1 Charakteristick rysy kvantov mechaniky Technick dokonalost p stroj a metod dos hla na p elomu 19. a 20. stolet takov kvality, e bylo mo no zkoumat f

Slabik kvantov mechaniky Ladislav Hlavat October 13, 2003 Ob v m se, e nen mo no se nau it kvantovou mechaniku "po dn a jednou prov dy", n br e se jedn o postupn proces. C lem tohoto textu je p edev m uveden do problematiky a sezn men se s nejd le it j mi p klady a n kter mi d sledky kvantov mechanick ho popisu mikrosv ta. Z tohoto d vodu neusiluji o matematickou rigor znost na sou asn rovni znalost, n br zhruba o takovou, kterou pou vali "otcov zakladatel ". To souvis ism m p esv d en m, e proces u en mus do jist m ry napodobovat historii v voje dan ho oboru. Lze jen doufat, e atraktivita fyzik ln ch d sledk a "paradox " kvantov mechaniky uveden ch v t to p edn ce bude motivac ke studiu matematick ch struktur nutn ch k jej p esn j matematick formulaci (viz nap [1]) a t m i k hlub mu pochopen. Literatura [1] J. Blank, P. Exner, and M. Havl ek. Line rn oper tory v kvantov fyzice. Karolinum, Praha, 1993. [2] I. toll and J. Tolar. Teoretick fyzika. Skripta. VUT, Praha, 1984. [3] M. Uhl. vod do atomov fyziky. Skripta FJFI.Vydavatelstv VUT, Praha, 1971,1975. [4] J. Kl ma and B. Velick. Kvantov mechanika I. Skripta. MFF UK, Praha, 1992. [5] J. Form nek. vod do kvantov teorie. Academia, Praha, 1983. [6] V.S. Vladimirov Uravnenija matemati eskoj ziki. Nauka, Moskva, 1981. [7] I. toll. Elekt ina a magnetismus. Skripta. VUT, Praha, 1994. 1

1 Charakteristick rysy kvantov mechaniky Technick dokonalost p stroj a metod dos hla na p elomu 19. a 20. stolet takov kvality, e bylo mo no zkoumat fyzik ln jevy, na kter maj podstatn vliv element rn procesy na rovni atom. (t.j. p i charakteristick ch rozm rech 10 ;10 mahybnostech du 10 ;24 kg m/s.). P i jejich zkoum n se objevuj nov fyzik ln objekty jako elektron i foton, kter nemaj ani ist sticov ani ist vlnov vlastnosti. M eme je naz vat kvanta (odtud kvantov mechanika {mechanika kvant) i kvantov stice. Teoreticko{fyzik ln popis takov ch objekt je obsahem kvantov mechaniky. Vzhledem k tomu, e s mikroskopick mi jevy a procesy nem me p mou smyslovou zku enost, chyb n m pro jejich popis p irozen jazyk. Pom h me si proto pojmy zn m mi z makrosv ta, kter ale nemus b t v dy adekv tn. (P kladem toho jsou nap klad r zn pokusy vysv tlit pojem spinu analogiemi s momentem hybnosti.) Dokonce se zd, e p i popisu jev v mikrosv t n kdy selh v i p irozen intuice a tzv. zdrav rozum. To ale nemus b t p li p ekvapiv, nebo i ty jsou extrapolac a zev eobecn n m zku enost z makrosv ta. Je proto t eba jako v dy se nakonec uch lit k matematice a konfrontaci teorie s experimentem. Hlavn m matematick m n strojem kvantov mechaniky je funkcion ln anal za, nebo fyzik ln stavy jsou pops ny prvky Hilbertova prostoru a pozorovateln line rn mi oper tory na n m. Jakkoliv se zd tento popis p i prvn m setk n nep irozen a abstraktn, je jedin zn m, kter d v spr vn p edpov di. P edpov di kvantov mechaniky maj t m v lu n statistick charakter. P edpov daj pouze pravd podobnosti fyzik ln ch jev, nikoliv jejich deterministick v voj. Tento statistick charakter nen d sledkem matematick ho popisu p edpokl dan nedokonalosti na ich p stroj, n br, jak uvid me pozd ji, je p m m d sledkem postul t kvantov mechaniky tzn. matematick ho popisu mikrosv ta. Cvi en 1 Jak je pravd podobnosti nalezen klasick ho jednorozm rn ho oscil toru s energi E v intervalu (x x + dx)? Co pot ebujeme zn t, chceme-li tento pravd podobnostn v rok zm nit v deterministickou p edpov? Jako ka d fundament ln nov teorie, i kvantov mechanika m n na e p edstavy o vlastnostech materi ln ho sv ta. Relace neur itosti, kter jsou jej m d sledkem, p edstavuj fyzik ln z kon, kter omezuje mo nosti pozn n p rody a m nemal vliv na losock aspekty v dy. Studium kvantov mechaniky a jej postupn ch p n je n ro n nejen kv li nutnosti nau it se mnoho nov ch fakt a matematiky, ale i kv li psychologick bari e, kter vznik, kdykoliv se setk me s n m, co n s nut opustit za it schemata pramen c z extrapolace ka dodenn zku enosti. 2

2 Zrod kvantov mechaniky Z kladn lohou v ech odv tv teoretick fyziky (mechaniky, elekt iny a magnetismu, termodynamiky,...) je popis mno iny stav a ur en asov ho v voje fyzik ln ch syst m. Jin mi slovy to znamen ur en m iteln ch veli in tzv. pozorovateln ch, kter jsou pro zkouman syst m relevantn, a p edpov zen v voje jejich hodnot. Jejich p kladem je poloha, hybnost, energie, elektrick a magnetick intenzita, teplota, objem atd. Klasick fyzika popisuje pozorovateln jako funkce na prostoru stav. Jejich hodnoty pro dan stav jsou p esn ur eny a fyzik ln z kony ur uj c jejich asov v voj jsou pops ny diferenci ln mi rovnicemi. T mto zp sobem lze popsat irokou t du jev, ve kter ch interaguj jak hmotn objekty, tak fyzik ln pole i z en. Rozsah t chto jev jetakvelk, enakonci minul ho stolet se zd lo, e v voj fyziky je ukon en, e zn me v echny fyzik ln z kony. Bohu el i bohud k se uk zalo, e to nen pravda, a e klasick fyzika nedok e bezesporn popsat n kter jevy, ke kter m doch z v d sledku interakc na atom rn rovni. Cvi en 2 Popi te jednorozm rn harmonick oscil tor Hamiltonovskou formulac klasick mechaniky. Napi te a vy e te pohybov rovnice. Napi te rovnici pro f zov trajektorie. Hodnotou jak fyzik ln veli iny jsou ur eny? Z kladn fyzik ln objekty { hmota a z en { jsou v klasick fyzice pops ny zcela odli n m zp sobem. Hmotn objekty jsou lokalizovan a d se Newtonov mi pohybov mi rovnicemi, zat mco z en je nelokalizovan a d se Maxwellov mi poln mi rovnicemi. Doch z u n j k vlnov m jev m nap. interferenci a ohybu. V makrosv t je toto rozli en pln opr vn n a odli n zp sob popisu kvalitativn r zn ch objekt zcela logick. Pokusy prov d n po tkem tohoto stolet v ak uk zaly, e pro popis objekt v mikrosv t jsou p vodn p edstavy neadekv tn, ba dokonce vedou k p edpov d m kter jsou v rozporu s pozorov n mi. P kladem takov ho rozporu je Rutherford v planet rn model atomu, kter p edpokl d, e z porn nabit elektrony ob haj okolo kladn nabit ho j dra podobn jako planety okolo Slunce. Podle t to p edstavy jsou elektrony klasick, elektricky nabit (na rozd l od planet!) stice. Probl m je v ak v tom, e z teorie elektromagnetick ho pole pak vypl v, e by p ipohybupozak iven dr ze m ly produkovat elektromagnetick z en na kor sv vlastn mechanick energie. P edpov d klasick teorie tedy je, e atomy by m ly produkovat z en se spojit m spektrem energi a m ly by m t kone nou, dokonce velmi kr tkou (cca 10 ;10 sec) dobu ivota. Ob tyto p edpov di jsou v rozporu s pozorov n m. Sm it tento rozpor teorie a experimentu se poda ilo a kvantov mechanice za cenu opu t n n kter ch zd nliv p irozen ch p edstav, v tomto p pad elektronu jako stice pohybuj c se po n jak dr ze. Cvi en 3 Spo t te charakteristickou dobu ivota elektronu v atomu vod ku pokud jej pova ujeme za klasickou stici pohybuj c se po kruhov dr ze o (Bohrov ) 3

