SP NV Normalita-vlastnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "SP NV Normalita-vlastnosti"

Transkript

1 SP - - NV Normala-vlasos Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Charakerscká fukce Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa -rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí Přpomeuí vlasosí Normálího rozděleí Normálí rozděleí N Základí soubor: Z R Husoa pravděpodobos: f Dsrbučí fukce: F e e π π Číselé charakersky: Sředí hodoa: E Rozpyl: D Medá: ~ Modus: ˆ Koefce škmos: A Koefce špčaos: A 4 d SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9

2 Vlasos: Nechť ~ N a a b R; b pak plaí: Y a b ~ N a b b Nechť ~ N pak plaí: ~ N L - ezávslé ~ N pak ~ N Normovaé ormálí rozděleí N Základí soubor: Z R Husoa pravděpodobos: f e π Dsrbučí fukce: F e π Číselé charakersky: Sředí hodoa: E Rozpyl: D Medá: ~ Modus: ˆ Koefce škmos: A Koefce špčaos: A 4 Vlasos: Nechť ~ N pak plaí: a ϕ u ϕ u b Φ u Φ u c u p u p Nechť ~ N pak plaí: a ~ N b F Φ c p u p u ϕ u u e π d Φ u e d π Nechť ~ N Y ~ N. Pak a Y jsou sejé áhodé proměé. SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9

3 Charakerscká fukce Charakerscká fukce: Nechť je áhodá velča defovaá a pravděpodobosím prosoru Fukc ϕ E e R azveme charakersckou fukcí áhodé velčy. Plaí: Nechť ~ N pak ϕ ep Specálě pro ~ N je ϕ ep SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9

4 Plaí: a ~ N pak ϕ e emá magárí čás b ~ N pak ϕ e a ϕ d e Důkaz d π Příklad ~ N ϕ ep ϕ ep ϕ d ep d ep d π SP NV-Normala-vlasos 4 Lbor Žák ÚM FSI V 9

5 Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa Plaí Lévyho-Ldebergova věa - cerálí lmí věa: Nechť posloupos áhodých proměých { L L} splňuje: a jsou po dvou ezávslé b mají sejé rozděleí c mají koečé sředí hodoy a rozpyly: : E : D Pak posloupos sadardzovaých průměrů Y koverguje v dsrbuc k ormovaému ormálímu rozděleí. y C Φ : lm F y Φ y Y y C Φ : lm P < y Φ y y C Φ : lm P edy ~. N Y as < y e d y π. SP NV-Normala-vlasos 5 Lbor Žák ÚM FSI V 9

6 Plaí cerálí lmí věa modfkace pro součy: Nechť posloupos áhodých proměých { L L} splňuje: a jsou po dvou ezávslé b mají sejé rozděleí c mají koečé sředí hodoy a rozpyly: : E : D Pak plaí: y C : lm P Φ < y F y a posloupos součů L L koverguje v dsrbuc k ormálímu rozděleí N. as. edy & ~ N y C F : lm P < y F y SP NV-Normala-vlasos 6 Lbor Žák ÚM FSI V 9

7 -rozměré ormálí rozděleí Defce: Nechť L Σ j j L Σ Σ Náhodý vekor L ~ N Σ má rozděleí áhodá velča c ~ N c c Σc. jeslže pro c R má Mace Σ je symercká Σ Σ pozvě semdefí c R c Σ c. j j L Číslo r hσ se azývá hodosí ormálího rozděleí N Σ Je-l r pak rozděleí se azývá regulárí. Je-l r < pak rozděleí se azývá sgulárí. Pro : > regulárí sgulárí Plaí: Je-l ~ N Σ pak E a var Σ. Plaí: m Je-l ~ N Σ a R Bm pak Y a B ~ Nm a B BΣB SP NV-Normala-vlasos 7 Lbor Žák ÚM FSI V 9

8 Plaí: - Opakováí - vz SP Náhodé proměé a Y Podobě o plaí pro vekory: kde ~ N mají sejé rozděleí: N Plaí: Je-l ~ N Σ r hσ L r L r jsou ezávslé áhodé velčy ~ N. Nechť B r r hb je mace reálých čísel aková že plaí BB Σ. Pak áhodé vekory a Y B mají sejé rozděleí: N Σ Pozámka: Mace var Σ je symercká pozvě semdefí a edy její vlasí čísla jsou reálá ezáporá. Lze edy provés její skeleí rozklad. Mace B z předcházející věy edy alezeme pomocí skeleího rozkladu. Příklad: 5 4 Nechť ~ N. Najděe B akové aby plalo B 4 5 Řešeí: Skeleí rozklad mace: 5 λ λ λ λ λ 9 λ λ λ h λ h h h h h h λ 4 4 h h h h h H h h SP NV-Normala-vlasos 8 Lbor Žák ÚM FSI V 9

