhodně natočeného tak, aby ve výsledném obraze vymizela vertikální nebo horizontální struktura. Je patrné, že spektrum bodů na vertikální ose se zobrazuje podél osy horizontální a naopak. Zdrojový text viz. příloha 4. Obrázek 3.: Nahoře: mřížka použitá jako objekt Fourierovy transformace (vlevo) a příslušné spektrum (vpravo); Dole: směrová filtrace - horizontální a vertikální štěrbinou. - 39 -
3.7 Fourierova transformace a frekvenční filtrace reálných obrazů v Matlabu Tato část obsahuje simulace podobné předchozím. Hlavní rozdíl od předchozího odstavce je, že nepoužívám objekty definované přímo v Matlabu, ale reálné obrazy ve formátu jpg (možno použít i jiné formáty). Jak už jsem předeslal principielně se jedná o totéž, nicméně zdrojový kód Matlabu, viz. příloha 3, je zcela jiný. Jedním z bodů zadání je použití filtrace při omezení šumu v obraze. Pokud si uvědomíme, že šum má vysokofrekvenční charakter, řešení se přímo nabízí. Ve spektru vyfiltrujeme vysoké frekvence filtrem dolní propust. Toho lze využít při tzv. dešifrování obrazu, protože takto upravený obrázek nemusí obsahovat tolik rušivých elementů (nejen z hlediska šumu). Výsledek je na obrázku 3.0. Obrázek obsahuje i výsledek po odfiltrování horní propustí. Zde je krásně vidět, jak všechny plochy mají stejnou barvu, protože tyto informace jsme filtrací ztratily. Zbylá hranová reprezentace obrazu obsahuje všechny ostré změny v obraze, což může mít také svoje specifické využití. Když budu konkrétní, může například napomoci při odhalení zlomeniny. Obrázek 3.9: Obrázek použitý pro frekvenční filtrace (vlevo) a jeho spektrum (vpravo). - 40 -
Obrázek 3.0: Obrázek 3.9 po dolnofrekvenční (vlevo) a hornofrekvenční filtraci (vpravo). 3.8 Praktické aplikace difrakce a prostorové optické filtrace Přesto (nebo spíše právě proto), že Fraunhoferovu difrakci pozorujeme pouze za určitých podmínek, má podle [8] mnohem širší využití než difrakce Fresnelova. Používá se například k analýze snímků z elektronového mikroskopu a snímků rozptylu částic (posouzení kvality zaostření, zjištění rozlišení, identifikace astigmatismu ), ke kontinuální kontrole tloušťky vláken a drátů a ke korekci zobrazovaní v optických soustavách atd. Zásadní úlohu hraje právě v zobrazovacích soustavách, čímž se zabývám ve své práci. V každé zobrazovací soustavě je totiž kromě obrazové roviny (zvané také sekundární obraz) také rovina s Fraunhoferovou difrakcí (zvaná primární obraz). Zásahem do tohoto Fraunhoferova difrakčního obrazce (např. zacloněním některých jeho částí) lze potom snadno ovlivnit výsledný sekundární obraz. Tento se pak může (spíše bychom měli říci musí) až velmi výrazně lišit od věrného obrazu (věrným obrazem rozumíme obraz neovlivněný zásahem do Fraunhoferovy difrakce). Další aplikací Fraunhoferovy difrakce s optickou Fourierovou transformací je tzv. dešifrování obrazu. Pokud snímaný objekt obsahuje ještě další nežádoucí informace, které jej činí málo výrazným, můžeme zásahem do difrakčního obrazu (filtrací nežádoucí části prostorového spektra) zvýšit kontrast sledovaného objektu. Toho se využívá k identifikaci málo kontrastních snímků, např. v elektronové mikroskopii biologických objektů. V medicíně a jí příbuzných oborech (především pak ve farmacii či biochemii) nachází, dle [8], značného využití difrakce elektromagnetického záření především z oblasti RTG. Především - 4 -
