TEORIE SPOLEHLIVOSTI METODY A APLIKACE Zdek Kapíšek Odo sochasckých a opalzaích eod, Úsav aeaky Fakula sojího žeýsví, Vysoké ueí echcké v B Techcká, 66 69 Bo e-al: kapsek@fe.vu.cz, hp://www.a.fe.vu.cz/ Asak: Pehledový efeá je oeová a základí eody sochasckého odelováí, aalýzu a výpoy spolehlvos sledovaých ojek. Jsou popsáy ejasj používaé fukí a íselé chaakesky spolehlvos, ozdleí pavdpodoos po spolehlvos, keé eody ueí spolehlvos syséu poocí eoe gaf, základí odel oovy, ypy zkušeích plá a sascké eody po vyhodoceí povozí spolehlvos. Výpoy jsou ealzováy poocí pofesoálího a ov vyvoeého sofwae po spolehlvos.. Nkeé oecé pojy Oecé pojy a ázvosloví ve spolehlvos jsou v souasé do dáy pedevší oa SN IEC, pípad dosud ješ eahazeý oa SN []. V aplkacích jsou yo pojy odfkováy aeacko-sasckou eologí a kovece v olasech uží spolehlvosích eod. Z ozsáhlého spolehlvosího ázvosloví pezeujee pouze základí pojy, keé se ejasj používají. Ojek je ás zaízeí, sysé, fukí jedoka, písoj eo sysé, se keý je ožo se dvduál zaýva. Ojeky se dlí a opavovaé a eopavovaé. Opavovaý ojek se po pouše opavuje. Neopavovaý ojek se po pouše eopavuje a že ý opavelý eo eopavelý. Spolehlvos je souhý eí používaý po pops pohoovos a el, keé j ovlvují: ezpouchovos, udžovaelos a zajšos údžy. Spolehlvos se používá pouze po oecý ekvaaví pops. Pohoovos je schopos ojeku ý ve savu schopé pl požadovaou fukc v daých podíkách, v daé asové evalu za pedpokladu zajší požadovaých vjších posedk. Tao schopos závsí a koac hledsek ezpouchovos, udžovaelos a zajšos údžy. Poucha je jev, pedsavující ukoeí schopos ojeku pl požadovaou fukc. Pouchy se dle povahy a pí dále specfkují. Oova ojeku je u opava po pouše (opeaví ahodlá údža) aeo pláovaá oova (pláovaá peveví údža). Doa opavy je ás doy údžy po pouše, he íž se a ojeku povádjí opaváeské opeace. Doa opavy se ovykle eshoduje s doou dsledk pouchy. Doa do pví pouchy je celková doa povozu ojeku od okažku pvího uvedeí do použelého savu až do pouchy. Doa ez poucha je doa váí ez dva po so ásledující poucha opavovaého ojeku.. Sochascký odel spolehlvos Sochascký odel spolehlvos ojeku spoívá v pedpokladu [,,3,4], že doa ezpouchového povozu je spojá áhodá vela (poá) T, keá aývá hodo,. Tao áhodá vela je pl popsáa fukí chaakeska: dsuí fukcí, husoou pavdpodoos, fukcí spolehlvos a ezou pouch.
Dsuí fukce áhodé vely T je fukce F () PT ( ), defovaá po všecha,. Vyjaduje pavdpodoos oho, že doa ezpouchového povozu ojeku je eší ež, akže F () po všecha,. Husoa pavdpodoos áhodé vely T je aková ezápoá fukce f(), že po všecha,. f ( )d F ( ) Fukce spolehlvos áhodé vely T je fukce R() F() P( T ) po všecha,. Vyjaduje spolehlvos ojeku, edy pavdpodoos, že doa ezpouchového povozu ojeku je aspo. Ieza áhodé vely T je fukce f () (), R() azývaá aké eza pouch. Vyjaduje elaví zu spolehlvos ojeku, pež výaz ()d pedsavuje fesálí podíou pavdpodoos oho, že poucha ojeku asae v evalu ; d vzhlede k ou, že doa ezpouchového povozu ojeku ude aspo. Ieza pouch 4 3 lada 3 4 5 6 O.. Na o.. je ypcký gaf ezy ( ), zv. vaová kvka, eálého eopavovaého ojeku, keá á úseky. Pví klesající úsek odpovídá zv. odoí poáeího povozu, duhý zhua kosaí úsek je odoí oálího povozu a eí osoucí úsek vyjaduje odoí doží ojeku. Vyšší elaví pouchovos ojeku v pví úseku je ovykle zpsoea poucha zavý kosukcí a výoou, a ojek y l ý ve
zkušeí povozu ("zahoováí"). Rosoucí elaví pouchovos ojeku ve eí úseku povšou odpovídá pouchá zpsoeý úavou aeálu, sáuí apod. Z lovolé fukí chaakesky spolehlvos žee u osaí, eo ez plaí vzahy uvedeé v aulce.. Taulka. Fukí chaakesky f() F() R() () f() = d F ( ) d d R( ) d ()exp ( )d F() f ( )d = R() exp ( )d R() f ( )d F() = exp ( )d () f() f ( )d d F ( ) d F ( ) d R( ) d R() = Nkdy se ješ používá další fukí chaakeska, zv. kuulovaá eza pouch () ( )d. Koceovaé foace o spolehlvos ojeku poskyují íselé chaakesky áhodé vely T [5,6]. Jsou o zejéa: sedí hodoa, ozpyl, sodaá odchylka, vaaí koefce a kvaly doy do pouchy (doy ezpouchového savu) ojeku. Sedí hodoa áhodé vely T ET ( ) f( )d R ( )d je sedí doa ezpouchového savu ojeku. Rozpyl áhodé vely T ( ) [ ( )] [ ( )] ( )d ( )d [ ( )], DT E T ET ET f RT ET sodaá odchylka ( T) D( T ) a vaaí koefce ( T ) VT ( ), ET ( ) keý se aké uvádí ve vau V(T) %. 3