polom ru a 10 ;10 m. (viz [2], p klad 9.52) K dal m klasicky nevysv tliteln m jev m, je st ly u zrodu kvantov mechaniky pat Planckova formule pro z en ern ho t lesa, fotoefekt a Compton v rozptyl elektron, kter pop eme v p t ch podkapitol ch. Uk e se, e pro jejich vysv tlen se budeme muset vzd t i p edstavy o ist vlnov povaze elektromagnetick ho z en. 2.1 Planck v vyza ovac z kon Jedn m z probl m klasick fyziky je popsat spektr ln rozd len intenzity z en tzv. absolutn ern ho t lesa, p esn ji jej z vislost na frekvenci z en a teplot t lesa. Absolutn ern t leso, tzn. t leso kter neodr dn vn j z en, lze realizovat otvorem v dutin, jej vn j st ny jsou oh ty na jistou teplotu T. Takto zah t dutina vyza uje elektromagnetick z en, jeho experiment ln zm en spektr ln rozd len je v rozporu s klasick m popisem tohoto jevu. Oscilac atom st n dutiny zah t na teplotu T se v dutin vytv elektromagnetick pole (viz [2] Kap.8), je je zdrojem z en ern ho t lesa. Jeho slo ky ~E(~x t) B(~x ~ t) mus spl ovat Maxwellovy{Lorentzovy rovnice beze zdroj div ~ E =0 rot ~ B ; 1 c 2 @ ~ E @t =0: (1) div B ~ =0 rot E ~ + @ B ~ =0: (2) @t a okrajov podm nky, kter vy aduj, aby te n slo ky elektrick ho a norm lov slo ky magnetick ho pole byly na st n ch dutiny nulov, tj. ~N ~ H =0 ~ N ~ E =0 (3) kde ~ N je jednotkov vektor sm uj c ve sm ru norm ly ke st n dutiny. Jako prvn krok odvozen Planckova z kona uk eme, e takov to pole je ekvivalentn syst mu neinteraguj c ch harmonick ch oscil tor. Nech ~ E ~ B vyhovuj podm nk m (1){(3). Z II. serie Maxwellov ch {Lorentzov ch rovnic plyne, e elektromagnetick pole lze popsat tve ic potenci l ((~x t) ~ A(~x t)) zp sobem ~E = ;grad 0 ; @ ~ A 0 @t ~ B = rot ~ A 0 : (4) Pro Maxwellovy rovnice beze zdroj lze kalibra n transformac dos hnout toho, e elektromagnetick potenci ly ( ~ A) spl uj =0 div ~ A =0a okrajov podm nky ~ N ~ A = 0 na st n ch dutiny. 4

Kalibra n transformace (~x t) = 0 (~x t) ; @ (~x t) (5) @t ~A(~x t) = ~ A 0 (~x t)+grad (~x t) (6) kter zaru spln n v e uveden ch podm nek, je d na funkc, kter spl uje rovnice @ @t = 0 (7) spolu s okrajov mi podm nkami na st n ch 4 = ;div ~ A 0 (8) ~N grad = ; ~ N ~ A 0 : (9) Fakt, e v echny tyto podm nky lze splnit dostate n hladkou funkc je zaru en rovnic div ~ E = 0 a po adavky na te n a norm lov slo ky intenzit na st n ch dutiny. P edpokl dejme d le, e dutina m tvar krychle o hran L. Rozlo me slo ky vektorov ho potenci lu do trojn Fourierovy ady (viz nap. [3]). A 1 (~x t) = X Q 1 (~m t) cos(m 1 x 1 =L) sin(m 2 x 2 =L) sin(m 3 x 3 =L) (10) ~m2z 3 + A 2 (~x t) = X ~m2z 3 + A 3 (~x t) = X ~m2z 3 + Q 2 (~m t) sin(m 1 x 1 =L)cos(m 2 x 2 =L) sin(m 3 x 3 =L) (11) Q 3 (~m t) sin(m 1 x 1 =L)sin(m 2 x 2 =L) cos(m 3 x 3 =L) (12) D vod pro tento spec ln v b r Fourierova rozvoje je n sleduj c : Okrajov podm nky ~ N ~ A = 0 na st n ch krychle implikuj A 1 (x 1 x 2 0 t)=0 A 1 (x 1 0 x 3 t)=0 tak e funkci A 1, lze roz it na interval < ;L L > < ;L L > < ;L L > jako spojitou funkci lichou v prom nn ch x 2 x 3. O hodnot ch A 1 (0 x 2 x 3 ) dnou informaci nem me, m eme ji nicm n prodlou it sud v x 1. Fourier v rozklad lich spojit funkce na intervalu < ;L L > lze prov st pomoc funkc sin mx=l, zat mco rozklad sud funkce pomoc funkc cos mx=l. Odtud plyne mo nost rozkladu (10). D le it je, e podm nka A 1 (x 1 x 2 L t)=0 A 1 (x 1 L x 3 t)=0 5

neklade na koecienty rozvoje dn dodate n omezen na rozd l od p padu, kdybychom u ili jin typy rozvoj, nap. pomoc funkc cos mx=l pro sud roz en A 1 v x 2 x 3. Stejnou argumentac dostaneme rozklady funkc A 2 A 3 zp sobem (11,12). Zrovnic pro potenci ly ve vybran kalibraci 1 c 2 @ 2 @t 2 A i ;4A i =0 (13) kter dostaneme z (1), pak plyne, e koecienty ~ Q ~m (t) ~ Q(~m t) pro ~m 2 Z 3 + (trojice cel ch nez porn ch sel) spl uj jednoduch rovnice ~Q ~m +! 2 ~m ~ Q ~m =0 (14) kde! ~m = c q m 2 1 + m 2 2 + m 2 3 (15) L a c je rychlost sv tla. Kalibra n podm nka div A ~ =0p ejde na tvar ~m ~ Q ~m =0 (16) ze kter ho plyne, e pro ka d ~m 2 Z 3 + existuj dv line rn nez visl funkce Q ~m(t) = 1 2 spl uj c (14,16), co odpov d dv ma polarizac m elektromagnetick ho z en. Cvi en 4 Ze vzorc (10){(12) odvo te formule pro slo ky elektrick ho a magnetick ho pole ~ E(~x t) ~ B(~x t). Energie elektromagnetick ho pole E = 1 2 Z ( 0 ~ E2 + 1 0 ~ B2 )dv po dosazen (10){(12) a integraci p ejde na tvar E = 0V 16 X X ~m2z 3 =1 2 + ( _ Q 2 ~m +! 2 ~m Q2 ~m): (17) Zrovnic (14,17) vid me, e elektromagnetick polevuzav en dutin je ekvivalentn soustav nez visl ch harmonick ch oscil tor (stojat ch vln) slovan ch vektory ~m 2 Z 3 +. Elektromagnetick intenzity nejsou pln ur eny, nebo nejsou d ny dn po te n podm nky. Na druh stran v ak v me, e elektromagnetick pole je v termodynamick rovnov ze se st nami dutiny o teplot T a lze jej tedy popsat metodami statistick fyziky. Z tohoto hlediska je mo no na elektromagnetick 6

