ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

Transkript

1 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé, že pro každý bod X p existuje právě jedno reálné číslo t nenulové tak, že X A t u. Na obrázku vpravo jsou jako příklad vyobrazeny dva konkrétní body X a X, které jsou ve vyjádření X A t u příslušné číslům t =, t =. Pro každé t R existuje právě jeden X p a naopak pro každý bod X p existuje právě jedno reálné číslo t R tak, že X A t u. Přímka p je tedy jednoznačně určena bodem A a vektorem u. Nechť A= [x ; y ], u = (u ; u ), t R. Rovnici X A t u můžeme rozepsat po souřadnicích takto: x = x + tu y = y + tu Tyto rovnice nazýváme parametrické vyjádření přímky v rovině (PVP). Každé hodnotě parametru t odpovídá právě jeden bod přímky p a obráceně každému bodu přímky odpovídá právě jedna hodnota parametru t. Vektor u nazýváme směrový vektor přímky. Stejně tak může být směrový vektor přímky p i libovolný nenulový násobek vektoru u. Každá přímka je tedy jednoznačně určena svým libovolným bodem a libovolným směrovým vektorem. Př.. Napište parametrické vyjádření přímky procházející body A = [5; ], B = [9; 4]. Řešení: Přímka je určena svým libovolným bodem a směrovým vektorem. Bod už máme (dokonce dva), vektor určíme jako rozdíl bodů A a B v libovolném pořadí. u = B A u = 9 5 = 4 u = 4 = u = (4; ) Můžeme tedy psát: x = 5 + 4t y = + t Pozn. Pro parametrické vyjádření přímky jsme mohli použít i bod B a libovolný nenulový násobek vektoru u. Existuje nekonečně mnoho parametrických rovnic této přímky v rovině! Například: x = 9 + 4t nebo x = 9 + t (se směrovým vektorem,5u) atd. y = 4 + t y = 4 + t

2 Otázka: Co se stane, dosadíme-li do parametrických rovnic přímky za parametr t nějaké reálné číslo? Odpověď: Dostaneme jeden konkrétní bod ležící na přímce p. Např. zvolíme t = 4 x = y = 4 Pro parametr t = 4 jsme dostali bod X přímky p o souřadnicích [; ]. Obecná rovnice přímky v rovině Každá přímka v rovině xy se dá vyjádřit rovnicí ax + by + c =, kde alespoň jedno z čísel a,b je nenulové. Tuto rovnici nazýváme obecná rovnice přímky v rovině. Vektor o souřadnicích (a; b) zveme normálový vektor přímky a značíme n. Normálový vektor přímky je kolmý ke směrovému vektoru přímky u, platí tedy: n u (viz AG ). Př.. Napište obecnou rovnici přímky, která je vyjádřena parametricky: x = 3 + t y = 5t Řešení: Abychom mohli psát obecnou rovnici přímky, potřebujeme se zbavit parametru t, ten jak vidno v obecné rovnici přímky nefiguruje. První rovnici tedy násobíme číslem 5 a poté obě rovnice sečteme. 5x = 5 + 5t y = 5t 5x + y = 7 5x + y 7 = Obecná rovnice přímky má tvar 5x + y 7 =. Pozn. Mohli jsme postupovat i jinak. Z parametrických rovnic přímky plyne, že přímka prochází bodem A = [3; ] a její směrový vektor u má souřadnice (; 5). Normálový vektor n přímky je kolmý k vektoru u, musí tedy platit n u. Skalární součin rozepíšeme: a u b u Dosadíme hodnoty vektoru u. a 5b Zvolíme např. b = a dopočítáme souřadnici a. a = 5 Dostali jsme normálový vektor n = (5; ). Obecná rovnice tedy vypadá takto: 5x + y + c =. Zbývá dopočítat koeficient c. Ten vypočítáme po dosazení souřadnic bodu A do rovnice, neboť bod A leží na přímce a jeho souřadnice tak musí vyhovovat její rovnici. 5 3 c c = 7 Obecná rovnice přímky má tvar 5x + y 7 =.