P kval (P % kval) P áhodé vely T je dá ovcí F (, kde P ) P P (; ). Kval,5 se azývá edá áhodé vely T. Kvalu P se aké íká P ezí hodoa (P % - ezí hodoa) doy ezpouchového povozu ojeku. P sledováí velkého souou sejých ojek za sejých podíek povozu lze oekáva, že cca P % cho ojek ude í pouchu do doy P. Kval, keý lze aké získa z ovce R ( ), je zaueá doa ezpouchového povozu ( % zaueá doa ezpouchového povozu) ojeku [3]. P sledováí všího souou sejých ojek za sejých podíek jejch povozu lze oekáva, že cca % cho ojek ude í pouchu až po do. Dle poey se používají další íselé chaakesky áhodé vely T, ap. koefce asyee 3 E[ T E( T)] 3( T ) 3 ( T ) a koefce excesu 4 E[ T E( T)] 4( T ) 3. 4 ( T ) 3. Rozdleí pavdpodoos Po odelováí doy ezpouchového povozu a aké doy oovy ojeku (vz odsavec 6) se ejasj používají ásledující ozdleí pavdpodoos [3,5,6]., :, F () exp-, R() exp- Expoecálí ozdleí E(), >, f () exp -, () =, l( P) ET ( ) ( T), DT ( ), P. Nkdy se oo ozdleí uvádí s paaee = /, kde >. Expoecálí ozdleí je klad asyecké a doe popsuje spolehlvos ojek, u chž dochází k pouše ze zcela áhodých (vjších) pí a kolv záko v dsledku jejch opoeeí. ap. u elekockých pvk. Jde o ozdleí "ez pa", eo po áhodou velu T s ío ozdleí je PT ( at a) PT ( ) po lovolé kladé eálé a. Dle poey se aké používá dvoupaaecké expoecálí ozdleí E(, c), keé dosaee posuuí ozdleí E() o s zv. pahovou hodoou c, akže E() E(, ). Jde o odel spolehlvos ojeku, jehož os zaala v do c. Expoecálí ozdleí je specálí pípade ásledujícího ozdleí. Típaaecké Weullovo ozdleí W(, c, ), >, c eálé, >, c c c f() exp, F () exp, c c R () exp, (), c, : 4
.5 f ( ) ( ) f f.7 ( ).5 (a) husoa 3 4 F ( ).75 ( ) F F.7 ( ).5.5 () dsuí fukce 3 4 R ( ).75 ( ) R R.7 ( ).5.5 (c) fukce spolehlvos 3 4 4 ( ) ( ).7 ( ) 3 (d) eza pouch 3 4 O. 3. 5
ET ( ) c, DT ( ), 3 3 3 3( T ), 3 l( ) P c P, kde je paae vau, c je paae polohy (pahový paae), je paae íka a ( z) z y exp( y)d je zv. gaa fukce. Nkdy se uvádí Weullovo ozdleí s jý paaee íka a. Po je () klesající fukce a ozdleí doe vyshuje dou do pouchy ojeku, u hož se vyskyují skyé vady a v phu asu é esáe. Po = je eza kosaí, koké () = /, a jde o ozdleí expoecálí. Po je () osoucí fukcí a ozdleí doe vyshuje dou do pouchy sáoucího ojeku. Po 3,6 je Weullovo ozdleí lízké oálíu ozdleí. V pax se ejasj užívá dvoupaaecké Weullovo ozdleí W(, ) W(,, ), edy po pahovou hodou c =. Na o. 3. jsou gafy fukích chaakesk dvoupaaeckého ozdleí W(, ) X s paaey = ; ;,7 a =. Náhodá vela T á ozdleí W(, ), jeslže X á expoecálí ozdleí E(/). Mez výzaé vlasos Weullova ozdleí W(, c, ) paí skueos, že áhodá vela T ( T,..., T ), kde T,..., T jsou vzáje ezávslé áhodé vely se sejý ozdleí W(, c, ), á Weullovo / ozdleí W(, c, ). Logacko-oálí ozdleí LN(, ), eálé, >, (, ): (l ) l f() exp, F (), l R (), ET ( ) exp, DT ( ) exp exp( ), exp P u P, kde (u) je dsuí fukce a u P je P-kval oovaého oálího ozdleí N(;). Rozdleí LN(, ) je klad asyecké a azývá se aké logoálí. Náhodá vela T exp( X ) á ozdleí LN(, ), jeslže X á oálí ozdleí N(, ). Po Gaa ozdleí (, ), >, >, (, ): f() exp ( ), F ( ) (, / ), R ( ) (, / ), ET ( ), DT ( ). y 6
x z (, ) exp( )d ( z) zx y y y je zv. eúplá gaa fukce. Rozdleí (, ) je klad asyecké a po = jde o expoecálí ozdleí E(/). Jeslže T,..., T jsou vzáje ezávslé áhodé vely s ozdleí (, ),, (, ), pak áhodá vela T a T á po a > ozdleí j, a. Specál po vzáje ezávslé áhodé vely T,..., T s expoecálí j ozdleí E(/) á áhodá vela Elagovo ozdleí. Rayleghovo ozdleí Ra ( ),,, : f exp, F exp j j T T ozdleí (, ), azývaé aké j j, R exp 4 ET ( ), DT ( ), P l P. Rozdleí Ra ( ) je klad asyecké a užívá se aké v odelováí zv. adálí chyy. Maxwellovo ozdleí Ma ( ),, : 8 3 8 f exp 3, ET ( ), DT ( ). Rozdleí Ma ( ) je klad asyecké a alezee je v odelováí ychlos olekul. Dále se používají ozdleí exéálí, usekué oálí ozdleí. Nkdy aké žee aplkova ss ozdleí (kovexí koace, supepozce) huso pavdpodoos eo ez ozdleí. Nap. po ss dvou huso expoecálího ozdleí je c exp c exp cexp c exp f ( ) c exp c exp, F () cexp cexp, R() cexp c exp, c c, kde c, c a c + c =. ET ( ) 4. Spolehlvos sysé (), Souo jakých ojek sloužících k vykoáváí uých požadovaých osí zpavdla ozaujee ázve sysé (sousava). Složé syséy se z hledska sledovaé os p aalýze ovykle ozkládají a jedodušší fukí celky (susyséy), popípad až a dále edlelé ás, keé azýváe pvky syséu. Sukuu syséu p jeho ozkladu a pvky popsujee ejasj poocí zv. lokového schéau. Blokové schéa vyjaduje logckou sukuu syséu a spolehlvos 7