pole v dutin pohl et jako na soubor oscil tor, p i em ka d z nich m e interakc s termostatem nab vat r zn ch energi. N s budou zaj mat st edn energie ( T ) oscil tor s frekvenc ~m =! ~m =(2) p i teplot T, nebo energii elektromagnetick ch vln, jejich frekvence le v intervalu < +d >, pak lze spo tat jako sou et st edn ch energi oscil tor s frekvencemi v t m e intervalu. Vzhledem k tomu, e energie elektromagnetick ho pole (17) je d na sou tem energi jednotliv ch oscil tor, jejich pohybov rovnice (14) jsou vz jemn nez visl, m eme p edpokl dat, e statistick soubor oscil tor se d Boltzmannovou statistikou s rozd lovac funkc. Y P = A e ; kt E = P~m P ~m / e ;E ~m =(kt ) (18) ~m kde k je Boltzmannova konstanta k =1:38 10 ;23 J=grad. Jednotliv oscil tory jsou slov ny celo seln mi vektory ~m a sm rem polarizace. P i ad me-li ka d dvojici oscil tor s pevn m ~m bod v Z 3 +, pak v d sledku (15) mno ina oscil tor s frekvencemi v intervalu < + d > le v jednom oktantu kulov slupky polom ru 2L c a tlou ky 2L c d v prostoru vektor v Z 3. Po et oscil tor s frekvencemi v intervalu < + d > je pak roven dvoj-n sobku (kv li polarizac m) po tu bod v t to slupce, tedy n() =2 1 2L 8 c 3 4 2 d = V 8 c 3 2 d (19) kde V je objem dutiny ac je rychlost sv tla. Hustota energie oscil tor (elektromagnetick ho pole) p ipadaj c na zm n n interval frekvenc tedy je ( T )d = ( T ) 8 c 3 2 d (20) P edpokl d me-li, e se jedn o klasick oscil tory, jejich energie m e nab vat libovoln ch kladn ch hodnot E(q p) =p 2 + q 2 a rozd lovac funkce souboru stav oscil toru dan ch hybnost p a polohou q je P (q p) =ae ; E(q p) kt pak st edn hodnota oscil tor je nez visl na ( T )=kt (21) ahustota energie pole v dutin p ipadaj c na interval frekvenc < + d > je ( T )d = 8 c 3 2 ktd (Rayleigh{Jeansova formule). Tato rozd lovac funkce v ak neodpov d experiment ln m hodnot m pro velk frekvence. Nav c celkov hustota energie elektromagnetick ho pole Z 1 = ( T )d (22) diverguje. 0 7

Cvi en 5 Odvo te formuli (21). Experiment ln nam en hodnoty spektr ln ho rozd len hustoty energie dob e popisuje funkce navr en M. Planckem ve tvaru ( T ) = 8 c 3 h 3 e h kt ;1 (23) kde experiment ln ur en hodnota konstanty h =6:62 10 ;34 Js. (Viz obr.1) Obr zek 1: Spektr ln rozd len hustoty energie absolutn ern ho t lesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K Cvi en 6 Napi te rovnice ur uj c polohu maxima Planckovy rozd lovac funkce p i dan teplot. Jak se m n poloha maxima s teplotou (Wien v posunovac z kon)? Cvi en 7 Ur ete p ibli n teplotu, p i n se spektr ln rozd len hustoty energie z en ern ho t lesa spo ten na z klad Rayleighova { Jeansova z kona li ve viditeln oblasti od veli iny m en o5procent. Jak velk je tento rozd l v oblasti maxima p i t to teplot? Z vis pom r t to odchylky na teplot? Cvi en 8 Napi te rozd lovac funkci hustoty z en ern ho t lesa podle vlnov ch d lek. Napi te rovnici ur uj c jej maximum pro danou teplotu. Kodvozen rozd lovac funkce (23) je t eba u init n sleduj c podivn p edpoklad (Max Planck, 1900): Harmonick oscil tory, jejich soubor je z energetick ho hlediska ekvivalentn elektromagnetick mu poli v dutin, nemohou nab vat libovoln ch hodnot energie, ale pouze takov ch, kter jsou cel m n sobkem z kladn ho kvanta energie 0, tzn. E n = n 0. Z kladn kvantum energie oscil toru je m rn jeho frekvenci. 0 = 0 () =h: 8

Stavy harmonick ho oscil toru jsou tedy slov ny kladn mi cel mi sly n a rozd lovac funkce stav oscil toru s frekvenc a energi E n je P n = A ;1 e ; nh kt : Hodnotu konstanty A dostaneme z normovac podm nky P 1 n=0 P n =1. Se ten m geometrick ady A = 1X n=0 e ; nh kt =1=[1 ; e ; h kt ]: St edn hodnota energie harmonick ch oscil tor s frekvenc je pak ( T )= 1X n=0 nhp n = A ;1 1X n=0 nhe ; nh kt = A ;1 [; @A @( 1 kt )]= h e h kt ; 1 : Energii elektromagnetick ho pole v dutin p ipadaj c na interval frekvenc < + d > pak op t spo t me jako sou in st edn hodnoty energie oscil tor s frekvenc a po tu oscil tor s frekvencemi uvnit dan ho intervalu, z eho dostaneme Planckovu formuli (23). Celkov hustota energie elektromagnetick ho pole (22) spo tan z takto ur en rozd lovac funkce nediverguje a jej teplotn z vislost odpov d Stefan{Boltzmannovu z konu. kde (T )= 8 Z 1 c h 3 0 e h kt 3 ; 1 Z 8 k 4 T 4 1 x 3 d = c 3 h 3 0 e x ; 1 dx = T 4 = 8k4 c 3 h 3 4 15 : Z v r: Rozd lovac funkci z en absolutn ern ho t lesa lze odvodit pomoc p edpokladu, e energie harmonick ho oscil toru s frekvenc m e nab vat pouze diskretn ch hodnot E n = nh, kde h je univerz ln konstanta. Uv domme si, e jakkoliv je tento p edpoklad zvl tn, nen v rozporu s na zku enost, nebo d ky velikosti Planckovy konstanty h jsou nespojitosti energi h i pro velmi rychl mechanick oscil tory hluboko pod mez pozorovac ch chyb. Existenci diskretn ch hodnot energie se poda ilo prok zat i u atom (konkr tn rtuti) v serii pokus Francka a Hertze v letech 1914{1919 (viz [3]). 2.2 Fotoefekt Potvrzen m Planckovy hypot zy o kvantov m charakteru energie elektromagnetick ho pole bylo i Einsteinovo vysv tlen fotoefektu { emise elektron stimulovan sv teln m z en m, pozorovan poprv Lenardem v roce 1903. Popi me tento experiment v pozd j m uspo d n, kter provedl Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrick ho obvodu dopad 9

+ Fotokatoda Monochromatick sv tlo s frekvenc I (=0) U(=U s ) Obr zek 2: Milikanovo zapojen pro m en fotoefektu monochromatick sv tlo s frekvenc, kter se postupn m n. Sv tlo produkuje elektrick proud. Zdroj stejnosm rn ho nap t je zapojen tak, e vytv elektrick pole, kter vrac elektrony emitovan sv teln m z en m zp t. P i jist velikosti nap t U s = U s () proud p estane proch zet. Experiment ln zji t n z vislost nap t U s na frekvenci sv teln ho z en je line rn. U s = h e ( ; 0) Einsteinovo vysv tlen faktu, e od jist frekvence n e nejsou fotokatodou emitov ny dn elektrony (neproch z proud), spo v v tom, e v procesu emise elektronu p sob v dy pouze ur it celistv kvantum z en { foton, jeho energie je ve shod s Planckovou hypot zou m rn frekvenci E = h. ("...the energy of a light... consists of a nite number of energy quanta... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetick energie emitovan ho elektronu je E kin = eu s () =h( ; 0 )=E foton ; E ion : (24) Pro frekvence ni ne 0 = E ion =h, kde E ion je ioniza n energie materi lu fotokatody, k emisi elektron nedoch z ani p i zv t ov n intenzity z en (t m se pouze zv t uje po et ne sp n ch pokus p ekonat ioniza n bari ru), zat mco pro > 0 z sk vaj elektrony energii (24). Konstanta m rnosti h, zm en z fotoefektu se shodovala s konstantou ur enou ze z en ern ho t lesa. 10

Dopadaj c foton - Odra en elektron Rozpt len foton s Obr zek 3: Rozptyl elektromagnetick ho z en na elektronu Z v r: Existuj kvanta sv teln ho z en { fotony, kter p sob v element rn m procesu uvol uj c m jeden elektron. Energie jednoho fotonu je h kde je frekvence odpov daj c ho z en a h je konstanta ur en z Planckova vyza ovac ho z kona. Cvi en 9 Kolik foton za vte inu emituje stowattov sod kov v bojka maj c 30 procentn sv telnou innost? Kolik z nich se dostane do oka pozorovatele ve vzd lenosti 10 km? (Polom r o ky oka je asi 5 mm.) 2.3 Compton v rozptyl V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, kter m l odhalit, zda se kvanta elektromagnetick ho z en chovaj jako stice, tzn. zda vedle energie maj t denovanou hybnost. V tomto pokusu byl m en rozptyl elektromagnetick ho (rentgenov ho) z en na gratu, v jeho krystalick m i jsou elektrony relativn voln. Podle klasick teorie je elektromagnetick z en pohlcov no l tkou a pak op t vyz eno. P itom doch z k p ed n hybnosti l tce (tj. v em elektron m sou asn ), co se interpretuje jako tzv. tlak sv tla. V klidov soustav elektronu pak dojde k emisi z en se stejnou vlnovou d lkou a nulovou st edn hybnost. V laboratorn soustav, ve kter maj elektrony hybnost ~ P e a energii E e, pak pozorujeme podle Dopplerova principu zm nu vlnov d lky z en cp e () klas = 0 (1 ; cos) (25) E e ; cp e kde 0 je d lka dopadaj c vlny, je hel, pod kter m pozorujeme emitovan z en, E e P e jsou velikost energie a hybnosti elektronu, kter s d lkou oza ov n rostou. Pod vejme se jak bude tento jev prob hat, pokud se fotony na atom rn rovni chovaj jako stice s danou energi a hybnost (viz Obr.3). V tom p pad je t eba element rn proces rozptylu z en popsat jako sr ku dvou stic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy 11

