12. N á h o d n ý v ý b ě r
|
|
- Anna Machová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací áhodé veličiy, která popisuje příslušý áhodý proces. Základím pojmem statistiky se tak stává pojem áhodého výběru, který je modelem popsaé situace Defiice: Náhodý výběr je uspořádaá -tice áhodý vektor) X 1, X 2,..., X ) áhodých veliči X i, 1 i, které jsou ezávislé a mají stejé rozděleí. Pozámka: Je-li F distribučí fukce popisující rozděleí áhodých veliči X i, pak sdružeá distribučí fukce áhodého výběru je rova F x 1 ).F x 2 )... F x ). Obdobě pro sdružeou hustotu či pravděpodobostí fukci dostaeme vyjádřeí ve tvaru fx 1 ).fx 2 )... fx ), resp. px 1 ).px 2 )... px ) je-li f hustota resp. p pravděpodobostí fukce áhodé veličiy X i. Studium vlastostí rozděleí obvykle provádíme pomocí vhodě zvoleé fukce áhodého výběru statistiky). Uvedeme ty, které ejčastěji používáme Defiice: Výběrový průměr, výběrový rozptyl. Je-li X 1, X 2,..., X ) áhodý výběr, pak ozačujeme a azýváme statistiku: X výběrovým úhrem; X 1 X i X i S výběrovým průměrem; X i X) 2 výběrovým rozptylem; s 2 1 X i X) 2. Je-li Y 1, Y 2,..., Y ) áhodý výběr, pak azýváme statistiku S XY X i X)Y i Y ) výběrovým koeficietem korelace. Dále azýváme statistiku rx, Y ) S XY S X S Y výběrovým koeficietem korelace. Pozámka: Pro vyčísleí výběrových charakteristik používáme ěkdy jiého vyjádřeí. Je totiž 1)S 2 Xi X ) [ 2 Xi 2 2X i X + X ) 2 ] Je tedy Je také X 2 i 2X X i + X ) 2 X 2 i 2 X ) 2 + X ) 2 S 2 1 [ Xi 2 X ) ] 2 1 Xi X 2 i X ) 2 ) 2 X i. 69
2 1)S XY X i X)Y i Y ) X i Y i XY X i Y + XY ) X i Y i ) XY. Pro uvedeé statistiky platí ěkolik tvrzeí, která si postupě uvedeme Věta: Vlastosti výběrového průměru. Nechť je X 1, X 2,..., X ) áhodý výběr s rozděleí, kde EX i ) µ a DX i ) 2, pak platí: EX) µ, E X) µ a DX) 2, D X) 2. Důkaz: Je totiž E X) E X i ) EX i ) µ µ. Odtud plye, že EX) E 1 X) 1 E X) µ. Jestliže využijeme ezávislosti áhodých veliči v áhodém výběru, pak dostaeme D X) D X i ) DX i ) 2. Odtud plye, že DX) D 1 X) 1 D X) Věta: Vlastosti výběrového rozptylu. Nechť je X 1, X 2,..., X ) áhodý výběr s rozděleí, kde EX i ) µ a DX i ) 2, pak platí: ES 2 ) 2, Es 2 ) 1 2 a DS 2 ) 1 EX4 i ) 3 1) 4, 3. Důkaz: Úpravou postupě dostaeme Xi X ) 2 [ Xi µ) X µ )] 2 [ X i µ) 2 2 X i µ) X µ ) + X µ ) 2 ] X i µ) 2 2 X µ ) X i µ) + X µ ) 2 X i µ) 2 2 X µ ) X µ ) + X µ ) 2 X i µ) 2 X µ ) 2 Odtud dostaeme, že E Xi X ) 2 ) E X i µ) 2) X ) ) 2 E µ 1) 2, když jsme použili postupě skutečosti EX i ) EX) µ, E X i µ) 2 ) DX i ) 2 a E X µ) 2) DX) 1 2. Je tedy ES 2 ) 2. Sado ahlédeme, že Es 2 ) E 1 S2) Pozámka: Další vlastosti základích statistik áhodého výběru vyplývají z cetrálí limití věty. Za uvedeých předpokladů vět 12.3 a 12.4 platí, že výběrový úhr X má v limitě ormálí rozděleí Nµ, 2 ) a výběrový průměr X má v limitě ormálí rozděleí Nµ, 2 ). Tyto skutečosti můžeme zapsat vztahy pro distribučí fukce. Je X lim P µ x 70 ) Φx), x R