syséu poíáe poocí spolehlvosí jedolvých pvk. Pedpokládáe po zv. dvousavový odel, kdy sysé (pvek) je u v ezpouchové savu (logcká hodoa ) aeo v pouchové savu (logcká hodoa ). Po jedoduchos zoožíe ozaeí syséu s logckou poou S, keá vyjaduje jeho sav a jedolvé pvky aalogcky ozaíe A,, A. Sukuu syséu lze aké vyjád poocí oeovaého gafu, kdy oeovaé hay gafu odpovídají pvk syséu a uzly gafu vyjadují spojeí pvk. Jeslže sav pvku Ak eovlvuje sav pvku Al a aopak k l, pak íkáe, že pvky Ak, Al jsou ezávslé. V pípad, že sav lovolé ožy pvk eovlvuje sav lovolé jé ožy pvk éhož syséu a o ožy jsou dsjukí, pak íkáe, že pvky syséu jsou vzáje ezávslé. Sav pvku (syséu) je oec závslý a ase, akže jeho sav je fukce A () aývající hodo a, kde, a A(). Pedpokládáe, že sav A () že pejí pouze z hodoy do hodoy (kol aopak), akže jde o pvek (sysé) ez oovy. Dále pedpokládáe, že doa ezpouchového savu (doa do pouchy) je ezápoá áhodá vela T, akže jeho fukce spolehlvos (spolehlvos) je R PT P A. Nejasjší spojeí pvk A,,,, v lokové schéau je spojeí séové, kdy AS A A a paalelí, kdy A P A A. Po zaí logckou kojukc a logckou dsjukc a o logcký opeací odpovídají opeace pku a sjedoceí s áhodý jevy. Bezpouchový sav séového syséu asae pouze p ezpouchové savu všech jeho pvk, aopak ezpouchový sav paalelího syséu asae p ezpouchové savu alespo jedoho jeho pvku. Další aso užívaý ype je koovaé spojeí, keé je vyvoeo opakovaý paalelí eo séový zapojeí paalelích a séových sousav. Blíže o spojeí pvk je v [,,4]. Blokové schéa séového syséu S je: R () R () R () Jeslže RS zaí spolehlvos séového syséu a A jsou vzáje ezávslé pvky se spolehlvos R po,,, pak po ; je RS R R FS F axf, S ax. To zaeá, že spolehlvos séového syséu je ejvýše ova spolehlvos jeho "ejhošího" pvku a ap. po vzáje ezávslé pvky s expoecálí ozdleí E( ) doy ezpouchového povozu á séový sysé op expoecálí ozdleí éo doy E( ). Vlv pou pvk a spolehlvos séového syséu (se sej spolehlvý pvky) je zázo a o. 4.., 8
O. 4. Blokové schéa paalelího syséu P je: R () R () R () Jeslže RP zaí spolehlvos paalelího syséu a A jsou vzáje ezávslé pvky se spolehlvos R po,,, pak po ; je P axr R R P. F F F To zaeá, že spolehlvos paalelího syséu je vší eo ova spolehlvos jeho "ejlepšího" pvku. Vlv pou pvk a spolehlvos paalelího syséu (se sej spolehlvý pvky) je zázo a o. 4.., 9
O. 4. Jeslže RK ( ) zaí spolehlvos jakého koovaého syséu A K z daých vzáje ezávslých pvk A, pak po ; plaí, že RS() RK() RP(). Spolehlvos koovaého syséu K lze u v jedodušších pípadech pío poocí vlasosí pavdpodoos ezávslých áhodých jev. Nap. spolehlvos koovaého syséu A A A A3 A4 z o. 4.3 posupou aplkací výše uvedeých vzoc po RS () a RP ( ) dosaee RK () R() R() R3() R4 (). R R R 3 R4 O. 4.3 Ve složjších pípadech se po vyjádeí kofguace a výpoe spolehlvos syséu používají specálí eody z eoe gaf eo aeacké logky [,,4]: eoda sezau, eoda ozkladu, eoda ces a ez, syséová fukce, so pouch aj. Základe eody sezau je sesaveí sezau všech ožých logckých událosí v syséu. Jde vlas o seza všech vaací -é ídy s opakováí z hodo a. Získáe ak dsjukích áhodých jev, jž odpovídá u ezpouchový sav syséu (logcká hodoa ) aeo sav pouchový (logcká hodoa ). Spolehlvos syséu je poo ova souu pavdpodoosí uvedeých dsjukích áhodých jev odpovídajících vše ožý ezpouchový sav syséu. Meodou sezau uíe spolehlvos
koovaého syséu a o. 4.3. Seza po eo sysé složeý ze 4 pvk sesává ze 6 vaací s opakováí. Výsledý sav syséu se uuje podle lokového schéau, kde se pvky s pouchou (logcká hodoa ) vyechají. Jeslže zsae alespo jedo epeušeé spojeí ez vsupe a výsupe, je sysé v ezpouchové savu. Seza s výsledý save syséu A je aulce 4.. Taulka 4. A A A 3 A 4 A Spolehlvos syséu (po jedoduchos epíšee poou ) pak je R RRRR R R RR RR R R 3 4 3 4 3 4 RRR R R R R R 3 4 3 4 R RR R. 3 4 Meoda ces vychází z gafu syséu. Teo gaf á ejé olk ha, kolk á sousava pvk, ale že jch í více, jeslže se haa odpovídající jedou pvku opakuje ve více spojeích vsupu s výsupe [,,]. Sled v oeovaé gafu je posloupos ha, ke keé lze ají akovou posloupos uzl, že po každou hau je odpovídající uzel uzle vsupí a ásledující uzel uzle výsupí, a ao posloupos vede od vsupího uzlu sledu k výsupíu uzlu sledu. Jeslže jsou v oo sledu všechy uzly zé, poo jsou aké všechy hay zé a sled se azývá cesa. Cesa edy pochází každý uzle gafu ejvýše jedou. Po spolehlvos syséu uvažujee pouze cesy ze vsupího do výsupího uzlu celého gafu. Spolehlvos syséu je poo ova pavdpodoos oho, že alespo jeda cesa sesává pouze z ha, keé odpovídají pvk ez pouchy. Sysé z o. 4.3 osahuje dv cesy C a C, po jejchž ezpouchové savy plaí, že C A A A3, C A A4. Poo spolehlvos syséu je (po jedoduchos epíšee poou ) R P C C P C P C P C C R RR RR RRRR 3 4 3 4 R RR 3 R4. Jeslže koovaý spolehlvosí sysé s pvky á epázdý posý acyklcký oeovaý gaf s zv. ací sousedos gafu A akl kl, C E A -, žee u všechy cesy ásledující zpsoe [9]. Pvek c kl ace E, kde E je jedoková ace, vyjaduje všechy cesy z uzlu k do uzlu l v daé gafu, když ahadíe aeckou opeac seíáí + logcký seíáí a aecké ásoeí logcký ásoeí v ezcích ckl z pvk a uv, uv,,...,. Navíc po k l je ckl Dlk, kde D lk je algeacký doplk pvku d ace D E A. V ac A po kladee a, pav když z uzlu lk k do uzlu l evede haa, jak a kl A. Jde vlas o posé zoazeí ožy pvk A kl