and momentum upon some particular electron."), p i kter se celkov energie a hybnost zachov v. 0 + m e c 2 = + E e (26) kde ~p e = ~p 0 +0=~p + ~p e (27) m e ~v e q1 ; v 2 e =c 2 E e = = h m e c 2 q 1 ; v 2 e =c 2 j~p j = h=c = h= a v e je rychlost odra en ho elektronu. Ze z kona zachov n hybnosti plyne (~p 0 ; ~p ) 2 = h2 c 2 (2 + 2 0 ; 2 0 cos ) = ~p e2 = m2 e v2 e 1 ; v 2 e =c2 = E2 e =c2 ; m 2 e c2 : Pou ijeme-li je t z kon zachov n energie, pak algebraick mi pravami dostaneme ; 0 = h (1 ; cos ) (28) m e c co je vzorec pro vlnovou d lku emitovan ho z en v z vislosti na hlu emise pro po te n nulovou hybnost elektronu. Veli ina h m ec se asto naz v Comptonova vlnov d lka elektronu. Jej hodnota je 2:4 10 ;12 m. P edpokl d me-li, e opakovan m rozptylem EM z en z skaly elektronyhybnost rovnob nou se sm rem dopadaj c ho z en velikosti P e, pak vzorec pro Comptonovsk rozptyl se zm n na ; 0 = ( 0 P e + h)c (1 ; cos ): (29) qm 2 e c4 + Pe 2c2 ; P e c Pro P e h= dost v me klasickou formuli (25). Comptonovy vzorce (29) resp. (28) se v ak experiment ln potvrdily i pro kr tkovln rentgenovsk z en. Z v r: Kvanta sv teln ho i obecn ji elektromagnetick ho z en maj nejen denovanou energii, ale i hybnost, jej velikost je nep mo m rn vlnov d lce z en j~pj = h=. Cvi en 10 Ur ete hybnost foton viditeln ho sv tla a R ntgenova z en. Cvi en 11 Jakou vlnovou d lku m elektromagnetick z en, jeho zdrojem je elektron { pozitronov anihilace v klidu? e + + e ;! + 12

2.4 Shrnut Zv euvedn ch vysv tlen experiment ln ch fakt plyne, e v mikrosv t, tj. p i zkoum n atom rn ch jev : 1. Existuj fyzik ln objekty { kvanta, kvantov stice { maj c jak vlnov tak sticov charakter. 2. Mno iny hodnot n kter ch fyzik ln ch veli in, nap. energie i momentu hybnosti, mohou b t diskr tn tzn. tyto veli iny se mohou m nit pouze o kone n p rustky. Tato podivuhodn experiment ln fakta se nepoda ilo vysv tlit metodami klasick fyziky, alebylo nutno vybudovat novou fyzik ln teorii a pou t nov matematick struktury a techniky. To vedlo ke zrodu kvantov teorie, kter se obecn zab v irokou t dou mikroskopick ch fyzik ln ch syst m. Z pedagogick ch d vod za neme jej v klad popisem jedn kvantov stice bez vazeb, jej m typick m reprezentantem je nap klad elektron. P i studiu kvantov teorie je t eba m t na mysli, e jako u ka d fyzik ln teorie se nejedn o odvozen ve smyslu, na kter jsme zvykl z matematiky, n br o s rii rozumn ch n vrh a p edpoklad vedouc ch kp edpov d m, jejich spr vnost mus prov it experimenty. Ostatn, klasickou mechaniku Newton tak neodvodil, n br postuloval. 2.5 De Broglieova hypot za a Schr dingerova rovnice Z vysv tlen experiment ln ch fakt v p edchoz ch kapitol ch plyne, e p i zkoum n atom rn ch jev z en p est v m t ist vlnov charakter a chov se v n kter ch aspektech jako soubor stic. Zd se tedy u ite n zav st nov fyzik ln pojem { kvantov stice { popisuj c fyzik ln objekty vyskytuj c se na atom rn ch a ni ch rovn ch. Pod vlivem poznatk o du ln m sticov {vlnov m charakteru sv tla De Broglie v roce 1923 usoudil, e tento dualismus je vlastnost v ech mikroskopick ch objekt a e nejen elektromagnetick z en, ale i hmotn objekty (nap. elektrony) se mohou chovat bu jako vlnanebojako stice, podle toho jak jevy, vnich se astn, zkoum me. Vyslovil hypot zu, e pro popis jev na atom rn rovni je t eba p i adit voln m kvantov m stic m s hybnost ~p a energi E { nikoliv bod f zov ho prostoru n br rovinou monochromatickou vlnu ~p E, jej frekvence je (stejn jako pro foton) m rn energii a jej vlnov d lka je nep mo m rn hybnosti stice, p esn ji funkci ~p E(~x t) = Ae i h (~p~x;et) (30) kde A je zat m neur en konstanta a h := h=2 =1:054572 10 ;34 Js. 13

Abychom pln docenili hloubku a sm lost t to hypot zy, je t eba si uv domit, e v t dob nebyly zn my dn pokusy dokazuj c vlnov vlastnosti hmotn ch stic jako je ohyb, i interference. Ty se objevily a o n kolik let pozd ji, p i zkoum n rozptylu elektron na krystalech. Cvi en 12 Ur ete vlnovou d lku a frekvenci de Broglieovy vlny pro molekulu kysl ku ve vzduchu va eho pokoje a pro stici o hmotnosti 10 g pohybuj c se rychlost zvuku. Cvi en 13 Podle de Broglieovy hypot zy ur ete ohyb zp soben pr letem tenisov ho m ku (m =0:1 kg) obd ln kovit m otvorem ve zdi o rozm rech 1 1:5 m. Cvi en 14 Na jakou rychlost je t eba urychlit elektrony aby bylo mo no pozorovat jejich difrakci na krystalov m i s charakteristickou vzd lenost atom 0.1 nm? Je-li vztah mezi hybnost kvanta a jeho energi stejn jako u klasick voln stice E = ~p 2 =2m (p padn E = p ~p 2 c 2 + m 2 c 4 pro kvantum pohybuj c se rychlost bl zkou rychlosti sv tla), pak to znamen e de Broglieova vlna nespl uje vlnovou rovnici (13), kter plyne z teorie elektromagnetick ho pole. Ot zkou tedy je, zda a jakou rovnici spl uje. Tuto rovnici na el v roce 1925 E. Schr dinger a nese jeho jm no. Kodvozen rovnice pro de Broglieovy vlny je nejsnaz vyj t z v e uveden ch klasick ch vztah mezi energi a hybnost, kter vlastn p edstavuj disperzn relace, a pou t identity p i = ;ih @ @x i E = ih @ @t (31) plynouc z popisu kvant p slu nou de Broglieovou vlnou. Odtud ji celkem p mo a e dostaneme rovnici pro de Broglieovu vlnu @ @t = ; i h 3X i=1 p 2 i 2m = ; i 2mh E. Schr dinger postuloval platnost rovnice @ @t = ;ie h 3X i=1 (;h 2 @2 ) (32) @x 2 i (33) i pro kvantovou stici, kter se pohybuje pod vlivem sil dan ch potenci lov m polem V (~x). Diferenci ln rovnice pro vlnovou funkci takov to kvantov stice se obvykle p e ve tvaru ih @ @t = ; 2m4 h2 + V (~x) (34) 14