3 Př. 3. Teď otočíme příklad. Máme obecnou rovnici přímky 5x + y 7 = a chceme najít její parametrické vyjádření. Řešení: Normálový vektor n = (5; ) směrový vektor přímky u má souřadnice například ( ; 5), neboť jistě platí: 5 5. Teď potřebujeme zjistit souřadnice libovolného bodu ležícího na přímce. To provedeme jednoduše. Víme-li, že přímka není rovnoběžná s žádnou osou souřadnicového systému xy (směrové vektory souřadnicových os x a y jsou po řadě (; ) a (, )), můžeme za některou z proměnných (např. x) dosadit konkrétní číslo a dopočítat y. Volíme tedy: x = 5 y 7 y = 7 5 = Dostali jsme bod X = [; ]. Parametrické vyjádření přímky tedy vypadá takto: x = t y = + 5t Nepanikařte, že je toto PVP jiné jak u příkladu. Každá přímka má přeci nekonečně mnoho parametrických vyjádření! Pro zajímavost si ukážeme, které hodnotě parametru t bude v tomto parametrickém vyjádření příslušet bod A = [3; ] (který v PVP u příkladu přísluší pochopitelně parametru t = ). 3 = t t = = + 5t t = Bod A přísluší v tomto parametrickém vyjádření přímky hodnotě t =. Směrnicový tvar rovnice přímky Máme-li přímku danou rovnicí ax + by + c =, tak pokud b (tj. přímka není rovnoběžná se souřadnicovou osou y), můžeme její rovnici psát ve směrnicovém tvaru: y a b x c b který se obvykle zapisuje ve tvaru y = kx + q, kde k a, b c q. b Číslo q udává posunutí přímky po ose y. Jaký význam má však konstanta k? Zvolíme-li na přímce bod A = [x ; y ], dostaneme pro x z rovnice y = kx + q : k y q x Je-li φ úhel, který svírá přímka s kladnou poloosou x, je k = tg φ. Číslo k = tg φ se nazývá směrnice přímky, úhel φ nazýváme směrový úhel přímky. Pro ilustraci přikládám obrázek.

4 y q tg y x q x Př. 4. Je dána přímka p: x = + 4t ; y = 5t. Určete její směrový úhel a průsečíky se souřadnicovými osami. Řešení: Přímka je zadána parametricky. Najdeme její obecnou rovnici (OR), tu vyjádříme ve směrnicovém tvaru a pak určíme pomocí směrnice přímky k směrový úhel přímky φ. Průsečíky přímky se souřadnicovými vypočítáme nakonec. směrový úhel přímky = (4; 5) normálový vektor = (5; 4) známý bod přímky = [ ; ]. OR: 5x 4y + c = Dosadíme bod [ ; ]. 5 4 c c = OR: 5x 4y + = Z této rovnice vyjádříme neznámou y. 4y = 5x y x 4 5 k tg 4 φ = cca 5 Směrový úhel přímky je přibližně 5. Pro průsečík přímky s osou x platí: P x = [?; ]. Abychom určili první souřadnici tohoto průsečíku, dosadíme do obecné rovnice přímky y =. 5x 4y + = 5x + = x = Vyšel nám pochopitelně bod [ ; ]. To bylo zřejmé už od samého začátku. Pro průsečík přímky s osou y platí: P y = [;?]. Postupujeme analogicky jako u průsečíku P x, jen bude asi výhodnější použít směrnicový tvar rovnice přímky.

5 5 5 y x Za x volíme. 4 5 y Vyšel nám bod 5 ;. Pro ilustraci přikládám opět jeden skromný obrázek. Máme přímky: p: a x + b y + c = q: a x + b y + c = Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Jejich normálové vektory jsou po řadě n = (a ; b ), n = (a ; b ). Jsou-li násobky, tj. existuje-li nenulové reálné číslo k tak, že n = kn, pak jsou přímky p, q rovnoběžné. Mají li navíc přímky p, q aspoň jeden společný bod, pak jsou logicky totožné (tzn. c = kc ). Nejsou-li vektory n = (a ; b ), n = (a ; b ) násobky, přímky jsou různoběžné a protínají se v jednom bodě, který zveme jejich průsečíkem. Př. 5. Určete vzájemnou polohu přímek p, q. p: x 3y + 5 = q: x + y = Řešení: n p = (; 3) n q = (; )

6 Je vidět, že žádný z těchto dvou vektorů není násobkem toho druhého. To znamená, že přímky p, q jsou různoběžné a existuje jejich průsečík P. Ten najdeme, když vyřešíme soustavu rovnic přímek p, q: x 3y = 5 x + y = x 3y = 5 3x + 3y = 6 5x = x = 5 Druhou souřadnici dopočítáme např. z druhé rovnice. x + y = 5 + y = y = 5 9 Přímky p a q jsou různoběžné, jejich průsečík je bod o souřadnicích 9 ; 5 5. Př. 6. Určete vzájemnou polohu přímek a, b. a: x = + 3t b: x = + 6s y = + 4t y = 4 + 8s Řešení: Nejdříve vypíšeme směrové vektory obou přímek. Budou-li násobky, přímky jsou rovnoběžné. s a = (3; 4) s b = (6; 8) s b = s a, tedy přímky jsou rovnoběžné. Jsou totožné nebo různé? Přímka a obsahuje bod A = [; ]. Jsou-li přímky totožné, musí bod A ležet i na přímce b. Jeho souřadnice tedy dosadíme do parametrických rovnic přímky b. = + 6s s = 6 = 4 + 8s s = 4 Parametr s vyšel pokaždé různý, bod A tedy neleží na přímce b (každý bod přímky přísluší právě jednomu parametru a naopak) a přímky jsou rovnoběžné různé. Odchylka dvou přímek Máme-li dvě různoběžné přímky, můžeme spočítat jejich odchylku, za kterou budeme považovat vždy ten úhel sevřený oběma přímkami, který je z intervalu ; 9. Odchylka φ dvou přímek s normálovými, resp. směrovými vektory u, v (opravdu je to jedno, ale nekombinovat normálové a směrové!!) se vypočítá podle vzorce: uv uv cos u v

