Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Transkript

1 Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA

2 OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta Copule a rze rostoucí (mootóí) trasformace 3 aussova copule 4 umbelova copule 3 O korelačích koefcetech 3 Pearsoův korelačí koefcet 3 Spearmaův korelačí koefcet 3 POSTUP ŘEŠENÍ 4 ZÁVĚR Použtá lteratura

3 CÍL PRÁCE Vgeerovat áhodá čísla {(, Y )}, tak ab { } měl dstrbučí fukc F ( ) a { Y } měl dstrbučí fukc ( ) a přtom bl závslé TEORIE Metoda verzí trasformace Náhodá čísla {, =, K, } z rozděleí s dstrbučí fukcí ( ) ásledově: ) Vgeerujeme čísla { U,, K, } = z rovoměrého rozděleí a <0,> ) Provedeme trasformac F ( U ), =, K =, F je možo geerovat O copulích Jeda z možostí, jak geerovat dvojce {( )}, je pomocí copulí Y Copule je fukce, která kompletě popsuje závslost uspořádáí Obsahuje formace o spojeí margálích dstrbučích fukcí do jedé sdružeé dstrbučí fukce Teoretck můžeme spojt ěkolk margál s růzým rozděleím s fukcí copule a obdržíme mult-varačí dstrbučí fukc Teore copulí bla popsáa jž v roce 959 (Sklar), cméě aplkace se stává feoméem posledích let Sklarova věta: Každá dstrbučí dvojrozměrá fukce: F, = C F F Y, ( ) ( ) ( ) ( ), kde C je tzv copule tj dvojrozměré rozděleí a čtverc 0, 0, Růzou volbou Copulí, dostáváme růzá dvojrozměrá rozděleí, která ale mají požadovaou F margálí dstrbučí fukc F ( ) a ( ) Charakterstka Sklarov vět: Sklarova věta stojí a faktu, že každá spojtá sdružeá dstrbučí fukce se dá rozložt a jedotlvé margálí dstrbučí fukce a a závslost uspořádáí Margálí dstrbučí fukce eobsahují formace o závslém uspořádáí, což terpretuje copula

4 Copule a rze rostoucí (mootóí) trasformace Často pro rozhodováí emůžeme použít přímo sebraá data, ale musíme je trasformovat Např: jedu ebo více zájmových proměých trasformujeme pomocí logartmu Nabízí se otázka: Jak odhadout ovou změěou sdružeou dstrbučí fukc? Logartmus je fukce rze rostoucí, proto copule ové sdružeé dstrbučí fukce se ezměí Ted fukce copule je varatí vůč rze rostoucí trasformac, což korespoduje s mšlekou pohlížet a tuto fukc copule jako a závslost uspořádáí Tvrzeí:, Y je vektor spojtých áhodých proměých, který má copul C, α, α jsou rze rostoucí fukce a tervalu obou hodot resp Y Potom platí: ( ) α ( Y ) α, má také copul C Důkaz: F ( ), F ( ) je dstrbučí fukce (, Y ) a ( ), ( ) je dstrbučí fukce α ( ), α ( Y ) (, ) má copul C a ( ) α ( Y ) Potom platí: C = α α, má copul C α [ ( ), ( ) ] = P α ( ) <, α ( Y ) F α ( ), F α = C, C [ < ] = P [ < α ( ), Y < α ( ) ] [ ( ) ( ( )) ] [ ( ) ( ) ] =

5 3 aussova copule aussova copule je dáa dstrbučí fukcí ( u, v, ), pro hustotu c N ( u, v, ) C ( u, v, ) c N C N = N platí: u v u, v, = ep u~ + v~ uv ~~ ep u~ + v~ ( ) ( ) ( ) Parametr určuje závslost Pozameejme, že pokud ( V ) C N ( u,v, ), pak u ( u), v = Φ ( v) ~ ~ = Φ U, má rozděleí a 0, 0, s dstrbučí fukcí [ = Φ ( U ), Y = Φ ( V )] má dvojrozměré stadardí ormálí rozděleí s korelačím koefcetem u Φ stadardího ormálího rozděleí) ( Φ ( ) začí verzí fukc k dstrbučí fukc ( ) Vgeerovat dvojce { ( U, ) } tak, ab { U } { } V V měl rovoměré rozděleí a tervalu 0, a přtom jejch sdružeé rozděleí a čtverc 0, 0, blo určeo hustotou c N ( u, v, ) je sadé Vgeerujeme dvojce { (, Y ) } z dvojrozměrého ormálího rozděleí N ( 0,0,,, ) a pak provedeme trasformac: U Φ V = Φ = ( ) a ( ) Y Chceme-l geerovat { ( W, ) } rozděleé s dstrbučí fukcí F( w z) C( F ( w) F ( z) ) pak stačí vzít Z W = F ( U ) a Z F ( V ) W = Z, =, w, Přpomeňme, že rozděleí { W } má pak dstrbučí fukc F w ( w) a rozděleí { } dstrbučí fukc F z ( z), Z má z