a naz v seschr dingerova rovnice. Line rn oper tor na prav stran Schr dingerovy rovnice ^H = ; h2 2m 4 + ^V (~x) (35) se naz v hamiltoni n. (Pou ili jsme zde obvykl konvence u ebnic kvantov mechaniky, e symboly pro oper tory jsou ozna eny st kou.) e en m Schr dingerovy rovnice (32) pro "volnou kvantovou stici" (co m e b t nap. elektron pohybuj c se mimo elektromagnetick pole) nen pouze de Broglieova vlna, ale i mnoho jin ch funkc ty prom nn ch. D ky linearit Schr dingerovy rovnice je e en m (32) i line rn superpozice de Broglieov ch vln odpov daj c ch r zn m hybnostem (~x t) = ZR3 i p2 ~ (~p)e h (~p~x; 2m t) dp 3 : (36) To je velmi d le it, nebo monochromatick vlna(30) m jenom n kter vlastnosti odpov daj c voln stici, toti rovnom rnou a p mo arou rychlost en, ale ned v dnou informaci o jej poloze. Chceme-li do vlnov ho popisu stice zahrnout i dal jej vlastnosti, nap. lokalizovatelnost v ur it sti prostoru, pak mus me pou t jin typ e en ne je ist de Broglieova vlna. Cvi en 15 Nech V (~x) = 0 (voln stice) a vlnov funkce stice m v ase t 0 ("lokalizovan ") tvar g(~x) =C exp[;a~x 2 + ~ B~x] (37) Pomoc Fourierovy transformace ur ete e en Schr dingerovy rovnice (~x t), kter v ase t 0 m tvar g(~x), tj. spl uje po te n podm nku (~x t 0 )=g(~x) kde Re A>0 ~ B 2 C3 C 2 C. Cvi en 16 Nech (x y z t) je e en m Schr dingerovy rovnice pro volnou stici. Uka te, e ~ (x y z t) := exp[;i Mg h (zt + gt3 =6)] (x y z + gt 2 =2 t) je e en m Schr dingerovy rovnice pro stici v homogenn m gravita n m poli (Avron-Herbstova formule). Je mo n tuto formuli a jej pou it n jak zobecnit? 2.6 Bornova interpretace vlnov funkce Jakmile se objevila Schr dingerovarovnice, kter vedle de Broglieovy vlny p ipou t i mnoho dal ch e en, vznikla p irozen ot zka, jak je jejich v znam, neboli probl m fyzik ln interpretace e en Schr dingerovy rovnice. 15

Zat mco e en pohybov ch rovnic klasick mechaniky jsou snadno a p irozen interpretovateln jako dr hy hmotn ch bod v prostoru, fyzik ln v znam e en Schr dingerovy rovnice je na prvn pohled nejasn. Probl m interpretace je t nav c komplikuje fakt, e Schr dingerova rovnice je rovnic v komplexn m oboru, tak e jej e en jsou komplexn funkce. Podot zkou tohoto probl mu pak je, zda v echna e en jsou fyzik ln upot ebiteln. Po mnoha marn ch pokusech interpretovat e en Schr dingerovy rovnice jako silov pole obdobn elektromagnetick mu i gravita n mu byla navr ena jeho statistick interpretace (Max Born, 1926): e en Schr dingerovy rovnice ud v asov v voj pravd podobnosti nalezen stice v r zn ch oblastech prostoru: Je-li (x y z t) e en Schr dingerovy rovnice popisuj c kvantovou stici, pak kvadr t jej absolutn hodnoty j (x y z t)j 2 je m rn hustot pravd podobnosti nalezen stice v okam iku t v m st s kart zsk mi sou adnicemi (x y z). (Born v postul t) Cvi en 17 emu je m rn pravd podobnost nalezen stice popsan de Broglieovou vlnou (30) v oblasti (x 1 x 2 ) (y 1 y 2 ) (z 1 z 2 )? Cvi en 18 emu je m rn hustota pravd podobnosti pro e en B (~x t) =Ce ~ 2 4A (t) ;3=2 expf;a [~x ; B=(2A)] ~ 2 g (38) (t) (t) =1+ 2iAh m (t ; t 0) z p kladu 15 pro A>0? Jak se m n poloha jej ho maxima s asem? emu je rovna jej st edn kvadratick odchylka? Jak se m n s asem? Za jak dlouho se zdvojn sob " ka" vlnov ho bal ku pro elektron lokalizovan s p esnost 1 cm a pro hmotn bod o hmot 1 gram jeho t i t je lokalizov no s p esnost 10 ;6 m? Jak omezen klade Born v postul t na e en Schr dingerovy rovnice? Pravd podobnost nalezen stice v oblasti O R 3 je m rn Z O j (x y z t)j 2 dxdydz: Koecient m rnosti je mo no nal zt z po adavku, aby pravd podobnost nalezen stice "kdekoliv" se rovnala jedn. Tuto podm nku lze snadno splnit, polo me-li hustotu pravd podobnosti rovnou w(x y z t) =A( ) ;1 j (x y z t)j 2 (39) kde A( ) = Z R3 j (x y z t)j2 dxdydz (40) 16

pokud tento integr l existuje. Fyzik ln snadno interpretovateln jsou tedy takov e en Schr dingerovy rovnice, kter spl uj Z R3 j (x y z t)j2 dxdydz < 1: (41) T mi se budeme v n sleduj c m textu zab vat p edev m. 3 Popis stav kvantov stice Schr dingerova rovnice m v kvantov mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v mechanice klasick, popisuje asov v voj fyzik ln ho syst mu. Matematicky jsou v ak typy obou rovnic odli n. Zat mco Newtonovy rovnice jsou soustavou oby ejn ch diferenci ln ch rovnic, Schr dingerova rovnice je parci ln diferenci ln rovnic. Z tohoto rozd lu plyne i odli n zp sob popisu stavu v dan m okam iku v klasick a kvantov mechanice. 3.1 Stavov prostor Stav klasick ho syst mu v dan m okam iku je ur en hodnotou v ech poloharychlost i poloh a hybnost jednotliv ch hmotn ch bod. jednozna n ur uje e en pohybov ch rovnic. Znalost okam it ch hodnot pak P irozen ot zka je, jak popsat stav kvantov stice. Schr dingerovarovnice je parci ln line rn diferenci ln rovnic 1. du v ase a jej e en je (p i dan ch okrajov ch podm nk ch) ur eno volbou po te n podm nky (~x t = t 0 ) = g(~x). tj. funkc g. P ijmeme-li p edpoklad, e Schr dingerovarovnice (34) popisuje asov v voj kvantov stice, pak doch z me k z v ru, e okam it stav kvantov stice je ur en komplexn funkc t prom nn ch (Jak zvl tn!). T to funkci se obvykle k stavov i vlnov funkce stice. Bornova interpretace e en Schr dingerovy rovnice klade na stavov funkce jist omezen. Podm nka (41) plat pro libovoln as t amus me proto po adovat, aby ka d funkce g(~x) popisuj c stav kvantov stice spl ovala podm nku (~x (x y z)) Z R3 jg(~x)j2 d 3 x<1: (42) Tyto funkce naz v me kvadraticky integrovateln (na R 3 s m rou d 3 x). Mimo to funkce g a Cg, kde C je libovoln komplexn slo d vaj stejnou pravd podobnostn interpretaci a popisuj tedy tent stav kvantov stice. Cvi en 19 Jak je pravd podobnost nalezen elektronu vod kov ho obalu ve vzd lenosti (r r+ dr) od j dra, je-li pops n (v ase t 0 ) funkc g(x y z) =Ae ;p x 2 +y 2 +z 2 =a 0 (43) 17

kde a 0 =0 53 10 ;8 cm je tzv. Bohr v polom r vod ku? Viz [4]. D ky Minkovsk ho nerovnosti ( Z R 3 jf + gj 2 d 3 x) 1=2 ( Z R 3 jfj 2 d 3 x) 1=2 +( Z 3 R jgj 2 d 3 x) 1=2 tvo kvadraticky integrovateln funkce line rn prostor. Odtud plyne tzv. princip line rn superpozice stav kvantov mechaniky jedn stice: M eli se stice nach zet ve stavech popsan ch funkcemi 1 2, pak existuje stav popsan funkc a 1 + b 2, kde a b jsou libovoln komplexn sla. Cvi en 20 Le minimalizuj c vlnov bal k ve v e uveden m prostoru? P esn ji, je funkce g ze cvi en (15) kvadraticky integrovateln? Cvi en 21 Le de Broglieova vlna (30) ve v e uveden m prostoru? Na line rn m vektorov m prostoru stavov ch funkc spl uj c ch podm nku (41) je mo no zav st je t bohat matematickou strukturu, kter m pro konstrukci kvantov mechaniky z sadn v znam. Uk eme toti, e tento prostor (po jist faktorizaci) je Hilbert v, co pak pou ijeme k p edpov di v sledku m en fyzik ln ch veli in proveden ch na kvantov m syt mu v dan m stavu. 3.1.1 Matematick vsuvka 1: Hilbertovy prostory V ce i m n zevrubn pou en o Hilbertov ch prostorech je mo no naj t v mnoha u ebnic ch (viz nap. [1] a citace tam uveden ). Zde uvedeme jen z kladn denice a fakta, kter budeme pou vat v t to p edn ce. Denice 3.1.1 Sesquiline rn formou na komplexn m line rn m vektorov m prostoru V (ne nutn kone n rozm rn m) nazveme zobrazen F : V V! C spl uj c F (f + g h) =F (f h)+f (g h) F (f g + h) =F (f g)+f (f h) F (af g) =a F (f g) F (f ag) =af (f g) kde a 2 C f g h 2 V a hv zdi ka znamen komplexn sdru en. P klad: Na line rn m prostoru kvadraticky integrovateln ch funkc na R N lze zav st sesquiline rn formu p edpisem F (g 1 g 2 ) (g 1 g 2 ):= Z RN g 1 (~x)g 2(~x)d N x: (44) Denice 3.1.2 Zobrazen F : V V! C nazveme symetrickou formou pokud pro v echna f g 2 V plat F (g f) =[F (f g)] (45) Cvi en 22 Uka te, e sesquiline rn forma je symetrick tehdy a jen tehdy, kdy F (f f) 2 R. 18