3 a ) X µ lim P x Φx), x R, kde Φ je distribučí fukce ormovaého rozděleí N0, 1). Připomeňme, že v případě, že se jedá o áhodý výběr z ormálího rozděleí Nµ, 2 ), pak mají uvedeé statistiky ormálí rozděleí z uvedeými parametry Defiice: Uspořádaý áhodý výběr dostaeme jestliže seřadíme hodoty áhodého výběru X 1, X 2,..., X ) vzestupě podle velikosti. Dostaeme áhodý vektor X 1), X 2),..., X ) ), kde X i) X ki a {1, 2,..., } {k 1, k 1,..., k }. Je pak X 1) X 2)... X ). Speciálě je X 1) mi{x i ; 1 i } a X ) max{x i ; 1 i }. Náhodou veličiu ω X ) X 1) azývame variačí rozpětí áhodého výběru. Pro rozděleí jedotlivých souřadic uspořádaého áhodého výběru dostaeme ásledující vztahy Věta: Je-li F distribučí fukce rozděleí, ze kterého je provede áhodý výběr, pak má r tá souřadice X r) uspořádaého áhodého výběru X 1), X 2),..., X ) ) rozděleí s distribučí fukcí G r x) P X r) x) ir ) F i x) [1 F x)] i, x R. i Jestliže je X r) x, pak mezi hodotami X 1, X 2,..., X ) alezeme alespoň r meších ež je hodota x. Meších ež x jich bude právě i s pravděpodobostí ) F i x) [1 F x)] i. i Součet těchto pravděpodobostí pro r i určuje hodotu distribučí fukce áhodé veličiy X r). Speciálě pro prví a posledí souřadici dostaeme Věta: Náhodá veličia X 1) mi{x i ; 1 i } má rozděleí určeé distribučí fukcí G 1 x) 1 1 F x)), x R. Pro spojité rozděleí dostaeme její hustotu g 1 x) fx)1 F x)) 1, x R, kde f F je hustota původího rozděleí. Náhodá veličia X ) max{x i ; 1 i } má rozděleí určeé distribučí fukcí G x) F x), x R. V případě spojitého rozděleí je její hustota rova g x) fx)f 1 x), x R. 71
4 12.9. Příklad: Rovoměré rozděleí v itervalu µ h, µ + h). Pak je hustota f, resp. distribučí fukce F, v itervalu µ h, µ + h) dáa vzorci fx) 1 1, resp. F x) x µ + h). 2h 2h Dosazeím do uvedeých vzorců dostaeme: tedy g 1 x) 2h [ 1 1 2h x µ + h) ] 1 g 1 x) 2h) µ + h x) 1, µ h < x < µ + h; g x) 2h) x µ + h) 1, µ h < x < µ + h. Pro středí hodoty těchto áhodých veliči výpočtem dotaeme: EX 1) ) µ+h xµ + h x) 1 dx 2h) µ h x µ h t dx dt 0 2h) 1) 2h) 2h 1) 1 t + µ + h)t 1 dt 1) t + µ + h)t 1 ) dt 2h 2h) 0 [ ] 2h) +1 + µ + h) 2h) 2h µ + h µ h; EX ) ) µ+h xx µ + h) 1 x µ + h t dx 2h) µ h dx dt 2h 1) t + µ h)t 1 dt 2h t + µ h)t 1 ) dt 2h) 0 2h) 0 [ ] 2h) +1 + µ 2h) h)2h) 2h µ h µ h. Pro výpočet rozptylu těchto áhodých veliči musíme ejdříve vyčíslit druhé obecé momety. Je EX 1) ) 2 ) µ+h x 2 µ + h x) 1 dx 2h) µ h 0 µ + h t) 2 t 1 dt) 2h) 2h 2h) [ t +2 2h) + 2 2h 0 µ + h x t dx dt t +1 2µ + h)t + µ + h) 2 t 1 ) dt ] 2h t+1 2µ + h) µ + t h)2 4h2 2h 2µ + h) µ + h)
5 Rozptyl áhodé veličiy vypočteme pomocí vzorce DX 1) ) EX 1) ) 2 ) EX 1) ) 2 4h2 2h 2µ+h) µ+h)2 µ 1 )2 + 1 h µ 2 + 2µh + h 2 4µh + 1 4h h2 + 2 µ2 + 2muh µh ) + h ) 1) ) 2 h2 1)2 + 2) 2 4h 2 + 1) 2 + 2). Obdobě dostaeme EX ) ) 2 ) µ+h x 2 x µ + h) 1 dx 2h) µ h x µ + h t dx dt 0 t + µ h) 2 t 1 dt 2h 2h) 2h 2h) 0 [ t +2 t+1 + 2µ h) 2h) µ t h)2 t µ h)t + µ h) 2 t 1 ) dt ] 2h Rozptyl áhodé veličiy vypočteme pomocí vzorce 0 4h2 2h + 2µ h) µ h)2. DX ) ) EX ) ) 2 ) EX ) ) 2 4h2 2h +2µ h) µ h)2 µ + 1 )2 + 1 h µ 2 2µh + h 2 + 4µh + 1 4h h2 + 2 µ2 2muh 1 1)2 h ) 2 2µh ) + h ) 1) ) 2 4h 2 + 1) 2 + 2). Jak jsme mohli očekávat rozptyly obou áhodých veliči jsou stejé a středí hodoty jsou symetrické vzhledem ke středí hodotě µ původího rozděleí. S rostoucím počtem prvků výběru dostáváme a lim EX 1)) lim µ h µ h, lim EX )) lim µ + h µ + h, lim DX 1)) lim DX ) ) lim h )