ve farmacii pomáhá studovat a hlouběji porozumět struktuře léčiv, v kombinaci s infračervenou spektroskopii pak patří k hlavním výzkumným metodám vazeb mezi léčivy a jejich nosiči. Jedinou, přesto nutnou podmínkou je charakter zkoumané látky, musí jít totiž o látku krystalickou. Krystaly jsou totiž tvořeny částicemi uspořádanými do pravidelné prostorové mřížky. Krystalická mřížka se tudíž chová vůči RTG záření podobně jako optická mřížka ke světlu, tzn., že při průchodu záření RTG krystalickými mřížkami dochází k jeho ohybu a interferenci. Vzniklý difraktogram pak geometrickým rozložením difrakčních maxim a minim přímo souvisí s prostorovým uspořádáním hmotných částic v krystalu (zkoumání struktury). Protože každá chemická látka má specifické uspořádání částic (tj. různé polohy atomů v molekulách a různě veliké krystalové buňky), musí nutně mít i specifický difrakční záznam. To umožňuje kvalitativně rozlišovat mezi různými látkami (difrakční záznamy zkoumaných látek se porovnávají s databází známých difraktogramů, která v dnešní době čítá několik desítek tisíc záznamů nejen jednoduchých anorganických sloučenin, ale rovněž krystalických bílkovin až o stovkách atomů v molekule). Specifičnost difrakčních obrazů jednotlivých látek se uplatňuje nejen v jejich kvalitativním rozlišování, ale také v měřeních kvantitativních. Platí totiž, že intenzita difrakčních linií je přímo úměrná jejímu množství, tudíž smíchám-li např. dvě látky, difrakční záznamy každé z nich se přeloží v poměru, v jakém jsou smíchány, příp. bude-li se poměr látek ve směsi měnit, budou se v souvislosti s jejich množstvím měnit i intenzity jednotlivých difrakčních linií. Mezi jednu z metod používaných ve prospěch lékařství patří tzv. difrakční rentgenová prášková analýza, která slouží např. ke zjištění složení konkrementů vznikajících v některých orgánech (kameny v ledvinách, močových cestách, žlučníku nebo žlučových cestách) nebo čistoty farmak. Tato optická metoda chemické analýzy využívá rozptylu a interference takto rozptýleného RTG záření na elektronech krystalické látky. Měření je možno provádět pouze s tuhými vzorky, a to buď ve formě monokrystalu, nebo ve formě souboru krystalů - tzv. polykrystalové nebo práškové metody. Jde o metodu analyticky velice přesnou, která podává komplexní obraz o tom, o jakou látku jde, resp. v jaké podobě je v dané směsi zastoupena. Nejběžněji se používá např. v případě analýzy derivátů žlučových kamenů, které jsou chemicky velice podobné, avšak mají rozdílné krystalické uspořádání, takže jsou vzájemně odlišitelné právě difrakční analýzou. Informace o jejich složení znamená velký přínos pro lékaře, protože rozlišujeme několik typů žlučníkových kamenů, vznikajících z nejrůznějších příčin. Díky přesné analýze vyoperovaných kamenů, lze určit metabolické příčiny jejich tvorby u daného pacienta a volbou vhodné léčebné procedury a prevenčních postupů (např. předepsáním vhodné pooperační diety) je potom do jisté míry možno zabránit jejich znovuvytvoření. Podle [9] je laserová difrakce dnes nejvíce rozšířená metoda pro analýzu velikosti částic. Ačkoliv jsou fyzikální principy rozptylu a difrakce známé víc než 00 let (Mieova teorie je z r. 908), přístroje k měření velikosti částic na základě difrakce mohly být vyvinuty teprve po vynálezu laseru (kolem 960), a rutinní použití této metody předpokládá samozřejmě vývoj vhodných typů počítačů (sedmdesátá a osmdesátá léta 0. stol.) Dnešní komerční přístroje jsou rychlé a flexibilní (od standardních laboratorních přístrojů až ke specifickým modulům - k inline kontrole výrobních procesů v průmyslu, od suspenzí k suchým práškům, pro velikosti částic od několika nm až k několika mm). Jsou málo náročné na přípravu vzorku a dávají obvykle výsledky s vysokou reprodukovatelností. Proto tato metoda nahrazuje postupně jiné metody analýzy velikosti částic, zejména sedimentační metody, ve většině odvětví průmyslu. - 4 -