Denice 3.1.3 Zobrazen F : V V! C nazveme pozitivn formou pokud pro v echna f 2 V plat F (f f) 0: (46) Pokud nav c F (f f) =0, f =0 (47) pak tuto formu nazveme striktn pozitivn. Sesquiline rn forma (44) je pozitivn (a tedy i symetrick ). Tvrzen 3.1 Pozitivn sesquiline rn forma spl uje pro ka d f g 2 V Schwartzovu nerovnost jf (f g)j 2 F (f f)f (g g): (48) P itom rovnost nast v, pr v kdy existuje 2 C tak, e F (f + g f + g) =0nebo F (f + g f + g) =0: (49) D kaz: Nech f g 2 V. Pak z pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro ka d 2 C 0 F (f + g f + g) =F (f f)+f(f g)+ F (f g) + jj 2 F (g g) (50) Pokud F (f f) = F (g g) = 0 pak volbou = ;F (f g) dostaneme (48). Ze striktn pozitivity absolutn hodnoty komplexn ho sla plyne F (f g) = 0 a snadno dok eme i druhou st tvrzen ( =0). Bez jmy na obecnosti m eme nad le p edpokl dat, e nap. F (g g) 6= 0. Volbou = ;F (f g) =F (g g) v (50), pak dostaneme nerovnost (48). Druhou st tvrzen dok eme takto: Nech plat prvn rovnost v (49). Z nerovnosti 0 j F (g g) +F (f g)j 2 pak plyne jf (f g)j 2 F (f f)f (g g), co spolu s (48) d v jf (f g)j 2 = F (f f)f (g g). Pokud naopak tato rovnost plat, pak pro = ;F (g f)=f (g g) je spln na prvn rovnost v (49). Q.E.D. Denice 3.1.4 Sesquiline rn striktn pozitivn forma na komplexn m line rn m vektorov m prostoru V se naz v skal rn sou in. Line rn vektorov prostor vybaven skal rn m sou inem se naz v unit rn nebo t pre{hilbert v. P klad: Na prostoru C N lze zav st skal rn sou in zp sobem F (x y) (x y) := NX j=1 x j y j (51) Ze cvi en 22 plyne, e skal rn sou in je symetrick a pou it m Schwartzovy nerovnosti je snadn uk zat, e indukuje na prostoru V normu jjfjj := q (f f) a metriku (f g) :=jjf ; gjj 19

Denice 3.1.5 Unit rn prostor, kter je (v indukovan metrice ) pln se naz v Hilbert v. P klad: Prostor C N se skal rn m sou inem (51) je Hilbert v. Sesquiline rn forma (44) na prostoru kvadraticky integrabiln ch funkc nen striktn pozitivn. Pova ujeme-li v ak funkce li c se na mno in m ry nula za "stejn ", tzn. provedeme-li jistou faktorizaci (viz [1]), dostaneme op t line rn prostor ozna ovan obvykle L 2 (R N dx N ), na kter m pak (44) denuje skal rn sou in. V norm ur en t mto skal rn m sou inem je nav c tento prostor pln, a tedy Hilbert v. P klad: Prostor t d kvadraticky integrovateln ch funkc na intervalu (a b) R, kdea i b mohou b t i 1 a (f g) := Z b a f (x)g(x)dx je Hilbert v. V dal m textu obvykle nebudeme rozli ovat mezi kvadraticky integrabiln mi funkcemi a jim odpov daj c mi t dami funkc li c mi se na mno in m ry nula. M eme tedy shrnout, e funkce (42) popisuj c stavy kvantov stice tvo nekone n rozm rn Hilbert v prostor. Tvrzen 3.2 (Rieszovo lemma) Nech je spojit line rn funkcion l na H. Pak existuje pr v jeden vektor g 2Htakov, e pro v echna f 2Hplat (f) =(g f): Toto tvrzen znamen e prostor line rn ch funkcion l na H je isomorfn H. Jin mi slovy, Hilbertovy prostory jsou samodu ln : H = H. Tento fakt je z kladem tzv. "bra{ketov ho formalismu", kter je v kvantov mechanice asto pou v n. D le it m pojmem v teorii Hilbertov ch prostor, kter naopak mnohokr t vyu ijeme, je tzv. ortonorm ln baze. Denice 3.1.6 Vektory x y v Hilbertov prostoru H nazveme ortogon ln pokud (x y) = 0. Mno inu M H nenulov ch vektor nazveme ortogon ln mno inou pokud ka d dva jej r zn prvky jsou ortogon ln. Pokud nav c pro ka d prvek z mno iny M plat jjxjj =1nazveme ji ortonorm ln Denice 3.1.7 Vektor x 2Hnazveme ortogon ln k mno in M H,pokud(x y) = 0 pro ka d y 2 M. Mno inu v ech takov ch vektor naz v me ortogon ln m dopl kem mno iny M a zna me ji M?. Je snadn uk zat, e ortogon ln dopln k libovoln podmno iny H je line rn podprostor H. 20

Tvrzen 3.3 Je-li G uzav en podprostor H, pak pro ka d x 2Hexistuje pr v jedno y 2G a z 2G?,tak e x = y + z. D sledkem tohoto tvrzen je existence line rn ho oper toru E G : x! y, kter se naz v ortogon ln projektor na G. Denice 3.1.8 Ortonorm ln baz nazveme ortonorm ln mno inu B, jej ortogon ln dopln k je nulov prostor, B? = f~0g H. Pozor! Poznamenejme, e ortonorm ln baze nen baz v obvykl m smyslu, toti e libovoln prvek prostoru je mo no zapsat jako kone nou(!) line rn kombinaci prvk baze. Jak uvid me, obecn prvek budeme v t inou schopni zapsat pouze jako "nekone nou line rn kombinaci" prvk ortonorm ln baze, kter je denov na pomoc konvergence ve smyslu normy jjfjj := (f f). P klad: Nech (a b) je omezen interval v R c := b ; a m 2 Z. Funkce f m (x) := c ;1=2 e 2imx=c jsou ortonorm ln baz v prostoru t d kvadraticky integrovateln ch funkc na intervalu (a b). Denice 3.1.9 Nech B je ortonorm ln baze v Hilbertov prostoru H. Fourierov mi koecienty vektoru f 2Hpro bazi B nazveme skal rn sou iny (b,f), kde b 2 B. Hilbertovy prostory, se kter mi v kvantov mechanice pracujeme (nap klad L 2 (R 3 dx 3 )), maj nejv e spo etnou ortonorm ln bazi B = fe j g. V takov chto prostorech plat pro ka d f 2H f = jjfjj 2 = 1X j=1 (e j f)e j (52) 1X j=1 j(e j f)j 2 (53) Tyto vztahy se naz vaj Fourier v rozvoj a Parsevalova rovnost. Vkvantov mechanice hraj d le itou roli ortonorm ln baze, jejich elementy jsou vlastn funkce n jak ch oper tor. Cvi en 23 Najd te ortonorm ln bazi v C 2, jej prvky jsou vlastn mi vektory matice! 1 := 0 1 1 0 P klady ortonorm ln ch baz v nekone n rozm rn ch Hilbertov ch prostorech uk eme v dal ch kapitol ch. 21