6 3000 dvojc z aussov copule 000 dvojc hustot aussov copule

7 4 umbelova copule V ěkterých případech je třeba vgeerovat dvojce { ( ) } kde se závslost mez a Y měí s hodotam skutečost, že závslost pro všší hodot vz ásledující obrázek a,, Y a Y je všší ež pro meší hodot Y Někd je třeba apříklad zachtt a Y K modelováí takové závslost může sloužt apříklad umbelova copule U, V s rovoměrým margálím rozděleím a t 0, má dvojrozměré Dvojce ( ) rozděleí s umbelovou copulí, jestlže sdružeé dstrbučí fukce ( u v) C ( u, v, ) = ep [( l u) + ( l v) ], 0, 0 v je parametr závslost kde > Podmíěá dstrbučí fukce: C ( v U = u; ) = ep u [( l u) + ( l v) ] C, má tvar: u, l v + lu +, 0 v

8 Vgeerovat áhodá čísla { ( ) }, z tohoto rozděleí je možo ve dvou krocích: Y ) Vgeerujeme U z rovoměrého rozděleí a tervalu 0, ) Vgeerujeme V z rozděleí s dstrbučí fukcí C ( v U ; ) Čísla V z rozděleí s dstrbučí fukcí C ( v U ; ) lze geerovat tak, že vgeerujeme čísla T z rovoměrého rozděleí a tervalu 0, a položíme: ( T U ; ) V = C K tomu je však potřeba zát verzí fukc C ( t ; ) k dstrbučí fukc U C ( v U ; ) Eplctí vjádřeí fukce C ( t ; ) V hledá řešeím rovce: U ( V U ; ) T C = však eestuje a proto se hodota podměá dst fce umbelov kopule pro u=0000,05,05,075,09999

9 3 O korelačích koefcetech Závslost obvkle měříme korelačím koefcet: 3 Pearsoův korelačí koefcet Pearsoův korelačí koefcet (PK) pro ( Y ),, (, Y ), K Defce: ( ) ( Y Y ) ρ = ( ) ( Y Y ) Vlastost PK: a) abývá hodot od - do +, které začí perfektí leárí vztah (záporý ebo kladý), b) v případě kladé korelace hodot obou proměých zároveň stoupají, c) v případě záporé korelace hodota jedé proměé stoupá a druhé klesá, d) PK eí varatí vůč mootóím trasformacím, Např: L, L Y má jý PK ež, Y 3 Spearmaův korelačí koefcet Spearmaův korelačí koefcet (SK) pro ( Y ),, (, Y ) Nahradíme pořadím R a Y pořadím R SK je PK pro pořadí ( R R ),,( R, R ), K, K Defce: ( R R) ( R R) ρ = s ( R R) ( R R) SK je varatí vůč mootóím trasformacím

10 3 POSTUP ŘEŠENÍ Data geerujeme prostředctvím matematckého softwaru MatLab () Vgeerujeme U z rovoměrého rozděleí a tervalu 0, Použtý příkaz: ufrd () Dle 3 stejým způsobem vgeerujeme T z rovoměrého rozděleí a tervalu 0, Použtý příkaz: ufrd () Hledáme hodotu V řešeím eleárí rovce Použtá fukce: fzero C ( V U ; ) = T Fzero zkouší ajít hodotu jedé proměé defovaé fukce, ab bla splěa podmíka f ( ) = 0 Fzero kombuje umercké edervačí metod - metoda bsekce (půleí tervalu), metod verzí kvadratcké terpolace, metoda seče Nutým parametrem fukce fzero je startovací hodota 0 ebo terval platí: f ( a) f ( b) 0 Teto terval v ašem případě ezáme, proto zadáváme startovací hodotu 0 Po zadáí 0, pracuje fzero ve dvou základích krocích: a, b pro který () () Určeí tervalu, kde se alézá ulová hodota řešící daou rovc Ted hledáme terval a, b, pro který platí ásledující: f je spojtá reálá fukce a ( a) f ( b) 0 f a, b, Potom estuje alespoň jedo řešeí rovce f ( ) = 0 a a, b Metodou bsekce se prohledává určeý terval, dokud se epodaří alézt řešeí f ( ) = 0 s dostatečou přesostí

11 4 ZÁVĚR Podařlo se ám vgeerovat dvojce čísel { ( ) }, s daou závslostí Y Parametr: počet dvojc 000, = Použtá lteratura [] Joe H: Multvarate Models ad Depedece, Cocepts, Chapma, Hall, 997 [] FBubeík: Matematcké vzorce a metod, MPultar, I Pultarová, 00