6 Příklad: Expoeciálí rozděleí ExpA; ). Potom jsou hustota f, resp. distribučí fukce F, dáy vzorci fx) 1 Pro hustotu áhodé veličiy X 1) g 1 x) e x A, resp. F x) 1 e x A, x > A. x A e dostaeme Pro středí hodotu miima dostaeme EX 1) ) xe x A) dx [ A [ ] e x A 1 x A) e, x > A. x e x A) 2 2 e ] x A) K výpočtu rozptylu musíme ejdříve určit druhý obecý momet. Je [ x2 e x A) EX 1) ) 2 ) 2x2 2 A e x A) 23 3 e x 2 e x A) dx Rozptyl áhodé veličiy vypočteme pomocí vzorce DX 1) ) EX 1) ) 2 ) EX 1) ) 2 A 2 + 2A S rostoucím počtem prvků výběru dostáváme ] x A) A A A 2 + 2A A + A ) a lim EX 1)) lim A + A lim DX 2 1)) lim 0. 2 Některá další rozděleí fukcí áhodého výběru Normálí Gaussovo) rozděleí Nµ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozděleí určeé hustotou fx) 1 x µ) 2 2π e 2 2, x, ). Rozděleí je symetrické vzhledem k hodotě µ. Je dále EX) µ, DX) 2 a tedy směrodatá odchylka X). Rozděleí je kocetrováo ke středí hodotě. I když abývá áhodá veličia s tímto rozděleím teoreticky všech reálých hodot je P X µ < 3) 0, 999 a P X µ < 3, 5) 0,
7 Průběh hustoty ϕ ormovaého ormálího rozděleí je zázorě a obrázku Obr a průběh hustoty f obecého ormálího rozděleí Nµ; 2 ) je zázorě a obrázku Obr π ϕx) 1 2π fx) x µ 3 µ µ + 3 x Obr Obr Normálí rozděleí se zachovává při lieárí trasformaci. Jestliže má áhodá veličia X rozděleí Nµ, 2 ), má pak áhodá veličia αx + β ormálí rozděleí Nαµ + β, α 2 2 ). Speciálě platí, že áhodá veličia U X µ má rozděleí N0, 1), které se azývá ormovaé ormálí rozděleí. Náhodé veličiy, které mají ormovaé ormálí rozděleí budeme ozačovat písmeem U. Dále budeme ozačovat ϕ hustotu tohoto rozděleí a Φ distribučí fukci tohoto rozděleí. Je-li X áhodá veličia, která má rozděleí Nµ, 2 ) a je-li f její hustota a F je její distribučí fukce, pak Dále je ) x µ ϕx) f a ) x µ F x) Φ. ) ) b µ a µ P a < X < b) F b) F a) Φ Φ. Hodoty fukce Φ jsou tabelováy. Ze symetrie hustoty ϕ vzhledem k počátku plye, že Φx) + Φ x) 1, Φ0) 1 2. Pro kvatily u p ormovaého ormálího rozděleí platí, že u 0,5 0 a u 1 p u p. Tyto kvatily alezeme také v tabulkách a pro kvatily x p obecého ormálího rozděleí platí x p u p + µ a x x 0,5 µ ˆx EX). Důležitou vlastost má ormálí rozděleí při sčítaí áhodých veliči. Jsou-li X, resp. Y ezávislé áhodé veličiy s rozděleím Nµ 1, 2 1), resp. Nµ 2, 2 2), pak má áhodá veličia X + Y rozděleí ormálí Nµ 1 + µ 2, ). Speciálě platí: Jestliže mají ezávislé áhodé veličiy X i, 1 i ormálí rozděleí Nµ, 2 ) áhodý výběr z ormálího rozděleí), má pak 75
8 výběrový úhr X X i rozděleí Nµ, 2 ) a výběrový průměr X 1 X i rozděleí Nµ, 2 ) Expoeciálí rozděleí ExA, ) je rozděleí áhodé veličiy s hustotou f a distribučí fukcí F, kde 0, x < A, 0, x A, fx) x A 1 F x) e, x A; 1 e x A, x A, kde A R a > 0. Je pak EX) A + a DX) 2. Pro kvatily dostaeme vyjádřeí x p A l1 p). Je-li A 0, pak rozděleí ozačujeme symbolem Ex) a je to rozděleí, které se objevuje v úlohách kde sledujeme spolehlivost práce zařízeí v čase. Je to tzv. rozděleí bez paměti. Je totiž P X a + b X a) P X b), a, b > Rozděleí chí kvadrát χ 2 ) o stupích volosti je rozděleí, které má áhodá veličia X Ui 2, kde U i, 1 i jsou ezávislé áhodé veličiy s ormovaým ormálím rozděleím N0, 1). Pro toto rozděleí je EX) a DX) 2. Hustota f tohoto rozděleí je dáa předpisem 0, x 0, fx) 1 x 2 Γ 2 ) 2 1 e x 2, x > 0. Rozděleí je výrazě asymetrické, kvatily jsou kladé a jsou tabelováy. Až pro výrazě veliké hodoty parametru je možé toto rozděleí ahradit rozděleím ormálím N, 2). Pro velké hodoty má áhodá veličia U X 2 přibližě ormovaé ormálí rozděleí N0, 1). Pro kvatily pak platí přibližý vzorec x p. + up 2. Průběh hustoty rozděleí χ 2 ), pro dva stupě volosti je zázorě a obrázku Obr < 5 > 30 y x x 76