a kl syséu S a ožu ha. V pípad, že daý gaf eí posý (osahuje víceásoé hay), lze jej pevés a hoeoofí posý gaf ap. vhodý pleí ha [8]. To uožuje výpoe všech ces ze vsupího uzlu k do výsupího uzlu l gafu po sysé S poocí D kl po lovolou kokéí vaac sav pvk ze sezau a ásled pak zjší savu syséu. Jeslže S ozauje pío sav syséu a za A dosadíe sav daého pvku, pak sav syséu je S sg c sg D, kde v algeacké doplku D kladee auv, esp., jeslže sav odpovídajícího pvku je podle sezau A, esp.. Hodoa c lk ož vyjaduje po daé savy A poe epeušeých ces a hodoa clk, páv když žádá cesa z uzlu k do uzlu l po daé savy A evede. Sysé z výše uvedeého píkladu (o. 4.3) á posý acyklcký oeovaý gaf (o. 4.4) 3 a3 a34 a 4 a 4 O. 4.4 a a3 a a jeho ace sousedos je A 4. Všechy cesy ze vsupího uzlu do a 34 výsupího uzlu 4 pak jsou a 4 c4 D4 a3 a4 aa3a34 aa4. a34 Z eody sezau, eody ces a vlasosí gaf [8] vychází JK-algous po výpoe spolehlvos koovaého syséu o ezávslých pvcích s posý acyklcký oeovaý gafe. Teo algous po pleeac a PC á koky:. Vygeeujee seza všech ožých sav pvk daého syséu ve fo ace s poe ádk, keé voí všechy vaace A,, A -é ídy z dvoupvkové ožy {;} s opakováí (jde vlas o dvojková ísla od do ).. Po každou vaac vypoee poocí algeackého doplku D lk sav syséu Sj sg c sg D, j,...,, pež za pvky akl ace sousedos dosadíe logckou hodou savu odpovídajícího pvku syséu z ace z koku. 3. Spolehlvos syséu R( ) v ase uíe poocí spolehlvosí jedolvých pvk R (),,...,, ze vzahu A A R S j R( ) R( ) j.
Píé výpoy sedí hodoy a ozpylu doy ezpouchového povozu syséu ývají oížé po evelká ožsví pvk, keé avíc ohou í zá ozdleí pavdpodoos. Po výpoe fukích a íselých chaakesk se osvdly ásledující eadí uecké posupy. (a) Nuecký ešeí ovce F ( P ) P uíe P-kvaly výsledého P j ozdleí pavdpodoos syséu ak, že položíe P, kde j,,...,. V pípad, že ovce F ( P ) P euuje kval P jedoza, položíe ap. P ; F( ) P. Poe dlících od (kval P ) po dleí evalu ; volíe ak, ay yla spla podíka Pax, kde P ax je vhodá velká pavdpodoos (ap.,9999), akže. Tí získáe + kvaovaých Pax hodo spolehlvos syséu R( P ) F( P ) s dfeecí plž / a evlasí egál po výpoe íselé chaakesky pak apoxujee ap. poocí Spsoovy složeé egálí foule s eekvdsaí uzlový ody / ( ) / P ax a evalu ; Pax. Jde vlas o ueckou podou Leesgueova egálu - vz o. 4.5. F P P O. 4.5 () Jeslže je píý výpoe spolehlvos syséu R() oížý, žee j u podoý zpsoe jako v (a). Míso kvalu P po celý sysé uíe ejpve veko j kval P,..., P, kde P je P-kval -ého pvku daého syséu, =,, a P, j,,...,, esp. Pax. Pak po séový sysé je P P,..., P, po paalelí sysé je P ax P,..., P, a po koovaé syséy fukce a ax skládáe []. Tío zpsoe op získáe + kvaovaých hodo spolehlvos syséu s dfeecí plž /. Z ch poo aalogcky jako v (a) uíe ueckou egací sedí hodou a ozpyl doy ezpouchového povozu syséu. (c) Nuecky je aké ožo vypoía dskéí hodoy husoy pavdpodoos f (), ap. poocí foule duhého ádu F ( P) F ( P) f( P ), P = /,, ( )/, P P 3
kde = / a F ( P ) R ( P ), pež v kocových odech po P a P Pax použjee foule pvího ádu. Podo uecky vypoee dskéí hodoy ezy pouch sousavy poocí foule duhého ádu l R ( P) l R ( P) ( P ), P = /,, ( )/, P P kde ovž = / a v kocových odech po P a P Pax op použjee foule dlr() pvího ádu. Vycházíe po z oho, že (), a odud odvozeé uecké d f () foule dávají lepší výsledky ež ovykle používaé vzoce získaé ze vzahu (). R() Vypoeé dskéí hodoy fukích chaakesk spolehlvos je pak ožo vhodý zpsoe dále apoxova, ap. poocí splaj. Spolehlvos syséu žee aké sascky odhadou sulací eodou Moe Calo, kdy íso vypoeých kval jedolvých pvk syséu geeujee jejch hodoy P poocí geeáo ozdleí pavdpodoos jedolvých pvk a R() uíe op poocí fukcí, ax a jejch koací. Ovykle po asfoujee hodoy získaé geeáoe ovo ozdleých áhodých ísel x ; ) poocí kvalové fukce F x po -ý pvek. Výsledky poo zpacováváe sascky podo jako u údaj o povozí spolehlvos (vz odsavec 7). 