3.2 Pozorovateln a jejich spektra V klasick mechanice je mo no ze znalosti stavu p edpov d t v sledek m en okam it hodnoty libovoln mechanick veli iny (energie, momentu hybnosti,...). Stav syst mu (nap. jedn i v ce stic) je ur en bodem f zov ho prostoru (polohou a rychlost, nebo polohou a hybnost, podle toho zda pou v me Newtonovu (Lagrangeovu), i Hamiltonovu formulaci) a fyzik ln veli iny { pozorovateln jsou denov ny jako re ln funkce na f zov m prostoru. Hodnotu ka d mechanick veli iny pro syst m v dan m stavu dostaneme vyhodnocen m p slu n funkce v odpov daj c m bodu f zov ho prostoru. Spektrum hodnot, kter pro klasickou stici m eme nam it je d no oborem hodnot t to funkce. Nap. kinetick energie stavu (~p ~q) je a jej spektrum je R +. E kin (~p ~q) = 1 2M Tento popis je nez visl na dynamice tj. 3X j=1 p 2 j na asov m v voji syst mu a je tak n zorn, e se mu v klasick mechanice nev nuje t m dn pozornost. Uv d me jej zde proto, aby bylo mo n sledovat jak podstatn odli n matematick struktury se pou vaj pro popis t ch e kinematick ch pojm vkvantov mechanice. Ot zka, na kterou chceme odpov d t v tomto paragrafu zn : Jak matematick objekty p i ad me v kvantov mechanice pozorovateln m? Jak bylo konstatov no v minul m paragrafu, stavov prostor kvantov stice je mno ina kvadraticky integrabiln ch funkc t prom nn ch. Pokud bychom pozorovateln m p i azovali funkce na tomto (nekone n rozm rn m) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, kter se pro n c l { popis objekt mikrosv ta { uk zala neadkv tn. M sto toho kvantov teorie p i azuje pozorovateln m samosdru en line rn oper tory na prostoru stavov ch funkc. Zp sob p i azen oper tor konkr tn m fyzik ln m veli in m je d n fyzik ln intuic, dlouholet m v vojem a n sledn m experiment ln m ov ov n m teorie. Pro sledov n analogi s klasickou mechanikou jsou samoz ejm d le it oper tory polohy ahybnosti. Vkvantov mechanice hmotn stice je kart zsk m slo k m polohy stice p i azen oper tor n soben nez vislou prom nnou ( ^Q j )(~x) := x j (~x) (54) a kart zsk m slo k m hybnosti stice je p i azen oper tor parci ln derivace ( ^P j )(~x) := ;ih @ @x j (~x) (55) Denici oper toru hybnosti u jsme de facto pou ili p i odvozov n Schr dingerovy rovnice (32) z de Broglieovy hypot zy. Existuje mnoho zd vodn n p i azen (54,55). Vka d m z nich je v ak t eba vyslovit n jak p edpoklady, kter jsou v ce i m n ekvivalentn (54,55). 22

Oper tory odpov daj c ostatn m fyzik ln m veli in m maj c ch klasickou analogii jsou konstruov ny podle principu korespondence, tzn. jsou form ln stejn mi funkcemi oper tor F ( ^Q j ^P j ) jakoodpov daj c funkce F (x j p j ) na f zov m prostoru v klasick m p pad. Nap. oper tor celkov energie stice v silov m poli potenci lu V je kde 4 = P 3 @ 2 j=1. @x 2 j ^E := E( ^Qj ^Pj )=; h2 2M 4 + V (~x) = ^H Cvi en 24 Napi te oper tory p i azen slo k m momentu hybnosti. Vzhledem k tomu, e L 2 (R 3 dx 3 )jenekone n rozm rn prostor, d le itou sou st denice oper tor je i stanoven jejich deni n ch obor, co je obecn dosti delik tn probl m. Je samoz ejm nutn, aby p slu n operace byly na funkc ch z deni n ho oboru denov ny a jejich v sledek le el v L 2 (R 3 dx 3 ) (tak e nap klad funkce z deni n ho oboru oper tor ^Pj mus b t (skoro v ude) derivovateln a derivace mus b t kvadraticky integrovateln ). Mimo to je v ak t eba deni n obory oper tor zvolit tak, aby byl spln n je t dal po adavek kvantov mechaniky, toti, e spektrum line rn ho oper toru p i azen ho fyzik ln veli in mus b t shodn s mno inou hodnot, kter lze pro danou veli inu nam it. Probl m s deni n mi obory oper tor se v tomto textu dotkneme jen ob as a nesystematicky. Nejnutn j z klady jsou shrnuty v n sleduj c vsuvce. Matematicky zalo en j ten e op t odkazujeme nap. na [1]. Cvi en 25 Nalezn te vlastn hodnoty energie kvantov stice pohybuj c se v jednorozm rn konstantn "nekone n hlubok potenci lov j m ", tj. v potenci lu V (x) =0pro jxj <aa V (x) =1 pro jxj >a. N vod: P edpokl dejte, e vlnov funkce jsou v ude spojit a nulov pro jxj a. Cvi en 26 Nalezn te vlastn hodnoty energie kvantov stice pohybuj c se v jednorozm rn konstantn potenci lov j m tj. v potenci lu V (x) = ;V 0 pro jxj <aa V (x) =0pro jxj >a. N vod: P edpokl dejte, e vlnov funkce jsou spojit a maj spojit derivace pro x 2 R. 3.2.1 Matematick vsuvka 2: Oper tory v Hilbertov prostoru Teorie oper tor v Hilbertov prostoru je t ma samoz ejm velmi irok a nelze sem vm stnat obsah mnoha knih, kter o n m byly naps ny. Shrneme zde pouze nejd le it j fakta, kter budeme pot ebovat. Pod line rn m oper torem v Hilbertov prostoru H budeme rozum t line rn zobrazen ^T : DT! H, kde deni n obor D T je line rn podprostor H. Je-li 23

Hilbert v prostor kone n rozm rn pak teorie line rn ch zobrazen je relativn jednoduch a redukuje se na teorii matic. V kvantov teorii se v ak vyskytuj p edev m nekone n rozm rn prostory, co p in mnoho technick ch probl m. N kter z nich lze e it, pokud budeme pou vat pouze hust denovan oper tory, tj. takov pro kter D T = H, kde pruh zna uz v r mno inyvesmyslu topologie denovan metrikou H plynouc ze skal rn ho sou inu. T dou oper tor, kter m mnoho podobn ch vlastnost jako oper tory na kone n rozm rn m prostoru, jsou omezen oper tory. Denice 3.2.10 Line rn oper tor ^B : DB c>0 tak, e pro v echna g 2 D B plat! H je omezen, pokud existuje jj ^Bgjj cjjgjj Normou q jjgjj samoz ejm rozum me normu indukovanou skal rn m sou inem jjgjj := (g g). Omezen hust denovan oper tory lze spojit roz it na cel H. P klad: Fourier v-plancherel v oper tor 1 1 Z ~g(~p) ( ^Fg)(~p) := e ;i~p~x g(~x)dx 3 (2) 3=2 R 3 je omezen oper tor na L 2 (R 3 dx 3 ). Nav c je bijekc. Denice 3.2.11 Nech ^B je omezen oper tor na H. sdru en m k ^B, pokud pro v echna f g 2H Oper tor ^By nazveme (f ^Bg) =(^By f g) Z Rieszova lemmatu je snadn uk zat, e k dan mu omezen mu oper toru existuje pr v jeden sdru en oper tor a plat Omezen oper tory na H tvo komplexn algebru a plat ( ^By ) y = ^B (56) (a ^B + ^C) y = a ^By + ^Cy ( ^B ^C) y = ^Cy ^By : (57) Cvi en 27 Nech M jk jsou prvky matice odpov daj c line rn mu oper toru ^M na kone n rozm rn m prostoru. Jak matice odpov d oper toru ^M y? Denice 3.2.12 Oper tor ^B na H naz v me hermitovsk, pokud je omezen a plat ^By = ^B. 1 Tato denice vyhovuje pouze pro g 2L 2 (R 3 dx 3 )\L 1 (R 3 dx 3 ). Pro ostatn funkce je t eba jej spojit dodenovat [1] 24