9 Obr Obr Studetovo rozděleí t- rozděleí) t) o stupích volosti má áhodá veličia T U Z, kde áhodá veličia U má ormovaé ormálí rozděleí N0, 1) a áhodá veličia Z má rozděleí χ 2 ). Rozděleí je symetrické vzhledem k počátku, je ET ) 0, DT ), > 2 a pro hodoty > 30 jej ahrazujeme ormovaý ormálím 2 rozděleím N0, 1). Pro kvatily platí t p t 1 p. Hustota f Studetova rozděleí je dáa vzorcem fx) Γ +1 ) Γ 2 ) π 1 + x2 ) +1 2, x R. Průběh hustoty t rozděleí pro dvě hodoty stupňů volosti je zázorě a obrázku Obr Fischerovo-Sedecorovo rozděleí F rozděleí) F m, o m a stupích volosti má áhodá veličia F X Y m, kde áhodá veličia X má rozděleí χ 2 m) a áhodá veličia y má rozděleí χ 2 ). Náhodá veličia F abývá pouze kladých hodot a je EF ), > 2 2 a DF ) 22 +m 2), > 4. Hustota f áhodé veličiy F je dáa vzorcem m 2) 2 4) fx) ) m 1 m 2 B m, ) 2 2 Pro kvatily F p m, ) rozděleí platí Je totiž kvatil F p Odtud plye, že F p m, ) x m ) m+ x 2, x > 0. 1 F 1 p, m), 0 < p < 1. áhodé veličiy F m, ) urče podmíkou P F m, ) F p ) p P ) X Y m F p p. 1 P Y m ) Y m 1 P F p X X 1 ) p F p Y m P X 1 ) ) P F, m) 1Fp 1 p, F p což je podmíka pro kvatil áhodé veličiy F, m). Je tedy F 1 p, m) 1 F pm,). 77
Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
Více8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VíceČeské vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika
České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceDynamická pevnost a životnost Statistika
DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VícePevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.
evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VícePřednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat
DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
Více6. P o p i s n á s t a t i s t i k a
6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
VícePravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy
Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
Víceb c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d
Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá
VícePopisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007
Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
Více1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );
1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1
Více13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení
S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
Vícevají statistické metody v biomedicíně
Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
VíceNárodní informační středisko pro podporu jakosti
Národí iformačí středisko pro podpor jakosti Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie,
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VícePŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR
PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy
Více