9 SP NV-Normala-vlasos 9 Lbor Žák ÚM FSI V 9 h h H 9 B Zkouška: BB edy Pozámka k příkladu: Pak ~ N - Normovaé -roz. ormálí rozděleí upraví se rozpyly v jedolvých složkách

10 SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V oroormálí mace mace roace - pooočí se - závslos složek posuuí

11 Plaí: N Σ h Σ regulárí rozděleí. Pak esuje husoa áhodého vekoru Je-l ve varu: ~ f π ep de Σ Σ Plaí: Je-l ~ N Σ pak charakerscká fukce má var: ϕ ep Σ SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9

12 Plaí podmíěé rozděleí: N Σ Nechť ~ rozpyl lze rozděl a čás Pak je p-rozměrý áhodý vekor. Sředí hodou a Σ Σ Σ. a Σ Σ ~ N Σ a ~ Σ p cov Σ N p jsou ezávslé právě když cov Σ p p 4 Pokud je regulárí podmíěé rozděleí za podmíky má rozděleí: ~ N ΣΣ Σ ΣΣ Σ p Pozámka: Rozpyl u podmíěého ormálího rozděleí jž ezávsí a - je kosaí. edy - rozměré ormálí rozděleí je homoskedascké. SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9

13 SP NV-Normala-vlasos Lbor Žák ÚM FSI V 9 Příklad: Nechť 4 7 ~ N. Najděe B akové aby plalo B Řešeí: Příklad: Nechť ~ N Najděe rozděleí pro: a b c d e f g h j k l Řešeí:

14 -rozměré ormálí rozděleí -rozměré ormálí rozděleí N SP NV-Normala-vlasos 4 Lbor Žák ÚM FSI V 9

15 SP NV-Normala-vlasos 5 Lbor Žák ÚM FSI V 9 Plaí: ~ N pak ~ N de 4 ep π f 5 cov - ezávslé 6 - ezávslé - ep π f Plaí: má charakersckou fukc: ep ϕ podmíěé rozděleí: ~ N

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testy hypotéz

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Testy hypotéz SP3 Tey hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Tey hypoéz Lbor Žá SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Nechť X X e áhodý výběr T X X X áhodý veor ezávlé ložy erý má rozděleí závlé a parameru θ Θ Θ R Ozačme:

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULA INFORMAIKY A AIIKY Kaedra sas a pravděpodobos AIIKA VZORCE RO 4 a 4 verze 8 posledí aualzace:. 9. 8 K 8 opsá sasa p p =,,...,... () () ( ),, z, ( z ) ( z ) ( z), z

Více

Přírodovědecká fakulta NÁHODNÉ PROCESY. Ivan Křivý

Přírodovědecká fakulta NÁHODNÉ PROCESY. Ivan Křivý Přírodovědecká fakula NÁHODNÉ PROCESY Iva Křvý OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 4 ANOTACE Předkládaá dsačí opora předsavue základy eore áhodých procesů. Je určea posluchačům prezečího a kombovaého suda sudích programů

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák Korelačí aalýza Přpomeutí pojmů áhodá proměá áhodý vetor áhodý vetor Náhodý výběr: pro áhodou proměou : pro áhodý vetor : pro áhodý vetor : Přpomeutí pojmů - ovarace Kovarace áhodých proměých ovaračí oefcet

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim KAPITOLA 4: 4 Úvod Derivace fkce [MA-8:P4] Moivačí příklady: okamžiá ryclos, směrice ečy Defiice: Řekeme, že fkce f má v bodě derivaci [ derivaci zleva derivaci zprava ] rov čísl a, jesliže exisje [ x

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Nechť je áhodá proměá, kerá má diribučí fukci Fx, ϑ. Předpokládejme, že záme var diribučí fukce víme jaké má rozděleí a ezáme

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Nelineární systémy. 3 / Matematické základy