P klad: Oper tor ^Q na prostoru L2 (a b), kde b ; a<1, denovan ( ^Qf)(x) :=xf(x) je hermitovsk. (Pro nekone n interval ^Q nen omezen.) Tvrzen 3.4 Oper tor ^E je ortogon ln projektor (na Ran ^E) pr v tehdy, kdy je hermitovsk a spl uje ^E 2 = ^E. Roz en hermitovsk ch oper tor na mno inu neomezen ch, ale hust denovan ch oper tor p edstavuj samosdru en oper tory. Jejich denicevych z z n sleduj c ho faktu: Tvrzen 3.5 Je-li ^T hust denovan oper tor na H, pak pro ka d f 2 H existuje nejv e jedno h 2Htakov, e pro v echna g 2 D T plat Odtud plyne, e m smysl zav st n sleduj c pojmy: (f ^Tg)=(h g) (58) Denice 3.2.13 Nech ^T je hust denovan oper tor. Deni n obor oper toru ^T y sdru en ho k ^T je mno ina v ech f 2 H, pro kter existuje h spl uj c (58), p i em ^T y f := h Denice 3.2.14 Oper tor ^T je samosdru en, pokud je hust denovan a ^T = ^T y. Je d le it odli ovat samosdru en oper tory od symetrick ch. Denice 3.2.15 Oper tor ^S je symetrick, pokud je hust denovan a pro v echna f g 2 D S plat (f ^Sg)=(^Sf g), tj. D S D S y. Je z ejm, e ka d hermitovsk oper tor je samosdru en opak neplat. P klad: Oper tor ^Q ( ^Q )(x) := x (x) s deni n m oborem DX := f 2 L 2 (R dx): R R x2 j (x)j 2 dx < 1g je samosdru en. Dopln me-li denici (55) oper toru ^P j vhodn m vymezen m deni n ho oboru, pak i oper tory slo ek hybnosti jsou samosdru en (viz [1], 7.2.7). Hust denovan oper tory netvo algebru, nebo D T 6= H. Vztahy (57) mus b t proto pro neomezen oper tory n le it modikov ny, stejn jako i (56). D le it pojem, kter jsme ji zm nili, je spektrum oper toru, co je roz en pojmu vlastn ch hodnot matice. Denice 3.2.16 Spektrum ( ^T ) oper toru ^T je mno ina komplexn ch sel pro kter oper tor ( ^T ; ^1) nen bijekc D T!H. 25

V imn me si p edev m, e do spektra oper toru spadaj v echna vlastn sla, nebo existuje-li nenulov vektor takov, e ^T =, pak oper tor ^T ; ^1 nen injektivn. Mno inu p ( ^T ) vlastn ch sel oper toru ^T naz v me bodov m spektrem. Mimo t chto bod v ak do spektra pat i komplexn sla pro kter oper tor ^T ; nen surjektivn. Ty tvo body tzv. spojit i rezidu ln sti spektra. D vod, pro v kvantov teorii po adujeme, aby pozorovateln m byly p i azeny samosdru en oper tory tkv v tom, e plat Tvrzen 3.6 Spektrum samosdru en ho oper toru je podmno inou R. To odpov d tomu, e m eme nam it jen re ln hodnoty pozorovateln ch. Spektrum ( ist spojit ) ka d ho z oper tor (54,55) je R (viz [1]), co odpov d experiment ln mu faktu, e ani pro kvantovou stici nebyla zji t na dn omezen na mno inu hodnot sou adnic ahybnost. Na druh stran jsou pro hodnoty energie harmonick ho oscil toru podle Planckovy hypot zy omezen podstatn, a je proto velmi d le it zjistit, jak vypad spektrum energie kvantov stice v silov m poli harmonick ho oscil toru. 3.2.2 Energie harmonick ho oscil toru Uk eme, e p i azen (54,55) a princip korespondence vysv tluj Planck v p edpoklad o diskr tnosti spektra energie harmonick ho oscil toru, co byl vedle v po tu spektra vod ku (viz 3.4.5 ) jeden z hlavn ch argument pro spr vnost takto budovan teorie. Oper tor energie { hamiltoni n kvantov stice pohybuj c se v silov m poli harmonick ho oscil toru je podle principu korespondence ^H = ; h2 2M 4 + M 2!2 ~x 2 : (59) Uk eme, e omez me-li deni n obor tohoto oper toru na kvadraticky integrovateln funkce, pak mno ina vlastn ch hodnot, tj. sel pro kter existuje funkce (~x) spl uj c ^H = (60) je diskr tn a odpov d Planckov hypot ze. Oper tor (59) je sou tem t oper tor ^H = ^H1 + ^H2 + ^H3 H j = ; h2 2M d 2 dx 2 j + M 2!2 x j 2 am eme se pokusit hledat vlastn funkce oper toru (59) ve faktorizovan m tvaru (~x) = (x 1 ) (x 2 ) (x 3 ): (61) 26

Rovnice (60) pak p ejde na tvar ( ^H1 1 ) 2 3 + 1 ( ^H2 2 ) 3 + 1 2 ( ^H3 3 )= 1 2 3 : (62) Nalezneme-li vlastn sla j (form ln stejn ch) oper tor ^Hj ^H j j = j j pak z sk me i vlastn sla oper toru (59) = 1 + 2 + 3 : (63) Pozd ji uk eme, e t mto postupem jsme z skali v echna vlastn sla. Zkoumejme tedy nap ed jednorozm rn p pad, tedy oper tor ^H = ; h2 d 2 + M 2M dx 2 2!2 x 2 : (64) Tento oper tor lze pova ovat za oper tor energie jednorozm rn ho harmonick ho oscil toru tj. kvantov stice pohybuj c se pouze v jednom rozm ru (na p mce). Tvrzen 3.7 Mno ina vlastn ch sel oper toru (64) p sob c ho v prostoru kvadraticky integrovateln ch funkc jedn prom nn je tvo ena re ln mi sly h!(n + 1 2 ), kde n 2 Z +. Pro ka d n existuje a na multiplikativn konstantu pr v jedna vlastn funkce kde = q M!=hx a H n jsou Hermitovy polynomy H n (z) := n(x) =A n e ;2 =2 H n () (65) X [n=2] k=0 kde [r] je cel st re ln ho sla r. (;) k (2z) n;2k n! k!(n ; 2k)! (66) D kaz: Nap ed je t eba nal zt sla, pro kter existuj kvadraticky integrabiln e en : R! C diferenci ln rovnice ; h2 d 2 2M dx + M 2 2!2 x 2 = : (67) Tato rovnice je line rn ODR 2. du a v oboru spojit diferencovateln ch funkc m e en pro ka d. Uk eme, e podm nkakvadratick integrability je spln na jen pro =h!(n + 1 ): (68) 2 27

P echodem k nov (bezrozm rn ) prom nn = q M!=hx (x) =() dostaneme rovnici ve tvaru " ; 2 + =0 (69) kde =2=(h!). Z teorie e en line rn ch diferenci ln chrovnic plyne, e jedin bod,ve kter m mohou m t e en rovnice (69) singularitu, je nekone no. Snadno se lze p esv d it, e pro!1se e en t to rovnice chov jako () =e 2 =2 : (70) Je z ejm, e kvadraticky integrabiln e en m e odpov dat pouze rychle ub vaj c funkci, tedy z porn mu znam nku v exponent (70). Zvol me tedy ansatz a budeme se zaj mat o e en rovnice () =e ;2 =2 u() (71) u" =2u 0 +(1; )u (72) kter v nekone nu rostou pomaleji ne e +2 =2. Roz me-li rovnici (72) do komplexn roviny, pak jej prav strana je holomorfn funkc u a u 0 a jej e en je holomorfn funkc vcel komplexn rovin. M eme je tedy hledat ve tvaru ady u() = s 1 X m=0 a m m a 0 6=0 s 2 Z + (73) Jej m dosazen m do (72) a porovn n m len se stejnou mocninou, dostaneme podm nky pro s a a n s(s ; 1) = 0 s(s +1)a 1 =0 a m+2 = 2(m + s)+1; (m + s +2)(m + s +1) a m (74) Pokud itatel na prav stran (74) je nenulov pro v echna m, pak se ada (73) pro!1chov jako exp( 2 ) a e en rovnice (69) nen kvadraticky integrovateln. To lze usoudit nap. z porovn n rekurentn formule (74) pro dosti velk m se stejn m vztahem pro koecienty ady exp( 2 ). Kvadraticky integrovateln e en mohou existovat pouze tehdy, pokud ada (73) je kone n, tj. existuje N takov, e a m = 0 pro m>n. To nastane tehdy ajentehdy, kdy a 1 =0 2(N + s)+1; =0 N sud nez porn : (75) V tom p pad se nekone n ada stane polynomem stupn n = N + s a funkce (71) je kvadraticky integrovateln. 28