5. Opavelos a pohoovos Opavelos je dílí spolehlvosí vlasos ojeku, vzahující se k jeho opavá po pouchách. P její vyhodocováí vycházíe z doy váí pouchy, esp. doy opavy. Doa pouchy ývá zpavdla vší (defkace pouchy, pípava opavy, vlasí opava, koola povedeí opavy, zahájeí povozu). Pedpokládeje základí povozí poces ojeku, sesávající z do povozu a do pouch zaízeí. Jde po o asovou posloupos sídajících se do povozu a do opav po pouše. Hovoíe o zv. pocesu oovy (zahuje ap. pláovaou údžu), kde doa opavy T * je áhodá vela s dsuí fukcí G () PT ( ), keá vyjaduje pavdpodoos oho, že doa opavy ude eší ež. Doa opavy á husou pavdpodoos d G ( ) g () d a ezu opav g () (). G ( ) Jde o aalog ezy pouch, pež výaz ()d vyjaduje fezálí podíou pavdpodoos oho, že opava ude ukoea v evalu ; d za podíky, že doa opavy ojeku ude aspo. Mez fukí chaakeska doy opavy plaí sejé vzahy jako ez chaakeska doy ezpouchového povozu. Pohoovos je dílí spolehlvosí vlasos oovovaého ojeku, vyjadující íu jeho ezpouchovos. Základí odel pohoovos [4] vychází z pedpokladu, že celková doa povozu ojeku do -é pouchy je áhodá vela U T T T T T, 4
a že celková doa povozu ojeku do ukoeí -é oovy je áhodá vela V T T T T T T U T, kde doy ezpouchových povoz T ají sejou dsuí fukc F( ), ásledující doy opav T ají sejou dsuí fukc G( ), =,,, pež dsuí fukce F( ) a G ( ) jsou oec zé, a všechy áhodé vely T, T jsou vzáje ezávslé. Pohoovos K() je pavdpodoos, že ojek je v ase v ezpouchové povozu, edy K () PV ( U ), kde kladee V =. Po Laplaceovy oazy pohoovos a husoy do ezpouchového povozu a opav plaí [4] L f( ) L K ( ), s L f ()L g() kde s je koplexí poá Laplaceova oazu. Pohoovos je vzhlede k asu sacoáí a její asypocká hodoa je zv. koefce pohoovos ojeku ET ( ) kp K( ), ET ( ) ET ( ) keý se dle zvyklosí kdy aké uvádí v %. Nap. po expoecálí ozdleí doy ezpouchového povozu s paaee a expoecálí ozdleí doy opavy s paaee je koefce pohoovos k p. 6. Sofwae po výpoe spolehlvos syséu Po píý výpoe spolehlvos RK ( ) koovaého syséu ezávslých pvk ze zadaých ces eo ace sousedos a zadaých spolehlvosí R ( ) jedolvých pvk v lovolé ase yl pleeací JK-algou vyvu pvodí poga po PC []. Poga, keý yl vyvoe v pogaovací jazyce Bolad Delph 5 jako ásupce dívjšího pogau, povádí výpoe keých fukích a íselých chaakesk spolehlvos syséu poocí algou a posup z pedcházejícího oddílu. Vsupí údaj, keé zadává užvael, jsou poe pvk syséu, sukua syséu, keou popsuje užvael u poocí ace sousedos gafu syséu aeo poocí syséové fukce a fukce spolehlvos jedolvých pvk syséu R (), =,,...,, pop. as, ve keé chce u spolehlvos daého syséu. Sysé lze aké aís z exového souou. Výsupí údaj, edy vlas výsledky celého pogau, jsou ásledující fukí chaakesky doy do pouchy syséu ueé po, j. poocí od, keé jsou v gafu spojey loeou aou: fukce spolehlvos R(), dsuí fukce F(), husoa pavdpodoos f() a eza (). Pev daý poe od odpovídá výpou cel doy do pouchy syséu. Další výsupí údaj jsou yo íselé chaakesky syséu vypoíaé uží výše popsaých eadích ueckých posup: sedí hodoa E(T), ozpyl D(T), sodaá odchylka (T), vaaí koefce V(T) a spolehlvos syséu v pede zadaé ase. Výsledky ve syséu lze ulož do exového souou. Na o. 6. až 6.5 jsou ukázky jedolvých oke pogau. 5
O. 6. O. 6. O. 6.3 O. 6.4 6
O. 6.5 7. Sascké eody a aplkace P sledováí do ezpouchového povozu a do zých duh údžy eálých ojek uujee chaakesky jejch povozí spolehlvos sascký eoda. Jedá se o vyhodoceí sasckých souo do do pouch a do opav, a o s ohlede a vlv dalších fako: duhy pouch, duhy údžy, povozí a opaváeské podíky aj. Z hledska eodky získáváí sasckých údaj lze hovo o zkušeích pláech [] a specfckých posupech espekující požadavky užvaele daého ojeku a využívající jeho foaí syséy o povozí spolehlvos ohoo ojeku. Zkušeí plá (plá zkoušek) pedepsuje kokéí posup povedeí zkoušky spolehlvos. Jeho ozaeí je koace í píse v haaé závoce [,.,.], kde píseo a. ís zaí ozsah výu (poe zkoušeých ojek). Na. ís je jedo z píse: U, jeslže eoovovaé ojeky ejsou po pouše ahazováy (jde o vý ez vaceí), R, jeslže eoovovaé ojeky jsou po pouše ahazováy ový (jde o vý s vaceí), M, jeslže se ojeky po pouše oovují. Písea a 3. ís vyjadují zpso ukoeí zkoušky:, jeslže zkouška koí po uplyuí saoveé doy,, jeslže zkouška koí po saoveé pou pouch, s, jeslže zkouška koí podle pavdel zv. eody posupé zkoušky, (, ), jeslže zkouška koí po pouchách eo po do. Nap. [, U, ], edy =, je zkušeí plá, kdy pozoujee eoovovaých ojek až do pouchy posledího ojeku. Podle zkušeího pláu [, U, ] sledujee eoovovaých ojek do oezeého pou pouch a podo podle zkušeího pláu [, U, ] sledujee eoovovaých ojek po oezeou dou. 7