Nelineární systémy. 3 / Matematické základy Nelieárí sysémy 3 / Maemaické základy Přehled 1. Úvod 2. Příklady 3. Maemaické základy 4. Sabilia a Lyapuovova fukce 5. Řízeí NS pomocí přibližé liearizace. Gai schedulig 6. Řízeí NS pomocí srukurálích

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP esty dobré shody PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Lbor Žá SP esty dobré shody Lbor Žá Přpomeutí - estováí hypotéz o rozděleí Ch-vadrát test Chí-vadrát testem terý e založe a tříděém statstcém souboru. SP esty

Více

Teplota. 3 kt. Boltzmanova konstanta k = J K -1. definice teploty. tlaky v obou částech se vyrovnají

Teplota. 3 kt. Boltzmanova konstanta k = J K -1. definice teploty. tlaky v obou částech se vyrovnají Teploa laky obou čásech se yroají 1 m1 1 m rooáe budou sředí kieické eergie obou druhů molekul sejé: 1 1 m m 1 1 ěžší molekuly se pohybují pomaleji ež lehčí sejé musí edy bý i objemoé kocerace: 1 když

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA. VZORCE PRO 4ST201 a 4ST210 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULA INFORMAIKY A AIIKY Kaedra sas a ravděodobos AIIKA VZORCE RO 4 a 4 verze 8 osledí aualzace:. 9. 8 K 8 osá sasa,,...,... ( ( (,, z +, ( z ( z + ( z+, z H H H G... R ma

Více

SP2 01 Charakteristické funkce

SP2 01 Charakteristické funkce SP 0 Chararisicé func Chararisicé func pro NP Chararisicé func pro NV Náhld Náhodnou proměnnou, nbo vor, L, n lz popsa funčními chararisiami: F, p, f číslnými chararisiami: E, D, A, A 4 Co s dá z čho spočía:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP4 Přpomeutí pojmů SP4 Přpomeutí pojmů Pravděpodobost Náhodý jev: - základí prostor - elemetárí áhodý jev A - áhodý jev, - emožý jev, jstý jev podjev opačý

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULTA INFORMATIKY A TATITIKY Kaedra a a ravděodobo TATITIKA VZORCE RO 4T verze.3 oledí aualzace: 4.9.9 KT 9 oá aa,,..., ɶ < z < + < z < + +,5 z +, 5 z H H H G... G... R

Více

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti

Odezva na obecnou periodickou budící funkci. Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Odezva a obecou periodickou budící fukci Iva Períková Kaedra mechaiky, pružosi a pevosi Obsah Fourierovy řady Odezva a polyharmoickou fukci Odezva a obecou periodickou fukci Odezva a jedokový skok Příklad

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl:

7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl: 7 LIMITNÍ VĚTY Čas ke studu kaptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umět formulovat a používat lmtí věty aproxmovat já rozděleí rozděleím ormálím - 96 - Výklad: V této kaptole adefujeme

Více

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru. Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULTA INFORMATIKY A TATITIKY Kaedra a a ravděodobo TATITIKA VZORCE RO 4T verze. oledí aalzace:.9.8 KT 8 oá aa,,..., % z z,5 z, 5 z H H H G... G... R ma - m ( ( ( ( ( ( V

Více

Přírodovědecká fakulta NÁHODNÉ PROCESY. Ivan Křivý

Přírodovědecká fakulta NÁHODNÉ PROCESY. Ivan Křivý Přírodovědecká fakula NÁHODNÉ PROCESY Iva Křivý OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 5 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA NÁHODNÉ PROCESY Iva Křivý ANOTACE Předkládaá disačí opora předsavue úvod do eorie áhodých procesů. Je určea

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Geometrické modelování. Diferenciáln

Geometrické modelování. Diferenciáln Geomerické modelováí Difereciál lí geomerie křivekk Křivky v očía ačové grafice Geomerická ierreace Každý krok algorimu má svůj geomerický výzam Flexibilia korola ad růběhem křivky, možos iuiiví ediace

Více

β. Potom dopadající výkon bude

β. Potom dopadající výkon bude Učebí ex k předášce UFY Feselovy vzoce a jevy a ozhaí dvou posředí II Odazvos a popusos Ve vakuu je plošá husoa oku zářeí dáa Poygovým vekoem S c ε E B a zářvos (W/m je defováa jako časová sředí hodoa

Více

Statistická rozdělení

Statistická rozdělení Úvod Statstcá rozděleí Václav Adamec vadamec@medelu.cz Náhodá proměá: matematcá velča, jejíž hodot osclují. Produt áhodého procesu lze charaterzovat fucí Hodot proměé v oboru přípustých hodot Rozděleí