7 Pozn. Vzorec se od podobného vzorce, jenž řeší úhel dvou vektorů, liší pouze absolutní hodnotou ve svém čitateli, jelikož úhel dvou vektorů může být větší než 9, ale úhel dvou přímek nikoli. Bude-li skalární součin vektorů u, v (čitatel zlomku) roven (tedy cos φ = ), pak jsou přímky kolmé. Vzdálenost bodu od přímky (dvou rovnoběžných přímek) Máme-li dánu přímku p: ax + by + c = a bod M = [x ; y ], který na ní neleží, pak vzdálenost bodu M od přímky p je rovna vzdálenosti bodu M od paty kolmice vedené z bodu M k přímce p. Pěkné, že? Vzdálenost bodu M = [x ; y ] od přímky p: ax + by + c = se vypočítá podle vzorce: v( M ; p) ax by a b c Úlohu na výpočet vzdálenosti dvou rovnoběžných přímek převedeme na úlohu pro výpočet vzdálenosti jedné z přímek od libovolného bodu druhé přímky (viz obrázek). Př. 7. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných přímek a, b. a: 3x 4y + 8 = b: 6x + 8y 6 = Řešení: Nejdříve se přesvědčíme, že jsou přímky a, b skutečně rovnoběžné. Co když si z nás někdo střílí a chce po vás určit vzdálenost dvou různoběžek? Ta pochopitelně neexistuje. Směrové, resp. normálové vektory přímek a, b musí být násobky. n a = (3; 4) n b = ( 6; 8) n b = n a Tedy přímky a, b jsou skutečně rovnoběžné a lze určit jejich vzdálenost. K tomu budeme potřebovat libovolný bod přímky b, označme jej třeba M. Má-li bod M = [x ; y ] ležet na přímce b, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky b. 6x + 8y 6 = Za x volíme např y 6 = 8y = y =,5 Určili jsme bod M b ; M = [;,5]. Nyní přikročíme k výpočtu vzdálenosti bodu M (a tedy celé přímky b) od přímky a.

8 ax by c 3 4,5 8 v ( M ; a) a b 3 4 Vzdálenost přímek a, b je rovna. 5 5 Pozn. Kdyby vyšla vzdálenost rovna, znamenalo by to a = b. Př. 8. Určete odchylku přímek a, b. a: x y + 5 = b: x = 5 + 4t ; y = t Řešení: K určení odchylky dvou přímek potřebujeme znát jejich normálové nebo směrové vektory. n a = (; ) s a = (; ) s b = (4; ) Odchylku budeme tedy počítat pomocí směrových vektorů obou přímek podle známého vzorce: uv uv cos, kde u a v jsou směrové vektory přímek a, b. u v Dosadíme jejich souřadnice a dostáváme: cos 4 4 Jestliže cos φ =, pak φ = 9 a přímky a, b jsou navzájem kolmé. Na závěr si je ještě nakreslíme. Použiju k tomu můj oblíbený MatMat.exe, takže je třeba nejdřív obě rovnice převést do směrnicového tvaru (čili vyjádřit je jako předpis lineární funkce). a: x y + 5 = y = x + 5 b: x = 5 + 4t x = 5 + 4t x + y 7 = y = t y = 4t y x 7

9 Př. 9. Je dán obdélník ABCD, AB = 5 cm, AD = 3 cm. Dále je dán bod X AD tak, že DX : AX = :. Vypočítejte odchylku přímek BX a AC. Řešení: Jeden by řekl, že je to typická úloha z planimetrie, nicméně výpočet užitím metod AG bude mnohem lepší volbou. Pro tyto potřeby je však potřeba umístit obdélník ABCD do souřadnicového systému. Například takto: V tomto souřadnicovém systému platí: X = [; ], A = [ ; ], B = [5; ], C = [5; ]. Směrový vektor přímky AC = C A = (5; 3), směrový vektor přímky XB = B X = (5; ). Odchylku přímek AC a BX vypočítáme podle vzorce: uv uv cos u v cos Odchylka přímek AC a BX 546.