Závěr Mou práci jsem se snažil koncipovat srozumitelně, aby posloužila jako dobrý materiál pro studování problematiky difrakce provázanou s Fourierovou transformací a její využití při zpracování optického signálu. Strukturu práce jsem volil tak, aby témata měla logickou vazbu a na první pohled byly zřejmé souvislosti. Práce je členěna na teoretickou a experimentální část. V teoretické části jsem věnoval pozornost Fourierově transformaci a definoval jednorozměrnou a dvourozměrnou transformaci. Zde jsem také vysvětlil Fourierovu transformaci pomocí čočky; čočka je důležitý stavební kámen celé problematiky. V teoretické části je dále objasněn pojem difrakce, vysvětlen rozdíl mezi Fraunhoferovou a Fresnelovou difrakcí. Při zpracování ohybových jevů jsem kladl větší důraz na Fraunhofrerovu difrakci. Chtěl jsem, aby z jejího popisu byla zjevná analogie s Fourierovou transformací. K difrakci bych na závěr rád řekl následující - difrakční jevy Fraunhoferova typu, a to jak v optice, tak ve strukturní analýze, nezřídka poutají pozornost svou krásou. K jejich půvabu přispívá zejména to, že mívají středovou symetrii, a to i tehdy, když objekt, od něhož difrakce pochází, středovou symetrii nemá. V experimentální části práce je objasněna metoda prostorové filtrace optického signálu. Navrhl jsem uspořádání optických prvků a dokumentoval jsem vliv prostorové filtrace optického signálu. Zásahy do spektra signálu vyvolaly odezvu ve výstupních obrazech dle teoretických závěrů. K lepší představě o prostorovém spektru optických signálů realizovaných vybranými difrakčními objekty jsem vyfotografoval i jejich Fraunhoferovy difrakce. Provedl jsem výpočet velikosti kruhového difrakčního objektu ze znalosti difrakčního obrazce a experimentálního uspořádání pracoviště. Určil jsem směrodatnou odchylku a absolutní chybu výpočtu. Tyto hodnoty jsou velice malé a proto lze výpočet považovat za správný. Na závěr slovně nastínil použitelnost výpočtu z hlediska náročnosti a vůbec samotného použití. Získané výsledky analogovou metodou jsem ověřil matematicky. Pro simulace jsem použil Matlab, který se mi zdá být pro tuto problematiku vhodný. Většinou se difrakce a Fourierova transformace na vysokých školách, a myslím že nejen na vysokých školách, probírá právě v Matlabu. Simuloval jsem jak difrakční jevy, tak i filtraci spektra na jednoduchých objektech, ale i na reálných obrazech. Experimenty získané analogovou metodou se shodují s teoretickými závěry a lze tedy mé výsledky považovat za správné. Shoda je i v případě počítačové simulace v Matlabu. V posledním odstavečku práce bych se rád zmínil o faktu, o kterém se dočtete v nejedné literatuře, a to že mnou studované a rozebírané jevy a experimenty mají jakési kouzlo. O tom jsem se rád přesvědčil a mohu konstatovat, že práce na nich mě velice zaujala a bavila. - 43 -
Literatura [] FIALA, P., RICHTER, I. Fourierovská optika a optické zpracování signálu. Skripta FJFI ČVUT, Praha, 004 [] SALEH,B.E.A.-TEICH,M.C. Základy fotoniky. Matfyzpress, Praha, 994 [3] SALEH,B.E.A.-TEICH,M.C. Základy fotoniky. Matfyzpress, Praha, 99 [4] WILFERT, O. Optoelektronika. Skripta FEKT VUT, Brno, 004 [5] HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika. FEKT VUT, Brno, 00 [6] SALZMANN, Z. Optoelektronické zpracování informace. Diplomová práce FEKT VUT, Brno, 993 [7] KATYS, G. Optoelektronické zpracování informace. SNTL, Praha, 978 [8] URBAN, M. Optoelektronika. VUT, Brno, 989 [9] PRECLÍKOVÁ, J., ŽÍDEK, K. Celooptické zpracování obrazu. Studentský projekt ČVUT, Praha, 003 [0] KOMRSKA, J. Difraktografické album. ČSAV, Brno, 983 [] KOMRSKA, J. Difrakce světla. VUTIUM, Brno, 00 [] KOMRSKA, J. Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze. VUTIUM, Brno, 00 [6] PTÁČEK, M. Digitální zpracování a přenos obrazové informace. NADAS, 983 [7] http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_3.pdf [8] http://www-dt.fme.vutbr.cz/users/pavelek/optika/05.htm [9] http://www.vscht.cz/sil/keramika/characterization_of_particles [0] http://www-troja.fjfi.cvut.cz/~drska/edu/webfyz/optika/ [] http://mujweb.cz/veda/difrakce/ [] http://www.feec.vutbr.cz/eeict/004/sbornik/0-magisterske_projekty/06-xoliva0.pdf - 44 -
Příloha Obrázek 4.: Fraunhoferova difrakce na otvoru tvaru hvězdy. Obrázek 4.: Fraunhoferova difrakce na otvoru tvaru vločky. - 45 -