Více

11. Regresní analýza. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl VÝKLAD Úvod

11. Regresní analýza. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl VÝKLAD Úvod . egresí aalýza Čas ke studu kaptoly: 6 mut Cíl Po prostudováí tohoto odstavce udete umět vysvětlt pojem oecý leárí model prcp leárího regresího modelu používat výsledky regresí aalýzy verfkovat regresí

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016 Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických

Více

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované. finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201 VYOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V RAZE FAKULTA INFORMATIKY A TATITIKY Kaedra a a ravděodobo TATITIKA VZORCE RO 4T verze 4. oledí aualzace: 6.8.6 KT 6 oá aa oá aa =,,..., () ()...,,,, z z z z z H H H G... R = ma

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

znát vlastnosti bodových odhad rozumt pojmu dostatená statistika a budete umt urit, zda vybraná statistika je dostatenou

znát vlastnosti bodových odhad rozumt pojmu dostatená statistika a budete umt urit, zda vybraná statistika je dostatenou EORIE ODHADU 5. EORIE ODHADU Na úvod éo kapoly s zopakujm základí vlasos bodových odhad. 5.. Vlasos dobrého bodového odhadu as k sudu: 5 mu Cíl: Po prosudováí ohoo odsavc bud: zá vlasos bodových odhad

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzta Na Rybíčku, 746 0 Opava DENNÍ STUDIUM Aalytcká geometre Téma 3.: Aí zobrazeí Dece 3.. Zobrazeí aího prostoru A do aího prostoru A se azývá aí zobrazeí, estlže má ásleduící

Více

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk

Více

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS , Řešeí písemé zkoušky z Matematické aalýzy a ZS008-09,0..009 Příklad : Spočtěte itu poslouposti 75 + 60 ) 75 60 + ) 0 + ) 0 +) 70 ) 70. 5 bodů) Řešeí:Ozačíme a : 75 + 60 75 60,dále b : + ) 0 + ) 0,akoečě

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE. k bakalářské zkoušce

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE. k bakalářské zkoušce VYOKÁ ŠKOLA EKONOMCKÁ V RAZE FAKULTA NFORMATKY A TATTKY Kaeda a a avděodobo TATTKA VZORCE baalářé zošce veze 3. oledí aalzace: 3.9.7 KT 7 oá aa Rozděleí čeoí,,..., Kval % z ůmě H H H G... Rozěí R ma -

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs.

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs. Předáška V. Úvod do teore odhadu Pojmy a prcpy teore odhadu Nestraé odhady Metoda mamálí věrohodost Průměr vs. medá Opakováí výběrová dstrbučí fukce Sestrojíme výběrovou dstrbučí fukc pro výšku a váhu

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

TESTOVÁNÍ a DIAGNOSTIKA VÝROBNÍCH STROJŮ I

TESTOVÁNÍ a DIAGNOSTIKA VÝROBNÍCH STROJŮ I ESOVÁNÍ a DIAGNOSIKA VÝROBNÍCH SROJŮ I Leraura: Skra: Zdeěk Vorlíček: Solehlvos a dagoska výrobích srojů ČVU Praha 99 Vorlíček, Rudolf: Dagoska VS ČVU Praha 98 Ka.. Úvod: Proč se zabýváme esováím a dagoskou

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

7. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic.

7. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic. 7 837 4:3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic 7 Sousavy liárích difrciálích rovic Příklad 7 3 + 5 + ( ) ξ 3 + ( ) ξ Maicový zápis 3 5 + 3 ( ) ξ ( ) ξ Dfiic 7 (sousava liárích difrciálích rovic

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ avara/stat 5. říja 018 Obsah 1 O

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Světlo v izotropním látkovém prostředí a na rozhraní izotropní bezztrátové dielektrikum je charakterizováno skalární permitivitou ε = εε.

Světlo v izotropním látkovém prostředí a na rozhraní izotropní bezztrátové dielektrikum je charakterizováno skalární permitivitou ε = εε. Učebí ex k předášce UFY2 Feselovy vzoce a jevy a ozhaí dvou posředí I Svělo v zoopím lákovém posředí a a ozhaí zoopí bezzáové delekkum je chaakezováo skaláí pemvou ε εε a pemeablou μ μμ (kde μ po emagecké

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více