Pravděpodobnostní modely

Transkript

1 Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k dispozici celkem jedorozměrých rozděleí 5 symetrických a 6 asymetrických. Modul vypočítá parametry těchto rozděleí pro zadaá data a vyhodotí ejlepší rozděleí podle dvou kritérií: věrohodostí ukce a liearity (korelačího koeicietu) P-P grau. Parametry jsou vypočítáy umerickou maimalizací věrohodostí ukce resp. jejího logaritmu L l L A B C A B C i i kde ABC jsou parametry daého rozděleí je vektor aměřeých dat a je hustota pravděpodobosti daého rozděleí viz dále. Kromě parametrů jedotlivých modelů a vybraých odpovídajících statistik se počítají rověž zadaé kvatily a pravděpodobosti a kostruují diagostické gray. Modul má použití všude kde se k popisu dat ehodí ormálí rozděleí kde jsou pochybosti o vhodosti určitého rozděleí ebo aopak kdy se rozděleí dat řídí předem zámým egaussovským modelem. Data a parametry Modul je urče pro aalýzu dat symetrických a dat s kladou šikmostí. Data se záporou šikmostí je třeba před aalýzou apříklad vyásobit (). Vstupími daty jsou aměřeé hodoty v jedom sloupci který se vybere v poli Sloupce. V poli Rozděleí lze vybrat které modely chceme zahrout do výpočtu. Vlevo jsou rozděleí symetrická vpravo asymetrická. Implicitě se počítá všech rozděleí. Tlačítky Symetrická a Asymetrická slouží k vyputí a zaputí celé skupiy symetrických resp. asymetrických rozděleí. Vybráo musí být vždy alespoň jedo rozděleí. Pokud echceme uvažovat asymetrické rozděleí je vhodé asymetrická rozděleí evybírat výpočet asymetrických rozděleí trvá déle. Pokud jsou data symetrická či mají záporou šikmost může výpočet asymetrických modelů selhat což se projeví zprávou Neí k dispozici ebo Chyba. V poli Data lze zvolit zda se má výpočet provést se všemi daty ebo pouze s daty ozačeými případě eozačeými. Je-li zaškrtuto políčko Počítat pravděpodobost je uté zadat požadovaá hodota (kvatil) do pole X pro kterou se má pravděpodobost (tedy odpovídající hodota p příslušé distribučí ukce) vypočítat. V protokolu je pak pro tuto hodotu vypočítáa u všech rozděleí pravděpodobost že bude aměřea hodota meší ež zadaé X. Je-li zaškrtuto políčko Počítat kvatily je uto zadat pravděpodobost (hodotu mezi 0 a 0 < p < ) pro íž se mají kvatily počítat. V protokolu jsou pak vypočítáy ke každému rozděleí kvatily odpovídající pravděpodobosti p a p.

2 Obrázek Dialogový pael pro Pravděpodobostí modely Dále uvádíme hustoty pravděpodobosti všech počítaých rozděleí s případými omezeími pro hodoty parametrů. Hustota pravděpodobosti je ozačea () distribučí ukce F() kvatilová ukce F - (). Normálí rozděleí: Rovoměré rozděleí: Laplaceovo rozděleí: Logistické rozděleí: Cauchyho rozděleí: A ep B B pro A B B A 0 jiak A ep B B A ep B B A ep B AR B 0 A BR A B AR B 0 AR B 0

3 Asymetrická rozděleí A B B AR B 0 Epoeciálí rozděleí: Gamma rozděleí: Trojúhelíkové rozděleí: Weibullovo rozděleí: Protokol A ep B B A B 0 A A ep A B 0 C 0 BC B B Gumbelovo rozděleí: A A ep ep ep B B B AR B 0 Logormálí rozděleí: l A B ep C A C Pravděpodobostí modely Metoda maimálí věrohodosti (MLE) C A B AC A B B AB C pro C pro C C C A A ep B B B C A BR C 0 A B C A B 0 C 0 Název úlohy : Sezam aalyzovaých rozděleí Věrohodost P-P korelace Název sešitu s daty Teto odstavec obsahuje sezam všech počítaých rozděleí které byly zaškrtuty v dialogovém okě. Modely jsou rozděley do dvou skupi Symetrické modely a Asymetrické modely. U každého rozděleí jsou uvedey vypočítaé hodoty logaritmu věrohodosti korelačího koeicietu P-P přímky a maimálě věrohodé odhady parametrů rozděleí. Vypočítaá hodota L logaritmu maimálí věrohodosti rozděleí. Věrohodost je doporučea jako hlaví kritérium pro posouzeí které rozděleí ejlépe odpovídá aměřeým datům. Větší hodota L odpovídá vhodějšímu rozděleí. Korelačí koeiciet grau P-P přímky r P která je obdobou Q-Q grau. Platí že čím je korelačí koeiciet větší (blíže k jedičce) tím více se pravděpodobosti teoretické F( i ) blíží empirickým i/(+). Hodotu lze použít jako alterativí kritérium posouzeí vhodosti rozděleí