Zkušeí pláy [, U, ] a [, U, ] se aso koují a základ skupové safkace. V cho pípadech jde o zv. cezoovaé áhodé výy a jejch koace, keé vyžadují p zpacováí specfcké sascké eody [3]. Jako píklad uvee odový odhad sedí doy ezpouchového povozu expoecálího ozdleí, kdy po zkušeí plá [, U, ] íso ovyklého aeckého pu je uo uží vzoec, kde je poe poouchaých (eoovovaých) ojek do doy ukoeí zkoušky. Po zkušeí plá [, U, ] v uvedeé vzoc kladee a. Odhady paae dvoupaaeckého Weullova ozdleí pavdpodoos Bodové odhady paae a ovykle uujee eodou axálí vohodos. Po zkušeí plá [, U, ] jde o ueí axa logau vohodosí fukce L, ;,..., exp, po zkušeí plá [, U, ] pak o ueí axa logau vohodosí fukce L, ;,...,, exp exp apod. Bodový odhad paaeu vau uíe dle ypu zkušeího pláu ešeí eleáí ovce z aulky 7., keá odpovídá axu vohodosí fukce. Po eaí eodu ešeí éo ovce se aso volí saovací hodoa poocí vaaího koefceu získaého sasckého souou do do pouchy []. Tuo saovací hodou je aké ožo u poocí sce egesí píky y x jedí ze dvou ásledujících posup. Ze vzahu po dsuí fukc Weullova ozdleí odžíe po opakovaé logaováí vzah, keý se používá ke gafckéu esováí Weullova ozdleí, l l F ( ) l l, kde po výpoe egesí píky kladee y l l F( ) l l, x l. Podo ze vzahu po ezu pouch Weullova ozdleí získáe po logaováí vzah, keý se aké používá ke gafckéu esováí Weullova ozdleí, l ( ) l l l, kde po výpoe egesí píky kladee y l ( ) l, x l. Po další výpoy pak volíe vzahy z aulek 7., 7.3 a 7.5. 8
Taulka 7. Zkušeí plá [, U, ] Rovce po odový odhad paaeu l l l l l [, U, ] l l l [, U, ] [, M, ] l l l [, M, ] l l Poocí odhadu paaeu vau vypoee po daý zkušeí plá odový odhad paaeu íka ze vzahu z aulky 7.. 9
Taulka 7. Zkušeí plá Bodový odhad paaeu [, U, ] [, U, ] [, U, ] [, M, ] [, M, ] Po výpoe evalových odhad ; D H, ; D H paae a se spolehlvosí vypoee ejpve ozpyly podle vzah z aulky 7.3, kde je D(.) a. Pozaeeje, že odhady z aulek 7. a 7. jsou koelovaé, akže po suláí evalový odhad vekou paae je uo espekova jejch kovaac.,
Taulka 7.3 Zkuše. D(.) plá [, U, ] [, U, ] [, U, ] [, M, ] [, M, ] D( a) D ( ) Da ( ) D ( ) Da ( ) D ( ) Da ( ) D ( ) Da ( ) D ( ) Vzah a 4 (l ) a a (l ) l a a a (l ) l a 4 (l ) ( ) a (l ) a a (l ) ( ) (l ) l ( ) l a a a (l ) ( ) (l ) l ( ) l a 4 a l ( ) l a a (l ) ( ) (l ) l ( ) l a a a (l ) ( ) (l ) l ( ) l a 4 a (l ) l a a a (l ) l l l a a (l ) l l l a a a a 4 (l ) a a (l ) l a a (l ) l
Kofdeí eze po evalové odhady D; H, D; H paae a se spolehlvosí uíe z aulky 7.4, kde u / je /- kval oovaého oálího ozdleí pavdpodoos N(;), specál po,95, esp.,99, je u,975,96, esp. u,995,576. Do kofdeích ezí pak dosazujee po daé zkušeí pláy hodoy z aulek 7., 7. a 7.3. Uvedeé odhady jsou dvousaé, avšak jedoduchou úpavou z ch žee získa odhady jedosaé. Taulka 7.4 Paae Dolí kofdeí ez D a D u / D a u D / Hoí kofdeí ez H a H u / / D a u D Sascké eody po výpoy spolehlvosích chaakesk jsou v zých ozsazích pleeováy v keých pofesoálích sasckých sofwaových podukech po PC (jde ap. o sofwae STATISTICA, SPLUS, QCExpe, STATGRAPHICS). Nejasj se po vyhodoceí spolehlvos používají yo sascké eody [5,6]: a) Popsá saska všech zvoleých zak poocí oeových a kvalových íselých chaakesk polohy, vaaly, škos a špaos souo a jejch gafckého vyjádeí poocí hsoga, kacových a sloupcových gaf a gaf závslosí, píp. aké poocí Paeovy aalýzy. ) Nalezeí a esováí ozdleí pavdpodoos doy ezpouchového povozu a doy údžy (pouchového posoje, peveví údžy apod.) po elac heeogey sasckého souou (odsaí exéích hodo a vlvu dalších fako) a pípadé asfoac. c) Bodové odhady a evalové odhady íselých chaakesk spolehlvos a paae ozdleí pavdpodoos uvedeých áhodých vel, pež u paae pevládají axál vohodé odhady (vz ap. výše uvedeé odhady paae Weullova ozdleí). d) Paaecké a epaaecké esy hypoéz o íselých chaakeskách a paaeech ozdleí pavdpodoos doy ezpouchového povozu a doy údžy, pípad jejch poováí po safkac souou vzhlede ke duh pouch a údžy. e) Aalýza ozpylu a epaaecké esy po posouzeí vlvu duh pouch a údžy a dou ezpouchového povozu a dou oovy. f) Víceozé eody a egesí aalýza po posouzeí a vyjádeí závslos sledovaých áhodých vel a jejch dyaky. Jako píklady použí keých z uvedeých sasckých eod po vyhodoceí povozí spolehlvos lze uvés ásledující výsledky zpacováí sasckých souo a PC.
Píklad 7. Dlouhodoý sledováí yly získáy údaje o doách ezpouchového povozu a doách údžy oovovaého eegeckého zaízeí. Zpacovaý sascký souo o ozsahu = 76 yl sulová a základ eálých da dvého chaakeu jako ealzace ecezoovaého výu. Na ukázku uvádíe ás získaých výsledk:. Bodové a evalové odhady íselých chaakesk ozdleí pavdpodoos doy ezpouchového povozu: Cou = 76 Aveage = 6.558 Meda = 56.65 Vaace = 843. Sadad devao = 89.833 Sadad eo = 7.4459 Mu =. Maxu = 49.8 Rage = 49.7 Lowe quale = 56.95 Uppe quale = 356.35 Iequale age = 99.4 Skewess =.7493 Sd. skewess =.875 Kuoss = 3.8 Sd. kuoss =.9 Coeff. of vaao =.8% Su = 79. 95.% cofdece eval fo ea: 6.558 +/- 34.3445 [7.4; 95.93] 95.% cofdece eval fo sadad devao: [67.5; 36.65]. Jako ejlepší ozdleí pavdpodoos doy ezpouchového povozu ylo alezeo ozdleí Weullovo. Too ozdleí ylo esováo poocí esu chí-kvadá. Byly ovž uey odové a evalové odhady paae a kval ozdleí (Shape =, Scale = ): Ch-Squae = 6.36 wh 8 d.f. P-Value =.6754 Maxu log-lkelhood = -55.94 Shape =.797598 Scale = 3.96 Cofdece eval fo shape: [.75;.87733] Cofdece eval fo scale: [99.473; 7.68] Pecele Lowe Esae Uppe..67.44.978.35.5.589.376..43.964.5.5.59.346.66.394.786.347 5 3.6649 5.634 8.685 9.7838 3.8659 9.65 7.49 35.57 46.5489 5 3.6948 47.34 75.46 9 566.597 66.8478 775.543 95 777.685 9.943 9.956 99 93.3669 58.6464 93.7357 99.865 97.79 485.5748 334.396 3. Bodový a evalový odhad koefceu povozí pohoovos k p : Esae Sd. Eo Lowe L Uppe L.655.8359.6553.65379 3
4. Gafy: 4
s p olehlvos.9.8.7.6.5.4.3.. S p olehlvos zaízeí (W eull Dsuo) 3 6 9 5 doa ezpo. p ovozu (hod.) odhad dolí hoí Plo of koefce povozí pohoovos vs doa povozu koefce povozí pohoovos.9.8.7.6.5.4 4 6 8 (X ) doa povozu [hod.] Píklad 7. Sulací a PC Weullova ozdleí W(, ) s paaey =,5 a = hod. yl získá uspoádaý sascký souo do do pouchy v hodách o ozsahu = 5: 7,9 4, 5,6 53,5 56, 75, 8,3 83, 83,3 87,7 9,9 97,8 97,9,7 7,8 9,8,6 3,9 33,6 37,4 4, 44, 44, 56,5 58, 6,6 7,5 75, 75,5 84,5 9,4 97,9 6,6 9,7 4,,5 5,4 35, 39,4 4, 5,8 56, 65,4 67,8 76,7 78, 8,3 83, 9,3 39,. Po sascký souo se vše hodoa (ez cezoováí) yly vypoey odhady paae a kval: 5
Model fg esuls (Poaly plo): SPOL.oud Paaee esaes: shape =.486 scale = 9.83 Pecele Esae. 7.63475.35 8.78..54443.5 6.646.3468 5 47.754 66.7685 94.6 5 6.3539 9 8.475 95 36.946 99 387.7563 99.865 458.34 Dsuo: Weull Cesog: Coplee --------------------------------------------------------- Model fg esuls (Hazad plo): SPOL.oud shape =.838 scale = 88.667 Dsuo: Weull Cesog: Coplee ------------------------------------------------ Model fg esuls (Maxu Lkelhood Esao): SPOL.oud Maxu log-lkelhood = -37.84 shape =.356 scale = 89.9 Cofdece eval fo shape =.87698.9466 Cofdece eval fo scale = 67.68 4.59 Pecele Lowe Esae Uppe. 4.973.5.3965.35 5.7595.394.563. 7.656 3.4644 5.6579.5.3793 9.89 34.7738 6.335 6.7398 43.89 5 37.983 53.4784 75.436 54.895 7.63 96.7 8.4473 99.93 4.359 5 4.838 6.875 85.9 9 37.979 69.636 35.59 95 63.369 3.5376 345.36 99 38.59 36.363 44.8343 99.865 35.7797 4.47 57.9563 Dsuo: Weull Cesog: Coplee ------------------------------------------------------------------ 6