4 Parametry které emusí dávat stejé výsledky jako věrohodost. Parametry rozděleí získaé metodou MLE tedy tzv. maimálě věrohodé parametry A B C výzam parametrů pro jedotlivá rozděleí plye z deiic v odstavci 0. Výběrové momety Průměr Rozptyl Šikmost Špičatost Výběrové odhady mometů. Aritmetický průměr dat. Výběrový rozptyl dat. Výběrová šikmost dat. a Výběrová špičatost dat. b i i s i i Mediá Výběrový medá pro sudé / / pro liché. i i s i s 4 i 4 Modelové momety Středí hodota Rozptyl Šikmost Špičatost Mediá Momety mediá a modus aalyticky vypočítaé z parametrů jedotlivých modelů. Neí-li k dispozici aalytický výpočet je uvedea pomlčka. Modus Poloha maima a hustotě pravděpodobosti ma. Kvatily a pravděpodobosti Pravd(X) Kvat(p) Kvat( p) df 3 df g df 4 F g df 4 Hodota pravděpodobosti pro zadaý kvatil X a hodoty kvatilů pro zadaou pravděpodobost p a pravděpodobost ( p) pro počítaá rozděleí. Tato tabulka se geeruje je je-li zadáa ěkterá z hodot X P v dialogovém okě (Obrázek ). Pravděpodobost že bude aměřea hodota meší ež X za předpokladu platosti daého modelu pravděpodobosti F(X). Hodota která ebude překročea s pravděpodobostí p (tedy která bude překročea s pravděpodobostí( p) ) F - (p). Hodota která bude překročea s pravděpodobostí p F - ( p).

5 Gray Pro každé z vybraých rozděleí se geeruje gra hustoty pravděpodobosti P-P gra a gra distribučí ukce. Pro lepší vizuálí hodoceí shody jsou do všech graů zakreslea i zadaá data. Posledí dva gray jsou určey pro souhré vyhodoceí všech vybraých rozděleí. Gra hustoty pravděpodobosti () pro každé z vybraých rozděleí. Pod osou jsou pro lepší posouzeí doplěa zadaá data. Vztahy pro hustoty jedotlivých rozděleí byly uvedey výše. Teto gra emá přímý diagostický výzam. Gra P-P kde a vodorovou osu se vyáší hodoty i/(+) a a svislou osu hodoty distribučí ukce v jedotlivých zadaých datech F( i ). V případě ideálí shody dat s rozděleím by všechy body ležely a zakresleé přímce y=. Těsost proložeí lze považovat za kritérium shody aměřeých dat s daým modelem. Těsost lze vyjádřit korelačími koeiciety které jsou uvedey v protokolu vedle hodot věrohodostí a graicky jsou zázorěy v grau Těsost proložeí viz dále. Gra distribučí ukce F() vybraých rozděleí. Křivky jsou doplěy empirickou distribučí ukcí sestrojeou z aměřeých dat jedotlivé body mají souřadice ( i ; i/(+)). Těsost proložeí lze považovat za kritérium shody aměřeých dat s daým modelem. Souhrý gra věrohodostí L pro všecha vybraá rozděleí setříděých podle velikosti. Nejlepší rozděleí z hlediska věrohodost je ejvýše a má ejvyšší hodotu L. Mají-li dvě rozděleí vemi blízké hodoty L lze je obvykle považovat za rovoceé. Samotá hodota L souvisí s počtem dat a směrodatou odchylkou rozděleí a eí rozhodující. Věrohodosti pro růzě početá data ebo data s růzými směrodatými odchylkami elze mezi sebou porovávat. Gra těsosti proložeí porovává těsost proložeí v P-P grau pomocí hodot odvozeých z korelačího koeicietu l( r P ). Tato odvozeá hodota je použita proto že samoté hodoty korelačích koeicietů r P by evedly k dostatečému vizuálímu rozlišeí. Rozděleí s ejvyšší hodotou se považují za ejlépe vystihující empirickou distribučí ukci dat. Pořadí rozděleí v graech věrohodosti a těsosti proložeí eí obvykle shodé.