Na ásledující oázku je zázo gaf vypoeých evalových odhad kval eodou axálí vohodos se spolehlvosí 95%. Kvalový gaf - evalový odhad 5 4 3 4 6 8 P%. Po cezoováí sasckého souou doou 5 hod., keá ahazuje u ozaeé hodoy v aulce (avšak odpovídá ezpouchové savu v daé do), yly vypoey odhady paae: Model fg esuls (Poaly plo): SPOL.cez Paaee esaes: shape =.98 scale = 85.457 Pecele Esae. 7.9465.35 9.8879..8764.5 6.5358.759 5 47.887 66.39575 93.5938 5 56.8874 9 7.37994 95 36.636 99 37.3787 99.865 439.93 Dsuo: Weull Cesog: Type I ---------------------------------------------------------- Model fg esuls (Hazad plo): SPOL.cez shape =.453 scale = 9.39 Dsuo: Weull Cesog: Type I ------------------------------------------------ 7
Model fg esuls (Maxu Lkelhood Esao): SPOL.cez Maxu log-lkelhood = -4.5 shape =.4988 scale = 85.573 Cofdece eval fo shape =.5383 3.959 Cofdece eval fo scale = 5.39 9.9 Pecele. Lowe.943 Esae 8.64 Uppe 5.357.35 3.534 9.844 7.433. 4.494.747 3.673.5 7.864 7.635 39.544. 4.86 48.66 5 3.54 49.5654 76.4968 49.936 68.538 94.6989 75.4853 95.756.546 5 3.7385 57.6767 9.654 9 97.589 68.8494 365.847 95 4.484 3.8 46.678 99 43.686 365.8536 55.4366 99.865 7.99 49.537 683.93 Dsuo: Weull Cesog: Type I ---------------------------------------------------------------- Na ásledující oázku je zázo gaf vypoeých evalových odhad kval eodou axálí vohodos se spolehlvosí 95%. Kvalový gaf - evalový odhad 7 6 5 4 3 4 6 8 P% Poováí získaých výsledk po ecezoovaý a cezoovaý souo sado zjsíe, že cezoováí á ezaedaelý vlv a vaalu a pesos odhad. Cezoováí je ale ovykle vyuceo oezeou ožou doou zkoušek. V pípad zaedáí cezoovaých da p výpoech ycho získal espávé výsledky a závy. 8
8. Záv Poleaka sledováí a vyhodocováí povozí spolehlvos výok a zaízeí je vel ozsáhlá a z hledska aplkace sasckých eod po složá. Získaé výsledky však ají oádý výza jak po výoce, ak po užvaele. V souasé do ož asazeí odeích sasckých eod a využí foaích sysé uožuje dosáhou dosae vý oaz o výzaých vlasosech sledovaých ojek z hledska jejch pouchovos, žvoos a udžovaelos. Meody eoe spolehlvos poo ezasupel paí do koplexu eod sasckého ízeí jakos a jejch opoíjeí á za ásledek ekoocké záy výoce a sížeou dvu užvaele. Leaua. Nec, J. Sedláek, J. a kol. Spolehlvos sojích zaízeí. Paha, SNTL/Alfa 979.. Bílý, M. Sedláek, J. Spoahlvos echackých košukcí. Baslava, Veda 983. 3. Ieso, W. G., Relaly Hadook Egeeg ad Maagee. New Yok, McGaw- Hll 996. 4. Scheewes, W. Teóa spoahlvos. Baslava, Alfa 98. 5. Melou, M. Mlký, J. Sascké zpacováí expeeálích da. Paha, Plus 994. 6. Kupka, K. Sascké ízeí jakos. Tloye, Paduce 997. ISBN 8-38-88-X 7. Kapíšek, Z. Jelíek, P. Sochascké eody aalýzy spolehlvos. I: Soík kofeece Aalýza da /II Modeí sascké eody. Láz Bohdae 3...., s. 9-7. ISBN 8-38-893-7. 8. Kapíšek, Z. Jelíek, P. Dosál, P. Ueí spolehlvos syséu poocí jedé vy z eoe gaf. I: Soík z. seáe Modeí aeacké eody v žeýsví v Dolí Loé u Jalukova 3.5..6.. Osava, s. 9-95, ISBN 8-48- 3-6. 9. Kapíšek, Z. Jelíek, P. Dosál, P. - Douavský, K. Algous a uecká ealzace výpou chaakesk spolehlvos syséu. I: Soík z. seáe Modeí aeacké eody v žeýsví v Dolí Loé u Jalukova 3.6. 5.6.. Osava, s. 74-78. ISBN 8-48-84-.. Kapíšek, Z. Jelíek, P. Fuzzy sochascké eody odelováí spolehlvos. I: Soík celosáího seáe Aalýza da /II. Láz Bohdae 6.-9.., p. 9-3, ISBN 8-39-4-.. Dosál, P. Spolehlvos sousavy pvk 5.. Poga po PC. OSNM ÚM FSI VUT, Bo 3.. NORMY SN: 3, ISO 9-4/IEC 3-, 6, 6, 66, 6, 63, 64, 65, 65, 66, IEC 8, IEC 78, EN 63-,IEC 3-/ISO 9-4, IEC 3-3-, IEC 3-3-, IEC 3-3-3, IEC 3-3-4, IEC 3-3-9, IEC 63-3-, IEC 63-3-6, IEC 63-3-7, 8 3, EN 669-5, 6 74, 3 986, 34 67, EN 686-3-, EN 675. Refeá je souásí ešeí gaového pojeku GAR eg.. 3/5/9 Opalzace avhováí pogesvích eoových kosukcí. 9